ABORDAGEM HISTÓRICO-FILOSÓFICA NO ENSINO E NA APRENDIZAGEM DOS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E DETERMINANTES

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1 ABORDAGEM HISTÓRICO-FILOSÓFICA NO ENSINO E NA APRENDIZAGEM DOS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E DETERMINANTES Simone Luccas 1 UEL [sluccas2002@yahoo.com.br] 1 INCLUSÃO DA ABORDAGEM HISTÓRICO-FILOSÓFICA NO ENSINO 1.1 Abordagem Histórica no Ensino Nestes últimos anos a inclusão da História da Matemática no ensino vem sendo discutida em conferências, congressos e grupos de estudos, entre outros. Tal incorporação é defendida por pesquisadores que desenvolvem trabalhos nesta área sob uma perspectiva abrangente, analítica e didática que ofereça condições para uma aprendizagem crítica e reflexiva. Vejamos o que alguns pesquisadores argumentam sobre tal inclusão: ANGEL RUIZ ZÚÑIGA: a História da Matemática é fonte de riqueza metodológica e epistemológica, pois a natureza matemática e também sua história possuem um vasto campo de experimentações, por meio dos quais é possível fazer grandes e importantes reflexões e inclusive conduzir a idéias renovadoras. UBIRATAN D AMBRÓSIO: a História da Matemática pode contribuir positivamente para uma eficácia do processo ensino-aprendizagem atuando como elemento fundamental do trabalho matemático, pois o fato de conhecer historicamente momentos importantes e decisivos da Matemática pode auxiliar e também orientar o aprendizado contemporâneo dessa Ciência. Apoio: CAPES e Fundação Araucária. 1 Mestranda do Programa em Ensino de Ciências e Educação Matemática da Universidade Estadual de Londrina. Irinéa L. Batista 1 UEL [irinea@uel.br]

2 2 ANTONIO MIGUEL: defende o ensino por meio de um estudo históricopedagógico-temático apresentado de forma operacionalizada. Em sua tese de doutorado fez um levantamento da História e do processo de ensino/aprendizagem da Matemática no qual identificou as principais funções do uso da História: motivação, objetivo, método, recreação, desmistificação, formalização, dialética, unificação, axiologia, conscientização, significação, cultura, epistemologia. CARLOS ROBERTO VIANNA: em sua dissertação de Mestrado afirma que a História não é como uma fotografia de acontecimentos que devem apenas ser descritos de forma isenta, mas que a história contém justamente nessa fotografia, não apenas a descrição, mas também a explicação e aí entra uma perspectiva de futuro, de vir-a-ser, que não está na foto e sim no acontecimento que a foto retrata, e sua relação com o historiador. MICHAEL N. FRIED: há três grandes razões para que se realize o ensino da História da Matemática: 1. Humaniza a Matemática; 2. Faz com que a Matemática seja mais interessante, mais compreendida e mais acessível; 3. Permite uma visão maior dos conceitos, dos problemas e de suas resoluções.

3 3 1.2 Abordagem Filosófica no Ensino A História apresenta-se como uma forte aliada para a educação; todavia quando enfocada à luz da análise filosófica, a contribuição pode ser ainda maior. Lakatos, I. (1986/87) Defende a combinação da História da Ciência com a Filosofia da Ciência. Laudan, L. (1977) A evolução das idéias, dos problemas e de suas soluções é um processo interdisciplinar; O objetivo da Ciência é essencialmente a capacidade de resolver problemas; Uma concepção teórica está inserida em um contexto histórico e sujeita a tradições de pesquisa. Bicudo, M.A.V. e Garnica, A.V. (1999/2002/2003) Defendem a concepção filosófica numa perspectiva que aceite como Ciência procedimentos que conduzam à construção do conhecimento sustentados em critérios de rigor tais como obtenção, análise e interpretação dos dados, generalização dos resultados, construção de argumentações e articulação desses em torno de uma idéia sustentada pelo autor. Têm como núcleo da Filosofia da Educação Matemática o pensar abrangente, analítico, crítico e reflexivo, abordando os assuntos tratados pela Filosofia da Matemática sob o enfoque da Educação. 1.3 Abordagem Histórico-Filosófica no Ensino Muitos pesquisadores vêm defendendo a inclusão tanto da História da Ciência, quanto da Filosofia da Ciência na Educação. A contribuição de cada uma dessas áreas para o setor educacional é relevante; entretanto, acreditamos que a produção de um trabalho sob uma perspectiva que envolva simultaneamente as duas áreas, ou seja, uma abordagem de cunho Histórico- Filosófica, possa gerar um ambiente ainda mais favorável à análise e à reflexão de objetos de estudo, com vistas a perceber o processo dinâmico que permeia o conhecimento.

4 4 No campo das Ciências tal abordagem já vem sendo explorada há algum tempo, com produção de trabalhos e artigos na área: MICHAEL R. MATTHEWS: Ressalta a existência de uma larga crise no ensino contemporâneo de Ciências corroborada pela evasão tanto de professores quanto de alunos das salas de aula e também pelo alto índice de analfabetismo nas Ciências. Comenta que o ensino de ciências desenvolveu-se totalmente separado da história e da filosofia. Aspectos positivos da reaproximação de tais áreas: podem humanizar as ciências e aproximá-las dos interesses pessoais, éticos, culturais e políticos da comunidade; torna as aulas de ciências mais desafiadoras e reflexivas, desenvolvendo o pensamento crítico; contribuir para um entendimento mais integral da matéria científica, isto é, podem contribuir para a superação do mar de falta de significação ; podem melhorar a formação do professor auxiliando o desenvolvimento de uma epistemologia da ciência mais rica e mais autêntica, ou seja, de uma maior compreensão da estrutura das ciências bem como do espaço que ocupam no sistema intelectual das coisas (SCIENCE & EDUCATION, 1992, apud CAD.CAT. ENS. FÍSICA, 1995, p.165). IRINÉA L. BATISTA: Defende o trabalho com uma abordagem que envolva conjuntamente a História, a Filosofia e a Ciência. A abordagem Histórico-Filosófica contribui para: [...] a compreensão do porquê uma proposição é considerada comprovada, estabelecida como conhecimento, e como ela se relaciona com outras proposições na Física. Pensamos que o aluno/professor que é estimulado a pensar mediante algumas questões epistemológicas sobre um dado conteúdo, estará mais apto a explicar quaisquer proposições, conceituações, de maneira integrada e desenvolver, por meio de sua própria crítica, uma visão ampliada e consistente da atividade científica (BATISTA, 1998 apud ATAS do VI EPEF).

5 5 Acreditamos que as considerações feitas sobre tal abordagem podem refletir positivamente também na área da Educação Matemática e que o desenvolvimento de uma abordagem que trabalhe a análise e a reflexão de conceitos e idéias que permeiam os conteúdos matemáticos, estudados a partir do conhecimento de fatos colhidos na reconstrução histórica, pode oferecer condições, aos envolvidos no processo de ensino e aprendizagem, de extrapolar a concepção formalista, estabelecendo-se como um frutífero campo para a realização de investigações e como uma alternativa metodológica eficiente. Buscando uma síntese a partir dos referenciais teóricos apresentados, desenvolvemos uma investigação realizando a reconstrução histórica dos assuntos Sistemas de Equações Lineares e Determinantes, e produzimos uma Proposta Pedagógica sob uma perspectiva Histórico-Filosófica, utilizando o recurso da Transposição Didática dos Sistemas de Equações Lineares, por meio da reflexão e da análise epistemológica ou filosófica, fundamentada nos perfis estrutural e articulador, de conceitos, leis, teorias e temas afins, dos conhecimentos envolvidos na reconstrução histórica. O termo transposição didática, cujo criador e sistematizador foi Yves Chevallard, nos fornece subsídio para analisar toda a trajetória percorrida por um conhecimento, suas transformações e adaptações, partindo da criação e chegando ao ensino realizado em sala de aula. O pesquisador a define como: Um conteúdo de saber que tenha sido designado como saber a ensinar sofre a partir de então um conjunto de transformações adaptativas que vão torná-lo apto a ocupar um lugar entre os objetos de ensino. Este trabalho que transforma um objeto de saber a ensinar em um objeto de ensino é denominado de transposição didática (CHEVALLARD, 2000, p. 45). 2 PERSPECTIVA HISTÓRICO-FILOSÓFICA DOS ASSUNTOS DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E DETERMINANTES: NECESSIDADE DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Desde o começo da humanidade, tanto homens como mulheres vêm se deparando com situações que os levaram a buscar soluções plausíveis para resolverem seus problemas, com vistas a efetivarem sua sobrevivência e seu bem estar.

6 6 Tal busca foi forte o bastante para impulsionar a evolução e o desenvolvimento de nossa espécie. Assim, foram criados métodos e técnicas cada vez mais aprimoradas que facilitavam a sobrevivência humana, que exigiam o aprimoramento de habilidades como a organização, o controle e a sistematização concretizados, principalmente, após o surgimento da escrita. A criação e o desenvolvimento da escrita foi um marco na história da humanidade, pois permitiu às gerações posteriores, como a nossa, o acesso a informações de como povos antigos lidavam com os problemas que surgiam em seu cotidiano, embora muitos destes registros tenham sofrido desgastes e erosões com o passar do tempo. Houve registros que sobreviveram à deterioração causada pelo tempo. Um exemplo desse tipo de problema, produzido pelo povo chinês, encontra-se no capítulo VIII do livro de matemática de maior influência da China, escrito durante a dinastia Han, Chui-Chang Suan-Shu ou Nove capítulos sobre a arte matemática, datado de aproximadamente 200 a.c.: Três feixes de uma colheita de boa qualidade, dois feixes de uma de qualidade regular e um feixe de uma de má qualidade são vendidos por 39 dou. Dois feixes de boa, três de regular e um de má qualidade são vendidos por 34 dou. Um feixe de boa, dois de regular e três de má são vendidos por 26 dou. Qual o preço do feixe para cada uma das qualidades? (EVES, 1997, p.268). Como resolver tal problema? 3 MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Diversos métodos de resolução de Sistemas de Equações Lineares foram produzidos e sistematizados, por diferentes povos e em diferentes épocas, como por exemplo, o método de tentativas, de substituição, de eliminação, entre outros. Por que conhecer diversos métodos de resolução de sistemas?

7 7 O conhecimento de diversos métodos pode viabilizar a resolução de um determinado problema. Desse modo a utilização de correta de um método pode não só facilitar a resolução, como também torná-la mais rápida. De um modo geral os métodos trabalhados no Ensino Fundamental são os de: Tentativa; Adição; Substituição. Tais métodos são trabalhados com problemas que envolvem sistemas que contem no máximo duas equações e duas incógnitas. Todavia, no Ensino Médio problemas com uma quantidade maior de equações e incógnitas são trabalhados. Daí a necessidade de conhecer novos métodos que viabilizem a solução dos mesmos. Dentre os diversos métodos existentes, optamos por trabalhar com os de: Comparação; Eliminação; Regra de Cramer 2. A escolha dos métodos deveu-se à proximidade dos passos da resolução deles com os métodos já conhecidos pelos educandos, pois o processo envolvido no método de Substituição assemelha-se ao de Comparação e o de Adição ao de Eliminação. Acompanhe os esquemas abaixo que descrevem os passos de resolução de um sistema composto por duas equações e por duas incógnitas: 2 O desenvolvimento de tal método será abordado no item 4.

8 8 Método de Substituição Método de Comparação Isolar uma incógnita de uma equação Isolar uma determinada incógnita de duas equações Substituí-la em outra equação Colocá-las em condição de igualdade Encontrar o valor da segunda incógnita Encontrar o valor da segunda incógnita Substituir o valor encontrado na primeira equação, determinando o valor da primeira incógnita Substituir o valor encontrado em uma das equações, determinando o valor da primeira incógnita Esquema 1 - Analogia a entre métodos de resolução de Sistemas

9 9 Método de Adição Método de Eliminação Multiplicar a primeira equação pelo primeiro termo da segunda equação e a segunda equação pelo primeiro termo da primeira. Caso os sinais destes primeiros termos sejam iguais, multiplicar uma das duas equações pelo elemento neutro da multiplicação negativo (-1) e somar o resultado das duas equações. Multiplicar a primeira equação pelo inverso negativo do primeiro termo da segunda equação e somar o resultado obtido com a segunda equação. Encontrar o valor da incógnita restante. Encontrar o valor da incógnita restante. Substituir o valor encontrado na primeira equação, determinando o valor da segunda incógnita. Substituir o valor encontrado na primeira equação, determinando o valor da segunda incógnita. Esquema 2 - Analogia b entre métodos de resolução de Sistema Tais esquemas podem auxiliar os educandos a compreenderem, de modo mais efetivo, os processos envolvidos em cada método.

10 10 Vamos resolver o problema chinês utilizando um destes dois novos métodos? Resolução do problema Até este momento vimos que a humanidade imbuída de um caráter utilitarista ou não, no transcorrer do tempo tem se deparado com situações que levaram-na a criar métodos eficazes e práticos para solucionar problemas e que algumas pessoas, que habitavam diferentes localidades de nosso planeta e em tempos distintos, criaram métodos diferentes para resolver o mesmo tipo de problema, com a mesma competência. A escolha de um ou outro método já desenvolvido por alguns matemáticos é um ponto favorável que o processo histórico traz aos aprendizes da Matemática, pois não é nossa intenção reconstruir com estes todas as etapas de cada processo já sistematizado por aqueles, mas sim lhes mostrar como nossos antepassados lidaram com determinada situação, especificamente com casos que culminaram em Sistemas de Equações. Outro ponto positivo da análise epistemológica dos Sistemas de Equações consiste no reconhecimento da produção de algumas generalizações, que podem acabar originando outros assuntos, como a que o matemático japonês Seki Kowa e o alemão Leibniz encontraram ao trabalhar com sistemas. Tais pesquisadores conseguiram encontrar o mesmo método para eliminar os valores desconhecidos de um sistema de equações, embora tenham utilizado

11 11 processos cognitivos distintos e inseridos em culturas diferentes, descobrindo a gênese do processo que empregamos atualmente no cálculo de Determinantes. Essa é uma contribuição significativa que a recuperação de tal conhecimento, por meio da reconstrução histórica e da análise epistemológica dos assuntos, pode oferecer, dando condições para um maior entendimento e oportunizando uma melhor compreensão tanto da estrutura quanto das articulações que são estabelecidas no desenvolvimento do estudo. 4 NOVA GENERALIZAÇÃO 4.1 Takakazu Seki Kowa No ano de 1683, Kowa ( ) em seu manuscrito Kai Fukudai no Ho, demonstrou o desenvolvimento de um novo método algébrico de resolução de Sistemas de Equações, ao resolver um problema geométrico. A principal fonte utilizada para tal análise foi o livro do matemático e historiador Yoshio Mikami, The Development of Mathematics in China and Japan, do ano de OBJETIVO: Eliminar incógnitas de sistemas de equações com o intuito de resolver um problema geométrico. PROCESSO COGNITIVO: Escolha de um método de resolução Operações do método: Kyojutsu Aplicação em sistemas de equações Aplicação e m exemplo numérico Regra de sinais Koshiki Shajo

12 Gottfried Wilhelm Leibniz LEIBNIZ ( ), no ano de 1693, com o intuito de buscar uma boa notação para o registro de cálculos matemáticos que facilitasse o trabalho com as generalizações, descobriu um novo processo para eliminar as incógnitas de um Sistema de Equações Lineares. Ele compartilhou este seu trabalho com o Marquês de L HOSPITAL, por meio de duas correspondências. O texto base de tal análise foi extraído da coletânea de artigos originais Source Book in Mathematics, editada por David Eugene Smith, no ano de OBJETIVO: Mostrar a versatilidade do uso da notação numérica nas generalizações. PROCESSO COGNITIVO: Objeto de estudo: Sistema de Eq. Lineares Análise do resultado obtido Teorema Geral Regra Lei dos sinais CONSIDERAÇÕES: Estimulados por objetivos diferentes, encontraram o mesmo método para eliminar os valores desconhecidos de um Sistema de Equações. Analisando epistemologicamente, nota-se que a Análise Combinatória, funciona como um elemento estruturador para o trabalho de ambos. A investigação histórico-epistemológica oferece condições para analisar tanto a estrutura das teorias desenvolvidas, quanto as articulações internas e externas das mesmas, tornando possível conhecer como e o que levou Seki Kowa e Leibniz, praticamente na mesma época, a desenvolverem a gênese do pensamento que fundamenta a teoria, conhecida atualmente como Teoria dos Determinantes.

13 13 5 UTILIZAÇÃO DA NOVA GENERALIZAÇÃO NA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Representantes mais significativos: Girolamo Cardano ( ): mãe das regras, em Colin Maclaurin ( ): provavelmente sistematizou seu método em 1729; todavia publicado em Gabriel Cramer ( ): regra de Cramer, publicado em EXPOSIÇÃO LÓGICA E SISTEMATIZAÇÃO DOS DETERMINANTES Principais representantes: Alexandre-Théophile Vandermonde ( ): em 1771, publicou: Mémoire sur l élimination. Pierre Simon Laplace ( ): 1772, publicou seu Recherches sur lê calcul integral et sur lê sistème du monde. 6.1 Métodos de Resolução de Determinantes Pierre Sarrus ( ): DETERMINANTES TEOREMA DE LAPLACE (Qualquer ordem) REGRA DE SARRUS (Ordem inferior a quatro) MÉTODO DE SEKI KOWA (Ordem inferior a cinco) Repetição de colunas Repetição de linhas Multiplicação direta

14 14 7 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES A representação gráfica de um Sistema pode atuar como um método para solucioná-lo, bem como, uma maneira de visualizar a resolução algébrica, fortalecendo, deste modo, a noção conceitual de tal resolução. A análise algébrica e gráfica de um problema oferece uma condição maior de compreensão, pois mostram dois caminhos distintos para atingir o mesmo objetivo, ou seja, a resolução do problema. 8 DEFINIÇÃO DE DETERMINANTES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Vejamos a definição de um determinante de ordem três adaptado de Lima et al (1998, v.3, p.137) e também, de uma matriz de qualquer ordem: Dada uma matriz B de ordem 3, a1 b1 c1 B= a2 b2 c 2 a3 b3 c 3 (1) seu determinante é a soma de 6 = 3! parcelas, cada uma das quais é um produto de três fatores, pertencendo esses 3 fatores a linhas e colunas diferentes. Assim, cada uma das seis parcelas é um produto do tipo abc, com índices 1, 2, 3 aparecendo, cada um uma vez, em todas essas parcelas. A ordem em que esses índices aparecem é relevante. Ela corresponde às permutações de 1, 2, 3. As permutações 123, 312, e 231 aparecem nas parcelas precedidas do sinal (+), enquanto as permutações 213, 321,132 correspondem às parcelas precedidas do sinal ( ). As três primeiras são chamadas permutações pares. Elas são obtidas quando se tomam três números consecutivos quaisquer na seqüência (2) As outras são as permutações ímpares, que se obtêm trocando as posições de 2 elementos numa permutação par ou então escolhendo três números consecutivos quaisquer na seqüência (3) ou seja, Det B = abc abc abc abc abc abc (4) 1 3 2

15 15 Com relação a uma matriz geral, de ordem n x n, o determinante pode ser definido em outros termos, com o auxílio do teorema de Laplace, como Leon enuncia: O determinante de uma matriz A, n x n, denotado por det (A), é um escalar associado à matriz A, definido indutivamente como se segue: onde, a11 se n=1 det (A) = a 11 A 11 + a 12 A a 1n A 1n se n 1 1j 1+ j ( ) ( 1j ) A = -1 det M j = 1,...,n (5) (6) são os cofatores associados aos elementos na primeira linha de A (LEON, 1999, p. 65). Vejamos a definição de um Sistema de Equações Lineares, adotada atualmente: Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações do tipo: (*) a11x 1 +a12x 2 + +a1nx n =b1 a21x 1 +a22x 2 + +a2nx n = b2 M M M M a x +a x + +a x =b m1 1 m2 2 mn n m (7) onde a ij, com 1 i m e 1 j n, representam os coeficientes que podem ser números reais ou complexos e x 1,..., x n são as incógnitas. Uma solução do sistema ( ) é uma n-upla de números (x 1, x 2,..., x n ) que satisfazem simultaneamente estas m equações. Com a definição dos Sistemas de Equações Lineares e dos Determinantes, concluímos a reconstrução Histórico-Filosófica. Vimos que a humanidade tem desenvolvido estratégias criando generalizações e métodos para lidar com situações que surgem, buscando compreender todo o processo, com o intuito de encontrar a maneira mais eficiente, satisfatória e genérica possível.

16 16 9 CONSIDERAÇÕES FINAIS A reconstrução histórica dos assuntos de Sistemas de Equações Lineares e Determinantes revela-nos que eles podem ser abordados de forma independente, como acontece atualmente à luz da concepção formalista; contudo, o conhecimento da trajetória percorrida pelos três oferece-nos uma noção mais ampla e integralizadora dos mesmos. É importante ressaltar que o trabalho histórico defendido nessa investigação apresenta-se de forma não-linear, pois muitas idas e vindas acontecem na produção e sistematização de um conhecimento. Conhecendo a estrutura do quadro conceitual em que estão inseridos os assuntos estudados é possível compreender como se dá a produção de um determinado conhecimento que se desenvolve por meio do estabelecimento de articulações com outros assuntos, inserindo-se em uma teoria mais abrangente e, conseqüentemente, num corpo maior da ciência estudada. Tais características que revelam o caráter dinâmico e estrutural do estudo são enfatizadas pela abordagem Histórico-Filosófica e apresentam-se como sendo de grande importância ao ensino e também à aprendizagem. Desse modo, ressaltamos que tal perspectiva mostra-se como uma alternativa possível e eficiente para ser trabalha em sala de aula. PALAVRAS-CHAVE: Abordagem Histórico-Filosófica, Educação Matemática, Proposta Pedagógica. 10 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BATISTA, I. L. A concepção física de espaço e o ensino de mecânica. Dissertação de Mestrado. São Paulo: Instituto de Física USP, A elaboração e os desdobramentos da Teoria Universal de Fermi. In: VI ENCONTRO DE PESQUISA EM ENSINO DE FÍSICA, Florianópolis. ATAS VI EPEF (CD-ROM), A Universalização de Teorias e o Ensino da Física do Século XX. In: VII ENCONTRO DE PESQUISA EM ENSINO DE FÍSICA, Florianópolis. ATAS (CD-ROM), 2000.

17 17 BICUDO, M.A.V. (org.). Pesquisa em educação matemática: concepções & perspectivas. São Paulo: Editora UNESP, BICUDO, M.A.V., GARNICA, A.V.M. Filosofia da educação matemática. 2 ed. Belo Horizonte: Autêntica, BICUDO, M.A.V., GARNICA, A.V.M. In BICUDO, M.A.V. (org.). Filosofia da educação matemática: concepções & movimento. Brasília: Plano Editora, BOYER, C.B. História da matemática. Tradução: Elza F. Gomide. Edgard Blücher, São Paulo, CHEVALLARD, Y. La transposición didáctica. Del saber sabio al saber enseñado. Tradução: Claudia Gilman. 1.reimp. 3 ed. Buenos Aires: AIQUE, D AMBRÓSIO, U. Bases historiográficas e metodológicas para uma história e filosofia das ciências na América Latina. Episteme. Porto Alegre, v. 3, n. 6, p , EVES, H. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. 2. ed. Campinas:UNICAMP, FREID, M.N. Can Mathematics Education and History of Mathematics Coexist? In: Science & Education, nº10, p , LAKATOS, I. Pruebas y refutaciones: La lógica Del descubrimiento matemático. 2.ed. Versão espanhola de Carlos Solís. Madrid: Alianza Editorial LAKATOS, I. Matemáticas, ciencia y epistemología. 2.reimpressão. Versão española de Diego Ribes Nicolas. Madrid: Alianza Editorial, LAUDAN, L. Progress and its problems: towards a theory of scientific growth. Routledge & Kegan Paul: London en Henley, LEIBNIZ, G.W. Cartas I e II à L Hospital. In: SMITH, D.E. Source book in mathematics. 1th ed. 4 impression. New York and London Mcgraw Hill Book Company, Inc, p LEON, S. J. Álgebra linear com aplicações. 4ª ed. Tradução: Valéria de Magalhães Iorio. Rio de Janeiro: Editora LTC,1999. LIMA, E.L. et al. A matemática do ensino médio [da] Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, v.3. MATTHEWS, M.R. História, filosofia e ensino de ciências: a tendência atual de reaproximação. In: Science & Education, 1(1), p , Tradução: Andrade, C.M., Cad.Cat.Ens.Fís., v.12, n.3: p , dez.1995.

18 18 MIGUEL, A. Três estudos sobre história e educação matemática. Tese de Doutorado, Faculdade de Educação, UNICAMP, MIKAMI, Y. The development of mathematics in China and Japan. New York, N.Y.: Chelsea Publishing Company, p SMITH, D.E. Source book in mathematics. 1th ed. 4 impression. New York and London Mcgraw Hill Book Company, Inc, p VIANNA, C.R. Matemática e História: algumas relações e implicações pedagógicas. Dissertação de Mestrado. Faculdade de Educação: USP, ZÚÑIGA, A. R. Sobre la ensenanza de la historia de las matemáticas: ideas de metodo. Las Matemáticas en Costa Rica. In: Memorias Tercer Congreso Nacional de Matemática. San José-Costa Rica, Octubre de 1990, p