UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS - UFAM INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS - ICE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS - UFAM INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS - ICE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FUNÇÃO CURVATURA MÉDIA EM SUPERFÍCIES COMPACTAS GERALDINE SILVEIRA LIMA MANAUS 2006

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3 UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS - UFAM INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS - ICE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA GERALDINE SILVEIRA LIMA FUNÇÃO CURVATURA MÉDIA EM SUPERFÍCIES COMPACTAS Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Matemática da Universidade Federal do Amazonas, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática, área de concentração em Geometria Diferencial. Orientador: Prof o. Dr. Renato de Azevedo Tribuzy MANAUS 2006

4 GERALDINE SILVEIRA LIMA FUNÇÕES CURVATURA MÉDIA EM SUPERFÍCIES COMPACTAS Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Matemática da Universidade Federal do Amazonas, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática, área de concentração em Geometria Diferencial. Aprovado em 27 novembro de BANCA EXAMINADORA... Prof o Dr. Renato de Azevedo Tribuzy Universidade Federal do Amazonas... Prof o Dr. Ivan de Azevedo Tribuzy Universidade Federal do Amazonas... Prof o Dr. Antonio Gervasio Colares Universidade Federal do Ceará.

5 AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus, o grande autor e consumador da vida, por me guiar e proteger todos os dias. Agradeço ao meu orientador Renato de Azevedo Tribuzy, por sua atenção sempre que necessária, também por sua paciência. Aos professores da Pós-Graduação e Graduação em Matemática da UFAM. Agradeço a todos os meus amigos e colegas de aula, em particular Kelly Karina, Inês e Juliana pela força e incentivo. A todos que me deram força e lembraram de rezar por mim. Finalmente agradeço minha família que sempre esteve do meu lado e sempre estará.

6 RESUMO FUNÇÃO CURVATURA MÉDIA EM SUPERFÍCIES COMPACTAS Orientador: Renato de Azevedo Tribuzy Programa de Pós-Graduação em Matemática Seja M 3 (c) uma variedade completa de dimensão 3, simplesmente conexa e de curvatura seccional constante c. O objetivo deste trabalho é caracterizar as superfícies compactas com função curvatura média H constante, imersas em M 3 (c), como aquelas que admitem deformações preservando a primeira forma e a função curvatura média H. Além disso se H não é constante então existem no máximo duas imersões isométricas não congruentes de uma superfície S em M 3 (c) com curvatura média H. O teorema principal é devido a H. Blaine Lawson, Jr. e Renato de Azevedo Tribuzy no artigo que foi dedicado ao professor Buchin Su pelos seus 80 anos e publicado no J. Differential Geometry 16(1981)

7 ABSTRACT ON THE MEAN CURVATURE FUNCTION FOR COMPACT SURFACES Let M 3 (c) be a complete simply-connected 3-manifold of constant sectional curvature c. The purpose of this work is characterize the compact surfaces of M 3 (c) with constant mean curvature function H as those that admit deformations preserving the first fundamental form and the mean curvature function H. Moreover if H not is constant, then there exist at most two geometrically distinct isometric immersions of S into M 3 (c) with mean curvature H. This teorem is due to H. Blaine Lawson Junior and Renato de Azevedo Tribuzy in the paper that was dedicated to Professor Buchin Su on his 80th birthday in the Journal Differential Geometry 16(1981)

8 Sumário 1 Generalidades Variedade Diferenciável Campo de Vetores Variedades Riemannianas Conexão Riemanniana Curvatura Seccional Variedades Completas Imersões Isométricas H-deformação Teoria local das superfícies Forma Quadrática Primeira Forma Fundamental Segunda Forma de uma Superfície Imersa em M 3 (c) Aplicações conformes Equações de Codazzi Funções Holomorfas Funções Complexas Funções Harmônicas Zeros de uma função holomorfa Função Curvatura Média em Superfícies Compactas 27

9 INTRODUÇÃO O estudo de imersões isométricas de superfícies no R 3 preservando a curvatura média iniciou com O. Bonnet [1]. Ele demonstrou que uma superfície de curvatura média constante pode ser isometricamente deformada, preservando tal curvatura. Denotaremos por M 3 (c) uma variedade completa de dimensão 3, simplesmente conexa e de curvatura seccional constante c. Lembrando que o teorema de Cartan mostra que, essencialmente, as únicas variedades com essas características são R 3, S 3 e H 3. As superfícies cujos subconjuntos abertos suficientemente pequenos admitem uma deformação preservando a métrica e a função curvatura média são chamadas localmente H-deformável. Se essa deformação local pode ser estendida globalmente, então é chamada de H-deformável. Em 1970, Renato de A. Tribuzy [19] em sua tese de doutorado, mostrou que se S é uma superfície homeomorfa ao toro T 2 e x é uma imersão isométrica localmente H-deformável de uma superfície S em M 3 (c) então H(x) é constante. Segue da prova de [19] que, se a superfície S é homeomorfa a T 2 e H : S R é uma função não constante, então existe no máximo duas imersões isométricas de S em M 3 (c) com curvatura média H. Também segue da prova de [19] que se S é homeomorfa à esfera S 2, o teorema pode ser mais forte. Nesse caso existe no máximo uma imersão isométrica com uma dada função curvatura média. Logo em seguida, H. Blane Lawson Jr. e Renato Tribuzy [11] obtiveram uma generalização de [19]. Eles demostraram que se S é uma superfície compacta orientada munida de uma métrica riemanniana, e H : S R é uma função C não constante, então existem no máximo duas imersões isométricas não congruentes a S em M 3 (c) com curvatura média H. O objetivo deste trabalho é apresentar uma demonstração detalhada desse resultado. Outro artigo importante a ser citado é o de S.S. Chern [7] que fala de deformações de superfícies preservando as curvaturas principais. Posteriormente, A. Gervásio Colares e Katsuei Kenmotsu [6] classificaram superfícies no espaço euclidiano R 3 com curvatura Gaussiana

10 constante que admite famílias não triviais a 1-parâmetro de imersões isométricas preservando a função curvatura média. Em 1990, Masaaki Umehara, em [20], obteve uma outra generalização de [19]; ele mostrou que uma superfície compacta S imersa em M 3 (c), com gênero maior que zero, admitem uma H-deformação local não trivial se e somente se S tem curvatura média constante. A estrutura do trabalho encontra-se organizada da seguinte forma: O capítulo 1 contém várias definições e resultados fundamentais da Geometria Riemanniana, entre os quais, temos a definição de Imersões isométricas, um dos principais conceitos que utilizamos no presente trabalho. O capítulo 2 trata da geometria local das superfícies e de algumas definições necessárias na demonstração, entre as quais, temos a noção de isometria, a definição da primeira e segunda formas fundamentais e a demonstração das equações de Codazzi. O capítulo 3 fala sobre alguns resultados de análise complexa, também utilizados na demonstração do teorema. Finalmente, no capítulo 4 mostraremos o teorema principal e alguns resultados utilizados na demonstração do mesmo.

11 Capítulo 1 Generalidades Neste Capítulo disponibilizamos algumas definições e resultados gerais de Variedades Riemannianas cujas demonstrações serão omitidas. Para maiores detalhes destes tópicos recomendamos [3] e [4]. 1.1 Variedade Diferenciável Definição Uma Variedade Diferenciável de dimensão n é um conjunto M e uma família de aplicações injetivas: de abertos U α de R n em M tal que 1. M = α x α (U α ); x α : U α R n M 2. Para todo par α, β com x α (U α ) x β (U β ) = W, os conjuntos x 1 α (W ) e x 1 β (W ) são abertos em Rn e as aplicações x 1 β x α e x 1 α x β são diferenciáveis. O par (U α, x α ) é chamado uma parametrização ou sistema de coordenadas de M em p; x α (U α ) é chamada vizinhança coordenada em p. Uma família {x α, U α }, satisfazendo 1 e 2 é chamada uma estrutura diferenciável em M. Uma variedade diferenciável M de dimenão 2 é chamada superfície. Exemplo 1. O espaço euclidiano R n, com a estrutura diferenciável dada pela identidade é um exemplo trivial de variedade diferenciável. Definição Sejam N n e M m variedades diferenciáveis. Uma aplicação β : N M é diferenciável em p N se dada uma parametrização y : V R m M em β(p) existe uma parametrização x : U R n N em p tal que β(x(u)) y(v ) e a aplicação 1

12 y 1 β x : U R n R m é diferenciável em x 1 (p). β é diferenciável num aberto de N se é diferenciável em todos os pontos deste aberto. Se, além disso, β é bijetiva e sua inversa β 1 é diferenciável então β diz-se um difeomorfismo. Definição Seja M uma variedade diferenciável. M diz-se orientável se admite uma estrutura diferenciável {x α, U α } tal que para todo par α, β com x α (U α ) x β (U β ) = W a diferencial da mudança de coordenadas x β x 1 α tem determinante positivo. Caso contrário M diz-se não orientável. Se M é orientável, a escolha de uma estrutura diferencável satisfazendo a condição da definição acima é chamada uma orientação de M e M é dita orientada. Exemplo 2. A esfera S n = {(x 1,..., x n+1 ) R n+1 ; n+1 i=1 x2 i = 1} R n+1 é orientável Definição Uma variedade M é chamada simplesmente conexa se M é conexa e se toda aplicação diferenciável f : S 1 M é diferenciavelmente contrátil a um ponto. Definição Sejam M 1 e M 2 variedades diferenciáveis. Uma aplicação φ : M 1 M 2 é um difeomorfismo se ela é bijetiva, diferenciável e sua inversa φ 1 é diferenciável. φ é um difeomorfismo local em p M se existem vizinhanças U de p e V de φ(p) tais que φ(u) V é um difeomorfismo. 1.2 Campo de Vetores Definição O espaço tangente a uma Variedade M em um ponto p, representado por T p M é o conjunto de todos os vetores tangentes às curvas suaves pertencentes a M passando por p. Mostra-se que T p M é um espaço vetorial de dimensão m. Definição (O Fibrado Tangente) Seja M uma variedade diferenciável e seja T M = (p, v); p M, v T p M. Este espaço munido com a estrutura diferenciável {U α R n, γ α } onde γ α : U α xr n T M definida por: γ α (x α 1,..., x α n, u 1,..., u n ) = (x α (x α 1,..., x α n), é definido como o fibrado tangente de M. n u j ) i=1 2

13 Definição Um campo de vetores X em uma variedade diferenciável M é uma correspondência que a cada ponto p M associa um vetor X(p) T p M.Em termos de aplicações, X é uma aplicação de M no fibrado tangente T M. O campo é diferenciável se a aplicação X : M T M é diferenciável. 1.3 Variedades Riemannianas Definição Uma métrica Riemanniana (ou estrutura Riemanniana) em uma variedade diferenciável M é uma correspondência que associa a cada ponto p M um produto interno p (isto é uma forma bilinear simétrica, positiva definida) no espaço tangente T p M, que varia diferenciavelmente no seguinte sentido: Se x : U R n M é um sistema de coordenadas locais em torno de p, com x(x 1,..., x n ) = q x(u) e x i (q) = dx q (0,..., 1,..., 0), x j (q) = g ij (x 1,..., x n ) é uma função diferenciável em U. então x i (q), Outra maneira de exprimir a diferenciabilidade da métrica Riemanniana é dizer que para todo par X e Y de campos de vetores diferenciáveis em uma vizinhança V de M, a função é diferenciável em V. As funções g ij são chamadas expressão da métrica Riemanniana no sistema de coordenadas x : U R n M. Definição Uma variedade diferenciável com uma dada métrica Riemanniana chama-se uma Variedade Riemanniana. Definição Sejam M e N variedades Riemannianas. Um difeomorfismo f : M N é chamado uma isometria se: u v p = df p (u) df p (v) f(p) p M, u, v T p M Se existe uma isometria entre M e N, diz-se que tais variedades são isométricas. Seja U M aberto. Um difeomorfismo f : U f(u) N, satisfazendo a condição da definição acima, diz-se uma isometria local. É usual dizer que a variedade Riemanniana M é localmente isométrica à variedade Riemanniana N se para todo p em M existe uma vizinhança U de p em M e uma isometria local f : U f(u) N 1.4 Conexão Riemanniana Indicaremos por X(M) o conjunto dos campos de vetores de classe C definidos em M. 3

14 Definição Uma conexão afim em uma variedade diferenciável M é uma aplicação : X(M) X(M) X(M) que se indica por (X, Y ) X Y, que satisfaz as seguintes propriedades: i) fx+gy Z = f X Z + g Y Z. ii) X (Y + Z) = X Y + X Z. iii) X (fy ) = f X Y + X(f)Y, ondex, Y, Z X(M) e f, g D(M). Definição Seja M uma variedade Riemanniana. Dizemos que uma conexão afim em M é uma conexão de Levi-Civita (ou Riemanniana) quando satisfaz as condições: a) é simétrica, isto é, X Y Y X = [X, Y ]; b) é compatível com a métrica Riemanniana, ou seja X Y, Z = X Y, Z + Y, X Z, onde X, Y, Z X(M) (1.1) Teorema (Levi-Civita) Dada uma variedade Riemanniana M, existe uma única conexão afim em M satisfazendo as condições: a) é simétrica b) é compatível com a métrica Riemanniana. 1.5 Curvatura Seccional Definição A curvatura R de uma variedade Riemanniana M é uma correspondência que associa a cada par X, Y X(M) uma aplicação R(X, Y ) : X(M) X(M), dada por: Z X(M). R(X, Y )Z = X Y Z Y X Z [X,Y ] Z, (1.2) Definição A curvatura seccional (ou Riemanniana) K(x, y) segundo σ T p M (subespaço bidimensional do espaço tangente T p M), onde x, y σ são vetores linearmente independentes, é definida por: 4

15 K(x, y) = onde x y = x 2 y 2 x, y 2. R(x, y)y, x x y 2, (1.3) Quando M é uma superfície, a curvatura seccional coincide com a curvatura Gaussiana. 1.6 Variedades Completas Definição Uma curva parametrizada λ : I M, onde M é uma variedade Riemanniana munida de sua conexão Riemanniana, é uma geodésica em t 0 se D ( dλ) = 0 no ponto t dt dt 0; se λ é geodésica em t, para todo t I, λ diz-se uma geodésica. Se [a, b] I e λ : I M é uma geodésica, a restrição de λ a [a, b] é chamada geodésica ligando λ(a) a λ(b). Dado p M, seja V M uma vizinhança de p e ɛ > 0. Tomando U = {(q, w) T M; q V, w T q M, w < ɛ} e λ : ( 2, 2) U M a única geodésica de M que no instante t = 0 passa por q com velocidade w, para cada q V e cada w T q M, com w < ɛ, então define-se: Definição Seja p M e U T M um aberto. Então a aplicação exp : U M dada por v exp(q, v) = λ(1, q, v) = λ( v, q, ), (q, v) U v é chamado aplicação exponencial em U. Definição Uma variedade Riemanniana M é completa se para todo p M, a aplicação exponencial, exp p, está definida para todo v T p M, isto é, se as geodésicas λ(t) que partem de p estão definidas para todos os valores do parâmetro t R. Intuitivamente, isto significa que a variedade não possui buracos ou fronteiras. Teorema (Hopt e Rinow) Seja M uma variedade Riemanniana e seja p M. As seguintes afirmações são equivalentes: a) exp p está definida em todo o T p M; b) Os limitados e fechados de M são compactos; c) M é completa como espaço métrico; d) M é geodesicamente completa; e) Existe uma sucessão de compactos K n M, K n K n+1 e n K n = M, tais que se q n não petence K n então d(p, q n ). 5

16 Corolário Se M é compacta então M é completa. O seguinte resultado é mostrado em [3] Teorema (Teorema de Cartan) Seja M n uma variedade Riemanniana completa e de curvatura seccional constante K. Então o recobrimento universal M de M, com a métrica do recobrimento, é isométrico a: H n, se K = 1 R n, se K = 0 S n, se K = 1. Estas são essencialmente as únicas variedades Riemannianas completas, siplesmente conexas, com curvatura constante. 1.7 Imersões Isométricas Definição Sejam M n e M n+m=k variedades diferenciáveis. Uma aplicação diferenciável f : M M é uma imersão se df p : T p M T f(p) M é injetiva para todo p M. O número m é chamado codimensão de f. Se, além disso, f é um homeomorfismo sobre f(m) M, onde f(m) tem a topologia induzida por M, diz-se que f é um mergulho. Se M M e a inclusão i : M M é um mergulho, diz-se que M é uma subvariedade de M. Definição Seja f : M n M n+k uma imersão. Se M tem uma estrutura Riemanniana, f induz uma estrutura Riemanniana em M por u, v p = df p (u), df p (v) f(p), u, v T p M. A métrica de M é chamada então a métrica induzida por f e f é uma imersão isométrica. Seja f : M n M n+m uma imersão isométrica. Para cada p M existe uma vizinhança U M tal que a restrição de f a U é um mergulho sobre f(u). Assim podemos identificar U com sua imagem sobre f. Portanto, podemos considerar o espaço tangente de M em p como um subespaço do espaço tangente a M em p e escrever T p M = T p M T p M (1.4) onde T p M é o complemento ortogonal de T p M em T p M. Desta decomposição obtemos um fibrado vetorial T M = p M T p M, chamado o fibrado normal a M. 6

17 Deste modo, o fibrado vetorial T M f(m) = {X T M : π(x) f(m), onde π : T M M é a projeção} é a soma do fibrado tangente T M com T M, que é T M f(m) = T M T M Com respeito a esta decomposição temos as projeções ( ) T : T M f(m) T M ( ) : T M f(m) T M. que são chamadas tangencial e normal, respectivamente. Seja M n+m uma variedade Riemanniana com conexão Riemanniana, e seja f : M n M n+m uma imersão isométrica. Dados campos de vetores X, Y T M, temos que X Y = ( X Y ) T + ( X Y ). Segue da unicidade da conexão Riemanniana que ( X Y ) T é a conexão Riemanniana de M, que será denotada por. Definição Seja B : T M T M T M definida por B(X, Y ) = X Y X Y (Fórmula de Gauss). (1.5) A aplicação definida acima é chamada a segunda forma fundamental de f. Das propriedades das conexões Riemannianas e temos que B é bilinear e simétrica sobre o anel D de funções diferenciáveis sobre M. Considere campos de vetores X de T M e η de T M, denotaremos por S η X a componente tangencial de X η, isto é, S η X = ( X η) T. Desde que para todo Y T M temos 0 = X η, Y = X η, Y + η, X Y 0 = S η X, Y + η, B(X, Y ) + X Y concluimos que S η X, Y = B(X, Y ), η. (1.6) 7

18 Exemplo 3. Consideremos o caso particular em que a codimensão da imersão é 1; f(m) M é então denominada uma hipersuperfície. Seja p M e η T p (M), η = 1. Como S η : T p M T p M é simétrica, existe uma base ortonormal de vetores próprios {e 1,..., e n } de T p M com valores próprios reais λ 1,..., λ n, i.e., S η (e i ) = λ i e i, 1 i n. Se M e M estão orientadas então o vetor η fica univocamente determinado se exigirmos que sendo {e 1,..., e n } uma base na orientação de M, {e 1,..., e n, η} seja uma base na orientação de M. Neste caso, denominamos os e i direções principais e os λ i = k i curvaturas principais de f. H = 1 n (λ λ n ) é denominada a curvatura média de f. Se x, y T p M T p M, são linearmente independentes, indicaremos por K(x, y) e K(x, y) as curvaturas seccionais de M e M, respectivamente, no plano gerado por x e y. O teorema abaixo é demonstrado em [4] Teorema (Gauss). Sejam p M e x, y vetores ortogonais de T p M. Então K(x, y) K(x, y) = B(x, x), B(y, y) B(x, y) 2 (1.7) No caso de hipersuperfície f : M n M n+1, a fórmula de Gauss 1.7 admite uma expressão mais simples. Sejam p M e η (T p M). Seja {e 1,..., e n } uma base ortonormal de T p M para a qual S η = S é diagonal, isto é, S(e i ) = λ i e i, i = 1,..., n, onde λ 1,..., λ n são os valores próprios de S. Então H(e i, e i ) = λ i e H(e j, e j ) = 0, se i = j. Portanto 1.7 se escreve K(e i, e j ) K(e i, e j ) = λ i λ j 1.8 H-deformação Definição Uma H-deformação da imersão x é uma aplicação contínua F : ( ɛ, ɛ) Σ M 3 (ɛ > 0) tal que: 1. Para cada t ( ɛ, ɛ), fazendo x t (p) = F (t, p), x t é uma imersão isométrica; 2. x 0 = x 3. A função curvatura média H t de x t satisfaz H t = H. Uma H-deformação é dita trivial se para cada parâmetro t ( ɛ, ɛ), existe uma isometria L t de R 3 tal que x t = L t ox. 8

19 Desta definição temos que uma H-deformação preserva os coeficientes da primeira forma quadrática e consequentemente, pelo teorema de Gauss, preserva também a curvatura Gaussiana. Uma H-deformação preserva também as curvaturas principais da superfície. Definição Uma imersão isométrica é chamada H-deformável se admite uma H-deformação não trivial. Uma imersão isométrica x : M 3 (c) é chamada localmente H- deformável se cada ponto de tem uma vizinhança tal que x restrita a esta vizinhança é H-deformável. 9

20 Capítulo 2 Teoria local das superfícies 2.1 Forma Quadrática Definição Uma função b : T p S R chama-se uma forma quadrática quando existe uma forma bilinear Q : T p S T p S R tal que b(v) = Q(v, v) para todo v T p S. Se, em vez da forma bilinear Q tomarmos a forma bilinear simétrica Q 2 (u, v) = 1 [Q(u, v) + Q(v, u)], teremos ainda 2 b(v) = Q(v, v) = 1 2 [Q(v, v) + Q(v, v)] = Q 2(v, v) Portanto, não há perda de generalidade em se exigir que a forma quadrática b(v) = Q(v, v) provenha de uma forma bilinear simétrica Q. Todos os valores de Q(u, v) podem ser determinados a partir dos valores Q(v, v) = b(v) da forma quadrática b. Se Q = [Q ij ] é e matriz da forma bilinear Q na base u 1, u 2 T p S então, para v = x i u i, tem-se b(v) = 2 Q ij x i x j i,j=1 A matriz da forma quadrática b na base U é, por definição, a matriz Q, nesta mesma base, da forma bilinear Q tal que b(v) = Q(v, v). Se a matriz de passagem p levar a base U na base U, a matriz Q 2 da forma quadrática b na base U será dada por Q 2 = p T Qp. Se E possuir produto interno e as bases U, U forem ortogonais, então Q 2 = p 1 Qp 10

21 2.2 Primeira Forma Fundamental Seja F : S M 3 (c) uma imersão, ou seja, F é diferenciável e df p : T p S T F (p) M é injetiva para todo p S. Como M tem uma estrutura Riemanniana, F induz uma estrutura Riemanniana em S por u, v p = df p u, df p v F (p), u, v T p M Como df p é injetiva, p é positivo definido. A esse produto interno que é uma forma bilinear e simétrica corresponde uma forma quadrática I p : T p S R u df p u, df p u F (p) Definição A forma quadrática I p em T p S, definida acima, é chamada a primeira forma fundamental da superfície regular S M 3 (c) em p S. Considere uma parametrização isotérmica com respeito à coordenada z = u + iv, onde z é chamado parâmetro complexo da parametrizaão correspondente. Agora vamos expressar a primeira forma fundamental na base {x u, x v } associada a uma parametrização x(u, v) em p. Como um vetor tangente w T p S é o vetor tangente a uma curva parametrizada α(t) = x(u(t), v(t)), t ( ɛ, ɛ), com p = α(0) = x(u 0, v 0 ), obtemos I p (α (0)) = α (0), α (0) = x u u + x v v, x u u + x v v p = = x u, x u p (u ) x u, x v p u v + x v, x v p (v ) 2 = = E(u ) 2 + 2F u v + G(v ) 2 onde os valores das funções envolvidas são calculados em t = 0, e E(u 0, v 0 ) = x u, x u p F (u 0, v 0 ) = x u, x v p G(u 0, v 0 ) = x v, x v p são os coeficientes da primeira forma fundamental da base {x u, x v } de T p S. Fazendo p variar na vizinhança coordenada correspondente a x(u, v), obtemos funções E(u, v), F (u, v), G(u, v), que são diferenciáveis nessa vizinhança. Se α(t) = x(u(t), v(t)) está contida em uma vizinhança coordenada correspondente à parametrização x(u, v), podemos calcular o comprimento de arco de α entre, digamos 0 e t por s(t) = t 0 E(u ) 2 + 2F u v + G(v ) 2 dt 11

22 Definição Uma superfície regular S é orientável se for possível cobrila com uma família de vizinhanças coordenadas, de tal modo que se um ponto p S pertence a duas vizinhanças dessa família, então a mudança de coordenadas tem Jacobiano positivo em p. A escolha de uma tal família é chamada uma orientação de S, e S, neste caso, diz-se orientada. Se tal escolha não é possível, a superfície é não-orientável. Se S é orientada, uma parametrização (local) x é compatível com a orientação de S se, juntando x á família de parametrizações dada pela orientação, obtem-se ainda uma (logo, a mesma) orientação de S. Definição Uma cobertura de um conjunto S R 3 é uma família (C λ ) λ L de subconjuntos C λ R 3 tal que S λ L C λ. Isso significa que, para cada x S, existe um λ L tal que x C λ. Uma subcobertura é uma subfamília (C λ ) λ L, L L, tal que ainda se tem S λ L C λ. Diz-se que uma cobertura é aberta quando os C λ forem todos abertos. Definição Uma superfície S é dita compacta se toda cobertura aberta S A λ admite uma subcobertura finita S S λ1... S λi. Teorema Se S é um conjunto compacto então S é limitado e fechado. Exemplo 4. A esfera e o toro são superfícies compactas. A faixa de Möbius é uma superfície não-orientada, limitada mais não é fechada. 2.3 Segunda Forma de uma Superfície Imersa em M 3 (c) Seja F : S M 3 (c) uma imersão, onde S é uma superfície compacta, orientada munida de uma métrica Riemanniana e M 3 (c) uma variedade completa de dimensão 3 simplemente conexa de curvatura seccional constante c. Seja a conexão Riemanniana de M 3 (c). Como S é orientada podemos escolher um campo de vetores normais unitário v definido em toda a superfície. Dado a = u x 1 + w x 2 T p S a segunda forma fundamental II é escrita como II( a ) = u 2 x 1 v, x 1 2uw x 1 v, Denotaremos b ij = x i v, x j Definimos a curvatura média H por H = 1 2 tr(b ij) 12 x 2 w 2 x 2 v, x 2

23 O teorema (1.7.1) de Gauss nos diz que a curvatura K de S é escrita como K c = det(b ij ) ou seja, K = b 11 b 22 b c Em termos de curvaturas principais k 1 e k 2, podemos escrever K = k 1 k 2 + c, H = 1 2 (k 1 + k 2 ) 2.4 Aplicações conformes Definição Um difeomorfismo ϕ : S S diz-se uma aplicação conforme se para todo p S e para todo u, v T p S tem-se dϕ p (u) dϕ p (v) = λ 2 (p) u v p onde λ é uma função diferenciável não nula sobre S. As variedades S e S são então chamadas conformes. Uma aplicação ϕ : V S de uma vizinhança V de p S em S é uma aplicação conforme local em p se existe uma vizinhança V de ϕ(p) tal que ϕ : V V é uma aplicação conforme local em p, a Variedade é localmente conforme a S. O significado geométrico de uma aplicação conforme é que ela preserva os ângulos formados por duas curvas que se interceptam. Um fato importante no estudo das superfícies é que é possível obter em uma vizinhança de cada ponto uma parametrização conforme, ou seja, um sistema de coordenadas locais no qual E = G > 0 e F = 0, onde E, F e G são os coeficientes da primeira forma fundamental. Tais sistemas são chamados isotérmicos. Admitindo a existência de um sistema isotérmico de coordenadas para uma superfície regular S, S é evidentemente localmente conforme a um plano e, por composição, localmente conforme a qualquer outra superfície. Em um sistema isotérmico a primeira forma se escreve como I p (α (0)) = E{(u ) 2 + (v ) 2 } Muitos matemáticos utilizam o termo "elemento"de comprimento de arco ds de S e escrevem a expressão acima como ds 2 = E{du 2 + dv 2 } (2.1) significando o seguinte: se α(t) = x(u(t), v(t)) é uma curva em S e s = s(t) o seu comprimento de arco, então ( ds dt )2 = E( du dt )2 + E( dv dt )2 13

24 2.5 Equações de Codazzi Seja x : U R 2 S uma parametrização em torno de um ponto p S e seja {,, N} um referencial ao longo da imersão F, onde N é uma campo u v de vetores normais unitários. Fazendo = x u u e = x v v. Se α(t) = x(u(t), v(t)) é uma curva parametrizada em S, com α(0) = p então o vetor tangente é dado por α = x u u + x v v dn(α) = N (u(t), v(t)) = N u u + N v v onde N u = N e N v = N u v Como N u e N v pertencem a T p S, podemos escrever Logo logo N u = a 11 x u + a 21 x v N v = a 12 x u + a 22 x v dn(α ) = (a 11 x u + a 21 x v )x u + (a 12 x u + a 22 x v )x v ( ) a11 a (a ij ) = 12 a 21 a 22 é a matriz de dn relativa à base {x u, x v }. Usando os coeficientes da primeira e segunda formas fundamentais, obtemos e = N u, x u = a 11 E + a 21 F f = N u, x v = a 11 F + a 21 G f = N v, x u = a 12 E + a 22 F g = N v, x v = a 12 E + a 22 G Matricialmente temos ( ) ( ) ( ) e f a11 a = 12 E F f g a 21 a 22 F G ( a11 a 12 a 21 a 22 ) ( e f = f g ) ( E F F G ) 1 ( e f = f g ) 1 EG F 2 ( G F F E ) 14

25 Isto é ff eg a 11 = EG F, 2 gf fg a 12 = EG F, 2 ef fe a 21 = EG F, 2 ff ge a 22 = EG F. 2 Das igualdedes acima, segue que as expressões para as curvaturas gaussiana e média são, respectivamente: K = det(a ij ) = eg f 2 EG F 2 H = 1 2 (a 11 + a 22 ) = 1 2fF + ge [eg ] 2 EG F 2 Uma curva regular conexa C em uma vizinhança coordenada de x é uma linha de curvatura se e somente se para uma parametrização qualquer α(t) = x(u(t), v(t)), t I, de C temos dn(α (t)) = λ(t)α (t) Segue-se que as funções u (t), v (t) satisfazem o sistema de equações ff eg gf fg EG F 2 u + EG F 2 v = λu ef fe ff ge EG F 2 u + EG F 2 v = λv Eliminando λ no sistema acima, obtemos a equação diferencial das linhas de curvartura Fazendo u (fe ef )(u ) 2 + (ge eg)u v + (gf fg)(v ) 2 = 0 u = x uu, u v = x uv e v = x v vv e expressando as derivadas do triedro natural dado pelos vetores x u, x v e N na base {x u, x v, N}, obtemos 15

26 x uu = Γ 1 11x u + Γ 2 11x v + L 1 N, x uv = Γ 1 12x u + Γ 2 12x v + L 2 N, x vu = Γ 1 21x u + Γ 2 21x v + L 2 N, x vv = Γ 1 22x u + Γ 2 22x v + L 3 N, N u = a 11 x u + a 21 x v, N v = a 12 x u + a 22 x v. (2.2) Os coeficientes são chamados simbolos de Christoffel de S na parametrização x. Como x uv = x vu, concluimos que Γ 1 12 = Γ 1 21, e Γ 2 12 = Γ Tomando o produto interno nas quatro primeiras relações acima com N obtemos L 1 = e, L 2 = L 2 = f e L 3 = g, onde e, f, g são os coeficientes da segunda forma fundamental de S. Para determinar os símbolos de Chistoffel, tomamos o produto interno das quatro relações com x u e x v, obtemos os sistemas Γ 1 11E + Γ 2 11F = x uu, x u = 1 2 E u Γ 1 11F + Γ 2 11G = x uu, x v = F u 1 2 E u Γ 1 12E + Γ 2 12F = x uv, x u = 1 2 E v Γ 1 12F + Γ 2 12G = x uv, x v = 1 2 G u Γ 1 22E + Γ 2 22F = x vv, x u = F v 1 2 G u Γ 1 22F + Γ 2 22G = x vv, x v = 1 2 G v Resolvendo os sistemas acima obtemos os simbolos de Christoffel em termos dos coeficientes da primeira forma fundamental, E, F, G, e de suas derivadas considere as expressões Γ 1 11 = Γ 2 11 = Γ 1 GE 12 = v F G u 2(EG F 2 ) Γ 2 EG 12 = u F E v Γ 1 22 = Γ 2 22 = GEu 2F Fu+F Ev 2(EG F 2 ) 2EFu EEv+F Eu 2(EG F 2 ) 2(EG F 2 ) 2GFv GGu F Gv 2(EG F 2 ) EGv 2F Fv+F Gu 2(EG F 2 ) (x uu ) v (x uv ) u = 0 (2.3) (x vv ) u (x vu ) v = 0 16

27 N uv N vu = 0 Introduzindo os valores de 2.2, podemos escrever as relações acima na forma A 1 + B 1 x v + C 1 N = 0 A 2 + B 2 x v + C 2 N = 0 A 3 + B 3 x v + C 3 N = 0 onde A i, B i, C i, i = 1, 2, 3 são funções de E, F, G, e, f, g e de suas derivadas. Como os vetores x u, x v, N são linearmente independentes então A i = 0, B i = 0, C i = 0. Determinaremos as relações A 1 = 0, B 1 = 0 e C 1 = 0. Utilizando os valores de 2.2, a primeira das relações 2.3 pode ser escrita Γ 1 11x uv + Γ 2 11x vv + en v + (Γ 1 11) v x u + (Γ 2 11) v x v + e v N = (2.4) = Γ 1 12x uu + Γ 2 12x vu + fn u + (Γ 1 12) u x u + (Γ 2 12) u x v + f u N Utilizando 2.2 novamente e igualando os coeficientes de x v obtemos Γ 1 11Γ Γ 2 11Γ ea 22 + (Γ 2 11) v = Γ 1 12Γ Γ 2 12Γ fa 21 + (Γ 2 12) u. Introduzindo os valores de a ij ja calculados segue que (Γ 2 12) u (Γ 2 11) v + Γ 1 12Γ Γ 2 12Γ 2 12 Γ 2 11Γ 2 22 Γ 1 11Γ 2 12 = (2.5) = E eg f 2 EG F 2 = EK A equação acima prova o seguinte teorema: Teorema (Egregium de Gauss) A curvatura Gaussiana K de uma superfície é invariante por isometrias locais. Igualando os coeficientes de x u em 2.4, vemos que a relação A 1 = 0 pode ser escrita na forma (Γ 1 12) u (Γ 1 11) v + Γ 2 12Γ 1 12 Γ 2 11Γ 1 22 = F K 17

28 Igualando os coeficientes de N em 2.4, C 1 = 0 na forma e v f u = eγ f(γ 2 12 Γ 1 11) gγ Aplicando o mesmo processo a segunda expressão de 2.3, obtemos que ambas as equações A 2 = 0 e B 2 = 0 nos dão novamente a fórmula de Gauss 3.5. Além disso, C 2 = 0 é dada por f v g u = eγ f(γ 2 22 Γ 1 12) gγ As equações abaixo são chamadas de Equações de Mainard - Codazzi e v f u = eγ f(γ 2 12 Γ 1 11) gγ 2 11 (2.6) f v g u = eγ f(γ 2 22 Γ 1 12) gγ 2 12 (2.7) O mesmo processo pode ser aplicado à ùltima expressão de 2.2, resultando que C 3 = 0 é uma identidade e que A 3 = 0 e B 3 = 0 são novamente as equações 2.6 e 2.7. A fórmula de Gauss e as equações de Mainard-Codazzi são conhecidas como as equações de compatibilidade da teoria das superfícies. Tomemos a base e 1, e 2 ortonormal, onde e 1 = x u x u, e 2 = x v x v e x u = x v = E Num sistema isotérmico, E = G e F = 0, os simbolos de Christoffel ficam Γ 1 11 = Eu 2E Γ 2 11 = Ev 2E Γ 1 12 = Ev 2E Γ 2 12 = Eu 2E Γ 1 22 = Eu 2E Γ 2 22 = Ev 2E Substituindo os valores acima nas equações de Codazzi, obtemos e v f u = e 1 E v 2 E + f( E u 2E E u 2E ) + g E v 2E f v g u = e E u 2E + f( E v 2E E v 2E ) g E u 2E 18

29 Logo f v g u = E u (e + g) 2E Segue da equação da curvatura média que Logo, as equações 2.8 ficam e v f u = E v (e + g) (2.8) 2E e + g = 2EH e v f u = E v H (2.9) f v g u = E u H Temos que EH = e+g 2 Derivando em relação a v, obtemos Derivando em relação a u, obtemos E v H + EH v = e v + g v 2 E u H + EH u = e u + g u 2 Então ( e + g 2 ) v + E v H = EH v ( e + g 2 ) u E u H = EH u Usando 2.9 ( e + g 2 ) v + (e v f u ) = EH v ( e + g 2 ) u + (f v g u ) = EH u Então, as equações de Codazzi podem ser escritas do seguinte modo: ( e g 2 ) v f u = EH v ( e g 2 ) u + f v = EH u (2.10) 19

30 Capítulo 3 Funções Holomorfas 3.1 Funções Complexas A noção de função complexa envolve naturalmente a consideração de duas variáveis reais. De fato, uma função complexa da variável complexa z é uma correspondência f que associa ao número z um único número complexo w, chamado a imagem de z por f, w = f(z). Por outro lado, como z = x + iy = (x, y), também podemos dizer que uma tal função associa ao par (x, y) R 2 o par w = (u(x, y), v(x, y)) = u(x, y) + iv(x, y) = f(x, y) R 2. Um exemplo é f(z) = z + c onde c = a + bi. A expressão dessa função em termos de x e y é f(x, y) = (x + a, y + b). Definição Seja A C um aberto, z 0 um ponto de A e f : A C uma função complexa. Se existir o limite f(z) f(z 0 ) lim z z o z z 0 esse é chamado a derivada de f(z) no ponto z 0 e denotamos por f (z 0 ). Proposição Se a função f(z) = u(x, y) + iv(x, y) tem derivada no ponto z 0 = x 0 + iy 0 então u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) e v x (x 0, y 0 ) = u y (x 0, y 0 ). (3.1) As equações (3.1) são chamadas de condições de Cauchy-Riemann. A seguinte proposição é provada em [14]. Proposição Seja f : A C, A C aberto, f(z) = u(x, y) + v(x, y)i, uma função complexa tal que as derivadas parciais u, u, v, v existem em x y x y A e são contínuas no ponto z 0 = x 0 + iy 0 A. Se as condições de Cauchy- Riemann são satisfeitas em z 0, então f é derivável em z 0. 20

31 Definição Seja f : A C, A C um aberto, uma função complexa. Dizemos que f é holomorfa em A se f (z) existe para todo ponto z A. Uma condição necessária para que w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y) seja holomorfa numa região R é que u e v satisfaçam as equações de Cauchy- Riemann 3.1 u x = v y, u y = v x. Se as derivadas parciais de f(z) são contínuas em R, então as equações de Cauchy-Riemann são também condições suficientes para que f(z) seja holomorfa em R. Definição Uma forma quadrática Q definida em uma superfície S é holomorfa se a expressão no sistema de coordenadas isotérmico é dado por Q = bdz 2, onde z = x + yi e b é uma função holomorfa em U. 3.2 Funções Harmônicas Seja F = F (z, z), onde z = u + iv e z = u iv. Derivando F em relação a u e v, obtemos: F = F z + F z = F + F u z u z u z z F = F z + F z v z v z v = i( F z F z ). Portanto, u = z + z v = i( z z ). Para uma função real f, definimos o gradiente como f = ( u + i v )f. 21

32 Assim f = f u + i f v = f z + f z + i2 ( f z f z ) = 2 f z. Geometricamente, isto representa um vetor normal à curva f(x, y) = c, onde c é uma constante. Portanto, Podemos obter também Concluimos também que f = 2 f z. (3.2) f u i f v = 2 f z. (3.3) f z = ( f.) (3.4) z Para uma função complexa F = P + iq o gradiente F é definido como Portanto F = ( u + i )(P + iq) v F = P u + i Q u + i P v Q v = P u Q v + i( Q u + P v ) Segue da equação 3.2 que F = 2 F z. (3.5) Definição Uma função F em duas variáveis, u e v, com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, que satisfaz 0 F = 2 F u F v 2 = 0 (Equação de Laplace) é chamada função harmônica. O operador 0 = 4 z de F. z é chamado laplaciano 22

33 Proposição Toda função holomorfa é hamônica. Prova: Se F = P +iq é holomorfa então satisfaz as equações 3.1, ou seja, P = Q e Q = P. Então calculando u v u v Logo 2 F z = ( u + i )(P + iq) v 4 z = P u Q v + i( Q u + P v ) = 0. F z = 2 F u F v 2 = 0. Definição Dizemos que uma função real contínua f, é sub-harmômica em um subconjunto aberto U C se satisfaz a seguinte desigualdade: F (a) 1 2π F (a + re iθ )dθ (3.6) 2π 0 sempre que a bola fechada D(a, r) = {z C; z a r} esteja contida em U. Dizemos que uma função F é super-harmônica se F é sub-harmônica. Os resultados abaixo são encontrados em [2] Teorema (Princípio do máximo) Sejam Ω uma região e F uma função sub-harmônica em Ω. Se F atinge um máximo em Ω, então F é constante. Demonstração: Suponha que F atinge um máximo em a Ω. Consideremos uma bola aberta D(a, R) Ω. Temos, a partir de (3.6), que 0 2π 0 [F (a + re iθ ) F (a)]dθ, 0 r < R. Por outro lado, pela definição de a, F (z) F (a) 0, z Ω, isto é, o integrando acima é não positivo. Isso implica, por continuidade, que F (a + re iθ ) F (a) = 0 para todo θ [0, 2π]. Isso vale para todo r [0, R), ou seja, F (z) = F (a), z D(a, R) Então, se definirmos Ω 0 como sendo o conjunto onde F atinge seu valor máximo M, concluimos que Ω 0 = F 1 (M) é aberto em Ω. 23

34 Por continuidade Ω 0 é fechado. Como Ω 0 é não vazio e conexo então é igual a Ω, como queríamos demonstrar. Vamos assumir o seguinte lema encontrado em [2] para que possamos demonstrar o próximo teorema. Lema Sejam c C, 0 < a < b < e g uma função holomorfa no anel A = {z C; a < z c < b}. Então então (i) 1 0 g(c + re2πit )dt é uma função independente de r (a, b). (ii) Se g é contínua na bola D(c, b) e holomorfa no conjunto D(c, b) c, g(c) = 1 0 g(c + re 2πit )dt, 0 < r < b. (3.7) Teorema Toda função harmônica é sub-harmônica e super-harmônica. Demonstração: Sejam f : U R uma função harmônica e D = D(a, r) U uma bola aberta. Seja F uma função holomorfa tal que f = ReF em D. Pelo Lema anterior, temos por uma mudança de variáveis, que Como F é da forma então F (a) = 1 2π 2π 0 F = f + iq F (a + re iθ )dθ f(a) + iq(a) = 1 2π 2π 2π [ f(a + re iθ )dθ + i Q(a + re iθ )dθ] 0 0 f(a) = 1 2π em D. Isso conclui a prova. 2π 0 f(a + re iθ )dθ Teorema Sejam Ω uma região e F : Ω R uma função harmônica. Se F ou F atinge um máximo, então F é constante. Demonstração: Se F atinge um máximo em Ω então esse é o máximo de F ou F. Portanto basta provarmos para o caso em que F atinge um máximo em Ω. Assim, o resultado segue diretamente dos Teoremas e

35 Definição Um ponto no qual f(z) não é holomorfa é dito um ponto singular ou uma singularidade de f(z). Definição O ponto z = z 0 é chamado uma singularidade isolada ou um ponto singular isolado de f(z) se existe δ > 0, tal que o círculo z z 0 = δ não contém (na região limitada por ele) nenhum ponto sigular diferente de z 0 (i.é, existe uma δ- vizinhança perfurada de z 0, que não contém nenhum ponto singular). Se nenhum δ puder ser encontrado, dizemos que z 0 é uma singularidade não isolada. Definição O ponto z = z 0 é chamado uma singularidade removível de f(z) se lim z z0 f(z) existe. Por exemplo o ponto singular z = 0 é uma singularidade removível de f(z) = senz senz, pois lim z z 0 = 1. z O seguinte resultado é provado em [2] Teorema Sejam b > 0 e h : A(0, b) R uma função harmônica limitada, onde A(0, b) é o conjunto dos pontos z C tais que 0 < z < b. Então as singularidades de h podem ser removidas e h tem extensão harmônica em D(0, b). Definição Seja U C um aberto. Dizemos que uma função f : U C é analítica, se para todo z 0 U, existe uma série de potências a n (z 0 )w n, n 0 com raio de convergência ρ > 0, tal que f(z) = a n (z 0 )(z z 0 ) n (3.8) n=0 para todo z U tal que z z 0 < ρ. A série de potências (3.8) representará f em z 0. Como as funções definidas por séries de potências são holomorfas segue que as funções analíticas são holomorfas. Temos também um resultado encontrado em [12] onde fala que toda função holomorfa em um aberto é analítica nesse aberto. Logo uma função f : U C é holomorfa em U se, e somente se, ela é analílica em U. Outro fato importante é que os coeficientes a n da série que representa f em z 0, podem ser calculados por a n = 1 f (n) z n! 0. Como consequência existe uma única série que representa f em z 0 e esta depende apenas dos valores de f numa vizinhança de z 0. 25

36 3.3 Zeros de uma função holomorfa Seja f : U C uma função analítica onde U C é um aberto. z 0 U, a representação de f em z 0 é da forma Dado f(z) = n 0 a n (z 0 )(z z 0 ) n (3.9) Observe que a 0 = f(z 0 ), a 1 = f (z 0 ) e a n = f (n) (z 0 ) n!. Suponhamos que f(z 0 ) = 0 e que f não seja identicamente nula numa vizinhança de z 0. Neste caso alguma derivada de f em z 0 não é nula, pois caso contrário f seria identicamente nula no disco de convergência da série (3.9). Definição Sejam f : U C uma função analítica e z 0 U tal que a série que representa f em z 0, n 0 a n(z z 0 ) n, não seja identicamente nula. A ordem de f em z 0 é por definição o inteiro O(f, z 0 ) = min{k 0; a k 0}. Seja k a ordem de f em z 0. Vemos então que a k 0 e que a n = 0 se n < k. Portanto f(z) = n k a n (z z 0 ) n = (z z 0 ) k n k a n (z z 0 ) n k = (z z 0 ) k h(z) onde h(z) = n 0 a n+k (z z 0 ) n. Observe que h(z 0 ) = a k 0. Decorre daí que existe r > 0 tal que, se z z 0 < r, então z U e h(z) 0, ou seja a função h(z) não se anula no disco D r (z 0 ) = D. Como a função z (z z 0 ) k se anula apenas no ponto z = z 0, podemos concluir que z 0 é a única solução de f(z) = 0 em D. Em particular não pode existir uma sequência (z n ) n 0 tal que lim n z n = z 0, f(z n ) = f(z 0 ) e z n z 0 para todo n 0. Podemos resumir tudo isso no resultado abaixo. Teorema Seja f : U C uma função holomorfa. Seja z 0 U tal que f(z 0 ) = 0 e f não é identicamente nula numa vizinhança de z 0. Então z 0 é um ponto isolado de f 1 (0). 26

37 Capítulo 4 Função Curvatura Média em Superfícies Compactas Teorema Seja S uma superfície compacta orientada munida de uma métrica riemanniana, e seja H : S R uma função C. Se H não é constante, então existem no máximo duas imersões isométricas não congruentes de S em M 3 (c) com curvatura média H. Prova do teorema: A métrica dada determina uma estrutura conforme em S, e nos trabalharemos sempre na correspondente coordenada local conforme ou "isotérmica" z = x 1 + ix 2 onde z C é chamado parâmetro complexo da parametrização correspondente. Temos portanto, os coeficientes da primeira forma fundamental, E = G = λ 2 (x 1, x 2 ), F = 0. Vimos de (2.1) que a métrica pode ser escrita como I = ds 2 = λ 2 [(dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 ] = λ 2 dz 2. Suponha agora que F : S M 3 (c) é uma imersão isométrica com um campo de vetores normais unitário v. Seja a conexão Riemanniana de M e seja b ij = x i v, x j para 1 i, j 2, as componentes da Segunda Forma Fundamental dessa imersão. Dado a = u x 1 + w x 2 T p S podemos escrever 27

38 Temos que z = 1 2 { x 1 i x 2 } então II( a ) = u 2 b uwb 12 + w 2 b 22. (4.1) II( z ) = 1 4 b 11 i 2 b b 22. Segue que 4II( z ) = b 11 2ib 12 b 22. A importância fundamental desse estudo é a forma quadrática diferencial associada. Q {b 11 b 22 2ib 12 }dz 2 (4.2) Observe que Q bdz 2. dz( ) = (dx z 1 + idx 2 )( 1 2 x 1 i 2 = 1dx 2 1 x 1 i dx 2 1 x 2 + i dx 2 2 x 1 + 1dx 2 2( x 2 ) = 1; x 2 ) então Q( z, z ) = b = 4II( z ). Continuaremos a prova do Teorema após a apresentação dos fatos que necessitamos. Vamos mostrar agora, que Q está definida globalmente em S. De fato, vamos obter de que maneira Q se expressa em outro sistema de coordenadas, isto é, na interseção de dois sistemas isotérmicos. Veremos que estas duas formas definidas através de tais parâmetros coincidem. Dizemos que uma função complexa f é holomorfa em um aberto A se f (z) existe para todo ponto z A. Seja w = u + iv, um sistema de coordenadas isotérmico e consideremos um outro sistema regular de coordenadas x, y. Esse novo sistema z = x+yi é isotérmico se, e somente se, z for uma função analítica da variável w = u+iv com derivada não nula, isto é, z = z(w) e z (w) 0. 28

39 Denotemos e = b 11, f = b 12 e g = b 22 os coeficientes da Segunda Forma. Sendo ϕ(u, v) uma parametrização de S, como ϕ u, N = 0 e ϕ v, N = 0, onde N é um campo de vetores normais a S, isto implica que ϕ u iϕ v, N = 0. Como 2ϕ w = ϕ u iϕ v e 2ϕ w = ϕ u + iϕ v então 2ϕ w, N = ϕ u iϕ v, N = 0. Derivando com relação à w, obtemos w (2ϕ w), N + 2ϕ w, N w = 0 2ϕ w, N w = w (2ϕ w), N 2 ϕ w, N w = ( 1 2 ϕ u i 2 ϕ v)(ϕ u iϕ v ), N logo = 1 2 ϕ2 u ϕ u ϕ v i 1 2 ϕ2 v, N = 1 2 { ϕ uu, N 2i ϕ uv, N ϕ vv, N } = 1 {e g 2if} 2 = 1 2 Q. Q = 4 ϕ w, N w Do mesmo modo, se ψ(z) é uma função análoga a função Q(w), temos que ψ = 4 ϕ z, N z. dz Mas z = z(w), então ϕ w = ϕ z e N dz dw w = N z ; deste modo obteremos dw que dz Q = 4 ϕ w, N w = 4 ϕ z dw, N dz z dw = 4 ϕ z, N z ( dz dw )2. Assim temos que Q = ψ( dz dw )2 e desta forma mostramos que Q(dw) 2 pode ser definida globalmente em S. 29

40 Temos que H = λ 2 ( b 11 + b 22 ) 2 K = λ 4 (b 11 b 22 b 2 12) + c onde H é a curvatura média da imersão e K é a curvatura Gaussiana da superfície. Vamos mostrar que Sabendo que z = z = λ calculemos Como z λ = 1 2λ x 1 i 2λ x 2 usando 4.1, obtemos Q 2 = 4H 2 4(K c). (4.3) z Q = Q( λ, z λ ). Q 2 = 4 II( z λ ) 2 = 4{ 1 (b 4λ 2 11 b 22 2ib 12 )} 2 = = 1 {b 2 λ b 11 b 22 + b b 2 12}. Somando e subtraindo 2b 11 b 22 obtemos Então Q 2 = λ 4 {b b 11 b 22 + b (b 11 b 22 b 2 12)} = 4{λ 2 ( b 11+b 22 2 )} 2 4{λ 4 (b 11 b 22 b 2 12) + c c}. Q 2 = 4H 2 4(K c). Em termos de curvatura principal k 1 e k 2 de S temos que Q 2 = 4( k 1 + k 2 ) 2 4(k 1 k 2 + c c) 2 Q 2 = k k 2 2 2k 1 k 2 = (k 1 k 2 ) 2 e deste modo Q é zero precisamente nos pontos umbílicos da imersão. Vamos precisar dos resultados apresentados a seguir. 30

41 Lema A forma quadrática Q é holomorfa se, e somente se, a imersão F tem curvatura média constante. Prova: Suponha que H é constante; logo H x = H y = 0. Segue de 2.10 que (e g) y = 2f x (e g) x = 2f y e assim verifica-se que as partes real e imaginária de Q satisfazem as equações de Cauchy Riemann. Logo Q é uma função holomorfa de z = x + yi. Por outro lado se Q é holomorfa então as partes real e imaginária de Q satisfazem as equações de Cauchy Riemann temos por 2.10 Como S é conexa H é constante. H x = H y = 0. Agora supomos, por absurdo, que nos são dados três imersões isométricas F k : S M 3 (c), k = 1, 2, 3, não congruentes, com a mesma função curvatura média H. Chamaremos Q k = b k (z)dz 2 as correspondentes formas quadráticas diferenciais associadas em S. Proposição Nas mesmas condições acima, cada uma das diferenças Q ij = Q i Q j para 1 i, j 3 é uma forma quadrática diferencial holomorfa sobre S. Prova: Temos que Q i = b i (z)dz 2 = (e i g i 2if i )dz 2 Q j = b j (z)dz 2 = (e j g j 2if j )dz 2 Q ij = Q i Q j = {[(e i e j ) (g i g j )] 2(f i f j )i}dz 2. Desde que as imersões têm a mesma função curvatura média as equações de Codazzi de Q i e Q j são escritas, respectivamente, como (e i g i ) y 2f ix = 2EH y e (e j g j ) y 2f jx = 2EH y (e i g i ) x + 2f iy = 2EH x (e j g j ) x + 2f jy = 2EH x. 31

42 Calculando a diferença temos (e i g i e j + g j ) y 2(f i f j ) x = 0 (e i g i e j + g j ) x + 2(f i f j ) y = 0. Segue que (e i g i e j + g j ) y = [ 2(f i f j )] x (e i g i e j + g j ) x = [ 2(f i f j )] y e assim verifica-se que as partes real e imaginária de Q ij satisfazem as equações de Cauchy Riemann; logo Q ij é holomorfa. Lema O conjunto das formas bilineares simétricas de S que satisfazem as equações de Codazzi é um subespaço do espaço vetorial formado pelas formas bilineares simétricas em S. Prova: Sejam F i, F j imersões isométricas de S em M 3 (c). Denotando por Q k = Q(h k ) a forma quadrática associada a segunda forma h k. Sejam Q i, Q j duas formas bilineares simétricas que satisfazem as equações de Codazzi 2.10 e seja c R. Temos que Q i = (e i g i 2if i )dz 2 Q j = (e j g j 2if j )dz 2. onde e i, f j e g j são as componentes da imersão F j. Calculemos Q = Q i + cq j = {[(e i + ce j ) (g i + cg j )] 2(f i + cf j )i}dz 2. Desde que as imersões têm a mesma função curvatura média, o traço de h i + ch j é dado por H = (e i + ce j ) + (g i + ce j ) = e i + g i + c(e j + g j ) = H + ch = H(c + 1). Logo H y = (c + 1)H y e H x = (c + 1)H x. As equações de Codazzi 2.10 de Q i e Q j são escritas, respectivamente, como (e i g i ) y 2f ix = 2EH y e (e j g j ) y 2f jx = 2EH y (e i g i ) x + 2f iy = 2EH x (e j g j ) x + 2f jy = 2EH x. 32

43 Então (e i g i + ce j cg j ) y 2(f i + cf j ) x = 2E(1 + c)h y = 2EH y (e i g i + ce j cg j ) x + 2(f i + cf j ) y = E(1 + c)h x = 2EH x. Portanto Q satisfaz as equações de Codazzi. Proposição Se as três imersões isométricas F k, k = 1, 2, 3, possuem a mesma função curvatura média e são mutualmente não congruentes, isto é, não existe uma isometria L i,j tal que F i = L i,j of j, i, j = 1, 2, 3, i j, então 0 log(q k ) = 4 (logq k) 2 (4.4) z para cada k, onde 0 = 4( )( ) é o Laplaciano em coordenadas locais z. z z Prova da Proposição: A princípio vamos supor que F 1 e F 2 são não congruentes. Para cada função real θ, seja U(θ(p)) a rotação de θ(p) em T p (S) na direção positiva da orientação dada. Seja h k, k = 1, 2 a segunda forma fundamental da imersão F k. Como as imersões são isométricas e possuem a mesma função curvatura média então o traço das matrizes de h 1 e h 2 são iguais e além disso, K é a curvatura Gaussiana de S, logo as matrizes tem o mesmo determinante; em outras palavras, as matrizes de h 1 e h 2 são semelhantes. Então existe uma função θ 2 tal que [h 2 ] = [U(θ 2 )][h 1 ][U(θ 2 )] 1 onde [h 2 ], [U(θ 2 )] e [h 1 ] são as matrizes de h 2, U(θ 2 ) e h 1, respectivamente. Segue que ( b 2 11 ) b 2 12 b 2 12 b 2 22 ( cosθ2 senθ = 2 senθ 2 cosθ 2 ) ( b 1 11 b 1 12 b 1 12 b 1 22 ) ( cosθ2 senθ 2 senθ 2 cosθ 2 ). Fazendo o produto acima obtemos uma matriz cujos elementos são: b 2 11 = cos 2 θ 2 b senθ 2 cos θ 2 b sen 2 θ 2 b 1 22 b 2 12 = senθ 2 cos θ 2 b (cos 2 θ 2 sen 2 θ 2 )b senθ 2 cos θ 2 b 1 22 b 2 21 = senθ 2 cos θ 2 b (cos 2 θ 2 sen 2 θ 2 )b senθ 2 cos θ 2 b