Lista VII - Técnicas de Projeção e Previsão

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1 Lista VII - Técnicas de Projeção e Previsão 0//0 Professor Salvatore Estatística II

2 Apoio Teórico e Exercícios Fórmulas: b b. ' 0 n. b 0 b.. b. 0 b.. n... i i b ou b n. i ou b r S xy S Explicada ' 0 R b b. Total R ajustado ' n n erro padrão n ' ANOVA dos Coeficientes de Regressão [Professor Salvatore Estatística II Página

3 Teste de Hipótese para o coeficiente angular β (a partir de b ) Unilateral H H 0 : : 0 0 com designificância Bilateral H H 0 : : 0 com 0 de significância H 0 : o coeficiente angular populacional 0 Se rejeitarmos esta hipótese assume-se que o coeficiente angular na população será diferente de zero e assim, a variável independente é um bom estimador para a variável dependente. Estatística de teste Estatística de teste t crítico t n ; t crítico t n ; b t teste premissa 0 ' n Intervalo de Confiança para o coeficiente angular β (a partir de b ) IC b t n ; ' n. Interpretação do coeficiente angular e variável independente: se a variável independente aumentar em uma unidade, a variável dependente aumentará em b unidades. Interpretação da variável dependente: assume-se que a variável dependente possa ser explicada a partir de cada valor da variável independente mais um erro aleatório da estimativa. O erro aleatório (variação não-explicada) representa as influências na variável dependente que não são representadas pela relação linear entre e. [Professor Salvatore Estatística II Página 3

4 Cálculo e teste de hipótese para o Coeficiente de Correlação S xy x. y i n i e r xy S xy S. S x y Até agora, nos acostumamos a calcular o coeficiente de correlação sem preocupar-nos com a possibilidade de que, mesmo havendo correlação entre as duas amostras de dados, o mesmo possa não ocorrer entre as respectivas populações. O teste de hipótese populacional para a correlação assume como Hipótese Inicial H 0 que não há correlação (associação linear entre as duas populações). Obviamente a Hipótese alternativa H assume que essa associação ocorra. Demonstra-se que quando a hipótese inicial é verdadeira e as variáveis aleatórias seguem uma distribuição normal conjunta então a variável aleatória t teste r n r seguirá a distribuição de Student com n graus de liberdade. O teste de Hipótese será dado então por: Unilateral à Direita H : ρ > 0 r n Rejeita-se H 0 se tteste tn ; r Unilateral à Esquerda H : ρ < 0 r n Rejeita-se H 0 se tteste tn ; r Bilateral H : ρ 0 Rejeita-se H 0 se t teste r n r t n ; ou se t teste r n r t n ; Exemplo resolvido: Uma equipe de pesquisadores político/econômicos foi encarregada pelo ministério das relações exteriores a determinarem a correlação existente entre a inflação e o risco político de países onde se pretende investir nos campos de extração de riquezas naturais e da construção civil. A amostra da inflação e do risco político de 6 países (metodologia não revelada pelo ministério) foi colhida e revelou um coeficiente de correlação de 0, Com essas informações pede-se testar ao nível de significância de,5% (0,05) se o coeficiente de correlação na população é maior que zero (assim como indica o coeficiente de correlação entre as amostras). [Professor Salvatore Estatística II Página 4

5 Resolução: Seja n = 6 e r xy 0,60394 o teste de Hipótese será dado então por Unilateral à Direita H : ρ > 0 r n Rejeita-se H 0 se tteste tn ; r t teste r n 0, , 573 r 0, , 7975,8304 t t n ; 4;0,05,448 t,8304 t,448 rejeita-se H 0,ou seja, rejeita-se a hipótese inicial de Como teste 4;0,05 que a correlação entre as duas populações de medições seja igual a zero. Assim concluímos que existe associação linear entre as duas populações. [Professor Salvatore Estatística II Página 5

6 Obs. b b. ' 0 Total Explicada ' nãoexplicada ' Totais [Professor Salvatore Estatística II Página 6

7 Obs. b b. ' 0 Total Explicada ' nãoexplicada ' Totais [Professor Salvatore Estatística II Página 7

8 Obs. ' b0 b. Total Explicada ' não-explicada ' Totais [Professor Salvatore Estatística II Página 8

9 Obs. ' b0 b. Total Explicada ' não-explicada ' Totais [Professor Salvatore Estatística II Página 9

10 ANOVA Análise da Variância, avaliando a variação em volta da curva de regressão Teste de Hipótese do modelo H o : = o + (o modelo não se ajusta aos dados) H : = o + + (o modelo se ajusta aos dados) Fontes de SQ gl MQ F Regressão Resíduos Total F crítico = F (k -); (n-k) ou F crítico = F (gl numerador); (gl denominador) Conclusão: [Professor Salvatore Estatística II Página 0

11 Exercícios Regressão Linear. Determine através de cálculos empíricos a equação linear para ajuste para a seguinte série temporal. Dia vendas Resposta: y = 0,364x + ; Obs. b b. ' 0 Total Explicada ' nãoexplicada ' Totais [Professor Salvatore Estatística II Página

12 . Determine através de cálculos empíricos a equação polinomial de segundo grau para ajuste da seguinte série temporal. Dia faltas Resposta: y = 0,6667x + 0,889 Obs. b b. ' 0 Total Explicada ' nãoexplicada ' Totais [Professor Salvatore Estatística II Página

13 3. Determine através de cálculos empíricos a equação exponencial para ajuste da seguinte série temporal. Dia estoque Resposta: y = 0,6x + 7 Obs. b b. ' 0 Total Explicada ' nãoexplicada ' Totais [Professor Salvatore Estatística II Página 3

14 4. Determine para os exercícios, e 3 as variações explicadas, não explicadas e totais. Resposta: Exercício Explicada Não-Explicada Total 8,43 67, ,6 34, 60,8 3,6 04,4 6 Obs. b b. ' 0 Total Explicada ' nãoexplicada ' Totais [Professor Salvatore Estatística II Página 4

15 5. Uma empresa fabricante de aparelhos eletrônicos quer estudar a tendências de suas vendas totais. Para isto fez um levantamento do faturamento dos últimos nove meses cujo resultado está tabulado abaixo. mês jan fev mar abr Mai jun jul ago set Venda bruta $ a. Faça um gráfico de dispersão desse levantamento com ajuda do Excel b. Calcule a equação linear de regressão manualmente. c. Calcule o Coeficiente de Determinação para a equação linear de regressão. d. Olhe para o coeficiente angular b. Faz sentido sua interpretação neste caso? e. Calcule a projeção das vendas (mais prováveis) para o mês de outubro utilizando aquela que em sua opinião é a melhor equação de ajuste. f. Confirme os valores encontrados com a ajuda do Excel e do STATISTICA. Resposta: y =,5x + 403,33 ; d) quando a variável independente é temporal, não há sentido interpretar o coeficiente angular. No nosso caso dizer que a cada unidade de variação de acrescenta-se,5 em não faz sentido pois irá variar de em mês e portanto esse coeficiente angular reflete apenas a tendência das vendas que, obviamente não ocorrem devido à mudança de mês. Obs. b b. ' 0 Total Explicada ' nãoexplicada ' Totais [Professor Salvatore Estatística II Página 5

16 6. Por não conseguir saldar suas dívidas com fornecedores dentro do prazo, como de costume, o gerente financeiro de uma empresa metalúrgica desconfia que seus custos com estoques venham aumentando. Solicita a seus colaboradores que façam um levantamento do valor das peças (classificadas como de alto custo) remanescentes no estoque ao fecharem as operações diárias. Os dados levantados foram tabulados abaixo. Quantidade $ Estoque a. Faça um gráfico de dispersão desse levantamento com ajuda do Excel b. Calcule as equações de regressão linear manualmente. c. Calcule o Coeficiente de Determinação d. Interprete os coeficientes da equação. e. Confirme esses valores com a ajuda do Excel e do SPSS f. Calcule a projeção dos custos para o próximo período caso existam em estoque 53 peças. Resposta: y =,963x + 67,5; os custos com estoques vem aumentando pois o coeficiente angular b é positivo; a cada nova peça no estoque há um acréscimo de $,9 unidades monetárias ao valor de intersecção $ 67,5; coeficiente de determinação 0,666. A projeção para 53 peças é =,963.(53) + 67,5 = 7,47. Obs. b b. ' 0 Total Explicada ' nãoexplicada ' Totais [Professor Salvatore Estatística II Página 6

17 7. Suponha que você seja o presidente do Banco Central do Brasil e junto com sua equipe econômica esteja encarregado de decidir a respeito da quantidade de dinheiro que deve ser posta em circulação anualmente. O Modelo adotado até agora por essa instituição levou em conta a relação entre a Renda Nacional Bruta e a Quantidade de Moeda em Circulação (em Bilhões de Reais). Suponha que você e sua equipe decidam continuar com esse modelo considerando os dados históricos disponíveis no banco de dados da instituição. (adaptado de Pindyck & Rubinfeld Econometric Models and Economic Forecasts McGraw-Hill) Ano Quantidade de Renda Quantidade de Renda Ano Dinheiro Nacional Bruta Dinheiro Nacional Bruta 987,0 5,0 99 4,0 7,7 988,5 5, , 8, , 6, ,6 9, ,6 7, ,8 9,7 99 3,3 7, 996 5,0 0,0 a) Escolha qual das duas variáveis é a Dependente e a Independente. b) Construa um gráfico de dispersão considerando essas variáveis para o período c) Estime a equação de regressão (cálculos manuais e com ajuda do Excel e SPSS). d) Interprete o coeficiente angular e o intercepto da equação encontrada. e) Suponha que a meta da Renda Nacional Bruta a ser atingida em 997 seja,0 pergunta-se qual quantidade de Dinheiro você autorizaria que fosse colocado em circulação? Respostas: a. Variável Dependente = Renda Nacional Bruta ; = quantidade de dinheiro em circulação. b. Gráfico c. Equação de regressão y =,756x +,68 d. Coeficiente b : Para cada ( milhão) em dinheiro colocado em circulação a renda nacional bruta aumentará em,756 vezes. Coeficiente b 0 : quando a quantidade de dinheiro em circulação for Zero (=0) o ponto onde a reta de regressão intercepta com o eixo será,68, ou seja, haverá uma renda nacional bruta de,68 milhões. e. =,756. () +,68 então =6,3 milhões Obs. b b. ' 0 Total Explicada ' nãoexplicada ' [Professor Salvatore Estatística II Página 7

18 Totais 8. Uma empresa de transportes de cargas internacionais por via marítima suspeita que os custos com a armazenagem de suas cargas vêm aumentando fora do padrão desejado. Antes de proceder a análises projetivas, a empresa deseja confirmar se realmente a elevação desses custos têm alguma relação com o tempo de armazenagem. Para isto fez um levantamento de 5 armazenagens escolhidas aleatoriamente: nº Dias Custo $ Pede-se: Respostas: a. Faça um gráfico de dispersão desse levantamento com ajuda do Excel b. Calcule o coeficiente de correlação de Pearson. c. Determine qual é a variável independente e a dependente. d. Calcule a equação linear de regressão manualmente. e. Calcule o Coeficiente de Determinação e o R-quadrado ajustado. f. Interprete os coeficientes da equação. g. Confirme esses valores com a ajuda do Excel e do SPSS h. Elabore o teste ANOVA para a equação de regressão i. Faça o teste de significância para o coeficiente populacional β a partir de b e responda qual a probabilidade de que o coeficiente angular entre as duas variáveis seja zero. j. Construa um intervalo de confiança para β a partir de b. k. Estude graficamente os resíduos de regressão e responda se existe alguma violação de premissas no modelo. l. Calcule a projeção dos custos supondo que para o próximo período ocorra uma armazenagem de 3 dias. a. Gráfico com ajuda do Excel b. Coeficiente de correlação de Pearson = 0,74. c. Variável independente é o número de dias de estocagem e a dependente é o custo da estocagem. d. Calcule a equação linear de regressão manualmente: =, ,5. e. Coeficiente de Determinação = 0,5494 e o R-quadrado ajustado= 0,547. f. Interprete os coeficientes da equação: só há sentido em interpretar o coeficiente angular: para cada dia de estocagem, o custo total será acrescido em,0073.() + 7,5 = 8,5 g. Confirmação pela função análise de dados do Excel e função Regressão do SPSS h. ANOVA com o Excel; F significação < 5% portanto rejeita-se H 0 o modelo adere bem aos dados. i. Faça o teste de significância para o coeficiente populacional β a partir de b e responda qual a probabilidade de que o coeficiente angular entre as duas variáveis seja zero. T teste 5,5043; t crítico =,77; Valor-p = 0,00565 Rejeita-se H 0; há evidências que o coeficiente angular populacional seja maior que zero. Se rejeitarmos esta hipótese assume-se que o coeficiente angular na população será diferente de zero e assim, a variável independente é um bom estimador para a variável dependente. j. Construa um intervalo de confiança para β a partir de b. IC=[ 0,46077;,5540] k. Estude graficamente os resíduos de regressão e responda se existe alguma violação de premissas no modelo. Graficamente não há tendência dos resíduos, portanto não há violação da premissa de linearidade. [Professor Salvatore Estatística II Página 8

19 l. Calcule a projeção dos custos supondo que para o próximo período ocorra uma armazenagem de 3 dias. =,0073.(3) + 7,5 = 40,677. Obs. b b. ' 0 Total Explicada ' nãoexplicada ' Totais [Professor Salvatore Estatística II Página 9

20 ANOVA Análise da Variância, avaliando a variação em volta da curva de regressão Teste de Hipótese do modelo H o : = o + (o modelo não se ajusta aos dados) H : = o + + (o modelo se ajusta aos dados) Fontes de SQ gl MQ F Regressão Resíduos Total F crítico = F (k -); (n-k) ou F crítico = F (gl numerador); (gl denominador) Conclusão: [Professor Salvatore Estatística II Página 0

21 9. A tabela abaixo contém o levantamento do Índice Dow Jones. A variável independente representa a variação desse índice nos primeiros cinco dias de cada mês. A variável dependente representa a variação mensal pelo resto do mês para todo o período estudado.(adaptado de: Newbold P. et alii. Statistics for Business and Economics; New Jersey, Prentice Hall 00). Dez00 Jan0 fev mar abr mai jun jul ago set out nov Dez0 4,9-9, 9,6 0,3-3,7 7,7,6,3,9 7-4,3 0,3 4,,5 0, -0,,8, -,6 -,3 5,6 -,4,5-4,7, a. Formule o modelo de regressão linear que possibilite prever a variação mensal desse indicador com base nas variações verificadas nos primeiros cinco dias do respectivo mês. b. Quantifique as variações explicada, não-explicada e a total. c. Calcule o Coeficiente de Determinação R e R -ajustado. d. Interprete o coeficiente b da equação. e. Confirme esses valores com a ajuda do Excel e do SPSS f. Calcule a projeção da variação mensal para janeiro do ano 0 caso nos primeiros dias desse mês a variação do indicador em questão seja,95. g. Formule o modelo ANOVA para os dados da variável independente. Analise esses resultados em conjunto com aqueles obtidos no item c. Em sua opinião esses resultados ratificam o poder de ajuste do modelo. Justifique com suas palavras. Resposta: a. =,93,87. b. explicada = 34,33 ; não-explicada 56,57 e total 903,9. c. R = SQReg/SQT = 0,798 ; R -ajustado = - ((SQRes/n-) /(SQT/n -)) = 0,05. d. Cada ponto percentual de variação nos primeiros cinco dias úteis do Índice Dow Jones acarretará uma variação de, pontos percentuais ao longo do mês. Note-se entretanto que o coeficiente e de correlação R- múltiplo não é negativo e sim próximo de 0,5 (0,440) e o R-quadrado 0,798 que demonstra baixo poder de explicação ou baixa aderência do modelo aos dados apresentados. f. =,93,87.(,95) = 8,78 g. O modelo ANOVA ratifica a baixa aderência do modelo aos dados pelos seguintes indicadores: a variação não explicada é muito alta demonstrada pelos quadrados das diferenças entre os valores de regressão e aqueles projetados pelo modelo; este fato leva a um valor de F-significação maior que 0,05, portanto não se pode rejeitar H 0 de que o modelo tenha baixa aderência aos dados. [Professor Salvatore Estatística II Página

22 Obs. b b. ' 0 Total Explicada ' nãoexplicada ' Totais [Professor Salvatore Estatística II Página

23 ANOVA Análise da Variância, avaliando a variação em volta da curva de regressão Teste de Hipótese do modelo H o : = o + (o modelo não se ajusta aos dados) H : = o + + (o modelo se ajusta aos dados) Fontes de SQ gl MQ F Regressão Resíduos Total F crítico = F (k -); (n-k) ou F crítico = F (gl numerador); (gl denominador) Conclusão: [Professor Salvatore Estatística II Página 3

24 0. A maioria dos investimentos financeiros possui um indicador chamado de Beta que quantifica o risco sistemático (possível de ser gerenciado e modificado) daquele ativo ou carteira. Algumas consultorias do mercado de capitais associam os Betas aos seus respectivos ativos de forma mensal, trimestral, anual ou até períodos mais longos. No Financial Analisys Journal (Mar-Apr 984) o professor H. Levy investigou a relação entre o intervalo de publicação ao qual se refere o Beta de um ativo e o Beta médio de três tipos ou grupos de ativos. Os grupos totalizaram 44 ativos divididos em: 38 com Betas agressivos (muito superiores a ), 38 com Betas conservadores (inferiores a ) e 68 ativos com Betas moderados (ou neutros, valores muito próximos a ). A tabela abaixo exibe os valores do prazo de publicação e os betas médios para cada tipo desses ativos. (Adaptado de Sincich T.; Business Statistics by Example; Prentice Hall, New Jersey 995) Prazo em meses Betas para ativos Betas para ativos Betas para ativos agressivos conservadores moderados,37 0,50 0,98 3,4 0,44 0,95 6,53 0,4 0,94 9,69 0,39,00,83 0,40 0,98 5,67 0,38,00 8,78 0,39,0 4,86 0,35,4 30,83 0,33, Resposta: a. Utilize o prazo em meses como a variável independente e encontre as três equações de regressão linear em relação aos Betas: agressivos, conservadores e moderados. b. Quais ativos possuem Betas com tendência a diminuírem linearmente na medida em que o prazo de medição aumenta? Quais ativos possuem valores de Betas que aumentam linearmente na medida em que o prazo de medição aumenta? c. Para cada tipo de Betas teste a hipótese que o prazo em meses seja um bom preditor para o respectivo Beta utilizando o nível de significância de 5%. d. Construa intervalos de confiança com 95% de certeza para cada tipo de Betas. a. Agressivos: =,45 + 0,069. ; Conservadores: = 0,4594 0, ; Moderados: = 0,9 + 0,0087. ; b. Por exibirem coeficientes angulares (Betas) positivos, os ativos agressivos e moderados demonstram tendência ao aumento dos Betas (risco) enquanto que os ativos conservadores, por terem o coeficiente angular negativo, exibem a tendência de diminuição de seus Betas. c. Agressivos: t teste = 4,37 ; Conservadores: t teste = -5,48 ; Moderados: t teste = 5,67. Rejeita-se H0 para os três tipos de Ativos, portanto o prazo dos Betas é um bom preditor. d. Agressivos: IC [0,00749 ; 0,0504] ; Conservadores: IC [-0, ; - 0,0063] ; Moderados: IC [0, ; 0,0363]. [Professor Salvatore Estatística II Página 4

25 Obs. b b. ' 0 Total Explicada ' nãoexplicada ' Totais [Professor Salvatore Estatística II Página 5

26 ANOVA Análise da Variância, avaliando a variação em volta da curva de regressão Teste de Hipótese do modelo H o : = o + (o modelo não se ajusta aos dados) H : = o + + (o modelo se ajusta aos dados) Fontes de SQ gl MQ F Regressão Resíduos Total F crítico = F (k -); (n-k) ou F crítico = F (gl numerador); (gl denominador) Conclusão: [Professor Salvatore Estatística II Página 6

27 Teste de Significância do Coeficiente b : Teste t com n- graus de liberdade Teste Bilateral H o : = 0 (o coeficiente populacional é zero) H : 0 (o coeficiente populacional é diferente de zero) Com gl = n e, isto é t n ; Teste Unilateral H o : = 0 (o coeficiente populacional é zero) H : > 0 (o coeficiente populacional é diferente de zero) Com gl = n e, isto é t n ; Cálculo da estatística de teste Estatística de teste unicaudal Estatística de teste bicaudal t crítico t n ; t crítico t n ; b t teste premissa 0 ' n Conclusão: [Professor Salvatore Estatística II Página 7

28 . Uma empresa de publicidade e propaganda mediu duas variáveis: = Custo da publicidade / Número de chamadas recebidas e = Receita por chamada recebida / Número de Chamadas recebidas. Os valores estão abaixo: 7,7 4,7,5 0,04 6,0 4,8,57 3,63,57 4,65 4,77 96,97 63,9 54,7 5,6 47,8 98,6 79, 5,9 7,8,97 0,98 4,8 3,09 3,08,76 00,3 0,49 95,8 75,97 89,59 05,7 a. Faça um gráfico de dispersão desse levantamento com ajuda do Excel b. Calcule o coeficiente de correlação de Pearson c. Calcule as equações de regressão linear manualmente d. Calcule o Coeficiente de Determinação (R ) e o Coeficiente de determinação ajustado (R -ajustado). e. Interprete os coeficientes da equação. f. Confirme esses valores com a ajuda do Excel e do SPSS. g. Qual seria a receita gerada por chamada atendida se o custo dessa proporção se elevasse para 6,5? Obs. b b. ' 0 Total Explicada ' nãoexplicada ' Totais [Professor Salvatore Estatística II Página 8

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30 Obs. 3 n r x, y n n Totais [Professor Salvatore Estatística II Página 30

31 . A tabela abaixo contém os resultados dos dividendos de 8 semanas para certo grupo de ações (carteira). Com as técnicas vistas até agora, encontre a equação linear de projeção para essa base de dados. Utilize o Excel ou o SPSS para essa finalidade. semana Dividendos 50, 33,9 0,6 5,4 3,9 3,3 8,8 4,5 7,5 3,6 0,6,6 7,6 36,5 semana Dividendos 49,3 45,4 35,6 30, 5,5,4,3 0,9 4,8 86,3 73,6 47,7 56,6 53, a. Faça um gráfico de dispersão desse levantamento com ajuda do Excel b. Calcule o coeficiente de correlação de Pearson c. Calcule as equações de regressão linear manualmente d. Calcule o Coeficiente de Determinação (R ) e o Coeficiente de determinação ajustado (R -ajustado). e. Interprete os coeficientes da equação. f. Confirme esses valores com a ajuda do Excel e do SPSS. g. Qual seria o valor dos dividendos na 9ª semana seguindo esta tendência? Obs. b b. ' 0 Total Explicada ' nãoexplicada ' Totais [Professor Salvatore Estatística II Página 3

32 Obs. 3 n r x, y n n Totais [Professor Salvatore Estatística II Página 3

33 3. Uma empresa de transportes rodoviários afirma que por contrato os custos de seus fretes são inversamente proporcionais à distância das entregas. Um cliente dessa transportadora, interessado em verificar se essa regra é aplicada aos seus contratos, quer estudar a correlação entre custo e distância e para isto colhe uma amostra relacionada abaixo. Distância Custo a. Faça um gráfico de dispersão desse levantamento com ajuda do Excel b. Calcule o coeficiente de correlação de Pearson c. Calcule as equações de regressão linear manualmente d. Calcule o Coeficiente de Determinação (R ) e o Coeficiente de determinação ajustado (R -ajustado). e. Interprete os coeficientes da equação. f. Execute o teste ANOVA para confirmar a aderência do modelo encontrado aos dados apresentados. g. Execute um teste de hipótese e construa um intervalo de confiança para o coeficiente angular b. h. Confirme esses valores com a ajuda do Excel e do SPSS. Obs. b b. ' 0 Total Explicada ' nãoexplicada ' Totais [Professor Salvatore Estatística II Página 33

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35 Obs. 3 n r x, y n n Totais [Professor Salvatore Estatística II Página 35

36 5. Uma equipe de pesquisadores testou se o risco político de um país tinha relação com o nível de inflação. Para isto pesquisaram 3 países. Normalmente se espera que quanto maior a inflação de um país, maior será o seu risco político. Dentro desse indicador está entre outras, a dificuldade das empresas estrangeiras se estabelecerem e até mesmo enviarem seus lucros ao respectivo país de origem. Os valores do risco e da inflação foram obtidos e tabulados abaixo. País Risco Político Inflação %,8,4 3,6,6 5,8 4,3 6,3 3,7 3,9 4, 4,7 4,9 País Risco Político Inflação %,9 5, 6, 6,9 5,3 5,9 5, 4,9 6, 7,4 6,8 Responda às seguintes perguntas: a. Determine qual a variável dependente e a independente para encontrar a equação linear entre as duas variáveis. b. Calcule o coeficiente de correlação da amostra. c. Calcule o coeficiente de determinação. d. Formule o teste ANOVA para determinar se realmente existe a relação linear esperada na população. e. Formule um teste de hipótese para o coeficiente b e para o coeficiente de correlação (ver apoio teórico). f. Estabeleça um intervalo de confiança populacional para o coeficiente b. g. Existe violação da premissa de linearidade? Justifique graficamente. Resolver utilizando-se os recursos disponíveis da HPC do Excel e do programa estatístico STATISTICA. [Professor Salvatore Estatística II Página 36

37 6. O departamento de marketing de uma grande empresa multinacional deseja equacionar o desempenho das vendas tomando como fator indutor (condicionante) o número de visitas feitas pelos vendedores. Os valores levantados nas 0 semanas testadas estão abaixo. Pede-se: Semana Vendas (em R$ Milhões),,05 6,84 9, 9,4 0,08 9,45 6,73 7,4 6, Nº Visitas Semana Vendas (em R$ Milhões) 7,63 9,43 9,46 7,64 6,9 8,95 9,33 0,3,77 7,4 Nº Visitas Respostas: a. Determine a manualmente a equação que descreve a tendência do número de visitas e das vendas separadamente. Dica: o número de observações é par. Portanto aos dois elementos centrais serão atribuídos os valores fictícios e + afastando-se de duas em duas unidades. b. Responda qual das duas variáveis é responsável por modificar a outra. c. Determine a equação que relaciona o número de visitas com as vendas alcançadas sabendo qual das duas variáveis é a independente e a dependente conforme você determinou no item b deste exercício. d. Obtenha o Coeficiente de Correlação e o de Determinação. e. Comprove os resultados manuais obtidos através do Excel obtendo a equação linear que descreve este comportamento e o coeficiente de determinação, através de um gráfico de dispersão, como mostrado em aula. f. Responda: caso na semana de número os vendedores efetuarem 850 visitas, qual o valor projetado para as vendas nessas condições? a. Equação da tendência do Número de Visitas: = 73,5 0,5079. ; Equação da tendência das Vendas : = 8,8055 0,0.. As vendas e as visitas possuem tendências individuais decrescentes. b. Variável Independente Número de Visitas; Variável dependente Vendas. c. Equação conjunta Visitas e Vendas: =,43 + 0,0087. d. Coeficiente de determinação: 0,99 ; coeficiente de correlação 0, e. para 850 visitas =,43 + 0,0087.() = 9,88 milhões. Resolver utilizando-se os recursos disponíveis da HPC do Excel e do programa estatístico STATISTICA. [Professor Salvatore Estatística II Página 37

38 7. O departamento de engenharia de uma empresa fabricante de barcos a motor para utilização em alto mar vem sofrendo problemas de confiabilidade nos mancais que apóiam suas hélices centrífugas de alto desempenho. Este problema afeta sua imagem como fabricante de barcos para utilização em alto mar, além de expor seus clientes a todos os tipos de riscos inerentes à necessidade de diminuir drasticamente a propulsão para poder retornar ao porto mais próximo para reparos. O engenheiro chefe analisou os efeitos dessas quebras nos materiais que compõe as hélices e chegou à conclusão que as trincas e rupturas não são devidas à composição das lâminas, mas sim à pressão aplicada aos parafusos que fixam os mancais de sustentação das hélices no momento da sua montagem. Esse engenheiro relacionou a extensão em milímetros das trincas ocasionadas com a potência de operação dos propulsores no momento da quebra, os quais são registrados por programas de computador que monitoram as funções vitais da embarcação através de sensores eletromagnéticos e leitores óticos. Os dados estão abaixo: Medição Potência emanada HP no momento da ruptura Trincas nos mancais em milímetros a. Determine a equação que associa linearmente a potência de operação dos propulsores com a extensão da trinca nos mancais. b. Obtenha o Coeficiente de Correlação, o de Determinação e o de determinação ajustado. c. Comprove os resultados manuais obtidos através do Excel obtendo a equação linear que descreve este comportamento. d. Caso a potência de operação dos motores de uma embarcação seja mantido a 50 HP, qual o tamanho da trinca que podemos esperar mantidas as demais condições de teste? Resolver utilizando-se os recursos disponíveis da HPC do Excel e do programa estatístico STATISTICA. [Professor Salvatore Estatística II Página 38

39 8. Determine a equação de regressão entre os resultados dos rendimentos da carteira teórica de mercado e de uma ação fictícia conforme mostrados abaixo e responda: Pregão Ação Carteira a. Defina a variável dependente e a independente b. Determine a equação linear de regressão c. Qual o coeficiente de correlação e determinação? d. Se no próximo pregão a carteira teórica tiver um rendimento de 760, qual será a expectativa de rendimento da ação em questão? e. Que tipo de correlação existe entre essa carteira teórica e a ação específica? f. Qual o valor do Beta dessa ação perante o ativo de mercado? Respostas: a. = 46,69 0,09. b. Coeficiente de Correlação 0,5030 ; coeficiente de determinação 0,53. c. Rendimento da ação = 46,69 0,09.(760) = 9,65. d. O Coeficiente angular da reta de regressão 0,09 é negativo, o que denota um a correlação dessa natureza, pois as variáveis movem-se em sentido contrário. e. De fato o coeficiente de correlação é negativo. Como o coeficiente angular é equivalente ao Beta da ação perante o ativo de mercado e este possui valor ao redor de zero, conclui-se que a ação em questão tem risco Conservador. Resolver utilizando-se os recursos disponíveis da HPC do Excel e do programa estatístico STATISTICA. [Professor Salvatore Estatística II Página 39

40 9. Uma amostra de 0 observações mensais foi levantada por um analista do mercado de capitais quer construir um modelo matemático que lhe responda qual o percentual de retorno () de uma ação ordinária de uma empresa tomando por base a taxa de retorno do índice () Standard and Poor s 500. As informações disponíveis estão abaixo yi xi xi xi y i i i i i,6 5,4 45,7. 50,5 a. Estime o modelo linear de regressão da variável. b. Interprete o coeficiente angular b. c. É possível verificar se o modelo adere bem aos dados? Justifique d. Utilize as fórmulas abaixo para resolver este tipo de problema e depois confirme os resultados com a HPC com o Excel e com o programa Estatístico STATISTICA. [Professor Salvatore Estatística II Página 40

41 0. O departamento de recursos humanos de uma empresa quer construir um modelo matemático que possa expressar a capacidade de realização de negócios (). A corporação acredita que a nota no teste de aptidão () possa identificar tal característica no funcionário, ou seja, quanto maior for a nota no teste, maior será a capacidade do colaborador em fechar novos e rentáveis negócios. As informações disponíveis estão abaixo yi xi xi xi y i i i i i a. Estime o modelo linear de regressão da variável. b. Interprete o coeficiente angular b. c. É possível conduzir um teste de hipótese e um Intervalo de Confiança para o coeficiente b? Justifique. d. Utilize as fórmulas abaixo para resolver este tipo de problema e depois confirme os resultados com a HPC com o Excel e com o programa Estatístico STATISTICA. [Professor Salvatore Estatística II Página 4

42 Padrão (guia) para calcular os elementos necessários para obter a equação de regressão. Obs. ' b0 b. Total Explicada ' não-explicada ' Totais [Professor Salvatore Estatística II Página 4

43 Cálculo de B Cálculo de B 0 Modelo de Regressão b b. ' 0 Cálculo do Coeficiente de Correlação r xy ou R-múltiplo Coeficiente de Determinação R ou R-quadrado Coeficiente de Determinação R -ajustado ou R-quadrado ajustado Cálculo da projeção (previsão de para um dado valor de ) [Professor Salvatore Estatística II Página 43

44 ANOVA Análise da Variância, avaliando a variação em volta da curva de regressão Teste de Hipótese do modelo H o : = o + (o modelo não se ajusta aos dados) H : = o + + (o modelo se ajusta aos dados) Fontes de SQ gl MQ F Regressão Resíduos Total F crítico = F (k -); (n-k) ou F crítico = F (gl numerador); (gl denominador) Conclusão: [Professor Salvatore Estatística II Página 44

45 Teste de Significância do Coeficiente b : Teste t com n- graus de liberdade Teste Bilateral H o : = 0 (o coeficiente populacional é zero) H : 0 (o coeficiente populacional é diferente de zero) Com gl = n e, isto é t n ; Teste Unilateral H o : = 0 (o coeficiente populacional é zero) H : > 0 (o coeficiente populacional é diferente de zero) Com gl = n e, isto é t n ; Cálculo da estatística de teste Estatística de teste unicaudal Estatística de teste bicaudal t crítico t n ; t crítico t n ; b t teste premissa 0 ' n Conclusão: [Professor Salvatore Estatística II Página 45

46 Intervalo de Confiança para o coeficiente angular β (a partir de b ) IC b t n ; ' n. Estudo da tendência dos Resíduos padronizados Erro (resíduo-padrão) 0 Variável Independente Conclusão: [Professor Salvatore Estatística II Página 46