João Oliveira. Estabilidade de Voo. Conteúdo das apresentações das aulas

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1 João Oliveira Estabilidade de Voo Conteúdo das apresentações das aulas Versão de 24 de Novembro de 2014

2 Conteúdo 1 Conceitos introdutórios e notação Equilíbrio e estabilidade Referenciais e convenções Características geométricas das asas Resultantes das forças aerodinâmicas Coeficiente de sustentação e ângulo de ataque Equilíbrio, Estabilidade e Controlo Longitudinais Voo de uma asa: equilíbrio e estabilidade Sustentação e momento de picada de uma aeronave Sustentação e momento de picada em função do ângulo de ataque Equilíbrio, Estabilidade e Controlo Longitudinais Estabilidade com Manche Livre e Forças de Controlo Momento de charneira de superfície de controlo Sustentação e momento de picada com manche livre Compensadores e equilíbrio com manche livre Equilíbrio com deflexão do compensador Forças de Controlo Efeitos de superfícies hiper-sustentadoras e da propulsão na estabilidade longitudinal Influência de superfícies hiper-sustentadoras Influência da propulsão no equilíbrio e na estabilidade Estabilidade Lateral-Direccional Estabilidade direccional Estabilidade lateral Equações do Movimento Referenciais Ângulos de Euler e matrizes de rotação Equações de Euler Rotores em movimento Sistemas de eixos do corpo i

3 7 Estados Estacionários e Manobras Forças e momentos aplicados a uma aeronave Estados estacionários longitudinais Estados estacionários laterais Manobras Manobra de descida-subida simétrica Manobra de Viragem Estacionária Teoria para Pequenas Perturbações Definição do estado estacionário Linearização das equações Forma geral das equações Derivadas de Estabilidade Relações entre derivadas de estabilidade dimensionais e adimensionais Derivadas relativas ao movimento longitudinal Derivadas relativas ao movimento lateral Estabilidade Dinâmica Longitudinal Introdução Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos longitudinais: características típicas Modos longitudinais aproximados Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática Efeito da posição do centro de massa Efeito do Vento nos Modos Longitudinais Modos longitudinais em atmosferas estratificadas Estabilidade Dinâmica Lateral Modos laterais Modos laterais aproximados Bibliografia 174 ii

4 Capítulo 1 Conceitos introdutórios e notação 1.1 Equilíbrio e estabilidade O nosso objectivo será analisar estados de equilíbrio do voo de aeronaves e a sua estabilidade. Comecemos pois por recordar as noções de equilíbrio e estabilidade de um sistema. Um sistema num estado de equilíbrio permanece nesse estado se não houver pertubações pela acção de forças ou momentos. Habitualmente, a condição de equilíbrio mecânico de um sistema é F = 0 M = 0 A estabilidade de um estado de equilíbrio pode ser estática ou dinâmica. Relativamente à estabilidade estática, um estado de equilíbrio é estável se o sistema voltar ao estado de equilíbrio após dele ser afastado; um estado de equilíbrio é instável se o sistema se continuar a afastar do estado de equilíbrio após o afastamento inicial; um estado de equilíbrio é neutro se após um afastamento inicial, o sistema não tende nem a retornar ao equilíbrio nem a dele se afastar. A Estabilidade dinâmica de um estado de equilíbrio diz respeito ao modo como o sistema evolui depois de afastado do estado de equilíbrio: um sistema dinamicamente estável tende assimpoticamente para o estado de equilíbrio, enquanto que um sistema dinamicamente instável sofre oscilações com amplitude crescente ou afasta-se cada vez mais da posição de equilíbrio. 1

5 Equilíbrio Estável Equilíbrio Instável Equilíbrio Neutro Figura 1.1: Estabilidade estática do equilíbrio Equilíbrio dinamicamente estável Equilíbrio dinamicamente instável Figura 1.2: Estabilidade dinâmica do equilíbrio. 1.2 Referenciais e convenções Para se poder analisar o movimento de uma aeronave é necessário de definir os referenciais nos quais a análise será realizada. Considerar-se-á como referencial inercial um referencial ligado à Terra. Os efeitos de curvatura da Terra serão desprezados e a força gravítica terá sempre a direcção vertical. Na figura 1.3 representa-se o referencial ligado à aeronave. Os eixos estão definidos de forma que Cxz: é o plano de simetria Cx: ao longo da fuselagem Cz: «para baixo» Cy: perpendicular ao plano de simetria, formando triedro directo com os outros dois eixos As componentes segundo x, y, z da velocidade linear v são designadas por v = (u, v, w). As componentes da velocidade angular são ω = (p, q, r ), em que: p: velocidade angular de rolamento (roll) q: velocidade angular de picada (pitch) r : velocidade angular de guinada (yaw) As componentes segundo x, y, z das forças aplicadas à aeronave serão designadas simplesmente por F = (X, Y, Z), enquanto que as componentes dos momentos são M = (L, M, N), em que 2

6 Figura 1.3: Sistema de eixos ligado à aeronave. L: momento de rolamento M: momento de picada L: momento de guinada 1.3 Características geométricas das asas Planta da asa Para uma asa de planta rectangular (Figura 1.4), define-se c: corda (chord) b: envergadura (span) A: alongamento (aspect ratio) S: área da asa (em planta) Figura 1.4: Asa de planta rectangular 3

7 Note-se que o alongamento é definido por: A = b c = b2 S. (1.1) A segunda forma é válida também para asas não rectangulares. No caso de uma asa com flecha, cuja planta está representada na figura 1.5, a corda pode variar ao longo da envergadura. Temos as seguintes definições: c t : corda do bordo marginal (tip chord) c r : corda da raiz da asa (root chord) c: corda média, calculada a partir de c(y) Λ: ângulo de flecha (sweep angle), neste caso do bordo de ataque (LE: leading edge) λ: afilamento (taper ratio): λ = c t c r Figura 1.5: Asa de planta com flecha Ângulo de diedro A figura 1.6 representa um avião com asas com ângulo de diedro Γ positivo. Figura 1.6: Ângulo de diedro Γ : ângulo de diedro Γ > 0: dihedral Γ < 0: anhedral 4

8 1.3.3 Perfil da asa No caso de um perfil simétrico, a linha média entre o intra dorso e o extra dorso da asa é um segmento de recta. Figura 1.7: Perfil simétrico (em cima) e perfil com curvatura positiva (em baixo). Na figura, LE designa o bordo de ataque (leading edge) e TE o bordo de fuga (trailing edge). Para uma asa com perfil com curvatura, a linha média entre o intra dorso e o extra dorso da asa é uma linha curva. A curvatura é positiva se a concavidade da linha média está para baixo, e é negativa no caso oposto. O perfil de uma asa pode variar ao longo da envergadura 1.4 Resultantes das forças aerodinâmicas Se uma asa se move num fluido ou se existe um escoamento em torno da asa, produzem-se forças e momentos aerodinâmicos Ângulo de ataque Ângulo de ataque: ângulo entre a linha de referência e a direcção do escoamento. É designado por α. Podem definir-se vários ângulos de ataque, dependendo da linha de referência que se toma. Se a linha de referência é a linha de corda, temos o ângulo de ataque «geométrico» da asa Sustentação, resistência aerodinâmica e momento de picada As forças aerodinâmicas distribuem-se ao longo de todo o perfil. Este sistema de forças distribuídas é equivalente a uma força resultante e a um momento resultante 5

9 (ver figura 1.9). Por conveniência, a força resultante é decomposta em duas direcções perpendiculares: a componente na direcção da velocidade do escoamento é a resistência aerodinâmica (drag, D), a componente perpendicular à velocidade é a sustentação (lift, L). O centro de pressões é o ponto relativamente ao qual o sistema de forças aerodinâmicas é equivalente apenas a sustentação + resistência, não havendo momento resultante. No entanto, o centro de pressões não é um ponto fixo, depende do escoamento em torno do perfil alar. Em particular, a posição do centro de pressões desloca-se para o bordo de ataque da asa à medida que o ângulo de ataque aumenta (ver figura 1.10). A utilização prática do centro de pressões fica deste modo comprometida porque é necessário calcular a sua posição sempre que se altera o ângulo de ataque da asa, o que é deveras inconveniente Centro aerodinâmico De acordo com a teoria aerodinâmica de asas delgadas, existe um ponto fixo relativamente ao qual o momento de picada M não depende do ângulo de ataque, e que se encontra a 1/4 de corda. A esse ponto dá-se o nome de centro aerodinâmico. Numa asa real o centro aerodinâmico não se encontra habitualmente no ponto x ac = c/4. Porém, esta é uma boa aproximação em muitos casos. O momento de picada relativamente ao centro aerodinâmico M ac é constante, ou seja, é independente do ângulo de ataque. O seu valor depende da curvatura do perfil. Para um perfil simétrico, M ac = 0, para um perfil com curvatura positiva, M ac < 0, e para um perfil com curvatura negativa, M ac > 0. Podemos finalmente concluir que as forças aerodinâmicas aplicadas numa asa são equivalentes a: resultante aplicada no centro aerodinâmico, decomposta em sustentação L (perpendicular à velocidade) e resistência aerodinâmica D (na direcção da velocidade), e momento de picada M acw relativamente ao C.A. (ver figura 1.11). 1.5 Coeficiente de sustentação e ângulo de ataque Coeficiente de sustentação de perfis Para um escoamento de um fluido com massa volúmica ρ e velocidade V, a pressão dinâmica define-se como: p d = 1 2 ρv 2. (1.2) Verifica-se que a sustentação e a resistência aerodinâmica de uma asa são (aproximadamente) proporcionais à pressão dinâmica e à área da asa. Os outros factores, tais Figura 1.8: Ângulo de ataque 6

10 equivalente a L e D aplicados no centro de pressões (c.p.) OU L, D e M P aplicados no ponto P (arbitrário) Figura 1.9: As forças aerodinâmicas são equivalentes a resultante ou a resultante + momento Figura 1.10: O centro de pressões desloca-se para o bordo de ataque à medida que aumenta o ângulo de ataque. Nota: O aumento de L e D com α não está representado. 7

11 Figura 1.11: Centro aerodinâmico como a geometria da asa (perfil e planta) e o ângulo de ataque, podem ser incluídos num coeficiente adimensional. Definimos coeficiente de sustentação e coeficiente da resistência aerodinâmica como: C L = C D = L p d S = D p d S = L 1 2 ρv 2 S D 1 2 ρv 2 S (1.3) (1.4) Habitualmente, convém distinguir os efeitos devidos apenas ao perfil (o que equivale a considerar uma asa de envergadura infinita, em que o escoamento pode ser considerado bidimensional) dos efeitos devidos ao alongamento, forma da asa, etc. Usaremos para isso a notação L e C L para a sustentação e respectivo coeficiente adimensional para asas finitas e l e C l para os casos correspondentes a perfis («asas infinitas»). Nota importante: os símbolos l e C l só serão usados com este significado nesta aula/capítulo. A figura 1.12 mostra a variação do coeficiente de sustentação com o ângulo de ataque, para asas com perfil simétrico e com curvatura positiva. A forma das curvas é semelhante, mas os valores de C lmax e de C l0 = C l (α = 0) são diferentes. Na figura 1.13 mostra-se o efeito da curvatura do perfil na curva C l vs. α. A forma das curvas é semelhante, sofrendo uma translação para cima quando a curvatura aumenta. Por isso, quanto maior for a curvatura do perfil, maior é o valor de C lmax e de C l0 = C l (α = 0). As asas com curvatura positiva permitem pois ter sustentação com ângulos de ataque nulos. Após atingir o valor C lmax, se o ângulo de ataque α continuar a aumentar, o coeficiente de sustentação diminui: a asa entra em perda. Habitualmente vamos estar interessados em que o ângulo de ataque esteja dentro da zona de variação linear do C l com α, bem longe da zona de perda. O declive da curva do C l em função do ângulo de ataque, constante na zona linear, é designada por C lα : C lα = C l α De acordo com a teoria de perfis delgados o C lα 8 tem um valor bem determinado:

12 Perfil simétrico Perfil com curvatura positiva Figura 1.12: Variação do coeficiente de sustentação com o ângulo de ataque. Figura 1.13: Efeito da curvatura do perfil na curva C l vs. α 9

13 Figura 1.14: A sustentação de um perfil é causada pela vorticidade do escoamento em torno do perfil. Fonte: Aircraft Flight, Barnard & Philpott C lα = 2π rad / o. Esta aproximação permite ter uma ideia dos valores típicos do C lα, mas para perfis reais é necessário usar teorias mais exactas. Em primeira aproximação pode afirmar-se que a sustentação de um perfil é causada pela vorticidade do escoamento em torno do perfil (figura 1.14). Se uma aeronave está inicialmente em repouso num fluido ideal, a vorticidade total é nula. Quando a aeronave começa a voar, forma-se um vórtice que permanece ligado à asa e que provoca sustentação e é libertado um outro vórtice, de vorticidade oposta, de modo que a vorticidade total se mantenha nula, como representado na figura Note-se que a jusante da asa o escoamento é deflectido verticalmente para baixo (downwash), como consequência do vortice ligado e portanto do aparecimento da sustentação. O downwash será tanto maior quanto maior for a sustentação criada. Figura 1.15: Vórtice ligado, vórtice libertado e downwash 10

14 Figura 1.16: Vórtice do bordo marginal. Fonte: Aircraft Flight, Barnard & Philpott Coeficiente de sustentação de asas finitas Numa asa infinita o escoamento pode ser considerado bidimensional e a única coisa que interessa é o perfil (ou distribuição de perfis...). Numa aeronave real a asa é finita e perto do bordo marginal da asa o escoamento torna-se tridimensional. Como a pressão é superior na parte inferior da asa, o ar tende a deslocar-se da parte inferior para a parte superior e forma-se um vórtice do bordo marginal. Este vórtice cria na asa um campo de velocidades verticais para baixo que tem como efeito uma diminuição do ângulo de ataque efectivo na asa, levando a uma diminuição da sustentação e também a uma diminuição do declive da curva do coeficiente de sustentação vs. α. A importância dos efeitos tridimensionais é tanto maior quanto menor for o alongamento da asa. Entre os declives das curvas do coeficiente de sustentação com o ângulo de ataque para asas finitas (C Lα ) e para perfis ou asas infinitas (C lα ) verifica-se que: C Lα < C lα C Lα decresce mais para A menores A figura 1.17 exemplifica a variação do coeficiente de sustentação para asas com o mesmo perfil mas com alongamentos diferentes. É possível estabelecer relações mais explícitas entre C Lα e C lα em muitas situações. O caso mais simples é o de uma distribuição elíptica de sustentação, em que C Lα = C lα A A + 2 (1.5) Na zona de linearidade com α, o coeficiente de sustentação é dado por C L = C L0 + C Lα α (1.6) O coeficiente de resistência aerodinâmica (drag) pode ser dado através da polar: C D = C D0 + C Di (1.7) C Di = 1 πea C2 L (coeficiente de resistência induzida) (1.8) 11

15 Figura 1.17: Variação do C L com α para asas com o mesmo perfil e alongamentos diferentes Figura 1.18: Ângulo de ataque em relação à linha de corda Ângulo de ataque absoluto Na relação (1.6), exemplificada na figura 1.18, aparece o coeficiente de sustentação para ângulo de ataque nulo, C L0. Normalmente é conveniente medir os ângulos de ataque em relação à linha de sustentação nula (l. s. n.), que é direcção do escoamento correspondente ao ângulo de ataque que torna a sustentação nula (C L = 0), com o se Figura 1.19: Ângulo de ataque absoluto: medido em relação à linha de sustentação nula 12

16 exemplifica na figura Nesse caso, temos: C L = C L0 + C Lα α (1.9) α L=0 = C L 0 C Lα (1.10) α abs = α α L=0 (1.11) α abs = α + C L 0 C Lα (1.12) Os ângulo de ataque medidoa relativamente à linha de sustentação nula são chamados ângulos de ataque absolutos, α abs, relativamente aos quais se tem simplesmente: Note-se que o declive C Lα origem da curva. C L = C Lα α abs (1.13) não se altera, porque apenas fizemos uma mudança de 13

17 Capítulo 2 Equilíbrio, Estabilidade e Controlo Longitudinais Neste capítulo pretende-se estabelecer condições de equilíbrio e estabilidade para uma aeronave em voo rectilíneo. Trataremos apenas do equilíbrio e da estabilidade longitudinais, isto é, relativos aos movimentos que fazem a aeronave manter-se no seu plano de simetria. O equilíbrio e estabilidade laterais serão tratados noutro capítulo. O equilíbrio e a sua estabilidade dizem respeito não só às forças mas também aos momentos: para uma aeronave se manter em voo rectilíneo com velocidade constante, não deverá ter nem acelerações lineares nem acelerações angulares. Partindo da análise do caso mais simples, o de uma asa voadora, e introduzindo pouco a pouco os outros elementos de uma aeronave com configuração convencional, verificar-se-á que para assegurar a estabilidade do equilíbrio é necessário que a aeronave disponha de um estabilizador horizontal e que o leme de profundidade é uma superfície de controlo necessária para o piloto poder alterar a velocidade de equilíbrio a que a aeronave voa. 2.1 Voo de uma asa: equilíbrio e estabilidade Começaremos por procurar verificar em que condições uma asa com perfil com curvatura positiva e sem torção pode voar em equilíbrio e verificar se esse equilíbrio é estável Equilíbrio de uma asa voadora As condições de equilíbrio a verificar são, no referencial da asa, ( ) d V F = m dt + ω V = 0 (2.1) ( ) d H M G G = dt + ω H G = 0 (2.2) Vamos considerar o caso simples de um voo rectilíneo horizontal (p = q = r = 0), com velocidade constante ( u = v = ẇ = 0), e sem derrapagem (v = 0) de uma asa com 14

18 Figura 2.1: Forças e momentos aerodinâmicos aplicados numa asa em voo com velocidade V e ãngulo de ataque α w. perfil com curvatura positiva e sem torção. Supomos que a asa dispõe de um sistema de propulsão que lhe permite vencer a resistência aerodinâmica. Pretendemos saber em que condições é que a asa pode voar em equilíbrio e se esse equilíbrio é estável. Começaremos por determinar que forças e momentos estão aplicados na asa. Forças aerodinâmicas As forças e momentos aerodinâmicos aplicados à asa voadora que se desloca com velocidade V com um ângulo de ataque α w (medido relativamente à sua linha de sustentação nula) estão representados na figura 2.1, onde L designa a sustentação, D a resistência aerodinâmica e M ac o momento de picada relativo ao centro aerodinâmico. A distância (na direcção x) entre o bordo de ataque da asa e o centro de massa é representada por h c. Dito doutro modo, h é a distância entre o bordo de ataque da asa e o centro de massa, adimensionalizado pela corda média c. A distância (na direcção x) entre o bordo de ataque da asa e o seu centro aerodinâmico é representado por h nw c, ou seja, h nwb é a distância entre o bordo de ataque da asa e o seu centro aerodinâmico, adimensionalizado pela corda média c. Para além das forças aerodinâmicas, estão também aplicadas à asa a força de propulsão, cuja linha de acção admitimos ser Gx, e o peso, cuja linha de acção é Gz. Para pequenos ângulos de ataque α são válidas as seguintes aproximações: cos α 1 sin α α Estas aproximações são válidas se α 2 1, com α em radianos. Note-se que 0.3 rad 17, pelo que esta aproximação é razoável para a maioria dos casos de interesse. 15

19 A componente segundo x das forças aerodinâmicas é, pela figura 2.1, (F A ) x = L sin α w D cos α w Lα w D. (2.3) Supomos que a força de propulsão T é a necessária para garantir o equilíbrio na direcção Cx: T = D cos α w L sin α w D Lα w. (2.4) Uma vez que a força de propulsão é determinada pelo piloto, esta condição pode ser sempre verificada neste caso (voo rectilíneo horizontal). A componente segundo z das forças aerodinâmicas é (F A ) z = L cos α w + D sin α w L. (2.5) A condição de equilíbrio para as forças segundo Gz é Fz = 0 W = L cos α w + D sin α w L. (2.6) Concluímos que, de forma aproximada, para haver equilíbrio tem de se verificar L = W. (2.7) Momento de picada relativamente ao centro de massa O momento de picada relativamente ao centro de massa é dado por M G = M acw + (h c h nw c) [L cos α w + D sin α w ] + z G [L sin α w D cos α w ] (2.8) Para pequenos valores do ângulo de ataque α, M G = M acw + (h c h nw c) [L + Dα w ] + z G [Lα w D] (2.9) Usando os coeficientes de sustentação (1.3) e de resistência aerodinâmica (1.4), C L = L 1 2 ρv 2 S, C D D = 1 2 ρv 2 S, e definindo o coeficiente do momento de picada relativamente ao centro de massa como M C m = 1 2 ρv 2 S c, (2.10) obtemos, para pequenos ângulos α w C m = C mac w + (h h nw )C Lw + z G c [C L w α w C Dw ] (2.11) Supondo agora que o centro de massa da asa voadora se encontra aproximadamente no eixo x, ou seja, que z Ḡ c 1 (2.12) e atendendo a que α w é pequeno e a que habitualmente em voo de cruzeiro C Dw C Lw, o último termo pode ser desprezado face aos outros dois. Obtemos então C mw = C mac w + (h h nw )C Lw (2.13) 16

20 Figura 2.2: Variação de C m com C L Sustentação e velocidade de equilíbrio A condição (aproximada) de equilíbrio para as forças segundo z, (2.7) permite encontrar um valor para o coeficiente de sustentação que garante o equilíbrio se a asa voar a uma velocidade V : L = W C Lw = W 1 2 ρv 2 S. (2.14) No caso do momento de picada, a condição de equilíbrio é M = 0 C m = 0, pelo que C mw = C mac w + (h h nw )C Lw = 0. (2.15) Como C mac w < 0 e C L > 0, é sempre possível encontrar um valor de C Lw que garante o equilíbrio do momento de picada: C Leq = C m ac w (h h nw ), como se mostra na figura 2.2. A este valor C Leq corresponde uma velocidade de equilíbrio dada por C Lw = W 1 2 ρv V 2 W = 2 1 S 2 ρc L w S. C Leq = C m ac w (h h nw ), logo V eq = W (h h n w ) 1 2 C m ac w ρs. (2.16) Na equação (2.16) os parâmetros que estão fixos em cada situação de voo são W, h nw, C mac w, ρ e S. O único parâmetros que é fácil modificar é a posição do centro de massa, h. Logo, V eq fica determinada por h (posição do CM)! Como se sabe, existem outras formas mais expeditas de controlar a velocidade de um avião, através do uso de lemes de profundidade (elevator) ou outras superfícies de controlo. No entanto, de momento estamos apenas a considerar o equilíbrio uma asa sem superfícies de controlo. 17

21 Figura 2.3: Variação de C L (esquerda) e C m (direita) com α w Figura 2.4: Efeito da variação de α no C L Estabilidade do ponto de equilíbrio A variação de C m com C L é linear, como mostra a equação (2.13). Existe um ponto de equilíbrio, para o qual C m = 0. Dado que o coeficiente de sustentação depende do ângulo de ataque, o coeficiente do momento vai também depender de α w. Na zona de linearidade, C Lw = C Lαw α w C m = C mac w + C Lαw (h h nw )α w, como se representa na figura 2.3. O valor de α eq é o que garante C m = 0, e este valor por sua vez, determina C Leq. Para determinarmos se este ponto de equilíbrio é estável, vejamos o que acontece se por alguma razão o ângulo de ataque for ligeiramente aumentado relativamente a α eq. Como se pode verificar pela figura 2.4, se existir uma perturbação no voo que fizer α aumentar, o coeficiente de sustentação C L aumentará também, o que leva a uma resultante não nula na vertical, conduzindo a uma aceleração vertical para cima. Esta aceleração faz aparecer uma componente vertical da velocidade da asa, para cima, que provoca uma diminuição do ângulo de ataque, o qual, por sua vez, implica uma 18

22 Figura 2.5: Efeito da variação de α no C m. diminuição do C L e um retorno à situação inicial. Uma situação em tudo semelhante, mas com os sentidos invertidos, aconteceria se a perturbação no voo fizesse diminuir o ângulo de ataque. Conclui-se que, relativamente ao movimento na direcção vertical, o voo é estável. Na figura 2.5 representa-se o efeito sobre o momento de picada de um aumento do ângulo de ataque. Verifica-se que um aumento de α leva a um aumento de C m, o que conduz a uma aceleração angular de picada q > 0 e portanto ao aparecimento de uma velocidade angular de picada q > 0, de modo que o bordo de ataque da asa levanta; isto leva a um aumento ainda maior de α, que por sua vez faz C m aumentar ainda mais e o bordo de ataque levantar ainda mais etc. Produz-se um afastamento da situação inicial, pelo que se conclui que o equilíbrio não é estável relativamente ao momento de picada. Chegar-se-ía à mesma conclusão se inicialmente se admitisse uma diminuição do ângulo de ataque. Em resumo, conclui-se que uma asa pode voar em equilíbrio, mas esse equilíbrio não é estável. Para se ter um ponto de equilíbrio estável a configuração projectada deve conduzir a uma variação do C m com α como mostrado na figura 2.6, cortando o eixo dos α de modo a garantir o equilíbrio e com um declive negativo de modo a garantir estabilidade. O valor de C m para α = 0 terá então de ser positivo. A maneira mais frequente de conseguir uma variação deste tipo é acrescentar um estabilizador horizontal, e é este tipo de configuração que analisaremos em seguida. Note-se, finalmente, que é possível projectar asas voadoras, mas é necessário nesse caso usar asas com perfil, flecha e torção não habituais na maioria das aeronaves convencionais. 2.2 Sustentação e momento de picada de uma aeronave Vimos que uma asa voadora pode voar em equilíbrio, mas esse equilíbrio não é estável. Uma maneira de resolver este problema é acoplar um estabilizador horizontal à asa. Nas configurações convencionais a asa e o estabilizador estão ligados a uma fuselagem, e o sistema de propulsão pode estar ligado à asa ou à fuselagem. 19

23 Figura 2.6: Forma da variação de C m com α desejável para se conseguir um voo em equilíbrio estável. Note-se que, por enquanto, não nos vamos preocupar com o controlo da velocidade de equilíbrio, que se consegue com um leme de profundidade (elevator). O equilíbrio do voo e a sua estabilidade dependem da sustentação e do momento de picada da aeronave. Por isso, começaremos por determinar as contribuições devidas à asa+fuselagem, ao sistema de propulsão e ao estabilizador horizontal separadamente e usaremos os índices wb (de wing-body), P (de propulsão) e t (de tail) para indicar as respectivas contribuições Contribuição da asa + fuselagem Os escoamentos em torno da asa e da fuselagem interferem mutuamente. No entanto, a asa é a superfície sustentadora mais importante e a sua contribuição par L e M é a mais importante. Por isso podemos admitir que a contribuição da asa+fuselagem para a sustentação e o momento de picada é semelhante à da asa, variando apenas a posição do centro aerodinâmico, o momento de picada relativamente ao CA e o declive da curva C L vs. α: h nwb < h nw 0.25 C Lαwb < C Lαw C mac wb < C mac w < 0 Para simplificar a escrita vamos usar a seguinte notação simplificada para o declive da curva C L vs. α: a C Lα = C L α. (2.17) Por exemplo, a w = C Lαw e a wb = C Lαwb. Como referido acima, admite-se que o coeficiente do momento de picada relativamente ao centro de massa da aeronave tem a mesma forma da contribuição da asa: C mwb = C mac wb + (h h nwb )C Lwb. (2.18) 20

24 Figura 2.7: Efeito do downwash na velocidade do escoamento incidente no estabilizador Na zona de linearidade de C L com α podemos escrever C Lwb = a wb α wb (2.19) C mwb = C mac wb + (h h nwb )a wb α wb (2.20) Note-se que α wb é medido relativamente à linha de sustentação nula da asa+fuselagem, que não é a mesma que a linha de sustentação nula apenas da asa Contribuição do sistema propulsivo As contribuições do sistema propulsivo para o momento de picada provém do momento das forças de propulsão, que é nulo se a linha de propulsão passa pelo CM, e da interação aerodinâmica (perturbação no escoamento causada pela propulsão). Dada a grande variedade de sistemas de propulsão, é difícil encontrar expressões gerais. Habitualmente admite-se que a linha de propulsão passa pelo centro de massa e sempre que seja necessário pode-se incluir um termo C mp = (C mp ) 0 + (C mp ) α α wb, (2.21) admitindo que a variação do C mp com o ângulo de ataque é linear. Os coeficientes (C mp ) 0 e (C mp ) α terão de ser determinados em cada caso Contribuição do estabilizador O estabilizador horizontal é uma superfície sustentadora. A cauda isolada tem um comportamento semelhante a uma asa. Porém, quanto montada numa aeronave, o escoamento incidente no estabilizador é alterado pela interferência da asa e da fuselagem. O aspecto mais importante é o downwash. Na figura 2.7, V representa a velocidade do escoamento incidente na asa, V a velocidade efectiva («média») do escoamento na cauda e V d a velocidade induzida pelo downwash. A figura 2.7 permite concluir que o downwash conduz a uma diminuição do ângulo de ataque efectivo no estabilizador e a uma alteração do módulo da velocidade (que é habitualmente desprezável). Sustentação do estabilizador Definimos o ângulo de downwash ε como o ângulo que traduz a diminuição média do ângulo de ataque local. Na figura 2.8 a sustentação L t e a resistência aerodinâmica 21

25 Figura 2.8: Sustentação e resistência aerodinâmica na cauda e ângulos de ataque e de downwash D t do estabilizador são definidos relativamente à direcção de V, que é a velocidade efectiva («média») do escoamento na cauda. A sustentação total é a componente V (velocidade incidente na asa) da força aerodinâmica resultante. A contribuição do estabilizador horizontal para a sustentação total é: L t cos ε D t sin ε L t (2.22) Para a adimensionalização da sustentação da cauda usa-se a pressão dinâmica na cauda ( 1 2 ρv 2 ) e a área do estabilizador (S t ). Logo No regime linear, C Lt = L t 1 2 ρv (2.23) 2 S t C Lt = a t α t (2.24) Note-se que a t e α t devem ser medidos in situ, não com a cauda isolada. Deste modo a t inclui já os efeitos da interferência da asa e da fuselagem no escoamento incidente no estabilizador. A sustentação total da aeronave (L) é a soma da contribuição da asa+fuselagem, L wb e da contribuição da cauda, L t : L = L wb + L t (2.25) Para a adimensionalização da sustentação total convém ter em conta que a asa constitui a contribuição mais importante (de longe!) para a sustentação. Por isso (e porque as contas ficam facilitadas) adimensionaliz-se a sustentação total pela área da asa S S w. L C L = 1 2 ρv 2 S = L wb 1 2 ρv 2 S + L t 1 2 ρv 2 S = C L wb + L t 1 2 ρv (2.26) 2 S L t = 1 2 ρv 2 S t C Lt = 1 ( V 2 ρv 2 ) 2 S t S V S C L t = 1 2 ρv 2 S t S η t S C L t (2.27) em que ( V ) 2 η t 1 (2.28) V admitindo que o módulo da velocidade é pouco afectado pelo downwash. 22

26 Figura 2.9: Distâncias entre o centro aerodinâmica da cauda e o centro de massa da aeronave. Momento de picada relativo ao CM S t C L = C Lwb + η t S C L t C Lwb + S t S C L t (2.29) A contribuição da cauda para o momento de picada relativamente ao centro de massa da aeronave é (ver figura 2.9): M t = M act + l t [ L t cos(α wb ε) D t sin(α wb ε)] + Faremos as seguintes aproximações: (α wb ε) pequeno, logo cos(α wb ε) 1, sin(α wb ε) α wb ε. D t L t. z t l t. z t [ D t cos(α wb ε) + L t sin(α wb ε)] Além disso, M act = 0 se o perfil for, como é habitual, simétrico. Das aproximações anteriores conclui-se que na segunda parcela L t cos(α wb ε) D t sin(α wb ε). Além disso, a última parcela é desprezável face à segunda. Com estas aproximações, M t = l t L t + M act. (2.30) Mas, como ( ) 1 L t = 2 ρv 2 S t S η t S C L t, (2.31) o coeficiente adimensional da contribuição do estabilizador horizontal para o momento de picada total é C mt = M t 1 2 ρv 2 S c = η t l t c 23 S t S C L t + η t S t S C m act. (2.32)

27 Figura 2.10: Distância entre o centro aerodinâmica do estabilizador e o centro de massa l t ou o centro aerodinâmica l t da aeronave. Define-se razão de volume do estabilizador horizontal como Assim, podemos concluir finalmente que C mt V H = l t S t c S. (2.33) = η t V H C Lt + η t S t S C m act. (2.34) O centro de massa (CM) de uma aeronave não é fixo, pelo que V H depende da posição deste. Convém-nos explicitar a posição do CM nas nossas equações e para isso introduzimos a distância entre os centros aerodinâmicos da asa+fuselagem e do estabilizador horizontal, l t. Pela figura 2.10 vemos que Definindo podemos escrever lt = l t + (h h nwb ) c. (2.35) V H = l t S t c S, (2.36) V H = V H + S t S (h h n wb ). (2.37) A equação (2.34) pode então escrever-se numa forma que explicita a dependência da posição do centro de massa: C mt = η t V H C Lt + C Lt η t S t S (h h n wb ) + η t S t S C m act. (2.38) O momento de picada total é dado pela soma das várias contribuições, C m = C mwb + C mt + C mp. Substituindo as expressões de cada uma das contribuições, obtém-se C m = C mac wb + C Lwb (h h nwb ) + C Lt η t S t S (h h n wb ) η t V H C Lt + C mp + η t S t S C m act. (2.39) Dado que C L = C Lwb + η t S t S C L t, temos C m = C mac wb + C L (h h nwb ) η t V H C Lt + C mp 24 + η t S t S C m act. (2.40)

28 Habitualmente podemos admitir que η t 1. Por outro lado, frequentemente o perfil dos estabilizadores é simétrico, pelo que C mact = 0. Logo: C m = C mac wb + C L (h h nwb ) V H C Lt + C mp. (2.41) C mα e Ponto neutro O coeficiente C mα (pitch stiffness) é de grande importância para a estabilidade de uma aeronave. Para o calcular derivamos (2.41) C mα C m α = C m ac wb α Por definição de centro aerodinâmico, + C L α (h h nwb ) V H C Lt α + C m P α. (2.42) Logo C mac wb α = 0. (2.43) C Lt C mα = C Lα (h h nwb ) V H α + C m P α. (2.44) A condição de estabilidade é C mα < 0. Ora, o valor de C mα depende da posição do CM. Logo, variando h podemos fazer C mα positivo ou negativo. A posição do CM que torna C mα = 0 separa regiões de estabilidade e instabilidade. O ponto neutro h n pode definir-se como posição que o CM do avião teria de ter para que C mα = 0. O ponto neutro é então o centro aerodinâmico do avião: o momento de picada calculado relativamente a ele não depende do ângulo de ataque. Para a determinação do ponto neutro: Logo: 0 = C mα = C m ac wb α h n = h nwb 1 ( Cmac wb C Lα α Substituindo na expressão de C mα, obtém-se + C L α (h n h nwb ) V H C Lt α + C m P α. (2.45) V H C Lt α + C m P α. ) (2.46) C mα = C Lα (h h n ). (2.47) A margem estática K n define-se como a distância (adimensional) entre o centro de massa e o ponto neutro: K n = h n h. Logo, podemos escrever Daqui podemos concluir que K n < 0 C mα > 0: a aeronave é instável. K n > 0 C mα < 0: a aeronave é estável. K n > 0 h < h n : CM à frente do PN é estável. C mα = C Lα K n. (2.48) Quando mais à frente do PN estiver o CM, maior será a margem estática e maior a estabilidade estática do avião, mas uma estabilidade estática exagerada diminui manobrabilidade do avião. 25

29 Definição alternativa de ponto neutro Por vezes define-se ponto neutro como a localização do CM para o qual dc m dc L = 0. (2.49) Ora, esta definição só coincide com a anterior em algumas condições de voo bem definidas (ex: voo de planeio de uma aeronave rígida a baixo número de Mach), pois só nesse caso C m e C L dependem apenas de α. Nesse caso, ) e portanto dc m dc L dc m dc L = ( Cm α ( CL α ) = 0 C m α = 0. Mas tanto C L como C m dependem não apenas de α mas também do número de Mach (efeitos de compressibilidade) e da pressão dinâmica (efeitos aeroelásticos). A definição da equação (2.49) é por isso, quando muito, uma aproximação (apesar de muito usada e frequentemente útil). 2.3 Sustentação e momento de picada em função do ângulo de ataque Como habitualmente, vamos admitir que a aeronave está a voar com um ângulo de ataque dentro da zona de linearidade. Deste modo, as forças de sustentação, e portanto com momento de picada total variam linearmente com o ângulo de ataque. Iremos determinar as expressões para C L e C m em função do(s) ângulo(s) de ataque, bem como expressões para a posição do ponto neutro h n Coeficiente de sustentação total Vamos analizar uma aeronave numa configuração convencional: asa + fuselagem + estabilizador horizontal. Na figura 2.11 estão representados os ângulos de ataque na asa e no estabilizador (tendo em conta os ângulos de incidência do estabilizador e o ângulo de downwash) e as respectivas forças de sustentação. Como admitimos estar na zona de linearidade, os coeficientes de sustentação na asa e na cauda são dados por C Lwb = a wb α wb, (2.50) C Lt = a t α t. (2.51) Tendo em conta a figura 2.12, a relação entre os ângulos de ataque absolutos na asa+fuselagem α wb e no estabilizador α t é α t = α wb i t ε. (2.52) 26

30 Figura 2.11: Ângulos de ataque e sustentação na asa e no estabilizador. Figura 2.12: Relação entre ângulos de ataque na asa e no estabilizador, e sustentação no estabilizador. 27

31 Podemos agora determinar o coeficiente de sustentação da cauda em função de α wb : C Lt = a t α t = a t (α wb i t ε). (2.53) O ângulo de downwash é proporcional à sustentação criada pela asa. Por isso podemos admitir que varia linearmente com α wb : ε = ε 0 + ε α α wb = ε 0 + ε α α wb. (2.54) Nesta equação ε 0 é a contribuição do campo de velocidades induzido pela fuselagem e torção da asa, não variando com o ângulo de ataque, e ε α é contribuição da esteira de vórtices do bordo de fuga, cuja intensidade é proporcional a C L, e portanto a α wb. Escrevendo agora a equação (2.53) numa forma que explicita os termos constantes e os que dependem de α wb, obtém-se C Lt = a t [α wb (1 ε α ) (i t + ε 0 )]. (2.55) Usando (2.50) e (2.55) na equação para o coeficiente de sustentação total (2.29) obtémse uma expressão em função de α wb C L = a wb α wb + a t α wb (1 ε α ) S t S η a t(i t + ε 0 ) S t S η ] = a wb [ 1 + a ts t a wb S η(1 ε α) α wb a t S t S η(i t + ε 0 ). (2.56) Podemos escrever a expressão anterior na forma com C L0 C L = C L0 + a α wb, (2.57) [ a = a wb 1 + a ] ts t a wb S (1 ε α)η, (2.58) = a t S t S (i t + ε 0 )η. (2.59) Note-se que C L0 < 0 e que habitualmente podemos usar a aproximação η 1. O ângulo de ataque absoluto da aeronave total, representado simplesmente por α, é o ângulo de ataque do escoamento incidente medido relativamente à linha de sustentação nula da aeronave. Assim, Daqui podemos deduzir α = α wb + C L 0, ou seja, a C L = C L0 + aα wb = aα. (2.60) α α wb = a t S t a S η(i t + ε 0 ). (2.61) 28

32 Figura 2.13: Curvas C L vs. α wb e vs. α absoluto da aeronave Momento de picada total O momento de picada total é dado pela equação (2.41): C m = C mac wb + C L (h h nwb ) V H C Lt + C mp. (2.62) Podemos escrever C L e C Lt em função tanto de α wb como de α, obtendo expressões para C m em função de cada um destes ângulos. Podemos separar o momento de picada devido ao sistema de propulsão num termo constante e num termo que depende de α wb. Admitimos que a variação com α wb é linear: C mp = (C mp ) 0 ) + C m P α α wb. (2.63) Habitualmente podemos desprezar esta contribuição. Quando for necessário incluí-la, teremos de determinar (C mp ) 0 ) e C m P α. Substituindo em (2.62) as expressões de C L, dadas por (2.57), (2.58) e (2.59), de C Lt, dada por (2.55), e de C mp, dada por (2.63), obtemos C m = C m0 + C mα α wb, (2.64) em que o termo constante C m0 é dado por C m0 = C mac wb + a t (i t + ε 0 )V H + (C mp ) 0, e o declive C mα (pitch stiffness) se pode escrever de duas formas equivalentes, C mα = a(h h nwb ) a t V H (1 ε α ) + C m P α (2.65) = a wb (h h nwb ) a t V H (1 ε α ) + C m P α. (2.66) Muitas vezes é mais útil escrever C m em função do ângulo de ataque absoluto α. A relação do momento de picada devido ao sistema de propulsão continua a ser linear com α, mas agora o termo constante é diferente. Podemos supor uma relação da forma C mp = (C mp ) 0 + C m P α α wb, (2.67) 29

33 em que (C mp ) 0 será determinado em cada caso. Agora podemos substituir em (2.62) as expressões de C L, dada por (2.60), de C Lt, dada por (2.55) juntamente com a relação ente ângulos de ataque (2.61), e de C mp, dada por (2.67), obtendo C m = C m0 + C mα α, (2.68) sendo o coeficiente C m0 dado por [ C m0 = C mac wb + a t (i t + ε 0 ) V H 1 a t S t a S (1 ε α) ] + (C mp ) 0. (2.69) Note-se que C mα é, tal como no caso anterior, dado por (2.65) ou (2.66). (Porquê?) Ponto neutro Por definição de ponto neutro, C mα = 0. Ora C mα Resolvendo em ordem a h n obtemos = 0 a(h n h nwb ) a t V H (1 ε α ) + C m P α = 0. h n = h nwb + a t a V H (1 ε α ) + 1 C mp a α. (2.70) Com frequência a contribuição da propulsão pode ser desprezada. Como vimos, o coeficiente de sustentação é dado em função do ângulo de ataque absoluto por C L = C Lα α, enquanto que o momento de picada, dado por (2.68), pode tomar uma forma muito útil se usarmos a expressão para o ponto neutro (2.70): C m = C m0 + C mα α = C m0 + C Lα (h h n )α. (2.71) As forças (de sustentação) e momentos aplicados numa aeronave podem portanto ser descritas através da força de sustentação aplicada no ponto neutro e do momento de picada C m0 relativamente ao ponto neutro, como representado na figura Note-se que a configuração analizada não inclui leme de profundidade (elevator) pelo que a sua contribuição não foi incluída em (2.71). 2.4 Equilíbrio, Estabilidade e Controlo Longitudinais Equilíbrio sem leme de profundidade Para a configuração asa+fuselagem+estabilizador horizontal (sem leme de profundidade), as condições de equilíbrio são L = W e M = 0. Como C L = aα, temos: L = W C Leq = W 1 2 ρv 2 S. (2.72) C Leq = aα eq e V eq = W 1 2 ρsc. (2.73) L eq 30

34 Figura 2.14: As forças e momentos aerodinâmicos aplicados a uma aeronave podem ser decompostos em: sustentação aplicada no ponto neutro e momento de picada relativamente ao ponto neutro. e também Existe um ângulo de ataque de equilíbrio, C m = C m0 + (h h n )C Lα α eq = 0. (2.74) α eq = C m0 (h h n )C Lα. (2.75) Uma vez que todas as outras grandezas são constantes, α eq só pode variar mudando h! Podemos alterar o ponto de equilíbrio (α eq e V eq ) mudando posição do CM, mas isso é pouco prático e altera também curva C m vs. α. Uma outra possibilidade é modificar a configuração aerodinâmica, habitualmente pela introdução de um leme de profundidade (elevator) Leme de profundidade O efeito da deflexão do leme pode traduzir-se como o aumento da curvatura efectiva do estabilizador. Como se mostra na figura 2.15, define-se a deflexão como positiva se a curvatura do estabilizador aumenta (isto é, torna-se mais positiva), o que conduz a um aumento da sustentação no estabilizador: δ e > 0 se L t > 0. Para garantir que o leme é sempre eficaz a deflexão máxima permitida não deve ultrapassar certos limites. Para deflexões demasiado grandes o estabilizador poderia entrar em perda e o leme deixaria de ser eficaz. Iremos sempre, além disso, admitir que a relação entre δ e e L t é linear. Uma variação da sustentação na cauda conduz a uma variação da sustentação total, que é pequena quando comparada com a sustentação total (cfr. figura 2.16, gráfico da esquerda). Esta variação é C L = C Lδe δ e, (2.76) em que, de acordo com a definição do sinal de δ e, C Lδe C L δ e > 0. (2.77) O momento de picada total irá também variar e esta variação não é desprezável face ao momento total, o que permite ajustar o ponto de equilíbrio da aeronave. Como se 31

35 Figura 2.15: A deflexão do leme de profundidade, δ e, é positiva quando aumenta a curvatura efectiva da cauda, aumentando a sustentação no estabilizador horizontal Figura 2.16: Variação com α de C L (esquerda) e C m (direita), para os casos sem e com deflexão do leme de profundidade (respectivamente, δ e = 0 e δ e > 0). 32

36 C Lt = a t α t C Lt = a t α t + a e δ e Figura 2.17: Sustentação na cauda sem (esquerda) e com (direita) deflexão δ e do leme de profundidade. pode ver no gráfico da direita da figura 2.16, a variação do momento de picada devido a uma deflexão δ e do leme de profundidade pode ser dada por C m = C mδe δ e, (2.78) em que o coeficiente de proporcionalidade entre C m e δ e é negativo: C mδe C m δ e < 0. (2.79) A sustentação e o momento de picada totais de uma aeronave dependem do ângulo de ataque absoluto e de δ e, e temos: { CL = C L (α) + C Lδe δ e C m = C m (α) + C mδe δ e (2.80) Na gama de valores de α em que a variação é linear, podemos escrever { CL = C Lα α + C Lδe δ e C m = C m0 + C mα α + C mδe δ e (2.81) Estas expressões são válidas quer para o caso de asas voadoras ou asas em delta, em que o leme está montado na própria asa, quer quando a aeronave tem o leme de profundidade montado num estabilizador horizontal. Neste último caso é necessário determinar expressões para C Lδe e C mδe em função das características do leme, o que faremos em seguida. Eficácia de sustentação do leme de profundidade A eficácia de sustentação do leme de profundidade, a e, mede a capacidade que o leme tem para criar sustentação no estabilizador para uma dada deflexão δ e : Uma vez que C L = C Lwb + S t S C L t, a derivada C Lδe a e = C L t δ e (2.82) é dada por C Lδe = C L wb δ e 33 + S t S a e, (2.83)

37 e, como para aeronaves com estabilizador horizontal C L wb δ e 0, Para determinar a derivada C mδe C Lδe = S t S a e. (2.84) para aeronaves com estabilizador partimos de C m = C mac wb + C L (h h nwb ) V H C Lt + C mp, de onde se deduz C mδe = C m ac wb δ e + C Lδe (h h nwb ) V H C Lt δ e }{{} a e + C m P δ e }{{} 0 (2.85) Para aeronaves com estabilizador horizontal, C mac wb S δ e 0 e C Lδe = a t e S. Logo, [ C mδe = a e V H S ] t S (h h n wb ). (2.86) Deflexão do leme de profundidade para equilíbrio Tendo determinado a dependência das derivadas C Lδe e C mδe em função das características da aeronave, estamos em condições de, a partir do sistema de equações (2.81), determinar as condições de equilíbrio da aeronave. Em voo horizontal com velocidade V, as condições de equilíbrio de uma aeronave são { Leq = W, (2.87) M eq = 0. O índice eq designa a situação de equilíbrio. Para designar o valor da deflexão do leme de profundidade e ângulo de ataque e correspondente coeficiente de sustentação (e de momento de picada) que permitem à aeronave voar em equilíbrio com uma certa velocidade, usaremos o índice trim. (O índice trim refere-se ao equilíbrio numa certa situação de voo.) É conveniente usar as equações de equilíbrio (2.87) na forma adimensional L eq C Ltrim = 1 2 ρv trims = W ρv trims, 2 (2.88) C mtrim = 0, que nos permitem escrever, tendo em conta (2.81), { CLtrim = C L α α trim + C Lδe δ e trim, 0 = C m0 + C mα α trim + C mδe δ etrim. (2.89) Estas são as equações de equilíbrio para α trim e δ etrim. Para as resolver podemos escrevêlas na forma matricial Na forma matricial: [ ] [ ] [ ] CLα C Lδe αtrim CLtrim = (2.90) C mα C mδe δ etrim C m0 34

38 A solução de (2.90) permite obter os valores do ângulo de ataque e da deflexão do leme de profundidade que garantem o voo em equilíbrio à velocidade V trim : α trim = C L trim C mδe + C m0 C Lδe det (2.91) δ etrim = C L α C m0 + C Ltrim C mα det em que det é o determinante da matriz do sistema: det = C Lα C mδe C mα C Lδe (2.92) Embora o valor do determinante possa ser facilmente calculado conhecidas as derivadas C Lα, C mα, C Lδe e C mδe, é muitas vezes útil usar expressões explícitas em função das características da aeronave. Para aeronaves com cauda, C mα = C Lα (h h n ) C mδe = C Lδe (h h nwb ) a e V H Logo, C Lδe = a e S t S det = C Lα [ C Lδe (h n h nwb ) a e V H ] = a a e [ St S (h n h nwb ) V H ] (2.93) (2.94) Variação da deflexão do leme com a velocidade Como vimos, δ etrim = C L α C m0 + C Ltrim C mα. det Mantendo constante a posição do centro de massa, h, a deflexão do leme de profundidade necessária para equilíbrio, δ etrim, é uma função exclusiva de C Ltrim (supondo que não há efeitos aeroelásticos, de compressibilidade, etc.). Na figura 2.18 representa-se a variação de δ etrim com C Ltrim para vários valores de h. Quando h = h n, verifica-se que δ etrim não depende de C Ltrim e toma um valor constante. Para h = h n a variação é linear, com declive negativo: δ etrim diminui quando C Ltrim aumenta, e é negativo para valores elevados de C Ltrim. Interessa também estudar como varia a velocidade de equilíbrio com δ etrim. Para mais facilmente compararmos diferentes situações de voo, é conveniente usarmos a velocidade equivalente (EAS), V E, definida por ρ V E = V, (2.95) ρ 0 em que ρ é a massa volúmica à altitude de voo e ρ 0 é massa volúmica ao nível do mar (SSL). 35

39 Figura 2.18: Variação de δ etrim com C Ltrim para vários valores da posição do centro de massa h. Para voo horizontal, C Ltrim = W 1 2 ρv 2 S = W 1 2 ρ 0VE 2 S. (2.96) Em situação de equilíbrio, a variação da deflexão do leme com a velocidade equivalente é então δ etrim = C L α C m0 2wC m α 1, (2.97) det ρ 0 det em que w = W /S é a carga alar. Na figura 2.19 representa-se a variação de δ etrim com V E para vários valores da margem estática K n. Quando h = h n, K n = 0 e δ etrim é constante, não dependendo de V E. Neste caso a velocidade de equilíbrio não pode ser determinada pela deflexão do leme de profundidade: não é possível usar esta superfície de controlo para alterar a velocidade. Quando K n > 0 h < h n, δ etrim é negativo para valores reduzidos da velocidade e aumenta com V E. O declive da curva é maior para velocidades mais baixas, o que significa que há maior sensibilidade do controlo com V E reduzido. Pelo contrário, para velocidades maiores, pequenas variações de δ etrim correspondem a grandes variações de V E. à medida que aumenta a margem estática, a curva apresenta uma curvatura maior e os valores de δ etrim necessários para um dado valor de V E vão aumentando (até atingir valores demasiado altos para garantir a eficácia do controlo). Vemos que a manobrabilidade do avião e a sua capacidade de ser controlado diminuem quando aumenta a margem estática. V 2 E 36

40 e trim 5 K n K n V E K n Figura 2.19: Variação de δ etrim com V E para margem estática K n = 0, 0.1 e 0.2, para uma aeronave com características baseadas num Cessna

41 Capítulo 3 Estabilidade com Manche Livre e Forças de Controlo 3.1 Momento de charneira de superfície de controlo O controlo longitudinal de uma aeronave faz-se habitualmente por meio do leme de profundidade (elevator). O compensador (trim tab) usa-se para facilitar a deflexão do leme ou para manter o avião em equilíbrio (trim) sem necessidade de actuação do leme. Nesta última função o compensador permite voar em equilíbrio mantendo o manche livre. Neste capítulo iremos determinar condições de equilíbrio e de estabilidade no caso de voo com manche livre. Note-se que se o manche está livre, o leme também o estará. Iremos também procurar determinar qual a força de controlo necessária para estabelecer certa deflexão no leme ou certa velocidade de equilíbrio Momento de charneira Para manter ou alterar a deflexão de uma superfície de controlo é necessário aplicar um momento na charneira (dobradiça) que permita contrariar os momentos devidos às forças aerodinâmicas. A figura 3.1 representa uma parte de um estabilizador horizontal com um leme de profundidade e um compensador (tab). Definimos S e como a área da parte do leme a jusante da linha de charneira e c e como a corda média da parte do leme a jusante da linha de charneira. O momento de charneira, isto é, o momento das forças aerodinâmicas exercidas no leme calculado em relação à linha de charneira do leme de profundidade, é designado por H e. Supondo η 1, o coeficiente do momento de charneira é C he = H e 1 2 ρv (3.1) 2 S e c e O sentido positivo de deflexão de δ t > 0 é definido da mesma forma que para δ e. Assim, na figura 3.2, δ e < 0 e δ t > 0. Admitimos uma relação linear entre C he e α t, δ e e δ t, pelo que C he = b 0 + b 1 α t + b 2 δ e + b 3 δ t. (3.2) 38

42 Figura 3.1: Geometria do leme. (Fonte: Etkin) Por definição, b 1 = C he α t, b 2 = C he δ e, b 3 = C he δ t. Se o perfil do estabilizador for simétrico não há forças ou momentos aerodinâmicos quando α t = 0 = δ e = δ t, pelo que nesse caso b 0 = 0. Na equação (3.2) e na definição de b 1 o ângulo de ataque considerado é α t. Dado que α t α = α wb a t a = α wb (1 ε α ) (i t + ε 0 ) e que o ângulo de ataque absoluto da aeronave é S t S (i t + ε 0 ), podemos escrever {[ b 1 α t = b 1 α + a t S t a S (i t + ε 0 ) = b 1 (1 ε α )α b 1 (i t + ε 0 ) ] } (1 ε α ) (i t + ε 0 ) [ 1 a ] t S t a S (1 ε α) Substituindo em (3.2) obtemos uma expressão para o coeficiente do momento de charneira em função do ângulo de ataque absoluto: C he = C he0 + C heα α + b 2 δ e + b 3 δ t (3.3) 39

43 Figura 3.2: Deflexões do leme de profundidade e do compensador. (Fonte: Etkin) com [ C he0 = b 0 b 1 (i t + ε 0 ) 1 a ] t S t a S (1 ε α) (3.4) C heα = b 1 (1 ε α ) (3.5) 3.2 Sustentação e momento de picada com manche livre Na situação tratada no capítulo 2.4 supôs-se sempre que o leme de profundidade estava fixo, isto é, que a deflexão do leme permanecia constante, δ e = constante. A condição que vai ser considerada agora é a de leme completamente livre. Neste caso a deflexão do leme é aquela que anula o momento de charneira: H e = 0 (C he = 0). Ambos os casos são ideais. O leme não está nunca completamente fixo tanto porque em muitas aeronaves é difícil manter o manche completamente fixo como porque a estrutura das aeronaves não é totalmente rígida e existem sempre deformações que alteram ligeiramente a posição do leme. Por outro lado o leme nunca está completamente livre porque existe sempre algum atrito, o que leva ao aparecimento de um momento de charneira H e de atrito. No entanto estes casos ideais estão suficientemente perto da realidade para podermos tirar conclusões pertinentes Deflexão do leme com manche livre Como vimos, a condição de manche livre é H e = 0 C he = 0. Vamos supor que δ t está fixo, mas que o leme está livre, pelo que usamos a notação δ e = δ efree. Da equação (3.3) obtemos, para manche livre, C he = C he0 + C heα α + b 2 δ efree + b 3 δ t = 0. (3.6) O leme de profundidade deflecte até H e se anular e o valor de δ efree é δ efree = 1 b 2 ( Che0 + C heα α + b 3 δ t ). (3.7) 40

44 3.2.2 Sustentação e momento de picada em função do ângulo de ataque Tendo em conta a contribuição do compensador, a sustentação total é C L = C Lα α + C Lδe δ e + C Lδt δ t. (3.8) No entanto a contribuição do compensador para a sustentação total é pequena, pelo que C Lδt é pequeno quando comparado com as outras derivadas e a última parcela é habitualmente desprezada. Com manche livre a deflexão do leme verifica (3.7), donde se conclui que o coeficiente de sustentação total no caso de voo com manche livre, que vamos designar por C L, é dado por que se pode escrever na forma com C L = C L α α C Lδe 1 b 2 ( Che0 + C heα α + b 3 δ t ), (3.9) C L 0 C L = C L 0 + C L α α (3.10) = C L δe b 2 ( Che0 + b 3 δ t ), (3.11) a = C L α = C Lα C L δe b 2 C heα. (3.12) Num voo com manche livre a relação entre C L e α continua a ser linear, mas a linha de sustentação nula altera-se e o declive da recta diminui. Analogamente, para o momento de picada total relativo ao centro de massa temos C m = C m0 + C mα α + C mδe δ e + C mδt δ t. (3.13) Dado que o compensador é normalmente pequeno, tanto a sustentação como o momento de picada adicionais criados pela deflexão δ t são pequenos e, em primeira aproximação, podemos fazer C mδt 0 e desprezar o último termo. Usando a expressão para δ efree, (3.7), obtemos C m = C m 0 + C mα α C mδe 1 b 2 ( Che0 + C heα α + b 3 δ t ), (3.14) em que C m designa o momento de picada total relativamente ao centro de massa para voo com manche livre. A equação anterior tem a forma com C m 0 C m α C m = C m 0 + C m α α, (3.15) = C m0 C m δe b 2 ( Che0 + b 3 δ t ), (3.16) = C mα C m δe b 2 C heα. (3.17) Tendo em conta que C mδe, b 2 e C heα são negativos, C m α < C mα. O declive da curva de C m com α é menos negativo e isto significa que, com manche livre, há uma diminuição da estabilidade estática com manche livre. 41

45 3.2.3 Sustentação na cauda e factor de manche livre Pretende-se agora determinar a variação da sustentação na cauda com α t para uma aeronave com um estabilizador horizontal com perfil simétrico (donde b 0 = 0) e munido de um leme de profundidade. Supomos que existe um compensador, mas que a sua contribuição para a sustentação é desprezável. Com manche livre C he = C he0 + b 2 α t + b 2 δ efree + b 3 δ t = 0, pelo que δ efree = 1 b 2 (b 1 α t + b 3 δ t ). Então o coeficiente de sustentação na cauda é C L t = a t α t + a e δ efree + C L t δ t δ t 1 = a t α t a e (b 1 α t + b 3 δ t ) + C L t b 2 δ }{{ t } 0 δ t Logo, ( C L t = a t a eb 1 b 2 ) α t a eb 3 b 2 δ t. A variação com α t é linear e o declive da recta é dado por C L t = a t a ( eb 1 = a t 1 a ) eb 1 α t b 2 a t b 2 em que F é designado por factor de manche livre, Ponto neutro de manche livre = a t F, (3.18) F = 1 a eb 1 a t b 2. (3.19) O momento de picada total relativo ao centro de massa depende das contribuições da asa e do estabilizador (ver equação (2.41)), C m = C m ac wb + C Lwb (h h nwb ) S t S l t c C L t = C mac wb + C Lwb (h h nwb ) S t S (h h n wb )C L t V H C L t. Tendo em conta que (ver equação (2.29)) C L = C Lwb + η t S t S C L t, obtemos finalmente C m = C m ac wb + C L (h h n wb ) V H C L t. (3.20) 42

46 Derivando (3.20) em ordem a α, obtém-se C m α = C L α (h h nwb ) V H C L t α. (3.21) O ponto neutro de manche livre define-se-se como o ponto para o qual C m α = 0. Logo, com C L α a e tendo em conta que C L t α t = a t F C L t α = C L t α t α t α = Fa t(1 ε α ) obtemos h n = h n wb + Fa t a V H (1 ε α ). (3.22) Pode-se obter facilmente uma expressão alternativa usando C m α = C L α (h h n ): h h n = C m α C L α = 1 a Usando as expressões para a, C Lδe, C mδe ( C mα C ) m δe C heα b 2 = 1 ( a(h h a n ) C m δe C heα b 2 ). e C heα, obtemos finalmente h n = h n a [ eb 1 (1 ε a α ) V H S ] t b 2 S (h n h nwb ). (3.23) Dado que h n = h nwb + a t V a H (1 ε α ), pode-se mostrar sem dificuldade que (3.22) e (3.23) são equivalentes. A margem estática de manche livre define-se de forma análoga ao caso de manche fixo: K n = h n h. (3.24) Habitualmente h n < h n o que implica K n < K n. Com manche livre verifica-se portanto uma redução da estabilidade estática. 3.3 Compensadores e equilíbrio com manche livre A condição de manche livre determina para a deflexão do leme de profundidade um valor δ efree δ etrim. Sem compensador, a velocidade de equilíbrio fica determinada pela condição de manche livre. O compensador permite alterar velocidade de equilíbrio mantendo o leme de profundidade livre. As condições de equilíbrio com manche livre são C he = C he0 + C heα α free + b 2 δ efree + b 3 δ t = 0, C L = C Lα α free + C Lδe δ efree + C Lδt δ t = C Ltrim, (3.25) C m = C m0 + C mα α free + C mδe δ efree + C mδt δ t = 0. A velocidade de voo pretendida, V trim, determina o valor de C Ltrim. O sistema de equações (3.25) pode resolver-se para obter os valores de α free, δ efree e δ t que satisfazem as 43

47 condições de equilíbrio para uma velocidade V trim. No entanto, C Lδt 0 e C mδt 0 e podemos resolver o sistema de equações aproximado que se obtém desprezando os termos referidos. Nessa aproximação as duas últimas equações conduzem a { CLα α free + C Lδe δ e free = C L trim C m0 + C mα α free + C mδe δ efree = 0 O sistema (3.3) é idêntico a (2.89), pelo que as soluções serão também idênticas ao caso de manche fixo. Logo, nesta aproximação, { δefree = δ e trim α free = α trim (3.26) A condição de manche livre é (3.6): C he0 + C heα α free + b 2 δ efree + b 3 δ ttrim = 0, e permite obter δ ttrim = 1 b 3 ( Che0 + C heα α trim + b 2 δ etrim ). (3.27) Em conclusão, nesta aproximação (3.27) permite obter o valor de δ ttrim que faz δ efree = δ etrim e α free = α trim. Substituindo as expressões para δ etrim e α trim, obtém-se δ ttrim = 1 [ C he0 + C ) ] m 0 (C heα C Lδe b 2 C Lα a b 2 b 3 det det (h h n )C L trim. (3.28) Conclui-se que δ ttrim varia linearmente com C Ltrim (se h cte), e varia linearmente com h. 3.4 Equilíbrio com deflexão do compensador Note-se que o compensador pode ter uma deflexão não nula δ t e a aeronave estar a voar com manche fixo. Nesse caso as equações de equilíbrio são apenas { CL = C Lα α trim + C δ Lδe e trim + C δ Lδt t = C Ltrim, (3.29) C m = C m0 + C mα α trim + C mδe δ etrim + C mδt δ t = 0, e a condição de manche livre, C he = 0, não se verifica. A solução do sistema é ) α trim = C L trim C mδe + C m0 C Lδe + (C Lδe C mδt C Lδt C mδe δ t, det ) δ etrim = C L α C m0 + C Ltrim C mα + (C Lα C mδt C Lδt C mα δ t. det (3.30) Os valores de equilíbrio α trim e δ etrim dependem da deflexão do compensador, δ t. No entanto, se pudermos admitir que o compensador tem uma contribuição desprezável para a sustentação total (C Lδt 0) e para o momento de picada total (C mδt 0), 44

48 Figura 3.3: Ligações entre manche e leme de profundidade. (Fonte: Etkin) obtemos a seguinte solução aproximada: α trim C L trim C mδe + C m0 C Lδe det δ etrim C L α C m0 + C Ltrim C mα det (3.31) Nesta aproximação os valores de equilíbrio α trim e δ etrim não dependem da deflexão do compensador, δ t. Esta influi apenas no coeficiente do momento de charneira e, como veremos, na força de controlo. 3.5 Forças de Controlo Nesta secção pretende-se determinar a força necessária para deflectir o leme de profundidade em função de C Ltrim ou V trim Forças de controlo e momento de charneira Vamos considerar uma aeronave com um estabilizador horizontal com leme de profundidade e compensador. Admitimos que todos os elementos são rígidos e que o atrito é desprezável. A figura 3.3 representa esquematicamente as ligações entre manche e leme de profundidade. Estas ligações podem ser, como nas aeronaves mais antigas, puramente mecânicas ou podem incluir sistemas hidráulicos, pneumáticos ou electrónicos. Em qualquer dos casos podemos supor que a força que é necessário exercer no manche, P, é proporcional ao momento de charneira H e, isto é, P = GH e. (3.32) O coeficiente de proporcionalidade G é chamado factor de engrenagem (gear factor, em m -1 ). O sentido da força P é definido como positivo se está dirigida para a cauda do avião. Tendo em conta a definição (3.1) do coeficiente do momento de charneira, P = G 1 2 ρv 2 S e c e C he (3.33) 45

49 Para prosseguir, é necessário encontrar uma expressão para C he em função de C Ltrim ou V trim. O coeficiente do momento de charneira pode ser dado pela equação (3.2): C he = C he0 + C heα α + b 2 δ e + b 3 δ t Como vimos anteriormente (equações (3.6) e (3.27)), quando δ t atinge-se com manche livre, e nesse caso a força é nula: = δ ttrim, o equilíbrio P = 0 C he = 0 δ ttrim = 1 b 3 ( Che0 + C heα α trim + b 2 δ etrim ). (3.34) Consideremos agora o caso em que, mantendo a mesma velocidade de equilíbrio, δ t δ ttrim. Como referido na secção 3.4, o equilíbrio neste caso é ainda definido, pelo menos de forma aproximada, por α = α trim e δ e = δ etrim, mas agora o momento de charneira não se anula e a força não é nula. O coeficiente do momento de charneira pode então escrever-se C he = C he0 + C heα α trim + b 2 δ etrim + b e δ t 0, (3.35) ou, usando (3.34), Usando a expressão (3.28) para δ ttrim, obtém-se C he = b 3 (δ t δ ttrim ). (3.36) C he = b 3 δ t + C he0 + C ) m 0 (C heα C Lδe b 2 C Lα a b 2 det det (h h n )C L trim. (3.37) Num voo horizontal o coeficiente de sustentação é dado por C Ltrim = W 1 2 ρv 2 S = w 1, (3.38) ρv 2 2 em que w = W /S é a carga alar. Substituindo (3.38) e (3.37) em (3.33) e ordenando os termos de modo a pôr em evidência a dependência de V, obtém-se a expressão para a força de controlo: com P = A + B 1 2 ρv 2 (3.39) A = G S e c e w a b 2 det (h h n ) (3.40) [ B = G S e c e b 3 δ t + C he0 + C ( ) ] m 0 C heα C Lδe b 2 C Lα (3.41) det A é um termo independente da velocidade (depende de w e K n), enquanto que B entra no termo relativo à dependência com a pressão dinâmica (com V 2 ). Na figura 3.4 representa-se a variação da força de controlo com a velocidade. Da análise da figura e das equações (3.39), (3.40) e (3.41) podemos concluir que a força de controlo P é proporcional a S e c e (isto é, ao cubo da dimensão linear do avião), ao factor de engrenagem G e à pressão dinâmica (P aumenta com ρ, diminuindo com altitude, e é proporcional a V 2 ). A posição do centro de massa afecta apenas o termo constante (se h diminui, P aumenta). A carga alar também afecta apenas termo constante (se carga alar w aumenta, P aumenta). Finalmente, a variação da deflexão do compensador, δ t, altera o valor de B. Deste modo altera a curvatura da parábola, controla intersecção com eixo V e portanto determina V trim, isto é, o valor de V para o qual P = 0. 46

50 Figura 3.4: Variação da força de controlo com a velocidade. (Fonte: Etkin) Gradiente da força de controlo O gradiente da força de controlo traduz a variação de P necessária para alterar a velocidade V. Se o gradiente é grande, o controlo é pesado, ou seja, é preciso variar muito a força para mudar a velocidade; se é pequeno, o controlo é leve e uma pequena variação da força altera muito a velocidade. O termo A depende da margem estática de manche livre, enquanto que B não depende da posição do centro de massa mas depende da deflexão do compensador. Assim, se alteramos a posição do centro de massa de h = h 1 para h = h 1 + h (se o CM se deslocar para a cauda do avião) e ao mesmo tempo alteramos δ ttrim para manter V trim constante, verifica-se que o gradiente diminui com K n, como ilustra a figura 3.5. Quando K n = 0, A anula-se e o declive também se anula mantivermos a condição de V trim permanecer constante. Para determinar o gradiente da força de controlo, deriva-se P em (3.39) em ordem a V obtendo-se P = A + B 1 2 ρv 2 dp dv = BρV. Para valores típicos das derivadas de estabilidade o gradiente da força de controlo é negativo e varia linearmente com V. Considere-se agora o caso de manche livre, em que P = 0. A deflexão do compensador é δ t = δ ttrim e determina a velocidade de equilíbrio V trim. Da equação (3.39) com P = 0 segue-se que A Logo, obtemos B = 1 2 ρv 2 trim. (3.42) ( ) dp = 2 A. (3.43) dv trim V trim 47

51 Figura 3.5: Variação da força de controlo com a velocidade V da aeronave para diferentes valores de h, mantendo fixo o valor de V trim. Usando expressão para A, obtém-se finalmente ( ) dp = 2G S e c e w a b 2 dv trim det (h h n ) 1. (3.44) V trim Conclui-se que quando o avião voa em equilíbrio com manche livre (sendo a força de controlo nula por definição e a velocidade V trim determinada por δ t = δ ttrim ), o gradiente da força de controlo é proporcional ao cubo da dimensão linear do avião (porque proporcional a S e c e ), à carga alar e à margem estática de manche livre K n, e é inversamente proporcional a V trim. Logo, o controlo do leme de profundidade é «mais pesado» a baixa velocidade, quando centro de massa está mais à frente (margem estática maior) e com maior peso. 48

52 Capítulo 4 Efeitos de superfícies hiper-sustentadoras e da propulsão na estabilidade longitudinal 4.1 Influência de superfícies hiper-sustentadoras As superfícies hiper-sustentadoras são elementos que provocam alteração da configuração das asas. Os seus efeitos na estabilidade de uma aeronave decorrem principalmente da modificação dos valores de h nwb, C macwb e C Lwb Influência dos flaps Vamos considerar apenas o caso de flaps que cobrem parte da envergadura, no bordo de fuga. Os efeitos aerodinâmicos dos flaps estão esquematizados na figura 4.1. A distribuição de sustentação na asa é alterada e o ângulo de downwash aumenta (porque a sustentação aumenta). Localmente o efeito deflexão dos flaps é equivalente a aumentar a curvatura da asa. Como se mostra nas figuras 4.2 e 4.3, isto conduz a variações na sustentação da asa, no coeficiente do momento relativamente ao centro aerodinâmico Figura 4.1: Efeitos aerodinâmicos. (Fonte: Etkin & Reid, Dynamics of Flight) 49

53 Figura 4.2: Efeitos da deflexão dos flaps. (Fonte: Etkin & Reid, Dynamics of Flight) Figura 4.3: Efeito da deflexão dos flaps no coeficiente de sustentação (esquerda), ângulo de downwash (centro) e coeficiente do momento de picada (direita). (Fonte: Etkin & Reid, Dynamics of Flight) da asa e no ângulo de downwash, resultando em C mwb = C macwb + C Lwb (h h nwb ), (4.1) S t C L = C Lwb a t ɛ, S (4.2) C mt = a t V H ɛ. (4.3) Dado que, como se referiu acima, o efeito da deflexão dos flaps é equivalente a aumentar a curvatura do perfil, as variações C macwb e C Lwb não dependem de α mas apenas do ângulo de deflexão dos flaps. Admitiremos ainda que h nwb é desprezável. Neste caso, o único efeito que a deflexão dos flaps tem em C Lα e em C mα é devido à variação do ângulo de downwash ɛ. Recordando que [ a C Lα = a wb 1 + a ] t S t a wb S (1 ɛ α), conclui-se que C mα = a(h h nwb ) a t V H (1 ɛ α ), a C Lα = a wb a t a wb S t S ( ɛ α) = a t S t S ɛ α (4.4) C mα = (h h nwb ) a + a t V H ɛ α (4.5) [ = (h h nwb ) S ] t S + V H a t ɛ α (4.6) Como a < 0 e C mα > 0, a deflexão dos flaps diminui a estabilidade. 50

54 Figura 4.4: Geometria 4.2 Influência da propulsão no equilíbrio e na estabilidade Há tipos de propulsão muito diversos (hélice, turboprops, jacto, etc.), pelo que é difícil fazer tratamento exaustivo. Faremos uma referência apenas aos tipos de propulsão mais usados e mais estudados: hélice e jacto. Formalmente, para descrever a influência da propulsão no equilíbrio e na estabilidade de uma aeronave basta introduzir nas equações os termos C m0p e C mp / α e incluir os efeitos indirectos da propulsão nos coeficientes da asa+fuselagem e da cauda Propulsão a hélice A força resultante da propulsão tem duas componentes: a força de propulsão T, ao longo do eixo (não afecta C mα ), e uma força N P, no plano do hélice. A contribuição devido à força N P no plano do hélice é em que S P é a área varrida pelo hélice e C m = C NP x P c C NP = N P S P S, (4.7) 1 2 ρv. (4.8) 2 S P Para pequenos ângulos de ataque podemos admitir que C NP é proporcional α P. Logo, N P contribui para C m0p e para C mp / α. Esta última contribuição pode ser estimada a partir de (4.7): C m = C NP x P c S P S C m P α = S P S x P c C NP α P α P α (4.9) Se o hélice se encontra longe da asa, α P = 1. A colocação mais comum do hélice é α perto da asa, o que induz upwash no hélice, caracterizado pelo ângulo de upwash ɛ P. Deste modo, α P = α + ɛ P + cte α P α = 1 + ɛ P α (4.10) 51

55 Figura 4.5: A direcção do escoamento incidente o do jacto não são iguais, o que provoca uma força normal à linha de propulsão. Conclui-se portanto que a contribuição da propulsão para C mα C mp α = S ( P x P C NP 1 + ɛ ) P S c α P α Outros efeitos que a propulsão pode produzir são: é (4.11) Aumento da sustentação na asa (se escoamento a jusante do hélice incide sobre a asa) Aumento do valor efectivo de a t e a e (depende de quão afectada é a cauda pelo escoamento induzido pelo hélice) Aumento do ângulo de downwash (difícil de estimar) Propulsão a jacto A influência da propulsão a jacto na derivada c mα decorre de vários efeitos. Dois deles estão representados nas figuras 4.5 e 4.6. Na figura 4.5 mostra-se que num motor a jacto a direcção do escoamento incidente e a direcção do jacto podem não ser exactamente iguais, havendo uma variação do momento linear do fluido na direcção normal ao escoamento. Como consequência, existe uma força normal, representada na figura por N j, a qual provoca um momento de picada relativamente ao centro de massa do avião. Outro efeito está representado na figura 4.6. O jacto, saindo do motor, vai-se progressivamente misturando com o ar circundante, criando uma zona de mistura que vai aumentando de dimensões à medida que a distância à sa da do motor aumenta. Para esta zona de mistura contribuem tanto o jacto como o ar circundante. Neste, à medida que parte do ar vai sendo integrado na zona de mistura, gera-se um escoamento na direcção do jacto (designado por jet induced inflow) o qual altera o escoamento em torno da cauda e deste modo o ângulo de ataque efectivo na cauda. 52

56 Figura 4.6: Jet induced flow: o diâmetro do jacto vai crescendo à custa de um fluxo de ar do meio circundante, o que pode provoca uma alteração do escoamento incidente na cauda. 53

57 Capítulo 5 Estabilidade Lateral-Direccional Os aviões têm habitualmente um plano de simetria. Um movimento diz-se longitudinal se não altera a posição do plano de simetria. Movimento lateral é todo aquele em que o plano de simetria se altera. Portanto, há movimento lateral se existir derrapagem (sideslip), isto é, velocidade com componente segundo y, ou velocidade angular de rolamento p (roll) ou velocidade angular de guinada r (yaw). Habitualmente há acoplamento entre movimentos (e controlo) laterais. Em voo rectilíneo estacionário simétrico as forças e momentos laterais são nulos. Portanto, há equilíbrio para deflexão nula dos ailerons e do rudder, o que significa que num voo rectilíneo simétrico o trim lateral está garantido. Por esta razão a posição do centro de massa não é importante na estabilidade lateral-direccional. A estabilidade estática lateral-direccional permite estabelecer condições para que, após uma pequena perturbação que induza uma velocidade de derrapagem ou um ângulo de pranchamento, o avião retorne à posição de voo simétrico com asas niveladas. 5.1 Estabilidade direccional Condições de estabilidade O ângulo de derrapagem β é o ângulo entre a velocidade da aeronave (airspeed) e o plano de simetria. Como se pode constatar da figura 5.1, β = arcsin v V (5.1) Num voo simétrico v = 0 e não existe derrapagem nem momento aerodinâmico de guinada. Pelo contrário, num voo com derrapagem existe um momento aerodinâmico de guinada N (ver figura 5.1). Para que um voo simétrico seja estável face a pequenas perturbações da velocidade lateral, é necessário que N > 0 para β > 0. A condição de estabilidade pode escrever-se como O coeficiente do momento de guinada define-se como N β > 0 (5.2) N C n = 1 2 ρv 2 Sb, (5.3) 54

58 Figura 5.1: Voo com derrapagem. (Fonte: Etkin & Reid, Dynamics of Flight) em que b é a envergadura da asa. A condição de estabilidade para o estado não perturbado é ( ) Cn C nβ (β = 0) > 0. (5.4) β Para simplificar a notação omitir-se-á a menção a β = 0 sempre que isso não conduzir a ambiguidades. A principal contribuição para C nβ provém do estabilizador vertical (fin), e tem um efeito estabilizador, isto é, se β > 0, o momento gerado pelo estabilizador vertical é positivo. A fuselagem tem uma contribuição pequena, frequentemente desprezável, mas tem um efeito desestabilizador. Estas contribuições estão representadas na figura 5.2 A contribuição do estabilizador vertical depende do escoamento que nele incide. O ângulo de ataque efectivo no estabilizador vertical designa-se por α F e convenciona-se que α F > 0 se provoca força de sustentação L F no sentido positivo de y (ver figura 5.3). Desta forma, α F = β não considerando a influência do(s) hélice(s), da asa e da fuselagem no escoamento. Esta influência pode ser incluída através de um ângulo de sidewash σ : α F = β + σ. (5.5) O estabilizador vertical é uma superfície sustentadora, pelo que o coeficiente da força aerodinâmica na empenagem vertical depende linearmente do ângulo de ataque α F, β=0 C LF = a F α F + a r δ r = a F ( β + σ ) + a r δ r. (5.6) Aqui, a F é o declive da curva de C L com α para o estabilizador vertical, dado por (5.7), 55

59 Figura 5.2: Forças aerodinâmicas devido a derrapagem. Figura 5.3: Estabilizador vertical 56

60 e a r é eficiência do leme de direcção (rudder), dado por (5.8): a F C L F α F, (5.7) a r C L F δ r. (5.8) O momento de guinada devido à força aerodinâmica aplicada no estabilizador vertical é (ver figura 5.3) N F = L F l F = C LF 1 2 ρv 2 F S Fl F, (5.9) em que V F é a velocidade do escoamento incidente no estabilizador vertical, S F é a área do estabilizador vertical e l F é distância (em x) entre o centro aerodinâmico do estabilizador e o centro de massa (ou seja, é o módulo da coordenada x do centro aerodinâmico do estabilizador vertical). O coeficiente do momento de guinada é C nf = 1 N F 1 2 ρv 2 Sb = C LF 2 ρv F 2 S F l F 1 2 ρv 2 Sb A razão de volume do estabilizador vertical, V V, é definida por ( ) 2 VF = C LF V V. (5.10) V V V = S Fl F Sb. (5.11) Recordando que C LF = a F ( β + σ ) + a r δ r, obtém-se C nf ( ) 2 VF = [a F ( β + σ ) + a r δ r ] V V. (5.12) V Derivando em ordem ao ângulo de derrapagem β, obtemos finalmente ( ) ( C 2 nf β = a VF FV V 1 σ ). (5.13) V β O factor de sidewash σ β é difícil de estimar pois depende da alteração do escoamento devido à fuselagem e aos hélices. A asa têm também uma contribuição devida ao escoamento assimétrico (importante para asas com alongamento pequeno e com flecha). Com frequência desprezaremos este termo. ( A ) razão de velocidades do escoamento incidente na asa e no estabilizador vertical é VF = 1, excepto se o estabilizador vertical estiver na esteira do hélice. Nesse caso V V F > V. Em conclusão, a contribuição do estabilizador vertical para a derivada C nβ é positiva, pelo que tem um efeito estabilizador, e é proporcional a a F e V V Controlo de guinada O controlo de guinada é feito através do leme de direcção (rudder), como se mostra na figura 5.4. Num voo simétrico com trajectória rectilínea a deflexão do rudder (δ r ) é nula. O rudder é importante quando se quer manter β 0, como nas situações de voo 57

61 Figura 5.4: A deflexão do leme de direcção rudder leva ao aparecimento de uma força aerodinâmica no estabilizador vertical que provoca um momento de guinada. com derrapagem (ex: aproximação à pista), quando um motor deixa de funcionar (OEI: One Engine Inoperative) ou em manobras. Atendendo a que C LF = a F ( β + σ ) + a r δ r conclui-se que C nf C nδr = C LF V V ( VF V ) 2 ( ) 2 VF = a r V V (5.14) V Num voo com ângulo de derrapagem estacionário, β 0. Se apenas houver deflexão do rudder e não existir deflexão dos ailerons, C n = C nβ β + C nδr δ r. Para que o movimento seja estacionário C n = 0. Logo, obtemos β δ r = C n δr C nβ. (5.15) Esta relação entre o ângulo de derrapagem e o ângulo de deflexão do rudder é apenas aproximada porque a deflexão do rudder provoca também um momento de rolamento. Este é necessário compensar com os ailerons, o que provoca um momento adicional do guinada e logo uma alteração de δ r. A deflexão do leme de direcção implica um momento de charneira e a correspondente força de controlo do rudder. Analogamente ao que acontece com o elevator, o momento de charneira é C hr = b 1 α F + b 2 δ r, (5.16) 58

62 enquanto que a força de controlo é dada por P = G 1 2 ρv 2 F S r c r (b 1 α F + b 2 δ r ) (5.17) = G 1 2 ρv 2 F S r c r [b 1 ( β + σ ) + b 2 δ r ]. (5.18) No caso de leme de direcção livre, C hr = 0 δ rfree = b 1 b 2 α F. ( C L F = a F α F + a r b ) ( 1 α F = a F 1 a ) r b 1 b 2 a F b }{{ 2 } α F (5.19) factor de rudder livre 5.2 Estabilidade lateral Os movimentos de rolamento e guinada estão acoplados e a análise da estabilidade deve ser feita considerando os dois movimentos em conjunto. No entanto, pode conseguir-se uma ideia aproximada acerca dos parâmetros de que depende a estabilidade lateral considerando apenas o grau de liberdade de rolamento, como se fosse independente da guinada. Supomos um voo estacionário rectilíneo, horizontal e de asas niveladas. Existe estabilidade de rolamento se, quando uma pequena perturbação conduzir a um ângulo de pranchamento φ, o momento criado fizer a aeronave voltar a voo nivelado, ou seja, C lφ < Efeitos devidos a pranchamento Consideraremos de seguida dois dos efeitos devidos a voo com ângulo de pranchamento φ. Em primeiro lugar o peso não se encontra no plano de simetria e tem componente segundo y (ver figura 5.5). Esta força lateral leva ao aparecimento de uma componente da velocidade segundo y, ou seja ao aparecimento de derrapagem. Para haver estabilidade, a derrapagem deve induzir um momento de rolamento que volta a nivelar a aeronave. Por outro lado, se devido a uma pequena perturbação as asas de um avião que voa com um certo ângulo de ataque deixarem de estar niveladas, a sua velocidade deixa de estar no plano de simetria e passa a existir uma componente v segundo y, isto é, passa a haver derrapagem (ver figuras 5.6 e 5.7). Num voo nivelado com ângulo de ataque α x a velocidade do avião tem componentes V cos α x V = 0 V sin α x, (5.20) enquanto que num voo não nivelado, com ângulo de pranchamento φ, tem componentes V = V cos α x V sin α x sin φ. (5.21) V sin α x cos φ 59

63 Figura 5.5: Voo com pranchamento: o peso tem componente lateral não compensada pela sustentação, o que induz derrapagem. Figura 5.6: Voo nivelado: vista de perfil (esquerda) e a partir da cauda (direita). velocidade do avião encontra-se no plano de simetria. A Figura 5.7: Voo com asas não niveladas, com ângulo de pranchamento φ. Agora a velocidade não se encontra no plano de simetria e tem componente v segundo y. 60

64 Nos novos eixos há componente de V segundo y, pelo que sin β = v V = V sin α x sin φ V = sin α x sin φ, (5.22) isto é, existe um ângulo de derrapagem que depende de φ. Mas, se há derrapagem é induzido um momento de rolamento devido à contribuição das asas, da fuselagem e do estabilizador vertical. Estas contribuições serão discutidas mais à frente, mas por enquanto interessa apenas que o momento de rolamento gerado é proporcional ao ângulo de derrapagem β, isto é, C l = C lβ β, (5.23) ou, usando (5.22), C l = C lβ β = C lβ arcsin(sin α x sin φ). (5.24) Logo, quando as asas deixam de estar niveladas e existe um ângulo de pranchamento φ é induzido momento de rolamento que é proporcional a C l φ = C l β β φ = C l β sin α x cos φ (1 sin 2 α x sin 2 φ) 1/2. Se α x for pequeno, sin β = sin α x sin φ β α x sin φ. Conclui-se que C l φ = C sin α x cos φ l β (1 sin 2 α x sin 2 φ) C 1/2 l β α x cos φ e, supondo α x > 0, o momento de rolamento induzido tem sinal de C lβ. Mas para haver estabilidade lateral o momento de rolamento induzido deve contrariar o rolamento, isto é, C l deve ser negativo. Conclui-se então que, para haver estabilidade lateral, é φ necessário que C lβ < 0. (5.25) «Efeito diedro» A asa, a fuselagem e o estabilizador vertical contribuem para a derivada C lβ. A contribuição mais importante é devida ao ângulo de diedro (é tão importante que C lβ é por vezes chamada efeito diedro). O alongamento e afilamento da asa, bem como a flecha também são importantes para C lβ. Um outro factor importante é a posição da asa relativamente à fuselagem (asa alta ou asa baixa). Contribuição do diedro das asas Quando as asas têm um ângulo de diedro, a existência de velocidade de derrapagem leva a uma diferença na sustentação nas asas que provoca um momento de rolamento. Este contraria o pranchamento inicial (ver figura 5.8) e tem por isso um efeito estabilizador. O ângulo de ataque numa asa depende da razão entre a componente da velocidade perpendicular à linha de corda do perfil, V n, e a componente segundo a linha de corda do perfil, ou, de forma aproximada, α V n /V. (5.26) 61

65 Figura 5.8: Efeito de diedro. Figura 5.9: Diferença de ângulo de ataque devido ao diedro. 62

66 Figura 5.10: Contribuição devida ao ângulo de flecha. No caso de asas com diedro, a figura 5.9 permite constatar que a componente normal da velocidade é, para a asa direita, e para a asa esquerda, V n = w cos Γ + v sin Γ w + vγ, (5.27) V n = w cos Γ v sin Γ w vγ. (5.28) Para pequenos ângulos de derrapagem, β = v v = βv. Tendo em conta (5.26), a V variação de ângulo de ataque devido ao ângulo de diedro é, na asa direita α +βγ, enquanto que na asa esquerda é α βγ. Para β > 0, na asa direita α > 0, o que faz aumentar C L, enquanto que na asa esquerda α < 0 o que faz diminuir C L. Em consequência, é gerado um momento de rolamento C l βγ C lβ Γ. Se Γ > 0, o sinal é negativo, como pretendido para garantir a estabilidade. Contribuição da flecha da asa A força de sustentação numa asa é dada por L = 1 2 ρv 2 nsc L, em que V n representa aqui a componente da velocidade perpendicular à linha de referência da asa (1/4 corda para voo subsónico). Para o mesmo ângulo de ataque, L é tanto maior quanto maior a velocidade V n. Mas, se β > 0, então L é maior na asa direita, pelo que existe um momento de rolamento negativo. Uma estimativa desse momento é C l C L [(V 2 n) asa dir. (V 2 n) asa esq. ] = C L V 2 [cos 2 (Λ β) cos 2 (Λ + β)] = C L V 2 sin 2Λ sin 2β 2βC L V 2 sin 2Λ Logo, a contribuição da flecha para C lβ 2C L V 2 sin 2Λ < 0. Esta estimativa não é muito exacta, mas permite concluir que a contribuição da flecha para C lβ é estabilizadora. 63

67 Figura 5.11: Posição da asa na fuselagem Figura 5.12: Posição do centro aerodinâmico do estabilizador vertical em relação ao eixo x. Contribuição da posição da asa na fuselagem A posição da asa na fuselagem influencia o modo como a componente cruzada do escoamento (devida à componente da velocidade segundo y) altera o ângulo de ataque efectivo na asa. Na figura 5.11 comparam-se as configurações de asa baixa e asa alta. Para aviões com asa baixa, α é maior na asa esquerda, o que leva a um aumento da sustentação na asa esquerda, e portanto a um momento de rolamento C l > 0. Para aviões com asa alta, α aumenta na asa direita, pelo que a sustentação aumenta na asa direita, o que conduz a C l < 0. Conclui-se que a posição de asa alta contribui para a estabilidade lateral. Habitualmente os aviões de asa baixa necessitam de maiores ângulos de diedro. Contribuição do estabilizador vertical A força lateral causada pela derrapagem é dada por: L F = a F ( β + σ ) 1 2 ρv 2 F S F 64

68 Figura 5.13: O controlo de rolamento é feito por intermédio de ailerons. O coeficiente do momento de rolamento respectivo é: C l = L Fz F 1 2 ρv 2 Sb = a F( β + σ ) S Fz F Sb Derivando em ordem a β obtemos a expressão da contribuição do estabilizador vertical para a derivada C lβ : ( C lβ = a F 1 σ ) ( ) SF z 2 F VF β Sb V Esta contribuição é negativa, e portanto é estabilizadora, mas normalmente é muito menor que as tratadas anteriormente, uma vez que tanto S F /S como z F /b são pequenos. ( VF V ) Controlo de rolamento O controlo da velocidade angular de rolamento é feito pelos ailerons. Por definição, a deflexão total dos ailerons é a média da deflexão de cada um (ver figura 5.14): δ a = 1 2 (δ 1 + δ 2 ). (5.29) A deflexão dos ailerons é considerada positiva se o aileron da asa direita é deflectido para baixo e o da asa esquerda deflectido para cima. (Esta é a convenção usada no livro 65

69 Figura 5.14: Deflexão dos ailerons. de Etkin; muitos autores usam a convenção oposta.) Com esta convenção, δ a > 0 C l < 0 C lδa < 0 (5.30) Note-se que a deflexão dos ailerons produz também momento de guinada. Por isso a derivada C nδa não é nula. Guinada adversa No caso de ailerons simples (tipo flap), a sua deflexão para baixo leva a um aumento de sustentação e de resistência induzida. Assim, δ a > 0 leva a um aumento de resistência aerodinâmica na asa direita e a uma diminuição na asa esquerda. O diferencial de resistência aerodinâmica provoca um momento de guinada positivo (nose-right). Ora, normalmente δ a > 0 usa-se para iniciar viragem à esquerda e o momento de guinada provocado tem o efeito inverso, chamando-se por isso guinada adversa (aileron adverse yaw). O efeito da guinada adversa é mais importante em aeronaves com grande alongamento. O efeito da guinada adversa é normalmente corrigido usando o rudder. Para minimizar a necessidade de correcção é possível usar-se frise ailerons, spoilers ou ailerons diferenciais. Também se pode recorrer ao acoplamento de ailerons e rudder. Reversão dos ailerons (aileron reversal) A deflexão de uma superfície de controlo (tipo flap) faz variar a carga aerodinâmica aplicada. O seu centróide está localizado perto de c/2 para velocidades baixas e desloca-se para trás quando velocidade aumenta (especialmente para velocidades supersónicas). Quando centróide está atrás do eixo de torsão da asa, a deflexão do aileron implica uma torsão da asa, o que leva a uma diminuição do ângulo de ataque, o que conduz a uma diminuição da eficácia do controlo. Para a velocidade de reversão, uma deflexão positiva dos ailerons conduz a uma diminuição de sustentação na asa direita, a um aumento de sustentação na asa esquerda, 66

70 Figura 5.15: Guinada adversa e consequentemente a um momento de rolamento negativo (reversão do comportamento habitual dos ailerons). 67