Dp_TMF (Mecânica dos Fluidos)

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1 1 Dp_TMF (Mecânica dos Fluidos) Introdução A Mecânica dos fluidos lida com o comportamento dos fluidos em repouso e em movimento. O projeto de meios de transporte requer aplicação dos princípios da mecânica dos fluidos. Aí se incluem aeronaves para vôos subsônicos e supersonicos, navios, submarinos e automóveis. O projeto de todos os tipos de máquinas de fluxo, incluindo bombas, ventiladores, sopradores, compressores e turbinas, requer claramente o conhecimento dos princípios da mecânica dos fluidos. O que é Fluido? Fluido é uma matéria, substância, ou seja, é uma porção de matéria que se deforma continuamente, quando submetida a tensões de cisalhamento (não importando o quão pequena sejam elas). Assim, os fluidos compreendem as fases líquida e gasosa (ou de vapor) das formas físicas nas quais a matéria existe. A distinção entre um fluido e o estado sólido da matéria é clara quando se compara os seus comportamentos. Um sólido deforma-se quando uma tensão de cisalhamento lhe é aplicada, mas não continuamente. Exemplo: Na figura (1) a seguir, os comportamentos de um sólido (1a) e de um fluido (1b) sob a ação de uma força de cisalhamento constante, são comparados. Na figura (1a), a força de cisalhamento é aplicada sobre o sólido através da placa superior à qual ele está ligado. Quando a força de cisalhamento é aplicada na placa superior, o bloco deforma-se conforme mostrado. Logo, desde que o limite elástico não seja ultrapassado, a F deformação é proporcional à tensão de cisalhamento aplicada, =, no qual A é a área da A superfície em contato com a placa. Para repetir a experiência com um fluido entre as placas, delimita-se um elemento fluido, conforme mostrado pelas linhas cheias na figura (1b). Enquanto a força F estiver aplicada na placa superior, a deformação do elemento fluido aumenta continuamente. O fluido em contato direto com a fronteira sólida tem a velocidade da própria fronteira; não há deslizamento. A forma do elemento fluido em instantes sucessivos t 0 < t1 < t2 é mostrada na fig. (1b) pelas linhas tracejadas. Como o movimento do fluido continua sob a aplicação de uma tensão cisalhante, pode-se, alternativamente, definir um fluido como uma substância incapaz de suportar tensão de cisalhamento quando em repouso.

2 2 Fig.(1a): Sólido Fig.(1b): Fluido Definido um fluido e assinalado as características que o distinguem de um sólido, pode-se dizer que, o conhecimento e a compreensão dos princípios básicos e dos conceitos da mecânica dos fluidos são essenciais para qualquer sistema no qual o fluido é o meio operante. O projeto de, virtualmente, todos os meios de transporte, requer aplicação dos princípios da mecânica dos fluidos. Aí concluem aeronaves dos vôos subsônicos e supersônicos, máquinas terrestres, navios, automóveis, etc. O sistema circulatório do corpo humano é, basicamente, um sistema fluido. A lista de aplicações dos princípios da mecânica dos fluidos pode ser consideravelmente ampliada. Desta forma, é importante que ela não seja interesse puramente acadêmica, ao contrário, é um assunto tanto nas nossas experiências diárias quanto na moderna tecnologia. Equações Básicas A análise de qualquer problema em mecânica dos fluidos começa, necessariamente, seja de modo direto ou indireto, com declarações das leis que regem o movimento do fluido. As leis básicas aplicáveis a qualquer fluido, são: 1. A conservação da massa. 2. A segunda lei de Newton para o movimento. 3. O princípio da quantidade de movimento angular. 4. A primeira lei da termodinâmica. 5. A segunda lei da termodinâmica. Nem todas as leis básicas são necessárias para resolver qualquer problema. Por outro lado, em muitos deles é necessário trazer à análise relações adicionais, na forma de equações de estado ou outras de caráter constitutivo que descrevam o comportamento das propriedades físicas dos fluidos sob determinadas condições. De acordo com as propriedades dos gases na física básica ou na termodinâmica, a equação de estado do gás ideal, é escrita como segue: p = ρrt (1) é um modelo que relaciona a massa específica com a pressão e a temperatura para muitos gases, para cálculos de precisão de engenharia, sob condições normais. Na equação (1), tem-se: R - constante cujo valor depende do gás. P - pressão absoluta. T - temperatura absoluta. ρ - densidade (massa por unidade de volume). As leis básicas são as mesmas utilizadas em mecânica dos fluidos e na termodinâmica. A tarefa é formular essas leis de modo adequado para resolver problemas de escoamento de fluidos e aplicá-las a uma variedade de problemas.

3 Muitos problemas aparentemente simples na mecânica dos fluidos não podem ser resolvidos de forma analítica. Em tais casos, deve-se recorrer a soluções numéricas mais complicadas e/ou a resultados de testes experimentais. Métodos de Análise O primeiro passo na resolução de um problema é definir o sistema a analisar. Utiliza-se aqui o diagrama de corpo livre, empregando os termos sistema e volume de controle, sendo de grande importância definir tais termos antes de aplicar as equações básicas na análise de um problema. Sistema e Volume de Controle Sistema: é definido com uma quantidade de massa fixa e identificável; as fronteiras do sistema separam-no do ambiente. As fronteiras do sistema podem ser fixas ou móveis; contudo, não há fluxo de massa através das mesmas. Exemplo: Considere o conjunto pistão-cilindro da termodinâmica na figura (2) a seguir. O gás no cilindro é o sistema. Se uma fonte de alta temperatura for posta em contato com a extremidade esquerda do cilindro, o pistão mover-se-á para a direita; a fronteira do sistema, por conseguinte, irá se mover. Calor e trabalho poderão cruzar as fronteiras do sistema, mas a quantidade de matéria dentro delas permanecerá constante. Nenhuma massa cruza as fronteiras do sistema. 3 Fig. (2): Conjunto pistão-cilindro. Volume de Controle: é um volume arbitrário no espaço através do qual o fluido escoa. A fronteira geométrica do volume de controle é chamada superfície de controle. Esta pode ser real ou imaginária; pode estar em repouso ou em movimento. A figura (3) mostra uma possível superfície de controle para a análise do escoamento através de um tubo. Ali, a superfície interna do tubo, uma fronteira física real, faz parte da superfície de controle. Entretanto, as porções verticais da superfície de controle são imaginárias. Não há superfície física correspondente; essas fronteiras imaginárias são selecionadas arbitrariamente, para fins de cálculos. Como a localização da superfície de controle afeta diretamente o procedimento de cálculo na aplicação das leis básicas, é muito importante que ela seja escolhida com cuidado e claramente definida, antes de se iniciar qualquer análise. Fig.(3): Escoamento num tubo.

4 4 Formulação das Equações Básicas As leis básicas aplicadas ao estudo da mecânica dos fluidos podem ser formuladas em termos de sistemas e de volumes de controle infinitesimais ou finitos. As equações resultantes parecerão diferentes em cada caso. Essas equações poderão ser equações diferenciais ou integrais. A solução das equações diferenciais do movimento provê um meio de determinar o comportamento detalhado (ponto a ponto) do fluido. Freqüentemente, nos problemas em estudo, a informação procurada não requer conhecimento detalhado do escoamento. Muitas vezes, o interesse, grosso modo, é no comportamento de um dispositivo; nestes casos, é mais apropriado empregar a formulação integral das leis básicas. Formulações integrais, usando sistemas ou volumes de controle finitos, são geralmente mais fáceis de serem tratados analiticamente. Métodos de Descrição_ Lagrangeano & Euleriano De acordo com o tipo de análise feita aos problemas de mecânica dos fluidos, utiliza-se o método de descrição lagrangeano ou euleriano. Quando for fácil acompanhar elementos de massa identificável (por exemplo, na mecânica da partícula), utiliza-se um método de discrição que segue a partícula. Isso, às vezes, é mencionado como método de descrição lagrangeano. Considere, por exemplo, a aplicação da segunda lei de Newton a uma partícula de massa fixa m. Matematicamente, pode-se escrever a segunda lei de Newton para um sistema de massa m, como r r 2r r dv d F = ma = m = m (2) 2 dt dt nos quais F r - soma de todas as forças externas atuantes sobre o sistema. a r - aceleraçao. V r - velocidade no centro de massa do sistema r - vetor posição do mesmo em relação a um sistema fixo de coordenadas. Pode-se considerar um fluido como composto de grande número de partículas cujo movimento deve ser descrito; acompanhar o movimento de cada partícula fluida separadamente torna-se um enorme quebra-cabeça. Conseqüentemente, a descrição de uma partícula é impraticável. Desta forma, é muito mais conveniente utilizar um tipo diferente de descrição. Particularmente, com a análise de volume de controle, convém usar o método de descrição de campo, ou euleriano, que focaliza a atenção sobre as propriedades de um escoamento num determinado ponto do espaço como função do tempo. No método de descrição euleriano, as propriedades do campo de escoamento são descritas como funções das coordenadas espaciais e do tempo e é um desenvolvimento lógico da hipótese de que os fluidos podem ser tratados como meios contínuos.

5 Sistemas de unidade 5 Os sistemas mais comuns na engenharia para cada um dos sistemas básicos de dimensões, os quais serão utilizados neste curso, são: a. MLtT O SI, Sistema Internacional, é uma extensão e refinamento do sistema métrico tradicional. No sistema de unidades SI, a unidade de massa é o quilograma (kg), a unidade de comprimento, o metro (m), a unidade de tempo, o segundo (s), e a unidade de temperatura, o kelvin (K). A unidade de força é o newton (N), que é definida da segunda lei de Newton como 2 1N 1kg.m/s b. FLtT No sistema de unidades Gravitacional britânico, a unidade de força é a libra força (lbf), a unidade de comprimento é o pé (pé), a do tempo, o segundo, e a de temperatura, o Rankine ( R). A unidade da massa é o slug, é definida em termos da segunda lei de Newton como 2 1 slug 1 lbf.s /pé Fluido como um contínuo: 1 mol de gás contém moléculas, não é possível simular a trajetória de cada molécula. No entanto é possível medir os efeitos macroscópicos de muitas moléculas: velocidade, pressão, temperatura, etc. O Conceito do Continuo é a Base da Mecânica dos Fluidos clássica, ele deixa de lado o comportamento individual das moléculas. No entanto, falha quando a trajetória média livre das moléculas (aproximadamente 10-7 m ) torna-se da mesma ordem de grandeza da dimensão significativa do problema. Em conseqüência da hipótese do contínuo, cada propriedade do fluido é considerada como tendo um valor definido em cada ponto do espaço. Dessa forma, as propriedades dos fluidos como massa específica, temperatura, velocidade etc, são consideradas funções contínuas da posição e do tempo. Para ilustrar o conceito de uma propriedade num ponto, considere a maneira pela qual determina-se a massa específica num ponto. Uma região de fluido é mostrada na figura (1) a seguir. A massa específica num ponto é então definida como δm ρ = lim i (1) δ δ ' δ A massa específica em qualquer ponto pode variar com o tempo como resultado de trabalho realizado sobre o fluido, ou por ele, ou de transferência de calor para o mesmo. Então, a representação completa da massa específica é dada por ρ = ρ( x, y, z, t) (2)

6 Como a massa específica é uma quantidade escalar, exigindo apenas a especificação de uma magnitude para descrição completa, o campo representado pela equação (2) é escalar. 6 Fig. (1): Definição de massa específica num ponto. Campo de Tensão ou Campo Tensorial Tanto as forças de superfícies como as de campo são encontradas no estudo da mecânica dos meios contínuos. As forças de superfície atuam nas fronteiras de um meio através do contato direto. As forças desenvolvidas sem contato físico e distribuídas por todo o volume do fluido são denominadas forças de campo. As forças gravitacionais e eletromagnéticas são exemplos de forças de campo. Campo Escalar, Vetorial e Tensorial Pressão, Temperatura, Energia, Entropia, Concentração, dependem da posição no espaço e do tempo, são denominados variáveis escalares. (tensor ordem zero). Velocidade, Força, Quantidade de Movimento dependem da posição, do tempo e da direção, são denominados variáveis vetoriais. (tensor ordem um). Tensão e Taxa de Deformação no fluido dependem da posição, tempo, direção e área, são denominadas variáveis tensoriais. (tensor ordem dois). Tensão é uma força de superfície atua nas fronteiras do meio em contato direto. Para defini-la é necessário especificar, 1. Intensidade 2. Direção e 3. Área onde ela atua Tensões Normais e Cisalhantes Imagine uma superfície qualquer no interior de um fluido em escoamento, e considere a força de contato transmitida de uma face da superfície para a outra. Considere uma porção, δ A r, da superfície na vizinhança do ponto C. A orientação de δa r é dada pelo vetor unitário, nˆ, mostrado na figura (2) a seguir. O vetor nˆ é normal à superfície apontando para fora dela, ou seja, no sentido da transmissão da força de contato.

7 7 A força, δ F r, atuando sobre δa r pode ser decomposta em duas componentes, uma normal e a outra tangencial à área. Uma tensão normal σ n e uma tensão cisalhante n são então definidas como σ e δf n n = lim (3) δan 0 δan δf t n = lim (4) δan 0 δan O índice n na foi incluído para lembrar que as tensões estão associadas com a superfície δa r que passa por C, tendo uma normal com a direção e sentido de nˆ. Para qualquer outra superfície passando por C, os valores das tensões são diferentes. Fig(2): O conceito de tensão num meio contínuo. Ao lidar com quantidades vetoriais tais como a força, é usual considerar as componentes num sistema de coordenadas cartesianas. Em coordenadas ortogonais, pode-se considerar as tensões atuando em planos cujas normais orientadas para fora estão nas direções dos eixos x, y e z. Na figura (3), considera-se a tensão no elemento δ Ax, cuja normal orientada para fora está na direção do eixo x. A força, δ F r, foi decomposta em componentes ao longo de cada eixo coordenado. Dividindo a magnitude de cada componente da força pela área, δ Ax, e tomando o limite quando δ Ax se aproxima de zero, define-se as três componentes da tensão mostrada na figura (3b): σ xx δf x = lim ; δax 0 δax xy δfy = lim e δax 0 δa x xz δfz = lim δax 0 δa x Utiliza-se índice duplo para designar as tensões. O primeiro índice (neste caso, x) indica o plano no qual a tensão atua (neste caso, a superfície perpendicular ao eixo x).

8 8 (a) componente da força (b) Componente da tensão Fig.(3): Componentes da força e da tensão sobre um elemento de área δ Ax. Ao considerar a área elementar δ Ax, define-se as tensões σ yy, e yz ; a utilização da área elementar δ Ax, levaria de modo semelhante, à definição de σ zz, zx e zy. O estado de tensão num ponto pode ser completamente descrito pela especificação das tensões atuantes em três planos que passam por ele e que são mutuamente perpendiculares. A tensão num ponto é então especificada pelas nove componentes: σ xx xy xz σ yy yz zx zy σ zz no qual σ foi usado para denotar uma tensão normal, e para denotar uma tensão cisalhante. A notação para a designação é mostrada na figura (4) a seguir. Fig. (4): Notação para tensões. Referindo-se ao elemento infinitesimal mostrado na figura (4), vê-se que há seis planos (dois planos x, dois planos y e dois planos z), nos quais as tensões podem atuar. Para designar o plano de interesse, pode-se usar termos como frontal e posterior, superior e inferior, ou esquerdo e direito. Contudo, é mais lógico nomear os planos em termos dos eixos de coordenadas. Os planos são nomeados e denotados como positivos ou negativos de acordo com o sentido da sua normal. Dessa forma, o plano superior, por exemplo, é um plano y positivo; o posterior, é um plano z negativo.

9 Também é necessário adotar uma convenção de sinais para a tensão. Uma componente da tensão é positiva quando o seu sentido e o plano no qual atua são ambos positivos ou ambos negativos. Assim, = 35kPa representa uma tensão de cisalhamento num plano y positivo na direção positiva de x, ou uma tensão de cisalhamento num plano y negativo na direção negativa de x. As componentes das tensões são negativas quando o seu sentido e o plano no qual atuam têm sinais opostos. Viscosidade Define-se fluido como sendo uma substância que se deforma continuamente sob a ação de uma tensão de cisalhamento. Na ausência desta, não haverá deformação. Os fluidos podem ser classificados, de modo geral, de acordo com a relação entre a tensão de cisalhamento aplicada e a taxa de deformação. Considere o comportamento de um elemento fluido entre duas placas infinitas como mostrado na figura (5) a seguir. A placa superior move-se a velocidade constante, δ u, sob a influência de uma força constante aplicada, δ Fx. A tensão de cisalhamento, aplicada ao elemento fluido é dada por δfx dfx = lim = δay 0 δ Ay day No qual δ Ay, é a área do elemento fluido em contato com a placa, e δ Fx, é a força exercida pela placa sobre esse elemento. Durante o intervalo de tempo δ t, o elemento fluido é deformado da posição MNOP para a posição M NOP. A taxa de deformação do fluido é dada por 9 Taxa de deformação δα dα = lim = δ t 0 δt dt Para calcular a tensão de cisalhamento,, é desejável expressar d α / dt em função de quantidades prontamente mensuráveis. Assim, a distância, δ l, entre os pontos M e M é dada por δ l = δ uδ t ou, alternativamente, para pequenos ângulos, δ l = δ yδα Igualando estas duas expressões, obtém-se δ α δ u = δt δy Tomando os limites em ambos os lados da igualdade, tem-se d α d u = d t d y Dessa forma, o elemento fluido da figura (5), quando submetido à uma tensão de cisalhamento,, experimenta uma taxa de deformação (taxa de cisalhamento) dada por du/dy. Os fluidos nos quais a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional à taxa de deformação são chamados fluidos newtonianos. A expressão não-newtoniano é empregada para classificar todos os fluidos nos quais a tensão de cisalhamento não é diretamente proporcional à taxa de deformação.

10 10 Fluido Newtoniano Fig.(5): A deformação de um elemento fluido. Isaac Newton ( ) propôs para fluidos que: du = µ, µ Viscosidade dinâmica (Ns/m 2 ) dy Viscosidade Dinâmica ou Absoluta Os fluidos Newtonianos (água, todos os gases e maioria dos líquidos) são aqueles que apresentam uma relação linear entre a tensão e a taxa de deformação. A viscosidade µ é uma propriedade do fluido e tem natureza escalar. Viscosidade Cinemática Na mecânica dos fluidos, a razão entre a viscosidade absoluta, µ, e a massa específica, ρ, recebe o nome de viscosidade cinemática. Unidades de Viscosidade Viscosidade Dinâmica (µ) Viscosidade Cinemática (ν) Ns/m 2 kg/ms 1 Poise = 0,1 kg/ms m 2 /s 1 Stokes = 0,00001 m 2 /s

11 Tabelas - Viscosidade Dinâmica e Cinemática 11 Definições: Peso Específico: Peso de uma substância contida numa unidade de volume. γ = ρg Densidade Relativa: é definida como a razão entre a massa específica do fluido e a massa específica da água numa certa temperatura. SG( Líquido ) ρ = ; ρ H 2O SG( gàs ) = ρ ρ Ar Relação entre as viscosidades: µ υ = ρ