Conceitos Fundamentais. Prof. Dr. Marco Donisete de Campos

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1 UFMT- UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO CUA - CAMPUS UNIVERSITÁRIO DO ARAGUAIA ICET - INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL Conceitos Fundamentais Prof. Dr. Marco Donisete de Campos mcampos@ufmt.br

2 Hipótese do Contínuo Segundo esta hipótese, a matéria é considerada como contínua, desprovida de vazios. Trata-se de uma idealização útil para os cálculos envolvendo fluidos, que permite evitar uma série de complicações desnecessárias como nos sistemas de gases rarefeitos nos quais um certo volume no espaço poderá, em determinado instante, estar ocupado por muitas moléculas de gases, e, num instante seguinte, poderá estar completamente vazio. No entanto, na maior parte das aplicações essa hipótese proporcionará a obtenção de resultados precisos.

3 Campo de Escoamento As partículas infinitesimais de um fluido são compactas em decorrência da hipótese do contínuo. Assim, num dado instante, a descrição de qualquer propriedade do fluido pode ser formulada em função da posição da partícula. A apresentação dos parâmetros do fluido em função das coordenadas espaciais é denominada representação do campo de escoamento.

4 Escoamento Permanente É quando as propriedades em cada ponto de um campo de escoamento não mudam com o tempo. Matematicamente, temos: t 0 sendo que representa qualquer propriedade do fluido.

5 Campo de Velocidade Uma das variáveis mais importantes dos escoamentos é o campo de velocidades, V=u(x,y,z,t)i + v(x,y,z,t) j + w(x,y,z,t) k sendo u, v, w os componentes do vetor velocidade nas direções x, y e z.

6 Escoamentos uni, bi e tridimensionais Um escoamento é classificado como uni, bi ou tridimensional em função do número de coordenadas espaciais necessárias para se especificar o campo de velocidade.

7 1. Linha de tempo: Se, num campo de escoamento, uma quantidade de partículas fluidas adjacentes forem marcadas num dado instante, elas formarão uma linha chamada de linha de tempo.

8 2. Trajetória: é a trajetória real percorrida por uma partícula de fluido individual em determinado período de tempo.

9 3. Linha de emissão (ou raias): é o conjunto das posições das partículas de fluido que passaram sequencialmente através de um ponto prescrito do escoamento.

10 4. Linha de corrente (ou de fluxo): são úteis como indicadores da direção instantânea do movimento dos fluidos ao longo do campo de escoamento. Não podem ser observadas experimentalmente, exceto nos campos de escoamento em regime permanente, nos quais elas coincidem com as linhas de trajetória e as linhas de emissão.

11 Campo de Tensão 1. Forças de superfície: são aquelas que atuam nas fronteiras de um meio através do contato direto. 2. Forças de campo (ou de corpo): são aquelas desenvolvidas sem contato físico e distribuídas por todo o volume do fluido como, por exemplo, as forças gravitacionais e as forças eletromagnéticas.

12 Campo de Tensão (cont.) Considere uma superfície qualquer num interior de um fluido em escoamento e considere a força de contato transmitida de uma face da superfície para a outra. Considere, ainda, uma porção, na vizinhança do ponto C. A A, da superfície é dada pelo vetor unitário n A orientação de que é normal à superfície apontando para fora dela, ou seja, no sentido da transmissão das forças de contato.

13 F atuando sobre A, A força, pode ser decomposta em duas componentes, uma normal e outra tangente à área.

14 Definimos, então, uma tensão normal n e uma tensão cisalhante n, definidas, respectivamente, da seguinte forma n lim A 0 n F A n n, e n lim A 0 n F A t n.

15 n lim A 0 n F A n n, n lim A 0 n F A t n. O índice na tensão foi incluído para lembrar que as tensões estão associadas com a superfície que passa por C, tendo uma normal com a A direção e sentido de n. Para qualquer outra superfície passando por C, os valores das tensões são diferentes.

16 Consideremos as tensões atuando em planos cujas normais orientadas para fora nas direções x, y e z. Consideremos, ainda, a tensão no elemento A x cuja normal orientada para fora está na direção do eixo x.

17 A força F foi decomposta em componentes ao longo de cada eixo coordenado. Dividindo a magnitude de cada componente da força pela área A x, e tomando o limite quando A x se aproxima de zero, definimos as seguintes componentes:

18 xx lim A 0 x F A x x, xy lim A 0 x F A y x, xz lim A 0 x F A z x.

19 Utilizamos índice duplo para designar as tensões. O primeiro índice indica o plano no qual a tensão atua enquanto que o segundo indica a direção no qual a tensão atua.

20 A tensão num ponto é especificada pelas nove componentes: xx yx zx xy yy zy xz yz zz

21 Viscosidade A massa específica e o peso específico são propriedades que indicam o peso de um fluido. Estas propriedades não são suficientes para caracterizar o comportamento dos fluidos porque dois fluidos, como a água e o óleo, por exemplo, podem apresentar massas específicas aproximadamente iguais mas se comportar muito distintamente quando escoam. Assim, torna-se necessária alguma propriedade adicional para descrever a fluidez das substâncias.

22 Para determinarmos esta propriedade, consideremos o seguinte experimento: um material é colocado entre duas placas largas e montadas paralelamente. A placa inferior está imobilizada, mas a placa superior pode ser movimentada.

23 Quando a força P é aplicada na placa superior, esta se movimenta continuamente com uma velocidade U. Este comportamento é consistente com a definição de fluido, ou seja, se uma tensão de cisalhamento é aplicada num fluido, ele se deformará continuamente.

24 Uma análise mais detalhada do movimento do fluido revelaria que o fluido em contato com a placa superior se move com a velocidade da placa, U, que o fluido em contato com a placa inferior representa velocidade nula e que o fluido entre as duas placas se move com velocidade u=uy/b (note que essa velocidade é função só de y).

25 Assim, existe um gradiente de velocidade, du/dy, no escoamento entre as placas. Neste caso, o gradiente é constante porque du/dy = U/b. Isso não será verdadeiro em situações mais complexas. A aderência dos fluidos às fronteiras sólidas é conhecida como a condição de não-deslizamento (ou de não escorregamento).

26 Num pequeno intervalo de tempo, t, uma linha vertical AB no fluido rotaciona um ângulo. Assim, tg Como a=ut, temos: a b. Ut b.

27 Note que é uma função da força P (que determina U) e do tempo. Considere a taxa de variação de com o tempo e definamos a taxa de deformação por cisalhamento através da relação: lim t 0 t.

28 No caso do escoamento entre placas paralelas, a taxa de deformação por cisalhamento é igual a du U b dy.

29 Se variarmos as condições deste experimento verifica-se que a tensão de cisalhamento aumenta à medida que aumentamos o valor de P e que a taxa de deformação por cisalhamento aumenta proporcionalmente, isto é, ou du. dy

30 Este resultado indica que, para fluidos comuns, como a água, o óleo, a gasolina, o ar, por exemplo, a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação por cisalhamento (gradiente de velocidade) podem ser relacionados por uma equação do tipo du dy sendo a constante de proporcionalidade a chamada viscosidade dinâmica (ou absoluta) do fluido.

31 du dy Note que, como as dimensões de são [F/L 2 ] e as dimensões de du/dy são [1/t], segue que tem dimensões [Ft/L 2 ]. No Sistema Gravitacional Britânico, as unidades da viscosidade são lbf.s/pé 2 ou slug/pé.s. No Sistema Métrico Absoluto, a unidade básica de viscosidade é chamada poise [1 poise 1 g/cm.s]. No SI, as unidades de viscosidade são kg/m.s ou Pa.s (1Pa.s = 1 N.s/m 2 ).

32 Tensão de cisalhamento em função da taxa de deformação por cisalhamento para alguns fluidos

33 du dy De acordo com a equação, de em função de du/dy devem ser retas com inclinação igual a viscosidade dinâmica. os gráficos

34 O valor da viscosidade varia de fluido para fluido e, para um fluido em particular, esta viscosidade depende muito da temperatura.

35 A razão entre a viscosidade dinâmica (ou absoluta),, e a massa específica,, é chamada de viscosidade cinemática, e é representada pelo símbolo. Como a massa específica tem dimensões [M/L 3 ], as dimensões de são [L 2 /t]. No Sistema Métrico Absoluto, a unidade de é o stoke (1 stoke 1 cm 2 /s).

36 Os fluidos que apresentam relação linear entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação por cisalhamento são denominados fluidos newtonianos. A maioria dos fluidos comuns, tanto líquidos como gases, são newtonianos. Por exemplo, a água, o leite fresco.

37 Fluidos Não-newtonianos Os fluidos que apresentam relação não linear entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação por cisalhamento são denominados fluidos não newtonianos. Estes, freqüentemente, têm uma estrutura molecular complexa. Por exemplo, o creme dental se comporta como um fluido quando espremido do tubo. Contudo, ela não escorre por si só quando a tampa é removida. Há uma demarcação ou tensão limítrofe abaixo da qual o creme dental se comporta como sólido.

38 Fluidos Não-newtonianos (cont.) A definição de fluido é válida apenas para materiais cuja tensão limítrofe é igual a zero. Os fluidos não newtonianos são geralmente classificados como tendo o comportamento dependente ou independente do tempo.

39 Algumas equações empíricas têm sido propostas para modelar as relações observadas entre xy e du/dy para fluidos com comportamento independente do tempo. Elas podem ser adequadamente representadas, para muitas aplicações da engenharia, pelo modelo exponencial que, para o escoamento unidimensional, torna-se yx k du dy sendo o expoente n chamado de índice de comportamento do escoamento, e o coeficiente k, o índice de consistência. n,

40 yx k du dy n Se n=1 e k=, esta equação reduz-se à Lei de Newton para a viscosidade. Para assegurar que yx tenha o mesmo sinal de du/dy, reescrevemos a equação da seguinte forma: yx k du dy n1 du dy du dy

41 yx k du dy n1 du dy du dy O termo kdu/dy n-1 é referenciado como a viscosidade aparente. A maioria dos fluidos não-newtonianos tem viscosidade aparente relativamente elevada em comparação com a viscosidade da água.

42 yx k du dy n1 du dy du dy Os fluidos nos quais a viscosidade aparente diminui com taxa de deformação crescente (n<1) são chamados pseudoplásticos (tornam-se delgados com as tensões tangenciais). A maioria dos fluidos não newtonianos enquadra-se nesse grupo; os exemplos incluem as soluções de polímeros, a polpa de papel em água, tinta de impressora.

43 yx k du dy n1 du dy du dy Se a viscosidade aparente aumenta com taxa de deformação crescente (n>1), o fluido é chamado dilatante (torna-se mais espesso com as tensões tangenciais). As suspensões de amido e de areia são exemplos de fluidos dilatantes.

44 Classificação dos Fluidos Não-newtonianos O estudo dos fluidos nãonewtonianos é adicionalmente complicado pelo fato de que a viscosidade aparente pode ser dependente do tempo. Fluidos dilatantes (areia movediça, lama) tornam-se mais resistentes ao movimento à medida que a taxa de deformação aumenta.

45 Classificação dos Fluidos Não-newtonianos Os fluidos pseudoplásticos (ou fluidificantes) ou espessantes tornam-se menos resistentes ao movimento com o aumento da taxa de deformação. São exemplos a nata, a clara de ovo crua, ketchup, mostarda, alguns tipos de tintas, as suspensões aquosas de argila (pseudoplásticos) e o mel de eucalipto (espessantes).

46 Plásticos ideais (ou fluidos de Bingham e Casson) requerem uma tensão tangencial mínima para provocar movimento. São exemplos o catchup (Bingham) e o chocolate com baixo teor de gordura (Casson).

47 Suspensões de argila e creme dental são exemplos que também requerem um mínimo de tensão para provocar movimento, mas eles não têm uma relação linear entre a tensão e a deformação (fluidos de Herschel- Bulkney).

48 De uma maneira geral, os alimentos apresentam estruturas moleculares complexas, dependentes das circunstâncias ambientais. São classificados como fluidos viscoelásticos, ou seja, apresentam propriedades viscosas (próprias dos fluidos) e elásticas (próprias dos sólidos). Exemplos são as natas, manteiga batida.

49 Fluidos newtonianos e não-newtonianos