Capítulo 3 Dinâmica dos Fluidos Elementar e Equação de Bernoulli

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1 Caítulo Dinâmica dos Fluidos Elementar e Equação de Bernoulli. Princíios Fundamentais Ao longo deste caítulo, consideraremos: Umequenoelementodevolumedofluido.Pequenose comarado com as dimensões do fluido, orém com tamanho suficiente ara conter um número raoável de moléculas. Esse elemento é chamado de artícula fluida. Escoamentos invíscidos (viscosidade nula. Alicação da segunda Lei de Newton, F = ma ao movimento da artícula fluida.

2 Conceitos Fundamentais Escoamento Transorte de Massa num fluido no qual existe deslocamento de massa relativo de suas diversas artes. Ocorre, em geral, em condutos, mas também ode ocorrer em outros locais, como o movimento do ar atmosférico, or exemlo. Em um escoamento, organia-se no fluido um camo vetorial de velocidades. Escoamento Ideal ou Permanente Ocorre quando o fluido em movimento tem viscosidade nula.

3 Linhas de corrente Sãolinhasque,acadaontoocuadoorumaartícula fluida num escoamento, são tangentes à velocidade. Isto é, tangentes ao vetor velocidade da artícula fluida. Outros Tios de Escoamento (deendem da definição de linhas de corrente. Estacionamento Laminar Ocorrem quando as linhas são erfeitamente definidas e estacionáriasaolongodo camo. (vídeo.

4 Escoamento turbilhonar ou turbulento Ocorrem quando as linhas de corrente não são estacionarias. Forma-se, nesse caso, turbilhões (vórtices. Furacão Katrina 5/08/005 4

5 A assagem do escoamento Laminar ara o turbulento, num mesmo conduto ou região, ara um mesmo fluido, ocorre ara um valor crítico do número de Reynolds, Re, definido or Re D ρ é a massa esecífica do fluido, μ é a viscosidade dinâmica, é a velocidade média do escoamento. Déodiâmetrodotubo. (vídeo. 5

6 Escoamento Newtoniano É definido ara os escoamentos nos quais a viscosidade é constante e diferente de ero. Nesse caso, se o escoamento é laminar há, no camo de velocidades, um gradiente da velocidade escalar roorcional à tensão de cisalhamento. O gradiente de velocidade varia linearmente na direção erendicular às linhas de corrente. Escoamento Plástico (não Newtoniano Ocorre quando não há roorcionalidade entre a variação da velocidade e a tensão de cisalhamento. Só há escoamento, quando a tensão de cisalhamento ultraassa um certo valor conhecido como onto de cedência. A artir daí, ode ou não haver variação linear da velocidade com a tensão. 6

7 Escoamento Potencial Ocorre quando o camo de velocidade do escoamento admite um otencial. Nesse caso, existe uma função otencial escalar, A tal que, grad A 7

8 . Alicação da a Lei de Newton De modo geral, uma artícula fluida sofre acelerações e desacelerações durante um escoamento. Como os escoamentos são invíscidos, o movimento do fluido é rovocado elas forças da gravidade e de ressão. Alicando a segunda lei de Newton, (Força líquida na artícula fluida devida a ressão + (força na artícula fluida devida a gravidade = (massa da artícula fluida x (aceleração da artícula F R = m a 8

9 F=ma Pressão média sobre a artícula + Força da = x gravitação Massa da Aceleração média sobre artícula da artícula a artícula 9

10 Descrevendo o movimento O movimento é descrito em função da velocidade da artícula fluida. Quando uma artícula fluida muda de osição, ela segue uma trajetória articular cuja forma é definida ela sua velocidade. As trajetórias são as linhas de corrente e são tangentes aos vetores velocidades das artículas em cada onto. Ou seja, são tangentes aos vetores do camo em cada onto. 0

11 Definindo um novo referencial Sistema s - n s = s(t é a distância medida sobre a linha de corrente a artir de uma origem. O versor dessa coordenada, ŝ, tem amesmadireçãodavelocidadeemcadaonto. a direção n é definida elo versor ň, erendicular à linha de corrente em cada onto do escoamento. Eleaontaaraocentroda curva. R = R (s éoraiodecurvatura local da linha de corrente.

12 A distância ao longo da linha de corrente está relacionada com a velocidade da artícula fluida. ds dt A aceleração ao longo da linha de corrente, a s, é a derivada temoral da velocidade. a s d dt s ds dt s Por considerações físicas, a aceleração na direção erendicular à linha de corrente é a aceleração centrífuga sobre a artícula. a n R e R (raio de curvatura odem variar ao longo da trajetória.

13 . Alicação da a Lei de Newton ao longo da linha de corrente FS mas m m FS s s

14 olume da artícula, Por outro lado, Onde 4

15 Análise da força devida à ressão Pressão no centro da artícula, Pressão na face esquerda, Pressão na face direita, Pressão na face suerior, Pressão na face inferior, 5

16 Exansão da ressão em série de Taylor 6

17 As ressões nas faces são obtidas or exansão da ressão em série de Taylor. Assim, Força líquida devida à ressão na artícula sobre a linha de corrente 7

18 Assim, Portanto, 8

19 A equação É válida ara escoamentos ermanentes, invíscidos e incomressíveis ao longo da linha de corrente. Tem a seguinte interretação física: A variação da velocidade de uma artícula fluida é rovocada or uma combinação adequada do gradiente de ressão com a comonente do eso da artícula na direção da linha de corrente. Ainda ode ser escrita como, 9

20 Força da gravitação média sobre a artícula + Pressão = x média sobre Massa da Aceleração a artícula artícula da artícula Uma mudança na velocidade da artícula imlica numa combinação aroriada do gradiente de ressão e do eso da artícula ao longo da linha de corrente. 0

21 Exemlo. A figura abaixo mostra algumas linhas de corrente do escoamento, em regime ermanente, de um fluido invíscido e incomressível em torno de uma esfera de raio a. Sabese, utiliando um tóico mais avançado de Mecânica dos Fluidos, que a velocidade ao longo da linha de corrente A-B édadaor Determine a variação da ressão entre os ontos A (x A =- e A = o eb(x B = -a e B =0 da linha de corrente mostrada na figura.

22 Solução

23 Continuando

24 Continuação 4

25 Continuação 5

26 A equação de Bernoulli Considerando a equação Notemos que ao longo da linha de corrente (trajetória da artícula fluida, 6

27 Substituindo esses resultados em 7

28 A equação é a chamada equação de Bernoulli, válida ao longo da linha de corrente e ara escoamentos invíscidos, ermanentes e incomressíveis. Aesar das restrições, é extremamente imortante no contexto da Mecânica dos Fluidos. 8

29 Observações sobre a equação de Bernoulli constante ao longo da linha de corrente Corresonde a uma integração geral da segunda Lei de Newton, F =ma. Não é necessário conhecer detalhadamente a distribuição de velocidades no escoamento ara determinar a diferença de ressão entre dois ontos do escoamento. Porém, é reciso conhecer as condições de contorno nos ontos. É necessário, também, conhecer a variação de velocidades ao longo da linha de corrente. 9

30 Exercícios Considere o escoamento de ar em torno de um ciclista que se move em ar estagnado com velocidade o (veja figura. Determine a diferença entre as ressões nos ontos ( e ( do escoamento. Considere que o ciclista tenha uma velocidade de 40km/h. 0

31 Solução

32 Exercícios A figura abaixo mostra um jato de ar incidindo numa esfera (vídeo.. Observe que a velocidade do ar na região róxima ao onto é maior do que aquela róxima ao onto quando a esfera não está alinhada com o jato. Determine, ara as condições mostradas na figura, a diferença de ressão nos ontos e. Desree os efeitos gravitacionais. (ídeo.

33 Solução

34 Solução 4

35 . Alicação da a Lei de Newton na direção normal a linha de corrente Como vimos anteriormente, a aceleração na direção n é a centrífuga. Isto é, m R R F n Por outro lado, de acordo com a Figura à direita, F n W n F Pn Lembrando que estamos considerando que sobre a artícula fluida atuam aenas a força gravitacional e as de ressão. 5

36 Sendo, E, seguindo o mesmo raciocínio da seção., 6

37 Daí, temos Portanto, 7

38 A equação cos n R É válida ara escoamentos ermanentes, invíscidos e incomressíveis ao longo da direção erendicular à linha de corrente. Tem a seguinte interretação física: A variação da velocidade de uma artícula fluida é rovocada or uma combinação adequada do gradiente de ressão com a comonente do eso da artícula na direção normal à linha de corrente. 8

39 Agora, considerando a equação Notemos que ao longo da direção normal à linha de corrente, Assim, obtemos 9

40 Exercícios A figura abaixo mostra dois escoamentos com linhas de correntes circulares. As distribuições de velocidade são Onde C e C são constantes. Determine a distribuição de ressões, = (r, sabendo que = o em r = r o. 40

41 Resolução Ponderações: - Consideraremos o fluido invíscido, incomressível e com regime ermanente. - Suondo que as linhas ermaneçam no lano xy, então, d/dn =0. - n é oosto à direção radial, logo, - R=r. n r Daí, considerando a equação que d dn n R, vem r r 4

42 4 Paraocaso(a, Paraocaso(b, ( ( ( 0 0 r r C r r C rdr C dr r r C r C r r r r r / ( 0 0 r r C r r C r dr C dr r r C r r C r r r r

43 Comarando os resultados caso (a, caso (b, C C ( r r0 0 0 r0 r ariação da ressão em função da distância radial, r, ara os casos (a e (b. 4

44 No caso (a, a ressão aumenta indefinidamente, C ( r r0 0 Reresenta a rotação de um coro rígido (um fluido no qual as tensões de cisalhamento são nulas. No caso (b, a ressão se aroxima de um valor finito quando r, aesar das linhas de corrente serem iguais às do caso (a C r0 r Reresenta um vórtice livre, que é a aroximação de um tornado ou água de ia. 0 44

45 oltando à análise da equação d dn n R Integrando-a, d dn dn n dn dn R R dn Constante à ao longo da direção linha de corrente normal 45

46 Exercício A água escoa na curva bidimensional mostrada na figura abaixo. Note que as linhas de corrente são circulares e que a velocidade é uniforme no escoamento. Determine a ressão nos ontos ( e ( sabendo que a ressão no onto ( é igual a 40 kpa. 46

47 Resolução Considerando um onto (0 na mesma direção dos ontos (, ( e (. 47

48 Ponderações: -Deacordocomafigura,n=K=>dn = d, - R=R( =-Z, Como desejamos encontrar a ressão ao longo da direção erendicular à linha de corrente, devemos considerar a equação dn R Constante à ao longo da direção linha de corrente normal EumontoZ 0 qualquer, a artir do qual consideraremos as variações de velocidade. 48

49 49 em que, ( ln( ( d d d d d

50 como = Pa, =-6e =-5,vemque (0 ln( 5 ln( 6 980( ln( 5/ kpa Analogamente, temos ara o onto (, ( ln( como = Pa, =0e =,vemque (0 ln( 4 ln( 6 980( 0,7 kpa ( Esta é uma ressão relativa 50

51 .4 Interretações Físicas Forma equivalente da equação de Bernoulli Constante ao longo da linha de corrente Dividindo esta equação or, g Constante ao longo da linha de corrente A dimensão de cada termo da última equação é de comrimento (L. 5

52 g Constante ao longo da linha de corrente Otermo/γ é chamado de carga de ressão e reresenta a altura de uma coluna de fluido necessária ara roduir a ressão. /g é a carga de velocidade, e reresenta a distância vertical ara que o fluido acelere do reouso até a velocidade numa queda livre (desreando o atrito c/ar. O termo é relacionado com a energia otencial da artícula e é chamado de carga de elevação. 5

53 Exercícios Uma tubulação, com diâmetro igual a 0 mm, transorta 68 m /h de água numa ressão de 4 bar. Determine: a A carga de ressão. b A carga de velocidade. c A carga de elevação. d A carga total considerando como lano de referência um lano localiado a 6, m abaixo da tubulação. ( bar = 00 kpa 5

54 Resolução Considerando a equação, g Constante ao longo da linha de corrente temos: a Carga de ressão, 400kPa 980 N / m 40,7 m 54

55 55 b Carga de velocidade, m g e s m Portanto s m s m h m aão Daí Área elocidade A t A t temo olume aão 0,8 9,6 (,,, /,, (0,05 0, , (? g

56 c Carga de elevação. Corresonde, neste caso, a =(6, + 0,0 m = 6,0 m. Está relacionado com a energia otencial da artícula, como veremos a seguir. d Carga total, g Constante ao longo da linha de corrente g ,8 (6, 0,0 47,m 56

57 Considere o escoamento incomressível, invíscido e que ocorre em um regime ermanente mostrado na figura abaixo. As linhas de corrente são retilíneas entre as seções A e B e circulares ente as seções C e D. Descreva como varia a ressão entre os onto ( e ( e entre os ontos ( e (4. 57

58 58 Solução EntreasseçõesAeB,R. Logo, Analisando os dados do roblema, = 0 (ressão relativa na suerfície livre do escoamento, e também odemos considerar = h -. Daí, Que é um resultado já conhecido. constante dn R ( h

59 59 EntreasseçõesCeD,R=, edn = -d. Logo, 4 = 0 (ressão relativa na suerfície livre do escoamento, e também odemos considerar 4 = h 4-. Daí, ( ( d R d R , (, ( ( d R h como d R ou d R d R d R o o É reciso saber como e variam com. eja o exercício da ágina 40.

60 .5 Pressão Estática, Dinâmica, de estagnação total Cada termo da equação de Bernoulli reresenta uma força or unidade de área. Constante ao longo da linha de corrente é ressão termodinâmica do fluido. Para medi-la, é reciso se movimentar solidariamente ao fluido. Por isso, também é chamada de ressão estática. ρ /éaressãodinâmica,jáqueestárelacionadacoma velocidade. γ é a chamada ressão hidrostática, relacionada à altura da coluna do fluido. A soma dessas ressões é chamada de ressão total. 60

61 Disositivos ara medir as ressões Alicando Bernoulli ( e ( a entre equação os ontos de Como H A linha de corrente que assa elos ontos ( e ( é chamada de linha de corrente de estagnação. 0 ( onto e de estagnação 6

62 Para objetos simétricos, o onto de estagnação está localiado à frente. Como em uma esfera, or exemlo. Em objetos não simétricos, o onto de estagnação deende de fatores como a for- Ma do objeto, or exemlo. 6

63 Tubo de Pitot Estático Características: - Dois tubos concêntricos; - Ambos conectados a medidores de ressão nos ontos ( e (4; - O tubo externo ossui furos, nos quais a ressão é ; -O tubo central mede a ressão de estagnação; 6

64 Quando imerso em um escoamento com regime ermanente, invíscido e incomressível, cujas dimensões são muito maiores que o tubo: - = = = 4 ; - e são a ressão e a velocidade no montante (antes do onto (; - ; - ; 4 Assim, 4 ( 4 64

65 Exemlo A Figura abaixo mostra um avião voando a 60 km/h numa altitude de 000 m. Admitindo que a atmosfera seja adrão, determine a ressão longe de avião (onto (, a ressão no onto de estagnação do avião (onto (, e a diferença de ressão indicada elo tubo de Pitot que está instalado na fuselagem do avião, Tubo de Pitot estático 65

66 Resolução De acordo com a tabela C do Young, ara: h = 000 m, = 70, kpa e ρ = 0,909 kg/m. No onto de estagnação, = 0 e = 70,0 7,0 kpa 0,909(44,44 A ressão na entrada do tubo Pitot é igual a, e a ressãonotuboexternoé.daí, 896 Pa 66

67 Ponderações finais sobre o tubo de Pitot estático: - Como ρ = /RT, variações de ressão e de temeratura oderão roduir variações na massa esecífica. - Para velocidades relativamente baixas, a raão entre as ressões absolutas é aroximadamente igual a. No exemlo anterior, / = 0,987. Assim, a variação da massa esecífica é desreível. - Para velocidades muito altas é reciso considerar elementos de escoamentos comressíveis. 67

68 .6 Exemlos de Alicações da Equação de Bernoulli Em todos os exemlos que iremos abordar, consideraremos: - Escoamentos em regime ermanente; - Escoamentos invíscidos (viscosidade nula; - Escoamentos incomressíveis, ρ = constante. Com boa aroximação, muitos escoamentos de interesse em física, química e engenharias odem ser estudados a artir dessas considerações. 68

69 .6. Jato livre Consideremos um jato de líquido de diâmetro d escoando através de um bocal com velocidade. = 0 (ressão relativa = 0 (tanque largo = = 0 (jato livre na atmosfera 69

70 70 Alicando a equação de Bernoulli entre os ontos ( e (. Como γ = ρg, vem que gh gh h h h (

71 7 Outras Considerações. = = 0 (jato livre, fora na atmosfera = γ( h-l (ressão relativa = 5 = 0 (jato livre na atmosfera Alicando a equação de Bernoulli entre os ontos ( e (5. ( ( H h g

72 À altura da abertura da descarga, localia-se o lano da jusante. À altura da suerfície livre do tanque, localia-se o lano da montante. 7

73 ena Contracta Se o contorno do bocal não for suave, o diâmetro do jato, d j, é menor do que o diâmetro do bocal, d h. Este fenômeno é chamado de ena Contracta. 7

74 Coeficiente de Contração, C C, C C A A j h A j é a área da seção transversal do jato (na vena contracta. A h é a área da seção transversal da seção de Descarga (bocal. 74

75 .6. Escoamentos confinados Características gerais: O fluido está confinado fisicamente, or exemlo, or aredes; A ressão não ode ser medida diretamente; O Escoamento dever ocorrer em regime ermanente, isto é, não ode haver aumento ou diminuição da quantidade de fluido no volume; A taxa de fluido que escoa ara dentro do volume deve ser igual à taxa de fluido que escoa ara fora; 75

76 aão em volume, Q volume temo t t A A (m /s no SI aão em massa na seção de descarga ou entrada do fluido, m massa temo m t olume t Q (kg/s no SI m Q A 76

77 Equação da continuidade (Primeira versão Sejam: A a área da seção de entrada de fluido no volume (área da fontee A a área da seção de saída (área do sorvedouro. a velocidade média com a qual o fluido escoa ara dentro do volume na direção normal a A e avelocidade média com a qual o fluido escoa ara fora do volume na direção normal a A. 77

78 Os volumes que assam or A e A durante um intervalo de temo δt são: olume A t A t A A Como Q volume / temo Q olume t A A ou Q A ou, Q ainda, A, A Q A e Q Q 78

79 Exercícios A figura abaixo mostra um tanque (diâmetro D =,0 m que é alimentado com um escoamento de água roveniente de um tubo que aresenta diâmetro, d, igual a 0, m. Determine a vaão em volume, Q, necessária ara que o nível de água no tanque, h, ermaneça constante. 79

80 80 Considerando o escoamento invíscido, incomressível e de regime ermanente, Como em que h atmosfera com a em contato estão ( 0 (* : gh h

81 8 O nível da água ermanece constante (h = constante, orque existe uma alimentação de água no tanque. Portanto, (4* 4 4 (*, (* (* 4 4 (* D d d D em De d d A D D A A A Q Q

82 8 De (4* e (*, A vaão é, ortanto, s m D d gh gh D d gh D d gh D d / 6,6 ] (0,/ [ 9,8 ] / ( [ s m A A Q / 0,049 (6,6 (0, 4

83 A figura a seguir mostra o esquema de uma mangueira com diâmetro D = 0,0 m que é alimentada, em regime ermanente, com ar roveniente de um tanque. O fluido é descarregado no ambiente através de um bocal que aresenta seção de descarga, d, igual a 0,0 m. Sabendo que a ressão no tanque é constante e igual a,0 kpa (relativa e que a atmosfera aresenta ressão e temeratura adrões, determine a vaão em massa e a ressão na mangueira. 8

84 84 Alicando a equação de Bernoulli nos ontos (, ( e (,,, ( 0 ( 0 ( 0 e Assim Daí atmosfera livre jato grande tanque horiontal mangueira

85 Para calcularmos a massa esecífica, RT [( 0 0 Pa] 86,9 Jkg / K [(5 7 K], / kg m Note que devem ser usadas ressões e temeraturas absolutas (lei dos gases ideais. Desta forma, fica, (, m / s,6 A vaão em volume é, Q Q A d 4 5,40 m (0,0 4 / s (69 85

86 Notemos que o valor de bocal, não deende do formato do A carga de ressão no tanque, 000 Pa 9,8m / s,6kg / m 4m A carga de ressão é convertida em carga de velocidade na seção de descarga, vejam g (69 m / s 9,8m / s 4m Calculo da ressão na mangueira, onto (. o continuidade, a eq. A ( / 4 d d 0,0 A A (69 7, 67 A ( / 4 D D 0,0 m s 86

87 Continuando,,0 0 (,6(7,67 96 N / m O decréscimo de ressão do onto ( até o onto ( acelera o ar e aumenta sua energia cinética. A raão entre a variação de ressão no ( e entre ( e ( /( = 0,97 em uma variação inexressiva da massa esecífica, isto é, ρ ode ser considerado constante. 87

88 A figura a seguir mostra o escoamento de água numa redução. A ressão estática em ( e em ( são medidas com um manômetro em U invertidos que utilia óleo, de densidade SG óleo, como fluido manométrico. Nestas condições, determine a altura h do manômetro. 88

89 89 Admitindo que o escoamento seja invíscido, ermanente e incomressível, odemos alicar a equação de Bernoulli nos ontos ( e (. Admitiremos também que γ e ρ são o eso esecífico e a massa esecífica da água. (* (, (*,, / ( / (,,, (* 4 4 D D D D vem que em substituindo Daí D D D D A A daí A A Q Além disso

90 90 A equação fornece a diferença de ressão medida elo manômetro. Dos estudos do caítulo, (4*, (* ( 4 4 h Logo h h óleo óleo óleo 4 ( D D

91 9 De (4* em (* (6*,, (5* ( ( óleo óleo óleo óleo óleo óleo óleo óleo óleo óleo óleo óleo SG g SG g Daí SG SG e g Mas h h h h

92 9 De (6* em (5* Combinando as equações (7* e (* (7* ( ( ( h SG h SG h óleo óleo (8* (, (, ( ( ( ( óleo óleo óleo SG g D D h Finalmente g como D D h SG D D h SG

93 9 Se desejável, ou conveniente, odemos inserir a vaão em volume, Notemos que γ( não interfere no valor de h, mas sim no valor de. γ( ode ser escrito em função da deflexão, θ, do manômetro. ( / ( (, 4 4 óleo SG óleo g D D A Q SG g D D h Assim A Q A Q

94 Em geral, em escoamentos como o anterior, a equação de Bernoulli mostra que um aumento de velocidade é acomanhado de uma diminuição da ressão. Cavitação Ocorre em escoamentos de líquidos nos quais as variações de velocidades causam variação consideráveis de ressão. Neste caso, a ressão em um onto é reduida à ressão de vaor e o líquido sofrerá evaoração. Isto ode ocorrer devido a uma redução da área disonível ara o escoamento. 94

95 A combinação entre a ressão, temeratura e velocidade resulta na liberação de ondas de choque e micro-jatos altamente energéticos, causando a aarição de altas tensões mecânicas e elevação da temeratura, rovocando danos na suerfície atingida. 95

96 96 Alicando a equação de Bernoulli em dois ontos da mesma linha de corrente: Como = Tem-se assim, a condição ara que ocorra cavitação. vaor

97 Pressão de vaor e v de alguns líquidos Massa esecífi ca Pressão de vaor kg/m N/m (abs Tetracloreto de carbono 590,E+04 Pressão de vaor da água em função da temeratura Álcool etílico 789 5,9E+0 Gasolina 680 5,5E+04 Glicerina 60,4E-0 Mercúrio 600,6E-0 Óleo SAE Água do mar 00,77E+0 Água 999,4E+0 Torr = mmhg =, Pa 97

98 Usos da cavitação Tratamento de cálculos renais. Limea de suerfícies. Proulsores a suercavitação. 98

99 Exercício A figura abaixo mostra um modo de retirar água, a 0 o C, de um tanque grande. Sabendo que o diâmetro da mangueira é constante, determine a máxima elevação da mangueira, H, ara que não ocorra Cavitação no escoamento de água na mangueira. Admita que a seção de descarga da mangueira está localiada a,5 m abaixo da suerfície inferior do tanque e que a ressão atmosférica é,0 bar (abs. 99

100 00 Alicando a equação de Bernoulli nos ontos (, ( e (, suondo que os três estejam na mesma linha de corrente. s m g Daí em contato com a atmosfera relativa m H relativa largo tanque m / 0,8,5] ( [4,5 9,8 (, ( 0,5 ( 0 ( 0 4,5

101 Como o diâmetro da mangueira é constante, A A 0,8 m / s (* Entre os ontos ( e (, ( H H (* A0 o C, a ressão absoluta do vaor d água é,8 kpa. Na equação de Bernoulli, entretanto, usa-se a ressão relativa.,8kpa 0, kpa 99 kpa (* 0

102 Substituindo (* e (* em (*, vem que, 990 H 8,7 m 980(4,5 H 000(0,8 Se H 8,7 m, ocorrerá formação de bolhas em ( e o escoamento cessará. Se as ressões absolutas tivessem sido consideradas, o resultados seria o mesmo. Os resultados encontrados indeendem do diâmetro do sifão. 0

103 .6. Medida de aão Um modo efetivo de se medir a vaão em volume é introduindo algum tio de restrição ao escoamento. Para todos os casos, a equação de Bernoulli é alicável, com =. e Q A A 0

104 04 Continuando, A vaão, então, ode ser dada or ] / ( [ (,, ( A A A A Daí A A e / 4 / ] / ( [ ( ] / ( [ ( D D A Q ou A A A Q A Q

105 Exercício Querosene (densidade = 0,85 escoa no medidor de enturi mostrado na figura abaixo e a vaão em volume variade0,005a0,050m /s.determineafaixadevariação da diferença de ressão medida nestes ontos ( -. 05

106 06 Como acabamos de ver, Por outro lado, 4 / 4 ] / ( [, ] / ( [ ( A D D Q Logo D D A Q / ,85 m kg SG O H

107 Considerando a vaão mínima, Q = 0,005 m /s 4 (0, [ (0,06 / 0, ], 6 kpa [( / 4 (0,06 ] Considerando a vaão máxima, Q = 0,050 m /s 4 (0, [ (0,06 / 0, ] 6 kpa [( / 4 (0,06 ] Assim,,6 kpa 6 kpa 07

108 08 aões em volume em calhas e canais abertos = = 0 Já que estão em contato a atmosfera. Considerando que os ontos ( e ( estejam na mesma linha de corrente, temos,

109 09 Continuando, ( (*,(* (* (* ( ( ( ( ( g em Logo b A b A Q e g g / ( (,., / ( ( ( g b Q Portanto A Q mas g g

110 O resultado, Q b g ( ( / Mostra que a vaão em volume deende da jusante,, e nãodaaberturadacomorta,a. Isto orque o fluido não é caa de faer uma curva de 90 o. O coeficiente de contração é C C a Um valor tíico ara C C é 0,6 na faixa 0 < a/ < 0,, masovalordec C cresce raidamente quando a relação a/ aumenta. 0

111 Exercício A água escoa sob a comorta desliante mostrada na figura abaixo, estime o valor da vaão em volume or unidade de comrimento do canal.

112 Como vimos, Q b g ( ( / Não é fornecido, mas sabemos que, a/ =0,6, ortanto, dentro do intervalo 0 < a/ < 0,. Assim, vamos admitir que C C = 0,6. Desta forma, odemos estimar, C C a 0,60,8 0,488m Daí, Q b 0,488 9,8(5 0,488 (0,488/ 5 4,6m / s

113 Em temo, se for ossível assumir >>, então, obteríamos, / 9( 4,8 6, 6 / ( 4,8 / 4,8 s m Q m b Como s m b Q ou s m g b Q

114 .7 Linha de Energia, ou carga total, ou Pieométrica A equação g Constante ao longo da linha de corrente Também é uma equação de conservação de energia Mecânica. A equação estabelece que a soma das cargas de ressões ermanece constante ao longo da Linha de corrente. Esta constante é chamada de carga total, H, isto é. g H 4

115 Interretação geométrica A elevação, H, corresonde à linha de energia e é obtida ela ressão de estagnação medida no tubo de Pitot. 5

116 A ressão de estagnação fornece a medida da carga (ou energia total do escoamento. A ressão estática medidas elos tubos ieométricas mede a soma da carga de elevação, /γ +, e é denominada carga ieométrica. O lugar geométrico das elevações obtidas com um tubo de Pitot num escoamento é denominada de linha de energia. Se o escoamento for ermanente, invíscido e incomressível, a linha de energia é aralela à horiontal local e assa ela suerfície livre do líquido. Se a velocidade do fluido aumenta ao longo da linha de corrente, a linha ieométrica não será horiontal. 6

117 A linha ieométrica dista /g da linha de energia. A distância entre a tubulação e a linha ieométrica indica qual a ressão no escoamento. 7

118 Se o trecho da tubulação estiver acima da linha ieométrica, a ressão é negativa (abaixo da ressão atmosférica. Se o trecho da tubulação estiver abaixo da linha ieométrica, a ressão é ositiva (acima da ressão atmosférica. Estes dois fatos nos ermitem, se conhecida a linha ieométrica, identificar as regiões nas quais as ressões são ositivas ou negativas. 8

119 Exercício A figura abaixo mostra a água sendo retirada de um tanque através de uma mangueira que aresenta diâmetro constante. Um equeno furo é encontrado no onto ( da mangueira. Nós identificaremos um vaamento de água ou de ar no furo. 9

120 Se < o (ressão atmosférica, haverá vaamento de ar ara o escoamento. Se > o (ressão atmosférica, haverá vaamento de água da mangueira. Carga total é constante. Diâmetro da mangueira é constante, logo Q = A = const. Se a válvula estiver aberta, a linha ieométrica estará /g abaixo da linha de energia (a mesma altura da descarga/válvula. Se a válvula estiver fechada, a linha ieométrica é a mesma da linha de energia. Todos os ontos da mangueira tem ressão menor que atmosférica. Portanto, vaará ar ara o escoamento. 0

121 .8 Restrições ara utiliação da equação de Bernoulli Como semre, o escoamento deve ser ermanente, invíscido e incomressível. Pressão de estagnação ressão estática = ρ /, desde que a massa esecífica ermaneça constante. Para um gás erfeito, o escoamento só ode ser considerado incomressível se: -T=5 o C; -Mach=0, - c (velocidade do som = m/s Assim, um escoamento com = c x Mach = 96 m/s ainda ode ser considerado incomressível.

122 A equação de Bernoulli só se alica ara ontos de mesma linha de corrente e não ode haver sumidouros ou fontes de energia. Disositivos mecânicos como turbinas (sumidouros ou bombas (fontes de energia requerem que a equação de Bernoulli seja alterada ara considerá-los.