CAPÍTULO 1 PROBABILIDADE

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1 CAPÍTULO PROBABILIDADE. Coceito O coceito de probabilidade está sempre presete em osso dia a dia: qual é a probabilidade de que o meu time seja campeão? Qual é a probabilidade de que eu passe aquela disciplia? Qual é a probabilidade de que eu gahe a loteria? Probabilidade é uma espécie de medida associada a um eveto. No caso específico da primeira perguta do parágrafo aterior o eveto em questão é meu time será campeão. Se este eveto é impossível de ocorrer, dizemos que a sua probabilidade é zero. Se, etretato, ele ocorrerá com certeza, a sua probabilidade é igual a um (ou cem por ceto). Chamado este eveto simplesmete de A, etão dizemos que: Se A é impossível de ocorrer, etão P(A) =. Se A ocorre com certeza, etão P(A) =. Ode a expressão P(A) é lida como probabilidade de A ocorrer, ou simplesmete probabilidade de A. como: A probabilidade de um eveto A qualquer pode ser defiida, de uma maeira simplificada P(A) = úmero de vezes em que A ocorre úmero de vezes em que todos os evetos ocorrem Esta defiição desse ser vista com ressalvas: ão se trata do úmero de vezes que de fato ocorreriam em um experimeto, mas sua proporção teórica. Assim, se jogássemos uma moeda comum três vezes e as três ela desse cara, isto ão sigifica que a probabilidade de dar cara é igual a, o que os levaria a cocluir que com certeza esta moeda dará cara sempre, o que é um absurdo. O cojuto de todos os evetos possíveis deste experimeto (cojuto este que chamamos de espaço amostral) é composto de dois possíveis resultados: cara ou coroa. Cosiderado que estes dois evetos têm a mesma chace de ocorrer (o que vale dizer que a moeda ão está viciada), teremos: P( cara ) = úmero de vezes em que ocorre"cara" úmero de vezes em que todos os evetos ocorrem = =,5 Todos os evetos, este caso, são dois: cara ou coroa. Destes dois, um deles é o eveto em questão ( cara ). Portato a probabilidade de dar cara é igual a,5 (ou 5%). E, de maeira idêtica, temos para o eveto coroa : P( coroa ) = úmero de vezes em que ocorre"coroa" úmero de vezes em que todos os evetos ocorrem = =,5 No apêdice.b deste capítulo é dada uma defiição formal de probabilidade.

2 Repare que a soma das duas probabilidades é igual a. E tiha que ser mesmo. A soma das probabilidades (este caso específico) represeta a probabilidade do eveto dar cara ou coroa, ou geeralizado ocorrer qualquer eveto possível, que é algo que ocorrerá com certeza. Se mudarmos o jogo, de cara ou coroa para dados, se jogarmos o dado uma úica vez, temos seis possibilidades, que correspodem aos úmeros iteiros de a 6. A probabilidade de cair um úmero qualquer (digamos, o 3) será dada por: P( cair 3 ) = úmero de vezes em que ocorre"3" = úmero de vezes em que todos os evetos ocorrem 6 Uma outra maeira de ecotrarmos estas probabilidades seria se fizéssemos um experimeto (por exemplo, jogar a moeda) um úmero muito grade de vezes (a verdade, deveriam ser ifiitas vezes) e ecotrássemos a proporção etre caras e coroas. Este experimeto foi feito e os resultados são mostrados a tabela abaixo: o de jogadas o de caras o de coroas proporção de caras proporção de coroas 6 4,6, ,47, ,59, ,4957, ,4994,56 O experimeto evidecia que, à medida que o úmero de jogadas aumeta, a proporção de caras e de coroas se aproxima do valor,5. Chamado de o úmero de vezes que o experimeto é feito, uma maeira de defiir probabilidade é: P(A) = lim úmero de vezes em que A ocorre Que é chamada de defiição de probabilidade pela freqüêcia relativa ou aida, defiição freqüetista de probabilidade. Exemplo.. Qual a probabilidade de, jogado um úico cartão, acertar a sea (seis dezeas em um total de 6)? O acerto exato das seis dezeas é uma úica possibilidade etre todas as combiações possíveis (combiações mesmo 3, já que a ordem em que os úmeros são sorteados ão é relevate): P( gahar a sea ) = = C 6,6 = 6! 54! 6!, Na verdade a moeda ão foi realmete jogada 5 vezes, mas os resultados foram obtidos através de uma simulação por computador. 3 Para uma revisão de aálise combiatória veja o apêdice.a.

3 Portato, a probabilidade de acertar a sea com apeas um cartão é de uma para cada ou aproximadamete,%. Exemplo.. Sedo o cojuto X defiido por X = {x < x < }, qual a probabilidade de, ao sortearmos um úmero qualquer deste cojuto este úmero perteça ao itervalo [,5;,5]? E qual a probabilidade deste úmero ser exatamete igual a? O cojuto X é um cojuto cotíuo, já que cotém todos os úmeros reais que sejam maiores do que e meores do que. Tem, por exemplo, o úmero ; o úmero,5; o úmero,4; mas também tem o,45; o,475; o,46. Dados dois elemetos deste cojuto, sempre é possível ecotrar um úmero que esteja etre estes dois. Não há saltos ou buracos, daí a idéia de cotiuidade. Ao cotrário do dado em que os valores possíveis são,, 3, 4, 5 e 6 (ão existe,5 ou,), que é um cojuto discreto 4. Neste caso, a probabilidade de sortearmos qualquer úmero etre,5 e,5 (iclusive), que é um itervalo de comprimeto igual a (=,5,5), de um itervalo possível que tem comprimeto igual a (= ) será dada por: P(,5 x,5) = 3 E a probabilidade de ser exatamete? Ou seja, de sortear um úico úmero etre um total de úmeros presete o cojuto X de... ifiitos! A probabilidade será dada, etão por: P(x = ) = lim = Portato, embora seja possível de ocorrer, a probabilidade de ser igual a (ou igual a qualquer úmero) é igual a zero, se estivermos falado de um cojuto cotíuo. A probabilidade só será diferete de zero se estivermos falado de um itervalo cotido este cojuto. Como coseqüêcia disso, ão fará difereça se o itervalo para o qual ecotramos iicialmete a probabilidade (etre,5 e,5) fosse fechado ou aberto (isto é, icluísse ou ão os extremos), pois a probabilidade de ser exatamete,5 ou,5 é zero. Portato, como X é um cojuto cotíuo: P(,5 x,5) = P(,5 < x <,5) =. Probabilidade subjetiva Nos casos exemplificados acima, assumido que os dados e as moedas utilizadas ão sejam viciados, as probabilidades calculadas são exatas. Nem sempre isto é possível. Imagie o eveto meu time será campeão. Não é possível repetir este experimeto (o campeoato) um úmero muito grade de vezes. Na verdade, este campeoato, com estes times, com os mesmos jogadores as mesmas codições só é jogado uma úica vez. Etretato, é possível atribuir um valor que represete as chaces do time gahar o campeoato mas, evidetemete, este 4 Não há ecessidade de que um cojuto discreto seja composto apeas por úmeros iteiros, etretato. Uma prova com questões de múltipla escolha, cada uma delas valedo meio poto terá otas variado este itervalo, isto é, poderá haver ota 7, ou 7,5, mas uca 7, ou 7,3. É um cojuto discreto, portato.

4 valor será diferete para cada pessoa que opiar a respeito: um torcedor faático tederá atribuir um valor maior do que um aalista frio e imparcial (se é que isto existe). Qualquer que seja este valor, etretato, deve seguir as mesmas regras que a probabilidade objetiva, isto é, tem que estar etre e, sedo correspodedo à impossibilidade e à certeza de que o time será campeão. E assim vale para uma série de situações: a probabilidade de que o govero mude a política ecoômica (é certamete maior em períodos de crise); a probabilidade de chover ou ão (é maior ou meor quado a previsão do tempo afirma que vai chover?); a probabilidade de ser assaltado quado se passa por determiada rua, etc. Exemplo.. Qual a probabilidade de se acertar os treze potos a loteria esportiva? Aí é mais complicado porque depede da avaliação subjetiva que se faz dos times em cada um dos jogos. É de se imagiar que um teste da loteria esportiva em que predomiem jogos equilibrados será mais difícil de acertar e tederá a ter meos acertadores do que um teste que teha mais barbadas. Por exemplo, Flamego x Olaria (um jogo teoricamete fácil): P(Flamego) = 7% P(empate) = % P(Olaria) = % Já Corithias x São Paulo (jogo equilibrado): P(Corithias) = 3% P(empate) = 4% P(São Paulo) = 3% Todos estes úmeros, evidetemete, sujeitos à discussão. Esta avaliação teria que ser feita jogo a jogo para se computar a probabilidade de gahar a loteria esportiva..3 Probabilidade do e e do ou No iício do capítulo chamamos de espaço amostral o cojuto de todos os evetos possíveis. O uso do termo cojuto, ão foi por acaso. De fato, há uma associação muito grade etre a teoria dos cojutos (e a sua liguagem) e a de probabilidade. Chamado de S o espaço amostral (que equivale a todos os evetos, portato P(S)=) e sedo A um eveto deste espaço amostral (isto é, A é um subcojuto de S), uma represetação gráfica da probabilidade de A é mostrada a figura abaixo: 4

5 5 Em que a região em que o cojuto A está represetado represeta a sua probabilidade em relação ao espaço amostral S. Esta represetação gráfica de probabilidade é cohecida como Diagrama de Ve. Um caso particular importate é um eveto que ão está em S (impossível de ocorrer), como o dado cair o úmero 7 ou a moeda ão dar em cara, em coroa, represetado pelo cojuto vazio (), em que, evidetemete 5 P() =. Pelo diagrama de Ve podemos verificar uma relação importate: a probabilidade de ão- A, ou seja, o complemetar de A, represetado 6 por A. O cojuto A é represetado por todos os potos que pertecem a S, mas ão pertecem a A, o que o Diagrama de Ve abaixo é represetado pela região sombreada: A probabilidade de A será dada etão por: P( A ) = P(S) P(A) Mas como P(S) =, etão: P( A ) = P(A) Ou: 5 A recíproca ão é verdadeira. Pelo exemplo.., vimos que P(A) pode ser igual a zero mesmo que A ão seja um cojuto vazio. No exemplo P(x=) = ão porque x ão pudesse ser igual a, mas por fazer parte de um cojuto cotíuo. 6 Há quem prefira a otação A C.

6 6 P(A) + P( A ) =. Isto é, a soma da probabilidade de um eveto com a do seu complemetar é sempre igual a Supohamos agora dois evetos quaisquer de S, A e B. A represetação o Diagrama de Ve será: Dados dois evetos poderemos ter a probabilidade de ocorrer A e B, isto é, ocorrer A e também B. Por exemplo, jogar dois dados e dar 6 o primeiro e o segudo; ser aprovado em Estatística e em Cálculo. Em liguagem de cojutos, a ocorrêcia de um eveto e também outro é represetada pela itersecção dos dois cojutos (AB). No Diagrama de Ve é represetada pela área sombreada abaixo: P(A e B) = P(AB) Há aida a probabilidade de ocorrêcia de A ou B. Isto equivale a ocorrer A, ou B, ou ambos 7. Em liguagem de cojutos equivale a uião de A e B (AB), represetada abaixo: 7 Não cofudir com o chamado ou exclusivo, em que ocorre A, ocorre B, mas ão ambos.

7 7 P(A ou B) = P(AB) Podemos verificar que, se somarmos as probabilidades de A e B, a região comum a ambos (a itersecção) será somada duas vezes. Para retirarmos este efeito, basta subtrairmos a itersecção (uma vez). Portato: P(A ou B) = P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) Um caso particular desta regra é aquele em que A e B jamais ocorrem jutos, são evetos ditos mutuamete exclusivos (ocorrer um implica em ão ocorrer outro).os cojutos ão terão potos em comum, portato (a itersecção é o cojuto vazio) e A e B etão são ditos disjutos, como mostrado abaixo: Neste caso, ão há dúvida: P(A ou B) = P(AB) = P(A) + P(B) Portato, a chamada regra do ou pode ser resumida assim: Se A e B são evetos quaisquer: P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) Se A e B são evetos mutuamete exclusivos (disjutos): P(AB) = P(A) + P(B)

8 8 Exemplo.3. Qual a probabilidade de, ao jogar um dado, obter-se um úmero maior que 4? Número maior do que 4 o dado temos o 5 e o 6, portato: P(maior que 4) = P(5 ou 6) Que são evetos disjutos, já que, se der 5, é impossível dar 6 e vice-versa. P(5 ou 6) = P(5) + P(6) = = 3 Exemplo.3. (desespero dos pais de gêmeos) Duas criaças gêmeas têm o seguite comportameto: uma delas (a mais choroa) chora 65% do dia; a outra chora 45% do dia e ambas choram, ao mesmo tempo, 3% do dia. Qual a probabilidade (qual o percetual do dia) de que pelo meos uma chore? E qual a probabilidade de que ehuma chore? A probabilidade de que pelo meos uma chore é a probabilidade de que a primeira chore ou a seguda chore. Chamado de C o eveto a primeira criaça chora e C a seguda criaça chora, temos: P (C ou C) = P(C) + P(C) P(C e C) =,65 +,45,3 =,8 Portato, pelo meos uma criaça estará chorado 8% do tempo. Nehuma das criaças chora é o eveto complemetar: P(ehuma chora) = P(C ou C) =,8 =, Assim sedo, os pais destas criaças terão paz em apeas % do tempo..4 Probabilidade Codicioal Qual a probabilidade de que o Baco Cetral aumete a taxa de juros? Qual a probabilidade de que ele aumete a taxa sabedo-se que ocorreu uma crise que pode ter impacto sobre a iflação? Qual a probabilidade do seu time gahar o próximo jogo? E se já é sabido que o adversário jogará desfalcado de seu pricipal jogador? Qual a probabilidade de, jogado dois dados em seqüêcia, obter-se um total superior a 7? E se, a primeira jogada, já se tirou um 6? Você acorda de mahã e o céu está azul e sem uves. Você pega o guarda-chuva ou ão? É claro que, de posse dessa iformação, a probabilidade estimada para o eveto chover dimiui. E assim vale para os três exemplos ateriores. O acotecimeto de um eveto afeta a probabilidade de ocorrêcia do outro. Um casal que tem três filhos homes vai para o quarto filho. Qual a probabilidade de ser (afial!) uma meia? Ifelizmete para o casal, ão é diferete daquela que seria caso fosse o primeiro. Não façamos cofusão: é claro que, para um casal que vai ter quatro filhos, a

9 probabilidade de serem quatro meias é pequea. Mas se ele já teve três meias, isto ão afeta a probabilidade do próximo filho ser meio ou meia (afial, os pobres espermatozóides ão têm a meor idéia do histórico familiar). A perguta que se faz, seja em um caso ou em outro é: qual a probabilidade de um eveto sabedo-se que um outro eveto já ocorreu (ou vai ocorrer)? Qual probabilidade de A dado que B já é um fato da vida. 9 No Diagrama de Ve acima, B já ocorreu! A probabilidade de A ocorrer etão só pode ser aquele pedaço em que A e B têm em comum (a itersecção). Mas a probabilidade deve ser calculada ão mais em relação a S, mas em relação a B, já que os potos fora de B sabidamete ão podem acotecer (já que B ocorreu). Portato, a probabilidade de A tedo em vista que B ocorreu (ou ocorrerá), represetada por P(A B) (lê-se probabilidade de A dado B), será dada por: P(A B) = P(AeB) P(B) (.4.) A regra do e, já apresetada a seção aterior, gaha uma ova forma: P(A e B) = P(A B)P(B) P(A e B) = P(B A)PA) ou Se o eveto B ão tiver qualquer efeito sobre a probabilidade do eveto A, etão teremos: P(A B) = P(A) P(B A) = P(B) e E A e B são ditos evetos idepedetes (a probabilidade codicioal é igual à ão codicioal). Serão evetos depedetes em caso cotrário, isto é: P(A B) P(A) e P(B A) P(B) Etão, se A e B forem evetos idepedetes, vale: P(A e B) = P(A)P(B)

10 Não cofuda: o fato de dois evetos serem idepedetes ão quer dizer que eles sejam mutuamete exclusivos. Pelo cotrário: se dois evetos (ão vazios) são mutuamete exclusivos (disjutos) eles são, ecessariamete, depedetes, já que a ocorrêcia de um implica a ão ocorrêcia de outro. Resumido: para dois evetos idepedetes temos: P(A e B) = P(A)P(B) P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B) Para dois evetos disjutos (mutuamete exclusivos): P(A e B) = P(A ou B) = P(A) + P(B) Para dois evetos quaisquer: P(A e B) = P(A)P(B A) = P(B)P(A B) P(A ou B) = P(A) + P(B) P(A e B) Exemplo.4. Qual a probabilidade de que, jogado dois dados em seqüêcia, obtehamos exatamete 7? E se a primeira jogada já obtivemos um 6? Para obtermos um total de 7 temos os seguites resultados possíveis: e 6, e 5, 3 e 4, 4 e 3, 5 e, 6 e. O resultado de cada dado é idepedete do resultado do outro, de modo que: P( e 6) = P( e 5) = P(3 e 4) = P(4 e 3) = P(5 e ) = P(6 e ) = = A probabilidade de que ocorra qualquer um desses resultados, tedo em vista que eles são mutuamete exclusivos é: P[( e 6) ou ( e 5) ou (3 e 4) ou (4 e 3) ou (5 e ) ou (6 e )] = = Se já deu 6 o primeiro dado o úico resultado possível para somar 7 é que dê o segudo dado. A probabilidade é 6, portato. De fato, usado a defiição 3.4.: P(soma=7 o dado=6) = P(soma 7 eo dado 6) P(o dado eo dado 6) = P(o dado 6) P(o dado 6) = 36 = 6 6 Note que: P(soma=7 o dado=6) = P(soma=7)

11 Portato os evetos a soma dar exatamete 7 e o resultado 8 do o dado são idepedetes. Exemplo.4. No exemplo.3. os evetos são idepedetes? Caso ão sejam, qual é a probabilidade de que a primeira criaça chore dado que a seguda chora? E qual a probabilidade de que a seguda criaça chore dado que a primeira chora? Os evetos C e C ão são idepedetes (são depedetes) dado que: P(C)P(C) =,65,45 =, 95 é diferete de: P(C e C) =,3 Para calcularmos as probabilidades codicioais, temos: P(C e C) = P(C) P(C C),3 =,65 P(C C),3 P(C C) =,465,65 P(C e C) = P(C) P(C C),3 =,45 P(C C),45 P(C C) =,693,65 Portato, se a primeira criaça chorar, há uma probabilidade de 46,5% de que a seguda criaça chore e, se a seguda criaça chorar, a probabilidade que a primeira chore é de 69,3%. Como as probabilidades icodicioais eram de 45% e 65%, respectivamete, percebe-se que o fato de uma criaça chorar aumeta a chace da outra chorar também. Exemplo.4.3 Através do Diagrama de Ve abaixo (ode os valores marcados correspodem às probabilidades das áreas delimitadas), verifique que, apesar de que P(ABC) = P(A)P(B)P(C), A e B e C ão são evetos idepedetes. Do diagrama, temos: 8 Verifique que a coclusão é válida para qualquer resultado o o dado.

12 P(A) =, +,5 +, +,5 =,4 P(B) =,5 +,5 +, +, =,5 P(C) =,5 +,5 +, +, =,5 P(AB) =, +,5 =,5 P(AC) =, +,5 =,5 P(BC) =, +, =, P(ABC) =, De fato, P(ABC) = P(A)P(B)P(C), mas: P(AB) P(A)P(B) P(BC) P(B)P(C) P(AC) P(A)P(C) Portato, A, B e C são depedetes. Exemplo.4.4 Foi feita uma pesquisa com pessoas sobre as preferêcias a respeito de programas a televisão. Os resultados obtidos foram os seguites: homes mulheres total futebol 4 6 ovela total Etre o grupo de etrevistados, qual a probabilidade de preferir ovela? E futebol? 4 P(ovela) = =,4 = 4% 6 P(futebol) = =,6 = 6% Qual a probabilidade de ser mulher e preferir futebol? P(mulher e futebol) = =, = % Qual a probabilidade de, em sedo homem, preferir futebol? Podemos resolver diretamete já que, pela tabela, dos 45 homes, 4 preferem futebol: 4 P(futebol homem) = =, ,8% 45 Ou pela defiição de probabilidade codicioal: P(futebol homem) = P(homem e futebol) P(homem) = 4 45 =, ,8% Qual a probabilidade de que, se preferir ovela, for mulher? De ovo é possível resolver diretamete pela tabela, tedo em vista que, dos 4 que preferem ovela, 35 são mulheres: 35 P(mulher ovela) = =,875 = 87,5% 4 Ou pela defiição de probabilidade codicioal:

13 P(mulher ovela) = P(mulher e ovela) P(ovela) = 35 4 =,875 = 87,5% Note que a preferêcia por um tipo de programa ou outro e o sexo ão são evetos idepedetes, já que: P(mulher ovela) P(mulher) P(futebol homem) P(futebol).5 Regra de Bayes Exeplo.5. Supoha que, uma eleição para goverador em um estado orte americao, temos um cadidato democrata e um republicao. Etre os eleitores bracos, 3% votam o democrata, esta proporção sobe para 6% etre os eleitores egros e é de 5% etre os eleitores de outras etias. Sabedo-se que há 7% de eleitores bracos, % de egros e % de outras etias, se um voto democrata é retirado ao acaso, qual a probabilidade de que ele teha sido dado por um eleitor egro? Utilizaremos as seguites abreviações: B- braco D- democrata N- egro R- republicao O- outras etias Pelo euciado sabemos que: P(B) =,7 P(N) =, P(O) =, P(D N) =,6 P(D B) =,3 P(D O) =,5 E pede-se qual probabilidade do voto ser de um eleitor egro dado que o voto é para o cadidato democrata, isto é: P(N D) =? P(N D) = P(N e D) P(D) A probabilidade de ser egro e democrata é dada por: P(N e D) = P(N)P(D N) =,,6 =, E a probabilidade de ser democrata será dada pela soma dos votos bracos e democratas, egros e democratas e outras e democratas: P(D) = P(D e B) + P(D e N) + P(D e O) =,7,3 +,,6 +,,5 =,38 Assim sedo: P(N D) =,,358 = 3,58%,38 3

14 Portato, 3,58% dos votos democratas são de eleitores egros. 4 O exemplo aterior partiu de probabilidades codicioais para calcular uma probabilidade com a codição ivertida. A geeralização do resultado obtido é cohecida como Regra de Bayes, que é euciada abaixo: Se temos as probabilidades codicioais de um eveto B dados todos os evetos do tipo A i, (i =,,..., ) e queremos ecotrar a probabilidade codicioal de um certo eveto A j dado B, esta será dada por 9 : P(A j B) = P(B A i ) P(A ) j P(B A ) P(A ) i j i 9 Evidetemete esta expressão ão precisa ser memorizada se for repetido o raciocíio do exemplo.5..

15 Exercícios 5. Em uma caixa há 7 lâmpadas, sedo 4 boas e 3 queimadas. Retirado três lâmpadas ao acaso, sem reposição, qual é a probabilidade de que: a) todas sejam boas. b) todas estejam queimadas. c) exatamete sejam boas. d) pelo meos sejam boas.. Calcule a probabilidade de que, o laçameto de um dado, o úmero que der seja: a) ímpar b) primo c) o míimo 4. d) o máximo Ao laçar dois dados em seqüêcia, quer-se atigir um total de potos. a) Qual a probabilidade que isto ocorra? b) Qual a probabilidade que isto ocorra supodo que o primeiro dado deu 4? c) Qual a probabilidade que isto ocorra supodo que o primeiro dado deu 6? d) O eveto total de potos é idepedete do resultado do primeiro dado? Justifique. 4. Um apostador aposta o laçameto de um dado em um úico úmero. Qual a probabilidade de: a) em três jogadas, gahar as três b) em quatro jogadas, gahar exatamete as duas primeiras. c) em quatro jogadas, gahar exatamete duas (quaisquer). d) em quatro jogadas, gahar pelo meos duas. e) em quatro jogadas, gahar duas seguidas. 5. Na primeira loteria de úmeros laçada o país, o apostador deveria acertar cico dezeas em um total de possíveis, apostado para isso em 5, 6, 7, 8, 9 ou dezeas. a) Qual a probabilidade de acertar as 5 dezeas em cada uma das situações? b) Se a aposta em 5 dezeas custasse $,, qual deveria ser o preço dos demais tipos de apostas levado-se em cosideração a probabilidade de acerto? 6. Cosiderado que, em jogos de futebol, a probabilidade de cada resultado (vitória de um time, de outro ou empate) é igual, qual a probabilidade de fazer os treze potos a loteria os seguites casos: a) sem duplos ou triplos. b) com um úico duplo. c) com um úico triplo. d) com dois duplos e três triplos. 7. Represete o diagrama de Ve: a) A B b) A B c) A B d) A B 8. Verifique que a probabilidade do ou exclusivo é dada por: P (A ou exclusivo B) = P[( A B)(A B )] (Sugestão: utilize o diagrama de Ve)

16 6 9. Foram selecioados protuários de motoristas e o resultado foi o seguite: homes mulheres total com multa sem multa Total 9 a) Qual a probabilidade de que um motorista deste grupo teha sido multado? b) Qual a probabilidade de que um motorista (homem) deste grupo teha sido multado? c) Qual a probabilidade de que uma motorista deste grupo teha sido multada? d) Qual a probabilidade de que, sedo o motorista homem, ele teha sido multado? e) Qual a probabilidade de que, sedo mulher, a motorista teha sido multada? f) Qual a probabilidade de, em sedo multado, o motorista seja homem? g) A probabilidade de ser multado é idepedete do sexo? Justifique.. Pergutou-se para 3 estudates o que fariam após a faculdade: procurariam emprego ou cursariam pós-graduação (ou ambos). As respostas foram: homes mulheres Emprego 9 pós-grad. 9 8 Total 6 4 Calcule a probabilidade de um estudate, escolhido ao acaso: a) ser homem e procurar emprego. b) ser mulher e cotiuar estudado. c) ser homem e ão cotiuar estudado. d) ser mulher ou ão procurar emprego. e) em sedo homem, querer cotiuar apeas estudado. f) se quer apeas trabalhar, ser mulher.. Um cubo de madeira é pitado e a seguir é dividido em 5 cubihos de mesmo tamaho. Qual a probabilidade de que, se pegarmos um destes cubihos aos acaso, ele: a) teha apeas uma face pitada. b) teha duas faces pitadas. c) teha pelo meos duas faces pitadas. d) teha três faces pitadas.. Dado um cojuto X = {x < x < 8}, ode represeta o cojuto dos úmeros aturais. Se escolhermos ao acaso um úmero deste itervalo, calcule as probabilidades pedidas: a) P(x = ) b) P(x > ) c) P(x < 5) d) P(x = 8) 3. Dado um cojuto X = {x < x < 8}, ode represeta o cojuto dos úmeros reais. Se escolhermos ao acaso um úmero deste itervalo, calcule as probabilidades pedidas: a) P(x = ) b) P(x > ) c) P(x < 5) d) P( x 8)

17 4. Em um colégio de esio médio há aluos o o ao, o o ao e 8 o 3 o ao. Se dois aluos são escolhidos ao acaso e o primeiro está mais adiatado do que o segudo, qual a probabilidade de que ele esteja o 3 o ao? 5. Verifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo e justifique. a) Sedo S o espaço amostral, etão P(S) =. b) Se P(A) = etão A = S. c) Se P(A) = etão A =. d) Se A e B são mutuamete exclusivos, etão P(AB) = e) Se P(AB) =, etão A e B são disjutos. f) Se A e B são idepedetes, etão P(AB) = P(A) + P(B). g) Se P(AB) =, etão A e B são idepedetes. h) Se P(AB) =, etão A = B = S. i) Se P(AB) =, etão A = S ou B = S. j) Se A, B e C são idepedetes, etão P(ABC) = P(A).P(B).P(C). k) Se P(ABC) = P(A).P(B).P(C), etão A, B e C são idepedetes. l) Se P( A ) = etão A =. m) Se A e B são idepedetes, etão A e B são idepedetes. 6. Há 6% de probabilidade que haja desvalorização cambial. Se a desvalorização ocorrer, há 7% de chaces do govero laçar um pacote emergecial de medidas. Se ão ocorrer, as chaces deste pacote ser laçado caem para 4%. Se o pacote foi laçado, qual a probabilidade que teha ocorrido desvalorização cambial? 7. Num jogo de domió uma peça com dois valores iguais é tirada. Qual a probabilidade de que a peça seguite se ecaixe? 8. Num jogo de pôquer cada jogador tem cico cartas. Cosiderado que seja utilizado o baralho completo, qual a probabilidade do jogador obter: a) um par. b) uma trica. c) dois pares. d) um par e uma trica (full house). e) uma quadra. f) todas as cartas do mesmo aipe, mas ão em seqüêcia (flush). g) uma seqüêcia (por exemplo: 7, 8, 9, e J), mas ão do mesmo aipe. h) uma seqüêcia (exceto a maior) com o mesmo aipe (straight flush). i) a maior seqüêcia (, J, Q, K e A) com o mesmo aipe (royal straight flush). 9. Num dado viciado a probabilidade de cair um certo úmero é proporcioal a este úmero. a) Qual a probabilidade de cada úmero? b) Qual a probabilidade de, em uma jogada, o úmero ser o míimo 4? c) Qual a probabilidade de, em duas jogadas, a soma ser o máximo 9?. Cosidere que a probabilidade de um recém ascido ser meio é igual a de ser meia. Neste caso, qual a probabilidade de um casal com quatro filhos: a) ter exatamete meias. b) ter, o máximo, meios. c) ter pelo meos meia. d) o mais velho ser um meio. 7

18 . Em um milhão de ascimetos foram registrados meias e 49.8 meios. Cosiderado esta proporção (aproximadamete) uma estimativa mais realista para a probabilidade de ascimeto de meias e meios, refaça os cálculos do exercício aterior.. Etre as mulheres solteiras de uma cidade, 7% são moreas e 3% loiras. Etre as moreas, 6% têm olhos castahos, 3% têm olhos verdes e % têm olhos azuis. Já etre as loiras, 4% têm olhos castahos, 3% verdes e 3% azuis. Para um homem que vai um ecotro às escuras, qual a probabilidade de que a pessoa que vai ecotrar: a) teha olhos azuis. b) seja loira de olhos verdes. c) seja morea de olhos castahos. d) caso teha olhos castahos, seja loira. e) caso teha olhos verdes, seja morea. 3. Dado um espaço amostral defiido um plao cartesiao: S = {(x,y) - x 3; y 4} e dado o cojuto A: A = {(x,y) x < ; 3 < y < 4} Calcule P(A). (Sugestão: ecotre graficamete S e A). 4. Dados os cojutos A, B e C ão vazios cujas probabilidades são dadas por P(A), P(B) e P(C). Determie P(ABC). (Sugestão: use um diagrama semelhate ao do exemplo.4.3) 5. Segudo as pesquisas eleitorais, o cadidato A tem 3% das preferêcias dos eleitores. Admitido que este valor esteja correto, se tomarmos 5 eleitores ao acaso, qual a probabilidade de: a) exatamete 3 deles votarem o cadidato A. b) o máximo deles votarem o cadidato A. c) pelo meos um deles votar o cadidato A. 6. Em uma ura há 6 bolas que podem ser bracas ou pretas. Se 3 bolas retiradas ao acaso, com reposição, são bracas, qual a probabilidade de ão haver bolas pretas? 7. A probabilidade que um jogador de basquete acerte um arremesso é p. Determie o valor de p para que a probabilidade de fazer pelo meos uma cesta a cada dois arremessos seja de 8%. 8. Mostre que, se é válida a expressão: P(A B) = P(A B ), etão A e B são idepedetes. 8

19 APÊNDICE.A Revisão de Aálise Combiatória 9.A. Fatorial : Defie-se como o fatorial de um úmero (!), sedo este úmero um iteiro maior do que! = (-)... Assim sedo:! = = 3! = 3 = 6 4! = 43 = 4 5! = 543 = 6! = 6543 = 7 E assim sucessivamete. Note que: 3! = 3! 4! = 43! 5! = 54! 6! = 65! Ou, geeralizado:! = (-)!, > Se estedermos esta propriedade para =:! =!!! = = Etão, coveietemete defiimos:! = Se cotiuarmos para =:! =!!! = = Portato, temos:! = (-)..., >! =! =.A. Permutações Quatos aagramas são possíveis a partir da palavra amor? AMOR MAOR OAMR RAMO

20 AMRO MARO OARM RAOM ARMO MORA OMRA RMOA AROM MOAR OMAR RMAO AOMR MRAO ORAM ROAM AORM MROA ORMA ROMA Portato, são possíveis 4 aagramas. Os aagramas são as permutações ( trocas de lugar ) das letras da palavra. Temos etão, o caso P 4 (lê-se permutações de 4 elemetos) aagramas. Se a palavra fosse castelo, o exercício acima seria muito mais trabalhoso. Como fazer, etão? Na palavra amor temos 4 espaços ode podemos colocar as 4 letras. No o espaço podemos colocar qualquer uma das 4 letras. Para cada letra colocada o o espaço, sobram 3 letras para preecher o o espaço; uma vez preechido este espaço, sobram apeas para o 3 o ; fialmete, sobrará uma última letra o 4 o espaço. Assim P 4 = 43 = 4! = 4 Geeralizado: P =! Portato, o total de aagramas da palavra castelo é:.a.3 Arrajos P 7 = 7! = 54 Utiliza-se um arrajo quado se quer formar grupos a partir de um cojuto maior em que a ordem é importate. Por exemplo, de um grupo de 5 pessoas, deseja-se motar uma chapa para uma eleição composta por um presidete, um vice e um tesoureiro. Há 3 vagas. Para a vaga de presidete, temos 5 opções; escolhido o presidete, temos 4 opções para vice, sobrado 3 opções para tesoureiro. Etão o úmero total de chapas será dado por A 5,3 (lê-se arrajos de 5 elemetos, 3 a 3) calculado assim: A 5,3 = 543 = 6 Seriam 6 chapas possíveis, portato. Faltaria, para completar o 5!, multiplicar por e por. Multiplicado e dividido, temos: A 5,3 = = 5!! Geeralizado, temos A,k =! ( - k)!.a.4 Combiações

21 Quado falamos em combiações, como em arrajos, estamos queredo formar grupos a partir de um cojuto de elemetos, a difereça é que a ordem ão importa. Supohamos que, o exemplo aterior, a chapa ão teha cargos (é uma chapa para um coselho, por exemplo), etão ão importa quem é escolhido primeiro. O total de chapas possíveis será dado pelo úmero de arrajos, descotado-se uma vez escolhida a chapa, trocado-se as posições a mesma (isto é, fazedo permutações) teremos uma chapa idêtica. Portato, o úmero de chapas será dado por C 5,3 (lê-se combiações de 5 elemetos, 3 a 3) calculado por: C 5,3 = A P 5,3 3 = 5!! 3! = Geeralizado: C,k =! k!( - k)!.a.5 Triâgulo de Pascal Uma maeira simples de calcular combiações é através do Triâgulo de Pascal: A costrução do Triâgulo é simples. Cada liha começa e termia com. Os outros úmeros de cada liha são obtidos através da soma do úmero acima com o úmero à sua esquerda. Por exemplo, o 3 o úmero da liha correspodete ao úmero 5 (que é ) pode ser obtido pela soma do o e do 3 o úmeros da liha acima (4 + 6). E assim pode ser feito com qualquer úmero apresetado o Triâgulo, iclusive para lihas que ão foram mostradas (8,9,, etc.). As combiações podem ser obtidas imediatamete. Poe exemplo, se quisermos combiações de 6 elemetos, devemos utilizar os úmeros da liha correspodete, que são, 6, 5,, 5, 6 e. Temos que (verifique!): C 6, = C 6, = 6 C 6, = 5 C 6,3 = C 6,4 = 5 C 6,5 = 6 C 6,6 = E assim podemos obter quaisquer combiações que quisermos diretamete do Triâgulo. Adicioalmete, uma outra propriedade (etre muitas) que pode ser obtida do Triâgulo é que a soma dos úmeros de uma liha é exatamete a potêcia de do úmero correspodete. Por exemplo, se tomarmos a mesma liha, correspodete ao úmero 6:

22 = 64 = 6

23 APÊNDICE.B Defiição Axiomática de Probabilidade 3 A idéia de se defiir probabilidade através de axiomas vem do desejo de tratar o assuto de uma maeira mais rigorosa. Estabelecer axiomas sigifica estabelecer um cojuto de regras. Estas regras devem ser o meor úmero possível. O cojuto de axiomas, etretato, deve ser completo, o setido de que qualquer afirmação evolvedo probabilidades possa ser demostrada utilizado apeas estes axiomas. Façamos ates algumas defiições: O cojuto S de todos os resultados possíveis de um experimeto aleatório é chamado de espaço amostral. Chamemos um cojuto de subcojutos de S, para o qual a probabilidade será defiida. A este cojuto deomiamos espaço de evetos. A defiição de que subcojutos de S farão parte do espaço de evetos é simples se S for discreto, pois, este caso, basta que defiamos como o cojuto de todos os subcojutos possíveis de S (icluido o próprio S e o vazio). No caso de um cojuto S cotíuo, ou mesmo o caso de um S muito grade devemos os cotetar com uma defiição mais restrita para. O espaço de evetos deverá ter as seguites propriedades : I ) S II ) Se A, etão A. III) Se A e B, etão AB. IV) Se A, A,..., etão i A i. A probabilidade é etão uma fução que associa um elemeto de a um úmero real, isto é: P: Obedecedo aos seguites axiomas: Axioma : Para qualquer A, P(A) Axioma P(S) = Axioma 3 Dados A, A,..., A, disjutos dois a dois, temos: P( i A i ) = P(A i i ) Isto é, a probabilidade da uião dos evetos, em sedo disjutos, é a soma das probabilidades de cada um deles. Se segue estas propriedades é dito um field (sigma field).

24 O espaço de probabilidade será a tera (S,, P) ode S é o cojuto uiverso (espaço amostral), um cojuto de subcojutos de S e P uma fução que associa as probabilidades aos elemetos de. Todas as propriedades de probabilidade podem ser estabelecidas a partir dos três axiomas estabelecidos acima. Vejamos algumas delas: Teorema.B. Se A, etão P(A) = - P( A ) Demostração: Pela própria defiição de complemetar, temos: A A = S Pelo axioma : P(S) = P(A A ) = E como A e A são disjutos, temos, pelo axioma 3: P(A A ) = P(A) + P( A ) = Portato: P(A) = - P( A ) Teorema.B. P() = Demostração: Se A =, etão A = S. Lembrado que, P(S) = pelo axioma e utilizado o teorema.b.: P() = P(S) = = Teorema.B.3 Se A, B, etão P(A) = P(AB) + P(A B ) Demostração: AS = A Pela defiição de complemetar: A(B B ) = A Como a itersecção tem a propriedade distributiva: (AB)(A B ) = A E sedo os cojutos AB e A B disjutos temos, pelo axioma 3: P(A) = P[(AB)(A B )] = P(AB) + P(A B ) Teorema.B.4 Se A, B, etão P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) Demostração: 4 Estes axiomas foram estabelecidos por Adrei Kolmogorov, matemático russo cosiderado o pai da modera teoria de probabilidade, em 933. Ates de Kolmogorov, o axioma 3 era limitado ao caso de dois cojutos, isto é: se A e B são disjutos, etão P(AB) = P(A) + P(B).

25 Temos que: (AB)S = AB 5 Pela defiição de complemetar: (AB)(B B ) = AB Como a uião também tem a propriedade distributiva, colocado B em evidêcia : B(A B ) = AB Os evetos B e A B são disjutos, pelo axioma 3 temos: P[B(A B )] = P(B) + P(A B ) E, pelo teorema.b.3 temos: P(A) = P(AB) + P(A B ) P(A B ) = P(A) P(AB) Logo: P(AB) = P[B(A B )] = P(B) + P(A) P(AB)

26 6

27 CAPÍTULO - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO 7. Variável aleatória Variável aleatória (v.a.) é uma variável que está associada a uma distribuição de probabilidade. Portato, é uma variável que ão tem um valor fixo, pode assumir vários valores. O valor que cai ao se jogar um dado, por exemplo, pode ser,, 3, 4, 5 ou 6, com probabilidade igual a 6 para cada um dos valores (se o dado ão estiver viciado). É, portato, uma variável aleatória. Assim como são variáveis aleatórias: o valor de uma ação ao fial do dia de amahã; o úmero de potos de um time um campeoato que está começado esta semaa; a quatidade de chuva que vai cair o mês que vem; a altura de uma criaça em fase de crescimeto daqui a seis meses; a taxa de iflação o mês que vem. Todas estas variáveis podem assumir diferetes valores e estes por sua vez estão associados a probabilidades E ão são variáveis aleatórias: o valor de uma ação o fial do pregão de otem; o úmero de potos de um time um campeoato que já acabou; a altura de uma pessoa a faixa dos 3 aos de idade daqui a seis meses; a área útil de um apartameto; a velocidade de processameto de um computador. Todas estas variáveis têm valores fixos... Medidas de posição cetral.. Média Há diferetes tipos de média: a média aritmética, a mais comum, é a soma dos elemetos de um cojuto dividido pelo úmero de elemetos. Assim, um grupo de 5 pessoas, com idades de, 3, 5, 8 e 3, terá média (aritmética) de idade dada por: X = = 5,6 aos De um modo geral, a média aritmética será dada por: X = X + X +...+X Ou, escrevedo de uma maeira mais resumida: X = X i i= A média aritmética também pode ser poderada isto ão é um tipo diferete de média poderar sigifica atribuir pesos. Ter um peso maior sigifica simplesmete que aquele valor etrará mais vezes a média. Digamos, por exemplo, que em três provas um aluo teha tirado 4, 6 e 8. Se a média ão for poderada, é óbvio que será 6. Se, o etato, a média for poderada da seguite forma: a primeira prova com peso, a seguda com e a terceira 3. A média será calculada como se as provas com maior peso tivessem ocorrido mais vezes, ou seja X = Voltaremos ao coceito de distribuição de probabilidade o próximo capítulo.

28 Ou, simplesmete: X = ,7 Os pesos podem ser o úmero de vezes que um valor aparece. Supohamos que uma classe de aluos haja 8 com idade de aos, 7 de 3, 3 de 5, um de 8 e um de 3. A quatidade que cada úmero aparece o cojuto é chamada de freqüêcia (freqüêcia absoluta este caso, pois se trata da quatidade de aluos com determiada idade). A média de idade etão será dada por: X = = 3,5 aos A freqüêcia também pode ser expressa em proporções, sedo chamada este caso de freqüêcia relativa. No exemplo aterior, há 8 aluos com aos de idade em um total de, portato esta classe há 8 =,4 = 4% dos aluos com esta idade. Da mesma forma, temos 35% com 3, 5% com 5 e 5% com 8 e 3, respectivamete. A média de idade pode ser calculada da seguite forma: X =,4 + 3,35 + 5,5 + 8,5 + 3,5 = 3,5 Repare que o segudo jeito de calcular (usado a freqüêcia relativa) ada mais é do que o primeiro (usado a freqüêcia absoluta) simplificado-se a fração (dividido o valor dos pesos pelo úmero total). Um outro tipo de média é a média geométrica. A média geométrica para o aluo que tirou otas 4, 6 e 8 será: Ou, geericamete: 3 G = ,8 G = X X... X Ou aida, de uma maeira mais resumida: G = X i i= Repare que a média geométrica zera se um dos elemetos for zero. A média geométrica também pode ser poderada: se os pesos das provas forem, e 3, ela será dada por: 6 3 G = ,5 Há aida um terceiro tipo de média, a média harmôica. No exemplo das otas, ela será dada por: H = De um modo geral: H = = X X X 8 5,5 8

29 Ou aida: H = i= X i Também é possível que a média harmôica seja poderada. Repetido o exemplo aterior: H = 6 4 6, Foi possível otar, tato para as médias simples (sem pesos) como para as poderadas que, em geral, a média aritmética é maior do que a média geométrica e esta por sua vez é maior do que a harmôica. Isto é verdade, exceto, obviamete, quado os valores são todos iguais. Temos etão que: X G H Exemplo... Um aluo tira as seguites otas bimestrais: 3; 4,5; 7 e 8,5. Determie qual seria sua média fial se esta fosse calculada dos três modos (aritmética, geométrica e harmôica), em cada um dos casos: a) as otas dos bimestres têm os mesmos pesos Neste caso, a média aritmética fial seria: 3 4,5 7 8,5 3 X = = 4 4 X = 5,75 A média geométrica seria: G = 4 3 4,5 7 8, 5 = 4 83, 5 G 5,3 E a harmôica seria: H = 3 H 4,9 4,5 b) Supodo que os pesos para as otas bimestrais sejam,, 3 e ,5 Agora os pesos dos quatro bimestres totalizam, portato a média aritmética fial será: 3 4, ,5 67 X = = A geométrica será: X = 6,7 G 6,36 E a harmôica: G = ,5 7 8,5 9

30 H = 3 H 5,96 3 4, ,5 3 c) Supodo que os pesos sejam, respectivamete, 3%, 5%, 5% e %. Agora os pesos são dados em termos relativos (percetuais) e somam, portato,. O cálculo da média aritmética será, etão: X =,33 +,54,5 +,57+,8 X = 5,475 O da média geométrica será: G = 3,3 4,5,5 7,5 8,5, G 5,5 E a harmôica: H =,3 3 4,5,5,5 7 8,5, H 4,66 Exemplo... (dados agrupados) Foram medidas as alturas de 3 pessoas que estão mostradas a tabela abaixo (as medidas são em cetímetros) Agrupe estas pessoas em classes de cm e faça o histograma correspodete. Para agrupar em classes de cm, o mais lógico (mas ão obrigatório) seria agrupar em: de 5 a 6; de 6 a 7, e assim sucessivamete. O problema é, ode icluir aqueles que têm, por exemplo, exatamete 7 cm? Na classe de 6 a 7 ou a de 7 a 8? Há que se escolher uma, mas esta escolha é completamete arbitrária. Vamos optar por icluir sempre o limite iferior, por exemplo, a classe de 7 a 8 iclui todas as pessoas com 7 cm (iclusive) até 8 cm (exclusive) 3, para o que utilizaremos a otação [7; 8[. Etão, para os valores da tabela acima, teremos: [5; 6[ [6; 7[ 8 [7; 8[ 4 [8; 9[ 4 [9; [ 3 Em liguagem de cojutos equivaleria a dizer que o cojuto é fechado em 7 e aberto em 8.

31 [; [ 3 Um histograma é uma maeira gráfica de represetar este agrupameto, utilizado-se de retâgulos cuja altura é proporcioal ao úmero de elemetos em cada classe. O histograma para o agrupameto realizado é mostrado a figura abaixo: Exemplo...3 A partir dos dados agrupados do exemplo aterior, calcule a média 4. Utilizaremos como dados os agrupametos, é como se (e freqüetemete isso acotece) ão tivéssemos cohecimeto dos dados que origiaram este agrupameto. Já que a ossa úica iformação é o agrupameto (seja pela tabela, seja pelo histograma), ão é possível saber como os dados se distribuem pelo agrupameto, etão a melhor coisa que podemos fazer (a falta de outra opção) é supormos que os dados se distribuem igualmete por cada agrupameto, de modo que, por exemplo, o agrupameto que vai de 7 a 8 é como se tivéssemos 4 pessoas com altura de 75 cm. Em outras palavras, tomaremos a média de cada classe para o cálculo da média total. Obviamete, a ão ser por uma grade coicidêcia, este ão será o valor correto da média, mas é uma aproximação e, de ovo, é o melhor que se pode fazer dada a limitação da iformação. Etão, temos: X = 3 X 75,33 cm Repare que, o valor correto da média, tomado-se os 3 dados origiais, é de 74,5 cm... Moda Moda é o elemeto de maior freqüêcia, ou seja, que aparece o maior úmero de vezes 5. No exemplo das idades a classe com aluos, a moda é aos, que é a idade mais freqüete este cojuto. Pode haver, etretato, mais de uma moda em um cojuto de valores. Se houver apeas uma moda, a distribuição é chamada de uimodal. Se houver duas, bimodal. 4 Quado se fala média, sem especificar, supõe-se estar se tratado da média aritmética. 5 Assim como a liguagem cotidiaa dizemos que uma roupa está a moda quado ela é usada pela maioria das pessoas.

32 3..3 Mediaa Mediaa é o valor que divide um cojuto ao meio. Por exemplo, um grupo de 5 pessoas com alturas de,6m,,65m,,68m,,7m e,73m, a mediaa é,68m, pois há o mesmo úmero de pessoas mais altas e mais baixas (duas). A mediaa apreseta uma vatagem em relação à média: o grupo acima, a média é,67m, etão, este caso, tato a média como a mediaa os dão uma idéia razoável do grupo de pessoas que estamos cosiderado. Se, o etato, retirarmos a pessoa de,73m, substituido-a por outra de,m, a média passará a ser,746m. Neste caso, a média ão seria muito represetativa de um grupo que, afial de cotas, tem apeas uma pessoa acima de,7m. A mediaa, etretato, fica ialterada. A mediaa, ao cotrário da média, ão é sesível a valores extremos. Seguido a mesma lógica, os quartis são os elemetos que dividem o cojuto em quatro partes iguais. Assim, o primeiro quartil é aquele elemeto que é maior do que 4 dos elemetos e, portato, meor do que 4 3 dos mesmos; o segudo quartil (que coicide com a mediaa) é aquele que divide, 4 para cima 4 para baixo; fialmete o terceiro quartil é aquele elemeto que tem 3 abaixo e acima. 4 4 Da mesma forma, se dividirmos em 8 pedaços iguais, teremos os octis, decis se dividirmos em, e, mais geericamete os percetis: o percetil de ordem é aquele que tem abaixo de si % dos elemetos, e 8% acima. Exemplo..3. A partir da tabela apresetada o exemplo..., determie: a) a moda O elemeto que aparece mais vezes (3) é 74 cm, portato: Mo = 74 cm E só há uma moda, o que ão é ecessário que ocorra. No caso deste exemplo, bastaria que houvesse mais uma pessoa com 68 cm de altura para que esta distribuição se torasse bimodal. b) a mediaa Há 3 dados. Do meor para o maior, o 5 o dado é, pela ordem, 73 cm, equato o 6 o é 74 cm. Como a mediaa deve ter 5 elemetos abaixo e 5 acima, tomaremos o poto médio etre o 5 o e o 6 o dado: Md = Md = 73,5 cm c) o o e o quartis. Devemos dividir o total de elemetos por 4, o que dá 7,5. Como o 7 o e o 8 o elemeto, ido do meor para o maior, são iguais, temos: o quartil = 68 cm

33 33 O o quartil coicide com a mediaa: o quartil = Md = 73,5 cm.3. Medidas de dispersão É muito comum ouvirmos: em estatística, quado uma pessoa come dois fragos equato outra passa fome, a média ambas comem um frago e estão, portato, bem alimetadas; ou, se uma pessoa está com os pés em um foro e a cabeça em um freezer, a média, experimeta uma temperatura agradável. É claro que estas situações tem que ser percebidas (e são!) pela estatística. Para isso que servem as medidas de dispersão, isto é, medidas de como os dados estão agrupados : mais ou meos próximos etre si (meos ou mais dispersos)..3. Variâcia Uma das medidas mais comus de dispersão é a variâcia. Tomemos o exemplo dos fragos para três idivíduos. Na situação há uma divisão eqüitativa equato a situação, um idivíduo come demais e outro passa fome. Situação Situação idivíduo idivíduo idivíduo3 É claro que, em ambas as situações, a média é frago por idivíduo. Para ecotrar uma maeira de distiguir umericamete as duas situações, uma tetativa poderia ser subtrair a média de cada valor: Situação Situação idivíduo - = = idivíduo - = = idivíduo3 - = - = - MÉDIA O que ão resolveu muito, pois a média dos desvios em relação à média 6 (valor meos a média) cotiua igual. Mais precisamete, ambas são zero. Isto ocorre porque, a situação, os valores abaixo da média (que ficam egativos) compesam os que ficam acima da média (positivos). Para se livrar deste icoveiete dos siais podemos elevar todos os valores ecotrados ao quadrado. Situação Situação idivíduo ( - ) = ( - ) = idivíduo ( - ) = ( - ) = 6 Aliás, valeria a pea lembrar que sempre a soma dos desvios em relação à média é zero.

34 idivíduo3 ( - ) = ( - ) = 34 MÉDIA /3 E, desta forma, coseguimos ecotrar uma medida que distigue a dispersão etre as duas situações.,67. Na situação, ão há dispersão todos os dados são iguais a variâcia é zero. Na situação, a dispersão é (obviamete) maior ecotramos uma variâcia de /3 Basicamete, ecotramos a variâcia subtraido todos os elemetos do cojuto pela média, elevamos o resultado ao quadrado e tiramos a média dos valores ecotrados. Portato, a variâcia de um cojuto de valores X, que chamaremos de var(x) ou X será dada por: Ou aida: var(x) X = var(x) = i= (X - X) + (X - X) +...+(X - X) (X i - X) Variâcia é, portato, uma medida de dispersão, que lembra quadrados. Este último aspecto, aliás, pode ser um problema a utilização da variâcia. Na situação do exemplo aterior (que tratava de fragos), ecotramos uma variâcia de,67... fragos ao quadrado? Sim, porque elevamos, por exemplo, frago ao quadrado. Da mesma forma que, a geometria, um quadrado de lado m tem área de (m) = 4m, temos que ( frago) = frago! E assim também valeria para outras variáveis: reda medida em reais ou dólares teria variâcia medida em reais ao quadrado ou dólares ao quadrado. Além da estraheza que isto poderia causar, dificulta, por exemplo uma comparação com a média. Para elimiar este efeito, utiliza-se uma outra medida de dispersão que é, a verdade, uma pequea alteração da variâcia. Exemplo.3.. (variâcia a partir de dados agrupados) Utilizado o agrupameto do exemplo..., determie a variâcia. A variâcia é calculada com o mesmo pricípio utilizado para a média, ou seja, tomado-se o valor médio de cada classe como represetativo da mesma. Assim: var(x) = [(55-75,33) 3 +(65-75,33) 8+(75-75,33) 4+(85-75,33) 4+(95-75,33) +(5-75,33) ] var(x) 8,89 Mais uma vez, é uma aproximação. Verifique que o valor correto da variâcia (utilizado os dados iiciais) é de 86, Desvio padrão

35 Para elimiar o efeito dos quadrados existete a variâcia basta extrairmos a raiz quadrada. Chamaremos de desvio padrão da variável X (dp(x) ou X ): dp(x) X = var(x) Portato, o desvio padrão a situação do exemplo dos fragos será dado por: dp(x) =, 67,8 fragos Estado a mesma uidade dos dados (e da média), o caso específico, fragos, é possível comparar o desvio padrão com a média: este caso, o desvio padrão é 8% 7 da média. Note-se que, se o objetivo é a comparação etre dois cojutos de dados, tato faz usar a variâcia ou o desvio padrão. Se a variâcia é maior, o desvio padrão também é maior (e viceversa) ecessariamete Outra maeira de calcular a variâcia Se, a partir da defiição de variâcia, desevolvermos algebricamete, obteremos: var(x) = i= (X i - X) var (X) = i= (X - X X + X ) i i var(x) = X i i= - Xi X + i= X i= var(x) = X i i= - X i= X i + X var(x) = X i i= - X + X var(x) = X i - X i= Ou, em outras palavras: var(x) = média dos quadrados - quadrado da média Utilizado este método para calcular a variâcia da situação do exemplo dos fragos: Situação ao quadrado idivíduo 4 idivíduo idivíduo3 MÉDIA 5/3 var(x) = média dos quadrados - quadrado da média = 5/3 - = /3 7 Esta proporção, que é obtida através da divisão do desvio padrão pela média, é também chamada de coeficiete de variação.

36 Ecotramos o mesmo valor. Tomemos agora o exemplo de um aluo muito fraco, que tem as seguites otas em três disciplias: aluo A otas ao quadrado ecoomia 3 9 cotabilidade 4 admiistração 4 6 matemática 36 MÉDIA,5 7,5 Para este aluo, temos: X =,5 var(x) = 7,5 -,5 =,5 dp(x) =, Supoha agora um aluo B, mais estudioso, cujas otas são exatamete o dobro: aluo B otas ao quadrado ecoomia 6 36 cotabilidade 4 6 admiistração 8 64 matemática 4 MÉDIA 5 3 X = 5 Para o aluo B, os valores são: Isto é, se os valores dobram, a média dobra. var(x) = 3-5 = 5 = 4,5 Ou seja, se os valores dobram, a variâcia quadruplica. Isto porque variâcia lembra quadrados. Em outras palavras, vale a relação 8 : dp(x) =,4 var(ax) = a var(x) (.3.3.) Isto é, o desvio padrão dobra, assim como a média. Vale, portato, a relação: dp(ax) = a.dp(x) (.3.3.) Agora tomemos um aluo C, aida mais estudioso, que tira 5 potos a mais do que o aluo A em todas as matérias: aluo C otas ao quadrado 8 Veja demostração o apêdice

37 ecoomia 8 64 cotabilidade 7 49 admiistração 9 8 matemática MÉDIA 7,5 57,5 X = 7,5 Para este aluo teremos: Se o aluo tira 5 potos a mais em cada disciplia, a média também será de 5 potos a mais var(x) = 57,5-7,5 =,5 dp(x) =, A variâcia e o desvio padrão são os mesmos do aluo A. Isto porque são medidas de dispersão se somarmos o mesmo valor a todas as otas de A elas cotiuarão dispersas, espalhadas da mesma forma, apeas mudarão de posição. Valem portato as relações 9 : var(x+a) = var(x) (.3.3.3) dp(x+a) = dp(x) (.3.3.4).3.4. Relações etre variáveis covariâcia A covariâcia pode ser etedida como uma variâcia cojuta etre duas variáveis. Equato a variâcia sai de quadrados (da variável meos a média), a covariâcia é defiida através de produtos: cov(x,y) = i= (X i - X)(Yi - Y) Que, assim como a variâcia, pode ser calculada de outra forma: cov(x,y) = média dos produtos - produto da média (.3.4.) Vejamos um exemplo do cosumo e da taxa de juros de um país: Ao cosumo (X) taxa de juros (Y) produto (XY) MÉDIA cov(x,y) = x = -75 E agora etre o cosumo e a reda: 9 Cujas demostrações também podem ser vistas o apêdice.

38 38

39 39 tabela.3.4. Ao cosumo (X) reda (Y) produto (XY) MÉDIA cov(x,y) = x. = 7.5 A primeira difereça que se ota etre os dois últimos exemplos é o sial da covariâcia em cada um deles. A covariâcia é egativa etre o cosumo e a taxa de juros e positiva etre o cosumo e a reda. Isto porque cosumo e reda camiham a mesma direção (quado aumeta um, aumeta outro e vice-versa) e quado isto ocorre o sial da covariâcia é positivo. Já o cosumo e a taxa de juros se movem em direções opostas (quado aumeta um, cai outro e vice-versa), assim sedo, o sial da covariâcia é egativo. A covariâcia etre duas variáveis é iflueciada pela importâcia que uma variável tem sobre a outra, de tal modo que duas variáveis idepedetes têm covariâcia zero. Etretato, ão é possível cocluir, pelos valores obtidos, que a reda é mais importate do que a taxa de juros para a determiação do cosumo só porque o valor da covariâcia etre o cosumo e a reda é bem maior do que o etre o cosumo e a taxa de juros. Isto porque a covariâcia também é afetada pelos valores das variáveis. A covariâcia etre cosumo e reda é maior também porque os valores da reda são bem maiores que os da taxa de juros..3.5 Coeficiete de correlação O coeficiete de correlação é obtido retirado-se o efeito dos valores de cada uma das variáveis da covariâcia. Isto é feito dividido-se esta última pelos desvios padrão das variáveis. O coeficiete de correlação é dado, etão, por: corr(x,y) XY = cov(x,y) dp(x).dp(y) No exemplo do cosumo e da reda os desvios padrão são, respectivamete,8 e 58, (verifique!). O coeficiete de correlação será dado por: XY = 7. 5 =,99 8, 58, O sial do coeficiete de correlação é o mesmo da covariâcia (e deve ser iterpretado da mesma forma). Mas a recíproca ão é verdadeira.

40 Os seus valores variam apeas o itervalo de - a e podem sem iterpretados como um percetual. Portato, um valor de,99 (quase ) idica que a reda é muito importate para a determiação do cosumo. O valor de (ou -) para o coeficiete de correlação só é ecotrado para duas variáveis que teham uma relação exata e dada por uma fução do o grau. Por exemplo, o úmero de cadeiras e de assetos em uma sala de aula; o úmero de pessoas e dedos da mão (supodo que ão haja idivíduos polidáctilos, acidetados ou com defeitos cogêitos etre estas pessoas); a área útil e a área total em apartametos de um mesmo edifício. Valores muito pequeos (em módulo) idicam que a variável tem pouca ifluêcia uma sobre a outra Outras propriedades. No exemplo do cosumo e da taxa de juros, multipliquemos o cosumo por 3 e a taxa de juros por : ao 3X Y produto MÉDIA A ova covariâcia será dada por: cov(3x,y) = x4 = -5 = 6(-75) Ou seja, o sêxtuplo da covariâcia etre as variáveis origiais. A propriedade apresetada aqui pode ser assim resumida: cov(ax,by) = a.b.cov(x,y) (.3.6.) Com ressalvas, pois ele é calculado sem cosiderar a ifluêcia de outras variáveis.

41 Tomemos agora duas variáveis X e Y: X Y X Y XY MÉDIA 5 4 4,5 3,5 Podemos calcular: var(x) = 4-5 = 7 var(y) = 4,5 - =,5 cov(x,y) = 3,5-5x =,5 Vamos ivetar duas ovas variáveis: X+Y e X-Y X+Y X-Y (X+Y) (X-Y) MÉDIA ,5 85,5 Etão temos: var(x+y) = 37,5-7 = 8,5 var(x-y) = 85,5-3 = 6,5 Note que poderíamos obtê-las dos valores ateriores da seguite forma: var(x+y) = 7 +,5 +,5 =8,5 var(x-y) = 7 +,5 -,5 = 6,5 Geeralizado, vem : var(x+y) = var(x) + var(y) + cov(x,y) (.3.6.) var(x-y) = var(x) + var(y) - cov(x,y) (.3.6.3) Note que é muito semelhate à forma do produto otável (a+b) = a + b + ab, fazedo a variâcia aáloga ao quadrado e a covariâcia aáloga ao produto.

42 4 Exercícios. Num sistema de avaliação há duas provas (com otas variado de a ) e, para ser aprovado, o aluo deve ter média fial 5. Qual é a ota míima que é preciso tirar a primeira prova para ter chace de ser aprovado, supodo: a) média aritmética poderada, com a primeira prova tedo peso e a seguda. b) média geométrica (simples). c) média harmôica (simples).. Dados o cojuto {; 3; 5; 8; }, calcule as médias aritmética, geométrica e harmôica, supodo: a) pesos iguais. b) pesos 9, 7, 5, 3 e c) pesos %, %, 3%, 5%, 5% 3. A partir dos dados do exemplo...: a) agrupe os dados em classes de 5 cm. b) calcule a média e a variâcia. c) comete os resultados obtidos o item aterior. d) trace o histograma correspodete. 4. Com base os histogramas abaixo, calcule a média, a variâcia e o desvio padrão. a) b) Calcule o coeficiete de correlação etre o cosumo e a taxa de juros da tabela Para os dados das tabelas abaixo, calcule:

43 i) a variâcia e o desvio-padrão de X. ii) a variâcia e o desvio-padrão de Y. iii) a covariâcia etre X e Y. iv) o coeficiete de correlação etre X e Y. 43 a) X Y b) X Y Cosidere duas variáveis aleatórias idepedetes, X e Y, cujas médias são e, respectivamete e suas variâcias são 5 e 6. Usado as abreviações abaixo: m(x) = média aritmética de X. var(x) = variâcia de X. dp(x) = desvio-padrão de X. Determie: a) m(x + 5) b) m(5y) c) m(3x 4Y + 7) d) var(x) e) var(y + 6) f) var(4x) - var(y + ) g) dp(5x) + dp(6y) h) dp(3x - 5) - dp(4y - 8) 8. Dadas as variáveis aleatórias X, Y e Z, sedo: var(x) = 4 cov(y,z) = -3 var(y) = 9 X e Y são idepedetes var(z) = X e Z são idepedetes Calcule: a) var(x+y) b) var(x-y) c) var(x+3y) d) var(y+z)

44 e) var(y-3z+5) f) var(4x-) g) corr(z,y) h) cov(4z,5y) i) cov(z,-y) j) corr(,5z; Y) O coeficiete de correlação etre X e Y é,6. Se W = 3 + 4X e Z = Y, determie o coeficiete de correlação etre W e Z.. O coeficiete de correlação etre X e Y é. Se W = a + bx e Z = c + dy, determie o coeficiete de correlação etre W e Z

45 Apêdice.B - Demostrações.B. Demostração da expressão.3.3. var(ax) = a var(x) 45 var(ax) = i= i= ( a X a i - X) i ) var(ax) = a (X - X var(ax) = i= var(ax) = a a i= (X i - X) (X i - X) var(ax) = a var(x) (c.q.d).b. Demostração da expressão.3.3. dp(ax) = a.dp(x) dp(ax) = var(a X) dp(ax) = a var(x) dp(ax) = a var(x) dp(ax) = a.dp(x) (c.q.d.).b.3 Demostração da expressão var(x+a) = var(x) var(x+a) = X + a - (X a i= i= i ) i ) var(x+a) = X + a - X - a var(x+a) = i= (X i - X) var(x+a) = var(x) (c.q.d.).b.4 Demostração da expressão dp(x+a) = dp(x) dp(x+a) = var(x + a ) dp(x+a) = var(x)

46 dp(x+a) = dp(x) (c.q.d.) 46.B.5 Demostração da expressão.3.4. cov(x,y) = média dos produtos - produto da média cov(x,y) = i= (X i - X)(Yi - Y) cov(x,y) = cov(x,y) = cov(x,y) = cov(x,y) = cov(x,y) = i= i= i= i= X i Y i X i Y i X i Y i X i Y i i= - (X Y - X Y - XY + XY) i i i i i= - Y X Y i X i i= - i= - X - XY - XY + XY - XY XY i + Y i i= cov(x,y) = média dos produtos - produto da média i= XY + XY (c.q.d.).b.6 Demostração da expressão.3.6. cov(ax,by) = a.b.cov(x,y) cov(ax,by) = i= cov(ax,by) = i= cov(ax,by) = a.b. ( a X b i - ax)( byi - Y) a (X b i= cov(ax,by) = a.b.cov(x,y) i - X) (Yi - Y) (X i - X)(Yi - Y).B.7 Demostração da expressão.3.6. var(x+y) = var(x) + var(y) + cov(x,y) var(x+y) = var(x+y) = (Xi Y i ) - ( X Y) i= (X i Y i + XiY i ) - ( X Y XY) i= var(x+y) =( X i i= - X ) + ( Y i i= - Y ) + ( X Y i i - XY ) i=

47 var(x+y) = var(x) + var(y) + cov(x,y) (c.q.d.) 47.B.8 Demostração da expressão var(x-y) = var(x) + var(y) - cov(x,y) var(x-y) = var[x+(-y)] var(x-y) = var(x) + var(-y) + cov(x,-y) var(x-y) = var(x) + var(y) - cov(x,y) (c.q.d.)

48 48

49 49 CAPÍTULO 3 DISTIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE Supoha que você compra uma ação de uma compahia ao preço de R$ e que, após um mês, pretede vedê-la. Supoha aida que, por algum motivo qualquer, ao fial de um mês, esta ação só pode estar valedo os mesmos R$, com probabilidade de 5%; ter caído para R$ 5, com probabilidade de 3%; ou aida, ter subido para R$ 5, com probabilidade de %. Só estes três valores são possíveis, tedo em vista que as respectivas probabilidades somam exatamete %. Temos aí uma distribuição de probabilidade associada ao preço da ação, isto é, cada um dos valores possíveis desta ação (só 3, este caso) tem uma probabilidade correspodete. Como defiimos o capítulo aterior, isto caracteriza o preço da ação como uma variável aleatória. E, como o cojuto de valores do preço da ação é um cojuto discreto, esta é uma distribuição de probabilidade discreta ou, em outras palavras, é uma distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta. Poderíamos ter uma distribuição cotíua (o que, aliás, provavelmete seria mais adequado cosiderado-se que se trata do preço de uma ação), mas isto fica para mais adiate o capítulo. Por equato trataremos de distribuições discretas. 3. Esperaça Matemática Uma pessoa que compre a ação citada acima pode sair gahado, pode perder ou até ficar a mesma, depededo do que acoteça com o preço da ação. Etão, a média, dá a mesma, certo? Errado! A probabilidade de que a ação caia é maior do que a ação suba. O valor médio do preço da ação é: 5,3 +,5 + 5, = R$ 9,5 O valor médio é 5 cetavos abaixo do preço iicial da ação, o que sigifica que, em média, quem comprar esta ação sairá perdedo. Mas este é um valor médio esperado. É uma média do que pode acotecer com a variável, baseado a sua distribuição de probabilidade. É o que chamamos de Esperaça Matemática ou, simplesmete, Esperaça. A Esperaça de uma variável aleatória discreta X, E(X), pode ser defiida, etão, como: E(X) = X P(X ) + X P(X ) X P(X ) = X P(X i i i ) A probabilidade aqui tem o mesmo papel da freqüêcia relativa do capítulo aterior. A difereça é que, quado falamos em freqüêcia relativa usualmete os referimos a uma quatidade obtida, equato probabilidade se refere, obviamete, a proporções que a variável pode assumir determiado valor 3. 3 A difereça ficará mais clara o capítulo 5 quado falarmos em valores amostrais e populacioais. Podemos imagiar a freqüêcia relativa como sedo o valor amostral, equato a probabilidade é o valor populacioal. Ou aida, lembrado o capítulo, pela abordagem freqüetista, a probabilidade é o limite da freqüêcia relativa quado temos um úmero muito grade de experimetos.

50 Aliás, podemos pesar em P(X) como uma fução que associa o valor de X à sua probabilidade, que é chamada de fução de probabilidade. Uma outra fução importate que pode ser associada às probabilidades é a fução que, dado o valor de X, os forece a probabilidade acumulada, e que chamamos fução de distribuição acumulada, ou simplesmete, fução de distribuição, que represetamos por F(X). Se X for o preço da ação que falamos o iício do capítulo, etão X só pode assumir 3 valores, isto é, 5, e 5. F(5) seria a probabilidade do preço da ação ser, o máximo, 5, o que é exatamete 3%. F() é a probabilidade de ser até que, este caso, equivale à probabilidade de ser 5 ou, que é 8%. Fialmete, F(5) é a probabilidade de ser, o máximo, 5, isto é, de ser 5,, ou 5 que é, obviamete %. Esta é uma característica das fuções de distribuição, o último valor 4 da fução é (%). 5 P(X) 6% 5% 4% 3% % % % 5 5 Fução de probabilidade F(X) % % 8% 6% 4% % % 5 5 Fução distribuição acumulada Nos gráficos acima o formato de histograma foi utilizado para uma melhor visualização, ão sedo, evidetemete, obrigatório, embora seja adequado para uma variável aleatória discreta. Exemplo 3.. Num sorteio de úmeros iteiros de a 5, a probabilidade de um úmero ser sorteado é proporcioal a este úmero (isto é, a probabilidade do úmero 5 ser sorteado é cico vezes a probabilidade do úmero ser sorteado). Qual a probabilidade de cada úmero ser sorteado. 4 Ou o limite para quado X tede ao ifiito.

51 5 Se chamarmos a probabilidade do úmero ser sorteado (P()) de uma costate descohecida A, temos que: P() = A P(3) = 3A P(4) = 4A P(5) = 5A Ora, sabemos que a soma de todas as probabilidades, sedo os evetos mutuamete exclusivos, tem que ser igual a : P() + P() + P(3) + P(4) + P(5) = A + A + 3A + 4A + 5A = 5 A = A = 5 Portato: P() = /5 P() = /5 P(3) = 3/5 = /5 P(4) = 4/5 P(5) = 5/5 = /3 Voltado à Esperaça, ela é uma média poderada pelas probabilidades. Valem portato, para a Esperaça, as mesmas propriedades da média: E(aX + b) = ae(x) + b E(X + Y) = E(X) + E(Y) Podemos, iclusive, escrever a variâcia em termos da Esperaça. Como a variâcia é defiida como a média dos quadrados dos desvios em relação à média, temos que: var(x) = E[X E(X)] Ou aida, podemos calcular a variâcia como sedo a média dos quadrados meos o quadrado da média, portato: var(x) = E(X ) [E(X)] Da mesma forma, a covariâcia etre duas variáveis pode ser escrita utilizado a esperaça: cov(x,y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y)] = E(XY) E(X)E(Y) Exemplo 3.. Uma ação comprada por R$ pode assumir, após 3 dias, os seguites valores: R$ 5, com probabilidade %; R$, com probabilidade 3%; R$ 6, com probabilidade 5% e R$, com probabilidade 5%. Determie o valor esperado da ação e a sua variâcia. O valor esperado (esperaça) da ação será dado por:

52 5 E(X) = 5, +,3 + 6,5 +,5 E(X) =, = 4,5 Como o preço da ação foi de R$, o lucro médio (esperado) desta ação é R$ 4,5. Quato à variâcia: E(X ) = 5, +,3 + 6,5 +,5 E(X ) = 5, +,3 + 56,5 + 4,5 E(X ) =, = 6,5 var(x) = E(X ) [E(X)] var(x) = 6,5 4,5 var(x) =,5 Repare que a variâcia, ao medir a dispersão dos possíveis valores da ação, é uma medida do risco da ação. 3. Algumas distribuições discretas especiais Há distribuições que, por sua importâcia, merecem um destaque especial e até um ome. Trataremos de algumas delas agora. 3.. Distribuição uiforme discreta A distribuição uiforme é aquela em que todos os elemetos têm a mesma probabilidade de ocorrer. Imagie, por exemplo o marcador das horas em um relógio digital Qual a probabilidade de que, ao olhar para ele um mometo qualquer do dia, ele esteja mostrado um particular úmero? Obviamete, é / para qualquer úmero, cosiderado um mostrador de doze horas, ou /4 para um mostrador de vite e quatro horas. Também é igual a probabilidade de ocorrêcia de um úmero qualquer em um dado ão viciado, /6. Também se trata de uma distribuição uiforme. O gráfico da fução de probabilidade para o caso do dado é mostrado abaixo (de ovo, em forma de histograma): P(X) / Exemplo 3... Joga-se um dado uma úica vez. Qual o valor esperado do úmero obtido? E a sua variâcia? O valor esperado (esperaça) será dado por:

53 53 E(X) = = 6 = 3,5 Repare que, ão por coicidêcia: 6 E(X) = 3,5 = Ou seja, o caso de uma distribuição uiforme discreta, a média é a própria média aritmética dos valores extremos (desde que, é claro, estes valores cresçam um itervalo costate). E a variâcia será: E(X ) = E(X ) = = 6 9 var(x) = E(X ) [E(X)] 9 var(x) = = 6 6 5, Distribuição de Berouilli A distribuição de Berouilli se caracteriza pela existêcia de apeas dois evetos, mutuamete exclusivos, que deomiaremos de sucesso e fracasso, um experimeto que é realizado uma úica vez. Se a probabilidade de sucesso é p, a probabilidade de fracasso é, evidetemete 5, p. É uma distribuição deste tipo o laçameto de uma moeda uma úica vez. Se apostamos a cara, sedo esta etão o sucesso temos que a probabilidade de sucesso é p = / e a probabilidade de fracasso (coroa) é p = /. Da mesma forma se, um laçameto de uma dado apostamos um úmero, digamos, o 3, este será o sucesso, sedo qualquer um dos outros cico úmeros fracasso. Neste caso, a probabilidade de sucesso é p = /6 e a probabilidade de fracasso é p = 5/6. Há outros exemplos: digamos que a iteção de voto para um cadidato é 3%. Se, ao escolhermos um eleitor ao acaso e defiimos como sucesso se este eleitor pretede votar o referido cadidato, a probabilidade de sucesso será p =,3 e a probabilidade de fracasso será p =,7; da mesma forma, se há 5% de peças defeituosas em um lote, defiido como sucesso escolher, ao acaso, uma peça que ão seja defeituosa, a probabilidade será p =,95, equato a probabilidade de fracasso será p =,5. Exemplo 3... No caso da cara ou coroa, atribuido o valor para o sucesso e para o fracasso, determie a média e a variâcia do resultado após uma jogada. A média será dada por: 5 Já que só existem estes dois evetos e eles são mutuamete exclusivos.

54 54 E(X) = + = =,5 E a variâcia: E(X ) = + = =,5 var(x) = E(X ) [E(X)] =,5,5 =,5 Exemplo 3... No caso do dado, em que se aposta em um úico úmero, atribuido o valor para o sucesso e para o fracasso, determie a média e a variâcia do resultado após uma jogada. A média será dada por: E(X) = = 6 E a variâcia: E(X ) = + 5 = var(x) = E(X ) [E(X)] 5 = = Pelos dois exemplos acima, podemos verificar que 6, uma distribuição de Berouilli: E(X) = p var(x) = p( p) Assim, podemos utilizar o resultado para o caso do cadidato que tem 3% das iteções de voto. Temos que (verifique!): E(X) = p =,3 var(x) = p( p) =,3,7 =, E mesmo para o caso das peças defeituosas ou para qualquer situação que se equadre em uma distribuição de Berouilli. Especificamete o caso do cadidato, é possível, como veremos adiate 7, através da variâcia, motar as chamadas marges de erro das pesquisas eleitorais Distribuição Biomial 6 A demostração é dada o apêdice 3.B 7 No capítulo 6.

55 A distribuição Biomial ada mais é do que a geeralização da distribuição de Berouilli. Há um sucesso, com probabilidade p e um fracasso, com probabilidade p, mas o úmero de experimetos (de jogadas ) pode ser qualquer. Tomemos o exemplo mais simples, que é o da cara ou coroa, com três jogadas, que represetamos a árvore abaixo: caras 3 caras cara ca co ca co coroa ca co coroas 3 coroas 55 Já cohecemos o resultado da primeira jogada: P( cara) = p = P( coroa) = p = Para a seguda jogada, observado a árvore, verificamos que, da origem, há 4 camihos possíveis e, este caso, todos com a mesma probabilidade. Destes 4, em deles chegaríamos a caras ou coroas. Etretato, para cara e coroa há camihos possíveis. Portato, para duas jogadas temos: P( caras) = 4 P( cara e coroa) = 4 P( coroas) = 4 Repare que: P( caras) = pp P( cara e coroa) = p( p) P( coroas) = ( p)( p) O úmero que aparece para cara e coroa se deve ao fato de que este resultado é possível de ocorrer de duas maeiras, isto é, dado cara a primeira jogada ou dado coroa logo a primeira. Para 3 jogadas, há 8 camihos possíveis (verifique!). Destes 8, em apeas ocorrem só caras ou só coroas. Em 3 deles ocorrem caras e coroa e em outros 3, coroas e cara.

56 P(3 caras) = 8 56 P( caras e coroa) = 8 3 P( cara e coroas) = 8 3 P(3 coroas) = 8 Temos agora que: P(3 caras) = ppp P( caras e coroa) = 3pp( p) P( cara e coroas) = 3p( p)( p) P(3 coroas) = ( p)( p)( p) E agora aparece o úmero 3 para caras e coroa (ou cara e coroas). De ode? Bom, há realmete 3 possibilidades: a cara, a cara e 3 a coroa; ou, a cara, a coroa e 3 a cara; ou aida, a coroa, a cara, 3 a cara. Podemos combiar as posições das caras de 3 maeiras diferetes. O úmero 3, a verdade, é a quatidade de combiações 8 de 3 elemetos em grupos de. Portato: P(3 caras) = C 3,3 ppp P( caras e coroa) = C 3, pp( p) P( cara e coroas) = C 3, p( p)( p) P(3 coroas) = C 3, ( p)( p)( p) Nota: as combiações de elemetos em grupos de k também é podem ser escritas como: C,k = k Que se lê biomial de, k (por razões que agora são óbvias). Portato, as probabilidades para 3 jogadas podem ser escritas assim: 3 P(3 caras) = ppp 3 3 P( caras e coroa) = pp( p) 3 P( cara e coroas) = p( p)( p) 3 P(3 coroas) = ( p)( p)( p) Podemos geeralizar, para um experimeto qualquer, ode a probabilidade de sucesso é p e a probabilidade de fracasso é p, a probabilidade de que, em jogadas, ocorram k sucessos é: 8 Veja apêdice.a.

57 57 P(x = k) = p k ( p) -k k Exemplo Supoha um jogo de dados em que se aposta em um úico úmero. Determie a probabilidade de: a) em 3 jogadas, gahar É uma distribuição biomial ode p = /6, temos 3 jogadas e o sucesso ocorre em delas: 3 5 P(x = ) = P(x = ) = P(x = ) = 6 b) em 4 jogadas, gahar. 4 5 P(x = ) = P(x = ) = P(x = ) = 96 c) em 5 jogadas, gahar P(x = 3) = P(x = 3) = P(x = 3) = 7776 Exemplo Calcule a média e a variâcia o jogo de cara ou coroa, atribuido valor para cara e para coroa, cosiderado, e 3 jogadas. Para jogada, ficamos reduzidos ao caso particular da distribuição de Berouilli, cujo resultado já cohecemos: E(x) = p = var(x) = p( p) = 4 Façamos etão, o cálculo para e 3 jogadas. Para jogadas, temos:

58 58 E(x) = = 4 4 = E(x ) = = 4 6 =,5 var(x) =,5 =,5 E, para 3 jogadas, temos: 3 3 E(x) = = =, E(x ) = = 8 4 = 3 var(x) = 3,5 =,75 Note que é válido que: E(x) = p var(x) = p( p) Distribuição Geométrica A distribuição geométrica também se refere a sucessos e fracassos mas, diferete da biomial é a probabilidade de que o sucesso ocorra (exatamete) a k-ésima jogada. Por exemplo, a cara ou coroa, qual a probabilidade de que a cara só ocorra a terceira jogada? Ou, qual a probabilidade de que o dado só dê o úmero desejado a quarta jogada. Assim sedo, a forma geral da distribuição geométrica será dada por: P(x = k) = ( p) k- p Ou seja, uma seqüêcia de fracassos as k- primeiras jogadas, culmiado com sucesso apeas a k-ésima jogada. Exemplo Um time de basquete ão está muito bem esta temporada, de tal forma que a probabilidade de que gahe um jogo qualquer é %. Qual é a probabilidade de que a primeira vitória ocorra: a) a primeira partida? Aí é imediato: P(x = ) =, = % b) a seguda partida? c) a quita partida? P(x = ) =,8, =,6 = 6% P(x = 5) =,8 4, =,89 8,% Exemplo Qual é a partida esperada em que ocorrerá a primeira vitória?

59 59 O valor esperado da k-ésima partida em que ocorrerá a tão sohada vitória é: E(x) =, +,8, + 3,8, + 4,8 3, +... E(x) =,[ +,8 + 3,8 + 4, ] A expressão etre colchetes é quase uma progressão geométrica, exceto pelos úmeros,, 3, 4, etc. Na verdade, é uma soma de progressões geométricas como podemos ver abaixo: +,8 +,8 +, ,8 +,8 +, ,8 +, , ,8 + 3,8 + 4, Relembrado que a soma de uma progressão geométrica ifiita cujo primeiro termo é a cuja razão (q) é meor do que, em módulo, é dada por 9 : S = a q Temos etão que:,8,8 3 E(x) =,( ),8,8,8, E(x) = ( +,8 +,8 +, ),8 O termo etre parêteses é também uma progressão geométrica, equato o termo multiplicado é exatamete : E(x) =,8 = = 5, Portato, o esperado é que a vitória ocorra a quita partida. Repare que o resultado obtido pode ser geeralizado para: E(x) = p Que é a média de uma distribuição geométrica Distribuição Hipergeométrica A distribuição Hipergeométrica se refere a probabilidade de ao retirarmos, sem reposição, elemetos em um cojuto de N, k elemetos com o atributo sucesso, sedo que, do total de N elemetos, s possuem este atributo e, portato, N s possuem o atributo fracasso. Fica claro que, da maeira como defiimos p ateriormete: 9 O que é mostrado o apêdice 3.A

60 6 p = N s A perguta aqui, etão, é: qual a probabilidade de que, retirado-se elemetos, k possuam o atributo sucesso e -k o atributo fracasso. Do total de N elemetos, podemos tirar N grupos de elemetos. Dos s que possuem o s atributo sucesso, há grupos de k elemetos que poderiam sair esta extração. Fialmete, k N - s dos N-r que possuem o atributo fracasso, há grupos de -k elemetos. Etão, a - k probabilidade de ecotrarmos k elemetos com o atributo sucesso é: P(x = k) = s k N - s - k N Exemplo Sabe-se que há % de peças defeituosas em um lote de 5. Ao retirar 8 peças deste lote, sem reposição, qual a probabilidade de que delas sejam defeituosas? Como são % de peças defeituosas em um total de 5, há 5 peças defeituosas. Pede-se a probabilidade de retirar (do total de 5) peças defeituosas e 6 (de um total de 45) peças em bom estado. Esta probabilidade é calculada como se segue: P(x = ) = ,57 = 5,7% 3..6 Distribuição de Poisso Você é capaz de dizer quatas vezes, em média, toca o telefoe por dia a sua casa ou o seu escritório? Provavelmete, sim. Mas quatas vezes ão toca o telefoe? Esta perguta é muito difícil de se respoder. Quado uma variável aleatória tem um comportameto parecido com este, dizemos que ela segue uma distribuição de Poisso. Se cosiderarmos que sucesso é tocar o telefoe, é muito difícil calcular o p, a probabilidade disso ocorrer, já que ão temos como calcular a ão ocorrêcia do eveto. A solução é imagiar que o p é muito pequeo, já que o toque do telefoe dura apeas algus segudos em um dia de 4 horas. Portato, o úmero de vezes que este experimeto é realizado (telefoe toca ou ão toca), que é o da distribuição Biomial, é realizado muitas vezes.

61 6 Assim que modelamos este tipo de distribuição: partido de uma distribuição Biomial, cosiderado que p é muito pequeo (tede a zero) e é muito grade (tede a ifiito). p Mas de tal modo que o produto p é um úmero fiito diferete de zero. p = Mas o que sigifica este ovo parâmetro? Como partimos de uma distribuição Biomial, temos que: E(x) = p = Portato, é exatamete o úmero médio de vezes que o eveto ocorre. No exemplo do telefoe, é o úmero de vezes que o telefoe toca por dia. Aida é possível calcular a variâcia partido de uma distribuição Biomial: var(x) = p( p) Mas, como p tede a zero, p tede a. Portato: var(x) = p = A distribuição de Poisso se caracteriza, desta forma, por ter média igual a variâcia. Para calcularmos a probabilidade de uma variável como esta, partimos da distribuição Biomial e fazemos p e. Fazedo isto 3, chegamos a: P(x = k) = - k e k! Exemplo Supoha que, em média, o telefoe toque 4 vezes ao dia em uma casa. Qual a probabilidade de que, um certo dia, ele toque, o máximo, vezes? É uma distribuição de Poisso, cujo parâmetro é = 4. A probabilidade de tocar o máximo vezes é equivalete à probabilidade de tocar, ou vezes. P(x = ) = P(x = ) = P(x = ) = -4 e 4! -4 e 4! -4 e 4! = e -4 = 4e -4 = 8e -4 3 Veja a demostração o apêdice 3.B.

62 Portato: P(x ) = 3e -4,38 = 3,8% 6 A distribuição de Poisso também pode ser útil como uma aproximação da biomial quado, embora ão seja impossível, o valor de p seja tão pequeo de modo que os cálculos se torem um tato quato trabalhosos, como o exemplo abaixo. Exemplo Um cadidato tem apeas % das iteções de voto. Qual a probabilidade de que, em eleitores escolhidos ao acaso, ecotremos 5 que desejem votar este cadidato? Usado a biomial pura e simplesmete, temos: P(x = 5) =, 5,98 95,353 = 3,53% 5 Podemos, etretato, usar a distribuição de Poisso como aproximação, tedo como parâmetro = p =, = P(x = 5) = - e 5! 5,36 = 3,6% Que é um valor bem próximo do ecotrado através da biomial. Exercícios. Calcule a média, a variâcia e o desvio padrão das seguites variáveis aleatórias discretas: a) valor de uma ação: $ 5 com probabilidade 35% $ 4 com probabilidade 3% $ 3 com probabilidade % $ com probabilidade 5% b) potos de um time ao fial do campeoato: 4 com probabilidade de 5% 36 com probabilidade de % 3 com probabilidade de 5% 8 com probabilidade de 5% 4 com probabilidade de % com probabilidade de 5% c) o valor em uma jogada de um dado ão viciado. d) o valor em uma jogada de um dado viciado em que a probabilidade é iversamete proporcioal a cada úmero (isto é, a probabilidade de dar é seis vezes maior do que dar 6). e) gahos em jogo de cara ou coroa (com uma moeda ão viciada) ode, após 4 jogadas:

63 gahado 4, seguidas: prêmio de $ 6 gahado 3, seguidas: prêmio de $ 3 gahado 3, alteradas: prêmio de $ gahado, seguidas: prêmio de $ gahado, alteradas: prêmio de $ gahado : pealidade de $ perdedo todas: pealidade de $5 63 f) gahos em jogo de dados tetraédricos (apostado em um úico úmero) ode, após 3 jogadas: gahado 3 : prêmio de $ gahado, seguidas: prêmio de $ gahado, alteradas: prêmio de $ gahado : pealidade de $ perdedo todas: pealidade de $ g) Z =,, 3, 4 P(Z=k) =,48 k. Dada uma v.a. X, ode X é um úmero iteiro positivo cuja probabilidade é P(X = k) = A(,8) k. Determie o valor de A. 3. A probabilidade de que um aluo atrase a mesalidade é %. Qual a probabilidade de que, em aluos, o máximo atrasem a mesalidade? 4. Um cadidato tem % das iteções de voto. Qual a probabilidade de que, em 5 eleitores escolhidos ao acaso, 7 teham a iteção de votar este cadidato? 5. Num grupo de pessoas, são casadas. Qual a probabilidade de, um grupo de 5 pessoas escolhidas ao acaso, sejam solteiras? 6. Uma pessoa está iteressada em veder um imóvel e foi iformada de que, a probabilidade de ecotrar um comprador disposto a pagar o preço pedido em qualquer dia é 3%. Qual a probabilidade de que ela cosiga veder o imóvel em até 3 dias? 7. Numa grade cidade brasileira ocorrem, em média, 5 echetes por ao. Qual a probabilidade de que um determiado ao ocorram o máximo 3 echetes? 8. Uma alua, quado assiste aulas em salas com ar codicioado, espirra, em média, 3 vezes por hora. Qual a probabilidade de que, em 3 horas, ela espirre vezes? 9. Calcule a probabilidade pedida usado a biomial e a respectiva aproximação pela Poisso: a) em um lote de peças, % são defeituosas. Qual a probabilidade de que um lote de peças ão apresete ehuma defeituosa. b) um cadidato tem 3% das iteções de voto. Qual a probabilidade de que, etrevistados eleitores, 35 afirmem que vão votar este cadidato.

64 APÊNDICE 3.A Progressão geométrica 64 Chamamos de Progressão Geométrica (ou, simplesmete, PG) uma seqüêcia de úmeros em que, dado um úmero da série, o úmero seguite será ecotrado multiplicado-se por um valor fixo. Por exemplo, a seqüêcia de úmeros abaixo: {, 6, 8, 54, 6} É uma PG, pois partido do, multiplicado-o por 3, temos 3 = 6, que é o úmero seguite; para acharmos o próximo, fazemos 63 = 8, e assim sucessivamete para ecotrarmos os seguites. Esta é uma PG de 5 termos; o úmero 3, que é aquele que se multiplica para ecotrar o próximo úmero da seqüêcia é chamado de razão da PG. Nosso pricipal iteresse é a soma dos termos de uma PG. No caso específico, porém, ela pode ser facilmete ecotrada, pois são poucos termos: S = S = 4 (3.A.) Há que se ecotrar, o etato, uma fórmula geral para que possa ser aplicada a qualquer PG, ão importa seu tamaho. Para isto, multipliquemos a equação (3.A.) por 3, que é a razão da PG. 3S = (3.A.) Note que todos os termos se repetiram, exceto o primeiro. Subtraiamos a equação (3.A.) da equação (3.A.): 3S = (S = ) S = S = 484 S = 484 = 4 Desta forma, podemos repetir o procedimeto para uma PG qualquer de termos, com o termo deomiado a e razão q. A soma desta PG será dada por: S = a + aq + aq + aq aq - (3.A.3) Multiplicado a equação (3.A.3) por q, vem: qs = aq + aq + aq aq - + aq (3.A.4) Subtraido (3.A.3) de (3.A.4), temos: qs = aq + aq + aq aq - + aq -(S = a + aq + aq + aq aq - )

65 qs-s = aq - a S(q-) = a (q -) 65 S = a(q ) q - Assim, coseguimos ecotrar um termo geral para calcular a soma de uma PG. Para isso, devemos idetificar o primeiro termo da série (o a da fórmula), a razão (q) e o úmero de termos (). E se a PG for ifiita? É possível que a soma seja fiita? A resposta é sim. Tomemos, por exemplo, uma pessoa que come um chocolate seguido uma regra: em cada mordida, ela come exatamete metade do que falta. Quatos chocolates ela irá comer ao fial de ifiitas mordidas? Obviamete, chocolate. Mas isto só acotece porque em cada mordida ela come sempre uma fração do que falta. Isto é, é ecessário que a razão seja (em módulo) meor do que. A soma que represeta as mordidas do chocolate é dada por: S = = Que é uma PG com ifiitos termo, cujo primeiro é e a razão também é e que, sabemos, é igual a. Neste caso temos uma PG ifiita, portato: S = a + aq + aq + aq (3.A.5) Que, se multiplicarmos por q e subtrairmos, temos: S = a + aq + aq + aq (qs = aq + aq + aq ) S - qs = a (- q)s = a a S = q APÊNDICE 3.B Tópicos adicioais em distribuições de probabilidade discretas 3.B. Média e variâcia de uma distribuição de Berouilli E(X) = p + ( p) E(X) = p E(X ) = p + ( p) E(X ) = p var(x) = E(X ) [E(X)] var(x) = p p

66 66 var(x) = p( p) 3.B. Da Biomial à Poisso A probabilidade em uma distribuição Biomial é dada por: deles: P(x = k) = p k ( p) -k k Pela defiição de biomial (combiações):! P(x = k) = p k ( p) -k ( - k)!k! ( -)( - )...( - k )( - k)! P(x = k) = p k ( p) -k ( - k)!k! ( -)( - )...( - k ) P(x = k) = p k ( p) -k k! No umerador da fração acima temos k fatores. Colocado em evidêcia em cada um P(x = k) = k k - [(- )(- )...(- )]p k ( p) -k k! Como tede ao ifiito,,, etc. tedem a zero. P(x = k) = k p k ( p) -k k! Como, por defiição, = p, temos que p =. k P(x = k) = k k! k ( ) -k Do cálculo diferecial, sabemos que: E assim chegamos a: lim ( ) -k = e - P(x = k) = - k e k! 3.B.3 Quadro resumido as pricipais distribuições discretas Distribuição Biomial Geométrica Forma Geral P(X = k) Média Variâcia p p( p) p k ( p) -k k ( p) k- p p p p

67 67 Hipergeométrica Poisso s k N - s - k N p = N s - k e p = k! s N - s N - N N N -

68 CAPÍTULO 4 - DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS E TEOREMA DE TCHEBICHEV Distribuições cotíuas Imagie o marcador das horas de um relógio digital. Agora, pese o poteiro das horas de um relógio aalógico. Há uma difereça sigificativa, além da tecologia empregada. Equato o poteiro passa por qualquer posição do marcador, se atribuirmos esta sua posição a um valor, este será exatamete quado for potualmete duas horas, valerá,5 quado forem duas horas e trita miutos, 3,5 às três e quize e assim sucessivamete. O que se quer dizer aqui é que o valor atribuído à posição do poteiro das horas pode ser qualquer um etre (exclusive) e (iclusive). Já o relógio digital, o mostrador só assume, obviamete, valores iteiros. Esta difereça pode ser vista graficamete. Primeiro, um gráfico para o relógio digital: P(X) X A variável X é o valor assumido pelo marcador das horas do relógio digital. Se olharmos para ele uma hora qualquer do dia a probabilidade de que ela teha um dos valores acima é exatamete. Não há a possibilidade de que ela assuma outros valores. A difereça o gráfico para o relógio aalógico é que ele assume, em pricípio, qualquer valor, portato devemos preecher a liha que ue os doze potos. f(x) A variável x pode assumir, portato, ifiitos valores. Como vimos o capítulo, embora o poteiro das horas passe pelo, a probabilidade de que x seja exatamete igual a é zero, já que é um valor etre ifiitos possíveis. Como calcular a probabilidade de que x assuma um valor etre, digamos, e 3? Do capítulo, já sabemos a resposta, que é o mesmo, já que o itervalo de a 3 x é do itervalo total (e todos os itervalos do mesmo tamaho tem a mesma probabilidade de ocorrer).

69 Uma outra maeira de chegar a este cálculo é se retomarmos o gráfico para o relógio digital, mas desta vez em forma de histograma: 69 P(X) X Uma maeira de iterpretarmos a probabilidade do mostrador estar idicado duas horas, isto é, P(X = ) é a área do retâgulo correspodete a X =. A base deste retâgulo é e a altura é. A área é, portato, =. Para uma distribuição cotíua, usaremos um raciocíio aálogo, isto é, para determiar a probabilidade de x estar etre e 3, calcularemos a área defiida pela fução este itervalo. f(x) x A área é, de ovo, de um retâgulo, cuja base é e a altura. Portato: P( < x < 3) = = Repare que, como a probabilidade de um poto é igual a zero, tato faz, este caso, se utilizamos os símbolos de meor ou meor ou igual, pois a probabilidade será a mesma: P( < x < 3) = P( x < 3) = P( < x 3) = P( x 3) = Uma distribuição como essa do relógio aalógico é uiforme (cotíua). Note uma coisa importate: A fução f(x) ão forece diretamete a probabilidade de x, até porque esta é zero, já que se trata de uma distribuição cotíua. Ela é chamada de fução desidade de probabilidade (f.d.p.) e as probabilidades são obtidas através das áreas defiidas por esta fução.

70 As probabilidades de probabilidade, etretato, devem ser matidas para que f(x) seja uma f.d.p. A soma das probabilidades tem que ser igual a, o que vale dizer que a área total tem que ser igual 3 a. De fato, a área total defiida por f(x) é =. 7 Além disso, a probabilidade ão pode ser egativa. Portato, f(x) tem que ser ão egativo, isto é, maior ou igual a zero. Exemplo 4.. Uma variável aleatória (v.a.) cotíua, com distribuição uiforme, pode assumir qualquer valor real etre 3 e 6. Determie a fução desidade de probabilidade desta fução. O gráfico desta fução é: f(x) A 3 6 Ode A é um valor que aida temos que determiar. Como temos que f(x) é sempre positiva ou zero, aplicamos a codição de que a área total delimitada pelo gráfico tem que ser igual a. A base do retâgulo é 3 (= 6 3) e a altura igual a A. Portato: A3 = A = 3 Ou seja, f(x) = 3 quado x está etre 3 e 6 e é igual a zero para todos os demais valores de x, o que pode ser represetado como se segue: f(x) =, x < 3 ou x > 6, 3 x 6 3 Exemplo 4.. Partido da f.d.p. do exemplo aterior, determie as probabilidades de que: a) x = 4 Embora seja possível, como se trata de distribuição cotíua, a probabilidade de x ser exatamete igual a um valor é igual a zero. Portato: b) x esteja etre 4,6 e 5,5 P(x = 4) = 3 Embora f(x) possa ser maior do que.

71 7 A fução é dada por: f(x) =, x < 3 ou x > 6, 3 x 6 3 Cujo gráfico é mostrado abaixo: f(x) /3 3 4,6 5,5 6 A probabilidade será dada pela área delimitada o gráfico, que correspode a um triâgulo de base,9 e altura 3. c) x esteja etre e 4. P(4,6 x 5,5) =,9 3 =,3 Como x só assume valores etre 3 e 6, a área relevate a ser calculada correspode aos potos etre 3 e 4, já que para qualquer itervalo ates de 3, a probabilidade é igual a zero. P( x 4) = P( x 3) + P(3 x 4) P( x 4) = + 3 P( x 4),33 Exemplo 4..3 Dada a f.d.p. de uma v.a. cotíua abaixo: Ax, x 3 f(x) =, x < ou x > 3 Determie: a) o valor de A. O gráfico desta fução é dado abaixo:

72 7 Como f(x) = Ax, f(3) = 3A e f() =. A figura defiida pelo gráfico é um triâgulo de base 3 e altura 3A. Sabemos que f(x) é sempre ão egativo, portato basta aplicarmos a propriedade de que a área total seja igual a : 3A 3 = 9A = A = 9 b) a probabilidade de que x esteja etre e 3. Agora temos que f() = 9 = 9 4 e f(3) = 3 9 = 9 6 = 3. A área correspodete a esta probabilidade está assialada o gráfico: Que determia um trapézio. Podemos calcular diretamete a área do trapézio ou calcular a difereça etre a área dos dois triâgulos (o maior, cuja base vai de a 3, e o meor, cuja base vai de a ): P( x 3) =

73 P( x 3) = 9 4 = Exemplo 4..4 Dada a f.d.p. de uma v.a. cotíua abaixo: Ax, x f(x) =, x < ou x > Determie: a) o valor da costate A. O gráfico desta fução é dado abaixo: Como ão se trata mais de uma fução cujo gráfico é retilíeo como as fuções ateriores, temos que recorrer ao cálculo itegral. Sabemos 3 que a área sobre uma curva é dada pela itegral da fução correspodete. Portato, a codição de que a área total tem que ser igual a pode ser escrita como: f ( x) dx = Neste caso específico, a fução vale zero para valores de x abaixo de ou acima de. Portato, os limites de itegração relevates são, este caso, e : f ( x )dx = Ax dx = A x dx = 3 x A 3 = A 3 3 = 3 Veja apêdice 3.A.

74 74 A 3 = A = b) a probabilidade de que x esteja etre,5 e. De ovo, para calcularmos a área etre x =,5 e x =, determiado assim, a probabilidade, basta ecotramos a itegral com estes limites de itegração: P(,5 x ) = 3x dx,5 3 P(,5 x ) = x, 5 P(,5 x ) = 3,5 3 P(,5 x ) =,5 P(,5 x ) =,875 = 87,5% É óbvio que é possível usar o cálculo itegral para os exemplos ateriores também. Assim, podemos resumir as codições para que uma fução qualquer seja uma fução desidade de probabilidade: f ( x) dx = e Exemplo 4..5 (distribuição expoecial) Dada a f.d.p. da v.a. cotíua x dada abaixo: Ae -x, x f(x) =, x < Determie o valor de A. f(x) para todos os valores de x Esta particular distribuição é cohecida como distribuição expoecial. Temos que: f ( x) dx = E, como esta fução é ula para valores de x egativos: Ae A e -x -x - e A dx = dx = x =

75 75 A ( ) A = = A = 4. Fução de distribuição de variáveis cotíuas A fução de distribuição acumulada, ou simplesmete fução de distribuição, o caso de variáveis cotíuas, segue a mesma lógica do caso discreto. No caso discreto, a fução de distribuição F(x) é a soma das probabilidades de todos os valores possíveis que a variável x pode assumir até o valor de x propriamete dito. Assim, se x é um úmero iteiro ão egativo, a fução de distribuição é dada por: F() = P() F() = P() + P() F() = P() + P() + P() F(3) = P() + P() + P(3) E assim sucessivamete. Para o caso de uma variável cotíua, porém, devemos somar todos os valores possíveis, o que é feito pela itegral. Desta forma, temos: x F(x) = f( t)dt Portato, do poto de vista matemático, f(x) é a derivada da fução F(x): f(x) = df( x) dx Exemplo 4.. Dada a f.d.p. de uma distribuição expoecial abaixo, determie a fução de distribuição correspodete: e -x, x f(x) =, x < Como a fução só e defiida para x, o limite de itegração iferior será zero. x F(x) = x F(x) = f( t)dt e t - t d -t F(x) = e x F(x) = e -x + e F(x) = e -x

76 A fução de distribuição será dada etão, por: e -x, x F(x) =, x < 76 Exemplo 4.. Dada a fução de distribuição abaixo, determie a fução desidade de probabilidade correspodete.,5(x 3 + ), - x F(x) =, x < -, x > A fução desidade de probabilidade será dada por: f(x) = df( x) dx d(,5x 3 ) f(x) = dx f(x) = 3,5x + f(x) =,5x f(x) = Portato, a f.d.p. será:,5x, - x, x < - ou x > A fução de distribuição F(x), assim como a fução desidade, deve preecher algus requisitos : o primeiro é que, em se tratado de uma soma de probabilidades, jamais pode ser egativa. E, como a soma das probabilidades tem que ser, F(x) ão pode ser ucamaior do que e, além disso, o seu valor fial tem que ser, ecessariamete,. Portato: F(x) lim x F(x) = É fácil verificar que, tato o exemplo 4.. como o 4.. as fuções F(x) apresetadas atedem a estas codições. 4.3 Esperaça e variâcia de variáveis aleatórias cotíuas Para uma v.a. discreta, a esperaça é dada por: E(X) = X P(X ) + X P(X ) X P(X ) = X P(X i i i )

77 Para uma v.a. cotíua, teríamos que somar cotiuamete todos os valores de x pelas suas respectivas probabilidades. Uma soma cotíua e a itegral e, por sua vez, a probabilidade é ecotrada pela f.d.p. Etão, temos que, o caso cotíuo: E(x) = xf ( x) dx A variâcia, por sua vez, é: var(x) = E[X E(X)] Chamado, por simplicidade, E(X) (que é a média de X) de, temos que: var(x) = E(X ) 77 Para o caso cotíuo, bastaria substituir (x ) teríamos: var(x) = ( x ) f ( x) dx a expressão da esperaça acima e Ou podemos utilizar a expressão de que a variâcia é a soma dos quadrados meos o quadrado da média: var(x) = E(x ) [E(x)] Ode: E(x) = xf ( x) dx e E(x ) = x f ( x) dx Exemplo 4.3. Da f.d.p. do exemplo 3.3.4, determie: a) o valor médio de x Trata-se aqui de calcular a esperaça de x: E(x) = xf ( x) dx O que, para esta variável, equivale a: E(x) = x 3x dx E(x) = 3 x 3 dx 4 x E(x) = 3 4

78 E(x) = E(x) = 4 3 =,75 b) a variâcia de x. A média dos quadrados de x é dada por: E(x ) = x f ( x) dx E(x ) = x 3x dx E(x ) = 3 x 4 dx E(x 5 x ) = 3 5 E(x ) = 3 5 E(x ) = 5 3 =,6 E, assim, podemos calcular a variâcia: var(x) = E(x ) [E(x)] var(x) =,6,75 var(x) =,6,565 var(x) =,375 c) o desvio padrão de x. dp(x) =, 375 dp(x),94 Exemplo 4.3. Dada a distribuição expoecial abaixo: e -x, x f(x) =, x < Determie: a) a média de x. E(x) = xf ( x) dx x E(x) = xe dx b) a mediaa de x. E(x) = E(x) = x x xe e

79 79 A mediaa de uma variável é o valor de que divide a distribuição em duas. Se chamarmos a mediaa de m, vale dizer que, para uma v.a. cotíua: P(x > m) = f ( x )dx =,5 m m P(x < m) = f ( x )dx =,5 Utilizado a primeira delas (poderia ser qualquer uma) à f.d.p. em questão, temos: m e x dx =,5 x m e =,5 e -m =,5 Aplicado logaritmo atural em ambos os lados: l(e -m ) = l,5 m,693 m, A distribuição Normal Voltemos à distribuição biomial. Se =, ela recai a distribuição de Berouilli. Supodo que p =,5, o gráfico em forma de histograma desta distribuição é dado abaixo: Para =, temos: E assim para = 3:

80 8 Para = 5: Ou mesmo para = : Supoha que aumetemos idefiidamete, de tal forma que os retâgulos do histograma se torem cada vez mais espremidos ou os potos de um gráfico comum se colapsem se torado uma fução cotíua. Esta fução teria a seguite aparêcia :

81 8 Esta distribuição de probabilidade é cohecida como ormal ou gaussiaa 33, cuja f.d.p. é dada por: f(x) = e (xµ) Ode é a média e é o desvio padrão. Se a variável x tem distribuição ormal (isto é, é ormalmete distribuída) costumamos simbolizar por: x ~ N(, ) Que se lê: x segue uma distribuição ormal com média desvio padrão. Note que defiimos completamete uma distribuição ormal com a média e o desvio padrão (ou a variâcia), já que ão há ehum outro parâmetro a ser especificado a fução acima. A média determia a posição da curva em relação à origem, equato o desvio padrão determia se a curva será mais gorda (mais dispersa, maior desvio padrão) ou mais magra (mais cocetrada, meor desvio padrão). O cálculo das probabilidades sob uma distribuição ormal pode se torar um tato quato trabalhoso, já que ão há uma fução cuja derivada é e -x. Este cálculo deve ser feito por métodos uméricos. Uma particular distribuição Normal, cohecida por Normal padroizada, que tem média e desvio padrão igual a, tem seus resultados das itegrais tabeladas. Esta tabela 34 ecotramos ao fim do livro. Chamado de z a variável ormal padroizada, ecotramos a tabela a probabilidade de z estar etre e o valor especificado 35. Por exemplo, se quisermos ecotrar a probabilidade de z estar etre e,3, ecotramos diretamete a probabilidade a tabela, como mostra o gráfico: 33 Devido ao matemático alemão Carl Friedrich Gauss ( ). 34 A utilidade desta tabela é limitada hoje em dia, tedo em vista que há vários softwares de computador que se utilizam destes métodos uméricos e calculam rapidamete as itegrais sob a curva ormal (a própria tabela o fial do livro foi calculada assim). A tabela hoje serve para fis didáticos e para utilização em exames. 35 Nas lihas da tabela ecotramos o valor de z até a primeira casa decimal, equato os valores da seguda casa decimal se ecotram as coluas.

82 8 P( < z <,3),397 = 39,7% Para um valor de z que esteja etre,7 e,43, temos: Os valores ecotrados a tabela para z =,7 e z =,43 são as itegrais de até cada um deles. A área que vai de,7 a,43 é a difereça etre estes dois valores: P(,7 < z <,43) = P( < z <,43) P( < z <,7) P(,7 < z <,43),436,64 =,37 = 3,7% Para valores egativos (como a média é zero, vale dizer para valores abaixo da média), há que se otar que a Normal é simétrica, portato o que vale para os valores de z positivos vale também para os egativos. Supoha etão que queiramos calcular a probabilidade de z estar etre,38 e,97. Neste caso, claramete somamos as duas áreas: P(-,38 < z <,97) = P(-,38 < z < ) + P( < z <,97) P(-,38 < z <,97) = P( < z <,38) + P( < z <,97) P(-,38 < z <,97),46 +,334 =,75 = 75,% E se quisermos calcular a probabilidade de z ser maior do que,:

83 83 Aí, vale lembrar que, como a distribuição é simétrica, em cada metade temos uma probabilidade total de,5. Pela tabela sabemos a probabilidade de z estar etre e,, para saber de, em diate, basta subtrair de,5. P(z >,) =,5 P( < z <,) P(z >,),5,4868 =,3 =,3% O problema é que, evidetemete, em todas as variáveis que são ormalmete distribuídas têm média e desvio padrão. A primeira questão é fácil de resolver: basta subtrairmos a média da variável. Esta ova variável terá média zero. Quato ao desvio padrão, basta lembrarmos que: dp(ax) = adp(x) Portato, se o desvio padrão de uma variável aleatória x é, o desvio padrão da variável x será: dp( x ) = dp(x) = = Portato, para que a variável teha desvio padrão igual a, temos que dividi-la pelo seu desvio padrão. O processo de trasformar uma variável qualquer em uma variável qualquer em uma cuja média é zero e o desvio padrão é um, que chamamos de padroização, cosiste em subtrair a média e dividir pelo desvio padrão. Portato, se uma v.a. x possui média e desvio padrão, a variável z, assim defiida: z = x Terá média zero e desvio padrão um e, se for ormalmete distribuída, podemos utilizar os valores da tabela para calcular as suas probabilidades.

84 Exemplo 4.4. O faturameto mesal de uma loja segue uma distribuição ormal com média R$., e desvio padrão R$ 4.,. Calcule a probabilidade de que, um determiado mês, o faturameto esteja etre R$ 9., e R$ 5.,. A variável é ormal, mas ão padroizada. Devemos, portato, padroizar os seus valores ates de utilizar a tabela: 84 z = z = x 9 = 4 5 = 4 x =,5 =,5 Portato: P(9 < x < 5) = P(,5 < z <,5) Que é o caso em que temos um valor acima e outro abaixo de zero. P(9 < x < 5) = P(,5 < z < ) + P( < z <,5) P(9 < x < 5) = P( < z <,5) + P( < z <,5) P(9 < x < 5),987 +,3944 =,493 = 49,3% 4.5 Trasformações de variáveis Supoha que tehamos uma v.a. x cuja fução desidade é dada por f(x). Se y é fução de x, de modo que y = u(x), qual é a f.d.p. de y? Para começar a respoder esta perguta, partamos de um caso simples (em que u(x) é uma fução afim) mostrado o exemplo que se segue: Exemplo 4.5. Dada uma v.a. x, cotíua, com fução desidade dada por f(x). Se y = ax + b, com a e b positivos, determie a fução desidade de probabilidade de y. Se f(x) é a f.d.p. de x, etão sabemos que: f ( x) dx = Como y = ax + b, temos que: Etão: x = y b a (4.5.) y b f ( )dx = a Mas a fução desidade de y, digamos, g(y) deve ser tal que:

85 85 g ( y) dy = Isto é, a fução, itegrada em relação a y (e ão a x) deve ser igual a. Mas, difereciado a equação (4.5.) temos: dx = a dy Substituido: y b f ( ) dy = a a Portato, a fução: y b g(y) = f( ) a a Têm as características de uma f.d.p. e é, portato, a f.d.p. da variável y. Este resultado é um caso particular de um teorema mais geral que é euciado abaixo: Teorema 4.5. Dada uma v.a. x com f.d.p. dada por f(x), e sedo y = u(x), existido uma fução iversa x = v(y) e v (y) a sua derivada, a fução desidade de probabilidade de y será dada por: g(y) = v (y) f(v(y)) Nos potos em que v(y) existir e u (x), e em caso cotrário. A preseça do módulo é ecessária para garatir a ão egatividade da fução desidade de probabilidade de y. A aplicação direta do teorema o exemplo aterior os levaria a: u(x) = ax + b y b v(y) = a v (y) = a g(y) = v (y) f(v(y)) y b g(y) = f( ) a a E, como a é positivo: y b g(y) = f( ) a a

86 Exemplo 4.5. Dada a v.a. x cuja f.d.p. é: e -x, x f(x) =, x < Supodo y = x, determie a f.d.p. de y. 86 Temos que u(x) = x, portato v(y) = y, desde que, é claro, y seja positivo, e: v'(y) = y Aplicado o Teorema 4.5., vem: g(y) = y e y E, como y tem que ser positivo, assim como y, a f.d.p. de y será dada por: g(y) = y e, y y, y < 4.6 Teorema de Tchebichev 36 Se cohecemos a fução desidade de uma variável, é possível cohecer sua média e variâcia. A recíproca ão é verdadeira, mas é possível se estabelecer um limite para uma distribuição de probabilidade qualquer (seja discreta ou cotíua), limite este que é dado pelo Teorema de Tchebichev Teorema 4.6. (Teorema de Tchebichev) Dada uma v.a. x com média e desvio padrão. A probabilidade desta variável estar, acima ou abaixo da média, o máximo, k desvios padrão (k é uma costate positiva) é, o míimo, igual a k. Ou: P( x < k) k Coseqüetemete, a probabilidade de ultrapassar este valor será, o máximo,, isto é: k P( x k) k 36 Devido ao matemático russo Pafuti Lvovitch Tchebichev (8-894).

87 O que vale dizer que a probabilidade de uma variável aleatória qualquer, estar etre dois desvios padrão acima ou abaixo é de, o míimo 37, 4 = 4 3 = 75%. 87 Exemplo 4.6. Uma v.a. cotíua x tem média 5 e desvio padrão. Calcule a probabilidade míima de que x esteja etre 35 e 65. Exercícios Pede-se portato: P(35 < x < 5) =? O que é a probabilidade de x estar,5 desvios padrão acima ou abaixo da média, ou seja: P(35 < x < 5) = P( x <,5) Pelo Teorema de Tchebichev: P(35 < x < 5),5 P(35 < x < 5),5556 = 55,56%. É possível ecotrar um valor de A para que a fução f(x) represetada o gráfico abaixo seja uma f.d.p.? Justifique. Determie os valores de A para que as fuções abaixo sejam f.d.p.(fuções desidade de probabilidade): a), x< ou x>8 f(x) = A, x 8 b), x< ou x>4 f(x) = Ax, x 4 c), x< ou x>3 37 Note que, para a distribuição Normal, esta probabilidade é de cerca de 95%.

88 88 f(x) = Ax, x 3 d), x<- ou x>3 f(x) = A(x + ), - x 3 e), x< f(x) = Ae -3x, x f), x<- ou x> f(x) = Ax, - x g), x<- ou x> f(x) = Ax 3, - x h), x<- ou x> f(x) = Ax, - x 3. Para cada uma das variáveis apresetadas o exercício, determie a fução de distribuição correspodete. 3. Para cada uma das variáveis apresetadas o exercício, determie a média, a variâcia, o desvio padrão, a mediaa e a moda 4. Determie a f.d.p. de uma variável x que pode assumir qualquer valor o itervalo [a, b] e tem distribuição uiforme. 5. Dada a f.d.p. abaixo:, x< ou x>9 f(x) = /8, x 9 Determie as probabilidades de: a) x > 5 b) x 6 c) x = 4 d) < x < 7 e) x < 4 f) 4 < x 8 6. Dada a f.d.p. abaixo:, x< ou x> f(x) = 4x 3, x Determie as probabilidades de:

89 a) x >,5 b) x,7 c), < x <,6 d), x <,3 e),4 < x, Dada a f.d.p. abaixo:, x< f(x) = e -x, x Determie as probabilidades de: a) x > b) x - c) < x < 5 d) x < 3 e) 4 < x 8. Numa ormal padroizada, determie a probabilidade de z estar etre: a) desvio padrão acima ou abaixo da média. b) desvios padrão acima ou abaixo da média. c) 3 desvios padrão acima ou abaixo da média. 9. Os lucros auais de uma firma seguem uma distribuição ormal com média R$ 7 mil e desvio padrão R$ 5 mil. Calcule a probabilidade de, um dado ao, os lucros: a) serem maiores do que R$ 8 mil. b) serem maiores do que R$ 6mil. c) serem meores do que R$ 9 mil. d) serem meores do que R$ 65 mil. e) estarem etre R$ 55 mil e R$ 77 mil. f) estarem etre R$ 35 mil e R$ 5 mil. g) estarem etre R$ 7 mil e R$ 85 mil.. As otas bimestrais de um aluo seguem uma distribuição ormal com média 5 e variâcia 4,84 Calcule a probabilidade de, um dado bimestre, sua ota: a) ser maior do que 8. b) ser maior do que 4,5. c) ser meor do que 9. d) ser meor do que 4. e) estar etre 3,5 e 6,5. f) estar etre,5 e 4,5. g) estar etre 6 e 8,5.. As otas bimestrais de um aluo são, em média, 4 e tem variâcia,56, mas a distribuição ão é cohecida. Determie um limite para probabilidade de, um dado bimestre, sua ota: a) estar etre,5 e 6,5. b) estar etre e 6. c) ser meor do que ou maior do que 7.. Uma variável aleatória x tem f.d.p. dada por f(x). Se y = x, determie a f.d.p. de y.

90 9 3. Se y = x e x é uma v.a. cotíua cuja f.d.p. é dada por: 3x, x f(x) =, x < ou x > Determie a f.d.p. de y. 4. Determie a média e a variâcia de uma variável aleatória x cuja f.d.p. é dada por: e -x, x f(x) =, x < 5. Dada uma variável aleatória cotíua x cuja média é e a variâcia é 5. Determie limites para as probabilidades abaixo: a) P ( < x < 3) b) P (4 < x < 6) c) P (x <,5 ou x > 7,5) 6. Mostre que, para uma v.a. com média e variâcia, é válida a expressão: P( x < k) k

91 Apêdice 4.A - Cálculo diferecial e itegral 9 4.A. Derivadas Derivada é a variação istatâea. Se você percorre, com seu carro, km em h, sua velocidade média é km/h. É pouco provável, etretato, que durate todo este percurso a velocidade teha sido costate. A velocidade que marca o velocímetro (ou o radar) é a velocidade do carro aquele istate. A defiição formal é a seguite: d y y = limx dx x y Ode é a taxa de variação média (a velocidade média, por exemplo). Se tomamos uma x variação de x muito pequea, etão a taxa de variação média tede a coicidir com a taxa de variação istatâea (a derivada). Os termos dy e dx (difereciais de y e x) idicam que se trata de uma variação (difereça) ifiitamete pequea destas variáveis, em cotraste com os símbolos y e x, que represetam a difereça (variação) fiita. Se usamos a otação y = f(x), a derivada também pode ser escrita como f (x). 4.A.. Regras de derivação A partir da defiição acima é possível calcular a derivada de qualquer fução, se ela existir. Etretato, ormalmete se usam algumas regras gerais, que são mostradas a tabela abaixo: f(x) f'(x) a (costate) x x x x x - e x e x l x /x se x cos x cos x se x ag(x) ag'(x) g(x) + h(x) g'(x) + h (x) g(x).h(x) g'(x).h(x) + g(x).h (x) g(x)/h(x) [g (x).h(x) g(x).h (x)]/[h(x)] g(h(x)) h (x).g (h(x)) 4.A. Itegral A itegral de uma fução é o limite de uma soma

92 9 b a f ( x ) dx = lim i f(x i )x i Daí a sua utilidade em cálculos de áreas, por exemplo. É como se aproximássemos a curva em questão através de um cojuto de retâgulos e calculássemos o a área destes retâgulos. Quato maior o úmero de retâgulos, e portato meor o seu tamaho, mais próximo estaremos da área correta da figura. Demostra-se, através do Teorema do Valor Médio, que: b a f ( x ) dx = F(b) F(a) Ode F(x) é chamada de primitiva de f(x), isto é, é a fução cuja derivada é f(x), ou seja: F (x) = f(x) Na tabela abaixo apresetamos algumas primitivas: f(x) F(x) a ax x x / x ( -) x + /(+) /x l x e x e x e -x e -x xe -x xe -x e -x x e -x e -x (x + x + ) 4.A.3 Máximos e míimos Podemos ecotrar os máximos e míimos da fução resolvedo a seguite equação: f (x) = Isto é, derivado e igualado a zero. Para saber se é poto de máximo, substituímos o(s) valor(es) ecotrado(s) acima, que chamaremos de x a derivada seguda (codição de a ordem), ode valem as seguites regras: f (x ) > poto de míimo f (x ) < poto de máximo f (x ) = poto de iflexão

93 Apêdice 4.B Demostração dos teoremas e mometos de uma distribuição 93 4.B. Demostração do Teorema 4.5. Cosideraremos dois casos: em que u(x) é uma fução crescete (sedo assim, sua derivada é positiva); e o caso em que u(x) é uma fução decrescete (com derivada egativa, portato). Relembrado que y = u(x), cuja fução iversa é dada por x = v(y). Para o caso de u(x) crescete, tomado duas costates a e b quaisquer, temos: P(a < y < b) = P[v(a) < x < v(b)] v( b) P(a < y < b) = f ( x )dx v( a) Como f(x) = f(v(y)) e dx = v (y)dy, e aida: se x = v(a), etão y = a se x = v(b), etão y = b Substituido, temos: b P(a < y < b) = f (v( y))v'( y) dy a Portato, a f.d.p. de y, este caso é g(y) = v (y)f(v(y)) Para u(x) decrescete, há que se fazer uma iversão: P(a < y < b) = P[v(b) < x < v(a)] v( a) P(a < y < b) = f ( x )dx v( b) De ovo, substituido, temos: a P(a < y < b) = f (v( y))v'( y) dy b O que é equivalete a: b P(a < y < b) = a f (v( y))v'( y) dy Sedo assim, agora a f.d.p. de y é g(y) = v (y)f(v(y)) Ou seja, v (y), quado é egativo, fica com o sial de meos à frete de modo a torá-lo positivo, o que equivale a calcular o seu módulo. Etão, vale a regra geral: g(y) = v (y) f(v(y)) 4.B. Demostração do Teorema de Tchebichev

94 Nos limitaremos aqui ao caso de distribuições cotíuas. 94 Sabemos que: = var(x) = ( x ) f ( x) dx Dividido esta itegral em três partes, temos: k = ( x ) f ( x) dx + ( x ) k k f ( x) dx + ( k x ) f ( x) dx E, como todos os três termos são ão egativos, já que f(x) é ão egativa e (x - ) está elevado ao quadrado, se retirarmos a itegral do meio teremos: k ( x ) f ( x) dx + ( x ) f ( x) dx k E agora temos x em dois itervalos: um, ode x k e o outro, ode x + k. Em ambos os casos, temos que (x ) k. Portato, é válido que: k k f ( x) dx + k k f ( Dividido por k em ambos os lados: x) dx f ( x) dx + f k k k ( x) dx E sabemos que: k f k f ( x) dx = P(x k) = P(x k) ( x) dx = P(x + k) = P(x k) Substituido: P(x k) + P(x k) k O que equivale a: P( x k) k Cujo complemetar é: P( x < k) k 4.B.3 Distribuição log-normal

95 Se x é uma variável cuja distribuição é ormal com média e desvio padrão, e seja y defiida como y = e x (ou seja, x = l y), dizemos que y segue uma distribuição cohecida como log- Normal. Aplicado o Teorema 3.6., temos que: u(x) = e x v(y) = l y v (y) = y 95 A f.d.p. de uma variável ormal é: f(x) = e (xµ) A f.d.p. da variável log-normal (y) será etão: g(y) = y e ( l yµ) Cuja média é e e a variâcia é e ( e e ). 4.B.4 Mometos de uma distribuição Defiimos o mometo de uma distribuição (de uma variável aleatória x) de ordem k, em relação à média 38 (M k ) como: M k = E(x ) k É imediato que o primeiro mometo em relação à média é sempre zero: M = E(x ) = E(x) = = E o segudo mometo é a variâcia: M = E(x ) = O terceiro mometo, defiido por: M 3 = E(x ) 3 Tem a ver com o grau de simetria da distribuição. Uma distribuição simétrica (como a Normal) tem o terceiro mometo em relação à média igual a zero. Defie-se, iclusive, um coeficiete de assimetria por: M 3 = Também podemos defiir o mometo em relação à origem, M k = E(x k ).

96 Que é tão maior (em módulo) quato mais assimétrica for a distribuição. 96 O quarto mometo: M 4 = E(x ) 4 Tem a ver com a curtose, que é o grau de achatameto de uma distribuição. Se uma distribuição é muito achatada, ela é dita platicúrtica, se é mais para potiaguda, é chamada leptocúrtica. A referêcia para esta defiição é a distribuição Normal, que é dita mesocúrtica. Defie-se o coeficiete de curtose como: M 4 = 4 4 Cujo valor, para a Normal, é 3. Se for maior do que 3, a distribuição é leptocúrtica, caso cotrário, platicúrtica.

97 97

98 98 CAPÍTULO 5 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE CONJUNTA Chamamos de cojuta a probabilidade que se refere a duas (ou mais) variáveis aleatórias simultaeamete. Podemos aida dizer que é a distribuição de probabilidade de um vetor aleatório 39 (X,Y) para o caso bidimesioal, isto é, com duas variáveis. Estas variáveis podem, evidetemete, ser discretas ou cotíuas. 5. Distribuição cojuta de variáveis discretas Imagie um time de vôlei que vai disputar um campeoato muito equilibrado (de modo que a probabilidade de gahar ou perder uma partida seja,5). O técico pede ao aalista de úmeros da equipe que faça uma aálise das probabilidades das 3 primeiras partidas, que são cosideradas vitais para o restate da competição. Em particular, a vitória a primeira partida é cosiderada vital pela comissão técica. O aalista, etão, defie duas variáveis, X e Y, desta forma: X é o úmero de vitórias obtidas os três primeiros jogos e Y é igual a, caso ocorra vitória o primeiro jogo e caso cotrário (X e Y são variáveis idepedetes?). Há 8 possíveis resultados as três primeiras partidas (, em cada partida), todos com a mesma probabilidade (já que a probabilidade de vitória em cada jogo é,5). Os possíveis resultados, e os correspodetes valores de X e Y, são mostrados a tabela abaixo: tabela 5. resultados possíveis X Y VVV 3 VVD VDV VDD DVV DDV DVD DDD Ode V represeta vitória e D represeta a derrota. O resultado VDV, por exemplo, represeta vitória o primeiro jogo, derrota o segudo e vitória o terceiro. A seguir, o aalista costrói uma tabela que apreseta as probabilidades cojutas de X e Y. O preechimeto desta tabela é feito através da tabela aterior. Assim, a posição da tabela que correspode a X = e Y = devemos colocar a probabilidade disto ocorrer, isto é P(X= e Y=). Pela tabela acima, verificamos que, em 8 resultados possíveis, temos em que há duas vitórias (X = ) e há vitória o primeiro jogo (Y = ). Portato, P(X= e Y=) = 8. E assim procededo obtemos: 39 Chamamos o vetor (X,Y) de vetor aleatório se X e Y forem variáveis aleatórias.

99 99 tabela 5. Y X Com a tabela 5. prota, tora-se desecessário utilizar a tabela 5. para se obter as probabilidades cojutas. Assim, diretamete pela tabela 5., temos, por exemplo: P(X= e Y=) = 8 P(X= e Y=) = 8 P(X=3 e Y=) = Da tabela 5. podemos obter também as distribuições de probabilidade só de X e só de Y. Como? A probabilidade, digamos, de X ser igual a, idepedete do valor de Y é a probabilidade de X = e Y = ou X = e Y =, portato 4 : P(X=) = P[(X= e Y=) ou (X= e Y=)] = = 8 3 Isto é, a probabilidade de X ( só de X, sem cosiderar o que ocorre com Y) é dada pela soma das probabilidades ao logo da colua, ou seja, somado-se as probabilidades de todos os valores possíveis de Y. Etão, a tabela, 5.3, além da distribuição cojuta de X e Y, mostramos também a distribuição margial de X, a distribuição só de X (chama-se de margial à margem porque foi obtida de uma distribuição cojuta), represetada por P(X): tabela 5.3 Y X P(X) Lembrado que Y = e Y = são evetos mutuamete exclusivos, portato vale a regra P(A ou B) = P(A) + P(B).

100 A distribuição de probabilidade só de Y é obtida da mesma forma, ou seja, somado-se as probabilidades ao logo da liha, isto é, somam-se todos os valores possíveis de X. Por exemplo, a probabilidade de Y ser igual a é dada por: P(Y=) = P(Y= e X=) + P(Y= e X=) + P(Y= e X=) + P(Y= e X=3) P(Y=) = = 8 4 = Fazedo o mesmo para Y igual a, obtemos a distribuição margial de Y, represetada por P(Y) a tabela 5.4: tabela 5.4 Y X 3 P(Y) P(X) O úmero colocado o cato iferior direito da tabela represeta a soma das probabilidades margiais (e da cojuta também), que tem que ser, obviamete, igual a. Repare que as probabilidades margiais de X e Y obtidas pela soma das probabilidades cojutas são as mesmas (e em poderia ser diferete) que seriam obtidas diretamete da tabela 5.. Por exemplo, dos 8 resultados possíveis, há 3 em que X é igual a, portato P(X=) = 8 3 ; e há 4 em que Y é igual a, portato P(Y=) = 8 4 =. É possível utilizar a tabela 5.4 para calcular as probabilidades codicioais, embora elas ão possam ser obtidas diretamete da tabela. Supohamos que queiramos saber qual a probabilidade de X ser igual a, dado que Y é (isto é, se acotecer uma vitória o primeiro jogo, qual a probabilidade de que só acoteça uma vitória os três jogos). Pela defiição de probabilidade codicioal, temos: P(X= Y=) = P(X e Y ) P(Y ) E, da tabela 5.4 temos os valores: P(X= Y=) = 8 = 4 Este resultado também é compatível com as iformações da tabela 5., pois se Y já é, só há, etão, 4 resultados possíveis, dos quais em apeas deles X é igual a.

101 Da mesma forma, podemos calcular a probabilidade de, digamos, Y ser igual a, dado que X é igual a (isto é, se duas vitórias ocorreram, a probabilidade de que o primeiro jogo teha sido uma derrota). P(Y= X=) = P(Y e X ) P(X ) = = 3 Ou, se ocorreram duas vitórias, os resultados possíveis se reduzem a 3. Destes, em apeas o primeiro jogo ocorre uma derrota. Voltado a perguta formulada o iício do capítulo: X e Y são idepedetes? Como sabemos o que represetam X e Y, a resposta é simples: se o primeiro jogo o time for derrotado, é impossível que haja vitória em 3 jogos (portato, se Y é igual a é impossível que X seja 3); da mesma forma, se Y é igual a é impossível que X seja. Portato, X e Y ão são idepedetes. Isto, o etato, pode ser verificado mesmo que ão tivéssemos outra iformação além da tabela 5.4, já que, por exemplo: P(X= Y=) = 4 e P(X=) = 8 3 Portato: P(X= Y=) P(X=) E, portato, pela defiição de depedêcia dada o capítulo, X e Y são depedetes, já que ão vale a igualdade etre a probabilidade codicioal e a icodicioal 4. Exemplo 5.. Calcule o valor esperado e a variâcia das variáveis aleatórias X e Y defiidas o texto, bem como a covariâcia e o coeficiete de correlação etre as mesmas. As distribuições cojuta e margial de X e Y foram apresetadas a tabela 5.4: tabela 5.4 Y X 3 P(Y) Para mostrar que as variáveis ão são idepedetes, basta ecotrar uma situação em que a igualdade ão vale. Para o cotrário, o etato, é ecessário que a igualdade valha para todos os valores de X e Y, pois é possível que, para um par de valores particulares de X e Y, valha, por coicidêcia, a igualdade, aida que X e Y ão sejam idepedetes.

102 P(X) Para calcular E(X) e var(x) usamos as probabilidades dadas pela distribuição margial de X, que pode assumir os valores,, e 3: 3 3 E(X) = = =, E(X ) = = = 8 4 = 3 var(x) = E(X ) [E(X)] =,875,5 = 3,565 =,4375 Para Y vale o mesmo raciocíio: E(Y) = + =,5 E(Y ) = + = + =,5 var(y) = E(Y ) [E(Y)] =,5,5 =,5,5 =,5 Para se calcular a covariâcia de X e Y podemos utilizar a expressão: covar(x,y) = E(XY) E(X)E(Y) Como já cohecemos as esperaças de X e Y, temos que calcular a esperaça dos produtos. Os produtos são mostrados a tabela abaixo: tabela 5.5 X Y XY 3 3 Pela tabela 5.5 temos que: P(XY = ) = 8 4 P(XY = ) = 8 P(XY = ) = 8 P(XY = 3) = 8

103 Portato, a esperaça dos produtos será dada por: E(XY) = = 8 8 = 3 E a covariâcia: covar(x,y) = E(XY) E(X)E(Y) =,5,5 =,65 =,375 XY = E, fialmete, o coeficiete de correlação: covar(x,y),375 =,655 var(x)var(y),4375,5 Exemplo 5.. Dadas as variáveis aleatórias X e Y defiidas o texto, determie E(X Y=). Para calcularmos a esperaça codicioada precisamos das probabilidades codicioais para todos os valores de X: P(X= Y=) = 4 P(X= Y=) = P(X= Y=) = 4 P(X=3 Y=) = Portato: E(X Y=) = = Exemplo 5..3 Dadas as variáveis aleatórias X e Y defiidas o texto, determie var(y X=). De ovo, precisamos das probabilidades codicioais: P(Y= X=) = 3 P(Y= X=) = 3 Temos etão: E(Y X=) = = 3 E(Y X=) = = = 3 var(y X=) = E(Y X=) [E(Y X=)] = - = - = =,

104 4 Exemplo 5..4 Para casais de filhos, defiem-se duas variáveis, W e Z. W é o sexo do primeiro filho, sedo para masculio e para femiio. Z é igual a se as duas criaças são do mesmo sexo, se formam um casal. Costrua uma tabela com as distribuições cojuta e margial de W e Z e determie se são variáveis idepedetes. Para um casal com filhos, há quatro possibilidades. Represetado os meios por H e as meias por M, temos: possibilidades W Z HH HM MM MH Cujas probabilidades são mostradas a tabela abaixo: W P(Z) Z P(W) Note que, para quaisquer valores de Z ou W: P(Z=Z W=W ) = P(Z=Z ) e P(W=W Z=Z ) = P(W=W ) Por exemplo: P(Z= W=) = 4 = = e 4 P(Z=) = Portato, Z e W são idepedetes, o que é lógico, pois os dois filhos serem ou ão do mesmo sexo idepede do sexo do primeiro filho. Exemplo 5..5 A tabela abaixo mostra a distribuição cojuta das variáveis aleatórias discretas U e V. Ecotre as distribuições margiais, verifique se U e V são idepedetes e calcule a covariâcia das duas variáveis. V U

105 As distribuições margiais de U e V são dadas pela soma ao logo das lihas (a de V) e ao logo das coluas (a de U). A tabela abaixo mostra também as distribuições margiais: V - P(U) U P(V) Podemos ver que: P(U= V=) = P(U=) = 8 e Portato: P(U= V=) P(U=) Etão U e V ão são idepedetes. Os valores esperados de U e V são: E(U) = = 8 8 = E(V) = 8 3 (-) = Para calcularmos a covariâcia de U e V, precisamos das probabilidades do produto UV: E(UV) = 8 (-) + 8 (-) = Etão: covar(u,v) = E(UV) E(U)E(V) = = Isto é, apesar da covariâcia ser zero, as variáveis U e V são depedetes Distribuição cojuta de variáveis cotíuas Se as variáveis aleatórias forem cotíuas o procedimeto é similar àquele para uma úica variável. Defie-se uma fução desidade de probabilidade (f.d.p) cojuta f(x,y), de tal modo que a probabilidade de x estar etre os valores a e b e y etre c e d é dada por: 4 Lembre-se que, se as variáveis são idepedetes, a covariâcia é zero, mas a recíproca ão é verdadeira, isto é, covariâcia zero ão implica idepedêcia como pode ser visto o exemplo acima.

106 6 d b P(a<x<b e c<y<d) = c a f ( x, y) dxdy Ou seja, a f.d.p. cojuta, assim como a distribuição de probabilidade cojuta discreta, os dá a probabilidade do e. E, em se tratado de variáveis cotíuas (seja uma ou mais de uma), a probabilidade só pode ser calculada para um itervalo, isto é: P(x=x e y=y ) = Mesmo que x=x e y=y sejam evetos possíveis. A f.d.p. cojuta deve seguir as mesmas propriedades da f.d.p. para uma variável, isto é, ão pode ser egativa: f(x,y) E a soma de todas as probabilidades tem que ser igual a : f ( x, y) dxdy = Exemplo 5.. Dada a fução: Axy, para x e y f(x,y) =, demais valores Determie o valor de A para que f(x,y) seja uma f.d.p. Para ser uma f.d.p. deve obedecer: f ( x, y) dxdy = Ou, o caso específico, como tato x como y variam etre e : f ( x, y) dxdy = Axydxdy = Ay xdxdy = x Ay dy =

107 7 Ay dy = A ydy = A y = A = A = 4 A = 4 Exemplo 5.. Dada a f.d.p. do exemplo 5.., determie a probabilidade de x estar etre, e,4 e y estar etre,6 e,8. A f.d.p. é dada por: 4xy, para x e y f(x,y) =, demais valores A probabilidade do e é dada diretamete pela itegral da f.d.p.:,8,4 P(,<x<,4 e,6<y<,8) =,6,,8,4 P(,<x<,4 e,6<y<,8) =,6, f ( x, y) dxdy 4xydxdy P(,<x<,4 e,6<y<,8) = 4y xdxdy P(,<x<,4 e,6<y<,8) = P(,<x<,4 e,6<y<,8) = P(,<x<,4 e,6<y<,8) = P(,<x<,4 e,6<y<,8) =,8,6,8,6,8,6,8,6,4, x 4y,4 4y,4 ydy,8,4 ydy,6 y P(,<x<,4 e,6<y<,8) =,4,4,,8,6 dy,,4, dy

108 8,8 P(,<x<,4 e,6<y<,8) =,4 P(,<x<,4 e,6<y<,8) =,336, 6 Exemplo 5..3 Dada a f.d.p. do exemplo 5.., determie as f.d.p. margiais de x e y. No caso de variáveis aleatórias discretas, a distribuição margial de X era ecotrada somado-se as probabilidades para todos os Y e vice-versa. Com variáveis cotíuas, a f.d.p. margial de x (chamada aqui de g(x) ) é ecotrada de forma aáloga, isto é, itegrado (somado) em y. De um modo geral, a f.d.p. margial de x pode ser ecotrada assim: g(x) = f ( x, y) dy E, o caso específico: g(x) = 4xydy g(x) = 4x ydy y g(x) = 4x g(x) = 4x g(x) = x De forma aáloga, a f.d.p. margial de y, chamada aqui de h(y), será dada por: h(y) = 4xydx h(y) = y Exemplo 5..4 Dada a f.d.p. cojuta do exemplo 5.., determie a probabilidade de x estar etre,3 e,7. Como só se pediu a probabilidade de x, utilizaremos a f.d.p. margial de x:,7 P(,3<x<,7) =,3 xdx =, 7, 3 x =,7,3 =,49,9 =,4

109 Exemplo 5..5 Dada a f.d.p. cojuta do exemplo 5.., determie as f.d.p. codicioais de x e y. 9 A probabilidade codicioal para dois evetos A e B quaisquer é dada por: P(A B) = P(AeB) P(B) A probabilidade da itersecção (do e ) é a própria probabilidade cojuta, isto é, a probabilidade de x e y é obtida pela f.d.p. cojuta. Portato a f.d.p. codicioal de x (dado y), que será represetada por f x y é dada por: f x y = f ( x, y) h( y) No caso da f.d.p. cojuta do exemplo 5.., temos: 4xy f x y = y f x y = x Da mesma forma para a f.d.p. codicioal de y (dado x), deomiada f y x, temos: f ( x, y) f y x = g( x) 4xy f y x = x f y x = y Note que: f x y = g(x) e f y x = h(y) Ou seja, as probabilidades codicioais são iguais às ão codicioais. Portato, x e y são variáveis idepedetes. Repare que, para esta fução, é válida a igualdade: Já que: f(x,y) = g(x)h(y) (5..) 4xy = x.y Igualdade esta (5..) que é válida sempre 43 que as variáveis forem idepedetes. 43 O que é demostrado o apêdice 5.B

110 Assim sedo, uma maeira de verificar se as variáveis em uma f.d.p. cojuta são idepedetes é verificar se esta fução pode ser fatorada em uma fução só de x e outra só de y, ou seja, se for possível separar x e y. Exemplo 5..6 Dada a f.d.p. do exemplo 5.. determie E(x) Podemos calcular o valor esperado de x diretamete da f.d.p. cojuta. De um modo geral, temos, de maeira aáloga às f.d.p. com uma úica variável: E(x) = xf ( x, y) dxdy E para o caso particular da f.d.p. apresetada o exemplo 5.., temos: E(x) = xf ( x, y) dxdy E(x) = x 4xydxdy E(x) = y E(x) = E(x) = 4 x dxdy 4 3 x y 3 4 ydy 3 4 y E(x) = 3 4 E(x) = 3 E(x) = 3 dy Ou podemos utilizar simplesmete a f.d.p. margial de x, cálculo que cuja forma geral é: E(x) = x g( x) dx E para o caso específico deste exemplo: E(x) = x xdx E(x) = x dx

111 3 x E(x) = 3 E(x) = 3 E(x) = 3 Exemplo 5..7 Dada a f.d.p. do exercício 5.., determie a variâcia de x. De ovo, podemos calcular a variâcia diretamete da f.d.p. cojuta, que, de forma aáloga às f.d.p. de uma úica variável é dada por: var(x) = = [ x E( x)] f ( x, y) dxdy x f ( x, y) dxdy - Sedo o último termo ada mais do que uma ova forma para uma já cohecida expressão (média dos quadrados meos o quadrado da média). x f ( x, y) dxdy Ou podemos utilizar, como fizemos para a esperaça de x, utilizar diretamete a fução margial: var(x) = [ x E( x)] g( x) dx = x g( x) dx - g( ) x x dx Como já calculamos a média o exemplo aterior, ficamos com a última expressão: var(x) = x g( x) dx Que, este exemplo, será: var(x) = var(x) = g( ) - x x dx - 4 x xdx var(x) = x dx x 4 var(x) = var(x) = var(x) = 8 g( ) x x dx 3

112 Exemplo 5..8 Dada a f.d.p. do exemplo 5.., determie cov(x,y): Lembrado que: cov(x,y) = E[(x-E(x)E(y-E(y)] = E(xy) E(x)E(y) O que, para uma f.d.p. cojuta, pode ser escrito como: cov(x,y) = ( x E( x))( y E( y)) dxdy = - xyf ( x, y) dxdy - - xg( x) dx - y h( y) dy Como já calculamos ateriormete a média de x (e é fácil ver que esta será igual à média de y), ficamos com a seguda expressão que, para este exemplo, será dada por: cov(x,y) = xy 4xydxdy cov(x,y) = 4 y x dxdy - 9 cov(x,y) = cov(x,y) = x y 3 y dy dy 3 4 y 4 cov(x,y) = cov(x,y) = cov(x,y) = cov(x,y) = O que, diga-se de passagem, já era um resultado esperado, tedo em vista que se tratam de variáveis idepedetes, como já foi visto ateriormete. Exemplo 5..9 Dada a fução: B( x y ), para x e y f(x,y) =, demais valores a) determie o valor da costate B de modo que a fução dada seja uma f.d.p. b) determie as f.d.p. margiais de x e y. c) determie as f.d.p. codicioais de x e y. d) x e y são variáveis aleatórias idepedetes? e) calcule P(x<,5 y =,5). a) Para ser uma f.d.p. deve obedecer à codição:

113 3 f ( x, y) dxdy = E, como o exemplo 5.., tato x como y variam etre e : f ( x, y) dxdy = B ( x y ) dxdy = B ( x y ) dxdy = B B 3 x 3 y x dy = ( y ) dy = 3 3 B y y = 3 3 B = 3 3 B = 3 B = 3 b) Para ecotrar a f.d.p. margial de x, itegramos (somamos) em y: 3 g(x) = ( x y ) dy = x y = (x + ) 3 y 3 E, da mesma forma, para a f.d.p. margial de y: 3 h(y) = ( x y ) dx = 3 3 x y 3 x = 3 ( 3 + y ) c) As f.d.p. margiais de x e y serão dadas por: f x y = f ( x, y) h( y) = 3 ( x y ) 3 ( y ) 3 = x y y 3

114 4 f y x = f ( x, y) g( x) = 3 ( x y ) 3 ( x ) 3 = x y x 3 d) As variáveis x e y são depedetes, já que, pelos resultados obtidos os ites ateriores: f x y g(x) f y x h(y) e Mas esta coclusão já poderia ser tirada ates mesmo da resolução dos ites b e c, já que é impossível fatorar a fução x + y em uma fução só de x e outra só de y. e) Para calcular a probabilidade pedida, usamos a f.d.p. codicioal de x (dado que y =,5). por: x = x x x y f x y=,5 = = 4 = 4 = (x + ) y Neste caso a probabilidade de x ser meor do que,5 (dado que y é igual a,5) será dada P(x<,5 y =,5) = ( x ) dx = 7 4,5 3 x x,5 = ( + ) =, Exemplo 5.. Com a f.d.p. do exemplo 5..9, determie E(x y =,5) Do exemplo aterior, temos que: f x y=,5 = (x + ) 7 4 A esperaça codicioal de x será dada por: E(x y = y ) = xf x y O que, este exemplo, seria calculado como se segue: dx E(x y =,5) = x ( x ) dx E(x y =,5) = ( x E(x y =,5) = x x E(x y =,5) = x) dx

115 3 E(x y =,5) = E(x y =,5) = 4 5 Exemplo 5.. Dada a fução: C, para x y f(x,y) =, demais valores Determie o valor da costate C para que esta fução seja uma f.d.p. Aqui devemos tomar o cuidado de que os limites de itegração são diferetes pois, embora x e y variem de a, há que se otar que x a verdade vai de a y (se y é igual a, etão x vai de a mesmo, mas se y for, por exemplo,,34, x vai de a,34). Portato, os limites de itegração quado itegramos em relação a x devem ser e y. Uma vez elimiado x, os limites de itegração para y são mesmo e. Assim, aplicado a codição de que a soma de todas as probabilidades deve ser igual a : y Cdxdy = Cx y dy = Cydy = y C = C = C = Repare que a ordem em que as variáveis são itegradas, mesmo este caso, ão é importate. Se quisermos itegrar primeiro em relação a y, devemos otar que y vai de x a e, uma vez elimiado y, x varia de a. x Cdydx = Cy x dx =

116 6 ( C Cx) dx = Cx Cx = C C = C = C = Exemplo 5.. Supoha que x e y são duas variáveis aleatórias idepedetes, com distribuição ormal, ideticamete distribuídas (mesma média e mesmo desvio padrão 44 ). Determie a f.d.p. cojuta para estas duas variáveis. por: Em se tratado de variáveis cuja distribuição é ormal, as f.d.p. de cada uma delas é dada g(x) = h(y) = x ( ) e y ( ) e Como são variáveis idepedetes, temos: f(x,y) = g(x)h(y) f(x,y) = x ( ) e f(x,y) = e ( f(x,y) = e y ( ) e x y ( ) ( x ) ( y ) Esta é uma f.d.p. de uma distribuição ormal bivariada (ode as variáveis são idepedetes). ) 44 Já que a média e o desvio padrão defiem uma distribuição ormal.

117 Exercícios 7. Dadas as distribuições de probabilidade abaixo, determie: a) as distribuições margiais de X e Y b) as probabilidades pedidas: b.) P(X =) b.) P(Y = ) b.3) P(X =) b.4) P(X = e Y = -) b.5) P(X = 3 e Y = ) b.6) P(X = Y =-) b.7) P(X = Y =) b.8) P(Y = X = ) c) se X e Y são variáveis idepedetes (justifique). d) E(X), E(Y), var(x), var(y), covar(x,y) e XY. e) E(X Y = -); E (Y X = ). f) var (X Y =) i) Y X 3 - /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8 ii) Y X 3 - /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8 Euciado para os exercícios a 4: supoha que o aalista do texto trabalhasse para um time de futebol, em vez de um time de vôlei. Ele defie, etão, três variáveis para os três primeiros jogos: X é o úmero de potos do time (3 potos para vitória, para empate); Y é o úmero de vitórias; Z é o úmero de vezes em que o resultado de um jogo é o mesmo do aterior (por exemplo, para três vitórias seguidas, Z=; para uma vitória, um empate e uma derrota, Z=).. Numa tabela, mostre a distribuição cojuta e as margiais de X e Y. Calcule a covariâcia de X e Y e determie se são variáveis idepedetes. 3. Numa tabela, mostre a distribuição cojuta e as margiais de Y e Z. Calcule a covariâcia de Y e Z e determie se são variáveis idepedetes. 4. Numa tabela, mostre a distribuição cojuta e as margiais de X e Z. Calcule a covariâcia de X e Z e determie se são variáveis idepedetes. 5. Uma ura cotem 8 bolas, 4 vermelhas e 4 bracas, umeradas, respectivamete, de a 4 e 5 a 8. Para três bolas sorteadas, sem reposição, defia X como o úmero de bolas vermelhas e Y como sedo para úmero ímpar e para úmero par. a) Determie a distribuição cojuta de X e Y b) Determie as distribuições margiais de X e Y. c) X e Y são idepedetes? d) Calcule E(X), E(Y). e) Calcule var(x), var(y). f) Calcule a covariâcia e o coeficiete de correlação etre X e Y. 6. Dada a distribuição de probabilidade cojuta: K L -,,,5,5,,,5,5, a) determie as distribuições margiais de K e L.

118 b) determie o valor esperado de K e L. c) determie a covariâcia de K e L. d) K e L são variáveis aleatórias idepedetes? e) determie E(K L=) e E(L K=) Dadas as distribuições de probabilidade abaixo, preecha o espaço vazio com o valor apropriado e determie as distribuições margiais. a) W Z 3 /9 /9 /9 /9 /9 /3 /9 b) F G 4 6,,, 3,5,5 5,5,,5 8. Dada a f.d.p. cojuta do exemplo 5.., determie as probabilidades abaixo: a) P(,<x<,7) b) P(,<y<,4) c) P(x>,5) d) P(y<,8) e) P(x<,7 e y>,) f) P(,<x<,3 e,4<y<,8) g) P(x<,9 y =,) h) P(y>,6 x =,45) 9. Dada a f.d.p. cojuta do exemplo 5.., determie: a) E(x) b) E(y) c) var(x) d) var(y) e) covar(x,y). Dada a f.d.p. cojuta do exemplo 5..6, determie as probabilidades abaixo: a) P(,3<x<,8) b) P(,<y<,3) c) P(x<,6) d) P(y>,7) e) P(x<,4 e y>,3) f) P(,<x<,5 e,3<y<,9) g) P(x>,3 y =,) h) P(y<,5 x =,4). Dada a f.d.p. cojuta do exemplo 5..6, determie: a) E(x) b) E(y) c) var(x) d) var(y) e) covar(x,y). Dada a f.d.p. cojuta do exemplo 5..7, determie:

119 a) as f.d.p. margiais de x e y. b) as f.d.p. codicioais de x e y. c) E(x) d) E(y) e) var(x) f) var(y) g) covar(x,y) 9 3. Determie o valor da costate A em cada uma das fuções abaixo de tal modo que elas sejam f.d.p. Ax y, para - x e y a) f(x,y) =, demais valores b) f(x,y) = c) f(x,y) = A( x y, Ae, ( x y) ), para x e demais valores, para x e y demais valores - y d) f(x,y) = e) f(x,y) = A, para 3 x 7 e - y, demais valores A, para ( x e y x) ou ( x, demais valores e y x) 4. Dada a f.d.p. cojuta abaixo: 6x y, para x e y f(x,y) =, demais valores Determie: a) as f.d.p. margiais de x e y. b) as f.d.p. codicioais de x e y c) se x e y são idepedetes. d) P(x>,4) e) P(y<,8) f) P(x<, e y>,3) 5. Dada a fução abaixo: B( x xy), para x e -x y x f(x,y) =, demais valores a) Determie o valor de B para que f(x,y) seja uma f.d.p. b) Determie as f.d.p. margiais e codicioais de x e y

120 c) Calcule E(y x = ). 6. Se defiirmos as variáveis X e Y como se segue: X = se o eveto A ocorre, e em caso cotrário Y = se o eveto B ocorre, e em caso cotrário Se P(A) e P(B) são ão ulas, mostre que, este caso, se o coeficiete de correlação etre X e Y for igual a zero, etão X e Y são idepedetes. 7. Supoha x e y duas variáveis aleatórias idepedetes com distribuição ormal e média e desvio padrão dados, respectivamete, por e (para x) e e (para y). Determie a f.d.p. cojuta de x e y. 8. Supoha w e z duas variáveis aleatórias idepedetes com distribuição expoecial e média dadas, respectivamete, por,5 e,75. Determie a f.d.p. cojuta de w e z.

121 APÊNDICE 5.B Tópicos Adicioais em Distribuição Cojuta 5.B. Probabilidade codicioal Algum leitor mais descofiado pode ter suspeitado da validade, por exemplo, da expressão abaixo para o caso de distribuições cotíuas: P(x>,5 y =,5) =? E a suspeita é válida, já que P(y = y ) = para qualquer valor de y quado se trata de uma distribuição cotíua. Uma probabilidade codicioal, este caso, só poderia ser defiida quado a codição fosse também um itervalo (e ão um poto), isto é, seria alguma coisa do tipo: P(a<x<b c<y<d) =? Que seria dada por: P(a<x<b c<y<d) = P[( a x b) e ( c y d) ] P( c y d) O umerador da fração acima sairia automaticamete de uma (dada) f.d.p. cojuta: P[(a<x<b) e (c<y<d)] = d b c a f( x, y) dxdy Já o deomiador é obtido pela f.d.p margial de y, que por sua vez é dada por: h(y) = f ( x, y) dx Portato, a expressão o deomiador será: d P(c<y<d) = c Fazedo: c = y e d = y + y f( x, y) dxdy = h (y)dy d c Temos que a desigualdade c<y<d colapsa em y=y quado d se aproxima de c, isto é, quado y se aproxima de (tede a) zero. Portato, podemos iterpretar a probabilidade codicioal com uma igualdade a codição como um caso limite do caso geral: lim dc P(a<x<b c<y<d) = lim y P(a<x<b c<y<d) = P(a<x<b y = y ) Mas, do cálculo diferecial, sabemos que tomar o limite para y equivale à derivada em relação a y o poto em questão, o caso y.

122 O deomiador etão, será dado por: lim y P(c<y<d) = lim y O que equivale a: y y h y ( y) dy lim y y y y h ( y) dy = y y h ( t) dt Que é uma derivada de uma fução defiida por uma itegral que é o próprio valor da fução a ser itegrada, calculada o poto y, isto é: lim y P(c<y<d) = y y h ( t) dt = h(y ) Da mesma forma, para a expressão o umerador temos: lim y P[(a<x<b) e (c<y<d)] = lim y lim y P[(a<x<b) e (c<y<d)] = lim y P[(a<x<b) e (c<y<d)] = y b y b a a y y b y a f( x, t) dxdt f( x, y ) dx f( x, y) dxdy por: Portato, a probabilidade codicioal (com a codição equivaledo a um poto)será dada P(a<x<b y = y ) = b a f( x, y h( y ) dx ) E, como h(y ) é uma costate em relação a x, podemos escrever: b f ( x, y ) P(a<x<b y = y ) = dx h( y ) Fialmete, defiido: a f x y (x,y ) = f ( x, y h( y ) ) Temos o cálculo da probabilidade codicioal como foi feito o texto: P(a<x<b y = y ) = b f x y ( x, y ) a dx Portato, como um caso limite do caso geral em que a codição é um itervalo.

123 3 5.B. Idepedêcia em uma Distribuição Cojuta Nesta seção vamos demostrar (o caso cotíuo) que a expressão (5..) é válida se, e somete se, as variáveis x e y são idepedetes. f(x,y) = g(x)h(y) Se as variáveis são idepedetes, etão é válido que: f x y = g(x) f y x = h(y) (5.B..) (5.B..) Mas, pela defiição de codicioal, temos que: Logo: f ( x, y) f x y = h( y) f(x,y) = f x y h(y) Substituido pela equação (5.B..): f(x,y) = g(x)h(y) Como queríamos demostrar. 5.B.3 Valor Esperado de uma Esperaça Codicioal O título desta seção foi propositalmete elaborado de modo a evitar a redudâcia, pois poderia perfeitamete ser a esperaça da esperaça codicioal. Problemas semâticos a parte, faz setido falarmos isso se levarmos em cota que a esperaça codicioal abaixo é fução do valor de x. E(Y X = x) O valor esperado desta esperaça codicioal é a média cosiderado todos os possíveis valores de x: E[E(Y X)] = E(Y X = x )P(X = x ) + E(Y X = x )P(X = x ) E(Y X = x )P(X = x ) Ou, o caso cotíuo: E[E(Y X)] = E(Y X)g(x)dx E como: E(Y X) = yf dy Y X Temos que:

124 4 E[E(Y X)] = y f Y X g( x) dxdy Mas, pela própria defiição de f.d.p. codicioal, temos que: f Y X g(x) = f(x,y) Chegamos a: E[E(Y X)] = y f( x, y) dxdy = E(Y) Portato, o valor esperado da esperaça codicioal de Y é o próprio valor esperado de Y B.4 Distribuição de probabilidade com 3 variáveis Uma f.d.p cojuta para 3 variáveis será uma fução f: 3 com as seguites propriedades: f(x,y,z) para todo x,y,z e f ( x, y, z) dxdydz = E, com ela, podemos calcular a probabilidade abaixo: f d b P(a<x<b e c<y<d e e<z<f) = f ( x, y, z) dxdydz e c a As f.d.p. margiais são dadas por: g(x) = - h(y) = - k(z) = - f ( x, y, z) dydz f ( x, y, z) dxdz f ( x, y, z) dxdy E as f.d.p. codicioais são dadas por: f ( x, y, z) dz - f x y = h( y) E, de maeira aáloga para y e z. Note, que é possível defiir uma f.d.p. cojuta apeas para variáveis, por exemplo: G(x,y) = f ( x, y, z) dz 45 A demostração foi feita para o caso cotíuo, mas o resultado também é válido para o caso discreto.

125 E mesmo uma f.d.p codicioal ode a codição seja dada por duas variáveis: 5 f x y e z = f ( x, y, z) f ( x, y, z) dx Note que, de maeira aáloga, é possível trabalhar com distribuições com um úmero qualquer de variáveis.

126 6

127 CAPÍTULO 6 ESTIMAÇÃO 7 6. O que é iferêcia estatística? Iferêcia é algo que todo mudo (ou, pelo meos, muita gete) já fez a vida. Ao se cozihar, por exemplo: para ver se um molho está bom, já o poto para ser servido, ão é ecessário prová-lo por iteiro, basta uma colheradiha. Ao fazer um exame de sague, ão é ecessário (aida bem!) tirar o sague iteiro. Tato o caso do molho, como o sague, a iformação sobre o todo é extraída de um pedaço. Nem sempre é tão simples assim, já que, às vezes, o todo sobre o qual queremos uma iformação é mais complicado, mais heterogêeo do que o molho, por exemplo. Numa pesquisa para as iteções de voto para prefeito, ão basta o pesquisador tomar as opiiões somete dos moradores dos Jardis (se for em São Paulo), de São Corado (se for o Rio) ou a Boa Viagem (se for em Recife). O resultado da eleição estes bairros, tedo em vista serem regiões de reda elevada, pode ser (e muito provavelmete será) diferete do resultado em bairros mais pobres. A pesquisa só serviria para termos uma idéia da iteção de voto aqueles bairros, e ão a cidade como um todo. Quado o problema é, etão, um pouco mais complicado do que o do molho, ecessitamos de ferrametas estatísticas. É a isso que chamamos de iferêcia estatística 46. Na iferêcia estatística o todo é deomiado população; o pedaço é deomiado amostra. Portato, a iferêcia estatística trata de, a partir da amostra, obter-se iformações da população. 6. Estimadores Se desejamos cohecer alguma coisa sobre uma determiada população, por exemplo: a média de idade; a variâcia da reda; o percetual de iteções de voto para um determiado cadidato e esta população é composta de milhares (às vezes, milhões) de elemetos (este caso, pessoas, mas poderia ser qualquer coisa), de tal modo que seria muito difícil pesquisar o valor correto, pois seria iviável pesquisar todos os elemetos. Neste caso, temos que recorrer aos valores ecotrados em uma amostra. Numa cidade como São Paulo, há milhões de habitates, cerca de 5 milhões de eleitores. Para uma pesquisa eleitoral, são ouvidas uma, duas, três mil pessoas. O úmero de elemetos a amostra geralmete é muito pequeo quado comparado com o da população. Quado é assim, dizemos que a população é ifiita 47. Repare que, o que é às vezes muito difícil, por uma questão de úmero, pode ser impossível. Imagie uma pessoa que vai prestar um exame vestibular para uma faculdade. Ela pode estar ervosa o dia e isso vai prejudicar o seu desempeho. Ou a prova abrageu, em sua maioria, tópicos que ela tiha estudado melhor, o que etão fez com que seu desempeho fosse acima do esperado. Qual deveria ser o seu desempeho verdadeiro, ou se preferir, o seu desempeho médio? É uma perguta para a qual ão há resposta pois, para respodê-la, precisaríamos de 46 Ou estatística iferecial, isto é, a parte da estatística ode se faz iferêcia, diferetemete da estatística descritiva (vista a primeira parte) que é usada para a descrição de uma população. 47 Porque, em termos práticos, ão faz difereça se a população é cico milhões, dez milhões, um bilhão ou... ifiita! Quado a amostra represeta uma fração importate da população, algus aspectos devem ser cosiderados, o que faremos um pouco mais adiate.

128 ifiitas (ou, pelo meos, um úmero muito grade) de repetições deste experimeto que, por defiição, ão vai se repetir uca. Não adiata utilizarmos a ossa amostra o desempeho desta pessoa o vestibular do ao que vem, pois é outra situação (um ao a mais de estudo, por exemplo). Há situações em que, mesmo ão caido a armadilha do exemplo dado o parágrafo aterior (em que só é possível obter uma amostra com um elemeto), aida assim é impossível obter a população completa : digamos que gostaríamos de obter o preço médio dos imóveis em um determiado bairro. Para cada veda, é possível que o vededor seja habilidoso e cosiga um valor superior ao que ormalmete seria obtido; ou mesmo que o comprador pechiche e cosiga um preço mais vatajoso. Para obter o valor correto (populacioal) seria preciso que calculássemos a média de todas as trasações possíveis de ocorrer o que, evidetemete, ão está dispoível, aida que tehamos as iformações de todas as trasações que foram efetivamete realizadas. Seja qual for o caso (muito difícil ou impossível de pesquisar a população iteira), o fato é que, em muitos casos, precisamos obter as iformações de uma amostra. O valor da população, chamado de parâmetro populacioal, é descohecido. O que é possível de se obter é um valor da amostra, que supostamete os dá uma idéia do valor correto (populacioal) do parâmetro. Este valor amostral é chamado de estimador do parâmetro populacioal. Por exemplo, queremos saber a média de idade dos estudates uiversitários a cidade de São Paulo. Como há muitos estudates, recorremos a uma amostra de, digamos elemetos. A média da amostra ecotrada foi de aos, etão esta é a ossa estimativa 48 para a média de idade de todos os estudates uiversitários. Mas a média de idade dos uiversitários é realmete aos? Não dá para saber, a ão ser que todos os estudates uiversitários fossem pesquisados. Portato, são coisas diferetes o parâmetro populacioal e o estimador e, portato, devem ser represetados de maeira diferete, por exemplo: = média populacioal (parâmetro populacioal) X = média amostral (estimador) E ão é só uma difereça de valores. Equato o parâmetro populacioal é, em geral, um valor fixo, o estimador depede da amostra, portato está associado a uma distribuição de probabilidade, assim sedo, é uma variável aleatória. Apeas como uma regra geral para a omeclatura, adotaremos a seguite coveção. Se o parâmetro populacioal for, o estimador 49 será. A média, por ser um parâmetro especial, receberá tratameto diferete e será chamada como defiimos acima. Já sabemos que o estimador ão é igual ao parâmetro populacioal. É preciso (ou, pelo meos, é desejável), o etato, que ele ateda a algumas propriedades. 6.3 Estimadores ão viesados A primeira propriedade (desejável) de um estimador que veremos é a de que este estimador, a média, acerte o valor correto. Ou seja, se pudéssemos repetir a experiêcia (por exemplo, a 48 Não cofudir: estimador é a variável; estimativa é o valor ecotrado para esta variável, isto é, o valor ecotrado para o estimador esta amostra. 49 Há que se fazer uma distição, pois se tratam de coisas diferetes, mas ão ecessariamete precisa ser esta. Há autores que chamam o parâmetro populacioal por uma letra grega (por exemplo, ) e o estimador por uma letra latia correspodete (por exemplo, T). 8

129 da média de idade dos uiversitários) um úmero de vezes muito grade (ifiito), o valor médio das estimativas ecotradas em cada experimeto seria o valor correto do parâmetro populacioal. Resumido: E( ) = A esperaça do estimador deve ser o parâmetro populacioal, o primeiro acerta, em média, o valor do último. Se isto ocorre, dizemos que o estimador é ão viesado 5. Se, etretato, o estimador erra, em média, dizemos que ele é viesado, e a difereça etre a sua média e o valor verdadeiro do parâmetro é chamado de viés: é viesado E( ) = + viés Fica uma perguta: a média amostral é um estimador ão viesado da média amostral? Para respodê-la, vejamos o exemplo abaixo Exemplo 6.3. Tomemos uma população cuja distribuição é muito simples: uma cidade ode metade da população tem,8m (os altos ) e a outra metade tem,6m (os baixos ). Sem saber disso, um pesquisador quer saber qual a média de altura da população da cidade e utiliza para isso uma amostra de 5 elemetos. Se soubesse como a população é distribuída, ficaria fácil para ele (pois a média pode ser facilmete calculada, é,7 m). Como o pobre coitado ão sabe, ele pode, uma amostra de 5 pessoas, ecotrar 3 possibilidades diferetes, que são listadas a tabela abaixo (ode A represeta altos e B represeta baixos ): 9 tabela 6.3. amostra ecotrada BBBBB BBBBA BBBAB BBABB BABBB ABBBB BBBAA BBAAB BAABB AABBB BBABA BABBA ABBBA BABAB ABBAB ABABB BBAAA BABAA média amostral,6 m,64 m,64 m,64 m,64 m,64 m,68 m,68 m,68 m,68 m,68 m,68 m,68 m,68 m,68 m,68 m,7 m,7 m 5 Há quem prefira o termo ão tedecioso.

130 3 BAABA BAAAB ABBAA ABAAB ABABA AABAB AAABB AABBA BAAAA ABAAA AABAA AAABA AAAAB AAAAA,7 m,7 m,7 m,7 m,7 m,7 m,7 m,7 m,76 m,76 m,76 m,76 m,76 m,8 m Repare que, em ehuma das amostras, o valor populacioal (,7m) foi obtido. Mas a questão é: em média, chega-se o valor correto? Listadas as possibilidades 5, verificamos que delas a média é,6m; em 5, a média é,64m; em,,68m; para,7m há também possibilidades; 5 possibilidades para,76m e, em uma delas, a média ecotrada será,8m. Portato, a média das médias será dada por: E( X ) =,6 5,64,68,7 5,76,8 3 =,7m Portato, pelo meos este caso, a média amostral é um estimador ão viesado da média populacioal. Isto é válido sempre? Sim! Uma média amostral (qualquer) é dada por: X = X i = i X X... X Para sabermos se este estimador é, ou ão, viesado, devemos calcular a sua esperaça: X E( X ) = E( X... X ) Pelas propriedades da esperaça matemática, temos que: E( X ) = E(X + X X ) E( X ) = [E(X ) + E(X ) E(X )] 5 Seria absolutamete ecessária a motagem da tabela 6.3. para que ecotrássemos estes valores?

131 Mas qual é a esperaça de X (ou de X, X 3, etc.)? Ates de sortearmos os elemetos da amostra, o valor esperado de seu valor, já que ão sabemos qual elemeto será escolhido é a própria média populacioal 5. Assim sedo: 3 E( X ) = [ ] E( X ) = [] E( X ) = Portato, a esperaça da média amostral é (sempre) igual à média populacioal, o que equivale a dizer que a média amostral é um estimador ão viesado da média populacioal. Exemplo 6.3. (média poderada) Dado o estimador para a média M defiido abaixo, determie se ele é um estimador viesado e, caso seja, determie o viés. X 3X M = 5 Trata-se de uma média poderada (com pesos e 3) para uma amostra de elemetos. Isto sigifica que o primeiro elemeto a ser sorteado a amostra tem peso meor do que o segudo. Apesar disso, o estimador M também é ão viesado, como é possível mostrar: X 3X E(M ) = E( ) 5 E(M ) = 5 [E(X ) + E(3X )] E(M ) = 5 [E(X ) + 3E(X )] E(M ) = 5 [ + 3] E(M ) = 5 [5] E(M ) = Portato, M é um estimador ão viesado da média populacioal (apesar da poderação). Exemplo (professor muito rigoroso) Dado o estimador para a média M defiido abaixo, determie se ele é um estimador viesado e, caso seja, determie o viés. M = i X i 5 Por exemplo, o caso da cidade dos altos e baixos como metade da população é de cada tipo, há igual probabilidade de, ao sortearmos os elemetos de uma amostra qualquer, ecotrarmos um alto ou baixo. Sedo assim, a altura esperada para o elemeto da amostra é (,6+,8)/ =,7m, que é a própria média populacioal.

132 Este é um estimador em, em vez de dividirmos pelo úmero de elemetos da amostra, dividimos por um a mais. É como se, por exemplo, para a média fial de 3 provas, fossem somadas as otas e divididas por 4; ou, se fossem 4 provas, divididas por 5. Claramete este procedimeto joga a média para baixo. Calculemos a esperaça de M : X i i E(M ) = E( ) E(M ) = E( X i ) i E(M ) = E(X + X X ) E(M ) = [E(X )+ E(X ) E(X )] E(M ) = [ ] E(M ) = Portato, M é um estimador viesado da média populacioal e o viés é dado por: viés(m ) = E(M ) viés(m ) = ( ) viés(m ) = viés(m ) = O viés é egativo pois, como já foi dito, este estimador joga para baixo a média. 6.4 Variâcia de estimadores - estimadores eficietes Não basta que um estimador acerte a média. É desejável que, além disso, o estimador seja o mais preciso possível, ão disperse muito ou, em outras palavras, teha a meor variâcia possível. Um estimador é dito absolutamete eficiete, ou simplesmete eficiete se: for ão viesado; etre os estimadores ão viesados, apresetar a meor variâcia. Portato, para cohecermos as propriedades de um estimador, covém que saibamos calcular a sua variâcia. Para a média amostral, a variâcia será dada por: X X... X var( X ) = var( ) Pelas propriedades da variâcia, temos que: 3

133 33 var( X ) = var(x + X X ) Se supusermos que cada um dos X i são idepedetes um do outro, o que é bastate razoável a maioria dos casos, tedo em vista que, se, por exemplo, estivermos calculado a média amostral das idades de algumas pessoas, a idade da primeira pessoa sorteada ão afetará a idade da seguda, assim como a idade da seguda ão afetará a da terceira e assim sucessivamete. Nesta hipótese de idepedêcia 53 as covariâcias etre X i e X j, (ij) são ulas e, assim sedo, podemos calcular a variâcia da soma como sedo a soma das variâcias. var( X ) = [var(x ) + var(x ) var(x )] E, da mesma forma como fizemos para a esperaça, a variâcia que se espera de um elemeto que será sorteado de uma população cuja variâcia é dada por, será o próprio. var( X ) = [ ] var( X ) = var( X ) = Portato, a média amostral depede da variâcia da população, o que é lógico, pois, imagie que a população em questão sejam as criaças matriculadas o a série do esio fudametal em uma cidade em que, por coicidêcia, todas as criaças têm a mesma idade. A variâcia populacioal da idade é zero. E qualquer que seja o tamaho da amostra, o valor da média amostral será igual ao da média populacioal, portato terá variâcia zero também. E também depede do tamaho da amostra. Se a amostra for de tamaho o que sigifica, a prática que a média será igual aos valores da variável em questão (idade, por exemplo) e, desta forma, a variâcia da média amostral será igual à variâcia populacioal. = var( X ) = = Por outro lado, se a amostra coicide com a população, o valor da média amostral também coicide com a média populacioal (e é exato!) e portato a variâcia é ula. Como estamos cosiderado que a população é muito grade (ifiita), etão uma amostra que coicide com a população correspode a um tededo a ifiito. var( X ) = lim = Exemplo 6.4. Dado o caso da cidade dos altos e baixos do exemplo 6.3. e cosiderado uma média amostral obtida a partir de uma amostra de 5 elemetos, verifique que é válida a expressão var( X ) =. 53 Dizemos, este caso, que os X i são idepedetemete distribuídos.

134 34 Nesta cidade temos metade dos habitates com,6m e metade com,8m. A variâcia populacioal é dada por: = var(x) =,5(,8,7) +,5(,6,7) =,5(,) +,5(,) =, Cosiderado todas as médias amostrais obtidas o exemplo 6.3., a variâcia da média amostral será dada por: var( X ) = var( X ) =, (,6,7) 5 (,64,7) (,68,7) (,7,7) 5 (,76,7) (,8,7) 3 Que é exatamete o valor de dividido por 5 (o tamaho da amostra)., var( X ) = = 5 =, Exemplo 6.4. Determie a variâcia do estimador M apresetado o exemplo X 3X M = 5 Vimos, o exemplo 6.3., que este é um estimador ão viesado, assim como a média amostral. A sua variâcia será dada por: X 3X var(m ) = var( ) 5 Pelas propriedades de variâcia, temos que: var(m ) = var(x + 3X ) 5 E, cosiderado que X é distribuído idepedetemete: var(m ) = [var(x ) + var(3x )] 5 var(m ) = [4var(X ) + 9var(X )] 5 var(m ) = [4 + 9 ] 5 3 var(m ) = =,5 5 Repare que, para uma amostra de elemetos (que é o caso deste estimador), a variâcia da média amostral será dada por:

135 35 var( X ) = =,5 Portato, embora ambos os estimadores sejam ão viesados, a média amostral é um estimador melhor do que M, já que possui uma variâcia meor. Não dá para afirmar etretato, que X seja um estimador eficiete da média amostral. Para isso, precisaríamos compará-lo com todos os estimadores ão viesados da média populacioal. É possível, etretato, demostrar que, se a variável X segue uma distribuição ormal 54, a média amostral ( X ) é um estimador eficiete da média populacioal. Se ão sabemos ada sobre a distribuição de X, só dá para dizer que X é relativamete mais eficiete do que M. Portato, etre dois estimadores ão viesados, dizemos que é relativamete mais eficiete aquele que apresetar meor variâcia. Mas, e se comparamos dois estimadores quaisquer? Para isso, usamos o erro quadrático médio. Defiimos o erro quadrático médio como sedo a média da difereça etre o valor do estimador e do parâmetro ao quadrado. Assim, para um estimador ˆ,temos: EQM(ˆ ) = E(ˆ -) Desevolvedo esta expressão, temos: EQM(ˆ ) = E(ˆ - ˆ + ) Usado as propriedades da esperaça, vem: EQM(ˆ ) = E(ˆ ) E( ˆ ) + E( ) E, como é o parâmetro populacioal e é, portato, uma costate: EQM(ˆ ) = E(ˆ ) E(ˆ ) + Somado e subtraido [E(ˆ )], obtemos: EQM(ˆ ) = E(ˆ ) [E(ˆ )] + [E(ˆ )] E(ˆ ) + Os dois primeiros termos da expressão acima correspodem à variâcia de ˆ, equato os três últimos formam um quadrado perfeito: EQM(ˆ ) = var(ˆ ) + [E(ˆ ) ] E a expressão etre colchetes é o viés do estimador ˆ. Assim sedo: EQM(ˆ ) = var(ˆ ) + [viés(ˆ )] Ou seja, o erro (ao quadrado) do estimador tem dois compoetes : o estimador erra o valor do parâmetro em fução do quato varia (sua variâcia) e aida, quado for o caso, pelo fato de ão acertar a média (ser viesado). 54 Através da desigualdade de Cramer-Rao.

136 Para dois estimadores quaisquer, ˆ e ˆ, se ˆ tem meor erro quadrático médio do que ˆ, etão ˆ é relativamete mais eficiete do que ˆ. Note que, para dois estimadores ão viesados, dizer que o erro quadrático médio é meor equivale a dizer que a variâcia é meor (já que o viés é ulo). Exemplo Determie qual dos estimadores da média dados abaixo é relativamete mais eficiete X 3X M = 5 X X M 3 = 3 Para sabermos qual dos estimadores é relativamete mais eficiete precisamos calcular o erro quadrático médio de cada um 55. Para o estimador M, já sabemos que ele ão é viesado e sua variâcia foi determiada o exemplo EQM(M ) = var(m ) + [viés(m )] EQM(M ) = var(m ) + EQM(M ) =,5 + EQM(M ) =,5 Para o estimador M 3, primeiramete devemos verificar se é um estimador ão viesado: X X E(M 3 ) = E( ) 3 E(M 3 ) = 3 E(X + X ) E(M 3 ) = 3 ( + ) E(M 3 ) = 3 Portato, M 3 é um estimador viesado, e seu viés é dado por: viés(m 3 ) = E(M 3 ) - viés(m 3 ) = 3 - viés(m 3 ) = - 3 E sua variâcia é: X X var(m 3 ) = var( ) 3 var(m 3 ) = 9 var(x + X ) var(m 3 ) = 9 ( + ) Repare que o estimador M 3 é um caso particular do estimador M apresetado o exemplo 6.3.3, bastado substituir por.

137 37 var(m 3 ) = 9 Desta forma, o erro quadrático médio do estimador M 3 será dado por: EQM(M 3 ) = var(m 3 ) + [viés(m 3 )] EQM(M 3 ) = 9 + [- 3 ] EQM(M 3 ) = Como podemos ver, ão dá para dizer qual dos dois é relativamete mais eficiete sem que saibamos os verdadeiros valores de e. Se, por exemplo, =, teremos: EQM(M 3 ) = 9 =,... < EQM(M ) E, portato, este caso, M 3 seria um estimador relativamete mais eficiete do que M. Mas, de um modo geral, ão cohecemos o verdadeiro valor de (variâcia populacioal), assim como também descohecemos o valor correto de (média populacioal). Para estimarmos podemos utilizar a média amostral que, como já vimos, é um estimador ão viesado e eficiete (se a distribuição for ormal) da média populacioal. Etretato, ão temos aida um estimador para a variâcia populacioal. 6.5 Estimador para a variâcia variâcia amostral Assim como procedemos para a média, o óbvio seria que o estimador da variâcia fosse a variâcia calculada a amostra, isto é: ˆ = i (X X) i A primeira questão que surge é: este estimador ( ) é um estimador ão viesado da variâcia populacioal ( )? Vejamos: E( ˆ ) = E i (X X) i E( ˆ ) = E[ (X i X) ] i Façamos um pequeo artifício: somemos e subtraímos a média populacioal (): ˆ

138 E( ˆ ) = E[ ( X i X ) ] i Temos aí um quadrado da soma ode cosideramos o primeiro termo como sedo X i - e o segudo - X. E( ˆ ) = E[ i ( X i - ) + ( X i - )( - X ) + i i ( - X ) ] Como, para qualquer valor do ídice i, e X têm sempre o mesmo valor, podemos escrever: E( ˆ ) = E[ E sabemos que: Portato: Ou: i i ( X i ) = X ( X i - ) + ( - X ) i ( X i - ) + ( - X ) ] E( ˆ ) = E[ ( X i - ) + ( - X )( X - ) + ( - X ) ] i E( ˆ ) = E[ ( X i - ) ( - X )( - X ) + ( - X ) ] i E( ˆ ) = E[ ( X i - ) ( - X ) + ( - X ) ] i E( ˆ ) = E[ ( X i - ) ( - X ) ] i E, uma expressão elevada ao quadrado, o sial o iterior dos parêteses ão importa, portato podemos iverter o sial da seguda expressão sem problemas E( ˆ ) = E[ ( X i - ) ( X -) ] i Aplicado a esperaça a expressão, vem: E( ˆ ) = {E[ ( X i - ) ] E( X -) } i E, como a esperaça da soma é a soma das esperaças, temos que: 38 E( ˆ ) = [ i E(X i - ) E( X -) ] Mas, pela própria defiição de variâcia: E(X i - ) = var(x) = E( X -) = var( X ) = e

139 Portato: E( ˆ ) = [ - ] 39 ˆ E( ) = [ - ] ˆ E( ) = (-) ˆ E( ) = - Cocluímos etão que o estimador ˆ é um estimador viesado da variâcia populacioal. Isto etretato, pode ser facilmete corrigido se utilizarmos um estimador para a variâcia (que chamaremos de S ) tal que: S = S = S = ˆ - (X i X) i - i (X X) i - E podemos verificar que S é um estimador ão viesado da variâcia populacioal pois: E(S ) = E(S ) = E( ˆ ) - - = - Portato, para obtermos um estimador ão viesado da média amostral, devemos dividir por - e ão por. Qual é a razão disso? A resposta está o artifício que utilizamos para a demostração, de somar e subtrair a média populacioal (). Não temos a média populacioal, mas a média amostral, ou seja, a média que utilizamos o cálculo da variâcia é, ela própria, um estimador. Repare que, se soubéssemos a média verdadeira, o estimador ˆ ão seria viesado. Imagie que escolhêssemos uma amostra de apeas um elemeto, o que é perfeitamete viável para a média (aida que ão muito acoselhável), mas toraria impossível uma estimação ão viesada para a variâcia, pois o valor de ˆ seria sempre zero para qualquer amostra de qualquer população, o que claramete é viesado. Em outras palavras, só faz setido estimarmos a variâcia em uma amostra que tem, o míimo, dois elemetos. Assim sedo, de agora em diate, quado falarmos de variâcia amostral, ou de estimador da variâcia, estaremos os referido a S, a ão ser que seja explicitamete dito o cotrário. Exemplo 6.5. Em uma fábrica ode trabalham muitas pessoas, foi pergutado a cico delas o seu salário. As respostas foram R$., R$., R$.5, R$ 8 e R$ 7. Determie a média amostral, a variâcia amostral e a variâcia da média amostral.

140 4 A média amostral é dada por: X = = R$. 5 A variâcia amostral (S ) é: S ( ) ( ) (5 ) = 4 S = 95. E a variâcia da média amostral seria dada por, utilizaremos 56 seu estimador S. (8 ) (7 ), mas, como ão cohecemos o valor de var( X ) = S = 95 = Melhor estimador liear ão viesado. Uma terceira propriedade desejável de um estimador é que ele seja um MELNV (melhor estimador liear ão viesado 57 ). Para ser um MELNV o estimador tem que: ser ão viesado; ser liear; etre os estimadores lieares e ão viesados, apresetar a meor variâcia. Um estimador é liear se for obtido através de uma combiação liear das observações da amostra. Por exemplo, o estimador X ~ mostrado abaixo é liear: a i i X ~ = X = a X + a X a X i Se cada um dos a i for uma costate. Claramete a média amostral é um estimador liear, pois é um caso particular do X ~ exposto acima ode: a = a =... = a = E, diga-se de passagem, é um MELNV, pois ão há outro estimador liear com meor variâcia. 56 E, portato, a variâcia da média amostral a ser calculada é, a verdade, um estimador da variâcia da média amostral. 57 Há quem prefira a sigla MELNT (trocado o viesado por tedecioso ) ou mesmo a sigla em iglês BLUE (best liear ubiased estimator).

141 Os coceitos de estimador eficiete e MELNV são parecidos. De fato, se um estimador eficiete for liear, será um MELNV. Mas um estimador que seja MELNV pode ão ser eficiete se houver um estimador ão viesado e ão liear que apresete variâcia meor. Pode-se dizer, etretato, que um estimador MELNV é um estimador eficiete detro da classe dos estimadores lieares (isto é, apreseta meor variâcia etre os estimadores lieares, mas ão ecessariamete etre todos). Resumido as propriedades vistas até agora I) Estimador ão viesado É aquele que a média, acerta : E(ˆ ) = II) Estimador eficiete É aquele que, etre os estimadores ão viesados, apresetar meor variâcia. III) Melhor estimador liear ão viesado (MELNV) É aquele que, etre os estimadores lieares e ão viesados, apresetar meor variâcia Propriedades assitóticas estimadores assitoticamete ão viesados Todas as três propriedades vistas ateriormete se aplicam a qualquer tamaho de amostra e, em particular, a amostras pequeas. Quado a amostra cresce (tede ao ifiito), há propriedades desejáveis que seriam aplicáveis este caso. As propriedades dos estimadores quado o tamaho da amostra tede para o ifiito são chamadas de propriedades assitóticas. A primeira propriedade que vimos é a de que um estimador seja ão viesado. Há estimadores que, embora viesados, quado a amostra cresce, o viés dimiui, isto é, ele vai desaparecedo à medida que o tamaho da amostra aumeta. Estes estimadores são chamados de assitoticamete ão viesados. Um estimador é dito assitoticamete ão viesado se: lim E(ˆ ) = É claro que, se o estimador for ão viesado, será assitoticamete ão viesado. A recíproca ão é verdadeira, como poderemos ver os exemplos abaixo. Exemplo 6.7. Verifique que o estimador M do exemplo é assitoticamete ão viesado. X i i M = Como vimos o exemplo 6.3.3, este estimador é viesado, pois sua esperaça é dada por: E(M ) = Mas, quado a amostra cresce, temos que:

142 4 lim E(M ) = lim = Pois, quado é muito grade, é praticamete igual a +. Portato, embora M seja um estimador viesado da média, é um estimador assitoticamete ão viesado. Isso equivale a dizer que, a prática, se a amostra é grade, tato faz dividir por ou + porque a difereça será muito pequea (ula, quado tede a ifiito). Exemplo 6.7. Verifique que ˆ é um estimador assitoticamete ão viesado da variâcia populacioal. Como vimos a seção 6.5 ˆ é um estimador viesado da variâcia, já que: - E( ˆ ) = Mas, se tomarmos o limite para tededo ao ifiito: ˆ lim E( ) = lim - = E, sedo assim, ˆ é um estimador assitoticamete ão viesado de. De ovo, quado a amostra é grade, é praticamete irrelevate se dividimos por ou Estimadores cosistetes Um estimador é dito cosistete se, à medida que a amostra cresce, ele vai covergido para o valor verdadeiro do parâmetro. Ou seja, quado o tamaho da amostra vai aumetado, o viés (se existir) vai sumido e a variâcia também. Pode-se dizer que um estimador cosistete é aquele que colapsa o valor verdadeiro do parâmetro quado o tamaho da amostra vai para o ifiito. Um estimador ˆ será cosistete se: lim E(ˆ ) = e lim var(ˆ ) = A média amostral é um estimador cosistete da média, pois é um estimador ão viesado e: lim var( X ) = lim = Da mesma forma, podemos verificar que os estimadores dos exemplos 6.7. e 6.7. são cosistetes. Uma maeira alterativa de verificar se um estimador é cosistete é através do erro quadrático médio. Como o erro quadrático médio é composto da variâcia e do viés ao quadrado, o estimador ˆ será cosistete se: lim EQM(ˆ ) =

143 Esta é uma codição suficiete 58, mas ão ecessária. Ou seja, se o erro quadrático médio teder a zero com o aumeto da amostra, isto implica que o estimador é cosistete, mas a recíproca ão é verdadeira. Por sorte, os casos em que isto ocorre (o erro quadrático médio ão vai para zero, mas o estimador é cosistete) são raros 59. Exemplo 6.8. Verifique se o estimador da média M 4 dado abaixo é ão viesado e cosistete. 43 M 4 = X + ( -) X i i Vejamos se ele é, ou ão, viesado: E(M 4 ) = E[ X + X i ] ( -) i E(M 4 ) = E( X ) + E[ X i ] ( -) i E(M 4 ) = E(X ) + ( -) E(X + X X ) E(M 4 ) = E(X ) + ( -) [E(X )+ E(X 3 ) E(X )] E(M 4 ) = + ( -) [ ] E(M 4 ) = + ( -) (-) E(M 4 ) = + = Portato M 4 é um estimador ão viesado da média. E, como ele é ão viesado, o erro quadrático médio coicide com a variâcia. EQM(M 4 ) = var(m 4 ) = var( X + ( -) EQM(M 4 ) = var( X ) + var( ( -) EQM(M 4 ) = var(x ) + 4 4( -) EQM(M 4 ) = + 4 4( -) EQM(M 4 ) = + (-) 4 4( -) X i i X i i ) var(x + X X ) ( ) ) 58 Também se diz, quado esta codição é válida, que o estimador apreseta cosistêcia do erro quadrado. A cosistêcia do erro quadrado implica cosistêcia, mas em sempre (embora quase sempre) um estimador cosistete apresete cosistêcia do erro ao quadrado. 59 São estimadores para os quais a variâcia ou a média da distribuição assitótica ão existem.

144 EQM(M 4 ) = 4 + 4( -) 44 Quado tomamos o limite para tededo ao ifiito: lim EQM(M 4 ) = lim [ 4 + 4( -) ] O segudo termo vai para zero, pois tem - o deomiador, mas o mesmo ão ocorre com o primeiro termo. Desta forma: lim EQM(M 4 ) = 4 Portato, M 4 ão é cosistete 6, aida que seja ão viesado. Isto poderia ser percebido sem a ecessidade de cálculos, tedo em vista que, o primeiro elemeto a ser sorteado a amostra (X ), tem peso 5%, ão importado o tamaho da amostra. Portato, aida que o viés ão exista, por maior que seja a amostra a variâcia ão irá desaparecer, tedo em vista o peso desproporcioal que tem o primeiro elemeto da amostra (depededo de quem cair primeiro, o valor de M 4 será diferete, aida que a amostra seja muito grade). Vimos etão duas propriedades assitóticas: I) Estimador assitoticamete ão viesado: lim E(ˆ ) = II) Estimador cosistete: Aquele que colapsa o verdadeiro valor do parâmetro quado a amostra aumeta. Codição suficiete: se lim EQM(ˆ ) = etão ˆ é cosistete. 6.9 Lei dos Grades Números A Lei dos Grades Números (LGN) diz que, quado a amostra cresce (tede a ifiito) a média amostral coverge para a média populacioal. Isto é, quato maior a amostra, mais o valor obtido pela média amostral estará próximo do valor correto da média. Repare que a LGN equivale à afirmação de que a média amostral é um estimador cosistete da média populacioal. 6. Teorema do Limite Cetral Retomemos o exemplo 6.3. (aquele da cidade dos altos e baixos ). Com amostras de 5 elemetos, vimos que há 3 possibilidades (já que só há dois resultados possíveis para cada elemeto da amostra), sedo estas possibilidades listadas a tabela abaixo: média amostral obtida o de possibilidades,6 m,64 m 5,68 m,7 m 6 A rigor, ão foi demostrado que ele ão é cosistete pois, como foi dito, a codição do erro quadrático médio é ecessária, ão suficiete.

145 45,76 m 5,8 m Estes resultados podem ser represetados um histograma: Se aumetarmos o tamaho da amostra para 6, as possibilidades 6 passam a ser (verifique!): média amostral obtida o de possibilidades,6 m,63 m 6,67 m 5,7 m,73 m 5,77 m 6,8 m O histograma será etão: Se aumetarmos o tamaho da amostra para, digamos, =, o histograma 6 passa a ser: 6 Num total de 64 = 6. 6 Agora teríamos um total de 4 (= ) possibilidades.

146 Algo familiar? Pois é, à medida que o tamaho da amostra aumeta, mais o histograma que represeta a distribuição da média amostral se aproxima de uma ormal. De fato, é isso que diz o teorema do limite cetral: Teorema do Limite Cetral(TLC): dada uma variável X, i.i.d (idepedete 63 e ideticamete 64 distribuída) com média e variâcia, a média amostral X segue (desde que a amostra seja suficietemete grade) uma distribuição ormal com média e variâcia, qualquer que seja a distribuição de X. Se padroizarmos a variável X, ou seja, subtrairmos a média e dividirmos pelo desvio padrão, (lembrado que o desvio padrão será dado por X - (X - ) = = ), obteremos: E assim, podemos escrever o TLC em uma úica seteça matemática: (X - ) D N(, ) Ode a seta com o D em cima se lê coverge em distribuição. Portato, a seteça (X - ) acima pode ser lida como coverge em distribuição para uma ormal com média zero e desvio padrão um. Motamos os histogramas baseado-se a ossa cidade estraha apresetada o exemplo 6.3., mas o resultado seria o mesmo qualquer que fosse a distribuição utilizada. O TLC os permite dizer que, se for média, é ormal. Quato ao tamaho de amostra suficietemete grade, é comum se utilizar uma receita de bolo, de que devemos ter uma amostra de o míimo 3 elemetos. Na verdade, o que devemos levar em cota é que a distribuição da média amostral é aproximadamete uma ormal e que esta aproximação é tão melhor quato maior for a amostra. Se partirmos de uma amostra muito pequea, ão é que a aproximação ão seja válida, mas será muito grosseira. 63 Sigifica que os diversos X i são idepedetes us dos outros. 64 Sigifica que os mesmos parâmetros da distribuição (seja ela qual for) se aplicam a todos os X i.

147 Exemplo 6.. Uma variável X tem média igual a e variâcia igual a 44. Qual a probabilidade de que, uma amostra com 36 elemetos, ecotremos uma média amostral superior a. Sabemos que: E( X ) = 44 var( X ) = = 4 36 E, pelo TLC, sabemos que a média amostral segue uma distribuição ormal com média e desvio padrão (= 4 ). Queremos saber a probabilidade de X ser maior do que. Padroizado (para podermos cosultar a tabela), temos: Z = Portato: 6. População fiita =,5 P( X > ) = P(Z >,5) =,5 -,95 =,385 = 3,85% Por população fiita etede-se, a prática, por uma população cujo tamaho é comparável com amostra a ser estudada. No caso de uma pesquisa eleitoral em que mil, dois mil eleitores são pesquisados em uma população de milhões, a amostra é muito pequea em relação à população. Esta ão é, a rigor, ifiita mas, para efeitos práticos, é como se fosse. O mesmo ão ocorre se, digamos, em uma escola com aluos, tomamos uma amostra de 5, ou em uma fazeda com cabeças de gado, utilizamos uma amostra de. No primeiro caso, a amostra represeta 5% da população; o segudo, %; é em casos como estes que cosideramos a população como sedo fiita. Mas qual é a difereça? É que, quado calculamos a variâcia da média amostral, assumimos que a variâcia esperada de cada elemeto da amostra é igual a variâcia populacioal. Ocorre que, quado retiramos o primeiro elemeto da amostra, a variâcia dos que sobram foi alterada. Portato, a variâcia esperada do segudo elemeto da amostra (bem como de todos os outros) ão será. Se a população é ifiita (a prática, se for muito maior do que a amostra), a retirada de um elemeto ão terá efeitos sobre a variâcia dos demais. Repare que este raciocíio da população fiita ão se aplica se a amostra for retirada com reposição. Portato, se a população for ifiita ou mesmo se for fiita, desde que a amostra seja retirada com reposição, é válida a expressão: var( X ) = Agora, se a população for fiita e a amostra retirada sem reposição, esta expressão precisa ser corrigida. Se a população tem tamaho igual a N, a variâcia da média amostral será dada por: 47

148 48 N - var( X ) = N - Repare que, se o tamaho da amostra () é muito pequeo em relação ao tamaho da N - população (N), o fator de correção é praticamete igual a, e desta forma a expressão da N - variâcia da média amostral é praticamete a mesma da utilizada quado a população é ifiita. E, se o tamaho da amostra é igual ao da população ( = N), a média amostral é igual a média populacioal e a variâcia de X é ula. Exemplo 6.. Numa classe de 5 aluos, são escolhidos, ao acaso, 5 aluos para realizar um teste, cujas otas vão de a, para aferir o aproveitameto da turma. Se o desvio padrão histórico desta turma em testes deste tipo é, determie a variâcia e o desvio padrão da média amostral este teste. Como se trata de uma população fiita e a amostragem é feita sem reposição e, assumido que o desvio padrão populacioal se matém o valor histórico, temos: N - var( X ) = N var( X ) = var( X ) = 5 49 var( X ) 6,45 ˆ X dp( X ) = var( X) ˆ = 6,45 X ˆ 5,4 6. Estimação por máxima verossimilhaça X O pricípio da estimação por máxima verossimilhaça 65 é o seguite: se soubermos qual é a distribuição de probabilidade da população 66, os valores dos parâmetros a serem estimados serão aqueles que maximizarão a chace (a probabilidade, a verossimilhaça) de que os valores obtidos a amostra sigam, de fato, a distribuição em questão. Digamos que uma variável aleatória x tem uma fução desidade de probabilidade dada por: f.d.p. de x = f(x i ; k ) Nesta otação, depois do poto e vírgula temos os parâmetros da fução. Isto é, f é uma fução dos valores de x i (até aí, ehuma ovidade), dados os parâmetros da distribuição, k, supostamete cohecidos. 65 Verossimilhaça = qualidade do que é verossímil. 66 E isto é uma codição absolutamete ecessária para que possamos fazer uma estimação por máxima verossimilhaça.

149 Por exemplo, para uma distribuição ormal, os parâmetros são a média e a variâcia (ou o desvio padrão). Se cohecermos ambos, dado um certo valor de x, é fácil calcular o valor de f. E se ão cohecermos os parâmetros. Temos os valores de x, que obtemos de uma amostra, e precisarmos estimar os parâmetros. Isto é, temos os valores de x, portato a fução agora depede dos parâmetros. Quado é assim, a fução passa a ser chamada de fução de verossimilhaça: fução de verossimilhaça = L( k ; x i ) 49 A estimação por máxima verossimilhaça cosiste em achar os valores dos parâmetros k que maximizem a fução de verossimilhaça ou, em outras palavras, que maximize a probabilidade de que a amostra perteça de fato, a uma população cuja distribuição de probabilidade tem fução de desidade 67 dada por f. Exemplo 6.. Uma variável aleatória x tem distribuição ormal (idepedetemete distribuída) com média e variâcia descohecidas. Dada uma amostra {x, x,..., x }, determie os estimadores de máxima verossimilhaça para a média e a variâcia. Se a distribuição é ormal, etão a fução de verossimilhaça terá a mesma forma fucioal de uma ormal multivariada 68 : Ode exp(x) e x. L(, ; x i ) = ( ) exp[ i x i ( ) ] Os valores de e serão obtidos pela maximização da fução de verossimilhaça L. Mas esta fução é um pouquiho complicada. Para simplificar o osso trabalho, lembramos que uma fução quado sofre uma trasformação mootôica 69 crescete, a fução resultate terá os mesmos potos de máximo e/ou míimo. Tomemos, etão, o logaritmo de L: l(, ; x i ) l[l(, ; x i )] = l{ exp[ ( ) l(, ; x i ) = l ( ) ( x i ) i ( ) l(, ; x i ) = l ( ) l(, ; x i ) = l ( ) i ( i x i x i ) ( ) i ( ) ]} x i 67 Note que a fução de verossimilhaça e a f.d.p. têm a mesma cara, isto é, a mesma forma fucioal, ivertedo-se a lógica: equato a f.d.p. é uma fução dos valores da variável aleatória x, sedo dados os parâmetros, a fução de verossimilhaça é uma fução dos parâmetros, sedo dados os valores de x. 68 Ver capítulo Sempre crescete ou sempre decrescete.

150 Para ecotrarmos o poto de máximo desta fução, devemos ecotrar as derivadas de l em relação a e. Derivado em relação a, vem: l = ( x i ˆ) = x i i x i i i ( ˆ) = ˆ = i E, como é uma costate: x i i ˆ = ˆ = x i i Ou seja, o estimador de máxima verossimilhaça da média de uma distribuição ormal é a própria média amostral x. Derivado em relação a e já icluido o resultado acima, vem: l = ˆ + ( x 4 i x) = 4 ˆ i i ˆ + ( x i x) = ˆ = i ( x i x) Portato, o estimador de máxima verossimilhaça para é, como já vimos, viesado. Coclui-se que o fato de o estimador ser de máxima verossimilhaça ão garate que ele seja ão viesado. Os estimadores de máxima verossimilhaça têm, etretato, algumas propriedades muito úteis: são cosistetes; têm distribuição assitótica ormal; são assitoticamete eficietes 7. Exemplo 6.. Uma variável aleatória x tem distribuição uiforme. Dada uma amostra {x, x,..., x }, determie os estimadores de máxima verossimilhaça para os parâmetros da distribuição. 5 7 Esta propriedade será discutida o apêdice 6.B.

151 Uma distribuição uiforme apreseta uma fução desidade f(x) =, para a x b. Os b a parâmetros a serem ecotrados são justamete a e b, que são os valores míimo e máximo, respectivamete, que a variável x pode apresetar. Os valores da amostra que têm a maior chace de ser estes valores são justamete o míimo e o máximo valor ecotrado a amostra. Assim, os estimadores de máxima verossimilhaça para a e b são: â = mi {x, x,..., x } bˆ = max {x, x,..., x } Exemplo 6..3 Uma variável aleatória x tem distribuição Biomial com parâmetro p. Em uma amostra de N elemetos, Y apresetaram o atributo sucesso. Determie o estimador de máxima verossimilhaça para p. O valor amostral para p que dá a maior chace desta amostra pertecer a uma população com estas características é justamete a proporção amostral. O estimador de máxima verossimilhaça será, portato: pˆ = N Y 5

152 Exercícios. Para as amostras dadas abaixo, determie a média amostral, a variâcia amostral e a variâcia da média amostral: a) {; 4; 6; 9; } b) {,6;,8;,9;,;,5;,7} c) {; ; 3; 6; 9; 7; 4} Euciado para os exercícios a 6: A variável aleatória X tem média e variâcia. Um pesquisador resolve utilizar os seguites estimadores para a média: X X M = 4 3X 4X M = 7. Determie quais estimadores são viesados e o viés, se houver. 3. Determie a variâcia dos estimadores. 4. Determie o erro quadrático médio dos estimadores. 5. Supoha que a =. Qual dos estimadores é relativamete mais eficiete? 6. Supoha agora que = e =. Agora, qual é o estimador relativamete mais eficiete. Euciado para os exercícios 7 a 3: A variável aleatória X tem média e variâcia. Um pesquisador resolve utilizar os seguites estimadores para a média: M 3 = i X i - M 4 = X + i X - 7. Determie quais estimadores são viesados e o viés, se houver. 8. Determie a variâcia dos estimadores. 9. Determie o erro quadrático médio dos estimadores.. Supoha que a =. Qual dos estimadores é relativamete mais eficiete? i. Supoha agora que = e = 3. Agora, qual é o estimador relativamete mais eficiete.. Determie quais estimadores são assitoticamete ão viesados. 3. Determie se os estimadores apresetam cosistêcia do erro quadrado. 5

153 53 4. Uma variável aleatória X tem média e desvio padrão 6. Determie a média e a variâcia de uma variável Y defiida a partir de uma amostra de elemetos da variável X como se segue: Y = X i i 5. Uma variável aleatória X tem média 9 e desvio padrão. Determie a média e a variâcia de uma variável W defiida a partir de uma amostra de 5 elemetos da variável X como se segue: W = 5 i 5 i ix i i 6. Uma variável aleatória X tem média e variâcia 64. Determie a probabilidade de que, em uma amostra de 49 elemetos, a média amostral seja iferior a Uma variável aleatória X tem distribuição de Poisso com parâmetro 9. Determie a probabilidade de que, em uma amostra de 36 elemetos, a média amostral esteja etre 8 e. 8. Uma variável aleatória X tem distribuição biomial em que a proporção de sucessos é,8. Determie a probabilidade de que, em uma amostra de elemetos, ecotremos meos de 75 sucessos. 9. Em uma classe de 5 aluos, foi retirada uma amostra de 5. As otas destes aluos foram, respectivamete, 7, 5, 3, 8 e 5. Determie a média amostral, a variâcia amostral e a variâcia da média amostral. Utilize a amostra abaixo para os exercícios a : {5, 3, 8, 9, 3, 35,, 33, 6, 7}. Supoha que esta amostra foi retirada de uma população cuja distribuição é Normal. Estime os parâmetros da distribuição por máxima verossimilhaça.. Supoha que esta amostra foi retirada de uma população cuja distribuição é uiforme. Estime os parâmetros da distribuição por máxima verossimilhaça.. Supoha que esta amostra foi retirada de uma população cuja distribuição é expoecial. Estime os parâmetros da distribuição por máxima verossimilhaça. 3. Assiale verdadeiro ou falso. a) A média amostral é um estimador viesado para a média populacioal quado a amostra é muito pequea. b) A média amostral é um estimador eficiete para a média populacioal. c) Embora ˆ seja um estimador viesado para a variâcia populacioal, sua variâcia é meor do que a de S. d) Todo estimador ão viesado é cosistete. e) Todo estimador viesado é icosistete. f) Todo estimador cosistete é ão viesado. g) Todo estimador eficiete é ão viesado. h) Dados dois estimadores, um deles viesado e outro ão, este último será sempre preferível.

154 i) Dados dois estimadores, um deles viesado e outro ão, este último terá sempre meor erro quadrático médio. j) A variâcia da média em uma população fiita é igual a de uma população ifiita desde que a amostragem teha sido feita com reposição. k) Para se fazer uma estimação por máxima verossimilhaça é ecessário saber qual é a distribuição populacioal. l) Um estimador de máxima verossimilhaça é sempre ão viesado. m) Um estimador de máxima verossimilhaça é sempre cosistete. ) A lei dos grades úmeros garate que a média amostral segue uma distribuição assitótica Normal. o) A lei dos grades úmeros garate que a média amostral é um estimador cosistete da média amostral. p) a média amostral segue uma distribuição Normal para qualquer tamaho de amostra. 54

155 Apêdice 6.B Covergêcias e mais propriedades de estimadores 55 6.B. Covergêcias Dado um estimador ˆ de um parâmetro populacioal. Como vimos o texto, se: lim P( ˆ < ) = Diz-se que ˆ coverge em probabilidade para ou: ˆ P Se o estimador ˆ coverge para de outra forma, como mostrado abaixo: P(lim ˆ = ) = Diz-se que ˆ apreseta covergêcia quase certa para, ou covergêcia com probabilidade para, que é represetado por: ˆ QC Note que a covergêcia quase certa implica a covergêcia em probabilidade, mas a recíproca ão é verdadeira. Isto é, a covergêcia quase certa é mais forte do que a covergêcia em probabilidade. No caso da média amostral como estimador da média populacioal: vimos que a Lei dos Grades Números estabelece que a média amostral coverge para a média populacioal à medida que a amostra cresce. A Lei dos Grades Números, etretato, aparece em duas versões, de acordo com o tipo de covergêcia. A Lei Fraca dos Grades Números estabelece que a média amostral coverge em probabilidade para a média populacioal, equato a Lei Forte dos Grades Números estabelece que a média amostral coverge quase certamete para a média populacioal. LGN versão fraca: X P LGN versão forte: X QC Como é óbvio, as codições para que se verifiquem a Lei Forte são mais restritas. Para que se verifique a Lei Fraca, basta que os X i (i =,,..., ) sejam uma seqüêcia de úmeros aleatórios com variâcia fiita, mas ão ecessariamete idepedetes. Para que se verifique a Lei Forte, é ecessário que os X i sejam IID (idepedetes e ideticamete distribuídos). 6.B. Eficiêcia assitótica No texto defiimos duas propriedades assitóticas desejáveis de estimadores: ser assitoticamete ão viesado e cosistêcia. Para um estimador ˆ de um parâmetro populacioal, defiimos a variâcia assitótica como:

156 56 var-ass(ˆ ) = lim E[ (ˆ lim E(ˆ ))] O que, o caso de estimadores assitoticamete ão viesados se reduz a: var-ass(ˆ ) = lim E[ (ˆ )] O estimador ˆ tem a propriedade de eficiêcia assitótica se: apreseta distribuição assitótica com média e variâcia fiitas; é cosistete; etre os estimadores cosistetes de for aquele que apresetar meor variâcia assitótica.