Professor Silvio Quintino de Mello

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1 FACULDADES INTEGRADAS DE TAQUARA FACULDADES DE TAQUARA MATEMÁTICA FINANCEIRA MÓDULO I Professor Silvio Quintino de Mello

2 SUMÁRIO MATEMÁTICA FINANCEIRA..... Capital (C)....2 Juros (j)....3 Taxa de juros (i)....4 Tempo (n)....5 Montante (M)....6 Juro Ordinário....7 Juro Exato....8 Regulamentação das operações de Aplicações e Empréstimos....9 Regimes de Capitalização....0 Diagrama de Fluxo de Caixa... 2 JUROS SIMPLES Fórmulas Derivadas Montante (M) Juros Simples pela HP-2C: INT... 3 JUROS COMPOSTOS Montante (M) Capital (C) Juros Compostos (j c ) Taxa de Juros Compostos (i) Tempo (n) Juros Compostos pela HP-2C... 4 DESCONTO Desconto Simples Desconto Racional Simples ou Desconto por Dentro (Dd) Desconto Comercial Simples ou Desconto por Fora (Df) Relação entre taxa de desconto (d) e taxa de juros (i) Desconto Composto Valor do Desconto Composto (DC) Taxa de Desconto Composto (d) Tempo (n) Taxas Equivalentes

3 5 TAXAS DE JUROS 5. Taxa Efetiva Taxas Proporcionais Taxas Equivalentes Taxa Nominal Taxa Over Taxa Bruta e Taxa Líquida Taxa Aparente e Taxa Real... 6 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS... 6.Equivalência de dois Capitais Valor Presente ou Valor Atual de um Conjunto de Capitais Conjunto de Capitais Equivalentes... 7 RENDAS (ANUIDADES) Séries Uniformes de Pagamentos e de Recebimentos Classificação das Séries Uniformes Séries Uniformes Imediatas Postecipadas Cálculo do Valor Presente PV (Postecipado) Cálculo de Valor Futuro - FV (Postecipado) Séries Uniformes Imediatas Antecipadas Cálculo do Valor Presente PV (Antecipado) Cálculo de Valor Futuro - FV (Antecipado) Séries Uniformes com Parcelas Adicionais... 8 AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS Sistema de Amortizações Constantes SAC Sistema de Amortização Francês ou Sistema PRICE Cálculo do Saldo Devedor no Sistema PRICE Sistema PRICE pela HP-2C Sistema de Amortização Americano SAA... 9 ANÁLISE DE INVESTIMENTO Análise do Fluxo de Caixa Valor Presente Líquido (NPV) Taxa Interna de Retorno (IRR) Equivalência de Fluxos de Caixa

4 . MATEMÁTICA FINANCEIRA A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.. Capital (C) O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira, durante um certo tempo. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado..2 Juros (j) Tendo em vista que o aplicador se abstém de usar o valor emprestado, e ainda, em função da perda de poder aquisitivo do dinheiro pela inflação e do risco de não pagamento, surge o conceito de juro, que pode ser definido como o custo do empréstimo para o tomador ou a remuneração pelo uso do capital para o emprestador. De uma forma simplificada, podemos dizer que juro é o aluguel pago pelo uso de um dinheiro..3 Taxa de juros (i) A taxa de juros indica qual a remuneração que será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa na forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere. A taxa de juros pode ser expressa de duas maneiras diferentes: Taxa percentual: Exemplos: 8 % a.a. (ao ano); 0 % a.t. (ao trimestre). Taxa Unitária é a taxa percentual dividida por 00, sem o símbolo %: Exemplos: 0,5 a.m. (ao mês); 0,0 a.q. (ao quadrimestre). 4

5 Obs.: Sempre que usarmos as teclas financeiras da calculadora HP 2 C as taxas devem ser introduzidas sob a forma percentual, caso contrário, ou seja, na utilização de fórmulas matemáticas, devemos expressar as taxas na forma unitária..4 Tempo (n) Representa o período de tempo durante o qual o capital ficou rendendo juros. Deve sempre ser expresso em alguma unidade de tempo (dia, mês, trimestre, semestre, ano, etc...)..5 Montante (M) É a soma dos juros produzidos por um capital ao próprio capital. M = j + C.6 Juro ordinário É o juro calculado, tomando-se por base o tempo comercial (mês de 30 dias, ano de 360 dias, etc...)..7 Juro Exato É o juro calculado, tomando-se por base o tempo exato (fevereiro 28 ou 29 dias, março 3 dias, setembro 30 dias, etc...)..8 Regulamentação das operações de Aplicação e Empréstimos As operações de aplicação e empréstimos são geralmente realizadas por meio da intermediação de uma instituição financeira, que capta recursos de um lado e os empresta de outro. A capitalização é feita a uma taxa menor que a de empréstimo e a diferença é a remuneração da instituição. São várias as opções de aplicações (também chamadas de instrumentos) que um investidor tem a sua disposição, por exemplo, a Caderneta de Poupança, o CDB (Certificado de Depósito Bancário) e outros. Cada opção tem sua taxa em função do prazo da aplicação e dos riscos envolvidos. Da mesma forma, os 5

6 tomadores de empréstimos têm as várias opções de financiamento (instrumentos) cujas taxas variam em função dos prazos de pagamento e das garantias oferecidas. Na determinação das taxas de juros, o Governo tem uma grande influência, quer seja regulamentando o funcionamento das instituições financeiras, comprando ou vendendo títulos públicos, cobrando impostos, etc.... Os fundos de investimentos e os fundos de pensão e previdência também têm um importante papel na intermediação financeira. O dinheiro dos investidores captado pelos fundos de investimentos é utilizado para a compra de títulos públicos e privados e ações. Por meio dos ganhos oferecidos por estes papéis, o investidor é remunerado (quando um investidor aplica num fundo de investimentos ele adquire um certo número de cotas deste fundo, e a valorização da cota é decorrente da rentabilidade de seus papéis). Da mesma forma ocorre com os fundos de previdência e pensão, no qual o aplicador visa o recebimento de uma renda por ocasião de sua aposentadoria..9 Regimes de Capitalização Quando um capital é aplicado por vários períodos, a uma certa taxa por período, o montante poderá crescer de acordo com duas convenções, chamadas regimes de capitalização. Temos o regime de capitalização simples ou juros simples e o regime de capitalização composta ou juros compostos. a) Regime de Capitalização Simples ou Juros Simples Neste regime o juro gerado em cada período é constante e igual ao produto do capital pela taxa. Nesta modalidade os juros são pagos somente no final da operação. Exemplo: Um capital de R$.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de 0 % a.a., em regime de juros simples (anos) Portanto, somente o capital aplicado é que rende juros, e o montante após 3 anos foi de R$.300,00. 6

7 b) Regime de Capitalização Composta ou Juros Compostos Neste caso, o juro do º período se agrega ao capital dando o montante M. O juro do 2º período se agrega a M dando o montante M 2. O juro do 3º período se agrega a M 2 dando o montante M 3. Exemplo: Um capital de R$.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de 0 % a.a., em regime de juros compostos (anos) Portanto, o juro que é gerado em cada período se agrega ao montante do início do período e esta soma passa a render juro no período seguinte e o montante após 3 anos foi de R$.33,00..0 Diagrama de Fluxo de Caixa Um diagrama de fluxo de caixa é, simplesmente, a representação gráfica de uma situação financeira. Neste gráfico é representado o conjunto de todas as entradas e saídas de dinheiro ao longo de um determinado tempo, seja de uma empresa, de uma pessoa, de um investimento, de um empréstimo, etc.... forma: Um diagrama de fluxo de caixa, na maioria das vezes, é representado da seguinte Uma reta horizontal onde são colocados, em escala, os períodos de tempo onde houve ou haverá movimentação financeira. Flechas verticais, apontadas para baixo e com sinal negativo, representando as saídas de dinheiro ou pagamentos. Flechas verticais, apontadas para cima e com sinal positivo, representando as entradas de dinheiro ou recebimentos. 7

8 Exemplo: Um produto custa R$ 300,00 à vista ou, se financiado, três prestações mensais de R$ 50,00 sem entrada. VENDEDOR COMPRADOR Observações.: a) A diferença entre a soma das prestações e o valor à vista do produto correspondem aos juros cobrados ou pagos pelo financiamento. b) Como podemos ver, é indiferente representarmos o fluxo de caixa sob o ponto de vista do comprador ou do vendedor pois os resultados obtidos em qualquer tipo de cálculo serão sempre os mesmos. 8

9 2. JUROS SIMPLES Juros simples ou regime de capitalização simples é o regime no qual, ao final de cada período de capitalização, os juros são calculados sempre sobre o capital inicialmente empregado. Sabemos que: Juro (j) é diretamente proporcional ao capital (C); Juro (j) é diretamente proporcional a taxa (i); Juro (j) é diretamente proporcional ao tempo (n). Então: j = C. i. n OBSERVAÇÕES IMPORTANTES: ) Na utilização da expressão acima devemos tomar o cuidado de: Utilizar sempre a taxa unitária. Utilizar sempre a mesma unidade de tempo a qual está associada à taxa. 2) Embora no regime de capitalização simples a taxa seja diretamente proporcional ao tempo, ou seja, % ao dia corresponde a 30% ao mês, da mesma forma 20% ao ano corresponde a 0% ao mês, convém não nos valermos desta proporcionalidade uma vez que no regime de capitalização composta ela não existe. Para deixarmos o tempo e a taxa expressos na mesma unidade é aconselhável transformar o tempo. 5 dias correspondem a: 5 30 de um mês comercial de um ano comercial de um ano exato 20 dias correspondem a: 20 de um trimestre comercial de um semestre comercial 80 9

10 8 meses correspondem a: 8 2 de um ano comercial 8 6 de um semestre comercial 240 dias 3 meses e 20 dias correspondem a: 0 30 de um mês comercial de um ano comercial 2. Fórmulas derivadas da expressão j = C. i. n j C i. n i j C.n n j C.i 2.2 Montante (M) O Montante representando a soma dos juros produzidos por um capital ao próprio capital pode ser expresso por: M = C + j como j = Cin, temos que M = C + Cin, ou seja, M C in Obs.: A calculadora HP-2C, através de suas teclas financeiras, calcula somente juros simples se a taxa for anual e o prazo fornecido em dias. É portanto, mais fácil, nos utilizarmos somente das fórmulas matemáticas. 0

11 Exemplos: a) Determine o juro produzido por um capital de R$ 900,00 aplicado a uma taxa de 20% ao trimestre, durante ano, 4 meses e 7 dias. Solução: j =? C = R$ 900,00 i = 20% a.t i = 0,2 a.t n = ano, 4 meses e 7 dias n = 497 dias n = 497 trimestres 90 j = Cin j = , j = R$ 994,00 90 b) Determine o capital que aplicado a uma taxa de 30% ao trimestre rendeu após 6 meses um juro de R$ 600,00. Solução: C =? i = 30% a.t i = 0,3 a.t n = 6 meses n = 2 trimestres j = R$ 600,00 j = Cin 600 = C. 0, = 0,6 C C = R$.000,00 c) Determine o capital que aplicado a uma taxa de juros simples de 20% ao semestre produziu um montante de R$.500,00, após 8 meses. Solução: C =? i = 20% a.s i = 0,2 a.s M = R$.500,00 n = 8 meses n = 8 semestres 6 M C in 500 = C 0,2. 8 C = , C = R$.84,2

12 Exercícios: ) Um capital de R$ 7.000,00 é aplicado a juros simples, durante ano e meio, à taxa de 8% a.s. Determine: a) os juros; b) o montante.. 2) Qual o capital que rende juros simples de R$ 3.000,00 no prazo de 5 meses, se a taxa for de 2% a.m? 3) Uma aplicação financeira tem prazo de 5 meses, rende juros simples à taxa de 22% a.a e paga imposto de renda igual a 20% do juro. Sabendo-se que o imposto pago é no resgate, pergunta-se: a) Qual o montante líquido de uma aplicação de R$ 8.000,00? b) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante líquido de R$ 9.500,00? 2

13 Exercícios Complementares: ) Qual o montante de uma aplicação de $6.000,00 a juros simples, durante 5 meses, à taxa de 80% a.a.? Resposta: $2.333,33 2) Um capital de $.000,00 foi aplicado por 2 meses, a juros simples e à taxa de 42% a.a.. Qual o montante? Resposta: $.070,00 3) Bruno aplicou $30.000,00 a juros simples, pelo prazo de 6 meses, e recebeu $9.000,00 de juros. Qual a taxa mensal da aplicação? Resposta: 5% a.m. 3

14 4) Numa aplicação de $3.000,00 a juros simples e à taxa de 0% a.a., o montante recebido foi de $4.800,00. Determine o prazo da aplicação. Resposta: 6 anos 5) Paula aplicou uma certa quantia a juros simples à taxa de,8% a.m., pelo prazo de 4 meses. Obtenha o juro auferido nessa aplicação sabendo-se que o montante recebido foi de $5.360,00. Resposta: $360,00 6) Mara aplicou $800,00 a juros simples e à taxa de 2% a.a.. Se ela recebeu $384,00 de juros, obtenha o prazo da aplicação. Resposta: 4 anos 4

15 7) Uma geladeira é vendida à vista por $.500,00 ou então à prazo com $450,00 de entrada mais uma parcela de $.200,00 após 4 meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? Resposta: 3,57% a.m. 8) Um vestido de noiva é vendido à vista por $2.400,00 ou então à prazo com 20% de entrada mais uma parcela de $2.50,00 dois meses após a compra. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? Resposta: 5,99% a.m. 5

16 9) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros simples e à taxa de 8% a.a. para que duplique? Resposta: 2,5 anos 0) Um capital aplicado à taxa de juros simples de 8% a.m. triplica em que prazo? Resposta: 25 meses ) Um determinado capital, aplicado a juros simples durante 6 meses, rendeu determinado juro. Em que prazo deveríamos aplicar o quádruplo deste capital, para dar o mesmo juro, sabendo-se que a taxa é a mesma? Resposta: 4 meses 6

17 2) Dois capitais, um de $ ,00 e outro de $ ,00, foram aplicados numa mesma data, a juros simples, sendo o primeiro à taxa de 68% a.a. e o segundo à de 20% a.a.. Qual o prazo para que os montantes se igualem? Resposta: 4 meses 3) Dois capitais, o primeiro igual a $.00,00 e o segundo igual a $500,00, estiveram aplicados a juros simples durante 3 meses. Qual a taxa de aplicação do primeiro se o segundo, aplicado à taxa de 0% a.m., rendeu $246,00 menos que o primeiro? Resposta: 2% a.m. 7

18 4) Cleide aplicou metade de seu capital a juros simples e à taxa de 30% a.a., durante um ano; o restante foi dividido em duas partes iguais, aplicadas por um ano, sendo a primeira à taxa de 28% a.a. e a segunda à 32% a.a.. Determinar a taxa anual de juros simples a que todo o capital de Cleide deveria ser aplicado por um ano para que o juro obtido seja igual à soma dos juros das três aplicações mencionadas. Resposta: 30% a.a. 5) Um fazendeiro possui um estoque de.000 sacas de café e, na expectativa de alta de preço do produto, recusa a oferta de compra desse estoque à razão de $3.000,00 por saca. Três meses mais tarde, forçado pelas circunstâncias, vende o estoque por $2.400,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 5% a.m., calcule o prejuízo real do fazendeiro na data de venda da mercadoria, utilizando o regime de capitalização simples. Resposta: $ ,00 8

19 6) Um produtor de milho, possuidor de um estoque de sacas, na expectativa de alta do preço do produto, recusa a oferta de compra desse estoque à razão de $5,00 por saca. Seis meses mais tarde, vende o estoque por $2,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros simples de mercado é de 2% a.m., calcule o lucro (ou prejuízo) real do produtor, utilizando o regime de juros simples. Resposta: Lucro de $02.000,00 7) Um capital ficou depositado durante 0 meses à taxa de 8% a.m. no regime de juros simples. Findo esse prazo, o montante auferido foi aplicado durante 5 meses a juros simples à taxa de 0% a.m.. Calcule o valor do capital inicial aplicado, sabendo-se que o montante final recebido foi de $ ,00. Resposta: $ ,00 9

20 8) Uma aplicação financeira tem prazo de 3 meses, rende juros simples à taxa de,8% a.m., porém o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido. a) Qual o montante líquido (montante após o pagamento do imposto de renda) de uma aplicação de $4.000,00? Resposta: $4.72,80 b) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante líquido de $3.600,00? Resposta: $3.450,92 9) Uma aplicação financeira tem prazo de 4 meses, rende juros simples à taxa de 22% a.a., porém o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido. a) Qual o montante líquido (montante após o pagamento do imposto de renda) de uma aplicação de $2.000,00? Resposta: $2.704,00 b) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante líquido de $.500,00? Resposta: $0.862,72 20

21 20) Dividir $.200,00 em duas partes, de forma que a primeira, aplicada a juros simples à taxa 8% a.m. durante dois meses, renda o mesmo juro que a segunda, aplicada a 0% a.m. durante 3 meses. Resposta: $782,6 e $47,39 2) Bruno, dispondo de $3.000,00, resolveu aplicá-los em dois bancos. No primeiro, aplicou uma parte a juros simples à taxa de 8% a.m. por 6 meses e, no segundo, aplicou o restante também a juros simples por 8 meses à taxa de 0% a.m.. Determine o quanto foi aplicado em cada banco sabendo-se que o total dos juros auferidos foi de $.824,00. Resposta: $.800,00 e $.200,00 2

22 2.3 Juros Simples pela HP-2C: (INT) Tem uma utilização extremamente limitada. Resolve problemas de juros e montantes, em regime de capitalização simples, quando são informados o valor do capital, a taxa anual de juros (ano de 360 dias) e o prazo em dias. Exemplo: Calcular o valor dos juros e do montante de um capital de R$ ,00 aplicado a uma taxa de 50% ao ano, por 28 dias. TECLAS VISOR SIGNIFICADO (CHS) (PV) ,00 Introduz o valor do capital 50 (i) 50,00 Introduz a taxa anual 28 (n) 28,00 Introduz o prazo (f) (i) 8.666,67 Calcula os juros (+) ,67 Calcula o montante 22

23 3. JUROS COMPOSTOS Juros compostos ou regime de capitalização composta ocorre quando os juros gerados em cada período se agregam ao montante do início do período, passando este novo montante a produzir juros no período seguinte. 3. Montante (M) Consideremos um capital C, uma taxa de juros i e calculemos o montante obtido a juros compostos, após n períodos de tempo (expresso na unidade de tempo da taxa) MONTANTES C M M 2...M n n PERÍODOS DE CAPITALIZAÇÃO Montante após o º período: M = C + j j = C. i. M = C + Ci M = C( + i) () Montante após o 2º período: M 2 = M + j 2 j 2 = M. i. M 2 = M + M i M 2 = M ( + i) (2) Substituindo o valor de M de () em (2) temos que: M 2 = C( + i). ( +i) 2 M 2 C i por: É fácil perceber, por generalização, que após n períodos, o montante será dado M n C i n ou simplesmente: M C i n 23

24 Capital (C) n i C M n i M C 3.3 Juro Composto (j c ) i C j C i C j C M j j C M n c n c c c 3.4 Taxa de Juro Composto (i) C M i i C M i C M i C M n n n n 3.5 Tempo (n) i ln C M ln n ou i log C M log n i n.log C M log i C M i C M n n Exemplos: a) Qual o capital que, aplicado a juros compostos, à taxa de 2,5% a.m produz um montante de R$ 3.500,00, após um ano? Solução: C =? i = 0,025 a.m

25 M = R$ 3.500,00 n = ano n = 2 meses M 3500 C C = R$ 2.602,45 C 2 n i 0,025 b) Um capital de R$ 5.520,00, aplicado a juros compostos, após 4 meses, gerou um montante de R$ 6.000,00. Calcule a taxa mensal de juros da operação. Solução: i =? Exercícios: C = R$ 5.520,00 M = R$ 6.000,00 n = 4 meses n 4 M 6000 i i i = 0,02 i = 2,% a.m C 5520 ) Um capital de R$ 6.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 3 meses, à taxa de 2% a.m. Pergunta-se: a) Qual o montante? b) Qual o total dos juros auferidos? 2) Durante quanto tempo um capital de R$.000,00 deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 0% a.a para dar um montante de R$.60,5? 25

26 3.6 Juros Compostos pela HP-2C: Na HP-2C, os problemas de juros compostos envolvem as teclas financeiras (n), (i), (PV) e (FV). A unidade de tempo utilizada para o período deve ser a mesma da taxa de juros. Exemplo: Um capital de R$ ,00 foi aplicado a uma taxa de 5% a.m. Determine os juros e o montante no final de 6 meses. TECLAS VISOR SIGNIFICADO (CHS) (PV) ,00 Introduz o valor do capital 5 (i) 5,00 Introduz a taxa 6 (n) 6,00 Introduz o prazo (FV) ,38 Calcula o montante Para apurar o valor dos juros compostos basta operar FV PV, aproveitando os dados já armazenados na calculadora. TECLAS VISOR SIGNIFICADO (RCL) (FV) ,38 Chama o FV (RCL) (PV) ,00 Chama o PV (+) ,38 Calcula os juros Observações: ) Na solução de problemas de juros compostos através da HP-2C, devemos introduzir o valor de (PV) negativo a fim de alcançarmos um resultado (FV) positivo. A calculadora está programada para realizar cálculos financeiros baseado no fluxo de caixa, ou seja, com (PV) e (FV) de sinais contrários. 2) A calculadora HP-2C trabalha também com período n fracionário, simplificando a solução de muitos problemas no mercado financeiro. Para isso, você deverá adequar a máquina pressionando a seqüência de teclas a seguir: 26

27 (STO) (EEX). Note que aparecerá no visor a letra C, anunciando que a máquina está pronta para efetuar cálculos de juros compostos com períodos inteiros e fracionários. É aconselhável que você conserve a sua calculadora com a indicação C no visor. Exemplo: A empresa J. Alves Ltda. formalizou uma operação de capital de giro de R$ ,00, pelo prazo de 75 dias, a uma taxa de 26% a.m. Determine o montante a pagar no vencimento, considerando que os juros são capitalizados no final de cada mês. A fim de compatibilizar as unidades de n e i, vamos transformar 75 dias em meses. 75 n n 2,5 meses 30 TECLAS VISOR SIGNIFICADO (CHS) (PV) ,00 Introduz o valor do capital 26 (i) 26,00 Introduz a taxa 2,5 (n) 2,50 Introduz o prazo (FV) ,26 Calcula o montante Se a letra C não estivesse no visor, a HP calcularia, no período fracionário (5dias), juros simples e, no período inteiro, juros compostos, resultando em R$ ,40, o que não é verdadeiro. Considerando o exemplo anterior, com os mesmos dados do problema, vamos calcular o prazo n na HP-2C: TECLAS VISOR SIGNIFICADO (CHS) (PV) ,00 Introduz o valor do capital 26 (i) 26,00 Introduz a taxa 42566,26 (FV) ,26 Introduz o montante (n) 3,00 Calcula o prazo 27

28 O resultado acima revela uma limitação da HP-2C: o cálculo do prazo por intermédio da tecla (n) é sempre um número inteiro. A resposta correta é n = 2,5, porém a calculadora arredonda-o para o inteiro imediatamente superior (3,00). Contudo, se necessitar, use a fórmula: FV 42566,26 ln ln PV ln,78 n n n n = 2,5 meses ln i ln( 0,26) ln,26 Exercícios Complementares: ) Qual o montante de uma aplicação de $50.000,00 a juros compostos, pelo prazo de 6 meses, à taxa de 2% a.m.? Resposta: $56.308,2 2) Obtenha o montante das aplicações abaixo, considerando o regime de juros compostos: Capital Taxa Prazo a) $80.000,00 36% a.a. 2 anos b) $65.000,00 3% a.m. ano c) $35.000,00 7% a.t. ano e meio Resposta: a)$47.968,00 b)$92.674,46 c)$52.525,56 28

29 3) Um capital de $7.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante um ano e meio, à taxa de 2,5% a.m.. Calcule os juros auferidos no período. Resposta: $3.97,6 4) Uma pessoa aplica hoje $4.000,00 e aplicará $2.000,00 daqui a 3 meses num fundo que rende juros compostos à taxa de 2,6% a.m.. Qual seu montante daqui a 6 meses? Resposta: $7.626,54 5) Qual capital que, aplicado a juros compostos, durante 9 anos, à taxa de 0% a.a. produz um montante de $75.000,00? Resposta: $74.27,08 29

30 6) Um capital de $3.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 0 meses, gerando um montante de $3.500,00. Qual a taxa mensal? Resposta:,55% a.m. 7) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante 0 meses, rendendo um juro igual ao capital aplicado. Qual a taxa mensal desta aplicação? Resposta: 7,8% a.m. 8) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante 9 meses, rendendo um montante igual ao triplo do capital aplicado. Qual a taxa trimestral da aplicação? Resposta: 44,22% a.t. 30

31 9) Um fogão é vendido à vista por $600,00, ou então à prazo, sendo 20% do preço à vista como entrada, mais uma parcela de $550,00 dois meses após a compra. Qual a taxa mensal de juros compostos do financiamento? Resposta: 7,04% a.m. 0) Durante quanto tempo um capital de $5.000,00 deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de,8% a.m., para gerar um montante de $5.767,00? Resposta: 8 meses 3

32 ) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 2,2% a.m. para que duplique? Resposta: 3,85 meses 2) Alberto aplicou $6.000,00 a juros compostos, durante um ano, à taxa de 24% a.a.. a) Qual o montante? Resposta: $7.440,00 b) Qual a taxa mensal de juros da aplicação? Resposta:,8% a.m. c) Qual a taxa semestral de juros da aplicação? Resposta:,36% a.s. 32

33 3) Gisele aplicou $6.000,00 a juros compostos, sendo uma parte no banco A, à taxa de 2% a.m., e outra no banco B, à taxa de,5% a.m.. O prazo das duas aplicações foi de 6 meses Calcule quanto foi aplicado em cada banco, sabendo-se que os montantes resultantes foram iguais. Resposta: $2.955,78 e $3.044,22 4) Aplique hoje $55.000,00 e receba após 6 meses $60.000,00. Qual a taxa mensal de rendimento desta aplicação, considerando o regime de juros compostos? Resposta:,46% a.m. 33

34 5) Milena adquiriu um aparelho de som há 6 meses por $800,00. Estando o aparelho em ótimo estado de conservação e desejando vendê-lo com um retorno de 2% a.m. sobre o capital aplicado na compra, calcule o preço de venda considerando o regime de juros compostos. Resposta: $900,93 6) Uma empresa vende um componente eletrônico por $200,00 a unidade, sendo o pagamento feito 2 meses após a compra. Para pagamento à vista, o preço é $92,00. Qual a taxa mensal de juros compostos do financiamento? Resposta: 2,06% a.m. 7) Uma pessoa colocou 2/5 do seu capital a 2% ao mês e o restante, a 3% ao mês. Ao final de 8 meses retirou o montante de $3.855,7. Qual foi o capital aplicado? Resposta: $20.000,00 34

35 4. DESCONTO Quando uma empresa vende um produto a prazo emite uma duplicata que lhe dará o direito de receber do comprador, na data futura, o valor combinado. Caso o vendedor necessite de dinheiro, poderá ir a um banco e efetuar um desconto da duplicata. Resumidamente, ocorre o seguinte: a empresa cede ao banco o direito do recebimento da duplicata em troca de dinheiro recebido antecipadamente. Por exemplo, consideremos que, numa certa venda, uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 5.000,00 para vencimento dentro de 2 meses. Necessitando de dinheiro, a empresa levou a duplicata a um banco, que lhe propôs um adiantamento de R$ 4.800,00 em troca da duplicata. Dizemos neste caso que o banco propôs um desconto de R$ 200, Desconto Simples Valor Futuro (FV) ou Valor Nominal (VN) é o valor de uma dívida na data de seu vencimento. Valor Presente (PV) ou Valor Atual (VA) é o valor aplicado a juros simples numa data anterior até a data de vencimento e que proporcione um montante igual ao valor nominal. FV = PV + PV. i. n FV = PV( + i.n) FV PV i.n 4.. Desconto racional simples ou Desconto por dentro (Dd) Nesta modalidade, o valor do desconto é a diferença entre o Valor Futuro e o Valor Presente calculado a juros simples, sendo n o prazo de vencimento do título e d a taxa de desconto utilizada na operação. Dd FV - PV Dd PV( d.n) -PV Dd PV PV.d.n PV Dd PV.d.n FV PV Dd FV PV PV.d.n FV PV( d.n) FV PV dn 35

36 Exemplo: Qual o desconto por dentro de um título de R$.500,00, descontado 40 dias antes do seu vencimento, à taxa de 3% ao mês? Dd=? FV= n=40 dias n meses 30 d=0,03 a.m. 500 PV PV 442,3 40 0, Dd PV.d.n Dd 442,3.0,03. Dd R$ 57, Desconto comercial simples ou Desconto por fora (Df) Nesta modalidade, o valor do desconto é obtido multiplicando-se o valor futuro (FV) pela taxa de desconto fornecida pelo banco e pelo prazo a decorrer até o vencimento do título. O desconto comercial ou desconto por fora é chamado também de Desconto Bancário. Valor Futuro (FV): valor escrito no título; Valor Presente (PV): valor líquido do título antes do vencimento. FV > PV; Tempo (n); Taxa de desconto (d) Df FV. d.n PV FV Df PV FV -FV.d.n PV FV(- d.n) FV PV - dn Exemplo: Uma duplicata de R$ 8.000,00 foi descontada num banco 2 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2,5% a.m.. Calcule: a) O valor do desconto; Df FV. d.n Df ,025.2 Df R$900, 00 36

37 b) O valor líquido recebido pela empresa. PV FV Df PV PV R$7.00, Relação entre taxa de desconto (d) e taxa de juros simples (i) Supondo que a taxa de desconto d e a taxa de juros simples i estejam na mesma unidade de tempo e seja n o prazo de vencimento do título (expresso na mesma unidade de tempo de d e i), temos então: FV PV in FV FV( dn) in PV FV( dn) FV FV( dn).( in) FV FV( in dn din 2 ) FV FV in dn din 2 in dn din 2 in dn din 2 0 in dn din 2 0 n(i- d - din) 0 n(i - d- din) 0 n = 0 i d din i d( in) i d in i d - din = 0 d i din d i - din d i(- dn) d i dn i d i.n d i - d.n 37

38 Exemplo: Um banco deseja ganhar 30% a.a. de juros simples no desconto de títulos. Que taxa de descontos deverá praticar para 2 meses de antecipação? i 0,3 n a.a. 2 meses n 2 2 anos i d in 0,3 d 0, d 0,2857 a.a. d 28,57 a.a. Exercícios: ) Sabendo-se que para uma operação de desconto comercial 25 dias antes do vencimento, a taxa praticada foi de 3% ao mês, qual a taxa mensal de juros para o tomador? 2) Uma duplicata de R$ ,00 é descontada 4 meses antes do seu vencimento. Considerando uma taxa simples de 60% ao semestre, calcular o valor do desconto nas modalidades de desconto racional e desconto comercial. 38

39 3) Calcular o valor liberado de um título com valor nominal de R$ ,00 e com vencimento para 80 dias descontado comercialmente a uma taxa simples de desconto de 40% ao ano. Exercícios Complementares: ) Uma promissória de $20.000,00 foi descontada num banco três meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de,8% a.m. a) Qual o desconto comercial? Resposta: $.080,00 b) Qual o valor atual comercial do título? Resposta: $8.920,00 c) Qual a taxa efetiva mensal de juros simples da operação? Resposta:,9% a.m. 39

40 2) Uma empresa descontou num banco um título de valor nominal igual a $90.000,00, 40 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto bancário de 30% a.a.. a) Qual o desconto bancário? Resposta: $3.000,00 b) Qual o valor líquido recebido pela empresa, sabendo-se que o banco cobrou uma taxa de serviço igual a % do valor nominal do título? Resposta: $86.00,00 3) Um título governamental com valor de face de $00.000,00 foi adquirido 70 dias antes do vencimento com desconto comercial simples, sendo a taxa igual a 25% a.a.. a) Qual o preço da aquisição? Resposta: $95.38,89 b) Qual a taxa efetiva de juros anual proporcionada pela aplicação? Resposta: 26,27% a.a. 40

41 4) Descontado racionalmente três meses antes de seu vencimento a uma taxa simples de 20% a.a., um título sofreu um desconto de $5.000,00. Caso o título fosse descontado comercialmente, calcular o valor do desconto. Resposta: $5.750,00 5) Um banco deseja ganhar 30% ao ano de juros simples no desconto de títulos. Que taxa de desconto deverá praticar para 2 meses de antecipação? Resposta: 28,57% a.a. 6) Uma empresa descontou uma duplicata de $2.000,00, 45 dias antes do vencimento. Sabendo-se que ela recebeu um valor líquido de $.720,00, calcule a taxa mensal de desconto comercial da operação. Resposta:,56% a.m. 4

42 7) Uma duplicata de $8.000,00 foi descontada em um banco, proporcionando um valor descontado (valor líquido) de $7.500,00. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial utilizada foi de 2,2% a.m., obtenha o prazo de vencimento deste título. Resposta: 85 dias 8) Uma duplicata, cujo prazo até o vencimento era de 90 dias, foi descontado num banco à taxa de desconto comercial de,8% a.m.. Calcule o valor de face do título, sabendo-se que a empresa recebeu um valor líquido de $3.500,00 e que o banco cobrou uma taxa de serviço igual a % do valor nominal do título. Resposta: $3.739,32 9) Uma empresa descontou num banco uma duplicata de $5.000,00, 67 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 3,5% a.m.. Obtenha o valor líquido recebido pela empresa, considerando que esta pagou um imposto na data de operação (imposto sobre operações financeiras) igual a 0,004% ao dia, aplicado sobre o valor nominal do título. Resposta: $3.786,30 42

43 0) Uma duplicata de $ descontada racionalmente 60 dias antes do vencimento teve um desconto de $989. Qual seria o valor do desconto se a duplicata fosse descontada comercialmente? Resposta: $.006,20 ) Sabendo-se que para uma operação de desconto comercial, a 25 dias do vencimento, a taxa praticada foi de 3% ao mês, qual o custo mensal real para o tomador? Resposta: 3,08% a.m. 2) Para pagar uma dívida de $ ,00 uma empresa juntou um cheque de $ ,00 à importância líquida proveniente do desconto comercial de uma duplicata de $ ,00, três meses antes do vencimento. Determine a taxa mensal de desconto comercial utilizada. Resposta: 6,5% a.m. 43

44 3) Um banco oferece empréstimos pessoais mediante o preenchimento de uma promissória pelo cliente com prazo de vencimento igual ao prazo pedido para pagamento. Em seguida, o banco desconta a promissória a uma taxa de desconto comercial de 4% a.m. e entrega ao cliente o valor líquido. Se uma pessoa precisar hoje de $7.000,00, para pagamento daqui a 3 meses, qual o valor da promissória que ele deverá assinar? Resposta: $7.954,55 4) Um banco realiza operações de desconto de duplicatas utilizando uma taxa de desconto comercial de 3% a.m.. Qual a taxa efetiva de juros simples mensal, se os prazos de vencimento forem: a) um mês; Resposta: 3,09% a.m. b) dois meses: Resposta: 3,9% a.m. c) cinco meses. Resposta: 3,53% a.m. 5) Uma Nota Promissória com valor nominal de $2.500,00, paga em 25 dias antes do seu vencimento, teve uma redução comercial de $50,00. Qual a taxa de desconto empregada? Resposta: 28,8% a.a. 44

45 6) Qual o prazo de antecipação do resgate tal que o desconto racional seja igual a três quartos do desconto comercial, considerando-se uma taxa de 40% ao ano em ambos os descontos? Resposta: 0 meses 7) Uma empresa, necessitando de capital de giro, decide descontar uma duplicata 2 meses antes do vencimento. Tal operação pode ser feita num banco A ou num banco B. O banco A utiliza uma taxa de desconto comercial de 2,5% a.m. mais uma taxa de serviço igual a 0,8% do valor do título; o banco B utiliza uma taxa de desconto comercial de 3,% a.m. sem taxa de serviço. Qual banco a empresa deverá escolher? Resposta: Banco A 45

46 8) Se um banco deseja ganhar a taxa efetiva mensal de juros simples de 3% a.m. em operações de desconto de duplicatas, que taxa mensal de desconto comercial deverá cobrar, se os prazos de vencimento forem: a)um mês; Resposta: 2,9% a.m. b)três meses. Resposta: 2,75% a.m. 9) A diferença entre o valor atual racional e o valor atual comercial é de $89,7, sendo o prazo de antecipação de 90 dias e a taxa de 36% ao ano. Qual o valor nominal do título? Resposta: $2.000,00 20) Para promissórias com prazo de vencimento de 2 meses, qual a taxa mensal de desconto comercial que proporciona uma taxa efetiva de juros de 6% no período? Resposta: 2,83% a.m. 46

47 2) Se um banco deseja ganhar uma taxa efetiva mensal de juros simples igual a 3% a.m. em operações de desconto de duplicatas, indique a taxa mensal de desconto comercial que deverá ser utilizada, se os prazos de vencimento forem: a) mês; Resposta: 2,9% a.m. b)3 meses; Resposta: 2,75% a.m. c)25 dias. Resposta: 2,93% a.m. 22) Uma determinada loja efetua suas vendas dando ao cliente três meses de prazo para pagamento. Se o cliente optar pelo pagamento à vista, receberá um desconto de 0% sobre o valor nominal da compra. Qual taxa efetiva de juros no período está sendo cobrada pela loja? (Nesse tipo de situação, isto é, desconto para pagamento à vista, a taxa de desconto utilizada é a taxa do período, neste caso, nos três meses). Resposta:,% a.p. 23) Um desconto de 20% para pagamento à vista, de um produto cujo preço é dado para pagamento em 4 meses, corresponde a que taxa efetiva de juros no período? Resposta: 25% a.p. 47

48 4.2 Desconto Composto A idéia de desconto composto guarda analogia com a de desconto simples. Existem duas modalidades de desconto composto, o racional e o comercial. Contrariamente ao que ocorre no caso do desconto simples aqui o desconto racional é muito mais usado que o comercial. Por esta razão, vamos nos restringir ao desconto racional. Desconto racional ou desconto por dentro é a diferença entre o valor futuro e o valor presente de um documento financeiro. Valor Futuro (FV) ou Valor Nominal (VN) É o valor de face do documento. Para calcularmos o Valor Futuro usaremos a fórmula do Montante Composto. n M C.(.i) onde M = Valor Futuro C = Valor Presente i = d (taxa de desconto) n = período de antecipação Logo: FV PV.( d) n Valor Presente (PV) ou Valor Atual (VA) É o valor do resgate, valor líquido, valor presente de um título resgatado ou descontado antes do seu vencimento. FV PV.( d) n FV PV ( d) n 48

49 4.2. Valor do Desconto Composto: DC É a diferença entre o Valor Futuro e o Valor Presente, cujo compromisso foi saldado antes do vencimento. DC FV PV FV DC FV ( d) n DC FV. - ( d) n Taxa de Desconto Composto (d) FV PV( d) n FV PV ( d) n FV PV n ( d).n n FV PV n d FV d PV n Tempo (n) FV PV( d) n FV PV ( d) n FV log log( d) PV n FV log n.log( d) PV FV log. PV n log. ou FV ln. PV n d ln. d 49

50 4.2.4 Taxas Equivalentes Dizemos que duas taxas são equivalentes a juros compostos quando, aplicadas num mesmo capital e durante o mesmo prazo, produzem montantes iguais. Assim, se " i " e " i 2 " forem as taxas e " n " e " n 2 " o referido prazo expresso na mesma unidade das respectivas taxas, então deveremos ter: C.( i n n 2 ) C.( i2 ) n n2 e, portanto, ( i ) ( i 2 ) Exemplificando: Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.? Resolução: Chamamos " i " a taxa procurada e " i 2 " a taxa conhecida e adotando um prazo padrão de ano teremos então: i n i 2 n? (taxa anual) 2 ano 2% a.m. 2meses i 2 0,02 a..m. ( i ) n ( i 2 ) n 2 ( i ) ( 0,02) 2 i,02 2 i,2682 i 0,2682 i 26,82% a.a. Exemplo: Qual o valor de resgate de um título de R$ 6.504,40 vencível daqui a 9 meses, à taxa efetiva de desconto racional composto de 46,4% a.a. capitalizável trimestralmente? Resolução: FV 6.504,40 n 9 meses d 0,464 a.a. PV? n 3 trimestres 50

51 d n? (a.t.) 4 trim. d n 2 2 0,464 a.a. ano ( d ) n ( d ) n2 2 ( d ) 4 ( 0,464) ( d ).4 4 (,464) 4 d, d, d 0, a.t. PV FV d n 6504,4 PV 3 ( 0,) PV R$ 2.400,00 Exercícios: ) Em juros compostos, qual a taxa trimestral equivalente a 5% a.a.? 2) Um título de valor nominal de R$ ,00 foi descontado dois meses antes do vencimento a taxa de desconto composto de 5% a.m. Qual o valor do desconto? 5

52 3) O desconto racional composto de um título de R$ ,00 foi de R$ 7.903,00. Sendo a taxa de desconto de 5% a.m., qual o prazo de antecipação? Exercícios Complementares: ) Um título de valor nominal de $50.000,00 foi descontado três meses antes do vencimento à taxa de 5% a.m.. Qual o valor líquido do título pelo desconto racional composto? Resposta: $43.9,88 2) Na venda de uma Letra de Câmbio (LC), 25 dias antes do resgate, o comprador, desejando um ganho de 05,30% a.a., oferece $ ,00 ao credor da letra. Qual o valor dessa LC? Resposta: $ ,88 52

53 3) Na venda de uma Letra de Câmbio, 36 dias antes do resgate, o comprador, desejando um ganho de 43,30% a.a., ofereceu $30.500,00 ao credor da letra. Qual o valor dessa LC na data do resgate? Resposta: $3.67,28 4) O valor do desconto racional composto de uma nota promissória que vence em três anos é de $0.500,00. A taxa de desconto utilizada na operação é de 20% a.a. com capitalização trimestral. Qual o valor nominal da nota promissória? Resposta: $24.923,08 5) O desconto racional composto de um título cujo valor nominal é de $ ,00 foi de $44.58,22. Sendo de 4% a.m. a taxa de desconto cobrada, qual o prazo de antecipação do resgate? Resposta: 5 meses 53

54 6) O desconto racional composto de um título de $50.000,00 foi de $2.698,22. Sendo a taxa de desconto mensal cobrada de 5%, calcule o prazo de antecipação. Resposta: 6 meses 7) O valor nominal de um compromisso é de cinco vezes o desconto racional, caso a antecipação seja de dez meses. O valor de resgate desse título é de $25.000,00. Qual o seu valor nominal? Resposta: $56.250,00 54

55 8) O valor nominal de um compromisso é de seis vezes o desconto racional, caso a antecipação seja de oito anos. Sendo o valor de resgate do título de $ ,00, determine: a) A taxa de desconto anual. Resposta: 2,3% a.a. b) O valor nominal. Resposta: $ ,00 9) Marcelo propõe a um amigo a venda de um título por $20.563,28. Esse amigo diz que só se interessará pela compra se puder ganhar 20% a.m.. Sendo o valor do título $ ,00, qual deve ser o prazo de antecipação? Resposta: 4 meses 55

56 0) Um banco de investimento deseja realizar um empréstimo para uma determinada empresa, que deverá liquidá-lo no final do sétimo mês por $ ,00. Qual o valor que deve ser abatido no ato da contratação se a empresa deseja limitar esse pagamento final em $ ,00? O banco opera em regime de desconto composto à taxa de 4% a.m.. Resposta: $3.987,67 ) Uma empresa contraiu um empréstimo no regime de juros compostos, à taxa de 2% a. m. para ser liquidado em dois pagamentos. A primeira parcela será de $ ,00 e deverá ser paga no final do quarto mês. A segunda parcela será de ,00 e deverá ser paga no final do oitavo mês. Esse empréstimo poderia ser liquidado com um único pagamento de $ ,60. Em que prazo deve ser efetuado tal pagamento para que a taxa de 2% a.m. não se altere? Resposta: 0 meses 56

57 5 TAXAS DE JUROS Uma parte bastante complexa dentro da Matemática Financeira refere-se ao estudo das taxas de juros. Isso porque é muito comum a ocorrência de contratos escritos onde são usadas apenas taxas referenciais em que a capitalização não ocorre na periodicidade indicada pela taxa. Vamos, então, conceituar cada tipo de taxa utilizada no dia a dia das operações financeiras. 5. Taxa Efetiva Uma taxa de juros é efetiva quando coincide com o período de capitalização do investimento. Por exemplo: 0% ao mês com capitalização mensal;,5% ao dia com capitalização diária. Tendo em vista a coincidência nas unidades de medida dos tempos das taxas de juros e dos períodos de capitalização, costuma-se dizer simplesmente: 0% ao mês e,5% ao dia. 5.2 Taxas Proporcionais Duas ou mais taxas são ditas proporcionais quando, ao serem aplicadas sobre o mesmo capital durante o mesmo período, produzem o mesmo montante no regime de juros simples. Ao falar nisto, devemos lembrar que uma das características é a linearidade e, conseqüentemente, a validade da regra de três simples. Exemplos: 36% ao ano e 3% ao mês; 36% ao ano e 9% ao trimestre; 36% ao ano e 2% ao quadrimestre; 36% ao ano e 8% ao semestre. As taxas proporcionais podem ser assim relacionadas: i a..a. 2.i a.s. 3.i a.q. 4.i a.t. 2.i a.m i a.d. 57

58 5.3 Taxas Equivalentes Duas ou mais taxas são equivalentes se, quando aplicadas sobre o mesmo capital durante o mesmo período, produzem o mesmo montante no regime de juros compostos Assim, se " i " e " i 2 " forem as taxas e " n " e " n 2 " o referido prazo expresso na mesma unidade das respectivas taxas, então deveremos ter: C.( i n n 2 ) C.( i2 ) n n2 e, portanto, ( i ) ( i 2 ) Exemplificando: Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.? Resolução: Chamamos " i " a taxa procurada e " i 2 " a taxa conhecida e adotando um prazo padrão de ano teremos então: i n i 2 n? (taxa anual) 2 ano 2% a.m. 2meses i 2 0,02 a.m. ( i ) n ( i ) n2 2 ( i ) ( 0,02) 2 i,02 2 i,2682 i 0,2682 i 26,82% a.a. Podemos calcular a taxa equivalente também através da seguinte expressão: i eq i p q onde: " i eq " é a taxa equivalente; i é a taxa fornecida; p é o período desejado em dias que se refere a taxa procurada (equivalente); q é o período fornecido em dias que se refere a taxa fornecida. 58

59 59

60 Exemplos: a) Calcule a taxa mensal equivalente a 43% a.a.. No programa da HP-2C, só usaremos as teclas: (i) Taxa conhecida; (PV) Período desconhecido; (FV) Período conhecido. Então teremos: i = 43% a.a. PV = mês FV = ano = 2 meses TECLAS VISOR SIGNIFICADO 43 (i) 43,00 Insere a taxa conhecida em i. 2 (FV) 2,00 Insere o período da taxa conhecida em FV. (PV),00 Insere o período da taxa desconhecida em PV. (R/S) Running Roda o programa. 4,60 Calcula a taxa equivalente ao mês. b) Determine a taxa diária equivalente a 25% a.t.. i = 25% a.t. PV = dia FV = trimestre = 90 dias TECLAS VISOR SIGNIFICADO 25 (i) 25,00 Insere a taxa conhecida em i. 90 (FV) 90,00 Insere o período da taxa conhecida em FV. (PV),00 Insere o período da taxa desconhecida em PV. (R/S) Running Roda o programa. 0,25 Calcula a taxa equivalente ao dia. 60

61 c) Aplicando a fórmula, determine em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.? i eq =? i = 0,02 am p = 360 dias q = 30 dias Obs.: È aconselhável trabalharmos com os períodos em dias, pois é comum, no mercado financeiro, períodos em dias. i eq i p q 360 0,02 i 30 eq i eq 0, 2682 i eq 26,82% a. a. 5.4 Taxa Nominal É a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais e os períodos de capitalização podem ser semestrais, quadrimestrais, trimestrais, bimestrais, mensais ou diários, Exemplos: 20% ao ano, capitalizados mensalmente; 36% ao ano, capitalizados semestralmente. A taxa nominal, antes de ser utilizada em qualquer tipo de cálculo, deve ser efetivada, isto é, deve ser calculada sempre a taxa efetiva equivalente à taxa nominal em questão, através da expressão: onde: i N é a taxa nominal; n in i n n é o número de períodos de capitalização. Exemplo: Qual a taxa efetiva anual, com capitalização mensal, cuja taxa nominal é de 6% ao ano? 6

62 i =? i N = 6% a.a. n = 2 períodos i N = 0,06 a.a. n 2 in 0,06 i - i i 0,067 i 6,7% a.a. n Taxa Over A taxa over é uma taxa nominal expressa ao mês com capitalização diária, porém válida somente para dias úteis, ou seja, sua capitalização ocorre unicamente em dia de funcionamento do mercado financeiro. Exemplo: 3% ao mês, por dia útil A taxa efetiva correspondente é expressa por: io i 30 n onde: i o é a taxa over; n é o número de dias úteis do mês. 5.6 Taxa Bruta e Taxa Líquida A taxa bruta de uma aplicação financeira é a taxa de juros obtida considerando o valor da aplicação e o valor do resgate bruto, sem levar em conta o desconto do imposto de renda sobre os juros que é retido pela instituição financeira. A taxa líquida de uma aplicação financeira é a taxa de juros obtida considerando o valor da aplicação e o valor do resgate líquido, levando em conta o desconto do imposto de renda sobre os juros que é retido pela instituição financeira. 62

63 5.7 Taxa aparente e taxa real A taxa aparente (chamada nominal nas transações financeiras e comerciais) é aquela que vigora nas operações correntes. A taxa real é aquela calculada depois de serem expurgados os efeitos inflacionários As taxas aparente e real relacionam-se da seguinte forma: ( + i) = (+ i ).(+I) r onde: i é a taxa aparente; i r é a taxa real; I é a taxa de inflação. Por exemplo, a taxa real de um empréstimo a uma taxa aparente de 20% a.m., considerando uma inflação para o mesmo período de 5%, é: ( i) ( ir ).( I),2 ( 0,2) ( ir ).( 0,5),2 ( ir ).,5 ir ir,5 i r = 0, i r = 4,3478% a.m., Exercícios Complementares: ) Calcular os montantes acumulados, no final de 3 anos, a partir de um principal de $.500, no regime de juros simples, com as seguintes taxas de juros: 2% a.a., 6% a.s. e % a.m. Resp.: $ 2.040, $ e $

64 2) Determinar as taxas semestral, mensal e diária, proporcionais à taxa de 36% a.a. Resp.: 8% a.s., 3% a.m. e 0,0% a.d. 3) Qual a taxa mensal equivalente a 0% a.a.? Resp.: 0,7974% a.m. 4) Um capital foi aplicado a 3% a.m. Qual a taxa semestral que produziria o mesmo efeito? Resp.: 9,4052% a.s. 64

65 5) Se a taxa de juros é de 2,5% para 28 dias, qual a taxa equivalente para 42 dias? Resp.: 3,7733% a.p. 6) Uma instituição cobra juros de 24% a.a., capitalizados mensalmente. Qual a taxa efetiva implícita? Qual a taxa efetiva anual equivalente? Resp.: 2% a.m., 26,8242% a.a. 7) Qual a taxa mensal equivalente à taxa de 24% a.a., capitalizada trimestralmente? Resp.:,963% a.m. 65

66 8) Qual a taxa anual, com capitalização trimestral, cuja taxa efetiva é de 20% a.a.? Resp.: 8,65% a.a., capitalizada trimestralmente 9) Uma aplicação de $ proporcionou um montante líquido de $ 0.273,26 ao final de três meses. Sabendo-se que a alíquota de IR é de 25% para este tipo de aplicação, qual a taxa bruta mensal que remunerou o investimento? Resp.:,20% a.m. 0) Um investidor aplicou $ por um período de 80 dias à taxa de 2% a.a. Se o IR incidente é de 20% para este tipo de aplicação, qual a taxa líquida mensal auferida pelo investidor? Resp.: 0,7627% a.m. 66

67 ) Se a taxa aparente é de 2% a.m. e a inflação no período de 0,85%, qual a taxa real? Resp.:,403% a.m. 2) Se a taxa de inflação é de 0,78% a.m. e no mesmo período a taxa real é de 0,5%, qual a taxa aparente resultante? Resp.:,2839% a.m. 3) A taxa aparente é de,2% a.m. Se a taxa real embutida é de 0,5% a.m., qual a taxa de inflação? Resp.: 0,6965% a.m. 67

68 4) Que taxa mensal remunerará um capital que tenha sido aplicado à taxa over de,2% a.m., sendo de 2 o número de dias úteis deste? Resp.: 0,8434% a.m. 5) Se a taxa efetiva foi de 0,8098% a.m. para um mês com 22 dias úteis, qual a taxa over considerada? Resp.:,% a.m. 68

69 6 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS O conceito de equivalência permite transformar formas de pagamentos ou recebimentos em outras equivalentes e, conseqüentemente, efetuar comparações entre elas. Consideremos o seguinte exemplo: um prédio é vendido por R$ ,00 à vista ou então à prazo, em 3 parcelas mensais de R$ ,00 cada uma, sem entrada. Qual a melhor alternativa para o comprador se ele pode aplicar seu dinheiro a juros compostos à taxa de 2% ao mês e tem fundos suficientes para pagar à vista? Uma forma de resolver essa questão é a seguinte: se ele pagar a prazo, após um mês de aplicação ele terá R$ ,00. Pagando R$ ,00 de prestação, sobram-lhe R$ ,00. Aplicando R$ ,00 por mais um mês, ele terá no final R$ ,00; pagando a 2ª prestação, sobram-lhe R$ ,00. Aplicando finalmente R$ ,00 por mais um mês, ele terá ao final R$ ,00, o que dá para pagar a última prestação e ainda lhe sobram R$ ,00. Vê-se que é melhor pagar a prazo. Problemas dessa natureza podem ser resolvidos desta forma. Contudo, situações em que o número de prestações seja 36, 48 ou mais, seria muito trabalhoso. Veremos a seguir formas mais simples de resolver questões desse tipo. 6. Equivalência de dois capitais Consideremos dois capitais, x e y, separados por n períodos de tempo, por exemplo, o primeiro na data 0 e o segundo na data n. Dizemos que x e y são equivalentes a uma taxa de juros compostos i, se: x( i) n y ou seja: y x ( i) n Exemplo: A uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, R$ ,00, daqui a 3 meses equivalem quanto hoje? y

70 Sendo x o capital hoje, temos: x 0 3 y x x n 3 ( i) 0,02 x R$ , Valor Presente ou Valor Atual de um Conjunto de Capitais Considerando os capitais y0, y, y2,..., yn, nas datas 0,, 2, 3,...,n, respectivamente. Chamamos Valor Presente (PV) ou valor atual (VA) na data 0 desse conjunto, a uma taxa de juros i, à soma dos valores equivalentes desses capitais na data 0. y 0 y y 2... y n n Chamando de PV, o valor presente, teremos: PV y 0 y y i i i n y n Exemplo: Uma empresa prevê o pagamento de R$ ,00 daqui a um mês e R$ ,00 daqui a três meses. Quanto deverá aplicar hoje, a juros compostos, á taxa de,5% ao mês para fazer frente a essas despesas? 70

71 y y y y PV PV PV R$ , i i 0,05 0,05 RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-2C TECLAS VISOR SIGNIFICADO 0 (g) (CF 0 ) 0,00 Introduz o pagamento no instante (g) (CF j ) ,00 Introduz o pagamento no instante 0 (g) (CF j ) 0,00 Introduz o pagamento no instante (g) (CF j ) ,00 Introduz o pagamento no instante 3,5 (i),50 Introduz a taxa (f) (NPV) ,83 Calcula o Valor Presente 6.3 Conjunto de Capitais Equivalentes Consideremos os conjuntos de capitais: y 0, y, y 2,...,y n, nas datas 0,, 2, 3,...,n, respectivamente. y 0 y y 2... y n n y 0, y, y 2,...,y m, nas datas 0,, 2, 3,...,m, respectivamente. 7

72 y ' 0 y ' 2 y '... y ' m m Dizemos que esses conjuntos são equivalentes a uma taxa de juros compostos i, se seus valores atuais forem iguais. Assim chamando de PV e PV 2 os valores atuais desses dois conjuntos, devemos ter: PV = PV 2 Exemplo: Uma loja vende uma geladeira nas seguintes condições: entrada de R$.000,00 mais uma parcela de R$.200,00 após um mês. Um cliente propõe pagar uma entrada de R$ 600,00, mais duas prestações mensais iguais, vencendo a primeira um mês após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 3% a.m., qual o valor de cada parcela, de modo que as duas formas de pagamentos sejam equivalentes? ª Forma: y y 0 0 PV y 0 y PV i 0,03 2ª Forma: 600 y y y y 0 y 2 PV 2 y 0 y como PV =PV 2 ; 0 2 y 2 PV 600 i i 2 2 0,03 0,03 2 y y 72

73 200 y y 000 = , ,97087y 0,94259y 2,03,03,03 565, ,0485=,9346y y y R$ 87,9,9346 Exercícios Complementares: ) Uma Nota Promissória, cujo valor nominal é $50.000,00, vence daqui a um mês. O devedor propõe a troca por outra Nota Promissória, a vencer daqui a três meses. Qual deve ser o valor nominal da nova Nota Promissória para que os capitais sejam equivalentes, à taxa de 2% a.m.? Resposta: $52.020,00 2) Uma pessoa tem uma dívida de $60.000,00 para daqui a dois meses e outra de $80.000,00 para daqui a três meses. Quanto deverá aplicar hoje à taxa de juros de 2% a.m. para fazer frente a essas dívidas? Resposta: $33.055,9 3) Resolva o problema anterior, considerando as taxas: a)2,2% a.m. Resposta: $32.388,7 b),8% a.m. Resposta: $33.727,93 73

74 4) Uma empresa prevê pagamentos de $ ,00 daqui a um, dois e três meses. Quanto deverá aplicar hoje, a taxa de,6% a.m., para fazer frente a esses pagamentos? Resposta: $ ,98 5) Um aparelho de TV é vendido por $.500,00 ou por 20% de entrada, mais duas parcelas mensais e iguais. Sabendo-se que a taxa de juros vale 6% a.m., qual o valor de cada parcela de modo que as duas formas de pagamento sejam equivalentes? Resposta: $654,52 6) Resolva o problema anterior, supondo que haja três pagamentos mensais, além da entrada. Resposta: $448,93 7) Um aparelho de som é vendido por $3.000,00 à vista ou, então, com uma entrada e mais três parcelas mensais de $800,00 cada uma. Se a loja trabalha com uma taxa de juros compostos de 3,5% a.m., qual o valor da entrada? Resposta: $758,69 74

75 8) Um terno é vendido em uma loja por $800,00 de entrada mais uma parcela de $400,00, após um mês. Um comprador propõe dar $200,00 de entrada. Nessas condições, qual o valor da parcela mensal, sabendo que a loja opera a uma taxa de juros compostos de 4% a.m.? Resposta: $.024,00 9) Um aparelho de som é vendido à vista por $3.000,00, podendo também se financiado da seguinte forma: a) entrada: 30%; b) duas parcelas mensais, sendo a 2ª igual ao dobro da ª e vencendo a ª dois meses após a compra. Qual o valor de cada prestação se a loja opera a uma taxa de juros de 4% a.m.? Resposta: $777,04 e $.554,09 0) Um conjunto de sofás é vendido à vista por $.500,00, ou a prazo por três prestações mensais sem entrada, sendo a segunda igual ao dobro da primeira e a terceira o triplo da primeira. Obtenha o valor da segunda prestação, sabendo-se que a loja opera a uma taxa de juros compostos de 5% a.m. Resposta: $559,92 ) Carlos pretende vender o seu terreno por $50.000,00 à vista. Entretanto, em face das dificuldades de venda à vista, está disposto a fazer o seguinte plano de pagamento: 75

76 a) entrada de $0.000,00; b) $0.000,00 no fim de três meses; c) duas parcelas, sendo a segunda 50% superior à primeira, vencíveis em seis meses e um ano, respectivamente. Admitindo-se que a taxa de juros do financiamento é de 4% a.m. (juros compostos), calcule o valor da última parcela. Resposta: $27.07,59 2) Uma determinada loja vende um conjunto de som em três parcelas, sendo $.500,00 de entrada, $2.000,00 depois de três meses e $3.500,00 depois de seis meses. Considerando-se que a taxa de juros mensal cobrada é de 5% e o regime de capitalização composta e, ainda, que o comprador precisou adiar a terceira parcela por mais dois meses, a entrada deverá ser alterada para que valor? Resposta: $.742,82 3) Bruno pretende vender seu imóvel por $ ,00 à vista. Entretanto, em face das dificuldades de venda à vista, está disposto a fazer o seguinte plano de pagamento: a) entrada de $20.000,00; b) $ ,00 no fim de seis meses; c) duas parcelas, sendo a segunda 50% superior à primeira, vencíveis em um ano e 5 meses, respectivamente. Admitindo-se que a taxa de juros de mercado é de 6% a.m. (juros compostos), calcule o valor da última parcela. Resposta: $ ,03 76

77 4) Em uma butique do Shopping Praia de Belas, uma senhora é atendida por um vendedor, que afirma: O preço desse vestido é de $2.00,00, mas a senhora poderá comprá-lo em três parcelas mensais iguais sem acréscimo, sendo a primeira dada como entrada. Se a taxa de juros cobrada pela butique, nas vendas a prazo, é de 4% a.m., que porcentagem do preço dado pode a loja dar de desconto para pagamento à vista? Resposta: 3,8% 5) Uma empresa deve pagar três títulos. O primeiro de $ ,00 exigível em três meses; o segundo de $ ,00 exigível em seis meses e o terceiro de $ ,00 exigível em nove meses. A empresa pretende substituir esses três títulos por um único de $ ,00. Admitindo-se o regime de juros compostos e uma taxa mensal de 8%, determine o prazo do novo título. Resposta: 2 meses 77

78 7 RENDAS (ANUIDADES) Renda é uma série de pagamentos vencíveis ou de capitais disponíveis (recebimentos) em datas diferentes. Cada um dos pagamentos ou recebimentos da série se chama termo, prestação ou simplesmente pagamento ou desembolso da renda. Os intervalos de tempo entre os vencimentos de dois pagamentos ou recebimentos consecutivos são chamados períodos da renda. 7. Séries Uniformes de Pagamentos e de Recebimentos Diz-se que uma série é uniforme quando todos os seus termos (pagamentos ou recebimentos) são iguais e é feito em períodos homogêneos, ou seja, os pagamentos e recebimentos têm vencimentos, valores e número pré-estabelecidos e a taxa de juros fixada. Chama-se Valor Presente ou Valor Atual de uma série uniforme a soma dos valores presentes de cada um dos pagamentos ou recebimentos, calculados numa data anterior às datas de disponibilidade dos mesmos com uma taxa de juros fixada. Chama-se Valor Futuro, Valor Nominal ou Montante de uma série uniforme a soma dos valores futuros de cada um dos pagamentos ou recebimentos, calculados numa data posterior às datas de disponibilidade dos mesmos com uma taxa de juros também fixada. 7.. Classificação das Séries Uniformes a) Quanto ao prazo: Temporárias: o prazo de pagamentos ou recebimentos é finito. Perpétuas: o prazo é infinito. b) Quanto aos valores dos termos: Uniforme: termos iguais. Variável: termos distintos. 78

79 c) Quanto à periodicidade: Periódica: períodos iguais. Não periódica: períodos distintos. d) Quanto à ocorrência do primeiro termo: Imediata: Ocorre no primeiro período de pagamento ou recebimento. Diferida: Ocorre após o primeiro período de pagamento ou recebimento. Obs.: As séries imediatas e diferidas classificam-se ainda em postecipadas e antecipadas: POSTECIPADAS: Os termos da série ocorrem nos finais dos períodos de pagamentos ou recebimentos. ANTECIPADAS: Os termos da série ocorrem nos inícios dos períodos de pagamentos ou recebimentos. 7.2 Séries Uniformes Imediatas Postecipadas O Valor Presente (PV) é avaliado um período antes do primeiro pagamento ou recebimento e o Valor Futuro (FV) é avaliado juntamente com o último pagamento ou recebimento. FV PV Cálculo do Valor Presente PV (Postecipado) PV PMT i i n PV = Valor Presente FV = Valor Futuro PMT = Valor do pagamento ou recebimento i = taxa de juros n = número de pagamentos, depósitos ou recebimentos 79

80 7.2.2 Cálculo do Valor Futuro FV (Postecipado) i FV PMT i n 7.3 Séries Uniformes Imediatas Antecipadas O Valor Presente (PV) é avaliado juntamente com o primeiro pagamento ou recebimento e o Valor Futuro (FV) é avaliado um período após o último pagamento ou recebimento. FV PV Cálculo do Valor Presente PV (Antecipado) PV PMT i i n. i Cálculo do Valor Futuro FV (Antecipado) FV i PMT i n. i 80

81 É importante relacionar as fórmulas utilizadas para os cálculos dos Valores Presentes e dos Valores Futuros das séries imediatas antecipadas e postecipadas com os momentos em que estas variáveis são avaliadas, o que podemos observar nos diagramas sobrepostos abaixo. FV 2 FV PV 2 PV Série Imediata Antecipada Série Imediata Postecipada Exemplos: a) Uma Concessionária de Automóveis vende um carro em quatro prestações iguais de de R$ 0.250,00, sendo a primeira dada com entrada. Sabendo que os juros do mercado são aproximadamente 3% ao mês, qual é o preço do carro à vista? PV PV PMT. Série Antecipada (Entrada) i i n. i PMT = 0.250,00 PV PV R$ ,27 0,03 0, ,03 RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-2C TECLAS VISOR SIGNIFICADO (g) (7) BEGIN (Início) Informa que se trata de série Antecipada (f) (REG) 0,00 Limpa todos os dados registrados (f) (2) 0,00 Introduz 2 casas decimais 0250 (CHS) (PMT) ,00 Introduz a prestação 3 (i) 3,00 Introduz a taxa 4 (n) 4,00 Introduz o número de prestações (PV) ,27 Calcula o Valor Presente 8

82 Observação importante: Utilizando os dados já armazenados na calculadora é possível calcular o Valor Presente do carro, utilizando uma operação financeira com prestações postecipadas, ou seja, sem entrada, da seguinte forma: TECLAS VISOR SIGNIFICADO (g) (8) ,27 Informa que se trata de série Postecipada (PV) 38.00,26 Calcula o Valor Presente b) Qual é o valor das prestações a serem pagas, sem entrada, na compra de um televisor de R$ 900,00 (à vista), em cinco parcelas mensais, iguais, sabendo-se que a taxa de mercado é 2,5% ao mês? PV = 900,00 Série Postecipada (sem entrada) PV PMT. 900 PMT. i i n 0,025 0,025 5 PMT =? PMT R$93,72 RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-2C TECLAS VISOR SIGNIFICADO (g) (8) 0,00 Informa que se trata de série Postecipada (f) (REG) 0,00 Limpa todos os dados registrados (f) (2) 0,00 Introduz 2 casas decimais 900 (CHS) (PV) -900,00 Introduz o Valor Presente 2,5 (i) 2,50 Introduz a taxa 5 (n) 5,00 Introduz o número de prestações (PMT) 93,72 Calcula o valor das Prestações 82

83 Observação importante: Utilizando os dados já armazenados na calculadora é possível calcular o valor das Prestações, utilizando uma operação financeira com prestações antecipadas, ou seja, com entrada, da seguinte forma: TECLAS VISOR SIGNIFICADO (g) (7) BEGIN (Início) Informa que se trata de série Antecipada (PMT) 89,00 Calcula o valor das Prestações c) Calcule o Montante (Valor Futuro) que uma pessoa acumulará se desembolsar 4 parcelas de R$ 4.000,00, mensalmente, sendo a primeira no ato da operação, à taxa de 2,2% ao mês. FV Série Antecipada (com entrada) FV FV 0, ,022 i PMT. i n. i 4. 0,022 PMT = R$ 4.000,00 FV R$ 6.899,57 RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-2C TECLAS VISOR SIGNIFICADO (g) (7) BEGIN (início) Informa que se trata de série Antecipada (f) (REG) 0,00 Limpa todos os dados registrados (f) (2) 0,00 Introduz 2 casas decimais 4000 (CHS) (PMT) ,00 Introduz o valor dos depósitos 2,2 (i) 2,20 Introduz a taxa 4 (n) 4,00 Introduz o número de depósitos (FV) 6.899,57 Calcula o Valor Futuro (Antecipado) (g) (8) 6.889,57 Informa que se trata de série Postecipada (FV) 6.535,79 Calcula o Valor Futuro (Postecipado) 83

84 7.4 Séries Uniformes com Parcelas Adicionais Muitas vezes ocorrem situações de financiamento em que, além da série uniforme de prestações, existem prestações extras (ou reforços). Nesse caso, o Valor Presente do conjunto é a soma do Valor Presente da seqüência uniforme com o Valor Presente das prestações de reforço. Exemplo: Um terreno é vendido a prazo em 2 prestações mensais de UR cada uma, postecipadas, mais duas prestações de reforço vencíveis em 6 e 2 meses após a compra, cada uma de UR. Qual o preço à vista, se a taxa de juros do financiamento for de 3,2% a.m.? PV PMT i i n y 6 y i i PV ,032 0, ,032,032 PV = 49.8, , ,83 PV = 79.44,7 UR RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-2C TECLAS VISOR SIGNIFICADO (f) (2) 0,00 Introduz 2 casas decimais (f) (REG) 0,00 Limpa todos os dados registrados (g) (8) 0,00 Informa que se trata de série Postecipada 2 (n) 2,00 Introduz o número de prestações 84

85 3,2 (i) 3,20 Introduz a taxa 5000 (CHS) (PMT) ,00 Introduz o valor das prestações (PV) 49.8,02 Calcula o Valor Presente das prestações (STO) () 49.8,02 Armazena na memória o PV das prestações (f) (FIN) 49.8,02 Limpa todos os registros financeiros 6 (n) 6,00 Introduz o período do primeiro Reforço 3,2 (i) 3,20 Introduz a taxa (CHS) (FV) ,00 Introduz o valor do primeiro Reforço (PV) 6.555,86 Calcula o Valor Presente do primeiro Reforço (STO) (2) 6.555,86 Armazena na memória 2 o PV do º Reforço (f) (FIN) 6.555,86 Limpa todos os registros financeiros 2 (n) 2,00 Introduz o período do segundo Reforço 3,2 (i) 3,20 Introduz a taxa (CHS) (FV) ,00 Introduz o valor do segundo Reforço (PV) 3.704,83 Calcula o Valor Presente do segundo Reforço (RCL) () (+) 62885,85 Soma o PV do 2º Reforço com PV das prestações (RCL) (2) (+) 79.44,7 Calcula o valor Presente de toda operação Exercícios Complementares: ) Um bem cujo preço à vista é de $5.000,00 será pago em 0 prestações mensais iguais, consecutivas, postecipadas. Considerando que a taxa de juros a ser cobrada é de 2,5% a.m, calcular o valor das prestações. Resp.: $57,29 2) Um automóvel é vendido por $0.000,00 à vista, mas pode ser financiado a prazo em 6 prestações bimestrais iguais e postecipadas. Qual o valor das prestações, se a taxa de juros anunciada é de 3% a.m.? Resp.: $2.039,38 85

86 3) Quanto se deve aplicar hoje de forma que se possa receber $2.000,00 no final de cada um dos próximos 2 meses, considerando uma taxa de juros de 4,4% a.a., capitalizada mensalmente? Resp.: $22.326,36 4) Depositando-se hoje a quantia de $5.000,00 à taxa de 22% a.a. tem-se recebimentos anuais e postecipados de $.320,56. Qual o número de recebimentos? Resp.: 9 recebimentos 5) Uma empresa financia as suas vendas a prazo aplicando juros de 3% a.m. Calcular o valor da prestação para uma venda de $6.000,00, considerando 2 pagamentos, aos 45 e aos 90 dias. Resp.: $3.205,52 86

87 6) A compra de um veículo pode ser feita, a prazo, através de 6 prestações mensais iguais, consecutivas, antecipadas. O valor das 3 primeiras é de $7.500,00 e das 3 restantes, de $0.000,00. Considerada uma taxa de juros de 2,3% a.m., qual o valor à vista do veículo? Resp.: $49.394,33 7) Uma pessoa deseja comprar um microcomputador e dispõe de 3 alternativas de pagamento: a) à vista, $2.300,00; b) 8 prestações mensais postecipadas de $32,00; c) 6 prestações mensais antecipadas de $42,00. Se a taxa de juros é de 2% a.m, qual o esquema de pagamentos mais favorável para o comprador? Resp.: à vista 8) Um financiamento de $0.000,00 será pago em 5 prestações mensais postecipadas. Se as últimas três são de $2.800,00 cada e a taxa de juros aplicada de 3% a.m, determinar o valor de cada uma das duas primeiras prestações. Resp.: $.324,58 87

88 9) Um bem cujo preço à vista é de $5.000,00 pode ser pago, na condição a prazo, em três prestações mensais, iguais e consecutivas, a primeira a 90 dias da data da compra. Se a taxa de juros praticada for de 2,5% a.m, qual o valor das prestações? Resp.: $.839,3 0) Um imóvel pode ser adquirido à vista por $40.000,00. A prazo, através de entrada de 20% do valor à vista, 2 prestações mensais iguais e consecutivas à compra de $2.000,00 cada e dois reforços, ao final do 6º mês e do 2º mês, respectivamente. Se a taxa de juros adotada na transação for de 3% a.m, qual o valor de cada reforço? Resp.: $7.857,28 ) Quanto uma pessoa acumularia ao final de 2 meses, numa conta que remunera 0,9% a.m., se nela efetuasse 6 depósitos mensais imediatos antecipados iguais de $.000,00? Resp.: $6.533,84 88

89 2) Uma poupança que paga juros de % a.m. foi aberta com um depósito inicial de $0.000,00. O poupador, nos meses em seguida, efetuou 2 depósitos mensais iguais de $500,00. Qual o montante à sua disposição imediatamente após a realização do último depósito? Resp.: $7.609,50 3) Um fundo de renda fixa paga juros nominais de 4,4% a.a., capitalizados mensalmente. Um investidor fez um depósito inicial de $20.000,00 mais 24 depósitos mensais iguais e consecutivos, o primeiro 30 dias após o depósito de abertura. Sendo de $68.063,56 o montante ao final do período, qual o valor dos depósitos mensais? Resp.: $.529,64 89

90 4) Um automóvel cujo valor à vista é de $35.000,00 será pago mediante uma entrada de 0%, 24 prestações mensais de $.200,00 e 4 parcelas semestrais iguais. Considerandose uma taxa de juros de 2% a.m., qual o valor das parcelas semestrais? Resp.: $2.936,05 5) Um empréstimo contratado à taxa de 2,5% a.m. foi liquidado através de 2 prestações mensais postecipadas de $600,00 cada. Quanto totalizaram os juros pagos no período? Resp.: $.045,34 6) Desejando dispor de $0.000,00 dentro de 2 meses, uma pessoa começa hoje a depositar mensalmente em uma conta que rende 2% a.m. Calcular o valor de cada depósito antecipado de modo que disponha da quantia ao término do 2º mês? Resp.: $730,98 90

91 8 AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS Freqüentemente, nas operações de médio e longo prazo, por razões metodológicas ou contábeis, as operações de empréstimos são analisadas período por período, no que diz respeito ao pagamento dos juros e à devolução propriamente dita do principal ou valor do empréstimo (S 0 ). Consideremos os instantes de tempo 0,, 2, 3,..., n, na unidade expressa pela taxa de juros (em tudo que segue admitiremos o regime de capitalização composta). Se os juros produzidos em cada período são pagos no final do mesmo e se chamarmos de amortização no instante t (indicado por A t ) à diferença entre P t e j t, teremos: At Pt jt ou Pt At jt sendo: jt St.i O saldo devedor no instante t é igual ao saldo devedor no instante anterior (t -), acrescido dos juros produzidos por ele, menos o pagamento feito no instante t. S t S (t ) j P t t ou S t S (t) A t Notação: S S Saldo Saldo i Taxa de juros; P Pagamento efetivado no j Juros no t (t) t t devedor devedor período no ins tan te no que ins tan te vai t; ins tan te anterior t; de (t ) a t. (t -); principal. Assim, existem inúmeras seqüências de amortizações que têm por soma o 8. Sistema de Amortizações Constantes SAC Entre as inúmeras maneiras que existem para amortizar o principal, o Sistema de Amortizações Constante (SAC) é bastante utilizado na prática. Tal sistema consiste em se fazer com que todas as parcelas de amortização sejam iguais. S0 A A2 A3.... An n 9

92 O valor da prestação é dado por: P A n j n Percebe-se, assim, que as prestações do SAC constituem uma progressão aritmética decrescente, cujo primeiro termo a é A + S 0.i e cuja razão r é A.i. Observação: Para progressão aritmética (Pa) temos: a n. r an O gráfico da prestação em função do tempo tem o seguinte aspecto: Prestação j j2 j 3 j n A A A A n Tempo Exemplos: a) Um empréstimo de dólares deve ser devolvido em 5 prestações semestrais pelo SAC à taxa de 4% ao semestre. Construa a planilha de amortização. S 0 U$ ,00 n = 5 prestações S i = 0,04 a. s. A A A U$60.000, 00 n 5 92

93 Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação Semestral S t A t J t P t TOTAL b) Um empréstimo de dólares deve ser devolvido pelo SAC em 5 parcelas semestrais de amortização, com 2 semestres de carência, ou seja, a primeira parcela só é devida no 3º semestre. Sabendo-se que não há carência para os juros e que a taxa é de 5% a.s., obtenha a planilha. S 0 U$ ,00 n = 5 parcelas i = 0,05 a. s. S A A n 5 A U$60.000, 00 Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação Semestral S t A t J t P t TOTAL

94 8.2 Sistema de Amortização Francês ou Sistema PRICE No sistema de amortização Francês ou Tabela Price as prestações são iguais e consecutivas (a partir do instante em que começam a serem pagas as amortizações). Lembrando que o fator i i n é chamado de fator de Valor Presente (PV) e que PV PMT i i n. Como PV = S 0, teremos então que S PMT i i n 0. Logo: PMT S0 i i n Por outro lado, se os juros j, j 2, j 3,...,j n formam uma seqüência decrescente (pois o saldo devedor vai diminuindo) as amortizações A, A 2, A 3,...,A n formam uma seqüência crescente. Assim o gráfico das prestações em funçã do tempo tem o seguinte aspecto. Prestação A A 2 A 3 A n J J 2 J 3 J n n Tempo 94

95 Exemplo: Um empréstimo de dólares deve ser amortizado pelo sistema Francês em 5 prestações semestrais à taxa de 4% a.s.. Obtenha a planilha de amortização. S 0 = U$ ,00 n = 5 prestações i = 0,04 a.s. PMT S PMT PMT U$ 5 i 0,04 n i, ,69 Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação Semestral S t A t J t P t , , , , , , , , , , , , , , , , , ,09 6.9, ,69 TOTAL , , , Cálculo do Saldo Devedor no Sistema PRICE Quando desejamos calcular o saldo devedor num determinado instante, no sistema Price, o procedimento consiste no seguinte: calculamos o valor atual das prestações a vencer; com isso eliminamos o valor dos juros contidos nas prestações. Assim esse valor atual corresponde ao saldo a ser amortizado, ou seja, é o saldo devedor. Exemplo: Num empréstimo de R$ ,00 a ser pago pelo sistema francês, em 40 meses e à taxa de 3 % a.m., qual o saldo devedor no 25º mês?(supor paga a prestação desse mês). S 0 = n = 40 prestações i = 003 a.m. PMT S PMT PMT R$ ,79 40 i 0,03 n i,03 95

96 Prestações a vencer: 5 prestações O saldo devedor no 25º mês é o valor presente da seqüência uniforme das prestações a vencer (5 prestações). S 25 PMT i i n 5,03 S ,79 S25 0,03 25 R$ , Sistema Price pela HP-2C: Vamos resolver utilizando, inicialmente, a já conhecida Série Uniforme de Pagamentos, calculando o (PMT) postecipado (prestação). Utilizaremos, ainda, a função (f) (AMORT), que aciona um programa interno da máquina para apuração dos valores referentes aos juros, amortização do capital e saldo devedor. Voltemos à planilha do exemplo anterior Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação Semestral S t A t J t P t , , , , , , , , , , , , , , , , , ,09 6.9, ,69 TOTAL , , ,45 96

97 RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-2C TECLAS VISOR SIGNIFICADO (f) (FIN) (REG) 0,00 Limpa os registros financeiros e o visor. (g) (8) 0,00 Pagamento postecipado (CHS) (PV) ,00 Valor Presente (saldo devedor no período zero). 4 (i) 4,00 Taxa de juros. 5 (n) 5,00 Número de prestações. (PMT) 79.70,69 Valor das prestações. (n) (f) (AMORT) ,00 Valor dos juros no primeiro período. (x><y) 47.70,69 Valor da amortização do capital no primeiro período. (RCL) (PV) ,3 Saldo devedor no primeiro período. (n) (f) (AMORT) 26.09,93 Valor dos juros no segundo período. (x><y) ,76 Valor da amortização do capital no segundo período. (RCL) (PV) ,55 Saldo devedor no segundo período. (n) (f) (AMORT) 9.947,54 Valor dos juros no terceiro período. (x><y) ,5 Valor da amortização do capital no terceiro período. (RCL) (PV) ,40 Saldo devedor no terceiro período. (n) (f) (AMORT) 3.557,38 Valor dos juros no quarto período. (x><y) 66.44,3 Valor da amortização do capital no quarto período. (RCL) (PV) ,09 Saldo devedor no quarto período. (n) (f) (AMORT) Valor dos juros no quinto período. (x><y) ,09 Valor da amortização do capital no quinto período. (RCL) (PV) 0,00 Saldo devedor no quinto período. Observação: Quando pressionamos (f) (AMORT), a calculadora busca o valor dos juros do próximo período. No entanto, se pressionarmos 2 (f) (AMORT), o resultado será 97

98 o valor dos juros acumulados nos dois próximos períodos. Se em seguida, pressionarmos a tecla (x><y), obteremos o valor amortizado nos dois períodos, enquanto que as teclas (RCL) (PV) nos fornecem o saldo devedor no final do período considerado. Esse procedimento pode ser feito para qualquer número de prestações. Desta forma fica mais fácil trabalhar com prazos alongados. Exemplo: Em um financiamento de R$ ,00 a ser pago em 60 meses, com taxa de 3% a.m., apurar o saldo devedor após o pagamento da 30ª parcela. TECLAS VISOR SIGNIFICADO (f) (FIN) (REG) 0,00 Limpa os registros financeiros e o visor. (g) (8) 0,00 Pagamento postecipado (CHS) (PV) ,00 Valor Presente (saldo devedor no período zero). 3 (i) 3,00 Taxa de juros. 60 (n) 60,00 Número de prestações. (PMT).373,05 Valor das prestações. 30 (n) (f) (AMORT) 30.04,08 Valor dos juros acumulados nas prestações de a 30. (x><y).087,42 Valor da amortização pelas 30 primeiras parcelas. (RCL) (PV) ,58 Saldo devedor após o pagamento da 30ª parcela. 8.3 Sistema de Amortização Americano - SAA Através desse sistema, o pagamento do principal é feito de uma só vez, no final do período do empréstimo. Em geral, os juros são pagos periodicamente; entretanto, podem eventualmente ser capitalizados e pagos de uma só vez, junto com o principal (tudo depende do acordo entre as partes interessadas). Exemplo: Por um empréstimo de dólares, um cliente se propõe a devolver o principal daqui a dois anos, pagando semestralmente somente os juros à taxa de 4% a.s.. Obtenha a planilha. 98

99 Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação Semestral S t A t J t P t , , , , , , , , , , , , ,00 TOTAL , , ,00 Exercícios Complementares: ) Um banco libera para uma empresa um crédito de UR para ser devolvido pelo SAC em 6 parcelas trimestrais. Sendo a taxa de juros de 5% a.t., obtenha a planilha. Período Saldo devedor S t Amortização A t Juros J t Prestação P t TOTAL 2) Resolva o problema anterior, supondo que haja 2 trimestres de carência somente para as amortizações. 99

100 Período TOTAL Saldo devedor S t Amortização A t Juros J t Prestação P t 3) Um banco libera um crédito para uma empresa no valor de $ ,00. Esse empréstimo deve ser devolvido pelo SAC em 40 parcelas mensais, só que os valores têm de ser convertidos numa unidade de referência tal que seu valor na data de liberação do crédito seja $2.500,00. Obtenha os 4 primeiros meses da planilha (em UR), considerando uma taxa de % a.m.. Período Saldo devedor S t Amortização A t Juros J t Prestação P t 4) Um empréstimo de dólares deve ser devolvido pelo SAC em 50 prestações mensais, sendo 2% a.m. a taxa de juros cobrada. Pede-se: a) o valor da primeira prestação; Resposta: U$0.000 b) o valor da segunda prestação; Resposta: U$9.900 c) o valor da 37ª prestação. Resposta: U$

101 5) Um empréstimo de UR deve ser devolvido pelo SAC com 40 prestações mensais. Sabendo-se que a taxa de juros é de 2% a.m., obtenha a amortização, juros, prestação e saldo devedor correspondentes ao 2º mês. Resposta: a) A 2 =.000 UR b) j 2 = 400 UR c) P 2 =.400 UR d) S 2 = UR 6) Resolva o problema anterior no 35º mês. Resposta: a) A 35 =.000 UR b) j 35 = 20 UR c) P 35 =.20 UR d) S 35 = UR 7) Um imóvel é vendido por UR, sendo 20% de entrada e o restante financiado pelo SAC em 00 meses com,5% a.m. de taxa de juros. Calcule o valor da primeira e última parcela. Resposta: 874 UR e 354,84 UR 0

102 8) Um empréstimo no valor de $ ,00 é concedido à taxa de juros compostos de 0% a.a. para ser reembolsado em 5 anos por meio de prestações anuais, sendo a primeira vencível ao final do primeiro ano, pelo sistema SAC. A respeito, pede-se indicar o valor da amortização contido na prestação paga ao final do 3 ano. Resposta: $ ) Um banco libera um crédito de UR para uma empresa, para pagamento pelo Sistema Price em 20 trimestres, sendo a taxa de 6% a.t.. Obtenha a planilha até o 3 trimestre. Período Saldo devedor S t Amortização A t Juros J t Prestação P t 0) Se no problema anterior houvesse, somente para as amortizações, uma carência de 2 trimestres, como seria a planilha até o 5 trimestre? Período Trimestral Saldo devedor S t Amortização A t Juros J t Prestação P t 02

103 ) Pedro Henrique adquiriu uma fazenda de $ ,00 dando 30% de entrada e financiando o restante em 80 meses pelo sistema francês (Price), à taxa de % a.m.. Na ocasião da compra, uma UR correspondia a $.050,00. Obtenha a planilha em UR até o 4 mês. Período Saldo devedor S t Amortização A t Juros J t Prestação P t 2) No problema anterior, se Pedro Henrique quisesse quitar a dívida após ter pago a 5ª prestação, qual o valor adicional a ser desembolsado? Resposta:.735,59 UR 3) Ana Paula recebeu um financiamento a UR para compra de uma casa, sendo adotado o Sistema Price à taxa de,5% a.m. para pagamento em 80 meses. Qual o estado da dívida no 64 mês? Respostas: a) A 64 =4, UR b) j 64 =66,4 UR c) P 64 =80,52 UR d) S 64 =4.43,55 UR 03

104 4) Um consultório médico foi financiado pelo Plano Piloto do Governo do Estado do RS, em 8 prestações mensais, pela Tabela Price, a juros de 3% a.m., sendo de $ ,00 seu preço à vista. a) calcule o valor da prestação mensal; b) calcule o valor da parcela de juros referente à ª prestação; c) calcule o valor da parcela de amortização referente à ª prestação; d) calcule o valor da parcela de juros e amortização referentes à 2ª prestação; e) calcule o saldo devedor existente no final do 8 mês; f) calcule o valor da parcela de juros correspondente à 0ª prestação; g) calcule o valor da parcela de amortização correspondente à 4ª prestação. Respostas: a) $4.54,74 e) $ ,99 b) $6.000,00 f) $3.396,7 c) 8.54,74 g) $2.543,83 d) $5.743,75 e $8.797,99 04

105 5) Um banco financia a importância de $ ,00 entregue no ato do financiamento, com um prazo de carência de 2 anos. Sabendo-se que o banco utiliza o sistema francês, que a taxa de juros é 0% a.a., que a devolução deve ser feita em 4 prestações anuais e que durante o prazo de carência os juros serão capitalizados e incorporados ao capital, construa a planilha ou plano de amortização. A partir da planilha, resolva a questão: se o devedor resolvesse liquidar a dívida imediatamente após o pagamento de 2 prestações, deveria pagar quanto? Resposta: $ ,47 Período TOTAL Saldo devedor S t Amortização A t Juros J t Prestação P t 6) Carlos comprou um carro, financiando 600 UR, com amortização pelo Sistema Price, para o pagamento em 24 prestações iguais a um juro de 3% a.m.. Após pagar 2 prestações resolveu liquidar a dívida. Pergunta-se: a) Quanto Carlos pagou na 2ª prestação? Resposta: $35,43 UR b) Qual foi a parcela de juros pagos na 2ª prestação? Resposta: $,30 UR c) Qual a parcela de amortização paga na 2ª prestação? Resposta: $24,3 UR d) Quanto Carlos pagou para liquidar a dívida? Resposta: $352,67 UR 05

106 7) Um valor de U$ ,00 é financiado à taxa de 0% a.a., para ser amortizado pelo sistema americano, com 3 anos de carência. Sabendo-se que os juros são pagos anualmente, construir a planilha. Período TOTAL Saldo devedor S t Amortização A t Juros J t Prestação P t 8) Um Banco financia R$ ,00 que deverão ser amortizados pelo SAA através de uma única parcela ao final do 3º ano. Os juros são pagos semestralmente à taxa de 4,075%. Elaborar a planilha. Período Saldo devedor S t Amortização A t Juros J t Prestação P t TOTAL 06

107 9 ANÁLISE DE INVESTIMENTO O valor de um investimento é baseado em sua capacidade de gerar fluxos de caixa futuros, ou seja, na capacidade de gerar renda econômica. Assim sendo, as alternativas de investimentos podem ser comparadas somente se as conseqüências monetárias forem medidas em um ponto comum no tempo e, como as operações de investimento ou financiamento têm como característica um espaçamento dos fluxos de caixa ao longo do tempo, os critérios de avaliação econômica devem considerar a atualização ou desconto dos fluxos. Entre os métodos que descontam fluxos de caixa, dois são os mais conhecidos e utilizados: o do Valor Presente Líquido (NPV) e o da taxa Interna de Retorno (IRR). 9. Análise do Fluxo de Caixa O fluxo de caixa de um investimento, empréstimo ou financiamento, ou mesmo de uma empresa, é o nome dado ao conjunto das entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo. A Matemática Financeira, portanto, nos permite comparar fluxos de caixa distintos para identificarmos a melhor alternativa de empréstimo, investimento ou financiamento. Ao fazermos uma pesquisa de preços, por exemplo, para aquisição de um produto, encontramos diversas alternativas de pagamento nos vários estabelecimentos pesquisados: somente à vista; sem entrada + 2, + 3, + 4, + 5, + 6; com entrada +, + 2, + 3, + 4, + 5; com entrada para daqui a 60 dias e restante em + 4 prestações e assim por diante. Qual a melhor opção? Somente poderemos afirmar a opção mais adequada de compra, se analisarmos cada fluxo de caixa, transformando as propostas em seu valor equivalente à vista. Passaremos a trabalhar com fluxo de caixa contendo diversas entradas e saídas de dinheiro. Para isso, basta que saibamos capitalizar e descapitalizar. Relembrando: 07

108 Capitalizar: A partir do Valor Presente (PV) obter o Valor Futuro (FV). FV (conhecido) PV (desconhecido) FV PV( i) n n Períodos Descapitalizar: A partir do Valor Futuro (FV) obter o Valor Presente (PV). FV (desconhecido) PV (conhecido) PV FV ( i) n n Períodos Exemplo: Considere que você tomou um empréstimo de R$.000,00, no dia 0 de janeiro para pagar após 6 meses, ou seja, no dia 0 de julho, de uma só vez, à taxa de 5% a.m. (capitalizados mensalmente): a) Encontre o valor a ser pago no vencimento (0/07); b) Caso você deseja liquidar antecipadamente a dívida, em 0 de abril, que valor Resolução: a) deverá ser pago? PV =.000,00 i = 5% a.m Períodos 0/0 0/02 0/03 0/04 0/05 0/06 0/07 FV ,05 FV R$.340,0 Note que se trata de capitalização. b) Há duas formas de se encontrar o valor FV da dívida em 0 de abril: FV =? 08

109 capitalizando PV por 3 meses, isto é, de janeiro a abril ou; descapitalizando o FV encontrado no item (a) por 3 meses, isto é, voltando de julho para abril. PV =.000,00 i = 5% a.m Períodos FV =? PV =? FV =.340,0 º) Capitalizando: FV' ,05 FV' R$.57,63 2º) Descapitalizando:.340,0 PV' FV' R$.57,63 3 ( 0,05) 9.2 Valor Presente Líquido (NPV) O Valor Presente Líquido é a soma das entradas e saídas, descapitalizadas, uma a uma, até o momento zero. Na HP-2C vem indicada pela sigla NPV. Sejam: PV = investimento inicial (momento zero ) PMT j = fluxos subseqüentes ao momento zero (j =, 2, 3,...,n) PMT NPV PV Fluxos: PMT 2... PMT 2 n i i i n 09

110 a) Fluxo com uma saída (PV) e várias entradas ( PMT, PMT 2,..., PMT n) PMT PMT 2 PMT n n Períodos PV i = taxa de desconto b) Fluxo com várias saídas (PV, PMT 2,..., PMT n ) e várias entradas (PMT,..., PMT n ) PMT n PMT n PMT i = taxa de desconto n-...n Períodos PV PMT 2 PMT n Exemplos: a) Francisco emprestou hoje R$ ,00 a um amigo que lhe prometeu pagar R$ ,00 daqui a um mês e R$ ,00 daqui a dois meses. Sabendo que a taxa de descapitalização/desconto é de 20% a.m., calcule o valor presente líquido. PMT PMT

111 Para o emprestador (Francisco), trata-se de um fluxo de caixa constituído de uma saída (00.000,00) e de duas entradas (60.000,00 e ,00) para a data 0 (zero), a uma taxa de 20% a.m.. Lembre-se que: ,00 PV (0) 0,2 PV FV i n PV (0) , ,00 PV2 (0) 2 0,2 PV (0) ,33 2 No gráfico temos: , , ,00 O somatório dos valores presentes nos dá o valor presente líquido, ou seja: , ,00 NPV ,00 NPV 2 0,2 0,2 O fluxo de caixa final apresenta-se: R$ 2.083,33

112 NPV ,33 0 Façamos o mesmo exemplo a calculadora HP-2C: i = 20% a.m. Verifique a existência das teclas azuis (CF 0 ) e (CF j ). (CF 0 ) representa o valor do fluxo de caixa no período zero ( ,00), (CF j ) representa o fluxo de caixa num período diferente de zero, quando o j assume os valores de a 20. TECLAS VISOR SIGNIFICADO (f) (REG) 0,00 Limpa todos os registros (CHS) (g) (CF 0 ) ,00 Introduz a saída do período 0 (CF 0 ) (g) (CF j ) ,00 Introduz a entrada do período (CF ) (g) (CF j ) ,00 Introduz a entrada do período 2 (CF 2 ) 20 (i) 20,00 Introduz a taxa de desconto (f) (NPV) 2.083,33 Calcula o Valor Presente Líquido (NPV) 2

113 b) Calcule, utilizando a HP-2C, o Valor Presente Líquido (NPV) do diagrama abaixo, considerando i = 0% a.m TECLAS VISOR SIGNIFICADO (f) (REG) 0,00 Limpa todos os registros 30 (CHS) (g) (CF 0 ) -30,00 Introduz a saída do período 0 (CF 0 ) 0 (g) (CF j ) 0,00 Introduz a entrada do período (CF ) 5 (g) (CF j ) 5,00 Introduz a entrada do período 2 (CF 2 ) 0 (CHS) (g) (CF j ) -0,00 Introduz a saída do período 3 (CF 3 ) 5 (g) (CF j ) 5,00 Introduz a entrada do período 4 (CF 4 ) 0 (i) 0,00 Introduz a taxa de desconto (f) (NPV) -5,78 Calcula o Valor Presente Líquido (NPV) c) Calcular o Valor Presente Líquido (NPV) do fluxo de caixa a seguir, para uma taxa de juros de 3% a.m mês Observe que no diagrama acima aparecem três entradas iguais e consecutivas (CF, CF 2 e CF 3 ). Neste caso, já que o valor de CF j ocorre mais de uma vez, digita-se (g) (N j ) para informar o número de vezes que ele ocorreu. A capacidade máxima da HP-2C é de 99 linhas de programação, ou seja, podemos utilizar, no máximo 99 vezes a repetição de CFj, digitando-se 99 (g) (Nj) 3

114 TECLAS VISOR SIGNIFICADO (f) (REG) 0,00 Limpa todos os registros 2000 (CHS) (g) (CF 0 ) ,00 Introduz a saída do período 0 (CF 0 ) 000 (g) (CF j ).000,00 Introduz a entrada do período (CF ) 3 (g) (N j ) 3,00 Número de vezes que a entrada de.000,00 se repete, isto é, para os períodos, 2, e (g) (CF j ) 3.000,00 Introduz a entrada do período 4 (CF 4 ) 3 (i) 3,00 Introduz a taxa de desconto (f) (NPV) 3.494,07 Calcula o Valor Presente Líquido (NPV) 9.3 Taxa Interna de Retorno (IRR) Taxa Interna de Retorno (IRR) é a taxa que torna nulo o Valor Presente Líquido (NPV) de um fluxo de caixa. Exemplos: ) Suponhamos o seguinte fluxo de caixa: anos Calcule os NPVs para as seguintes taxas de juros: 4

115 a) i = 0% a.a. TECLAS VISOR SIGNIFICADO (f) (REG) 0,00 Limpa todos os registros 4500 (CHS) (g) (CF 0 ) ,00 Insere a saída do período 0 (CF 0 ) 000 (g) (CF j ).000,00 Insere a entrada do período (CF ) 2000 (g) (CF j ) 2.000,00 Insere a entrada do período 2 (CF 2 ) 3000 (g) (CF j ) 3.000,00 Insere a entrada do período 3 (CF 3 ) 0 (i) 0,00 Insere a taxa de juros (f) (NPV) 35,93 Calcula o Valor Presente Líquido (NPV) b) i = 5% a.a. TECLAS VISOR SIGNIFICADO 5 (i) 5,00 Insere a taxa de juros (f) (NPV) -45,60 Calcula o Valor Presente Líquido (NPV) NPV = 35,93 i = 0% a.a. i = 5% a.a anos anos NPV = -45,60 Será que existe uma taxa entre 0% e 5% que torne o Valor Presente Líquido (NPV) igual a zero? Sim. Basta que você pressione as teclas (f) (IRR) e aparecerá no visor o número 3,34. Este número é a taxa que torna o NPV igual a zero, ou seja, é a Taxa Interna de Retorno (IRR). Observações: a) A Taxa Interna de Retorno (IRR) é também chamada de Taxa Efetiva de Rentabilidade e vem indicada pela sigla IRR (Internal Rate of Return). 5

116 b) Devemos lembrar sempre que o dinheiro tem seu valor no tempo. Veja os fluxos abaixo: Empresa A Empresa B anos anos Observando os fluxos de caixa acima, qual seria a empresa mais rentável? Esta informação podemos obter, calculando a Taxa Interna de Retorno (IRR) de cada uma delas. Empresa A Empresa B (f) (REG) (f) (REG) 850 (CHS) (g) (CF 0 ) 850 (CHS) (g) (CF 0 ) 00 (g) (CF j ) 400 (g) (CF j ) 200 (g) (CF j ) 300 (g) (CF j ) 300 (g) (CF j ) 200 (g) (CF j ) 400 (g) (CF j ) 00 (g) (CF j ) (f) (IRR) 5,62% a.a. (f) (IRR) 8,65% a.a. 6

117 Analisando a Tabela percebemos que a Empresa B apresentou maior rentabilidade. A diferença do fluxo da Empresa A para o fluxo da Empresa B está na ordem dos recebimentos. Como a Empresa B recebe valores maiores primeiro, sua rentabilidade é maior, comprovando que o dinheiro tem seu valor no tempo. 2) Paulo aplicou R$ ,00 para resgatar duas parcelas: R$ ,00 em um mês e R$ ,00 em três meses. Determine a taxa efetiva de rentabilidade deste investimento meses Devemos observar que no segundo mês o fluxo de caixa tem valor 0 (zero). TECLAS VISOR SIGNIFICADO (f) (REG) 0,00 Limpa todos os registros (CHS) (g) (CF 0 ) ,00 Insere a saída do período 0 (CF 0 ) (g) (CF j ) ,00 Insere a entrada do período (CF ) 0 (g) (CF j ) 0,00 Insere a entrada do período 2 (CF 2 ) (g) (CF j ) ,00 Insere a entrada do período 3 (CF 3 ) (f) (IRR) 7,72 Calcula a Taxa Interna de Retorno (IRR) Taxa de rentabilidade mensal A Taxa Interna de Retorno (IRR) está armazenada em i. Se pressionarmos (f) (NPV) aparecerá no visor um número aproximadamente igual a zero. Isto era de se esperar, pois IRR é a taxa que torna NPV igual a zero. 7

118 3) Bruno fez um investimento com quatro meses de duração, conforme o fluxo de caixa abaixo: meses a) Calcule o Valor Presente Líquido para uma taxa de 5% a.m.; TECLAS VISOR SIGNIFICADO (f) (REG) 0,00 Limpa todos os registros 2000 (CHS) (g) (CF 0 ) ,00 Insere a saída do período 0 (CF 0 ) 720 (g) (CF j ) 720,00 Insere a entrada do período (CF ) 080 (g) (CFj).080,00 Insere a entrada do período 2 (CF 2 ) 0 (g) (CFj) 0,00 Insere a entrada do período 3 (CF 3 ) 200 (g) (CFj).200,00 Insere a entrada do período 4 (CF 4 ) 5 (i) 5,00 Insere a taxa de juros (f) (NPV) 28,83 Calcula o Valor Presente Líquido (NPV) b) Calcule a Taxa Interna de Retorno. TECLAS VISOR SIGNIFICADO (f) (IRR) 8,2 Calcula a Taxa Interna de Retorno (IRR) Conclusão Importante: 8

119 Um negócio ou investimento torna-se viável, do ponto de vista financeiro, quando sua Taxa Interna de Retorno (IRR) for maior que a Taxa Média de Atratividade (TMA). A Taxa Média de Atratividade é a média das taxas de retorno de um conjunto de investimentos alternativos que está sendo analisado. As aplicações financeiras existentes no mercado, como: Poupança, RDB/CDB e Fundos de Renda Fixa podem fazer parte de tal conjunto. 9.4 Equivalência de Fluxos de Caixa Dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes, se existir uma taxa única (IRR) tal que torne seus Valores Presentes Líquidos iguais. Exemplo: Considere os fluxos abaixo, ambos sujeitos à taxa de 2% a.m.:.26,6 262,62 i = 2% i = 2% Façamos o cálculo do Valor Presente Líquido para cada fluxo: Fluxo I Fluxo II (f) (REG) (f) (REG) 0 (g) (CF 0 ) 0 (g) (CF 0 ) 0 (g) (CF j ) 262,62 (g) (CF j ) 5 (g) (N j ) 4 (g) (N j ) 26,6 (g) (CF j ) 2 (i) 2 (i) (f) (NPV).000,00 (f) (NPV).000,00 9

120 Observação: É importante destacar que a equivalência de fluxos de caixa depende da taxa de juros. Assim, se dois fluxos são equivalentes a uma certa taxa, essa equivalência deixará de existir se a taxa for alterada. Conclusão: Os dois fluxos de caixa são equivalentes, à taxa de juros de 2% a.m., tendo em vista que os seus valores líquidos são iguais. Exercícios Complementares: ) Um empréstimo de R$.500,00 será liquidado em 3 prestações mensais e sucessivas de R$ 300,00, R$ 700,00 e R$ 900,00. Considerando-se a taxa de juros de 7% a.m., calcular o Valor Presente Líquido (NPV) da operação. Resposta: 26,45 2) Calcule o Valor Presente Líquido (NPV) do fluxo de caixa abaixo, considerando-se a taxa de juros de 4,5% a.m. Resposta: 8.496, meses 20

121 3) Um automóvel é financiado em 5 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 080,00, sendo a primeira após 30 dias. A cada 5 meses a partir da efetivação do negócio, é pago um reforço de R$ 220,00, R$ 320,00 e R$ 420,00, respectivamente. Calcular o valor financiado (NPV), sabendo-se que a taxa cobrada pela financeira é de 2% a.m.. Resposta: 7.660,33 4) O estudo de viabilidade econômica de um projeto apresentou os seguintes fluxos de caixa (R$ mil): ANO RECEBIMENTOS ANUAIS PAGAMENTOS ANUAIS 0 0, ,00 500,00 200, ,00 500, ,00 350, ,00 700, ,00.900,00 TOTAL 8.900, ,00 Qual a rentabilidade (Taxa Interna de Retorno IRR) anual desse projeto? Resposta: 30,28% a.a. 2

122 5) Verifique se os fluxos de caixa A e B, da tabela a seguir, são equivalentes para a taxa de 5% a.m., no regime de juros compostos: Resposta: Sim MÊS FLUXO A FLUXO B ,26 0,00 0,00 0, ,00 39, ,00 0, ,00 43, ,00 0, ,00 0, , ,96 TOTAL 3.227, ,64 6) Determine as Taxas Internas de Retorno (IRR) dos fluxos de caixa indicados na tabela a seguir: Respostas: IRR(A)=9,42% a.m. IRR(B)=5,92% a.m. IRR(C)=9,7% a.m. MÊS FLUXO A FLUXO B FLUXO C 0-700, , ,00 0,00 00, ,00 2 0,00 300, ,00 3 0,00 495, ,00 4 0,00 495, , , , ,00 TOTAL.000,00 845, ,00 22

123 7) Uma pessoa aplicou R$ ,00 e recebeu R$ ,00 após mês, R$ ,00 após 2 meses e ,00 após 3 meses. Qual a Taxa Interna de Retorno desse investimento? Resposta: 2,65% a.m. 8) Aplicando R$ ,00 uma pessoa recebe R$ ,00 após 3 meses, R$ ,00 após 5 meses e R$ ,00 após 7 meses. a) Qual a Taxa Interna de Retorno desse investimento? Resposta: 8,85% a.m. b) Supondo que a Taxa Média de Atratividade do investidor seja 6% a.m., verifique se ele deve ser feito. Resposta: Sim 9) Considere o projeto abaixo, em que os dados estão em milhares de dólares: anos

124 a) Qual a Taxa Interna de Retorno do projeto? Resposta: 6,97% a.a. b) Verificar se ele deve se aceito, considerando uma Taxa Média de Atratividade de 6% a.a.. Resposta: Sim c) Verificar se ele deve se aceito, considerando uma Taxa Média de Atratividade de 0% a.a.. Resposta: Não 0) Considere o projeto abaixo em que os dados estão em milhares de dólares: anos a) Qual a Taxa Interna de Retorno do projeto? Resposta: 0% a.a. b) Verifique se ele deve ser aceito, se a Taxa Média de Atratividade for de 6% a.a. Resposta: Sim 24

125 ) Qual a Taxa Interna de Retorno do investimento abaixo? Resposta: 0,35% a.d dias ) Considere o fluxo de caixa abaixo em dias. Calcule a Taxa Interna de Retorno. Resposta: 7,84% a.m