O laplaciano de um campo escalar φ é um operador diferencial de segunda ordem que corresponde à divergência do gradiente desse campo:

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1 R. Vilão Electromagnetismo Introdução Laplaciano O laplaciano de um campo escalar φ é um operador diferencial de segunda ordem que corresponde à divergência do gradiente desse campo: lapφ=div(gradφ)= φ= 2 φ (1.27) O uso do operador permite-nos obter imediatamente as componentes cartesianas do operador laplaciano: 2 φ= 2 φ x φ y φ z 2 (1.28) Significado físico AtravésdeumdesenvolvimentoemsériedeTayloremtornodeumpontor 0,épossível demonstrarqueolaplacianonessepontoéproporcionalàdiferençaentreovalormédio φ docamponoelementodevolumeemtornodopontoeovalorφ 0 docampoemr 0. Este resultado permite-nos interpretar imediatamente as equações que contenham o operador laplaciano. Um exemplo particularmente importante é o da equação de Laplace que (conforme veremos mais adiante na disciplina), governa o potencial electrostático no vazio: 2 V=0 (1.29) Esta equação basicamente informa-nos então que o valor médio do potencial em torno deumpontopéigualaovalordopotencialnoprópriopontop. 9

2 R. Vilão Electromagnetismo Introdução Alguns resultados importantes Seguem-se alguns resultados particularmente importantes: Orotacionaldogradientede um campoescalarv énulo. ( V)=0 (1.30) Destemodo,aumcampovectorialVcujorotacionalsejanulopodeserassociado,com imensasvantagensdecálculo,umcampoescalarφ. Éoqueacontece,porexemplo,como campo electrostático E, a que se associa o potencial electrostático V, convencionando-se, conformeveremosnodecursodadisciplina,e= V. Adivergência dorotacionalde um campovectorial Aénula. ( A)=0 (1.31) Assim, a um campo vectorial B cuja divergência seja nula também pode ser associado, com algumas vantagens de cálculo, um outro campo vectorial A. Conforme veremos, é oqueacontece,porexemplo, comocampomagnetostáticob,aquesepodeassociaro potencialvectora,convencionando-seb= A. Um campo vectorial numa região do espaço pode ser completamente especificado através da sua divergência e do seu rotacional e de um conjunto adequado de condições fronteira. No electromagnetismo, os campos eléctrico e magnético são comummente especificados pela respectiva divergência e rotacional, pelo que este resultado assume grande importância. Faremos dele uso abundante. A condição fronteira exigida é a especificação da componente normal do campo na fronteira da região. Se, conforme acontece nas situações típicas do electromagnetismo, a região se estender até ao infinito, o campo vectorial é completamente especificado pela sua divergência e pelo seu rotacional, desde que tenda apropriadamenteparazeronoinfinito. 2 2 Este último resultado é conhecido por teorema de Helmholtz. Para uma demonstração detalhada, consultard.j.griffiths,introductiontoelectrodynamics,3 rd edition,prentice-hall(1999),p

3 R. Vilão Electromagnetismo Introdução Equações de Maxwell Esta revisão dos operadores diferenciais justifica-se pelo facto de as leis básicas do electromagnetismo poderem ser escritas de forma muito compacta e elegante na forma de um conjunto de equações diferenciais que relacionam os campos eléctrico E e magnético B comasdensidadesdecargaρedecorrentejpresentes. Trata-sedascélebresequaçõesde Maxwell, que constituem o principal objecto de estudo desta disciplina e que apresentamos desde já: E= ρ ɛ 0 (1.32) E= B t (1.33) B=0 (1.34) c 2 B= E t + j ɛ 0 (1.35) Estas equações traduzem as propriedades básicas dos campos eléctrico e magnético, e já eram praticamente todas conhecidas antes de Maxwell: a lei de Coulomb (eq. 1.32), a inexistência de cargas magnéticas (eq. 1.34), a lei de Faraday (eq. 1.33) e a lei de Ampère-Maxwell(eq. 1.35). Nocasoestático( E/ t=0, B/ t=0),asequaçõesdemaxwellreduzem-seadois pares de equações, que envolvem os campos eléctrico e magnético separadamente, e que correspondem a dois domínios importantes designados electrostática e magnetostática. Há toda a vantagem em estudá-los separadamente, dando depois lugar ao estudo da electrodinâmica. 11

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5 Capítulo 2 Electrostática 2.1 Leide Coulomb Na Natureza existem dois tipos básicos de cargas eléctricas, ditas cargas positivas e cargas negativas. Ainteracçãobásicaentreduascargaseléctricasq 1 eq 2 emrepousoconduza uma força(dita força de Coulomb) que tem as seguintes propriedades: diminuicomoquadradodadistânciarentreascargas; aumenta proporcionalmente a cada uma das cargas presentes; actuanadirecçãoˆrdalinhaqueuneascargas; é repulsiva entre cargas do mesmo tipo e atractiva entre cargas de tipos diferentes. Estas propriedades podem ser sintetizadas matematicamente na expressão da lei de CoulombparaaforçaF 21 queactuanacargaq 2 devidoàcargaq 1 : F 21 =k q 1q 2 r 2 ˆr 21 (2.1) emqueˆr 21 =(r 2 r 1 )/rer= r 2 r 1,sendor 2 er 1 asposiçõesdascargasq 2 eq 1, respectivamente. k é uma constante, dita constante de Coulomb que depende do sistema de unidades utilizado. No sistema internacional (SI), k costuma exprimir-se em função deumaoutraconstanteɛ 0,designadapermitividadeeléctricadovazio: k= 1 4πɛ 0 (2.2) 13

6 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática ɛ 0 édesignadapermitividadeeléctricadovazioeoseuvaloré,pordefinição: ɛ 0 = 107 4πc F/m (2.3) ondec= m/séavelocidadedaluznovazio Princípio da sobreposição e campo eléctrico AleideCoulombtraduzaforçaentreduascargaseléctricasemrepousomasnãoresponde à questão: existe alguma alteracção a essa força na presença de uma terceira carga? A resposta é: não. Isto significa que a força resultante na terceira carga Q devido à interacção comasduascargasiniciaisq 1 eq 2 correspondesimplesmenteàsoma(vectorial)dasforças entreqeq 1,eQeq 2,consideradasseparadamente: F Q =F Q1 +F Q2 =k Qq 1 r 2 Q1 ˆr Q1 +k Qq 2 ˆr rq2 2 Q2 =Q k q i ˆr r 2 Qi =QE Q (2.4) q i Qi Esta propriedade importante da força de Coulomb é conhecida por princípio da sobreposição. Daquiseguetambémadefinição,comvantagem,docampoeléctricoE Q na posição da carga Q, devido às outras cargas presentes: E Q = k q i r 2 ˆr Qi (2.5) q i Qi O conhecimento do campo eléctrico numa dada zona do espaço permite-nos determinar adinâmicadeumacargaqquelásejacolocada: F Q =QE Q (2.6) 1 Actualmente, nosi, o valor davelocidade da luz novazioédefinido, e é deste valoreda definição de segundo que decorre a definição do metro. 14

7 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática Aproximações macroscópicas A carga eléctrica encontra-se quantificada na Natureza. As cargas conhecidas constitutem múltiplosinteirosdacargaelementar 2,correspondenteàcargadoprotão: e= (63) C (2.7) Esta carga elementar é de tal forma reduzida em comparação com as cargas envolvidas em muitos dos processos eléctricos que se torna útil em muitas situações tomar as distribuições de carga como sendo aproximadamente contínuas. Esta abordagem tem a vantagem de se poder utilizar a ferramenta poderosa do cálculo diferencial e integral. É costume definir-se assim a densidade(volúmica) de carga, ρ: ρ= dq dτ (2.8) O campo eléctrico criado por uma distribuição ρ de carga obtém-se a partir da equação (2.5) considerando: q i dq=ρ(r)dτ (2.9) e aproximando a soma de todas as cargas por uma soma de Riemann, i.e., por um integralemtodoovolumeτ ondesedefineρ: q τ i (2.10) A equação(2.5) pode assim ser reescrita: E= τ k ρ(r)dτ r 2 ˆr (2.11) Podem-se obter expressões análogas para outras distribuições em que a carga esteja concentrada em regiões reduzidas do espaço, podendo ser descrita aproximadamente por densidade superficiais ou até lineares de carga, σ e λ, respectivamente: 2 O protão é constituído por quarques, cuja carga é e/3 ou 2e/3, mas os quarques não existem isolados na Natureza. Mas se existissem (existirem) isolados, isso também não alteraria o princípio da quantificação da carga. 15

8 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática 2.3 LeideGauss Linhas de Campo E= S E= l k σ(r)ds r 2 ˆr (2.12) k λ(r)dl r 2 ˆr (2.13) Uma ferramenta usada frequentemente para facilitar a visualização do campo eléctrico é anoçãodelinhasdecampo,quedivergemapartirdascargaspositivaseconvergemem cargasnegativas,sendotangentesaocampoemcausaemtodosospontosdoespaço. As linhas de campo podem assim ser determinadas através da equação: dl E=0 ê x ê y ê z dx dy dz E x E y E z =0 (2.14) Figura2.1: Representaçãodaslinhasdecampodeumcargapontual. Àmedidaquenos afastamos da origem do campo, a densidade de linhas de campo (linhas de campo por unidade de área) vai diminuindo com o inverso do quadrado da distância. 16