Geometria de Laguerre e representação para superfícies mínimas generalizadas de Laguerre

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1 Universidade de Brasília Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Geometria de Laguerre e representação para superfícies mínimas generalizadas de Laguerre por Ricardo Edmundo Zamora Vargas Brasília 015

2 Universidade de Brasília Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Geometria de Laguerre e representação para superfícies mínimas generalizadas de Laguerre por Ricardo Edmundo Zamora Vargas Dissertação apresentada ao Departamento de Matemática da Universidade de Brasília, como parte dos requisitos para obtenção do grau de MESTRE EM MATEMÁTICA Brasília, 015 Comissão Examinadora: Dr. João Paulo dos Santos - UnB - Orientador Dr. Carlos Carrión Riveros - UnB - Examinador Dr. Armando Vasquez Corro - UFG - Examinador O autor foi bolsista do CNPq durante a elaboração deste trabalho.

3 i Aos meus pais, Rosa e Alejandro.

4 Agradecimentos À minha família, em especial aos meus pais, Rosa Angelina Vargas Solís e Alejandro Edmundo Zamora Tejada, pela educação, incentivo, amor e dedicação. Aos meus irmãos, Rosa e Victor, por trazer alegria à nossa família com meus pequenos sobrinhos, Diego, Kris e Alejandra. A minha namorada Katherine, pelo amor e apoio em cada passo que juntos temos dado nos últimos quatro anos, animando-me e demonstrando-me seu carinho. Ao meu orientador, o Professor João Paulo dos Santos, pela amizade, a orientação, e a conança depositada em mim. Ao meu professor Ricardo Ruviaro, que no decorrer dos dois anos do mestrado tornou-se um amigo, sempre mostrando seu apoio e sempre dando umas palavras de alento. Aos meus amigos e colegas, que durante o curso de mestrado zeram parte de minha vida e que me possibilitam continuar percebendo que a vida não é só trabalhar. Finalmente, agradeço ao CNPq pelo apoio nanceiro concedido durante a elaboração deste trabalho. ii

5 A medicina cria pessoas doentes, a matemática, pessoas tristes, e a teologia, pecadores. Martinho Lutero. iii

6 Resumo Neste trabalho, apresentamos um estudo da geometria de Laguerre no espaço Euclidiano, apresentando a geometria de esferas e planos orientados, bem como das transformações de Laguerre. Através deste estudo, apresentamos as superfícies e a métrica de Laguerre, cujo elemento de volume é conhecido como funcional de Laguerre. Em seguida, estudamos superfícies mínimas generalizadas de Laguerre, isto é, superfícies que são pontos críticos deste funcional e que admitem pontos isolados com curvatura zero. Analogamente à representação de Weierstrass para superfícies mínimas apresentamos uma representação do tipo Weierstrass que permite descrever globalmente as superfícies mínimas de Laguerre generalizadas usando três dados: uma função meromorfa, uma forma holomorfa e uma função real harmônica. Tal representação é chamada de representação conforme e coincide com a representação de Weierstrass quando a função real harmônica é nula. Palavras-chave: Geometria de Laguerre, esferas orientadas, superfícies mínimas de Laguerre, superfícies mínimas generalizadas de Laguerre, representação de Weierstrass, representação conforme, métrica de Laguerre completa. iv

7 Abstract In this work, we present a study of Laguerre geometry in Euclidean space, presenting the geometry of oriented spheres and planes, as well as the Laguerre transformations. Through this study, we present the Laguerre surfaces and the Laguerre metric, whose volume element is known as the Laguerre functional. Then, study generalized Laguerre minimal surfaces, i.e. surfaces which are critical points of this functional and which allow isolated points with curvature zero. Similarly to the Weierstrass representation for minimal surfaces, we present a kind of Weierstrass representation that allows describe globally generalized Laguerre minimal surfaces using three data: a meromorphic function, a holomorphic form and a real harmonic function. This representation is called conformal representation and coincides with the Weierstrass representation when the harmonic real function is zero. Key words: Laguerre geometry, oriented spheres, Laguerre minimal surfaces, generalized Laguerre minimal surfaces, Weierstrass representation, conformal representation, complete Laguerre metric.

8 Sumário Introdução 1 Preliminares Variedades Riemannianas Variedades diferenciáveis A métrica Riemanniana induzida às subvariedades de R n Gradiente, divergência e Laplaciano em subvariedades de R n Superfícies, formas quadráticas e representação de Weierstrass Superfícies regulares Formas fundamentais Superfícies de Riemann Representação de Weierstrass Geometria de Laguerre 5.1 Geometria das esferas orientadas em R Grupo de transformações de Laguerre sobre UR Superfícies de Laguerre em UR Teoremas de representação e completude da métrica de Laguerre Superfícies mínimas generalizadas de Laguerre Representação conforme para superfícies-mgl Completude da métrica de Laguerre Conclusão e futuras linhas de pesquisa 75 A Superfícies 80 A.1 Demonstrações de resultados anteriores A.1.1 Demonstração do Teorema A.1. Demonstração do Lema A.1.3 Demonstração do Teorema Bibliograa 83

9 Introdução A geometria de Laguerre constitui uma parte importante na geometria de Lie, nela os teoremas da geometria Euclidiana que dependem somente dos conceitos de esferas e seus contatos tangenciais, tem uma formulação mais natural ver [8]. Isto é conseguido mediante três etapas. Primeiramente, o espaço Euclidiano é compacticado adicionando um ponto no innito, de tal forma que os planos podem ser considerados como esferas de raio innito. Esta extensão é conhecida como geometria de Moebius. Em segundo lugar consideramos os pontos como esferas de raio zero. Finalmente, por razões técnicas, orientam-se esferas e planos em UR 3, associando um vetor normal. Estes objetos orientados podem ser considerados como pontos de uma hiperquádrica Q 4 no espaço projetivo RP 5, que é conhecida como quádrica de Lie. Um dos mais importantes subgrupos do grupo de transformações da esfera de Lie é o grupo de transformações de Laguerre em UR 3, neste subgrupo, estudamos as propriedades invariantes das superfícies. As transformações de Laguerre são as transformações da esfera de Lie que levam planos orientados de R 3 em planos orientados e preservam a distancia tangencial. A geometria das superfícies de Laguerre em R 3 foi desenvolvida por Blaschke e sua escola ver [6]. Nos últimos anos houve um grande interesse no estudo da geometria das superfícies de Laguerre ver [15], [16], principalmente desde o ponto de vista local e foi apresentada mais de uma forma de representar as superfícies mínimas de Laguerre em R 3 ver [0], [1]. Uma das invariantes pelo grupo de transformações de Laguerre é o funcional LX S H K ds, 1 K onde X : S R 3 é uma imersão de uma superfície orientada S com curvatura Gaussiana não nula e curvatura média H. Os pontos críticos superfícies críticas do funcional L são chamadas superfícies mínimas de Laguerre. O estudo de tais superfícies iniciou com J. Weingarten em 1888 ver [], e posteriormente desenvolvido por Blaschke desde o ano 194 ver [6], [3], [4], [5]. A equação de Euler-Lagrange para superfícies mínimas de Laguerre em 1 foi dada por J. Weingarten como segue H III 0, K

10 onde III é o Laplaciano em relação à terceira forma fundamental III. Claramente, as superfícies mínimas Euclidianas em R 3 são superfícies mínimas de Laguerre, no entanto, existem superfícies mínimas de Laguerre em R 3 que não são mínimas no sentido Euclidiano. Diversos resultados sobre superfícies mínimas de Laguerre podem-se achar em [6], [15] e [16]. Embora uma superfície mínima de Laguerre seja denida como aquela com curvatura Gaussiana não nula satisfazendo, é possível generalizar o conceito de minimalidade para superfícies com curvatura Gaussiana nula em um conjunto isolado de pontos, alguns resultados foram obtidos recentemente por Aledo, Juan A., Gálvez, José e A., Lozano, Victorino ver [1] chamadas superfícies mínimas generalizadas de Laguerre, fazendo um estudo das suas propriedades e da sua representação. O presente trabalho baseia-se principalmente em [13], [1] e [1], os dois últimos apresentam representações para superfícies mínimas e mínimas generalizadas de Laguerre, respectivamente. No primeiro caso em um aspecto local e no segundo em um aspecto global. Este trabalho está dividido em 4 capítulos e um apêndice, a saber: Capítulo 1: Preliminares Neste capítulo apresentamos as denições e resultados básicos sobre superfícies e variedades diferenciáveis que usaremos no desenvolvimento do trabalho. Estabelecemos também algumas notações e propriedades a serem generalizadas nos capítulos posteriores. As referencias são [17] e [10]. Capítulo : Geometria de Laguerre Neste capítulo apresentamos os conceitos e resultados fundamentais da geometria de Laguerre, fazemos um estudo detalhado da geometria das esferas orientadas em R 3 e denimos o grupo de transformações de Laguerre que é um subgrupo importante das transformações da esfera de Lie ver [8]. Fazemos um estudo das superfícies de Laguerre e apresentamos a métrica e o funcional de Laguerre. Capítulo 3: Teoremas de representação e completude da métrica de Laguerre Neste capítulo apresentamos uma análise global das superfícies mínimas de Laguerre e estendemos seu estudo para o caso em que a superfície tem curvatura Gaussiana nula em um conjunto de pontos isolados, denindo-as como superfícies mínimas generalizadas de Laguerre. Apresentamos uma representação conforme global das superfícies mínimas de Laguerre em termos de uma função meromorfa, uma forma holomorfa e uma função real harmônica e exibimos vários exemplos de como essa representação é aplicada. Capítulo 4: Conclusão e futuras linhas de pesquisa Neste capítulo são apresentadas as conclusões do trabalho e alguns resultados relacionados que mostram o desenvolvimento da área de pesquisa. Finalizamos com um problema aberto que versa sobre a geração de duas superfícies simétricas que preservam áreas a partir de uma superfície mínima de Laguerre, mostramos alguns grácos das superfícies simétricas geradas computacionalmente como sendo uma demonstração empírica que posteriormente ajudará a inferir uma possível formalização analítica da demonstração.

11 Capítulo 1 Preliminares Neste capítulo apresentamos as denições e resultados da geometria Riemanniana a serem utilizados ao longo deste trabalho. Começamos com denições relacionadas às variedades diferenciáveis e em seguida estudamos as superfícies diferenciáveis, em particular, as superfícies Riemannianas. Por serem considerados conhecimentos básicos, alguns resultados estão em forma de armação no decorrer do texto e sem demonstrações. Estas armações e suas respectivas demonstrações podem ser encontradas na literatura básica da geometria tais como [10] e [4]. Quanto a diferenciabilidade de uma função, adotamos a convenção de ser de classe C. 1.1 Variedades Riemannianas Variedades diferenciáveis Denição 1.1. Uma variedade diferenciável de dimensão n é um conjunto M e uma família de aplicações biunívocas X α : U α R n M de abertos U α de R n em M tais que: 1. α X α U α.. Para todo par α, β, com X α U α U β W, os conjuntos Xα 1 W e X 1 β W são abertos em R n e as aplicações X 1 β X α são diferenciáveis. 3. A família {U α, X α } é máxima relativamente às condições 1 e. O par U α, X α ou a aplicação X α com p X α U α é chamado uma parametrização ou sistema de coordenadas de M em p; X α é então chamada uma vizinhança coordenada em p. Uma família {U α, X α } satisfazendo 1 e é chamada uma estrutura diferenciável em M. De agora em diante, quando indicarmos uma variedade por M m, o índice m indicará a dimensão de M. Considere em M a topologia induzida pela estrutura diferenciável. No decorrer deste trabalho, as variedades diferenciáveis serão sempre de Hausdor e com base enumerável. Isto signica que dados dois pontos distintos de M existem vizinhanças destes dois pontos que não se interceptam e que M pode ser coberta por uma quantidade enumerável de vizinhanças coordenadas.

12 1.1 Variedades Riemannianas 5 Exemplo 1.1. Em M R n+1 \ {0}, denimos a relação de equivalência por: x y y tx, para algum t 0. O espaço quociente RP n M/ chama-se espaço projetivo real. RP n é uma variedade diferenciável de dimensão n. Geometricamente, cada classe [L] RP n pode ser identicado com a reta em R n+1 que passa pela origem cuja direção é dada pelo vetor x. Denição 1.. Sejam M1 n e M m variedades diferenciáveis. Uma aplicação ϕ : M 1 M é diferenciável em p M se dada uma parametrização Y : V R m M em ϕp existe uma parametrização X : U R n M 1 em p tal que ϕxu Y V e a aplicação Y 1 ϕ X : U R n R m 1.1 é diferenciável em X 1 p. Dizemos que ϕ é diferenciável em um aberto de M 1 se é diferenciável em todos os pontos deste aberto. Decorre da condição da Denição 1.1 que a denição dada é independente da escolha das parametrizações. A aplicação 1.1 é chamada a expressão de ϕ nas parametrizacões X e Y. Denição 1.3. Seja M uma variedade diferenciável. Uma aplicação diferenciável α : ε, ε M é chamada uma curva diferenciável em M. Suponha que α0 p M, e seja DM o conjunto das funções de M diferenciáveis em p. O vetor tangente à curva α em t 0 é a função α 0 : DM R dada por α 0f df α dt, t0 f DM. Um vetor tangente a M em p é o vetor tangente em t 0 de alguma curva α : ε, ε M com α0 p. O conjunto dos vetores tangentes a M em p será indicado por T p M. Se escolhemos uma parametrização X : U M n em p X0, podemos exprimir a função f e a curva α nesta parametrização por f Xq fu 1,, u n, q u 1,, u n U e X 1 αt u 1 t,, u n t respectivamente. Portanto, restringindo f a α, obtemos α df α 0f d dt t0 dt fu 1t,, u n t n f u i0 u i1 i n u i0 f. u i i1 0 t0

13 1.1 Variedades Riemannianas 6 Assim, o vetor α 0 pode ser expresso na parametrização X por Observe que u i 0 α 0 n i1 é o vetor tangente em p à curva coordenada u i0. 1. u i 0 u i X0,, 0, u i, 0,, 0. A expressão 1. mostra que o vetor tangente a uma curva α em p depende apenas das derivadas de α em um sistema de coordenadas. Decorre também de 1. que o conjunto T p M, com as operações usuais de funções, forma um espaço vetorial { de dimensão } n, e que a escolha de uma parametrização X : U M n determina uma base associada em T p M. É imediato que a estrutura linear em T p M assim u i 0 i1 denida não depende da parametrização X. O espaço vetorial T p M é chamado o espaço tangente de M em p. Proposição 1.1. Sejam M n 1 e M m variedades diferenciáveis e seja ϕ : M 1 M uma aplicação diferenciável. Para cada p M 1 e cada v T p M 1, escolha uma curva diferenciável α : ε, ε M 1 com α0 p, α 0 v. Faça β ϕ α. A aplicação dϕ p : T p M 1 T ϕp M dada por dϕ p v β 0 é uma aplicação linear que não depende da escolha de α. Denição 1.4. A aplicação linear dϕ p dada pela Proposição 1.1 é chamada diferencial de f em p. Denição 1.5. Sejam M n 1 e M n variedades diferenciáveis. Uma aplicação ϕ : M 1 M é um difeomorsmo se ela é diferenciável, biunívoca, sobrejetiva e sua inversa ϕ 1 é diferenciável. ϕ é um difeomorsmo local em p M se existem vizinhanças U de p e V de ϕp tais que ϕ : U V é um difeomorsmo. A noção de difeomorsmo é a noção natural de equivalência entre variedades diferenciáveis. Denição 1.6. Sejam M m e N n variedades diferenciáveis. Uma aplicação diferenciável ϕ : M N é uma imersão se dϕ p : T p M T ϕp N é injetiva para todo p M. Se, além disto, ϕ é um homeomorsmo sobre ϕm N, onde ϕm tem a topologia induzida por N, diz-se que ϕ é um mergulho. Se M N e a inclusão i : M N é um mergulho, diz-se que M é uma subvariedade de N. Note que se ϕ : M m N n é uma imersão, então m n; a diferença n m é chamada de codimensão da imersão ϕ. Pode-se mostrar que toda imersão é localmente um mergulho. Denição 1.7. Seja M uma variedade diferenciável. Dizemos que M é orientável se M admite uma estrutura diferenciável {U α, X α } tal que, para todo par α, β, com X α U α X β U β W, a diferencial da mudança de coordenadas X β Xα 1 tem determinante positivo. Caso contrário, diz-se que M é não-orientável. Se M é orientável, a escolha de uma estrutura diferenciável que satisfaz a condição acima é chamada uma orientação de M. determinam a mesma orientação se a união delas ainda a satisfaz. Duas estruturas diferenciáveis que satisfazem tal condição Pode-se vericar que se M é orientável e conexa existem exatamente duas orientações distintas em M. Supondo M 1 e M variedades diferenciáveis e ϕ : M 1 M um difeomorsmo, pode-se vericar também que M 1 é orientável se e somente se M é orientável. Se, além disto, M 1 e M são conexas e

14 1.1 Variedades Riemannianas 7 estão orientadas, ϕ induz uma orientação em M que pode ou não coincidir com a orientação inicial de M. No primeiro caso, diz-se que ϕ preserva orientação e no segundo, que ϕ reverte a orientação. Denição 1.8. Seja M n uma variedade diferenciável com estrutura diferenciável U α, X α e considere o conjunto T M {p, v p M, v T p M} { Indicaremos por u α 1,, u α n as coordenadas de U α e por,, espaços tangentes de ϕ α U α. Para cada α, dena φ α : U α R n T M, por φ α u α 1,, u α n, x 1,, x n u α 1 φ α u α 1,, u α n, n u α n } x i u α i1 i as bases associadas nos onde x 1,, x n R n. Assim denida, {U α R n, φ α } dota de uma estrutura diferenciável a T M. Com tal estrutura, T M é uma variedade diferenciável de dimensão n chamada brado tangente. Denição 1.9. Um campo de vetores X em uma variedade diferenciável M é uma correspondência que a cada ponto p M associa um vetor X p T p M. Em termos de aplicações, X é uma aplicação de M no brado tangente T M. O campo é diferenciável se a aplicação X : M T M é diferenciável. Considerando uma parametrização X : U R n M é possível escrever X p n i1 a i p u i, 1.3 { } n onde cada a i : U R é uma função em U e é a base associada a X. Dizemos que X é u i i1 diferenciável se e somente se as funções a i são diferenciáveis para alguma e, por tanto, para qualquer parametrização. Denotaremos por XM o conjunto de todos os campos de vetores diferenciáveis em M e por DM o conjunto das funções diferenciáveis de M em R. Assim, a expressão do campo X em 1.3 sugere uma forma de interpretar um campo de vetores como uma aplicação X : DM DM, denida por X f p n i1 a i p f u i p, sendo uma espécie de derivada direcional. Dessa forma, se X e Y são campos de vetores diferenciáveis em M e f : M R é uma função diferenciável, podemos considerar as funções X Yf e YX f e então denir o colchete, denotado por [X, Y], pelo campo de vetores X Y YX onde X Y YX f X Yf YX f É possível mostrar que para X, Y, Z XM, a, b R e f, g DM, esta operação entre campos satisfaz as seguintes propriedades 1. [X, Y] [Y, X ] anti-comutatividade,. [ax + by, Z] a [X, Z] + b [Y, Z] e [X, ay + bz] a [X, Y] + b [X, Z] bilinearidade,

15 1.1 Variedades Riemannianas 8 3. [[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X ], Y ] 0 identidade de Jacobi, 4. [fx, gy] fg [Y, X ] + fx gy gyfx. Denição Uma métrica Riemanniana em uma variedade diferenciável M é uma correspondência que associa a cada ponto p de M uma forma bilinear simétrica, positiva denida g p : T p M T p M R que varia diferenciavelmente no seguinte { sentido: } Se X : U R n M é um sistema de coordenadas locais em n torno de p com base associada e q Xu 1,, u n então a função g q q, q u i i1 u i u j g ij u 1,, u n é uma função diferenciável em U. As funções g ij são chamadas expressão da métrica Riemanniana no sistema de coordenadas X : U R n M. Uma variedade diferenciável munida de uma métrica Riemanniana chama-se uma Variedade Riemanniana. Denição Seja M n uma variedade Riemanniana com métrica g. Denimos o brado tangente unitário de M, denotado por UM, como a subvariedade UM {x, ξ x M, gξ, ξ 1}. O brado tangente unitário UM é uma subvariedade de dimensão n 1 que pode ser mergulhado em M S n 1. Denição 1.1. Sejam M, N duas variedades Riemannianas. Dada f : M N uma imersão, dizemos que f é uma imersão isométrica se para todo p M e u, v T p M temos g p u, v g fp df p u, df p v. Onde g representa a métrica de M e g a métrica de N, em particular, se f é um difeomorsmo, dizemos que f é uma isometria. Observação 1.1. Observe que se M, N são variedades diferenciáveis, f : M N é uma imersão e N possui uma estrutura Riemanniana então f induz uma estrutura Riemanniana em M para cada p M da seguinte forma g p u, v : g fp df p u, df p v, u, v T p M. Onde g representa a métrica de M e g a métrica de N. Decorre do dito acima, que dada uma imersão isométrica f : M N, ela é localmente um mergulho. Denição Sejam M, N duas variedades Riemannianas com métricas g e g, respectivamente. Uma aplicação f : M N é chamada conforme se existe uma função ϕ DM, tal que para todo p M e todo u, v T p M se tenha g p df p u, df p v e ϕ g p u, v. Nesse caso, dizemos que g e g são conformes. No caso particular de ϕ ser constante, dizemos que g e g são homotéticas. Exemplo 1.. Consideremos o semi-espaço do R n dado por H n {x 1,, x n R n x n > 0} e introduza em H n a métrica g ij x 1,, x n 1 x δ ij, n

16 1.1 Variedades Riemannianas 9 assim tal métrica é conforme à métrica usual de R. O espaço H n é chamado o espaço Hiperbólico de dimensão n. Já que o conteúdo principal do presente trabalho versa sobre subvariedades bidimensionais de R 3, faremos um estudo das principais denições e propriedades para subvariedades em R n, sendo de utilidade o caso n 3 e as subvariedades de dimensão m, particularmente superfícies mínimas e superfícies Riemannianas. Nos seguintes capítulos, quando seja dita uma subvariedade, está subentendido que é uma subvariedade de R n A métrica Riemanniana induzida às subvariedades de R n Em uma variedade diferenciável podem ser denidas muitas métricas diferentes, em nosso caso nos limitamos à chamada métrica Riemanniana induzida que é obtida do produto escalar Euclidiano do espaço envolvente. Seja M uma subvariedade de R n, o produto escalar Euclidiano em R n é dado por n x, y : x i y i, para x x 1,, x n, y y 1,, y n. i1 Assim,, induz um produto escalar em cada subespaço T p M R n. Denição Seja M R n uma subvariedade e para cada p M, seja g p produto escalar dado por g p x, y : x, y, x, y T p M. : T p M T p M R o A família g {g p } p M destes produtos escalares chama-se a métrica Riemanniana induzida em M Gradiente, divergência e Laplaciano em subvariedades de R n Denição Seja M R n uma subvariedade com sua métrica Riemanniana induzida e seja f : M R uma função suave em M com valores reais. O gradiente de f é o único campo vetorial gradf : M R n em M que a cada ponto p M associa o vetor gradfp T p M que satisfaz g p gradfp, v df p v, v T p M. O seguinte teorema fornece uma representação em coordenadas locais para o gradiente na base canônica associada a um sistema de coordenadas, particularmente, mostra que o campo gradf é suave. Teorema 1.1. Seja M m uma subvariedade diferenciável e U, X um sistema de coordenadas em M. Dada f DM, denote a representação correspondente de f por f : f X 1 : XU R e seja g ij a matriz inversa de g ij g p,. Então no domínio U temos x i x j gradf m i,j1 ij f g x i x j m g ij f X. x i x j i,j1

17 1.1 Variedades Riemannianas 10 Demonstração. Ver Apêndice A.1.1. Denição Seja M m R n uma subvariedade diferenciável e X XM. A divergência de X é a função divx DM denida por divx p m v i X, v i, p M i1 onde {v 1,, v m } é uma base ortonormal de T p M e v i X R n denota a derivada direcional da aplicação X : M R n na direção do vetor v i. Agora, vamos escrever a divergência de um campo vetorial em coordenadas locais, para tal propósito, vamos precisar de um Lema, cuja demonstração encontra-se no Apêndice A, Seção A.1.. Lema 1.1. Seja F : ε, ε GLn, C uma curva diferenciável no grupo das matrizes invertíveis. Então TrF 1 s F s d lndet F s. ds Teorema 1.. Seja M m uma subvariedade diferenciável com parametrização X : U M e X XM. m Suponha que X tenha a representação X ξ i. Além disso, seja θ detg ij p, para cada p M. u i1 i Então no domínio U, temos divx 1 m ξ i θ. θ u i i1 { } Demonstração. Seja u 1,, u m a base canônica associada a p em M induzida pela parametrização m X e seja v 1,, v m uma base ortonormal qualquer em T p M. Então v i A ij para uma matriz u j A A ij. Além disso, seja E : δ ij a matriz identidade e seja G : g ij p. As matrizes G e A são relacionadas da seguinte forma E g p a i, a j j1 n A ik g kl A jl A G A t, e também G 1 A t A. k,l1 Em particular, g ij A t A ij. 1.4 Para a divergência obtemos, pela denição: divx m v i X, v i i1 1.4 m A ik X, u k u l m m i,k,l1 k,l1 k,l1 i1 A il A ik A il u k X, m A t A kl X, u k u l m. k,l1 g kl u k X, u l u l

18 1.1 Variedades Riemannianas 11 Agora substituímos X pela representação X m i1 ξ i e aplicamos as regras para derivada direcional. u i Além disso, no seguinte calculo vamos usar o fato das derivadas direcionais e vetores de uma base canônica comutarem segundo a fórmula [ u k, u j ] u k u j u j u k 0. Desta forma, obtemos divx m j,k,l1 m j,k,l1 m j1 g kl ξ j, u k u j u l [ ξ j g kl g jl + ξ j g kl x k u j u j ξ j + m j1 ξ j m k,l1 + ξ j u k, u k g kl, u j u k, u j u l ] u l, u l 1.5 onde na penúltima linha no segundo termo, trocamos os índices j e k segundo nossa observação acima. Continuamos transformando o segundo termo. segunda parte renomeamos os índices k e l. Para isso, separamos ele em duas partes iguais e na Além disso, usamos a simetria da métrica, a regra da derivada do produto escalar de aplicações com valores vetoriais e o lema anterior, assim m k,l1 g kl, u j u k 1 u l Usando a equação 1.5 obtemos divx 1 1 m k,l1 g kl u j u k m g kl u j k,l1 m k,l1 g kl u j u k u k, 1 m g kl g kl u j k,l1 1 G Tr 1 G u j Lema 1.1 m j1 1 lndet G u j 1 lnθ u j ln θ u j 1 θ u j θ.,, u l u l u l m g lk, u j u l u k m g kl, u k u j u l l,k1 l,k1 [ ξ j + 1 ξ i ] θ 1 m ξ i θ. u j θ x j θ u i i1

19 1.1 Variedades Riemannianas 1 Finalmente, denimos o Laplaciano para funções denidas em subvariedades. Denição Seja M m R n uma subvariedade diferenciável com métrica g e f DM. Denimos o operador de Laplace g por g : D D f g f divgradf. Quando seja usada uma única métrica, simplesmente denotaremos o operador Laplaciano por. Assim, como foi determinada a divergência em coordenadas locais, temos a seguinte representação para o operador Laplaciano. Teorema 1.3. Seja M m uma subvariedade diferenciável com parametrização X : U M e f DM. Então, com as notações do Teorema 1., temos f 1 θ m i,j1 u j θg ij f Demonstração. Da mesma denição do operador Laplaciano e dos Teoremas 1.1 e 1. segue que no domínio U, temos u i. m m f U div ij f g u j1 i1 i u j 1 m θ m ij f g θ u j1 j u i1 i 1 m θg ij f. θ u j u i i,j1 Exemplo 1.3. O operador de Laplace em S. Seja a métrica g induzida pela imersão T : 0, π 0, π S ϕ, φ T ϕ, φ sin ϕ cos φ, sin ϕ sin φ, cos ϕ, então, temos g 11 T ϕ, T ϕ 1, g 1 g 1 0, g T φ, T φ sen ϕ e θ sin ϕ sin ϕ, assim, g sin ϕ g ij e g sin ϕ g ij.

20 1.1 Variedades Riemannianas 13 Logo, temos 1 θ 1/ ϕ θ1/ ϕ + 1 φ sin ϕ θ1/ φ 1 [ sin ϕ + ] 1 sin ϕ ϕ ϕ φ sin ϕ φ 1 [ sin ϕ ] 1 sin ϕ ϕ ϕ sin ϕ φ. Exemplo 1.4. Operador de Laplace para métricas conformes Seja M m uma variedade Riemanniana com duas métricas conformes g e g, então existe ϕ DM tal que assim, obtemos que g e ϕ g, 1.6 g ij e ϕ g ij e consequentemente que g ij e ϕ g ij. É claro que da equação 1.6 temos que det g e mϕ det g, então, denindo θ : det g obtemos det g e mϕ θ : θ. Agora, fazendo uso da fórmula do Laplaciano em coordenadas locais dada no Teorema 1.3 temos θ 1 m θ g ij u i,j1 j u i 1 m e mϕ e mϕ θe ϕ g ij θ u i,j1 j u i 1 m e mϕ e m ϕ θg ij θ u i,j1 j u i 1 m [ e mϕ e m ϕ m ϕ θg ij + e m ϕ ] θg ij θ u i,j1 j u i u j u i m m e ϕ ij ϕ g + e ϕ m θg ij f u j u i θ u j u i g i,j1 m e ϕ m i,j1 i,j1 ij ϕ g + e ϕ g. u j u i Já que estamos sobre superfícies subvariedades - dimensionais temos a seguinte relação entre os Laplacianos das métricas conformes g e ϕ g. A continuação serão citadas as regras do produto para o gradiente, divergência e Laplaciano em uma subvariedade. As demonstrações encontram-se no Apêndice A, Seção A.1.3. Teorema 1.4. Seja M uma subvariedade, sejam f, h DM e X XM. Então 1. gradf h f gradh + h gradf.. divf X f divx + X f. 3. f h f h + h f + gradf, gradh.

21 1. Superfícies, formas quadráticas e representação de Weierstrass 14 Denição Uma conexão am sobre uma variedade diferenciável M é uma aplicação satisfazendo as seguintes propriedades i. fx +gy Z f X Z + g Y Z, ii. X Y + Z X Y + X Z, iii. X fy f X Y + X fy, onde X, Y, Z XM e f, g DM. : XM XM XM X, Y X, Y not. X Y, Denição Dada uma variedade Riemanniana M m e p M, existe uma vizinhança U M de p e m campos ortonormais E 1 E m XU tais que em p, Ei E j p 0. A família {E i } m i1 é chamada um referencial geodésico local em p. Observação 1.. Das duas denições anteriores, o operador de Laplace na Denição 1.17 é equivalente a fp m E i E i fp, p M. i1 1. Superfícies, formas quadráticas e representação de Weierstrass 1..1 Superfícies regulares Denição 1.0. Um subconjunto S R 3 é uma superfície regular se, para cada p S existe uma vizinhança V de p em R 3 e uma aplicação ϕ : U V S de um aberto U de R sobre V S R 3 tal que 1. ϕ é diferenciável. Isto é, se escrevemos ϕu, v xu, v, yu, v, zu, v U, as funções xu, v, yu, v, zu, v têm derivadas parciais contínuas de todas as ordens em U.. ϕ é injetiva. { } 3. Para todo q U, ϕ u, ϕ v são linearmente independentes, ou seja, as derivadas parciais ϕ u q e ϕ v q são tais que o produto vetorial ϕ ϕ u q v q 0. Quando dizer superfície é comum identicar a parametrização φ quanto sua imagem, S ϕu, sendo indistintamente usado no decorrer do trabalho. Denição 1.1. Dizemos que uma superfície S é orientável se pode ser coberta com uma família de vizinhanças coordenadas de modo que se um ponto p S estar em duas vizinhanças dessa família, o Jacobiano da mudança de parâmetros em p seja positivo. Entendemos por vetor tangente a S em um ponto p S, o vetor α t de uma curva parametrizada diferenciável α : ɛ, ɛ S com α0 p. Seja S R 3 uma superfície regular, ϕ : U R V S

22 1. Superfícies, formas quadráticas e representação de Weierstrass 15 uma parametrização e um ponto q U. O conjunto de vetores tangentes a S em p ϕq é um subespaço - dimensional chamado plano tangente de S em p, denotado por T p S é independente da parametrização ϕ escolhida. Já que ϕ u ϕ v é ortogonal ao plano tangente T p S no ponto p, representamos o vetor normal unitário em p por Np ϕ uq ϕ v q ϕ u q ϕ v q, chamado de vetor normal unitário de ϕ em q, sendo p ϕq. Dessa forma, para p xado, a equação de T p S é dada por x, y, z ϕqnp Formas fundamentais Vamos considerar uma superfície regular S R 3. Em cada plano tangente T p S com p S é induzido um produto interno, p, que, por sua vez é uma forma bilinear simétrica, logo tem associada uma forma quadrática I p. Denimos o produto interno, p e a forma quadrática I p, respectivamente, como, p : T p S T p S R u, v u, v p e I p : T p S R w I p w w. A forma quadrática I p é chamada primeira forma fundamental da superfície regular S em p. Supondo que X : U R R 3 é uma superfície regular, sendo que {X u, X v } é base de T p S, para ax u + bx v com a, b R, podemos escrever I p ax u + bx v ax u + bx v a X u, X u + ab X u, X v + b X v, X v e obtemos as seguintes funções g 11 X u, X u : E g 1 g 1 X u, X v : F g X v, X v : G Chamamos às funções {g ij } de coecientes da primeira forma fundamental. Explicitamente, a primeira forma fundamental pode-se exprimir como I Edu + F dudv + Gdv. 1.7 Agora, considerando a superfície regular S orientada parametrizada por X : U R S, denimos

23 1. Superfícies, formas quadráticas e representação de Weierstrass 16 a aplicação normal de Gauss em p S como N : U R R u, v Nu, v X u X v X u X v, a qual associa a cada ponto de S sua imagem normal em S. Sabemos que dn p : T p S T p S é uma aplicação linear autoadjunta, o que permite associar-lhe uma forma quadrática Q p denida como Q p : T p S T p S R Associamos a Q p a forma quadrática II p denida como II p : T p S R u, v Qu, v dn p u, v. u II p u Qu, u dn p u, u. A forma quadrática II p é chamadasegunda forma fundamental da superfície regular S em p. Analogamente ao caso da primeira forma fundamental, para ax u + bx v com a, b R, podemos escrever II p ax u + bx v dn p ax u + bx v, ax u + bx v a dn p X u, X u ab dn p X u, X v b dn p X v, X v a N, X uu + ab N, X uv + b N, X vv e obtemos as seguintes funções e 11 N, X uu N u, X u : e e 1 e 1 N, X uv N u, X v N v, X u : f e N, X vv N v, X v : g Chamamos às funções {e ij } de coecientes da segunda forma fundamental. Explicitamente, a segunda forma fundamental pode-se exprimir como II edu + fdudv + gdv. 1.8 Denição 1.. Seja X : U R R 3 uma superfície regular, denimos a curvatura Gaussiana como K e 11e e 1 g 11 g g 1 e se for uma superfície orientada, denimos a curvatura média como H 1 e 11 g e 1 g 1 + e g g 11 g g1. Denição 1.3. Dizemos que uma superfície orientada é mínima se sua curvatura média é identicamente nula.

24 1. Superfícies, formas quadráticas e representação de Weierstrass 17 Finalmente, é possível denir uma outra forma bilinear simétrica dada por P p : T p S T p S R associando-lhe a forma quadrática III p denida como u, v P p u, v dn p u, dn p v, III p : T p S R u III p u dn p u, dn p u. A forma quadrática III p é chamada terceira forma fundamental da Superfície S em p. Assim, das equacoes 1.7 e 1.8, a terceira forma fundamental pode-se exprimir como III He KEdu + Hf KF dudv + Hg KGdv. 1.9 De agora em diante, omitiremos o índice p, subentendido que as formas fundamentais estão denidas em p. Se não ter confusão, será usado IIIu, v para fazer referência à forma bilinear P da qual III provém. Assim também, para IIu, v, teremos considerado IIu, v dn p u, v, ou seja IIu, v Qu, v. Analogamente para I. Observação 1.3 Relação entre as Formas Fundamentais. Dada uma superfície orientada S e um ponto p S, existe uma base ortonormal {e 1, e } do T p S de direções principais, então: dn p e 1 k 1 e 1, dn p e k e onde k 1, k são as curvaturas principais de S em p. Elas provém da equação k Hk + K 0, onde H e K são a curvatura média e Gaussiana respectivamente. Tal equação é fornecida pelo polinômio característico pk det dn p + kid 0, logo, usando o Teorema de Cayley-Hamilton temos dn p HdN p + KId 0. Agora, u T p S temos dn p u, u H dn p u, u + K u, u 0 dn p u, dn p u H dn p u, u + K u, u 0 IIIu HIIu + kiu 0 assim, temos a identidade III HII + KI Consequentemente, da equação 1.10 temos as seguintes funções h 11 He 11 Kg 11 h 1 h 1 He 1 Kg 1 h He Kg

25 1. Superfícies, formas quadráticas e representação de Weierstrass 18 Chamamos às funções {h ij } de coecientes da terceira forma fundamental. De modo geral, seja S uma superície orientada. As formas quadráticas A Ldu + M du dv + Ñ dv e B Ldu + M du dv + Ndv sobre S fornecem o par A, B se A é não degenerada. É conveniente usar a terminología usual quando A I e B II são as formas fundamentais. Denimos a curvatura média e a curvatura extrínseca H e K, respectivamente, do par A, B por H HA, B LN MM + ÑL LÑ M, K KA, B LN M LÑ M. No caso particular de ter as formas quadráticas C III e B II, temos o par C, B III, II, e usando as expressões em 1.9 e 1.8 temos, III He KE }{{} L du + Hf KF }{{} M du dv + Hg KG }{{} Ñ dv daí, II HIII, II e }{{} L du + f du dv + }{{} M g }{{} N dv He KEg Hf KF f + Hg KGe He KEHg KG Hf KF Heg f KEg + ff Ge 4H eg HeKG KEHg + K EG 4H f + 4HfKF K F 4Heg f K EG F H 4H eg f HKeG ff + Eg + K EG F 4Heg f eg f EG F EG F H 4H eg f HK EG F H + K EG F 4Heg f eg f H 4H eg f Heg f H + eg f EG F H H H H H + eg f K. EG F Portanto, HIII, II H K De forma análoga, temos

26 1. Superfícies, formas quadráticas e representação de Weierstrass 19 KIII, II eg f He KEHg KG Hf KF eg f 4H eg f 4H KEG F + K EG F 1 4H 4H EG F K eg f + K EG F eg f 1 4H 4H K 1 K + K 1 K 1 K. Portanto, KIII, II 1 K. 1.1 As expressões 1.11 e 1.1 ligadas ao par III, II serão úteis no futuro Superfícies de Riemann Uma superfície de Riemann M é uma variedade - dimensional, conexa de Hausdor com estrutura diferenciável {U α, Z α } tal que {Z α U α } é uma cobertura aberta de M, onde Z α : U α C M é um homeomorsmo de um subconjunto aberto do plano complexo C de modo que as mudanças de parâmetros f αβ Z 1 α Z β : Z 1 β Z βu β Z α U α Zα 1 Z β U β Z α U α são holomorfas sempre que Z α U α Z β U β. Pelas equações de Cauchy-Riemann, concluímos que toda superfície de Riemann é orientável. Se u, v são parâmetros locais de uma parametrização Z, dizemos que os parâmetros são isotérmicos ou conformes se Z u, Z u Z v, Z v e Z u, Z v 0. Pode-se mostrar que toda superfície orientável M possui uma estrutura de superfície de Riemann. O plano complexo C, com a estrutura diferenciável {C, Id}, e qualquer subconjunto aberto conexo de C são superfícies de Riemann; em particular, o disco unitário D {z C; z < 1} é uma superfície de Riemann. A esfera de Riemann C C { }, com sua estrutura formada por duas parametrizações, a identidade denida em C e a aplicação z 1 z denida para z 0 estendida a por 0, com a estrutura, é uma superfície de Riemann. Uma aplicação contínua f : M 1 M entre duas superfícies de Riemann é dita holomorfa em p M 1 se, dada uma coordenada local {V 1, Y 1 } em fp, existe uma coordenada local {U 1, X 1 } em p tal que fx 1 U 1 Y 1 V 1 e a aplicação Y1 1 f X 1 : U 1 C é um holomorsmo em X1 1 p. A função f é dita holomorfa em um aberto de M 1 se for holomorfa em todos os pontos deste aberto. É claro que a denição dada é independente da escolha das coordenadas locais. Se f é injetiva e holomorfa, então f 1 é holomorfa e f é dita equivalência conforme. Neste caso, M 1 e M são ditas conformemente equivalentes. Lema 1.. Seja f : U R V R uma bijeção holomorfa entre abertos de C R. Então, f é uma

27 1. Superfícies, formas quadráticas e representação de Weierstrass 0 aplicação conforme. Demonstração. Escrevemos fx, y ux, y, vx, y, x, y U. Como f é holomorfa, vale as equações de Cauchy-Riemann Sendo {e 1, e } a base canônica de R, segue que u x v y, u y v x. f df e1, df e x, f y u u x y + x v x u y 0, x, v u, x y, v y f df e1, df e1 x, f u v x, + XXX. x x v u + df e, df e. y y Assim, df ei, df ej µ δ ij µ e i, e j, onde µ u x + v x um campo de vetores qualquer em U, temos que e portanto f é uma aplicação conforme. df v, df v dfa 1 e 1 + a e, dfa 1 e 1 + a e a 1µ e 1, e 1 + a µ e, e µ a 1 + a µ v, v, v y + u y. Agora, se v é Seja agora f : M 1 M uma equivalência conforme entre duas superfícies de Riemann. Tomando {U, X} e {V, Y } como parametrizações isotérmicas em M 1 e M, respectivamente, tais que fxu Y V, então a aplicação ϕ Y 1 f X : U R Y 1 fxu R é uma bijeção holomorfa, e pelo lema anterior concluímos ser uma aplicação conforme. Como X e Y são isotérmicas, então são aplicações conformes. Assim, de ϕ Y 1 f X segue que f Y ϕ X 1 é um difeomorsmo, e por composição é localmente conforme. Portanto, f é uma aplicação localmente conforme Representação de Weierstrass Nesta seção apresentamos a Representação de Weierstrass para superfícies mínimas, tal representação fornece uma descrição explicita da superfície usando dois dados: uma função meromorfa e uma forma holomorfa. Para um estudo detalhado das formas diferenciáveis, citamos [9]. Seja U R aberto simplesmente conexo e ψ : U R 3 uma imersão, dizemos que ψ é uma aplicação conforme se ψ u ψ v e ψ u, ψ v 0, neste caso ψ induz uma métrica em U : ds λ du + dv

28 1. Superfícies, formas quadráticas e representação de Weierstrass 1 onde λ ψ u ψ v. Dizemos que u, v são parâmetros isotérmicos. A possibilidade de obter parâmetros isotérmicos é dada pelo seguinte teorema. Teorema 1.5 Existênca de parâmetros isotérmicos. Se ψ : U R 3 é uma imersão, então existe um difeomorsmo ϕ conforme. Demonstração. Ver []. : U U de classe C k, sempre que ψ C k tal que ψ ψ ϕ é uma aplicação Supondo M uma superfície conexa e orientável e seja x : M R 3 uma imersão de classe C, pelo teorema anterior cada ponto p M possui uma vizinhança de parâmetros isotérmicos u, v. A métrica induzida sobre M por x será representada, localmente, em termos de tais parâmetros, por ds λ dz, onde z u + iv. Assim, uma mudança de coordenadas de tais parâmetros é uma aplicação conforme. Desde que M é uma superfície orientável, podemos limitar-nos a famílias de parâmetros isotérmicos cuja mudança de coordenadas preserve a orientação do plano, tal superfície é uma superfície Riemanniana. Na superfície Riemanniana, denimos os operadores z 1 z 1 u i, v u + i, v e dizemos que f é holomorfa se, e somente se, z f 0. Se z f 0, dizemos que f é anti-holomorfa Vamos agora considerar uma imersão X : X 1, X, X 3 : M R 3, na qual é possível denir parâmetros isotérmicos, então, já que temos 4 λ z consequentemente, temos a seguinte proposição. X HN, z 1 λ u + v, Proposição 1.. X : M R 3 é uma imersão mínima se, e somente se, é harmônica. Por outra parte, denindo φ z X, temos z φ z z X λ 4 X, logo, φ é holomorfa se, e somente se, X é harmônica. Observação 1.4. Note que φ é uma função denida em M localmente com valores na quádrica de C que satisfaz z1 + z + z3 0, pois: Supondo φ φ 1, φ, φ 3 z X, então φ k z X k 1 u X k i v X k

29 1. Superfícies, formas quadráticas e representação de Weierstrass daí, { φ k 1 4 u X k v X k i } u X k v X k k k 1 4 { Xu X v i X u, X v } 0 k k e φ k φ k k [ ] 1 4 u X k + v X k 1 4 Xu + X v 4 λ λ > 0, assim, φ k 0 e φ > 0. Agora, suponha que w wz é uma mudança de parâmetros ainda isotérmicos, então denindo uma função φ w X, temos φ z X w X z w φ z, assim, se considerarmos as formas diferenciais α, α : M C 3 dada por α φ dz e α φ dw em seus parâmetros z, w respectivamente, teremos α φ dz φ z w dz φ dw α, o que quer dizer que α está globalmente denida em M com expressão local α α 1, α, α 3 tal que α k φ k dz; k 1,, 3. Consequentemente, temos a seguinte proposição. Proposição 1.3. Seja X : M R 3 uma imersão. Então α φ dz é holomorfa sobre M se, e somente z se, X é uma imersão mínima. Alias, X Re α, onde a integral é tomada ao longo de qualquer caminho desde um ponto xo ate z M. Observação 1.5. Quando a parte real da integral de α ao longo de qualquer caminho fechado é zero, dizemos que α não tem períodos reais. A não existência de períodos reais para α é equivalente a que z Re α independa do caminho em M. Teorema 1.6 Represetação de Weierstrass. Sejam α 1, α, α 3 formas diferenciáveis holomorfas sobre M tais que a k α k 0, ou seja, α k φ k dz e k φ k 0, b k α k > 0, e c Cada α k não tem períodos reais em M. Então, a aplicação X : M R 3 denida por X X 1, X, X 3 com X k Re z α k é uma imersão mínima. Observação 1.6. A condição c é necessária para garantir que Re α k depende só do ponto nal z. p 0 Assim, cada X k é bem denida independentemente do caminho desde p 0 ate z. b garante que X seja imersão. z

30 1. Superfícies, formas quadráticas e representação de Weierstrass 3 É possível dar uma descrição das soluções a α 1 + α + α 3 0 sobre M. Para isso, suponha que α 1 iα M não imersa num plano, denimos a função meromorfa g e a forma holomorfa w por: g α 3 α iα, w α 1 iα, localmente α k φ k dz, então w α 1 iα φ 1 iφ dz, denindo f : φ 1 iφ temos que f é uma função holomorfa e w f dz. Por outra parte, nos termos de g e w temos: α 1 w 1 g, α i w 1 + g, α 3 gw. Assim, a imersão mínima é dada por z z w X 1 Re α 1 Re 1 g dz z z X Re α Re i w 1 + g dz z z X 3 Re α 3 Re gw dz 1.14 A expressão em 1.14 é chamada Fórmula de Representação de Weierstrass para superfícies mínimas em R 3. 1 Observação 1.7. Note que N Re g, Im g, g 1 + g 1. Se π é a projeção estereográca estendida, π N g, assim g é a aplicação normal da imersão. Exemplo 1.5. Seja M C, gz ie z, w e z dz. Observe que g não tem polos e w não tem zeros em C. Então α 1 e z e z + e z cosh z dz 1 + e z dz dz α ie z 1 e z dz e z e z i dz i sinh z dz α 3 ie z e z dz i dz.

31 1. Superfícies, formas quadráticas e representação de Weierstrass 4 Logo, X 1 Re z 0 cosh z dz Resinh z Re i sin iz Re [ i siniu v] Re [ isin iu cos v cos iu sin v] Re [ ii sinh u cos v + sin v cosh u] Re sinh u cos v + i sin v cosh u sinh u cos v X Re z 0 i sinh z dz Re i cosh z Re i cos iz Re [ i cosiu v] Re [ icos iu cos v + sin iu sin v] Re [ icosh u cos v + i sinh u sin v] Re i cos u cos v + sinh u sin v sinh u sin v X 3 Re z 0 i dz Re iz Re iu v v. Como cosh z, sinh z, e o produto são holomorfos, temos para todo caminho fechado γ que α k 0, isto é, α k não tem períodos reais. Logo da equação 1.14 temos X 1 sinh u cos v X sinh u sin v X 3 v chamando t sinh u, temos que X t cos v, t sin v, v é o Helicóide. γ

32 Geometria de Laguerre Capítulo A geometria de Laguerre é essencialmente a geometria Euclidiana de esferas e planos orientados, seu estudo iniciou com J. Weingarten em Posteriormente foi desenvolvido por Blaschke desde o ano 194 ver [6], [3], [4], [5] e no último século retomou grande interesse [1], [13], [15], [16], [0], [1], [1]. Um dos objetivos desta geometria é estudar as superfícies críticas do volume da métrica de Laguerre, chamadas superfícies mínimas de Laguerre. Nesta seção apresentamos os conceitos de orientação e contato de esferas e planos em termos de suas coordenadas esféricas. Introduzimos o grupo de transformações de Laguerre e mostramos a invariância da métrica de Laguerre pela ação deste grupo. Finalizamos com um teorema de caracterização das superfícies mínimas de Laguerre em termos de sua curvatura média e Gaussiana..1 Geometria das esferas orientadas em R 3 Nesta seção apresentamos a geometria de esferas orientadas em R 3. Para maiores detalhes sobre esferas orientadas na geometria de Lie referimos aos livros [8] e [7]. Seja UR 3 o brado tangente unitário de R 3, o qual pode ser mergulhado em R 6 por UR 3 { x, ξ x R 3, ξ S } R 3 S R 6, existem duas classes de esferas orientadas em UR 3, a primeira delas corresponde propriamente a uma esfera e a segunda a um plano visto como um caso de esfera degenerada de raio innitamente grande, ambos no espaço R 3. Denição.1. Uma esfera orientada em UR 3 centrada em p com raio r é uma subvariedade - dimensional em UR 3 dada por Sp, r { x, ξ UR 3 x p rξ }, p R 3, r R. Geometricamente Sp, r é uma esfera orientada com raio r em R 3. Se r > 0 respectivamente r < 0, então a esfera é orientada para fora respectivamente para dentro. Se r 0, então Sp, 0 consiste de

33 .1 Geometria das esferas orientadas em R 3 6 todos os vetores unitários em p, nesse caso chamamos a Sp, 0 ponto esférico. Denição.. Um plano orientado em UR 3 com vetor constante v S e constante a R é uma subvariedade - dimensional em UR 3 dada por P v, a { x, v UR 3 x v a }. Geometricamente, P v, a é o plano orientado { x R 3 x v a } em R 3 com vetor normal v. Denotamos por Σ o conjunto constituído por todas as esferas orientadas e planos orientados em UR 3. Denição.3. Sejam Γ 1, Γ Σ. Dizemos que Γ 1 e Γ têm contato orientado se Γ 1 Γ ou se a intersecção Γ 1 Γ é um único ponto x, ξ UR 3. Geometricamente, Γ 1 e Γ têm contato orientado em x, ξ se, e somente se, elas são esferas orientadas ou planos orientados em R 3 tangentes em x com o mesmo campo normal unitário ξ. Para determinar uma forma analítica da condição de existência de contato orientado, introduzimos as seguintes denições. Denição.4. Denimos o espaço pseudo - Euclidiano R 6 como R 6 munido do produto escalar,, dado por x, y x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 + x 4 y 4 + x 5 y 5 x 6 y 6 para x x 1,, x 6, y y 1,, y 6 R 6. Denição.5. Denimos o cone de luz C 5 em R 6 por C 5 { x R 6 x, x 0, x 0 } R 6. Denição.6. No espaço projetivo real RP 5, denimos a quádrica Q 4 por Q 4 { [x] RP 5 x, x 0, x 0 }. Então, pode-se associar uma esfera orientada Sp, r Σ a um vetor γ C 5 dado por γ p r, 1 1 p + r, p, r,.1 e associar um plano orientado P v, a Σ a um vetor γ C 5 dado por γ a, a, v, 1,. onde denota o produto Euclidiano em R 3. Chamamos a γ, γ de coordenada esférica de Sp, r e P v, a, respectivamente. Para qualquer Γ Σ, denotamos por γ sua coordenada dada em.1 e.. Então, temos que a correspondência Γ Σ γ C 5 dene uma bijeção de Σ em C 5 \{ }, onde 1, 1, 0, 0, 0 R 3..3

34 .1 Geometria das esferas orientadas em R 3 7 Geometricamente, o ponto lim p 1 p p, 1 1 p, p, 0 em C 5 é a coordenada do ponto esférico no de R 3. A seguir, vamos fazer uma análise dos contatos orientados entre elementos de Σ. O objetivo deste análise é estabelecer uma relação entre o contato orientado e as coordenadas esféricas em C 5. Caso I: Duas esferas orientadas diferentes. Sejam Sp 1, r 1 e Sp, r duas esferas orientadas cujas coordenadas esféricas são 1 γ p 1 r1, 1 1 p 1 + r1, p 1, r 1, 1 γ 1 + p r, 1 1 p + r, p, r, respectivamente. Em princípio, podem ocorrer os seguintes casos i. p 1 p, r 1 r, ii. p 1 p, r 1 r, iii. p 1 p, r 1 r. As duas esferas possuem contato orientado se existe um único ponto x, ξ Sp 1, r 1 Sp, r, consequentemente, deve-se satisfazer que x p 1 r 1 ξ.4 e daí, temos que x p r ξ,.5 p 1 p r r 1 ξ e já que ξ S, obtemos que p 1 p r r 1. Portanto, o único caso possível é o caso iii. Agora, observe que se existir x, ξ x, ξ Sp 1, r 1 Sp, r teríamos que x p 1 r 1 ξ.6 e logo, de.4 e.6 temos que e logo, x p r ξ,.7 x r 1 ξ x r 1 ξ x x r 1 ξ ξ..8

35 .1 Geometria das esferas orientadas em R 3 8 Por outra parte, de.5 e.7 temos que x x r ξ ξ,.9 igualando.8 e.9, temos assim, r 1 ξ ξ r ξ ξ, r 1 r ξ ξ 0, e como r 1 r, obtemos que ξ ξ, o que é uma contradição. Portanto, o ponto de intersecção de Sp 1, r 1 e Sp, r é único. Analisamos agora o produto escalar das coordenadas esféricas γ 1 e γ, temos 1 γ 1, γ 1 + p 1 r1, p 1 + r1, p 1, r 1, 1 + p r, 1 1 p + r, p, r 1 [ 1 + p1 r p r ] + 1 [ 1 p1 + r 4 11 p + r ] + p 1 p r 1 r 1 [ 1 + p r 4 + p 1 r1 + p 1 r1 p r ] [ 1 + p + r + p 1 + r 1 + p 1 + r 1 p + r ] + p 1 p r 1 r 1 p r 1 p 1 r1 + p 1 p r 1 r 1 p1 p 1 p + p + 1 r r 1 r + r1 1 p 1 p + 1 r r Logo, se γ 1, γ 0, teríamos que p 1 p r r 1, de onde p 1 p r r 1, portanto Sp 1, r 1 e Sp, r são de contato orientado. Reciprocamente, se Sp 1, r 1 e Sp 1, r são de contato orientado, temos que p 1 p r r 1, de onde γ 1, γ 0. Temos assim que as esferas orientadas são de contato orientado se e somente se γ 1, γ 0. Geometricamente, temos em UR 3 a seguinte gura.

36 .1 Geometria das esferas orientadas em R 3 9 Observação.1. Se tomamos r 1 r 0, este caso inclui o caso de contato orientado entre dois pontos esféricos Sp 1, 0 e Sp, 0, onde de uma maneira rápida, obtemos que devem ser o mesmo e trivialmente é satisfeita a condição da existência de contato orientado se, e somente se, o produto das suas coordenadas esféricas é nulo. De fato, se em.10 supomos que γ 1, γ 0 obtemos que p 1 p, e se a priori supomos que elas possuem contato orientado obtemos que p 1 p e daí segue que γ 1, γ 0. Caso II: Ponto esférico e uma esfera orientada. Sejam Sp, 0 e Sq, r um ponto esférico e uma esfera orientada, respectivamente. Suas coordenadas esféricas são 1 γ p, 1 1 p, p, 0, 1 γ 1 + q r, 1 1 q + r, q, r, respectivamente. Supondo que tem contato orientado, deve existir um único x, ξ Sp, 0 Sq, r, assim, deve-se satisfazer x p 0,.11 e x q rξ,.1 note que supondo a existência de outro elemento x, ξ Sp, 0 Sq, r, procedendo analogamente ao caso anterior obteremos que de fato x, ξ x, ξ, o que garante a unicidade do contato. Por outra parte, usando a equação.11 na equação.1 e do fato ξ S, temos que p q r..13 Analisamos agora o produto escalar das coordenadas esféricas γ 1 e γ, temos 1 γ 1, γ 1 + p, 1 1 p 1, p, 0, 1 + q r, 1 1 q + r, q, r 1 [ 1 + p 1 + q r ] + 1 [ 1 p 1 q + r ] + p q 4 4 p q r p 4 q r p q + r p 4 q + r + p q p 1 q r + p q 1 p p q + q + r 1 p q + r..14 Agora, supondo que γ 1, γ 0, usando a equação.13 teríamos que Sp, 0 e Sq, r possuem contato orientado. Reciprocamente, se na equação.14 supomos que a equação.13 é satisfeita, teríamos que γ 1, γ 0. Temos então que o ponto esférico e a esfera orientada são de contato orientado se, e somente se, γ 1, γ 0. Geometricamente, temos em UR 3 a seguinte gura.

37 .1 Geometria das esferas orientadas em R 3 30 Caso III: Esfera orientada e um plano. Sejam Sp, r e P v, a uma esfera orientada e um plano orientado, respectivamente. Suas coordenadas esféricas são γ p r, 1 1 p + r, p, r γ a, a, v, 1, respectivamente. Já que neste caso o vetor normal de P v, a não pode mudar, elas possuem contato orientado se existe um único x, v Sp, r P v, a, assim, deve-se satisfazer x p rv,.15 e x v a,.16 logo, como v S, obtemos da equação.15 que x p v r, e usando a equação.16 assim, x v p v r a p v, p v r + a..17 Agora, observe que se existir x, v x, v Sp, r P v, a, teríamos que x p rv,.18 e x v a,.19 mas, das equações equações.15 e.18 temos que x rv p x rv,

38 .1 Geometria das esferas orientadas em R 3 31 ou equivalentemente x x 0,.0 contradizendo a hipótese de ser x x, portanto, a unicidade do contato está garantida. Analisamos agora o produto escalar γ 1, γ p r, 1 1 p + r, p, r, a, a, ξ, 1 a 1 + p r a 1 p + r + p ξ + r a + p ξ + r. Logo, se γ 1, γ 0, teríamos da equação.17 que r a p v, ou seja Sp, r e P v, a tem contato orientado. Reciprocamente, se Sp, r e P v, a tem contato orientado, temos r a p v, de onde γ 1, γ 0. Logo, a esfera orientada e o plano orientado tem contato orientado se, e somente se γ 1, γ 0. Então, uma esfera orientada e um plano orientado tem contato orientado se, e somente se γ 1, γ 0. Geometricamente, temos em UR 3 a seguinte gura. Observação.. Este caso inclui o caso de contato orientado entre um ponto esférico Sp, 0 e um plano orientado P v, a. Geometricamente, possuem contato orientado se, e somente se, o centro p do ponto esférico está no plano P v, a. Caso IV: Dois planos orientados. Sejam P v 1, a 1 e P v, a dois planos orientados cujas coordenadas esféricas são, respectivamente γ 1 a 1, a 1, v 1, 1,.1 e γ a, a, v, 1.. Então, possuem contato orientado se existe um único ponto x, v P v 1, a 1 P v, a. Portanto,

39 .1 Geometria das esferas orientadas em R 3 3 deve-se satisfazer v v 1 v, x v a 1,.3 x v a, então, denimos a : a 1 a, assim teríamos que dois planos orientados tem contato orientado só no caso trivial de serem o mesmo. Note também, já que sendo que v S, temos γ 1, γ a, a, v, 1, a, a, v, 1 a + a + v 1 0, assim, ter contato orientado implica γ 1, γ 0. Aliás, supondo a priori que γ 1, γ 0 implicaria que v 1 v 1 o que signicaria que v 1, v 0, concluindo que os planos P v 1, a 1 e P v, a são os mesmos, ou seja, tem contato orientado. Portanto, dois planos orientados tem contato orientado se, e somente se γ 1, γ 0. Concluímos então a seguinte proposição. Proposição.1. Duas esferas orientadas Γ 1, Γ Σ têm contato orientado se, e somente se, suas coordenadas esféricas γ 1, γ C 5, respectivamente, satisfazem γ 1, γ 0. Observação.3. De.1,. e da denição de, temos que se γ é coordenada de alguma esfera Sp, r, então γ, p r, 1 1 p + r, p, r, 1, 1, 0, p r 1 1 p + r 1, por outra parte, se γ é coordenada de algum plano P v, a, então γ, a, a, v, 1, 1, 1, 0, 0 a + a 0. Assim, sendo que Σ {esferas orientadas} {planos orientados} temos a seguinte propriedade. Propriedade.1. Seja Γ Σ uma esfera orientada com coordenada γ, então Γ é uma esfera orientada se, e somente se, γ, 0. Γ é um plano orientado se, e somente se, γ, 0.. Notemos que para qualquer ponto x 0, ξ 0 UR 3 é determinado um único conjunto de esferas orientadas de contato orientado em x 0 R 3 com o mesmo vetor normal unitário ξ 0. Geometricamente temos

40 }.1 Geometria das esferas orientadas em R 3 33 } Onde as esferas na parte superior correspondem a raios positivos e as esferas da parte inferior a raios negativos. Notemos também que é determinado um único plano P ξ 0, x 0 ξ 0 de coordenada esférica γ 1 neste feixe além de um único ponto esférico Sx 0, 0 de coordenada esférica γ. Geometricamente temos Chamaremos este conjunto de feixe de esferas orientadas. De fato, pela Proposição.1, escrevendo γ 3 λ 3 γ 1 + µ 3 γ, γ 4 λ 4 γ 1 + µ 4 γ, temos γ 3, γ 4 λ 3 γ 1 + µ 3 γ, λ 4 γ 1 + µ 4 γ 0,

41 .1 Geometria das esferas orientadas em R 3 34 ou seja, as esferas associadas a γ 3 e γ 4 possuem também contato orientado. Dessa forma, qualquer esfera Γ no feixe pode ser determinada mediante sua coordenada esférica γ que pode ser escrita como γ λγ 1 + µγ C 5 \{ } para algum λ, µ R \{0, 0}. Assim, o ponto x, ξ UR 3 determina uma única reta C 5 \{ } dada por {λγ 1 + µγ λ, µ R \{0, 0}}, consequentemente, é determinada uma única reta projetiva em Q 4 \{[ ]} dada por {[λγ 1 + µγ ] λ, µ R \{0, 0}}. Usando o fato citado acima, pode-se denir o conjunto Λ 5 formado por todas as retas projetivas em Q 4 \{[ ]}. Assim, temos uma propriedade equivalente à Proposição.1. Proposição.. Sejam Γ 1, Γ Σ com coordenadas esféricas γ 1, γ, respectivamente. Então, Γ 1 e Γ possuem contato orientado se, e somente se todas as retas projetivas { [λγ 1 + µγ ] λ, µ R \{0, 0} } estão completamente em Q 4 \{[ ]}. Demonstração.. ] Suponha que Γ 1, Γ Σ com coordenadas esféricas γ 1, γ, respectivamente, possuem contato orientado, então γ 1, γ 0. Seja agora, qualquer λ, µ R \{0, 0}, então temos a reta projetiva L {[λγ 1 + µγ ] λ, µ R \{0, 0}}.4 satisfaz λγ 1 + µγ, λγ 1 + µγ λ γ 1, γ 1 + λµ γ 1, γ + µ γ, γ 0, dai, temos que λγ 1 + µγ C 5 \{ } ou equivalentemente, que [λγ 1 + µγ ] Q 4 \{[ ]}, portanto L Q 4 \{[ ]}. ] Suponha que qualquer reta descrita em.4 está completamente contida em Q 4 \{[ ]}, então γ 1 e γ são, respectivamente, coordenadas esféricas de duas esferas orientadas Γ 1, Γ Σ. Já que λγ 1 + µγ C 5 \{ }, temos 0 λγ 1 + µγ, λγ 1 + µγ λ γ 1, γ 1 + λµ γ 1, γ + µ γ, γ λµ γ 1, γ, como neste caso não trivial temos λ, µ R\{0}, então γ 1, γ 0, portanto Γ 1 e Γ possuem contato orientado. Denição.7 Difeomorsmo de Lie. A aplicação L : UR 3 Λ 5 denida por Lx, ξ [λγ 1 + µγ ] Q 4 \{[ ]}, λ, µ R \{0, 0}.5 é um difeomorsmo, chamado de difeomorsmo de Lie. Agora, partindo do fato de que cada ponto x, ξ UR 3 determina um único feixe de esferas de contato orientado em x R 3 com o mesmo vetor normal unitário ξ S, associemos o ponto esférico

42 . Grupo de transformações de Laguerre sobre UR 3 35 Sx, 0 e o plano P ξ, x ξ, por sua vez elas tem associadas, respectivamente, os vetores de C 5 \{ } γ x, 1 1 x, x, 0, γ x ξ, x ξ, ξ, 1,.6 então, é possível denir um difeomorsmo de Lie por φ : UR 3 Λ 5 x, ξ φx, ξ [ 1 λ 1 + x, 1 1 x ], x, 0 + µx ξ, x ξ, ξ, Grupo de transformações de Laguerre sobre UR 3 Nesta seção introduzimos o conceito de transformação de Laguerre e apresentamos o grupo de transformações de Laguerre sobre UR 3. O principal objetivo é gerar o grupo de transformações de Laguerre a partir de isometrias em R 3, transformações parabólicas e transformações hiperbólicas em UR 3. Denição.8. Em R 6 temos um produto escalar dado em coordenadas pela matriz diagonal µ diag 1, 1, 1, 1, 1 1, então, uma forma quadrática é da forma Qx 1, x, x 3, x 4, x 5, x 6 x 1 + x + x 3 + x 4 + x 5 x 6. Denimos o grupo semi - ortogonal O4, como o subgrupo de matrizes M de ordem 6 tais que QMv Qv, v R 6 1, ou equivalentemente, como aquelas satisfazendo M t µm µ. De forma análoga, dene-se O3, 1. Denição.9. Seja LG o subgrupo do grupo semi - ortogonal O4, que xa a coordenada esférica do ponto esférico Sx, 0 no innito de R 3, em outras palavras LG {T O4, T }. Vamos determinar a dimensão de LG, para isso, considere uma curva diferenciável T : ε, ε LG, com T 0 I 6 6 e chame J diag 1, 1, 1, 1, 1, 1. Já que s ε, ε, T s O4,, temos que T t sjt s J, então, já que J é constante, [ T t s J ] T s + T t sjt s 0 6 6, particularmente para s 0, temos que T t 0 J JT 0,

43 . Grupo de transformações de Laguerre sobre UR 3 36 chamemos T T ij, então T 11 T 1 T 31 T 41 T 51 T T t 0 T 1 T T 3 T 4 T 5 T J T 0 t T 13 T 3 T 33 T 43 T 53 T J T 14 T 4 T 34 T 44 T 54 T T 15 T 5 T 35 T 45 T 55 T T 16 T 6 T 36 T 46 T 56 T T 11 T 1 T 31 T 41 T 51 T 61 T 1 T T 3 T 4 T 5 T 6 T 13 T 3 T 33 T 43 T 53 T 63. T 14 T 4 T 34 T 44 T 54 T 64 T 15 T 5 T 35 T 45 T 55 T 65 T 16 T 6 T 36 T 46 T 56 T 66 Por outro lado, temos T 11 T 1 T 13 T 14 T 15 T T 1 T T 3 T 4 T 5 T 6 JT T 31 T 3 T 33 T 34 T 35 T T 41 T 4 T 43 T 44 T 45 T T 51 T 5 T 53 T 54 T 55 T T 61 T 6 T 63 T 64 T 65 T 66 T 11 T 1 T 13 T 14 T 15 T 16 T 1 T T 3 T 4 T 5 T 6 T 31 T 3 T 33 T 34 T 35 T 36. T 41 T 4 T 43 T 44 T 45 T 46 T 51 T 5 T 53 T 54 T 55 T 56 T 61 T 6 T 63 T 64 T 65 T Igualando.8 e.9, obtemos que T T T 11 0, T 1 T 1, T 31 T 13, T 41 T 14, T 51 T 15, T 61 T 16, T T T 1 T 1, T 0, T 3 T 3, T 4 T 4, T 5 T 5, T 6 T 6, T T T 13 T 31, T 3 T 3, T 33 0, T 43 T 34, T 53 T 35, T 63 T 36, T T T 14 T 41, T 4 T 4, T 34 T 43, T 44 0, T 54 T 45, T 64 T 46, T T T 15 T 51, T 5 T 5, T 35 T 53, T 45 T 54, T 55 0, T 65 T 56, T T T 16 T 61, T 6 T 6, T 36 T 63, T 46 T 64, T 56 T 65, T

44 . Grupo de transformações de Laguerre sobre UR 3 37 Assim, 0 T 1 T 13 T 14 T 15 T 16 T 1 0 T 3 T 4 T 5 T 6 T T 13 T 3 0 T 34 T 35 T T 14 T 4 T 34 0 T 45 T 46 T 15 T 5 T 35 T 45 0 T 56 T 16 T 6 T 36 T 46 T 56 0 Como T 0 LG, temos que T 0, mas t 0 T 1 T 13 T 14 T 15 T 16 T 1 T 1 0 T 3 T 4 T 5 T 6 T 1 T 13 T 3 0 T 34 T 35 T 36 T 13 T 3 1, 1, 0, 0, 0, 0,.3 T 14 T 4 T 34 0 T 45 T 46 T 14 T 4 T 15 T 5 T 35 T 45 0 T 56 T 15 T 5 T 16 T 6 T 36 T 46 T 56 0 T 16 T 6 dai, temos que T 1 T 1, T 13 T 3, T 14 T 4, T 15 T 5, T 16 T 6 1, 1, 0, 0, 0, 0, e consequentemente T 1 1, T 13 T 3, T 14 T 4, T 15 T 5, T 16 T 6. Portanto, 0 1 T 13 T 14 T 15 T T 13 T 14 T 15 T 16 T T 13 T 13 0 T 34 T 35 T 36 0 T 14 T 14 T 34 0 T 45 T 46 T 15 T 5 T 35 T 45 0 T 56 T 16 T 16 T 36 T 46 T O que mostra que dim LG 10. Agora, vamos determinar as matrizes T LG, para isso, chamamos T a ij e usamos o fato T, então t a 11 a 1 a 13 a 14 a 15 a 16 a 11 a 1 a 1 a a 3 a 4 a 5 a 6 a 1 a a 31 a 3 a 33 a 34 a 35 a 36 a 13 a 3 1, 1, 0, 0, 0, 0, a 41 a 4 a 43 a 44 a 45 a 46 a 14 a 4 a 51 a 5 a 53 a 54 a 55 a 56 a 15 a 5 a 61 a 6 a 63 a 64 a 65 a 16 a 16 a 6

45 . Grupo de transformações de Laguerre sobre UR 3 38 assim, a 11 a 1 1, a 1 a 1, a 1i a i 0, para i 3. Dessa forma, T é escrita como 1 + a 1 a 1 a 13 a 14 a 15 a 16 a 1 a a 13 a 13 a 14 a 16 a 31 a 3 a 33 a 34 a 35 a 36 T..34 a 41 a 4 a 43 a 44 a 45 a 46 a 51 a 5 a 53 a 54 a 55 a 56 a 61 a 6 a 63 a 64 a 65 a 16 Vamos fazer as seguintes mudanças A v a a 13 a 14 a 15, a 16 ρ. a 33 a 34 a 35 a 36 u : a 43 a 44 a 45 a 46 w a 53 a 54 a 55 a 56, a 63 a 64 a 65 a 66 assim, b a 31 a 41 a 51 a 61 not. b i 4 1, c a 3 a 4 a 5 a 6 not. c i 4 1, 1 + a 1 a 1 a ρ a 1 a a ρ T. A u b c v w Sendo as colunas e as linhas pseudo-ortonormais, usando as duas primeiras linhas temos, 1 + a 1 + a 1 + a ρ 1 a 1 + a a ρ a 1 a 1 + a 1 a a ρ 0 equivalentemente 1 a 1 a 1 + a 1 + a ρ 1.35 a 1 + a 1 + a a ρ 1.36 a 1 a 1 + a 1 + a 1 + a ρ 0..37

46 . Grupo de transformações de Laguerre sobre UR 3 39 Subtraindo a equação.37 da equação.35 temos a 1 a 1 + a 1 + a 1 + a 1 a 1 a 1 0, dai, a 1 a 1. Usando o resultado acima na equação.37, temos que a 1 + a 1 + a a ρ 1 então a matriz T tem a forma T a 1 ρ a 1 + a ρ a + ρ a ρ a ρ 1 a + ρ a ρ A u b c v w. Sendo que e i T, e i T, T e i,, 1 i 6, temos para i 3, onde A i é a i-ésima linha da matriz A. Logo, e i T b i c i A i u, e i T, b i c i, e i, 0, então b i c i, concluímos que b c. Agora, para i 3 a i-ésima linha de T é dada por Multiplicando-lhe pela primeira linha temos b i b i A i u. b i 1 + a ρ b i a + ρ + A i a ρu 0, assim, b + A i a ρu 0, juntando as 3 equações para i 1,, 3, temos b Aa t ρu.

47 . Grupo de transformações de Laguerre sobre UR 3 40 Finalmente, T é expressa como 1 + a / ρ / a / + ρ / a ρ T a / ρ / 1 + a / ρ / a ρ Aa ρu Aa + ρu A u,.38 va ρw va + ρw v w para alguma matriz A v u O3, 1, a, ρ R 4, w R..39 w Chamamos ambas, T LG e T : Q 4 Q 4, de transformação de Laguerre. Sejam Γ 1, Γ Σ duas esferas ou planos orientados com contato orientado com coordenadas associadas γ 1 e γ, respectivamente. Então [γ 1 ] e [γ ] denem uma reta projetiva em Q 4 \{[ ]} por span {[γ 1 ], [γ ]} { [λγ + µγ ] λ, µ R \{0, 0} } Λ 5. Como para qualquer γ C 5 temos T [γ] [γt ], então qualquer T LG dene uma transformação T : Λ 5 Λ 5 por T span {[γ 1 ], [γ ]} span {[γ 1 T ], [γ T ]}. Denição.10. Seja L : UR 3 Λ 5 o difeomorsmo de Lie. Então qualquer T LG induz uma transformação σ : L 1 T L : UR 3 UR 3, chamada uma transformação de Laguerre sobre UR 3. Assim, o grupo de transformações de Laguerre sobre UR 3 é o grupo 10 - dimensional dado por LG { σ : UR 3 UR 3 σ L 1 T L, T O4,, T }. Seja T LG uma transformação de Laguerre, então T : Q 4 Q com T. Já que qualquer esfera Γ Σ determina de forma biunívoca uma coordenada γ C 5 \{ } temos que γt, γt, T γ, T t T γ,. Logo, no caso de ser Γ um plano orientado respectivamente, uma esfera orientada, da Propriedade.1 sabemos que γt é coordenada de um plano orientado respectivamente, de uma esfera orientada. Consequentemente, temos a seguinte propriedade. Propriedade.. Toda transformação de Laguerre σ : UR 3 UR 3 preserva esferas e planos orientados. Exemplo.1. Seja A O3, a R 3 então a isometria σx xa + a, induz uma transformação isométrica σ : UR 3 UR 3 denida por σx, ξ xa + a, ξa. De fato, para vericar que σ LG, deve-se vericar que σ L 1 T L, onde T G e L é um

48 . Grupo de transformações de Laguerre sobre UR 3 41 difeomorsmo de Lie, para isso, escolha 1 + a a a 0 a T 1 a a 0 Aa t Aa t LG,.40 A equivalentemente, provaremos que L σ T L e usaremos o difeomorsmo de Lie L da expressão.7. Assim, para cada x, ξ UR 3 temos 1 γ x, 1 1 x, x, 0, γ x ξ, x ξ, ξ, 1, e T Lx, ξ Lx, ξt [λγ 1 + µγ ] T [ λ 1 + x + µx ξ, λ ] 1 x µx ξ, λx + µξ, µ T [c 1, c, C, c 3 ], onde as entradas são c 1 λ 1 + x + µx ξ + a λ 1 + x + µx ξ + λ a + λxaa t + µξaa t λ 1 + x + λ a + µ x ξ + ξaa t + λxaa t, λ 1 + x + µx ξ + a λ 1 x µx ξ + λx + µξaa c a λ 1 + x + µx ξ + λ 1 x µx ξ a λ 1 x µx ξ λx + µξaa t λ a + λ 1 x µxξ λxaa t µξaa t λ 1 x λ a µx ξ + ξaa t λxaa t, λ λ C a 1 + x + µx ξ + a 1 x µx ξ + Aλx + µξ t λa + Aλx + µξ t, c 3 µ. Por outro lado, L σx, ξ LxA + b, ξa, fazendo a mudança x xa + a, ξ ξa,

49 . Grupo de transformações de Laguerre sobre UR 3 4 temos que, [ λ Lx, ξ 1 + x + µx ξ, λ ] 1 x µx ξ, λx + µξ, µ ] [ c 1, c, C, c3, onde as entradas são c 1 λ 1 + xa + a xa + a + µ xa + a ξa λ 1 + x + xaa t + axa + a + µ x ξ + aξa λ 1 + x + xaa t + a + µ x ξ + ξaa t λ 1 + x + λxaa t + λ a + µ x ξ + ξaa t, c λ 1 xa + a xa + a µ xa + a ξa λ 1 x xaa t a µ x ξ + ξaa t λ 1 x λxaa t λ a µ x ξ + ξaa t, C λxa + a + µξa λa + λxa + µξa λa + λx + µξa λa + Aλx + µξ t, c 3 µ. Já que c 1 c 1, c c, C C e c 3 c 3, concluímos que σ L 1 T L. Exemplo.. As transformações parabólicas uniparamétricas denidas por φ t x, ξ x + tξ, ξ, t R são transformações de Laguerre em UR 3. Neste caso, a escolha sería 1 t t 0 t t T 1 + t 0 t I LG t t 0 1 Exemplo.3. O terceiro exemplo de tranformação de Laguerre em UR 3 é a seguinte transformação hiperbólica uniparamétrica. Para qualquer x, ξ UR 3 escrevemos x x 0, x 1 R R, ξ ξ 0, ξ 1 R R,

50 . Grupo de transformações de Laguerre sobre UR 3 43 então uma tranformação hiperbólica ψ t x, ξ xt, ξt UR 3, t R é denida por xt x 0 ξt sinh tx 1 sinh tξ 1 + cosh t ξ 0, x 1 sinh tξ 1 + cosh t 1 sinh tξ 1 + cosh t ξ 0, cosh tξ 1 + sinh t sinh tξ 1 + cosh t, Neste caso a escolha de T sería I T ψ 1 L ψ t L 1 0 cosh t sinh t LG sinh t sinh t Agora, sejam γ 1, γ as coordenadas esféricas das esferas orientadas Sp, r, Sp, r em R 3, respectivamente. Seja T uma transformação de Laguerre dada por.38. Desde que γ γ p r, 1 1 p + r, p, r, p r, 1 1 p + r, p, r, então obtemos as esferas orientadas S p, r e S p, r associadas às coordenadas esféricas γ 1 T e γ T, além disso p, r pa rv + a, pu + rw + ρ, p, r p A r v + a, p u + r w + ρ. Logo temos De onde segue que p p, r + r p p, r + r F p p r r A v u..45 w é uma invariante de Laguerre. Geometricamente, se uma esfera não está contida em uma outra, então F é exatamente o quadrado do segmento de tangente comum das duas esferas Sp, r e Sp, r. Teorema.1. Para qualquer T O4, com T T existem duas isometrias σ 1, σ sobre UR 3 e constantes s, t R, ε ±1 tal que T εt σ T ψ t T φ s T σ Demonstração. Ver [1]. Corolário.1. Qualquer transformação de Laguerre em UR 3 é gerada pelas isometrias, as transformações paralelas e as transformações hiperbólicas.

51 .3 Superfícies de Laguerre em UR Superfícies de Laguerre em UR 3 Nesta seção introduzimos o conceito de superfície de Laguerre e apresentamos um teorema sobre superfícies equivalentes. A partir destes conceitos, apresentamos a métrica de Laguerre e o seu elemento de volume. Seja x, ξ : UR 3 R 3 S R 6 a imersão usual. Denimos γ 1, γ : UR 3 R 6 como na equação.6. Seja T LG uma transformação de Laguerre e x, ξ φx, ξ, φ L 1 T L : UR 3 UR 3. Denotemos por a, b as últimas coordenadas de γ 1 T e γ T, respectivamente. Logo por.6 e.38 podemos escrever Assim, segue que γ 1 d x ξ d γ 1, γ x, 1 1 x, x, 0 γ 1 T a b γ T,.47 γ x ξ, x ξ, ξ, 1 1 b γ T..48 dγ 1 T a b γ T, 1 b γ T 1 b dγ 1, γ 1 dx ξ,.49 b d ξ d ξ d γ, d γ 1 b dγ, dγ 1 dξ dξ..50 b Chamamos f x, ξ : M UR 3 uma superfície de Laguerre, se ξ : M R 3 é uma imersão e dx ξ 0. Segue das equações.49 e.50 que qualquer transformação de Laguerre leva superfícies de Laguerre em UR 3 em superfícies de Laguerre em UR 3. Pelas equações.1 e. sabemos que esferas orientadas e planos orientados são o caso mais simples de superfícies de Laguerre em UR 3. Seja x : M R 3 uma superfície orientada em R 3 com curvaturas principais não nulas. Então, a diferencial dξ do normal unitário unitário ξ : M R 3 é injetiva e ξ uma imersão. Logo, x induz únicamente uma superfície de Laguerre f x, ξ : M UR 3. Notemos que para uma superfície de Laguerre f x, ξ : M UR 3, x : M R 3 poderia não ser uma imersão. Pelo teorema de Pinkall ver [19] sabemos que a transformação paralela f t x + tξ, ξ de f é uma imersão em qualquer ponto p M para quase todo t R. Neste sentido, a menos de uma superfície paralela, podemos supor que x : M R 3 é uma imersão. Denição.11. Sejam x, x : M R 3 duas superfícies orientadas com curvaturas principais não nulas. Dizemos que x e x são Laguerre equivalentes, se as correspondentes superfícies de Laguerre f x, ξ e f x, ξ : M UR 3 somente se diferenciam por uma transformação de Laguerre φ : UR 3 UR 3, isto é, f φ f. Na geometria diferencial de Laguerre estudamos propriedades das superfícies de Laguerre em UR 3 que são invariantes pelo grupo de transformações de Laguerre em UR 3.

52 .3 Superfícies de Laguerre em UR 3 45 A seguir fornecemos um critério para que superfícies orientadas sejam Laguerre equivalentes. Considere a classe da coordenada de cada plano tangente em x dada por [y] : M Q 4, y x, ξ, x ξ, ξ, Teorema.. Seja x, x : M R 3 duas superfícies orientadas com curvatura principal não nula. Então x e x são Laguerre equivalentes se, e somente se, existe T LG tal que [y ] [yt ]. Demonstração. Sejam ξ e ξ as normais unitárias de x e x, respectivamente. Se existe uma transformação de Laguerre φ L 1 T L LG tal que x, ξ φ x, ξ, logo por.48 obtemos que [γ ] [γt ]. Reciprocamente, se [γ ] [γt ] para algum T LG, denimos x, ξ φ x, ξ com φ L 1 T L. Logo por.48 temos que [ γ] [γt ] [γ ]. Segue que x ξ, x ξ, ξ, 1 x ξ, x ξ, ξ, 1..5 Seja {e 1, e, e 3 } uma base local para T M. Desde que ξ : M R 3 é uma imersão, sabemos que {e 1 ξ, e ξ, ξ } é uma base para R 3. De.5 e do fato que ξ ξ, x x ξ 0, x x dξ dx x ξ 0, obtemos x x. Então temos que x, ξ φ x, ξ, o que implica que x e x são Laguerre equivalentes. Por.51 temos que dy, dy dξ dξ, o que é exatamente a terceira forma fundamental de x. Segue do Teorema. o seguinte corolário. Corolário.. A classe conforme da terceira forma fundamental de uma superfície x : M R 3 é uma invariante de Laguerre. Seja x : M R 3 uma superfície orientada com curvaturas principais não nulas. Seja III dy, dy a terceira forma fundamental de x. Para qualquer base ortonormal {E 1, E } em relação à III denimos V span {y, III y, E 1 y, E y},.53 onde III é o operador Laplaciano em relação à III dy, dy. Observe que do fato y, y temos que E i y, y 0. Além disso, da ortonormalidade da base {E 1, E }, temos que E j y, E j y 1, então E i E j y, E j y 0,.54 por outro lado, temos também que E i y, E j y 0, então E i E i y, E j y + E i y, E i E j y.54 E i E i y, E j y 0, logo temos E i E i y, E j y E i E i y, E j y i i III y, E j y 0.

53 .3 Superfícies de Laguerre em UR 3 46 Agora, como E i y, y 0, temos E i E i y, y + E i y, E i y 0, ou seja, E i E i y, y 1, assim III y, y. Em conclusão, temos as seguintes equações y, E i y III y, E i y 0, III y, y, E i y, E j y δ ij..55 Assim, em cada ponto do espaço V temos um subespaço 4 - dimensional não degenerado de R 6 do tipo, +, +, +. Seja R 6 V V span {y, y, E 1 y, E y} V.56 a descomposição ortogonal de R 6. Então V é um subespaço - dimensional não degenerado de R 6 do tipo, +. Seja {e 1, e } a base ortonormal de T M em relação à dx dx, consistindo de vetores principais unitários. Escrevemos as equações de estrutura de x : M R 3 por e j e i x k Γ k ije k x + k i δ ij ξ, e i ξ k i e i x, 1 i, j, k,.57 onde k i 0 é a curvatura principal correspondente a e i. Observe que a segunda equação equivale a dξe i k i e i. Seja r i 1 k i, r r 1 + r H K.58 o raio de curvatura e a média dos raios de curvatura de x. Então a esfera da média dos raios de curvatura Sx + rξ, r de x em R 3 tem coordenada esférica η, dada a partir da equação.1 por 1 η 1 + x + rξ r, x + rx ξ + r ξ r, x + rx ξ, x, 1 1 x rξ + r, x + rξ, r 1 x rx ξ r ξ + r, x + rξ, r 1 x rx ξ, x + rξ, r 1 x, x, 0 + r x ξ, x ξ, ξ, Denimos E i r i e i, 1 i, assim {E 1, E } é uma base ortonormal para III dy, dy dξ dξ.

54 .3 Superfícies de Laguerre em UR 3 47 Observe que IIIE i, E j dξe i, dξe j r i dξe i, r j dξe j ri e i, r j e i r i r j e i, e j, e também e i x ξ r i e i ξ ξ r i e iξ ξ Das equações de estrutura em.57 obtemos E i y r i e i y r i e i x ξ + x e i ξ, e i x ξ x e i ξ, e i ξ, 0 Por outra parte, como η y, η.60 r i x e i ξ, x e i ξ, e i ξ, 0 r i k i x e i x, x e i x, e i x, 0 x e i x, x e i x, e i x, x, 1 1 x, x, 0 + ry, temos 1 x ξ, x ξ, ξ, 1, 1 + x, 1 1 x, x, 0 + r y, y 1 x ξ1 + x 1 x ξ1 x + x ξ x ξ + x ξ 0, E i, η x e i x, x e i x, e i x, 0, 1 + x, 1 1 x, x, 0 r x e i x, x e i x, e i x, 0, x ξ, x ξ, ξ, 1 x ξ + x ξ r x e i xx ξ + x e i xx ξ + e i xξ.60 0,.63 1 E i η r i e i η r i e ix x, 1 e ix x, e i x, 0 + r i ry + r i e i y r i E i y + E i ry + re i y r r i E i y + E i ry..64

55 .3 Superfícies de Laguerre em UR 3 48 Assim, das equações.6,.63 e.64 temos que y, η i E i E i y, η i E i y, E i η i E i y, r r i E i y + E i ry i r r i E i y, E i y i r r i e i x e i x i r r i r i e i ξ e i ξ i r r i r i dξe i dξe i i r r i r i k i e i e i i r r i r + r 1 + r 0. Dessa forma sabemos que η V. Seja 1, 1, 0, 0 R 6 o vetor denido em.3. Desde que y, 0, por.59 temos que V span {η, }, η, η, 0, η, Chamamos η : M C 5 R 6 denido por.59 a aplicação de Gauss-Laguerre de x. É claro que V, V e η são Laguerre invariantes: Se x é Laguerre equivalente a x por T LG, então temos Ṽ VT, Ṽ V T, η ηt..66 Agora sejam x, x : M R 3 Laguerre equivalentes por T LG. Então por.48 e.66 temos que ỹ 1 yt, η ηt.67 b para uma função b 0. Segue que dỹ, dỹ 1 dy, dy..68 b } Se {E 1, E } é uma base ortonormal para dy, dy, logo {Ẽi be i é uma base ortonormal para dỹ, dỹ. De.67 e.68 obtemos Ẽi Ẽi η η, b E i η, E i η..69 i i

56 .3 Superfícies de Laguerre em UR 3 49 E segue de.68 e.69 que g E i η, E i η dy, dy i E i η, E i η III i.70 é uma invariante de Laguerre. Da igualdade em.64 obtemos E i η, E i η r i r..71 i i Assim, sabemos que g r i r III.7 i é uma métrica invariante de Laguerre em qualquer ponto não umbílico de x. Chamamos g a métrica de Laguerre de x. O volume de g é dado por Lx V ol g x M i r i r dm,.73 r 1 r onde dm é a forma de volume em relação a dx dx. Note que i r i r r 1 r + r r r 1 r r 1 r r 1 r 1 + r + r r 1 + r r 1 r r1 r r 1 r k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k k 1 k k 1 + k 1 k + k 4k 1 k.74 1 k 1 k 1 k1 + k 4K K H K K

57 .3 Superfícies de Laguerre em UR 3 50 Então equivalentemente à expressão.73 temos H K Lx dm,.75 M K que é a menos do fator o funcional de Laguerre dado no livro de Blaschke [6], os artigos de Musso e Nicolodi [15] e Palmer [18]. Denição.1. Chamamos às superfícies críticas do funcional de Laguerre Lx de superfícies mínimas de Laguerre. Observação.4. Equivalentemente à denição anterior, em [1], uma superfície em R 3 é mínima de Laguerre se, e somente se III r 0. Além disso, os autores provam que III x + rξ 0, tal informação será útil posteriormente. Por outra parte, suponha que v α 1 e 1 + α e, w β 1 e 1 + β e são vetores tangentes à superfície, então pode-se escrever assim, analogamente, obtemos logo, temos que vη dηv α 1 r 1 E 1 η + α r E η v α 1 r 1 r 1 e 1 + α r r e, α 1 [r r 1 E 1 y + E 1 ry] + α [ r r E y + E ry ] r 1 r α 1 r 1 r r 1 E 1 y + α r r r E y + [ α1 r 1 E 1 r + α r E r ] y, wη dηw β 1 r r 1 E 1 y + β [ β1 r r E y + E 1 r + β ] E r y, r 1 r r 1 r temos, Por outro lado, como dηv, dηw α 1β 1 r 1 r r 1 + α β r r r α 1β 1 r1+r r 1 r 1 + α β r1+r r r α 1β 1 4r1 r 1 + r + α β 4r r 1 r 1 α1 β 1 4 r1 + α β r r 1 r. v α 1 r 1 r 1 e 1 + α r r e,.76 vy dyv α 1 r 1 E 1 y + α r E y, wy dyw β 1 r 1 E 1 y + β r E y,

58 .3 Superfícies de Laguerre em UR 3 51 logo, α1 β 1 dyv, dyw r 1 + α β r..77 Finalmente, de.74 é fácil ver que 1 4 r 1 r H K, assim, usando.76 e.77 temos K dηv, dηw 1 4 r 1 r dyv, dyw H K dη, dη III..78 K Este fato, permite denir a métrica de Laguerre como h L H K K III ver [1], Ÿ.

59 Capítulo 3 Teoremas de representação e completude da métrica de Laguerre No estudo das superícies mínimas de Laguerre tem sido apresentada uma representação holomorfa do tipo Weierstrass em termos de uma função holomorfa e duas funções meromorfas ver [3]. No entanto, o conceito de minimalidade no sentido de Laguerre pode ser estendido para superfícies que possuem curvatura Gaussiana nula em um conjunto de pontos isolados ver [1], tais superfícies representam uma generalização das superícies mínimas de Laguerre. Nesta seção apresentamos uma representação global do tipo Weierstrass para tais superfícies. No que segue, abreviaremos superfície mínima de Laguerre por superfície-ml. 3.1 Superfícies mínimas generalizadas de Laguerre Como já vimos até agora, uma imersão ψ : S R 3 de uma superfície S orientável e conexa em R 3, com curvatura Gaussiana K não nula em todos seus pontos e curvatura média H, é uma superfície-ml se satisfaz a equação H III 0, 3.1 K sendo III sua terceira forma fundamental. Motivados pela harmonicidade da função H K, suponhamos que ψ : S R 3 é uma superfície de modo que suas curvaturas média e Gaussiana estejam relacionadas por uma expressão do tipo Hp RpKp, p S 3. para alguma função diferenciável R : S R. Com tais hipóteses pode-se denir a forma quadrática h I RII 3.3

60 3.1 Superfícies mínimas generalizadas de Laguerre 53 onde I e II são, respectivamente, a primeira e a segunda forma fundamental da imersão. Esta nova forma quadrática é conforme á terceira forma fundamental da imersão se K 0, pois de 1.10 temos III KI + HII K h. 3.4 Se K 0 em um ponto p S então, de 3., Hp 0 e II 0 em p. Em particular, h I em p. Do anterior deduze-se que, h deve ser uma forma quadrática denida. Com tudo isto, já que III é uma métrica Riemanniana sempre que K 0 e h I nos pontos onde K 0, então de 3.4 temos que h é uma métrica Riemanniana se K 0 e também é h quando K > 0. Pode-se então enunciar o seguinte resultado. Proposição 3.1. Seja ψ : S R 3 uma imersão de uma superfície orientável e conexa S com curvatura média H e curvatura Gaussiana K. Se R : S R é uma função diferenciável tal que H RK então se verica uma das seguintes armações: K > 0 em qualquer ponto de S, ou K 0 em qualquer ponto de S, e em este caso ou K se anula identicamente sobre S e portanto ψs está contida em um plano, ou {p S Kp 0} é um conjunto de pontos isolados. Demonstração. Já que a forma quadrática h I dada por 3.3 está denida em qualquer ponto, então h I deve ser ou denida positiva ou denida negativa em todos os pontos. Portanto, como h I é denida positiva em ponto se e somente se K 0 em esse ponto, pode-se deduzir que K > 0 em todos os pontos ou K 0 em todos os pontos. Por outro lado, de 3.4, III K h, que também é valido nos pontos onde K 0. Portanto, como III : dn, dn, onde N é a aplicação de Gauss da imersão, obtemos que N é uma aplicação conforme para a superfície S com a estrutura induzida por h. Assim, dn se anula nos pontos isolados ou dn é identicamente nula, ou equivalentemente, K 0 nos pontos isolados ou ψs é parte de um plano. Observação 3.1. Nas condições da Proposição anterior pode-se denir a métrica Riemanniana h dada por { h, se K 0 h h, se K > 0. Aliás a aplicação de Gauss N da imersão é conforme para a métrica h, pois III K h. Denição 3.1. Seja ψ : S R 3 uma imersão e R : S R uma função diferenciável tal que H RK. Dizemos que ψ é uma superfície mínima generalizada de Laguerre, desde agora superfície-mgl, se o Laplaciano de R em relação à métrica Riemanniana h é identicamente nula, isto é III R 0. Observe-se primeiramente que a família de imersões-ml de uma superfície S são imersões-mgl de tal superfície, já que se é satisfeito que K 0, a função média dos raios de curvatura é dada por Rp 1 1 k 1 p + 1 Hp k 1 p Kp, p S está sempre bem denida e ela é harmônica em relação à terceira forma fundamental, que é conforme a h.

61 3. Representação conforme para superfícies-mgl 54 No entanto, para uma superfície-mgl a curvatura Gaussiana poderia-se anular em alguns pontos. Este é um fato importante, porque por exemplo, as imersões mínimas são imersões-mgl, mas não são imersões- ML em geral, pois a curvatura Gaussiana poderia-se anular em alguns pontos. Em geral, as superfícies de Weingarten que satisfazem H ck, c R, são superfícies-mgl. Note que os exemplos.1 e. tratam, respectivamente, de isometrias de R 3 e de deslocamento paralelo ao longo da normal. Assim, podemos obter superfícies-mgl pelos seguintes dois exemplos. Exemplo 3.1 Isometrias. Dada ψ : S R uma imersão de uma superfície-mgl S e uma isometria φ : R 3 R 3, então ψ ψ φ é também uma imersão de uma superfície-mgl, vericando-se H H, K K, R R. Exemplo 3. Superfícies Paralelas. Seja ψ : S R 3 uma superfície-mgl com aplicação de Gauss N, curvatura Gaussiana K e curvatura média H. Então a superfície paralela a S com distância a R, ψ ψ + an, sempre que 1 ah + a K 0, tem curvatura Gaussiana e curvatura média dadas, respectivamente, por K K 1 ah + a K, H ak H 1 ah + a K. Como as aplicações de Gauss de ambas imersões coincidem, então a terceira forma fundamental também coincide. Aliás R H K H ak K H K a R a, logo R III III R a III R 0, e portanto temos que ψ é também uma superfície-mgl. Além disso, podem-se gerar superfícies-mgl a partir de superfícies homotéticas. Exemplo 3.3 Superfícies homotéticas. Se ψ : S R 3 é uma imersão de uma superfície-mgl, então ψ cψ para algum c R\{0} é também a imersão de uma superfície-mgl com R cr. É suciente observar que K K c, H H c e que a terceira forma fundamental de ambas imersões coincidem. 3. Representação conforme para superfícies-mgl Em esta seção obteremos uma representação conforme global explicita para superfícies-mgl, que dependera de três dados geométricos: uma função real harmônica, uma função meromorfa e uma 1-forma holomorfa. Seja S a esfera unitária em R 3 e considere as aplicações π : S C { } x 1, x, x 3 πx 1, x, x 3 x 1 + ix 1 x 3, x 1, x, x 3 0, 0, 1, c.c. π 1 : C { } S z π 1 z Rez 1 + z, Imz 1 + z, z z, z 0, 0, 1, z. Tais aplicações são bijetivas, conformes e invertem a orientação, chamamos a aplicação π de projeção estereográca.

62 3. Representação conforme para superfícies-mgl 55 Se ψ : S R 3 é uma imersão de uma superfície orientável e conexa S em R 3, N sua aplicação de Gauss e π a projeção estereográca, então a aplicação g denida por g π N, é chamada também aplicação de Gauss da imersão. Mais precisamente, se o vetor normal em cada ponto p da superfície é Np N 1 p, N p, N 3 p então Reciprocamente, também teremos que N Lembremos também o seguinte resultado. gp N 1p + in p. 1 N 3 p g + ḡ 1 + g, i g ḡ 1 + g, g g. 3.5 Lema 3.1 Lema de Representação. Seja ψ : S R 3 uma imersão de uma superfície S simplesmente conexa, sendo ψ 1, ψ, ψ 3 suas funções componentes, e consideremos as funções φ 1, φ, φ 3 onde φ k ψ k, k {1,, 3} z então verica-se que { ψ k Re } φ k dz + c k, k {1,, 3} para algumas constantes c k C. Demonstração. Suponha que z u + iv, então φ k dz ψ k z dz 1 u ψ k i v ψ k 1 [ ψk u du + ψ k v dv + i du + idv ψk u dv ψ k v du ψk φ k dz du + i dv 1 ψk z u + i ψ k du i dv v 1 [ ψk u du + ψ k v dv ψk + i v du ψ ] k u dv ] onde concluímos φ k dz φ k dz. Agora, já que ψ só tem parte real Portanto, ψ k z ψk z ψk φ k. z dψ k ψ k z dz + ψ k z dz φ k dz + φ k dz φ k dz + φ k dz Re {φ k dz} 3.6

63 3. Representação conforme para superfícies-mgl 56 de onde obtemos, para algumas constantes c k C, k {1,, 3} que: ψ k Re φ k dz + c k. No que segue, se ψ : S R 3 é uma superfície-mgl, consideraremos S como uma superfície de Riemann com a estrutura conforme induzida pela métrica h. Portanto, da Observação 3.1, N será conforme para a métrica h, ou equivalentemente, g : S C { } será uma função meromorfa. Por outra parte, já que h R 0, temos que R é uma função real harmônica na superfície S. Aliás, para quaisquer parâmetro conforme local z da superfície de Riemann S, supondo que λ ψ u ψ v, temos z z R 4 λ h R 0, logo z R é uma 1 - forma holomorfa denotada por R, sendo também conhecida como a parte 1, 0 de dr. Teorema 3.1. Seja ψ : S R 3 uma superfície-mgl não plana, com aplicação de Gauss g, e tal que H RK. Então existe uma 1 - forma holomorfa w tal que a imersão ψ pode-se recuperar como { } ψ Re φ 1, φ, φ 3 RN 3.7 onde φ 1 1 R + w + g R w g φ i R + w g R w g φ 3 w 3.8 Reciprocamente, seja S uma superfície de Riemann simplesmente conexa, g : S C { } uma função meromorfa não constante, w uma 1 - forma holomorfa e R : S R uma função real harmônica, tal que se g tem um zero respectivamente, um polo de ordem n N em p S, então R + w respectivamente, R w tem um zero de ordem maior o igual que n em p. Então 3.7 dene uma superfície-mgl sempre que R + w g com aplicação de Gauss g e H RK. + gw R R 4 dg 1 + g 0, 3.9 Demonstração. Já que ψ é uma imersão não plana, então sabe-se pela Proposição 3.1 que os pontos onde a curvatura de Gauss se anula são isolados. Assim, se denotamos por S 0 {p S Kp 0}, então ψ : S 0 R 3 é uma superfície-ml e da Observação.4 temos III ψ + RN 0, p S 0. Aliás, com h e III são métricas Riemannianas conformes sobre S 0, então h ψ + RN 0 sobre S 0 e portanto também sobre S pela continuidade. Assim, podem-se considerar as três 1 - formas holomorfas Φ k ψ k + RN k, k 1,,

64 3. Representação conforme para superfícies-mgl 57 Se z é um parâmetro conforme local para h, então a terceira e a segunda forma fundamental da imersão podem-se expressar em termos de dz, dz. Para isso, usamos o fato de N ter parâmetros u, v conformes, assim, N u N v e N u, N v 0, daí temos N z, N z 1 4 N u in v, N u in v 1 { Nu i N u, N v N u 4 0, e N z, N z 1 4 N u + in v, N u + in v 1 { Nu + i N u, N v N v } 4 0, logo IIIXXXXXXXXxIII dn, dn N z dz + N z dz, N z dz + N z dz N z, N z dz + N z, N z dz + N z, N z dz 3.11 Por outra parte, como dz du + idv, temos N z, N z dz. du 1 dz + dz, IIIXXXx dv i dz dz, consequentemente, temos du 1 4 dz + dz + dz, IIII dv 1 4 dz + dz dz, du dv i 4 dz dz, substituindo estas três ultimas igualdades na segunda forma fundamental na equação 1.8, temos II edu + fdu dv + gdv e 4 dz + dz + dz + f dz dz i + g 4 dz + dz dz 1 4 e fi g dz + 1 e + g dz e fi gdz,

65 3. Representação conforme para superfícies-mgl 58 logo, calculando os coecientes da segunda forma fundamental nos novos parâmetros complexos temos e fi g e fi fi g { ψ u, N u ψ u, N v i ψ v, N u i ψ v, N v } { ψ u iψ v, N u in v } 4 ψ z, N z. 3.1 f fe + g e fi + fi + g { ψ u, N u + ψ u, N v i ψ v, N u i + ψ v, N v } { ψ u iψ v, N u + in v } 4 ψ z, N z e + fi g e + fi + fi g { ψ u, N u + ψ u, N v i + ψ v, N u i ψ v, N v } { ψ u + iψ v, N u + in v } 4 ψ z, N z Finalmente, substituindo as equações 3.1, 3.13 e 3.14 na última expressão da segunda forma fundamental temos então Logo, de 1.11 temos II ψ z, N z dz + ψ z, N z dz + ψ z, N z dz. III N z, N z dz, }{{} M II ψ z, N z dz }{{} L + ψ z, N z }{{} M dz + ψ z, N z dz, }{{} N HIII, II M M M M M φ z, N z N z, N z H K sobre S 0 e portanto, pela continuidade, ψ z + RN z, N z 0 sobre S. Daí, obtemos R, 3.15 φ 1, φ, φ 3, N z ψ + RN z, N z ψ z + RN z, N z onde Φ k φ k dz, k 1,, 3. Aliás, da denição de N em 3.5, temos N z g z 1 g 1 + g, i1 + g, g e de 3.16 obtemos 1 g φ 1 + i1 + g φ + gφ Por outro lado, obtemos que R z ψ + RN z, N φ 1, φ, φ 3, N, isto é, usando 3.5 g gφ ig gφ + g 1φ 3 R z 1 + g 3.18

66 3. Representação conforme para superfícies-mgl 59 Fazendo uso de 3.17 e 3.18, as funções φ 1 e φ podem ser obtidas como φ 1 R z + φ 3 g φ i R z + φ 3 g + gr z φ 3, igr z φ Portanto, tomando w Φ 3 e usando o Lema 3.1, obtemos a partir de φ z + RN z φ 1, φ, φ 3 a fórmula de representação 3.7. Reciprocamente, seja S uma superfície Riemanniana e considere a aplicação ψ : S R 3 dada por 3.7. A partir das condições entre os zeros e polos de g, R +w e R w, obtemos que as três 1 formas que se integram a expressão 3.7 estão bem denidas sobre S e portanto também estará a aplicação ψ. Seja z um parâmetro local conforme para S e tomemos w φ 3 dz, então ψ z, ψ z µ 4 ψ z, ψ z ψ z, ψ z 1 φ 3 4 g g z R + µ 1µ R z + µ 3 1µ 1 φ 3 R z + φ 3 R z g µ onde µ g e µ 1 g. Assim, ψ é uma imersão se e só se satisfaz 3.9. Como ψ z, N 1 ψ u, N i ψ v, N 0, temos que N, ou equivalentemente g, é a aplicação de Gauss da imersão. Aliás, a segunda e terceira forma fundamental estão determinadas por II w + 1 g dg w 1 + g R g + 4R dg 1 + g + 1 g dg 1 + g R g, III 4 dg 1 + g. 3.1 Assim, em qualquer ponto onde K 0, ou equivalentemente quando g z 0, temos por 3.15 que H K ψ z, N z R, 3. N z, N z e portanto H RK sobre S pela continuidade. Aliás, já que a terceira forma fundamental e a métrica Reimeanniana h são conformes, e N z, N z 0, a estrutura conforme dada por L e a de S. Portanto, h R 0, isto é, ψ é uma superfície-mgl. Esta representação conforme coincide quando R 0 com a representação clássica de Weierstrass para superfícies mínimas para o par de dados geométricos g, φ 3, obtendo-se { 1 g ψ Re φ 1 + g } 3, iφ 3, φ 3 dz. 3.3 g g Com o que pode-se obter todas a superfícies mínimas clássicas com os dados de Weierstrass já conhecidos. Também é válida para as superfícies lineares de Weingarten. Satisfazendo H c 0 K, c 0 R. Aliás, se ψ é a parte de um plano, a representação prévia também será satisfeita tomando g como uma constante.

67 3. Representação conforme para superfícies-mgl 60 Finalmente, de de 1.1 temos II w + 1 g gz 1 + g R g }{{} L g z III 1 + g }{{ dz. } M dz + R g z 1 + g } {{ } M dz + w + 1 g gz 1 + g R g }{{} N Note que L w + 1 g 1 + g R gz w + R g g z + gw R g 1 + g N. Logo, de 1.1 temos dz, K. 4R g z g 4 g z 4 g z g g 4R 1 + g w + R g 4 w + R g + gw R + gw R 1 g z dz 1 dz 3.4 e como dg g z dz, temos que 4 dg K 4R dg 1 + g w+ R g + gw R. 3.5 Pode-se obter de forma análoga um teorema de representação utilizando como dados a aplicação de Gauss g e as 1-formas holomorfas φ 1 e φ. Em este caso é obtido o seguinte resultado: Teorema 3.. Seja ψ : S R 3 uma imersão de uma superfície-mgl, S orientável e simplesmente conexa com aplicação de Gauss g. Então, se z é um parâmetro conforme para h, existem dois 1-formas φ 1 e φ holomorfas que junto com a aplicação de Gauss g permitem recuperar a imersão ψ mediante { ψ Re φ 1, φ, g 1 g } φ 1 i g + 1 φ dz RN 3.6 g onde N está determinada por 3.5 e R é uma função real harmônica para h que pode ser escrita como Exemplo 3.4. Seja gz z, Rz z + z, φ 3 z + 1. { } φ1 + iφ R Re + φ 1 iφ g dz. 3.7 g

68 3. Representação conforme para superfícies-mgl 61 Calculamos φ 1, φ 1 R z + φ 3 + gr z φ 3, como R z 1 e φ 3 z + 1, g [1 + z + 1] φ 1 z + 1 z + 1 z z z + z z 3.8 então, Calculamos φ, então φ 1 z 4 + z 1. Rz + φ 3 φ i igr z φ 3 g i z [1 + z + 1] i zz + + i z z i z + z + i z φ i 4 + z + i. i 1 z + 1 z 3.9 Já conhecemos φ 3, Calculamos N assim, g + ḡ g ḡ N 1 + g, i 1 + g , i z z z z z + z z, i + 4 z z N φ 3 z , z z 1 + g 1 + g, 1 + z z z, z + 4 z z z 3.31 z + z z z, i z + 4 z + 4, z + 4 z No seguinte cálculo usaremos o fato de ser R z + z u. Calculando NR. { 8u NR z + 4, 8uv z } z + 4, + 4 z u u u + v, 8uv, u u + v u u + v, 8uv, u 3 uv + 8u + 4

69 3. Representação conforme para superfícies-mgl 6 logo, z φu, v Re 4 + z z 1, i 4 + z + 1 z 3 Re 1 + z z 3 4 z, i 1 + z 4 + z, z + 1 dz, z z + z 1 4u, 8uv, u 3 u + v uv + 8u u u + v, 8uv, u 3 uv + 8u + 4 [ u 3 + 3u iv + 3uiv + iv 3 Re + u + uvi v u + iv, 1 4 u 3 + 3u iv 3uv iv 3 i + u + uvi v + u + iv, 1 u + uvi v ] + u + iv 1 8u u + v, 8uv, u 3 uv + 8u + 4 u 3 3uv + u v u, 3u v + v 3 uv v, u v + u 1 8u u + v, 8uv, u 3 uv + 8u. + 4 Assim, supondo φu, v xu, v, yu, v, zu, v, temos xu, v 1 6 u3 3uv + 3u 3v 8u 1u 4 + u + v, yu, v 1 6 3u v + v 3 8uv 6uv 1v u + v, zu, v u v + u 1 4 u v 4 + u + v Portanto, temos a superfície-ml S 1 : φr dada na gura a seguir......

70 3. Representação conforme para superfícies-mgl Exemplo 3.5 Superfície de Weingarten. Seja gz z, Rz 1, ϕ 3 z. Calculamos ϕ 1, ϕ 1 R z + ϕ 3 g + gr z ϕ 3, como R z 0 e ϕ 3 z, ϕ 1 z + z z 1 z z então, Calculamos ϕ, então Já conhecemos ϕ 3, ϕ 1 1 z 1 1 z. Rz + ϕ 3 ϕ i g i igr z ϕ 3 z z iz z i + iz ϕ i 1 + z. ϕ 3 z.

71 3. Representação conforme para superfícies-mgl 64 Calculamos N, Calculamos NR, N z + z z z 1 + z, i 1 + z, NR N, 1 + z 1 + z. logo, { } 1 ϕu, v Re z i, + iz z + z z z, z 1 + z, i 1 + z, Assim, supondo ϕu, v xu, v, yu, v, zu, v, temos 1 xu, v Re z Re z dz z + z 1 + z z z 1 + z... z3 6 6z z 3 Re z + z z 1 6 Re 6u + iv u 3 + 3u iv + 3u v iv u u 3 + 6uv u 1 + u + v, u 1 + u + v 1 + z 1 + z i yu, v Re iz Re + iz + i z z dz + i 1 + z z z 1 + z z z 1 + z + iz3 6 6iz + iz 3 Re + i Re [ i 6u + iv + u 3 + 3u iv + 3u v iv 3 ] i 1 6 6v 6u v + v 3 + v 1 + u + v, iv 1 + u + v 3.37 zu, v Re z Re 1 + z z dz 1 + z z 1 + z Reu + iv 1 + u + v 1 + u + v Reu + iuv v 1 + u + v 1 + u + v u v 1 + u + v 1 + u + v. 3.38

72 3. Representação conforme para superfícies-mgl Assim, temos 65 1 u, u3 + 3u + 3uv u + v 1 v yu, v v 3 3v 3u v, u + v u + v 1 zu, v u v. u + v + 1 xu, v Portanto, temos a superfície-ml S : ϕr dada na gura a seguir,

73 3. Representação conforme para superfícies-mgl 66 Agora, da fórmula dada na equação 3.5, temos K 4 dg 4R dg 1 + g w+ R g + ḡw R. Já que nossos dados são então, temos gz z, Rz 1, ϕ 3 zdz, w z, dg 1dz, R R z dz 0, substituindo na fórmula da curvatura, temos 4 dz K 4 dz 1 + z z dz z + zz dz 4 dz 4 dz 1 + z dz + z dz z 1 + z z u + v 4. A superfície S é uma superfície de Weingarten que é um exemplo de superfície-ml que não é mínima no sentido Euclidiano. Exemplo 3.6. Uma superfície-mgl Sejam gz z, Rz 1, ψ 3 z. Neste caso, temos que dg z dz, R 0 e w z dz. Calculamos ψ 1, ψ 1 R z + ψ 3 g z z + z z 1 z z3 1 z z3 + gr z ψ 3 então, ψ z z3.

74 3. Representação conforme para superfícies-mgl 67 Calculamos ψ, Rz + ψ 3 ψ i g i z z iz z igr z ψ 3 i z + iz3 então, Já conhecemos ψ 3, Calculamos N, Calculamos NR, N ψ i z + z 1 + z 4, i 1 z + z3. ψ 3 z. z z 1 + z 4 NR R,, 1 + z z 4. logo, { 1 1 ψu, v Re z z3, i } 1 z z + + z z3, z dz 1 + z 4, i z z 1 + z 4, 1 + z z 4. Supondo ψ xu, v, yu, v, zu, v, temos 1 1 XXXX.xu, v Re z z3 dz z + z 1 + z 4 Re ln z z4 z z z 4 Re ln z + iargz z z + z z 4 Re lnu + v + iargz u + uvi v u + uvi v + u uvi v z 4 lnu + v u v 4u v 4 u v 1 + u + v,

75 3. Representação conforme para superfícies-mgl 68 yu, v Re Re i i 1 z z + z z3 dz + i 1 + z 4 ln z + z4 z z + i z 4 ln z + iargz + z Re i + i z 4 Re i ln z Argz + i u + uvi v + 4uv z 4 iu v + 4uviu v 4u v Argz + Re 4 v arctan uvu u v u + uvi v u + uvi + v 4uv 1 + u + v, 4uv 1 + z 4 zu, v Re z dz z Re 1 + z z z z 4 Reu + uvi v 1 + u + v 1 + u + v u v 1 + u + v 1 + u + v. Assim, xu, v lnu + v u v 4u v u v u + v, v yu, v arctan uvu u v 4uv 1 + u + v, zu, v u v 1 + u + v 1 + u + v. Portanto, temos a superfície-mgl S 3 : ψr dada na gura a seguir,

76 3.3 Completude da métrica de Laguerre 69 Logo, calculamos a curvatura Gaussiana, K Em u v 0, temos que K 0. 4 z dz 4 z dz 1 + z z dz z 16 z dz + z z dz 16 z dz 1 + z 4 1 z + z z dz 16 z 16 z 1 + z z 4 z 16 z 4 16 z z u + v 16u + v 1 + u + v Completude da métrica de Laguerre Seja ψ uma superfície-ml em R 3. Pelo visto no Capítulo, sabe-se que a forma quadrática h L H K K III é invariante pelo grupo de Laguerre e, de fato, é uma métrica Riemanniana se ψ não tem pontos umbílicos, isto é, se H K 0. De.78, temos que h L é a métrica de Laguerre. Das expressões 3.1 e 3.5, a métrica de Laguerre pode-se expressar como h L H K K III R 1 III K ω + R g + ḡω R. 3.39

77 3.3 Completude da métrica de Laguerre 70 No seguinte estudaremos a relação entre a completude Euclidiana de uma imersão e a completude da métrica de Laguerre. Teorema 3.3. Seja ψ : S R 3 uma superfície completa com curvatura negativa. Então a métrica de Laguerre h L de ψ é completa. Demonstração. Seja p um ponto de S. Como Kp < 0, existem coordenadas doblemente ortogonais u, v em um entorno de p tal que a primeira forma fundamental e a segunda forma fundamental de ψ estão dadas por I E du + G dv, II k 1 E du + k G dv onde E, G são funções positivas e k 1, k são curvaturas principais. Então, a terceira forma fundamental pode-se escrever como III k 1E du + k G dv e a métrica de Laguerre como h L H K K III k 1 k 1 k onde foi utilizado que k 1 k < 0. k E du + 1 k k 1 k 1E du + k G dv G dv 14 I, 3.40 Esta desigualdade mostra que a completude da métrica Euclidiana I, implica que a métrica de Laguerre é também completa. Se ψ : S R 3 é uma superfície-mgl não plana com curvatura Gaussiana K 0, é bom aclarar que a métrica de Laguerre é uma métrica bem denida sobre o conjunto dos pontos isolados K 0. Para isso, observe que, de 3.39, h L é uma forma quadrática bem denida em qualquer superfície-mgl pois ω + R/g e gw R são 1 - formas holomorfas Teorema 3.1. Além disso, se p S com Kp 0 então existe um entorno de p, exceto o próprio ponto p, onde K < 0. Portanto, de 3.40, I 4h L neste entorno, e assim Ip 4h L p. Portanto, h L é também uma métrica Riemanniana em p. Por outro lado, é importante esclarecer que o resultado recíproco do Teorema 3.3 não é verdadeiro, isto é, a completude de Laguerre não implica a completude Euclidiana. Neste sentido, mostraremos o seguinte exemplo. Exemplo 3.7. Consideremos a superfície-ml dada pelo Teorema 3.1 para S C R com R z + z, ω z dz, gz 1 z, z C. Temos dg 1 z dz e dr z dz + z dz, de onde R z dz. Calculamos φ 1, logo Calculamos φ, φ 1 1 z + z dz dz, z φ 1 dz. φ i z + z dz, z

78 3.3 Completude da métrica de Laguerre 71 logo Conhecendo ω, já conhecemos φ 3, φ i. φ 3 z. Calculando N, N 1 z 1 z z 1 z + 1 z 1 + 1, z z z, i z + z iz z z, + 1 z + 1, z + 1 z + 1. Calculamos NR, NR 1 z + zz + z z + 1 Logo, supondo φ x, y, z, temos, i z zz + z z + 1 xu, v Re 1 dz + 1 z + zz + z z + 1 u + 1 uu v u + v + 1 u 1 u v u + v v u u + v, + 1 yu, v Re i dz + i z zz + z z + 1 Reiz + i viu v u + v + 1 v vu v 1 u + v + 1 v + u v u + v u v u + v, + 1, z + 1z + z z. + 1

79 3.3 Completude da métrica de Laguerre 7 zu, v Re z dz z + 1z + z z + 1 z Re u v + 1u v u + v + 1 u v + u + v 1u v u + v + 1 u v u + v u v u + v 1 u + v + 1 u v u v u + v + 1 u + v u + v + 1. Então, φu, v u1 + v 1 + u + v, v1 + u 1 + u + v, u + v 1 + u + v. Aliás, a superfície tem curvatura 1 K u + v + 4u v + 1. Portanto, temos a superfície-ml φr dada na gura a seguir....

80 3.3 Completude da métrica de Laguerre 73 Como ψ : Xu, v, Y u, v, Zu, v, temos x u 1 + v 1 + u + v + 4u 1 + v 1 + u + v, 8uv y u 1 + u + v + 4uv1 + u 1 + u + v, 4u z u 1 + u + v u u + v 1 + u + v, e Então, 8uv x v 1 + u + v + 4uv1 + v 1 + u + v, y v 1 + u u + v v 1 + u 1 + u + v, z v Assim, temos a primeira forma fundamental 4v 1 + u + v v u + v 1 + u + v. E ψ u, ψ u 41 + v 1 + u + v, F ψ u, ψ v 0, G ψ v, ψ v 41 + u 1 + u + v. I 41 + v 1 + u + v du u 1 + u + v dv,

81 3.3 Completude da métrica de Laguerre 74 e a métrica de Laguerre dada por Note que, tomando a curva αt ψt, 0 g w + R + gw R g 1 z z dz z dz z dz z 4 dz 4du + dv. t 1 + t, t 1 + t, temos 1 + t α + tt t 1 + t, 0, 4t1 + t + t t 1 + t + t 1 + t, 0, 4t 1 + t 1 + t 1 + t, 0, t 1 + t, então, 1 t α t + t 4 + 4t t t + t t t, logo, Tomando a longitude de α temos lα 0 α t 1 + t. que demonstra que a métrica induzida I não é completa. π 1 + t dt arctant 0 π <,

82 Capítulo 4 Conclusão e futuras linhas de pesquisa No presente trabalho apresentamos a geometria de Laguerre, através de planos e esferas orientadas e, neste contexto, apresentamos a métrica e o funcional de Laguerre. Em seguida, apresentamos uma maneira de representar as superfícies-ml em R 3, que são pontos críticos do funcional de Laguerre, de forma global usando três dados: uma função meromorfa, uma forma holomorfa e uma função real harmônica. Esta representação permitiu construir vários exemplos de superfícies mínimas de Laguerre generalizadas, isto é, aquelas superfícies mínimas de Laguerre que possuem curvatura zero em pontos isolados. Por outro lado, ainda existem trabalhos nesta linha de pesquisa que obtém resultados envolvendo superfícies- ML. A saber, no artigo [1], cada superfície-ml x : M R 3 com Ω 0 ver [1], Ÿ é associada injetivamente a uma solução complexa da equação de Liouville em um aberto U, f e f, f : U M C. E já que as soluções da equação de Liouville são dadas por f log 8φ zψ z φ + ψ, temos que qualquer superfície-ml em R 3 com Ω 0 é determinada por duas funções holomorfas. Além dessas representações, no artigo [0] é apresentada uma maneira de construir uma superfície-ml usando congruências de retas, citamos o Teorema central do artigo Teorema 4.1. Seja Σ uma congruência de retas dada por ξ, F ξ. Se F é harmônica, então a envoltória dos planos médios M Σ é uma superfície-ml nos pontos suaves. Reciprocamente, qualquer superfície-ml pode ser localmente descrita como a envoltória dos planos médios de uma congruência tal que F ξ seja harmônica. Neste último caso, surgiu um estudo das superfícies geradas a partir da superfície média de M Σ, a idéia é a seguinte:

83 76 Considerando uma superfície-ml S, parametrizada por X : M R 3, descrevemos sua superfície média H H H por Y X+ N, sendo que III 0, localmente existe la harmônica conjugada, assim, K K K H H podemos descrever duas superfícies M 1 e M parametrizadas por Z 1 Y + N e Z Y N K K respectivamente e uma aplicação T : M 1 M que associa de forma natural pontos das superfícies M 1 e M. Algumas questões sobre tais superfícies são 1. A aplicação T preserva áreas?. As superfícies M 1 e M diferem apenas por uma reexão? 3. As curvaturas Gaussianas das superfícies M 1 e M são negativas? 4. Sobre quais condições M 1 e M são superfícies-ml? Mesmo não tendo os resultados formais, usando métodos computacionais pode-se vericar para uma grande quantidade de exemplos que a resposta à questão é verdadeira quando são tomadas ao acaso duas funções A, B que denem uma congruência de retas ver [0], pg.7. A seguir, apresentamos alguns exemplos e os respectivos desenhos de M 1 e M, dando uma forte impressão de simetria. A 0, B z

84 A 1, B z

85 A e z, B z

86 79.. A z log z, B 0.. Neste último caso pode-se ver que a superfície-ml é como caso particular uma superfície mínima e aliás, M 1 M. De maneira intuitiva também pode-se dar uma resposta à questão 3.