Geziel Damasceno Bezerra

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS - UFAM INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS - ICE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA UMA CARACTERIZAÇÃO DAS SUPERFÍCIES DE DELAUNAY Geziel Damasceno Bezerra MANAUS

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS - UFAM INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS - ICE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA Geziel Damasceno Bezerra UMA CARACTERIZAÇÃO DAS SUPERFÍCIES DE DELAUNAY Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal do Amazonas, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática, na área de concentração em Geometria Diferencial. Orientador: Prof. Dr. Renato de Azevedo Tribuzy MANAUS

3 Geziel Damasceno Bezerra UMA CARACTERIZAÇÃO DAS SUPERFÍCIES DE DELAUNAY Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal do Amazonas, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática, na área de concentração em Geometria Diferencial. Manaus, 4 de Abril de BANCA EXAMINADORA Prof Dr. Renato de Azevedo Tribuzy, Presidente Universidade Federal do Amazonas... Prof a Dr. José Nazareno Vieira Gomes, Membro Universidade Federal do Amazonas... Prof Dr. Cleon da Silva Barroso, Membro Universidade Federal do Ceará...

4 AGRADECIMENTOS Meus sinceros agradecimentos a todos que de forma direta ou indireta contribuíram para a conclusão desse trabalho, em especial, a Deus pela capacitação e permissão, ao meu orientador professor Renato Tribuzy pela paciência e dedicação, aos professores Raul Mesquita, Ivan Tribuzy e José Kenedy pelas lições de geometria diferencial, aos meus colegas do mestrado Adrian Ribeiro e Francisco Almino pelo auxílio técnico computacional, sugestões e trocas de idéias, Ivana Bandeira e Marcos Aurélio pela contribuição com materias didáticos, aos professores Inês Silva e Juliana Miranda pelos diálogos e esclarecimentos, aos professores Cleon Barroso e José Nazareno pelas correções e sugestões, e à FAPEAM pelo suporte nanceiro.

5 RESUMO Admite-se que, numa superfície completa, conexa e orientada imersa no espaço euclidiano tri-dimensional com curvatura média constante não nula, existe um triângulo geodésico cujos ângulos internos satisfazem uma relação integral envolvendo a curvatura média e o ângulo formado pelo vetor unitário paralelo a um eixo coordenado qualquer do espaço ambiente e o vetor unitário normal a superfície, e sob tais hipóteses mostra-se que a imersão é uma superfície de revolução, ou seja, uma superfície de Delaunay. Em seguida darse uma caracterização da esfera alterando-se algumas hipóteses no resultado anterior. Palavras chave: Superfície de Revolução, Curvatura Média, Superfície de Delaunay, Esfera Padrão.

6 ABSTRACT Admits that in a complete surface, connected and oriented immersed in R 3 with non-zero constant mean curvature, there is a geodesic triangle whose interior angles satisfy a relationship involving the integral mean curvature and the angle formed by unit vector parallel to a coordinate axis of either R 3 and the unit vector normal to the surface, and in such cases shows that the immersion is a surface of revolution, ie, a surface Delaunay. Then give a characterization of the sphere is changing some hypotheses on the previous result. Keywords: Surfaces of Revolution, Mean Curvature, Surface of Delaunay, Standard Sphere.

7 Lista de Figuras 4.1 Catenária Ondulária Nodária Catenóide Ondulóide Nodóide

8 Conteúdo Lista de Figuras i Introdução 1 1 Generalidades Variedades Diferenciáveis Campos de Vetores Métricas Riemannianas Conexões Ans; Conexão Riemanniana Geodésicas; Variedades Completas Curvatura Imersões Isométricas 15 3 O Teorema de Gauss-Bonnet Formas Diferenciais numa Variedade i

9 Conteúdo ii 3.2 As Equações Estruturais do R n Superfícies em R Teorema de Stokes Teorema de Gauss-Bonnet Superfícies em R 3 com Curvatura Média Constante Superfícies de Delaunay Uma Caracterização do Cilindro Analiticidade de Imersões de Superfícies em R 3 com Curvatura Média Constante Resultados Principais Uma Caracterização das Superfícies de Delaunay Acerca da Generalização Bibliograa 67

10 Introdução Em 1841, o matemático astrônomo francês Charles Eugène Delaunay, em seu trabalho Sur la surface de révolution dont la courbure moyenne est constante, exibiu uma forma de construir superfícies com curvatura média constante fazendo a revolução de curvas descritas pelo foco de cônicas quando estas rolam sobre uma reta tangente sem escorregar. Tais superfícies são chamadas de Superfícies de Delaunay. Delaunay provou ainda que toda superfície de revolução com curvatura média constante é uma superfície de Delaunay. Neste trabalho provaremos a seguinte caracterização das superfícies de Delaunay demonstrada por H. Alencar, M. do Carmo e R. Tribuzy em [2]. Teorema 1. Sejam Σ uma superfície completa, conexa e orientada imersa em R 3 com curvatura média H constante não nula, e θ o ângulo formado pelo vetor normal unitário dado pela orientação e um eixo coordenado xado em R 3. Assuma que existe um triângulo geodésico T em Σ cujos ângulos internos β 1, β 2, β 3 satisfazem 3 β i π = ( dθ 2 ± 2H dθ )dσ, i=1 R onde R é a região limitada por T. Então Σ é uma superfície de Delaunay. 1

11 Conteúdo 2 Em 1951, H. Hopf desenvolveu um trabalho a respeito de superfícies compactas com curvatura média constante, no qual demonstrou de duas formas que "uma superfície compacta de gênero zero (isto é, homeomorfa a uma esfera) Σ imersa em R 3 com curvatura média constante é uma esfera padrão." Ambas as provas fazem uso da existência de parâmetros isotérmicos e consiste no estudo de uma forma holomorfa Φ construída por Hopf denida em Σ, cujos zeros são exatamente os pontos umbílicos (pontos nos quais as curvaturas principais coincidem) de Σ. Já em 1956, A. Alexandrov mostrou que "se Σ é uma superfície compacta mergulhada em R 3 com curvatura média constante, então Σ é uma esfera padrão." A demonstração faz uso de uma consequência do Princípio do Máximo e consiste em comparar a superfície ao seu reexo em relação a planos. Tal técnica cou conhecida posteriormente como método da reexão de Alexandrov. Como consequência da caracterização das superfícies de Delaunay daremos ainda a seguinte caracterização da esfera, cuja demonstração também pode ser encontrada em [2]. Teorema 2. Sejam Σ uma superfície compacta, conexa e orientada imersa em R 3 com curvatura média H constante não nula, e θ o ângulo formado pelo vetor normal unitário dado pela orientação e um eixo coordenado xado em R 3. Se ( dθ 2 ± 2H dθ )dσ = 2πχ(Σ), Σ onde χ(σ) é a característica de Euler de Σ, então Σ é uma esfera padrão. O presente trabalho está organizado da seguinte forma: No capítulo 1 xamos as notações e listamos denições e resultados gerais, no capítulo 2 apresentamos de forma sucinta o necessário do estudo das imersões isométri-

12 Conteúdo 3 cas, no capítulo 3 demonstramos o Teorema de Gauss-Bonnet, no capítulo 4 descrevemos o processo de demonstração do Teorema de Delaunay, e citamos resultados que serão utilizados no decorrer da prova dos resutados principais, e no capítulo 5 fazemos a demonstração dos resultados principais e comentários a respeito da generalização desses tais.

13 Capítulo 1 Generalidades Este capítulo foi escrito am de estabelecer as notações e conceitos que serão utilizadas no decorrer do trabalho e listar alguns fatos que usaremos posteriormente para auxiliar na compreensão dos resultados principais. Uma abordagem detalhada dos resultados abaixo pode ser encontrada em [6] e [15]. Neste e nos demais capítulos a palavra diferenciável signicará de classe C. 1.1 Variedades Diferenciáveis Denição Uma Variedade Diferenciável de dimensão n é um conjunto M juntamente com uma família de aplicações injetivas x α : U α R n M denidas em abertos U α de R n satisfazendo: 1. α x α (U α ) = M; 2. Para todo par α, β tal que x α (U α ) x β (U β ) = W os conjuntos α (W ) e x 1 (W ) são abertos de Rn e a aplicação x 1 x α : x 1 α (W ) x 1 x 1 β β (W ) é um difeomorsmo; 4 β

14 1.1. Variedades Diferenciáveis 5 3. A família {(U α, x α )} é maximal em relação às condições (1) e (2). Se p x α (U α ), a aplicação x α : U α R n M é chamada uma parametrização ou um sistema de coordenadas de M em p e x α (U α ) é chamado uma vizinhança coordenada em p. Uma família {(U α, x α )} cumprindo as condições (1) e (2) é chamada uma estrutura diferenciável em M. Se {(U α, x α )} é uma estrutura diferenciável no conjunto M, então os subconjuntos A M tais que x 1 α (A x α (U α )) é um aberto de R n para todo α constituem uma topologia em M, a qual está denida de tal forma que os conjuntos x α (U α ) são abertos e as aplicações x α são contínuas. Dessa forma, dizemos que uma variedade diferenciável é compacta, conexa, etc, se quando observada do ponto de vista topológico, for um espaço compacto, conexo, etc, respectivamente. Exemplo O espaço euclidiano R n uma variedade diferenciável de dimensão n. com sua aplicação identidade é Exemplo Superfícies regulares em R 3 são variedades diferenciáveis de dimensão 2. De fato, superfícies regulares são cobertas por aplicações denidas em abertos do R 2, e como pode ser visto em [4], a mudança de coordenadas é um difeomorsmo. No que segue, ao denotarmos uma variedade diferenciável por M n, o índice superior indicará a sua dimensão. Denição Dizemos que uma variedade diferenciável M é orientável quando existe uma estrutura diferenciável {(U α, x α )} que cumpre: Para todo par α, β tal que x α (U α ) x β (U β ) = W, o determinante da diferencial da aplicação mudança de coordenada x 1 α x β : x 1 (W ) x 1 α (W ) é positivo em β todo q x 1 (W ). Se porventura não existir uma tal estrutura dizemos que β

15 1.1. Variedades Diferenciáveis 6 M é não-orientável. A escolha de uma estrutura diferenciável satisfazendo a propriedade descrita acima é chamada uma orientação de M, e neste caso dizemos que M está orientada. Duas estruturas diferenciáveis determinam a mesma orientação quando a união delas ainda satisfaz a propriedade descrita acima. Uma variedade diferenciável conexa orientável possui exatamente duas orientações. Denição Sejam M1 n e M 2 m variedades diferenciáveis e ϕ : M 1 M 2 uma aplicação. Dizemos que ϕ é diferenciável em p M 1, se dada uma parametrização y : V R m M 2 em ϕ(p) existe uma parametrização x : U R n M 1 em p tal que ϕ(x(u)) y(v ) e a aplicação y 1 ϕ x : U R n R m, chamada a expressão de ϕ nas parametrizações x e y, é diferenciável em x 1 (p). ϕ é diferenciável se o for em todos os pontos de seu domínio. Denição Uma aplicação diferenciável α : I M de um intervalo aberto I R na variedade diferenciável M é chamada uma curva diferenciável em M. Denição Seja α : ( ε, ε) M uma curva diferenciável na variedade diferenciável M tal que α(0) = p. Denotemos por D o conjunto das funções reais denidas em M diferenciáveis em p. O vetor tangente a curva α em t = 0 é a aplicação α (0) : D R denida por α (0)(f) = (f α) (0). Um vetor tangente a M em p é o vetor tangente em t = 0 de alguma curva diferenciável α : ( ε, ε) M com α(0) = p. conjunto dos vetores tangentes a M em p. Denotaremos por T p M o O conjunto T p M munido com as operações usuais de funções é um espaço vetorial.

16 1.1. Variedades Diferenciáveis 7 Seja x : U R n M uma parametrização em p tal que x(0) = p e α( ε, ε) x(u). Suponhamos que as expressões de α e f na parametrização x são dadas respectivamente por α(t) = (x 1 (t),..., x n (t)) e f(x 1,..., x n ). Então α (0)f = ( f α) (0) = n i=0 x i(0) f { n ( ) } (0) = x x i(0) f, i x i=0 i 0 ou seja, α (0) é uma combinação linear dos vetores linearmente independentes ( (,...,, e estes portanto constituem uma base para T p M, a qual x 1 )0 x n )0 será chamada a base associada a parametrização x. Chamaremos o espaço vetorial T p M de espaço tangente de M em p. Denição Sejam M1 n e M 2 m variedades diferenciáveis, ϕ : M 1 M 2 uma aplicação diferenciável e p M 1. A diferencial de ϕ em p é a aplicação linear dϕ p : T p M 1 T ϕ(p) M 2 denida da seguinte forma: dado v T p M 1, tome uma curva diferenciável α : ( ε, ε) M 1 tal que α(0) = p e α (0) = v, e dena dϕ p (v) = β (0), onde β = ϕ α. Tomemos x : U R n M 1 uma parametrização em p tal que x(0) = p e α( ε, ε) x(u) e suponhamos que as expressões de α e ϕ na parametrização x são dadas respectivamente por α(t) = (x 1 (t),..., x n (t)) e ϕ(x 1,..., x n ) = (y 1 (x 1,..., x n ),..., y m (x 1,..., x n )). Por denição, dϕ p (v) = ( ϕ α) (0) = ( ) yi (0) (x x j(0)), j i = 1,..., m; j = 1,..., n, donde dϕ p é de fato uma aplicação linear cuja matriz relativa às bases associadas às parametrizações x e y é a matriz do tipo m n acima. Desta relação temos ainda que, embora tenhamos feito a escolha de uma curva para denir a diferencial, tal denição independe dessa escolha.

17 1.2. Campos de Vetores 8 Denição Sejam M 1 e M 2 variedades diferenciáveis. Uma bijeção diferenciável ϕ : M 1 M 2 cuja inversa ϕ 1 é diferenciável é chamada um difeomorsmo. ϕ é um difeomorsmo local em p se existem vizinhanças U de p e V de ϕ(p) tais que ϕ : U V é um difeomorsmo. Exemplo (O Fibrado Tangente). Sejam M n uma variedade diferenciável e T M = {(p, v); p M, v T p M}. Seja {(U α, x α )} a estrutura diferenciável máximal de M. Indicaremos por (x α 1,..., x α n) as coordenadas de U α e por {,..., } as bases canônicas associadas nos espaços tangentes de x α (U α ). Para cada α denina y α : U α R n T M x α 1 x α n por y α (x α 1,..., x α n, u 1,..., u n ) = (x α (x α 1,..., x α n), n i=1 u i x α i ), (u 1,..., u n ) R n. A família {(U α R n, y α )} é uma estrutura diferenciável em T M. Este conjunto munido com tal estrutura constitui uma variedade diferenciável chamada brado tangente de M. Denição Sejam M m e N n variedades diferenciáveis e ϕ : M N uma aplicação diferenciável. Se dϕ p : T p M T ϕ(p) N é injetiva para todo p M dizemos que ϕ é uma imersão. E se além disso ϕ : M ϕ(m) for um homeomorsmo, onde ϕ(m) está munido da topologia induzida de N, dizemos que ϕ é um mergulho. Se M N e a inclusão i : M N é um mergulho, dizemos que M é uma subvariedade de N. Proposição Sejam M n 1 e M m 2 variedades diferenciáveis, n m, e ϕ : M 1 M 2 uma imersão. Então, para todo p M 1 existe uma vizinhança U M 1 de p tal que ϕ : U ϕ(u) é um mergulho. 1.2 Campos de Vetores Denição Um campo de vetores X em uma variedade diferenciável M é uma correspondência que associa a cada p M um vetor X(p)

18 1.2. Campos de Vetores 9 T p M. Na linguagem de aplicações, X é uma aplicação de M em seu brado tangente T M. Dizemos que X é diferenciável se a aplicação X : M T M é diferenciável. Denotaremos por X(M) o conjunto dos campos de vetores diferenciáveis em M. Se x : U R n M é uma parametrização, então podemos escrever X(p) = { onde a i : U R são funções e n i=1 } x i ( ) a i (p), x i p é a base de T p M associada a x. Assim, o campo X é diferenciável se, e somente se, as funções a i diferenciáveis, para alguma, e portanto qualquer parametrização. : U R são Sejam F(M) o conjunto das funções reais em M e D(M) o conjunto das funções diferenciáveis reais em M. Um campo de vetores X também pode ser visto como uma aplicação X : D(M) F(M) que associa cada f D(M) a uma função Xf F(M), denida por Xf(p) = a i (p) f (p), onde f x i i indica a expressão de f na parametrização x. Neste contexto X é diferenciável se, e somente se, X : D(M) D(M). Teorema Sejam M uma variedade diferenciável, X um campo de vetores diferenciável em M e p M. Existem uma vizinhança U M de p, ε > 0 e uma aplicação diferenciável ϕ : ( ε, ε) U M tais que, xado q U, a curva diferenciável α : ( ε, ε) M denida por α(t) = ϕ(t, q) é a única que satisfaz α (t) = X(α(t)) e α(0) = q. Denição Sejam M uma variedade diferenciável, X um campo de vetores diferenciável em M e p M. Uma curva α : ( ε, ε) M que satisfaz às condições α (t) = X(α(t)) e α(0) = p é chamada a trajetória de X que passa por p em t = 0.

19 1.3. Métricas Riemannianas 10 Lema Sejam X e Y campos diferenciáveis numa variedade diferenciável M. Existe um único campo diferenciável [X, Y ], chamado o colchete de X e Y, tal que [X, Y ]f = (XY Y X)f para todo f D(M). 1.3 Métricas Riemannianas Denição Uma métrica Riemanniana numa variedade diferenciável M é uma correspondência que associa a cada p M um produto interno, p em T p M satisfazendo: Dada uma parametrização x : U R n M, as funções g ij : U R, chamadas expressão da métrica Riemanniana, denidas ( ( por g ij (q) =, x j )q x(q) são diferenciáveis em U. Uma variedade x i )q diferenciável munida de uma métrica Riemanniana é chamada uma variedade Riemanniana. Denição Sejam M e N variedades Riemannianas. Um difeomor- smo f : M N é uma isometria se v 1, v 2 p = df p (v 1 ), df p (v 2 ) f(p), p M, v 1, v 2 T p M. Denição Sejam M e N variedades Riemannianas e f : M N uma aplicação diferenciável. Dizemos que f é uma isometria local em p M se existe uma vizinhança U M de p tal que f : U f(u) é um difeomorsmo satisfazendo v 1, v 2 p = df p (v 1 ), df p (v 2 ) f(p), p U, v 1, v 2 T p M. Denição Sejam I R um intervalo aberto, M uma variedade diferenciável e c : I M uma curva diferenciável. Um campo vetorial V ao longo de uma curva é uma aplicação que a cada t I associa um vetor tangente V (t) T c(t) M. Diz-se que V é diferenciável se para toda função diferenciável f em M, a função t V (t)f é uma função diferenciável em I. Exemplo Sejam M uma variedade diferenciável e γ : I R M uma curva diferenciável. Considere x : U R n M uma parametriza-

20 1.4. Conexões Ans; Conexão Riemanniana 11 ção para a qual γ(i) x(u). Suponhamos que γ = x 1 γ : I U, a expressão de γ em x, seja dada por γ(t) = (x 1 (t),..., x n (t)). Então dγ (t) = ( n dt i=1 x i(t) é chamado o campo velocidade (ou tangente) de γ. x i ) γ(t) Denição Sejam M uma variedade diferenciável e γ : I R M uma curva diferenciável. A restrição de γ a um intervalo fechado [a, b] I chama-se um segmento. segmento é denido por l a b (γ) = a b dγ dt, dγ dt 1/2 dt. Se M é Riemanniana, o comprimento de um 1.4 Conexões Ans; Conexão Riemanniana Denição Uma conexão am numa variedade diferenciável M é uma aplicação : X(M) X(M) X(M), que indicamos por (X, Y ) X Y, satisfazendo: 1. fx+gy Z = f X Z + g Y Z, 2. X (Y + Z) = X Y + X Z, 3. X (fy ) = f X Y + X(f)Y, onde X, Y, Z X(M) e f, g D(M). Proposição Seja M uma variedade diferenciável com conexão am. Existe uma única correspondência que associa um campo vetorial V ao longo da curva diferenciável c : I M, a um outro campo vetorial longo de c, tal que: DV dt ao 1. D DV (V + W ) = dt dt c; + DW, onde W é um campo diferenciável ao longo de dt

21 1.4. Conexões Ans; Conexão Riemanniana DV dt = df V + f DV, onde f é uma função diferenciável em I; dt dt 3. Se V é induzido por um campo Y X(M), ou seja, V (t) = Y (c(t)), então DV dt = dc Y. dt Denição Seja M uma variedade diferenciável com conexão am. Dizemos que, um campo vetorial V ao longo da curva diferenciável c : I M é paralelo, quando DV dt = 0 para todo t I. Denição Sejam M uma variedade diferenciável, conexão am em M, c : I M uma curva diferenciável e V 0 um vetor tangente a M em c(t 0 ), com t 0 I, isto é, V 0 T c(t0 )M. Existe um único campo paralelo V ao longo de c tal que V (t 0 ) = V 0 (V é chamado o transporte paralelo de V 0 ao longo de c). Denição Uma conexão am numa variedade Riemanniana M é compatível com a métrica quando uma das condições (equivalentes) abaixo for satisfeita: 1. Para toda curva diferenciável c : I R M e todo par V e W de campos de vetores ao longo de c temos: D DW V, W = DV, W + V,, t I; dt dt dt 2. X Y, Z = X Y, Z + Y, X Z para todo X, Y, Z X(M). Teorema (Levi Civita). Em uma variedade Riemanniana M existe uma única conexão am, denominada conexão de Levi Civita (ou Riemanniana) de M, que cumpre: 1. X Y Y X = [X, Y ] (Simetria); 2. é compatível com a métrica Riemanniana.

22 1.5. Geodésicas; Variedades Completas Geodésicas; Variedades Completas Denição Sejam M uma variedade Riemanniana e sua conexão Riemanniana. Dizemos que uma curva diferenciável γ : I R M é uma geodésica quando o campo velocidade de γ é paralelo ao longo de γ, isto é, D ( dγ dt dt ) = 0 para todo t I. Denição Uma variedade Riemanniana conexa M é dita geodesicamente completa se para todo p M as geodésicas γ(t) que partem de p estão denidas para todos os valores do parâmetro t R. Proposição Seja M uma variedade Riemanniana conexa. A função d : M M R denida por d(p, q) = ínmo dos comprimentos de todas as curvas f p,q, onde f p,q é uma curva diferenciável por partes ligando p a q, é uma métrica em M. inicial de M. A topologia induzida por d coincide com topologia Teorema (Hopf e Rinow). Uma variedade Riemanniana conexa M é geodesicamente completa se, e somente se, M é completa como espaço métrico. Corolário Se M é compacta e conexa, então é completa. 1.6 Curvatura Denição Sejam M uma variedade Riemanniana e sua conexão Riemanniana. A curvatura R de M é uma correspondência que associa a cada par X, Y X(M) uma aplicação R(X, Y ) : X(M) X(M) dada por R(X, Y )Z = Y X Z X Y Z + [X,Y ] Z, Z X(M).

23 1.6. Curvatura 14 Proposição A curvatura R de uma variedade Riemanniana M satisfaz as seguintes propriedades: 1. R é bilinear em X(M) X(M); 2. O operador curvatura R(X, Y ) : X(M) X(M) é linear para todo par X, Y X(M); 3. (Primeira Identidade de Bianchi) Para todo terno X, Y, Z X(M) R(X, Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0. Se V é um espaço vetorial com produto interno. Usaremos a notação x y 2 = x 2 y 2 x, y 2, para representar a área do paralelogramo bidimensional determinado pelo par de vetores x, y V, onde x 2 = x, x. Proposição Seja σ T p M um subespaço de dimensão 2 do espaço tangente T p M e sejam x, y σ vetores linearmente independentes. Então K(x, y) = R(x, y)x, y x y 2 não depende da escolha dos vetores x, y σ. Denição Dado um ponto p M e um subespaço bi-dimensional σ T p M o número real K(x, y) = K(σ), onde {x, y} é uma base qualquer de σ, é chamado curvatura seccional de σ em p. Observação Sabemos que, se M = R n, vale Y X Z = X Y Z para todo X, Y, Z X(R n ), donde R(X, Y )Z = Y X Z X Y Z + [X,Y ] Z = 0 para todo X, Y, Z X(R n ). Logo, o espaço euclidiano R n é uma variedade Riemanniana com curvatura seccional constante K 0.

24 Capítulo 2 Imersões Isométricas Faremos agora uma exposição sucinta de resultados pertencentes ao estudo das imersões isométricas que serão necessários para o entendimento dos resultados principais e estabeleceremos ainda notações que serão utilizadas no capítulo nal. A demonstração dos fatos abaixo pode ser encontrada em [6]. Sejam M n uma variedade diferenciável, M k=n+m uma variedade Riemanniana e f : M M uma imersão. Para cada p M podemos denir um produto interno em T p M da seguite forma: Se v 1, v 2 T p M, então v 1, v 2 p = df p (v 1 ), df p (v 2 ) f(p), onde o produto interno à direita é o produto interno dado pela métrica Riemanniana em M. Tal associação é uma métrica Riemanniana em M, dita induzida pela imersão, e sob estas condições f se torna uma imersão isométrica. Para cada p M existe uma vizinhança U M de p tal que a restrição f U é um mergulho, o que nos permite olhar para U como um subconjunto de M, e sendo assim, am de simplicarmos a notação, identicaremos U com f(u) e v T q M com df q (v) T f(q)m, sempre que q U. Essas identicações 15

25 16 serão úteis, por exemplo, para estendermos um campo local (denido em U) de vetores em M a um campo local (denido em f(u)) de vetores em M. Para cada p M, o produto interno em T p M o decompõe na soma direta T p M = T p M (T p M), onde (T p M) é o complemento ortogonal de T p M em T p M. Isto nos diz que, dado v T p M, podemos escrevê-lo da forma v = v T + v N, onde v T T p M e v N (T p M). Chamamos v T e v N de as componente tangencial e normal de v, respectivamente. Sejam X e Y extensões locais a M dos campos locais de vetores X e Y em M. Denimos a conexão Riemanniana X Y = ( X Y ) T, onde é a conexão Riemannaiana de M, que por unicidade, é a Riemanniana relativa a métrica induzida pela imersão. Denotaremos por X(U) o conjunto dos campos diferenciáveis em U de vetores normais a f(u) U. Proposição A aplicação B : X(U) X(U) X(U) denida por B(X, Y ) = X Y X Y, independe das extensões X e Y, e é bilinear e simétrica. Denição Sejam p M e η (T p M). A forma bilinear simétrica α η : T p M T p M R denida por α η (x, y) = B(x, y), η é chamada a segunda forma fundamental de f em p na direção normal η. Associada à forma bilinear simétrica α η encontra-se o operador autoadjunto A η : T p M T p M dado por A η (x), y = α η (x, y) = B(x, y), η, chamado o operador de Weingarten na direção normal η.

26 17 Proposição Sejam p Σ e η (T p M). Seja N uma extensão local de η normal a M. Então o operador de Weingarten A η : T p M T p M é denido por A η (x) = ( x N) T. Sejam x, y T p M T p M vetores linearmente independentes. Denotemos por K(x, y) e K(x, y) as curvaturas seccionais de M e M, respectivamente, do plano gerado por x e y. Teorema (Equação de Gauss). Sejam p M e x, y vetores ortonormais de T p M. Então K(x, y) K(x, y) = B(x, x), B(y, y) B(x, y) 2. Dados X e η campos diferenciáveis de vetores tangentes e normais respectivamente, sabemos que a componente tangente de X η é dada por ( X η) T = A η (X). A componente normal de X η será chamada a conexão normal da imersão, esta possui as propriedades usuais de uma conexão. De forma explícita, Xη = ( X η) N = X η ( X η) T = X η + A η (X). A curvatura normal da imersão é denida por R (X, Y )η = Y Xη X Y η + [X,Y ]η. Denição Um tensor T de ordem k numa variedade Riemanniana M é uma aplicação multilinear T : X(M)... X(M) D(M), }{{} k fatores

27 18 cuja derivada covariante em relação a Z X(M) é o tensor dado por ( Z T )(Y 1,..., Y k ) = Z(T (Y 1,..., Y k )) T ( Z Y 1,..., Y k )... T (Y 1,..., Y k 1, Z Y k ). Dada uma imersão isométrica, denotaremos por X(M) o espaço dos campos diferenciáveis de vetores normais a M. A segunda forma fundamental da imersão pode ser vista como um tensor B : X(M) X(M) X(M) D(M) denido por B(X, Y, η) = B(X, Y ), η. Proposição (Equação de Codazzi). Usando a notação acima vale R(X, Y )Z, η = ( Y B)(X, Z, η) ( X B)(Y, Z, η), onde por denição, ( X B)(Y, Z, η) = X(B(Y, Z, η)) B( X Y, Z, η) B(Y, X Z, η) B(Y, Z, Xη). Consideremos o caso particular no qual temos uma variedade diferenciável bi-dimensional Σ, que chamamos de superfície, imersa em R 3 por uma imersão f. Dado p Σ, considere o produto interno em T p Σ induzido pela imersão. Desse produto interno podemos denir em T p Σ uma norma em T p Σ dada por v p = v, v p = df p (v), df p (v) = df p (v) 2 = df p (v). A partir de tal norma denimos ainda uma métrica d p em T p Σ: se v 1, v 2

28 19 T p Σ, então d p (v 1, v 2 ) = v 1 v 2 p = df p (v 1 v 2 ) = df p (v 1 ) df p (v 2 ) = d(df p (v 1 ), df p (v 2 )). Denimos o ângulo (v 1, v 2 ) entre os vetores v 1, v 2 T p Σ por cos (v 1, v 2 ) = v 1, v 2 p v 1 p v 2 p = df p(v 1 ), df p (v 2 ) df p (v 1 ) df p (v 2 ) = cos (df p(v 1 ), df p (v 2 )). No caso de superfícies imersas em R 3 uma forma equivalente de interpretarmos a orientabilidade é dado pelo Teorema Uma superfície Σ imersa em R 3 é orientável se, e somente se, existe um campo diferenciável de vetores normais unitários N : Σ R 3. Neste contexto dizemos que uma superfície Σ imersa em R 3 é orientável se existe um campo diferenciável N : Σ S 2 R 3 de vetores unitários normais em Σ, e caso contrário dizemos que Σ é não orientável. Se Σ é orientável, a escolha de um campo diferenciável de vetores unitários normais em Σ é uma orientação de Σ. Denição Seja Σ uma superfície imersa em R 3 com orientação N. Então N : Σ S 2 R 3 é chamada a aplicação normal de Gauss de Σ. Fixemos p Σ. Uma vez que T p Σ e T N(p) S 2 são paralelos, podemos identicá-los. Dado x T p Σ, tomemos c : ( ε, ε) Σ uma curva tal que c(0) = p e c (0) = x. Derivando N, N = 1 na direção de x obtemos x N, N = 0, isto é, x N = ( x N) T. Dessa forma, dn p (x) = d dt (N c(t)) t=0 = x N = ( x N) T = A(x), ou seja, A é a diferencial da aplicação normal de Gauss em p.

29 20 Portanto, a diferencial da aplicação normal de Gauss dn p : T p Σ T p Σ é um operador auto-adjunto e a segunda forma fundamental da imersão em p α : T p Σ T p Σ R pode ainda ser denida por α(x, y) = dn p (x), y. (2.1) Denição Sejam Σ uma superfície imersa em R 3 com orientação N e dn p : T p Σ T p Σ a diferencial da aplicação normal de Gauss de Σ em p. O determinante de dn p é chamado a curvatura Gaussiana K da imesão em p, e o negativo da metade do traço de dn p é chamada a curvatura média H da imesão em p. Se Σ é uma superfície conexa e orientável imersa em R 3, então Σ possui precisamente duas orientações e por conseguinte dois campos diferenciáveis de vetores unitários normais a Σ distintos. Visto que temos apenas uma direção normal concluímos que, se N é uma orientação, então N será a outra. Observe que dn p e dn p possuem o mesmo determinante e traços com sinais opostos, donde o sinal da curvatura Gaussiana independe da orientação, enquanto que o sinal da curvatura média depende. De acordo com a equação 2.1 o ij-ésimo elemento da matriz de dn p é dado por α(a 1, a 2 ) onde {a 1, a 2 } é uma base ortonormal de T p Σ, donde deduzimos Teorema (Equação de Gauss). Sejam Σ uma superfície imersa em R 3 com orientação N e p Σ. Se {x, y} é uma base ortonormal de T p Σ, então K(x, y) = α(x, x)α(y, y) α(x, y) 2. Sabemos ainda que existe uma base ortonormal {e 1, e 2 } de T p Σ para a

30 21 qual α(e i, e j ) = 0 se i j, e esta é precisamente a base de T p Σ constituída de auto-vetores de dn p que diagonaliza tal operador. Os auto-vetores e 1 e e 2 são chamados as direções principais em p e os auto-valores k 1 e k 2, associados respectivamente aos auto-vetores e 1 e e 2, são chamados as curvaturas principais em p. Logo, pelo Teorema 2.0.3, K(e 1, e 2 ) = k 1 k 2. Exemplo Considere a esfera S 2 R 3 orientada pelo campo normal N : S 2 S 2 R 3 denido por N(x) = x, isto é, a aplicação normal de Gauss é o negativo da aplicação identidade de S 2. Então, o determinante de dn p é igual a 1 para todo p S 2, donde concluímos que curvatura de S 2 é igual a 1 em todo p S 2, ou seja, S 2 é uma variedade Riemanniana com curvatura seccional constante K 1. Denição Sejam Σ uma superfície e f : Σ R 3 uma imersão. O gradiente de uma função diferenciável ϕ : Σ R é o campo de vetores diferenciável gradϕ : Σ T Σ tal que gradϕ(p), v p = dϕ p (v), v T p Σ, onde o produto interno, p é o produto interno induzido pela imersão. Fixado p Σ, consideremos a restrição dϕ p : S 1 p T p Σ R, onde S 1 p = {v T p Σ; v p = 1}. Dado v S 1 p, observe que dϕ p (v) = gradϕ(p), v p = gradϕ(p) p cos θ, onde θ é o ângulo entre os vetores gradϕ(p) e v. Multiplicando 1 dϕp(v) gradϕ(p) 1 por gradϕ(p) concluímos que dϕ p ( gradϕ(p) gradϕ(p) ) = gradϕ(p) dϕ p(v) gradϕ(p) = dϕ p ( gradϕ(p) gradϕ(p) ), donde dϕ p (v) alcança seu valor máximo em v = gradϕ(p)/ gradϕ(p), e dϕ p = sup{ dϕ p (v) ; v S 1 p} = gradϕ(p). Por outro lado, se {e 1, e 2 } é uma base ortonormal para T p Σ, então dϕ p = dϕ p (e 1 ) 2 + dϕ p (e 2 ) 2.

31 Capítulo 3 O Teorema de Gauss-Bonnet O objetivo deste capítulo é demonstrar o Teorema de Gauss Bonnet para superfícies e superfícies com bordo, o qual nos será útil na demonstração dos teoremas principais deste trabalho. Para isso, desenvolveremos um breve estudo da geometria de superfícies imersas em R 3 usando formas diferenciais como ferramenta, e em seguida demonstraremos o Teorema de Stokes. Detalhes dos resultados abaixo podem ser encontrados em [5]. 3.1 Formas Diferenciais numa Variedade Denição Um campo de vetores em R n é uma aplicação v que a cada p R n associa um vetor v(p) R n. Portanto, podemos escrever v(p) = n a i (p)e i, i=1 onde {e 1,..., e n } é a base canônica do R n e a i são funções reais denidas no R n. Dizemos que v é diferenciável se as funções a i são diferenciáveis. 22

32 3.1. Formas Diferenciais numa Variedade 23 Seja (R n ) o espaço dual de R n, isto é, o espaço dos funcionais lineares ϕ : R n R. Uma base para (R n ) pode ser obtida tomando os funcionais dx i, i = 1,..., n, onde x i : R n R é a aplicação que associa cada ponto a sua i-ésima coordenada. Como dx i (e i ) = 1 e dx i (e j ) = 0, se i j, {dx 1,..., dx n } é a base dual da base canônica {e 1,..., e n }. Isto nos conduz ao bom entendimento da denição seguite. Denição Uma forma exterior de grau 1 em R n é uma aplicação ω que associa a cada p R n um elemento ω(p) (R n ) ; ω pode ser escrita da forma n ω(p) = a i (p)dx i, i=1 onde a i são funções reais denidas em R n. Se as funções a i são diferenciáveis, ω é chamada uma forma diferencial de grau 1. Agora seja Λ 2 (R n ) o conjunto das aplicações ϕ : R n R n R que são bilineares (ou seja, ϕ é linear em cada variável) e alternadas (ou seja, ϕ(v 1, v 2 ) = ϕ(v 2, v 1 )). Com as operações usuais de funções o conjunto Λ 2 (R n ) torna se um espaço vetorial. Dados ϕ 1, ϕ 2 (R n ), podemos obter um elemento ϕ 1 ϕ 2 Λ 2 (R n ) pela construção (ϕ 1 ϕ 2 )(v 1, v 2 ) = det(ϕ i (v j )), i, j = 1, 2. O conjunto {dx i dx j ; i < j} é uma base para Λ 2 (R n ). Além disso, dx i dx j = dx j dx i, i j, e dx i dx i = 0. Denição Uma forma exterior de grau 2 em R n é uma aplicação ω que associa a cada p R n um elemento ω(p) Λ 2 (R n ) ; de acordo com a discussão anterior ω pode ser escrita da forma ω(p) = i<j a ij (p)dx i dx j,

33 3.1. Formas Diferenciais numa Variedade 24 i, j = 1,..., n, onde a ij são funções reais denidas em R n. Quando as funções a ij são diferenciáveis, ω é uma forma diferencial de grau 2. Mais geralmente, consideremos Λ k (R n ) o conjunto das aplicações k lineares alternadas ϕ : R } n. {{.. R n } R (ϕ é linear em cada variável e muda k vezes de sinal com a permutação de duas variáveis consecultivas). Com as operações usuais funções de Λ k (R n ) é um espaço vetorial. Dados ϕ 1,..., ϕ k (R n ), podemos obter ϕ 1... ϕ k Λ k (R n ) pela construção (ϕ 1... ϕ k )(v 1,..., v k ) = det(ϕ i (v j )), i, j = 1,..., k. Das propriedades de determinantes segue que ϕ 1... ϕ k é k linear e alternada. Em particular dx i1... dx ik Λ k (R n ), i 1,..., i k = 1,..., n. Além disso podemos concluir que o conjunto {dx i1... dx ik ; i 1 <... < i k, i 1,..., i k = 1,..., n} é uma base para Λ k (R n ). E novamente somos conduzidos ao bom entendimento da denição mais geral seguinte. Denição Uma forma exterior de grau k em aberto R n é uma aplicação ω que associa a cada p R n um elemento ω(p) Λ k (R n ) ; ω pode ser escrita da forma ω(p) = i 1,..., i k = 1,..., n, onde a ik...i k as funções a ik...i k uma k forma diferencial. i 1 <...<i k a ik...i k (p)dx i1... dx ik, são funções reais denidas em R n. Quando são diferenciáveis, ω é uma forma diferencial de grau k ou Uma função diferenciável f : R n R é uma 0 forma. Usaremos a notação I para indicar a k-upla (i 1,..., i k ) com i 1 <... < i k e i 1,..., i k = 1,..., n, dx I para indicar dx i1... dx ik, logo ω = I a I dx I.

34 3.1. Formas Diferenciais numa Variedade 25 Denição Dadas ω = I a I dx I e ϕ = I b I dx I, k formas diferenciais, denimos sua soma por ω + ϕ = I (a I + b I )dx I. Denição Sejam ω = I a I dx I, I = (i 1,..., i k ), i 1 <... < i k uma k forma diferencial e ϕ = J b J dx J, J = (j 1,..., j s ), j 1 <... < j s uma s forma diferencial. Denimos o produto exterior de ω e ϕ por ω ϕ = IJ a I b J dx I dx J. O produto exterior de formas em R n satisfaz as seguintes propriedades. Proposição Sejam ω uma k forma, ϕ uma s forma e θ uma r forma. Então: 1. (ω ϕ) θ = ω (ϕ θ); 2. (ω ϕ) = ( 1) ks (ϕ ω); 3. ω (ϕ + θ) = ω ϕ + ω θ, se r = s. Denição Seja f : R n R m uma aplicação diferenciável. Então f induz uma aplicação f que a cada k forma ω em R m associa uma k forma f ω em R n denida por (f ω)(p)(v 1,..., v k ) = ω(f(p))(df p (v 1 ),..., df p (v k )), onde p R n, v 1,..., v k R n e df p : R n R m é a diferencial da aplicação f em p. Se g é uma 0 forma, então f (g) = g f. Proposição Sejam f : R n R m uma aplicação diferenciável, ω e ϕ k formas em R m, e g : R m R. Então: 1. f (ω + ϕ) = f ω + f ϕ; 2. f (gω) = f (g)f (ω);

35 3.1. Formas Diferenciais numa Variedade Se ϕ 1,..., ϕ k são 1 formas em R m, então f (ϕ 1... ϕ k ) = f (ϕ 1 )... f (ϕ k ),. Proposição Seja f : R n R m uma aplicação diferenciável. Então: 1. f (ω ϕ) = (f ω) (f ϕ), onde ω e ϕ são formas quaisquer em R m ; 2. (f g) ω = g (f ω), onde g : R p R n é uma aplicação diferenciável. Denição Seja ω = a I dx I uma k forma em R n. A diferencial exterior dω de ω é denida por dω = da I dx I. Proposição d(ω 1 + dω 2 ) = dω 1 + dω 2, onde ω 1 e ω 2 são k formas; 2. d(ω ϕ) = dω ϕ + ( 1) k ω dϕ, onde ω é uma k forma e ϕ é uma s forma; 3. d(dω) = d 2 ω = 0; 4. d(f ω) = f (dω), onde ω é uma k forma em R m e f : R n R m é uma aplicação diferenciável. Seja V um espaço vetorial. Denotaremos por Λ k (V ) o conjunto das aplicações ω : V... V R que são k lineares e alternadas. Denição Seja M n uma variedade diferenciável. Uma k forma exterior ω em M é uma correspondência que a cada p M associa um elemento ω(p) Λ k (T p M). Dada uma k forma exterior ω em M e uma parametrização x α : U α M em p, denimos a representação de ω nesta parametrização como a k forma exterior ω α em U α R n denida por ω α (v 1,..., v k ) = ω(dx α (v 1 ),..., dx α (v k )), v 1,..., v k R n.

36 3.2. As Equações Estruturais do R n 27 Observemos que, se x β : U β M é outra parametrização tal que x α (U α ) x β (U β ), e ω α e ω β são representações de ω nestas parametrizações, então (x 1 β x α) ω β = ω α. Denição Uma forma diferencial de ordem k (ou uma k forma diferencial) numa variedade diferenciável M n é uma k forma exterior, tal que em algum, e portanto todo sistema de coordenadas, sua representação é diferenciável. Todas as operações denidas para formas diferenciais em R n podem ser extendidas para formas diferenciais em M n através de suas representações locais. Por exemplo, se ω é uma forma difererencial em M, dω é a forma diferencial em M cuja representação local é dω α, que pelo item 4 da Proposição 3.1.4, dω α = d((x 1 β x α) ω β ) = (x 1 β x α) dω β. 3.2 As Equações Estruturais do R n Denição Sejam U R n e {e 1,..., e n } um conjunto de n campos de vetores diferenciáveis denidos em U tais que e i, e j = δ ij, onde δ ij = 0 se i j e δ ij = 1 se i = j. Tal conjunto de campos de vetores é chamado um referencial móvel em U. Denição Dado um referencial móvel {e i }, i = 1,..., n, podemos denir n 1 formas diferenciais pela condição ω i (e j ) = δ ij, ou seja, {ω i }, i = 1,..., n, é a base dual da base {e i }. O conjunto de formas {ω i } é chamado o co-referencial associado ao referencial {e i }. Cada campo de vetor e i é uma aplicação diferenciável e i : U R n R n. A diferencial de e i em p, (de i ) p : R n R n, é uma aplicaçào linear. Portanto,

37 3.3. Superfícies em R 3 28 para cada p e cada v R n podemos escrever (de i ) p (v) = j (ω ij) p (v)e j. As n 2 expressões (ω ij ) p (v) denidas acima são 1 formas diferenciais chamadas as formas de conexão do R n no referencial móvel {e i }. Derivando e i, e j = δ ij, obtemos 0 = de i, e j + e i, de j = ω ij + ω ji, isto é, as formas de conexão são anti-simétricas em relação aos índices, donde nem todas as formas de conexão são independentes. Proposição (As Equações Estruturais do R n ). Sejam {e i } um referencial móvel num aberto U R n, {ω i } o co-referencial associado a {e i }, e ω ij as formas de conexão de U no referencial {e i }. Então dω i = k ω k ω ki e dω ij = k ω ik ω kj, i, j, k = 1,..., n. Lema (Lema de Cartan). Sejam V n um espaço vetorial de dimensão n e ω 1,..., ω r : V n R, r n, formas lineares em V linearmente independentes. Se existem formas θ 1,..., θ r : V n R tais que r i=1 ω i θ i = 0, então θ i = r i=1 a ijω j com a ij = a ji. Segue do Lema de Cartan o seguinte fato de unicidade das formas de conexão. Lema Sejam U R n e ω 1,..., ω n 1 formas diferenciais linearmente independentes em U. Existe um único conjunto de 1 formas difererenciais {ω ij }, i, j = 1,..., n, satisfazendo ω ij = ω ji e dω j = ω k ω kj Superfícies em R 3 Seja x : Σ R 3 uma imersão de uma superfície em R 3. A cada p Σ associemos um produto interno, p denido em T p Σ por v 1, v 2 p = dx p (v 1 ), dx p (v 2 ),

38 3.3. Superfícies em R 3 29 onde v 1, v 2 T p Σ e o produto interno do lado direito é produto interno canônico do R 3. Tal correspondência dene uma métrica Riemanniana em Σ chamada a métrica induzida pela imesão x. A forma local das imersões nos garante que, dado p Σ, existe uma vizinhança U Σ de p tal que a restrição x U é um mergulho. Seja V R 3 uma vizinhança de x(p) em R 3 tal que V x(σ) = x(u), na qual é possível escolher um referencial móvel adaptado {e 1, e 2, e 3 }, isto é, quando restrito a x(u), e 1 e e 2 são tangentes a x(u), e e 3 normal a x(u). Em V, temos associado ao referencial {e i }, o co-referencial {ω i } e as formas de conexão ω ij = ω ji, i, j = 1, 2, 3, que satisfazem as equações estruturais: dω 1 = ω 2 ω 21 + ω 3 ω 31, dω 2 = ω 1 ω 12 + ω 3 ω 32, dω 3 = ω 1 ω 13 + ω 2 ω 23, dω 12 = ω 13 ω 23, dω 13 = ω 12 ω 23, dω 23 = ω 21 ω 13. A imersão x : U Σ V R 3 induz formas x (ω i ), x (ω ij ) em U. Como x comuta com d e, tais formas ainda satisfazem as equações estruturais. Note que x (ω 3 ) = 0, pois para todo q U e todo v = a 1 e 1 + a 2 e 2 T q Σ, x (ω 3 )(v) = ω 3 (dx(v)) = ω 3 (a 1 e 1 + a 2 e 2 ) = 0. Com um certo abuso de notação, escreveremos x (ω i ) = ω i e x (ω ij ) = ω ij. Olharemos para U como um subconjuto de R 3 pela aplicação inclusão x : U R 3 (anal x U é um mergulho), e olharemos para as formas ω i e ω ij restritas a U. Essas formas restritas a U satisfazem as equações estruturais e a relação ω 3 = 0. Então, em U teremos dω 3 = ω 1 ω 13 + ω 2 ω 23 = 0 e pelo Lema de Cartan ω 13 = h 11 ω 1 + h 12 ω 2, ω 23 = h 21 ω 1 + h 22 ω 2,

39 3.3. Superfícies em R 3 30 onde h ij = h ji são exatamente os coecientes da segunda forma fundamental de x. Observe que a aplicação e 3 : U R 3 toma valores na esfera unitária S 2 R 3, pois e 3 = 1. Fixando uma orientação de U em R 3, escolhemos um referencial {e i } tal que, para cada q U, {e 1, e 2 } está na orientação de U e {e 1, e 2, e 3 } está na orientação de R 3. Neste caso, e 3 : U S 2 R 3 não depende da escolha do referencial, donde está bem denida, e é chamada a aplicação normal de Gauss em U. Note que, se Σ é orientada, a aplicação normal de Gauss pode ser globalmente denida em Σ. Como de 3 = ω 31 e 1 + ω 32 e 2, temos pela unicidade do Lema de Cartan que, de 3 = h 11 h 12 h 21 h 22, isto é,( h ij ) é a matriz da diferencial da aplicação normal de Gauss e 3 : U S 2 na base {e 1, e 2 }. Como ( h ij ) é simétrica, a diferencial de 3 (q) : T q Σ T q S 2 da aplicação de Gauss é uma aplicação linear auto adjunta, e portanto pode ser diagonalizada por auto-valores reais λ 1 e λ 2. É usual denirmos a curvatura Gaussiana K de Σ em q por K = det(de 3 ) q = λ 1 λ 2 = h 11 h 22 h 2 12 e a curvatura média H de Σ em q por H = 1 2 tr(de 3) q = λ 1+λ 2 2 = h 11+h 22 2, onde as funções envolvidas são calculadas em q. K e H independem da escolha do referencial móvel. H muda de sinal com uma mudança de orientação, mas K permanece com o mesmo sinal com uma tal mudança. As expressões de K e H em termos de um referencial móvel são: dω 12 = ω 13 ω 32 = (h 11 h 22 h 2 12)ω 1 ω 2 = Kω 1 ω 2, ω 13 ω 2 + ω 1 ω 23 = (h 11 + h 22 )ω 1 ω 2 = 2Hω 1 ω 2.

40 3.3. Superfícies em R 3 31 Teorema (Egregium (Gauss)). K depende somente da métrica induzida em Σ, isto é, se x, x : Σ R 3 são duas imersões com a mesma métrica induzida, então K(p) = K (p), p M, onde K e K são respectivamente as curvaturas Gaussianas das imersões x e x. Demonstração. Seja U Σ uma vizinhança de p e consideremos um referencial móvel {e 1, e 2 } em U, ortonormal na métrica induzida. Podemos extender o conjunto {dx(e 1 ), dx 2 (e 2 )} à um referencial adaptado em V x(u), e analogamente {dx (e 1 ), dx 2(e 2 )} pode ser extendido à um referencial adaptado em V x (U). Denotemos com linha as entidades referentes à imersão x. Então, por dualidade ω 1 = ω 1 e ω 2 = ω 2, e pela unicidade do Lema de Cartan, concluímos que dω 12 = dω 12 = Kω 1 ω 2 = K ω 1 ω 2, donde K = K. Dada uma imersão x : Σ R 3 associamos duas formas quadráticas em cada T p Σ, p Σ denidas a seguir. A primeira forma quadrática I p é a forma quadrática associada à forma bilinear, p, isto é, I p (v) = v, v p. Num referencial adaptado {e 1, e 2, e 3 }, a expressão da primeira forma quadrática I é dada por I(v) = v, v p = ω 1 (v)e 1 + ω 2 (v)e 2, ω 1 (v)e 1 + ω 2 (v)e 2 = (ω 1 ω 1 e 1 + ω 2 ω 2 )(v) = (ω ω 2 2)(v), onde ω i ω i é o produto simétrico de ω i com ω i, ou seja, (ω i ω i )(v) = ω i (v)ω i (v), i = 1, 2. Portanto, a primeira forma quadrática é dada por I = ω ω 2 2. A segunda forma quadrática é denida num referencial móvel adaptado

41 3.3. Superfícies em R 3 32 por II p (v) = (ω 13 ω 1 + ω 23 ω 2 )(v) = ij h ij ω i ω j, i, j = 1, 2, onde estamos considerando novamente produtos simétricos de formas diferenciais. Nos resta mostrar que II independe do referencial escolhido, o que de fato acontece uma vez que esta é a forma quadrática associada ao negativo da diferencial da aplicação de Gauss, isto é, a matriz de II p = de 3 dada acima. Seja α : ( ε, ε) Σ uma curva em Σ parametrizada pelo comprimento de arco s, com α(0) = p e α (0) = v T p Σ. Então, escrevendo x α(s) = x(s) e e 3 α(s) = e 3 (s), obtemos dx ds, e 3(s) = 0, e portanto d2 x ds 2, e 3(s) s=0 = dx ds, de 3 ds s=0 = dx(v), de 3 (v) p = ω 1 e 1 + ω 2 e 2, ω 31 e 1 + ω 32 e 2 (v) = (ω 1 ω 13 + ω 2 ω 23 )(v) = II p (v). Por outro lado, denotando por k(s) a curvatura de α(s) e por n(s) o vetor normal a α(s), temos d2 x ds (0), e 3(0) = k(0) n(0), e 3 (0). A expressão k n, e 3 (p) é chamada a curvatura normal k n (v) da superfície na direção do vetor v = α (0) no ponto p. Como II p (v) = k n (v), temos que k n (v) é a mesma para toda curva α(s) com o mesmo vetor tangente v em p. Reunindo as interpretações acima concluímos que II p (v) = de 3 (v), v p = k n (v). Sabemos que os valores máximo e mínimo que II p assume no círculo S 1 T p Σ são os autovalores λ 1 e λ 2 de ( de 3 ) e seus respectivos vetores próprios geram o auto espaço de ( de 3 ). As curvaturas normais extremas

42 3.3. Superfícies em R 3 33 k 1 = λ 1 e k 2 = λ 2 são chamadas as curvaturas principais em p e as suas direções correspondentes são chamadas as direções principais em p. Lema (Teorema de Levi Civitta). Sejam Σ uma superfície Riemanniana e U Σ um aberto no qual está bem denido um referencial móvel {e 1, e 2 } com co-referencial associado {ω 1, ω 2 }. Existe uma única 1-forma ω 12 = ω 21 tal que dω 1 = ω 12 ω 2 e dω 2 = ω 21 ω 1. Lema Se os referenciais {e 1, e 2 } e {e 1, e 2 } tem a mesma orientação, então ω 12 = ω 12 τ, onde τ = fdg gdf. Se os referenciais tem orientação oposta, então ω 12 = ω 12 τ. Lema Sejam p U Σ, γ : I U uma curva tal que γ(t 0 ) = p e ϕ 0 = angle(e 1 (p), e 1 (p)). Então ϕ(t) = t t 0 (f dg dt g df dt )dt + ϕ 0 é uma função diferenciável tal que cos ϕ(t) = f, sin ϕ(t) = g, ϕ(t 0 ) = ϕ 0 e dϕ = γ τ. Segue das expressões ω 1 = fω 1 gω 2 e ω 2 = gω 1 + fω 2, que numa superfície orientada as 2 formas ω 1 ω 2 = ω 1 ω 2 = σ independem da escolha do referencial, donde está denida globalmente em Σ. Se v 1 = a 11 e 1 + a 12 e 2 e v 2 = a 21 e 1 + a 22 e 2 são vetores linearmente independentes em algum p Σ, então σ(v 1, v 2 ) = det(a ij ) = area(v 1, v 2 ), onde (v 1, v 2 ) denota o paralelograma gerado por v 1 e v 2. σ é chamado o elemento de área de Σ. Proposição Seja Σ uma superfície Riemanniana. Para cada p Σ denimos um número K(p) pela escolha um referencial móvel {e 1, e 2 } em p e fazendo dω 12 (p) = K(p)(ω 1 ω 2 )(p). Então, K(p) não depende da escolha do referencial.

43 3.4. Teorema de Stokes 34 Denição Seja Σ uma superfície Riemanniana orientada e seja α : I Σ uma curva diferenciável parametrizada pelo comprimento de arco s com α (s) 0, s I. Numa vizinhança de um ponto α(s) Σ, considere um referencial móvel {e 1, e 2 } na orientação de Σ tal que, restrito à α, e 1 (s) = α (s). A curvatura geodésica k g de α em M é denida por k g = (α ω 12 )( d ds ), onde d ds é a base canônica de R. Proposição Sejam α : I Σ e {e 1, e 2 } como na denição acima (aqui não é necessário exigir que Σ seja orientável, pois existem apenas duas possibilidades para a escolha de e 2 ). Então e 1 é paralelo ao longo de α se, e somente se, α ω 12 = 0. Corolário Uma curva diferenciável α : I Σ é uma geodésica se, e somente se, sua curvatura geodésica é nula em todo seu domínio. Proposição Sejam Σ orientada, α : I Σ uma curva diferenciável parametrizada pelo comprimento de arco s com α (s) 0, s I, V um campo de vetores paralelo ao longo de α e ϕ = (V, ϕ (s)), onde o ângulo é medido de acordo com a orientação. Então k g (s) = dϕ ds. 3.4 Teorema de Stokes Denição Sejam M n uma variedade diferenciável e ω uma forma diferencial denida num aberto U M. conjunto A = {p U; ω(p) 0}. O suporte K de ω é o fecho do Denição Sejam U R n um aberto e ω uma n forma diferencial denida em U. Escrevemos ω = a(x 1,..., x n )dx 1... dx n. Suponhamos que o suporte K de ω é um compacto contido em U. Denimos ω = adx 1... dx n, U K

44 3.4. Teorema de Stokes 35 onde a integral do lado direito é a integral múltipla usual em R n. Denição Sejam M n uma variedade diferenciável compacta e orientada pela família {(U α, f α )}, e ω uma n forma diferencial em M. Suponhamos que o suporte K de ω está contido em alguma vizinhança coordenada V α = f α (U α ) e que ω α = a α (x 1,..., x n )dx 1... dx n é a representação local de ω em U α. (O suporte K de ω é compacto, visto que é subconjunto fechado de um espaço compacto). Denimos ω = ω α = a α dx 1... dx n, M V α U α onde a integral do lado direito é uma integral em R n. Suponhamos agoraque K está contido numa outra vizinhança cooordenada V β = f β (U β ) da mesma família e que V α = V β. Seja f = f 1 α f β : U β U α a mudança de coordenada dada por x i = f i (y 1,..., y n ), i = 1,..., n, (x 1,..., x n ) U α,(y 1,..., y n ) U β. Sendo ω β = f (ω α ), temos ω β = det(df)a β dy 1... dy n, onde a β = a α (f 1 (y 1,..., y n ),..., f n (y 1,..., y n )), e pela mudança de variáveis para integrais múltiplas em R n obtemos a α dx 1... dx n = det(df)a β dy 1... dy n, U α U β e como det(df) > 0 concluímos que ω α = ω β. V α V β Daí ca claro que sem orientabilidade, o sinal da integral não estaria bem denido.

45 3.4. Teorema de Stokes 36 No que segue B r (0) = {p R n ; p < r}. Lema Existe uma função diferenciável ϕ : B 3 (0) R satisfazendo: 1. ϕ(p) = 1, p B 1 (0) 2. 0 < ϕ(p) 1, p B 2 (0) 3. ϕ(p) = 0, p B 3 (0) B 2 (0). Demonstração. Considere a função α : R R denida por α(t) = e 1 (t+1)(t+2), se t ( 2, 1), e α(t) = 0, se t R ( 2, 1), e tome a função diferenciável γ(t) = t α(s)ds cujo valor máximo é A = 1 α(s)ds = 1 2 α(s)ds. Por construção β(t) = γ(t)/a é uma função diferenciável tal que β(t) = 0, se t 2, 0 < β(t) 1, se t ( 2, 1), e β(t) = 1, se t 1. Dessa forma, a basta tomar ϕ : B 3 (0) R denida por ϕ(p) = β( p ). Lema Sejam M n uma variedade diferenciável, p M e g : U R n uma parametrização em p. Então, existe uma parametrização f : B 3 (0) M em p tal que f(b 3 (0)) g(u) e f 1 (p) = (0,..., 0). Demonstração. Suponhamos que g 1 (p) = q. Como U é aberto, existe r > 0 tal que B r (q) U. Sejam T a translação em R n que associa q a 0, e H : R n R n a aplicação que a cada p R n associa o ponto 3 p. Então, r H T leva B r (q) U em B 3 (0). Portanto, basta tomar a parametrização f : B 3 (0) M dada por f = g T 1 H 1. Proposição Sejam M uma variedade diferenciável compacta e {V α } uma cobertura de M constituída de vizinhanças coordenadas. Existem funções diferenciáveis ϕ 1,..., ϕ m satisfazendo: 1. m ϕ i = 1; i=1

46 3.4. Teorema de Stokes ϕ i 1, e o suporte de ϕ i está contido em algum V αi da cobertura {V α }. Demonstração. Para cada p M considere a parametrização f p : B 3 (0) M dada pelo lema anterior, com f p (B 3 (0)) = V p V α, para algum V α da cobertura {V α }, e façamos W p = f p (B 1 (0)) V p. A família {W p } uma cobertura aberta de M. Pela compacidade de M podemos extrair de {W p } uma subcobertura nita W 1,..., W m. Os conjuntos V 1,..., V n também constituem uma cobertura de M. Denamos as funções θ i : M R, i = 1,..., m, por θ i = ϕ f 1 i em V i e θ i = 0 em M V i, onde ϕ : B 3 (0) R é a função dada pelo lema acima. As funções θ i são difarenciáveis e o suporte de θ i está contido em V i. Por m, as funções denidas por ϕ i (p) = θ i(p) m j=1 θ j(p), p M. Por construção as funções ϕ i satisfazem as condições do enunciado. Denição Sejam M uma variedade diferenciável compacta e {V α } uma cobertura de M constituída de vizinhanças coordenadas. A família {ϕ i } construída na proposição acima é chamada uma partição diferenciável da unidade subordinada à cobertura {V α }. (Quando M é orientável, tomamos {V α } compatível com a orientação.) Denição Sejam M n uma variedade diferenciável compacta e orientada, e ω uma n forma em M. Considere {V α } uma cobertura de M por vizinhanças coordenadas compatível com a orientação e {ϕ i } uma partição diferenciável da unidade subordinada à {V α }. suporte da forma ϕ i ω está contida em V i ). Denimos (Pela proposição anterior o M ω = m ϕ i ω. i=1 M Considere {W β } uma outra cobertura de M que determina em M a mesma orientação que {V α }, seja {ψ j }, j = 1,..., s uma partição da unidade subor-

47 3.4. Teorema de Stokes 38 dinada à {W β }. Então {V α W β } será uma cobertura para M e a família {ϕ i ψ j } será uma partição da unidade subordinada à {V α W β }. Portanto m ϕ i ω = i=1 M m s ϕ i ( i=1 M j=1 ψ j )ω = ij M ϕ i ψ j ω, onde na última igualdade usamos que, para cada i, as funções ϕ i ψ j denidas em V i. Analogamente, são s ψ j ω = j=1 M s m ( j=1 M i=1 ϕ i )ψ j ω = ij M ϕ i ψ j ω, donde a denição acima independe das escolhas feitas. Denição O conjunto H n = {(x 1,..., x n ) R n ; x 1 0} é chamado um semi espaço do R n. Um conjunto aberto de H n é a interseção de um aberto U do R n com H n. Dizemos que uma função f : V R denida num conjunto aberto V de H n é diferenciável se existem um aberto U V e uma função diferenciável f em U tal que a restrição de f a V coincide com f. Neste caso, denimos df p, p V, de f em p como sendo df p = df p. A denição de df p independe da extensão f de f, e uma aplicação diferenciável f : V R n é denida tal como foi feito acima. Denição Uma variedade diferenciável n dimensional com bordo regular é um conjunto M e uma família de aplicações injetivas f α : U α R n M de conjuntos abertos de H n em M tal que: 1. α f α (U α ) = M; 2. Para todo par α, β, com f α (U α ) f β (U β ) = W, os conjuntos fα 1 (W ) e f 1 β (W ) são abertos em Hn e as aplicações f 1 β f α são diferenciáveis;

48 3.4. Teorema de Stokes A família {(U α, f α )} é máxima relativamente às condições (1) e (2). Denição Dizemos que p M é um ponto no bordo de M, se tivermos f(0, x 2,..., x n ) = p, para alguma parametrização f : U H n M em p. Lema A denição de ponto no bordo não depende da parametrização. Demonstração. Seja f 1 : U 1 H n M uma parametrização em p tal que f 1 1 (p) = q 1 = (0, x 2,..., x n ). Suponhamos que exista uma parametrização f 2 : U 2 H n M em p tal que f 1 2 (p) = q 2 = (x 1,..., x n ) com x 1 0. A aplicação f 1 1 f 2 : f 1 2 (W ) f 1 1 (W ) é um difeomorsmo. Como x 1 0, existe uma vizinhança U f 1 2 (W ) de q 2 que não intersecta o eixo x 1. Restrigindo f 1 1 f 2 a U obtemos uma aplicação diferenciável f 1 1 f 2 : U H n tal que o determinante de d(f 1 1 f 2 ) q2 é não nulo. Pelo Teorema da função inversa, existe uma vizinhança V U de q 2 tal que f 1 1 f 2 : V f 1 1 f 2 (V ) é um difeomorsmo, então f 1 1 f 2 (V ) contém pontos da forma (x 1,..., x n ) com x 1 > 0, o que não acontece em H n, e esta contradição encerra a demonstração. Denição O conjunto dos pontos no bordo de M é chamado o bordo de M e será representado por M. As denições da funções diferenciáveis, espaço tangente, orientabilidade, etc, para variedades com bordo, são exatamente as mesmas para variedades diferenciáveis, substituindo R n por H n. Proposição O bordo M de uma variedade diferenciável M com bordo, é uma variedade diferenciável de dimensão n 1. Além disso, se M é orientável, uma orientação para M induz uma orientação para M. Demonstração. Sejam p M um ponto no bordo de M e f α : U α H n M n uma parametrização em p. Então f 1 α (p) = q = (0, x 2,..., x n ) U α.

49 3.4. Teorema de Stokes 40 Seja U α = U α {(x 1,..., x n ) R n ; x 1 = 0}. Identicando o conjunto {(x 1,..., x n ) R n ; x 1 = 0} com R n 1, vemos que U α é uma aberto em R n 1. Denotando por f α a restrição de f α a U α, temos pelo lema anterior que f α (U α ) M. Fazendo p variar em M, vemos que a família {(U α, f α )} é uma estrutura diferenciável para M. Agora, vamos assumir que M é orientável e vamos escolher uma orientação para M, ou seja, uma família {(U α, f α )} tal que a mudança de coordenadas tem jacobiano positivo. Consideremos os elementos desta família tais que f α (U α ) M e a estrutura diferenciável f α (U α ) M para M como construída acima. Mostraremos que, se f α (U α ) f β (U β ), então det(d(f 1 α f β ) q ) > 0, para todo q cuja imagem, por alguma parametrização, está no bordo de M. Observe que, a mudança de coordenadas f α f 1 β associa pontos da forma (0, x β 2,..., x β n) a pontos da forma (0, x α 2,..., x α n). Portanto, para um ponto q no bordo, det(d(f 1 α f β )) = xα 1a det(d(f 1 x β α f β )). 1 Mas xα 1 > 0, pois x α x β 1 = 0 em q = (0, x α 2,..., x α n), e amobos, x α 1 e x β 1 são 1 negativos numa vizinhança de p. Como det(d(fα 1 f β )) > 0 por hipótese, concluímos que det(d(f 1 α f β )) > 0, como queríamos. Teorema (Teorema de Stokes). Sejam M n uma variedade diferenciável com bordo compacta e orientada, ω uma (n 1) forma em M e i : M M a aplicação inclusão do bordo M em M. Então M i ω = Demonstração. Seja K o suporte de ω. Consideraremos os seguintes casos: M dω.

50 3.4. Teorema de Stokes K está contido em alguma vizinhança coordenada V = f(u) de uma parametrização f : U H n M. Em U, ω = n a j dx 1... dx j 1 dx j+1... dx n, j=1 onde a j = a j (x 1,..., x n ) é uma função diferenciável em U. Portanto, dω = ( n j=1 ( 1) j 1 a j x j )dx 1... dx n. (a) Vamos assumir inicialmente que f(u) M =. Então ω é zero em M e i ω = 0. Portanto Mostraremos que M dω = U ( n j=1 M i ω = 0. ( 1) j 1 a j x j )dx 1... dx n = 0. Para isso, vamos extender as funções a j a H n da seguinte forma: a j (x 1,..., x n ) = a j (x 1,..., x n ), se (x 1,..., x n ) U e a j (x 1,..., x n ) = 0, se (x 1,..., x n ) H n U. Como f 1 (K) U, as funções a j, bem denidas, são diferenciáveis em H n. Agora, seja Q H n um paralelepípedo dado por x 1 j x 0 j x j, j = 1,..., n, a contendo f 1 (K) em seu interior. Então U( j ( 1) j 1 a j x j )dx 1... dx n = j ( 1) j 1 Q a j x j dx 1... dx n = j ( 1) j 1 [a j (x j,..., x j 1, x 0 j, x j+1,..., x n )

51 3.4. Teorema de Stokes 42 a j (x 1,..., x j 1, x 1 j, x j+1,..., x n )]dx 1... dx j 1 dx j+1... dx n = 0, pois a j (x 1,..., x 0 j,..., x n ) = a j (x 1,..., x 1 j,..., x n ) = 0 para todo j. (b) Vamos assumir agora que f(u) M. Então a aplicação inclusão i pode escrita como: x 1 = 0, x j = x j. Portanto, usando a orientação induzida no bordo, i ω = a 1 (0, x 2,..., x n )dx 2... dx n. Como no caso (a), extenderemos as funções a j a H n e consideraremos o paralelepípedo Q dado por x 1 1 x 1 0, x 1 j x j x 0 j, j = 2,..., n e tal que a união do interior de Q com o hiperplano x 1 = 0 contendo f 1 (K). Então M dω = n ( 1) j 1 j=1 Q a j x j dx 1... dx n = [a 1 (0, x 2,..., x n ) a 1 (x 1 1, x 2,..., x n )]dx 2... dx n Q n + ( 1) j 1 [a j (x 1,..., x 0 j,..., x n ) a j (x 1,..., x 1 j,..., x n )] j=2 Q dx 1... dx j 1 dx j+1... dx n. Como a j (x 1,..., x 0 j,..., x n ) = a j (x 1,..., x 1 j,..., x n ) = 0, para j = 2,..., n e a 1 (x 1 1, x 2,..., x n ) = 0, obtemos ω = M a 1 (0, x 2,..., x n )dx 2... dx n = i ω. M 2. Consideremos agora o caso geral. Sejam {V α } uma cobertura de M por vizinhanças coordenadas compatível com a orientação e ϕ 1,..., ϕ m uma partição diferenciável da unidade subordinada a {V α }. As formas ω j = ϕ j ω, j = 1,..., m satisfazem as condições do caso (1). Além

52 3.5. Teorema de Gauss-Bonnet 43 disso, como j dϕ j = 0 temos ω j = ω e dω j = dω. Portanto, M dω = m dω j = j=1 M m i ω j = m i j=1 M M j=1 ω j = M i ω. 3.5 Teorema de Gauss-Bonnet Neste seção Σ denotará uma superfície compacta e orientada. Denição Seja X um campo de vetores diferenciável em Σ. Um ponto p Σ no qual X(p) = 0 é chamado um ponto singular de X. Diz se que um ponto singular p é isolado se existe uma vizinhança V Σ de p na qual não há outro ponto singular além de p. A partir de agora, por conveniência escolheremos V homeomorfo a um disco aberto do plano. Observe que, o conjunto dos pontos singulares isolados é nito pela compacidade de Σ. Sejam X : Σ T Σ um campo de vetores diferenciável e p Σ uma singularidade isolada de X. Consideremos o referencial móvel {e 1, e 2 }, onde e 1 = X/ X e e 2 é um campo de vetores unitários ortogonal a e 1, e na orientação de Σ. De tal procedimento determinamos formas diferenciais ω 1, ω 2, ω 12 em V {p}. Escolhamos um outro referencial móvel {e 1, e 2 }, na mesma orientação anterior, denido em V. Determina se assim formas diferenciais ω 1, ω 2, ω 12 em V. A diferença ω 12 ω 12 = τ está denida em V {p}. Consideremos C uma curva simples fechada que limita uma região compacta de V contendo p em seu interior (C será orientada como o bordo dessa região).

53 3.5. Teorema de Gauss-Bonnet 44 Pelo Lema [?], a restrição de τ a C é a diferencial do ângulo ϕ(t) entre e 1 e e 1 ao longo de C. Portanto, τ = dϕ = 2πI. C C O inteiro I é chamado o índice de X em p. Lema A denição de I não depende da curva C. Demonstração. Sejam C 1 e C 2 duas curvas simples fechadas ao redor de p, como na denição de índice. Suponhamos inicialmente que C 1 e C 2 não se intersectam e consideremos a região anelar limitada por C 1 e C 2. Sejam I 1 e I 2 os índices calculados com C 1 e C 2 respectivamente. Pelo Teorema de Stokes e de dτ = 0, I 1 I 2 = 1 τ 1 τ = 1 dτ = 0, 2π c 1 2π c 2 2π o que prova essa etapa da demonstração. Se C 1 e C 2 se intesectam, basta escolher uma curva C 3 que não intercte C 1 e C 2, e usando o que vimos acima concluímos que I 1 = I 3 = I 2. Lema A denição de I não depende da escolha do referencial {e 1, e 2 }. Mais precisamente, sejam S r = B r o bordo de um disco de raio r e centro em p, e considere o referencial móvel {e 1, e 2 } da denição. Então, existe o limite lim r 0 1 ω 12 = I 2π S r e I = I. Demonstração. Sejam S r1, S r2 círculos concentricos com r 2 < r 1 e limitada

54 3.5. Teorema de Gauss-Bonnet 45 por S r1 e S r2. Pelo Teorema de Stokes, quando r 1, r 2 0 temos ω 12 S r1 ω 12 = S r2 dω 12 (3.1) Observe que ω 12 não está bem denida em B r2, entretando dω 12 = Kσ certamente está denida em todas as partes. Segue que qualquer sequência ω 12,..., ω 12,..., S r1 S rn com {r n } 0, é uma sequência de Cauchy, e portanto converge. Logo o limite lim r 0 existe e mostraremos que I = I. 1 ω 12 = I 2π S r Em (1.1), xemos r 1 e façamos r 2 tender a 0. Então ω 12 2πI = S r1 dω 12 = B r1 Kω 1 ω 2. B r1 (3.2) Por outro lado, como ω 12 = ω 12 + τ temos ω 12 = ω 12 + τ = dω 12 + τ = Kω 1 ω 2 + 2πI. S r1 S r1 S r1 B r1 S r1 B r1 (3.3) Por (1.2) e (1.3), concluímos que I = I como queríamos. Lema O índice não depende da métrica. Demonstração. Sejam, 0 e, 1 duas métricas Riemannianas em Σ. Para cada t [0, 1] considere, t = t, 1 + (1 t), 0. Então, t é um produto interno denido positivo em Σ que varia deferencialmente com p. Portanto,, t é uma família um parâmetro de métricas em Σ que começa em, 0 e

55 3.5. Teorema de Gauss-Bonnet 46 termina em, 1. Sejam I 0, I t e I 1 seus índices correspondentes. Pelos lemas anteriores, I t é uma função contínua de t. Sendo um inteiro, concluímos que I t = const., t [0, 1]. Portanto I 0 = I 1, como queríamos mostrar. Teorema (Teorema de Gauss-Bonnet). Sejam Σ uma superfície compacta e orientada, e X um campo de vetores diferenciável em Σ com singularidades isoladas p 1,..., p k cujos índices são I 1,..., I k. Então, para qualquer métrica Riemanniana em Σ, Σ Kσ = 2π i I i, onde K é a curvatura Gaussiana da métrica e σ é o seu elemento de área. Demonstração. Considere em Σ U i {p i } o referencial móvel {e 1 = X/ X, e 2 }, onde e 2 é um campo de vetores unitários ortogonal a e 1 na orientação de Σ. Denotemos por B i uma bola com centro p i que não contém singularidades exceto p i. Pelo Teorema de Stokes temos Kω 1 ω 2 = dω 12 = ω 12 = Σ U i B i Σ U i B i U( B i ) i B i ω 12, onde B i tem a orientação induzida por B i (ou seja, a oposta da orientação de Σ B i, por isso a troca de sinal na segunda igualdade). Agora, tomando o limite acima, quando o raio de B i tende a 0, e usando o Lema [?] obtemos Σ Kω 1 ω 2 = 2π i I i. Observe que o lado direito da equação não depende do campo de vetores X e o lado esquerdo não depende da métrica de Σ. Portanto obtemos a

56 3.5. Teorema de Gauss-Bonnet 47 notável conclusão de que I i é o mesmo para todo campo de vetores com singularidades isoladas e Kσ é o mesmo valor para toda métrica Rieman- Σ niana em Σ. O número k i=1 I i é chamado a característica de Euler Poincaré de Σ e é denotada por χ(σ). E pelo que vimos acima, χ(σ) é invariante por difeomorsmo e 1 Kσ não depende da métrica Riemannaina em Σ. 2π Σ Outra forma de introduzir χ(σ), para uma superfície compacta Σ, é decompor Σ em um número nito de triângulos curvilíneos de tal maneira que a intersecção de dois triângulos tais seja vazia, com uma aresta comum ou um vértice comum (tal decomposição é chamado uma triangulação de Σ e é possível provar que existe sempre.). Denotemos por F o número total de triângulos, por V o número total de vértices e por A o número total de arestas de uma tal triangulazação. Por denição χ(σ) = V A + F. Quando Σ é orientável, esta denição coincide com a denição dada anteriormante, isto é, i I i = V A + F. Teorema (Gauss Bonnet para Superfícies com Bordo). Sejam Σ uma superfície compacta e orientada com bordo Σ, e X um campo de vetores diferenciável em Σ tranversal a Σ (isto é, X não é tangente a Σ) com singularidades isoladas p 1,..., p k que não pertencem a Σ e cujos cujos índices são I 1,..., I k. Então, para qualquer métrica Riemanniana em Σ, Kσ + k g ds = 2π Σ Σ i I i, onde k g é a curvatura geodésica de Σ e ds é o elemento de arco de Σ. Demonstração. Escolhamos uma métrica Riemanniana em Σ e consideremos

57 3.5. Teorema de Gauss-Bonnet 48 em Σ o referencial móvel orientado {e 1 = X/ X, e 2 }. Tomemos ainda, numa vizinhança V Σ de Σ, outro referencial móvel orientado {e 1, e 2 } tal que, restrito a Σ, e 1 é tangente a Σ. Então i ω 12 = i ω 12 +dϕ, onde i : Σ Σ é a aplicação inclusão e ϕ é o ângulo entre e 1 e e 1 ao longo de Σ. Seja B i a bola de centro p i, i = 1,..., n, na qual não outro ponto singular além de p i. Então Kω 1 ω 2 = Σ UB i dω 12 = Σ UB i ω 12 U B i Σ i ω 12, donde Kω 1 ω 2 + Σ UB i Pela denição de curvatura geodésica, Σ i ω 12 = k i=1 B i ω 12. Σ i ω 12 = Σ i ω 12 + Σ dϕ = Σ k g ds + Como e 1 é transversal a Σ temos que dϕ = 0. Portanto, tomando o Σ limite quando os raios de B i obtemos Σ dϕ. Kσ + k g ds = 2π Σ Σ i I i. O teorema de Gauss Bonnet ainda vale para superfícies com bordo, cujo bordo é uma curva regular por partes, isto é, a curva não é regular em um número nitos de pontos chamados os vertíces. Cada vértice q j, j = 1,..., n, dá origem a um ângulo externo α j (que é o ângulo positivo formado peos vetores tangentes ao vértice) e isto deve ser adicionado a curvatura geodésica total, então teorema agora lê se:

58 3.5. Teorema de Gauss-Bonnet 49 n Kσ + k g ds + Σ Σ j=1 α j = 2π i I i. No caso de um triângulo geodésico T temos χ(t ) = 1, T é constituído de geodésicas donde k g = 0, e sabemos que se β 1, β 2, β 3 são os ângulos internos de T, então α j = π β j, j = 1, 2, 3, donde 3 α j = j=1 3 (π β j ) = 3π 3 j=1 j=1 β j e para triângulos geodésicos temos T Kσ = 3 β j π. j=1 O resultado obtido nesse caso particular é conhecido como o Teorema do triângulo geodésico de Gauss.

59 Capítulo 4 Superfícies em R 3 com Curvatura Média Constante 4.1 Superfícies de Delaunay O conceito de curvatura média de superfícies foi introduzido em 1816 pela matemática francesa Sophie Germain em seu trabalho sobre vibrações de membranas. Entretanto, por causa das interessantes propriedades, o conceito de curvatura para superfícies criado por Gauss gerou maior inuência no meio matemático. Um dos pioneiros na obtenção de superfícies com curvatura média constante foi o matemático e astrônomo francês Charles Eugène Delaunay, que em seu trabalho "Sur la surface de révolution dont la courbure moyenne est constante" ([8]), em 1841, agrupou uma certa classe de superfícies em R 3. Delaunay provou que, ao rolarmos uma cônica sobre uma reta tangente sem que haja deslizes, o seu foco descreve uma curva, cuja superfície de revolução 50

60 4.1. Superfícies de Delaunay 51 obtida por sua rotação em torno dessa mesma reta, é uma superfície com curvatura média constante. E além disso, mostrou que toda superfície de revolução completa, imersa em R 3 com curvatura média constante não nula, é obtida dessa forma. No que segue descreveremos resumidamente o processo de demonstração do Teorema de Delaunay. O leitor interessado em aprofundar-se no tema pode consultar [15], trabalho no qual [10] é estudado de forma detalhada. Inicialmente façamos uma cônica rolar sem deslizar sobre uma reta tangente. A curva descrita pelo foco da cônica no decorrer deste processo é chamada uma Roullete. As Roulletes de uma parábola, uma elipse e uma hipérbole são respectivamente uma catenária, uma ondulária e uma nodária. Figura 4.1: Catenária Figura 4.2: Ondulária Figura 4.3: Nodária Observe que, a roullete de uma elipse de excentricidade nula, isto é, uma circunferência, é uma reta, e caso façamos o comprimento do semi-eixo menor da elipse tender a zero, a elipse degenera-se num segmento de reta, e a roulette constitui se de semi-círculos de centro sobre a reta tangente. Rotacionando cada uma das Roulletes em torno das retas tangentes sobre as quais as cônicas rolaram, produz-se cinco superfícies em R 3 chamadas as superfícies de Delaunay. São elas os catenóides, os ondulóides, os nodóides, os cilindros circulares retos e as esferas. Uma vez construídas as superfícies de Delaunay podemos calcular e vericar que, o cilindro tem curvatura Gaussiana nula e curvatura média constante não nula, a esfera possui curvatura Gaussiana e média constantes e positivas,

61 4.2. Uma Caracterização do Cilindro 52 Figura 4.4: Catenóide Figura 4.5: Ondulóide Figura 4.6: Nodóide o catenóide tem curvatura média nula e sua curvatura Guassiana varia, e por m ambos, o ondulóide e nodóide, possuem curvatura média constante não nula e curvatura Gaussiana variável. Para nalizar observamos ainda que uma superfície de revolução possui curvatura média constante não nula se, e somente se, sua geratriz satisfaz uma determinada relação, e as superfícies de revolução cujas geratrizes satisfazem tal relação, são as geradas pela roullete de uma cônica. Dessa forma podemos enunciar o seguinte resultado. Teorema (Teorema de Delaunay). Uma superfície de revolução completa imersa em R 3 com curvatura média constante não nula é uma superfície de Delaunay. 4.2 Uma Caracterização do Cilindro No processo de demonstração dos resultados principais será utilizado a caracterização do cilindro dada a seguir. Uma prova deste fato pode ser encontrada em [4] ou [13]. Teorema Uma superfície completa imersa em R 3 com curvatura gaus-