Cadernos 1 e 2 (SFB) Frentes 3 e 4

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1 Revisão 01 Cadernos 1 e (SFB) Frentes 3 e 4 5. Um grupo é formado por oito homens e cinco mulheres. Deseja-se dispor essas oito pessoas em uma fila, conforme figura abaixo, de modo que as cinco mulheres ocupem sempre as posições 1,, 3, 4 e 5, e os homens as posições 6, 7 e Nos jogos escolares do sertão, dez equipes disputam um campeonato de queimado. Cada equipe enfrenta as demais uma única vez. Quantos jogos compõem esse campeonato de queimado? a) 10 b) 0 c) 45 d) 50 e) 100. Para concorrer à eleição a diretor e a vice-diretor de uma escola, há 8 candidatos. O mais votado assumirá o cargo de diretor e o segundo mais votado, o de vice-diretor. Quantas são as possibilidades de ocupação dos cargos de diretor e vice-diretor dessa escola? a) 15 b) 7 c) 34 d) 56 e) Uma comissão será composta pelo presidente, tesoureiro e secretário. Cinco candidatos se inscrevem para essa comissão, na qual o mais votado será o presidente, o segundo mais votado o tesoureiro e o menos votado o secretário. Dessa forma, de quantas maneiras possíveis essa comissão poderá ser formada? a) 10 b) 60 c) 40 d) 0 e) Quantos anagramas é possível formar com a palavra CARAVELAS, não havendo duas vogais consecutivas e nem duas consoantes consecutivas? a) 4 b) 10 c) 480 d) 1.90 e) Quantas formas possíveis de fila podem ser formadas obedecendo a essas restrições? a) 56 b) 456 c) d) 7.07 e) O total de números de cinco algarismos que possuem pelo menos dois dígitos consecutivos iguais em sua composição é igual a a) b) c) d) e) Determine o algarismo das unidades da seguinte soma 016 S = n!, em que n! é o fatorial do número natural n. n= 1 a) 0 b) 1 c) d) 3 e) 4 8. A figura a seguir é um esquema representativo de um eclipse lunar em que a Lua, a Terra e o Sol estão representados pelas circunferências de centros C, 1 C e C, 3 respectivamente, que se encontram alinhados. Considera-se que a distância entre os centros da Terra e do Sol é 400 vezes maior que a distância entre os centros da Terra e da Lua e que a distância do ponto T na superfície da Terra ao ponto S na superfície do Sol, como representados na figura, é de 150 milhões de quilômetros. Sabendo-se que os segmentos de reta CL, 1 C T e CS 3 são paralelos, a distância do ponto L, representado na superfície da Lua, ao ponto T, na superfície da Terra, é igual a a) km. b) km. c) km. d) km. e) Km. 1

2 9. Na figura, o losango FGCE possui dois lados sobrepostos aos do losango ABCD e sua área é igual à área indicada em verde. Se o lado do losango ABCD mede 6cm, o lado do losango FGCE mede a) 5 cm. b) 6 cm. c) 4 cm. d) 3 3 cm. e) 3 cm. 10. Diferente dos balões comuns, os balões meteorológicos são produzidos com borracha natural usando um processo de rotomoldagem. Isso quer dizer que toda a superfície do balão apresenta a mesma espessura, evitando estouros prematuros. Fonte: meteorologicos/balao-meteorologico-de-grande-altitude- 600g/. Acesso em: 15 de maio de 016. Dois jovens pesquisadores, João e Diogo, decidiram lançar um único balão meteorológico para fazer um estudo. Após o lançamento, em um dado momento, João estava a 8km do balão e Diogo a 15 km. Sabe-se que o balão subiu verticalmente durante todo o percurso e que a distância entre os pesquisadores naquele momento era de 17 km. 11. Observe o esquema a seguir, que representa certo trecho do Oceano Atlântico na costa brasileira. Um navio de pesquisas, situado inicialmente no ponto B, deve seguir rumo ao ponto C, em linha reta. Sabe-se que a distância BC é igual a 10 km. No ponto A encontra-se uma ilha e o navio deve parar, na sua trajetória, em um ponto o mais próximo possível dessa ilha, para que uma equipe de biólogos siga em um barco auxiliar a fim de coletar algumas espécies de plantas nativas para análise. Considere que a região limitada por AB, AC e BC seja plana e que o ângulo BAC meça 90. Se a distância do navio à ilha, ao iniciar sua trajetória em B, era de 8km, podemos afirmar que, nesse percurso, a menor distância do navio à ilha será igual a a) 5, km. b) 5,0 km. c) 4,8 km. d) 3,6 km. e) 3, Km. 1. Pretende-se estender um fio de cobre de uma CENTRAL DE GÁS até o PONTO DE INSTALAÇÃO DE GÁS de uma residência. O fio de cobre deve ser instalado seguindo o percurso ABCDEFG, conforme mostra a figura abaixo. Sabendo-se que cada metro de cobre custa R$,50 e que os triângulos ABC, CDE e EFG são triângulos retângulos, calcule a metragem de cobre que será necessária para ligar a CENTRAL DE GÁS até o PONTO DE INSTALAÇÃO DE GÁS e qual valor será gasto na compra desse material. Observe a figura abaixo, representativa da situação: Desconsiderando a curvatura da Terra, pode-se afirmar que a altura aproximada desse balão era de a) 6km. b) 6,5 km. c) 7km. d) 7,5 km. e) 8 Km. Assinale a alternativa CORRETA. a) A metragem de cobre será 5,5 m e o valor gasto será igual a R$ 1,00. b) A metragem de cobre será 5,5 m e o valor gasto será igual a R$ 4,00. c) A metragem de cobre será 1m e o valor gasto será igual a R$ 4,00. d) A metragem de cobre será 1m e o valor gasto será igual a R$ 5,50. e) A metragem de cobre será 5,5 m e o valor gasto será igual a R$ 131,5.

3 13. No famoso jogo para celular Pokémon Go, três pokémons, P,P 1 e P 3 estão posicionados, respectivamente, nos vértices de um triângulo, retângulo em P. 1 Sabe-se que a distância PP 1 = 1 3m e que a distância PP 3 mede o dobro dessa distância. Nesse momento do jogo, o treinador T está posicionado em um ponto do lado PP, 1 3 de forma que ele equidiste de P e P 3. Considerando que o Pokémon P 3 permanecerá imóvel, a menor distância que o treinador deverá percorrer para alcançá-lo será igual a a) 4 3 m. b) 4 m. c) 1 3 m. d) 1 m. e) 11 m. 14. O projeto de madeiramento é fundamental para a construção de um bom telhado em uma residência. Na figura, temos a vista frontal do madeiramento de um telhado. O triângulo ABC é isósceles de base BC tal que Â = 10. Observa-se também que os segmentos DE e FG são perpendiculares à base BC. De acordo com os dados acima, a medida do ângulo é é a) 30 b) 45 c) 60 d) 75 e) 80 o ˆ BED 15. Duas crianças, cada uma em um prédio diferente, brincam com canetas lasers nas janelas de seus apartamentos, apontando para um ponto na quadra situada entre os prédios. A criança do prédio A está a uma altura de 10 m, e a do prédio B, a uma altura de 0 m do chão. A distância entre os prédios é de 50 m. Em um determinado momento, os lasers das crianças atingem, simultaneamente, um ponto P do pátio equidistante das crianças, tal como na ilustração abaixo: 16. A figura a seguir mostra uma circunferência, em que os arcos ADC e AEB são congruentes e medem 160 cada um. A medida, em graus, do ângulo x, é a) 10. b) 0. c) 30. d) 40. e) 50 o. 17. Seis circunferκncias de raio 5cm sγo tangentes entre si duas a duas e seus centros sγo vιrtices de um hexαgono regular, conforme a figura abaixo. O comprimento de uma correia tensionada que envolve externamente as seis circunferκncias mede, em cm, a) π. b) π. c) π. d) π. e) π. A distância x, em metros, deste ponto até o prédio B é a). b) 3. c) 5. d) 8. e) 9. 3

4 18. Num sistema de engrenagens, cada uma tem seu raio, de forma que a engrenagem "A" tem raio com medida R; a "B" tem raio com medida igual à metade do raio da engrenagem "A", e a "C" tem raio com medida igual a um quarto do raio da engrenagem "A". Sendo a medida do raio de "A" igual a 4cm, quantas voltas "A" dará, quando "C" percorrer o equivalente a cm? a).400 b) 1.00 c) 600 d) 300 e) O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a ser adotada depende, entre outros fatores, de o adversário ser canhoto ou destro. Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são canhotos e 6 são destros. O técnico do clube deseja realizar uma partida de exibição entre dois desses jogadores, porém, não poderão ser ambos canhotos. Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida de exibição? 10! 4! 10! 4! a) b)! 8!!! 8!! 10! c)! 8! d) 6! 4 4 4! + e) 6! 6 4 4! + 0. A Câmara de Vereadores de uma cidade é composta por 13 vereadores, sendo que 6 destes são de partidos políticos da situação (aliados ao governo municipal) e os 7 restantes são de partidos da oposição (contrários ao governo municipal). É necessário compor uma comissão especial a ser formada por exatamente 5 vereadores, de forma que haja pelo menos dois representantes de cada um destes blocos políticos. Além disso, foi definido que o líder da situação e o líder da oposição não poderão fazer parte da mesma comissão. Sob essas condições, a quantidade de comissões distintas que pode ser constituída é igual a: a) 945 b) 500 c) 60 d) 810 e) O número de candidatos inscritos para realização do último vestibular de verão, em um determinado curso, corresponde ao número de anagramas da palavra VESTIBULAR que começam por VE e terminam por AR. Esse número é igual a: a) 10. b) 40. c) 360. d) 540. e) 70.. Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha. Disponível em: Acesso em: 14 dez. 01. O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por a) 10 6 b) 10 5 c) 4! 10 5! d) 4! 10 6!! e) 4! 10 5!! 3. Na figura a seguir, as linhas horizontais e verticais representam ruas e os quadrados representam quarteirões. A quantidade de trajetos de comprimento mínimo ligando A a B é: a) b) 6.70 c) 56 d) 10 e) 56 4

5 4. Genius era um brinquedo muito popular na década de 1980 (...). O brinquedo buscava estimular a memorização de cores e sons. Com formato semelhante a um OVNI, possuía 4 botões de cores distintas que emitiam sons harmônicos e se iluminavam em sequência. Cabia aos jogadores repetir o processo sem errar. Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. (Adaptado). 7. Uma família resolveu comprar um imóvel num bairro cujas ruas estão representadas na figura. As ruas com nomes de letras são paralelas entre si e perpendiculares às ruas identificadas com números. Todos os quarteirões são quadrados, com as mesmas medidas, e todas as ruas têm a mesma largura, permitindo caminhar somente nas direções vertical e horizontal. Desconsidere a largura das ruas. Considerando uma fase do jogo em que 3 luzes irão acender de forma aleatória e em sequência, podendo cada cor acender mais de uma vez. O número máximo de formas que essa sequência de 3 luzes poderá acender é: a) 1. b) 4. c) 36. d) 64. e) Se n é um número natural maior do que dois, ao n 1 ordenarmos o desenvolvimento de x + x segundo as potências decrescentes de x, verificamos que os coeficientes dos três primeiros termos estão em progressão aritmética. Nessas condições, o valor de n é a) 8. b) 6. c) 4. d) 10. e) No desenvolvimento de é a) 480. b) 30. c) 60. d) 180. e) x( x+ 1) o coeficiente de 3 x A família pretende que esse imóvel tenha a mesma distância de percurso até o local de trabalho da mãe, localizado na rua 6 com a rua E, o consultório do pai, na rua com a rua E, e a escola das crianças, na rua 4 com a rua A. Com base nesses dados, o imóvel que atende as pretensões da família deverá ser localizado no encontro das ruas a) 3 e C. b) 4 e C. c) 4 e D. d) 4 e E. e) 5 e C. 8. A medida do ângulo y na figura é: a) 6 b) 7 c) 108 d) 118 e) 154 5

6 9. A figura a seguir mostra um polígono regular de 14 lados e todas as suas diagonais: O número de diagonais traçadas é de a) 77. b) 79. c) 80. d) 98. e) Na figura a seguir, calcule o ângulo α. Dica: Use o resultado do ângulo externo de um triângulo. a) 30. b) 33. c) 37. d) 38. e) 4. 6

7 Gabarito: Resposta da questão 1: Basta determinar o número de combinações simples de 10 elementos tomados dois a dois. 10! C10, = = 45! 8! Resposta da questão : Calculando: 8! 8 7 6! A8, = = = 56 8! 6! ( ) Perceba que a ordem (diretor e vice) é importante, por isso usa-se arranjo. Resposta da questão 3: [B] O resultado corresponde ao número de arranjos simples de 5 5! objetos tomados 3 a 3, ou seja, A5, 3 = = 60.! Resposta da questão 4: Resposta da questão 6: Existem = 90000números de cinco algarismos. Destes, temos = números que não apresentam quaisquer dígitos consecutivos. Portanto, segue que o resultado é = Resposta da questão 7: 016 S = n! = n= 1 O último algarismo da soma acima é igual ao último algarismo da soma: = 33, já que a partir do fatorial de cinco todos os últimos algarismos valem zero. Portanto, o último algarismo da soma pedida é 3. Resposta da questão 8: [A] Aplicando o Teorema de Tales na figura, temos: A palavra CARAVELAS possui 5 consoantes e 4 vogais, a única configuração possível dos anagramas que apresenta as vogais e consoantes alternadas será dada abaixo, onde CO é uma consoante e VO é uma vogal. Temos então 5 consoantes distintas e 4 vogais com 3 repetidas. Logo, o número N de anagramas pedido será dado por: 3 4! N= P5 P4 = 5! = 480 3! Resposta da questão 5: d x 6 = 400 d = x d = d = 37,5 10 d = km 400 Resposta da questão 9: Desde que os losangos FGCE e ABCD são semelhantes, temos Permutando as mulheres nas cinco primeiras posições, temos: P5 = 5! = 10 Calculando todas as sequências de três homens possíveis, escolhidos em um total de 8, temos: = 336. (FGCE) 1 (ABCD) = = k, com k sendo a razão de semelhança. Por conseguinte, dado que AB FG 1 = FG = 3 cm. AB = 6cm, vem Portanto, o número de formas possíveis de fila que podem ser formadas e obedecendo a essas restrições são: P = =

8 Resposta da questão 10: Como 17 = , concluímos que o ângulo do triângulo com vértice no balão é reto. Aplicando o Teorema de Pitágoras em qualquer dos triângulos (todos são iguais) temos: hip = cat + cat 5 = 4 + x x = 9 x = 3m Somando todos os lados: AB + BC + CD + DE + EF + FG = = 1m Multiplicando 1,50 para obter o valor gasto temos: 1,50 = 5,50 reais. Resposta da questão 13: [B] Portanto, a altura h do balão desprezando a altura dos pesquisadores será dada por: 17 h = h = 10 h ; 7 km Resposta da questão 11: Admitindo que o ponto D, pertencente a hipotenusa, é o ponto mais próxima da ilha, situada no ponto A. Tracemos inicialmente o segmento TH perpendicular a hipotenusa PP. 3 Calculada a medida do segmento PP 13, temos: (P13 P ) = (4 3) (1 3) P13 P = 196 P13 P = 36 AC + 8 = 10 AC = 6 Calculando agora, a medida AD, temos: 10 AD = 6 8 AD = 4,8 Portanto, a menor distância do navio até a ilha, no lado de extremos B e C, será dada por AD = 4,8 km. Resposta da questão 1: Para obter a metragem deve-se calcular o valor dos lados AB = CD = EF = x. Observe estes lados são iguais do fato dos três triângulos serem semelhantes pelo caso lado, ângulo, lado. Desta forma, obtendo o valor x, através do Teorema de Pitágoras, e, somando os lados AB + BC + CD + DE + EF + FG teremos a metragem utilizada. Considerando que os triângulos PP 1 P 3e THP 3 são semelhantes, podemos escrever: = 36x = x = 4 x 1 3 Resposta da questão 14: Como o triângulo ABC é isósceles e o ângulo BAC ˆ = 10, os ângulos ABC ˆ = ACB ˆ = 30. Logo, como ABC ˆ = 30 e os segmentos DE e FG são perpendiculares à base BC, ou seja, formam um ângulo reto entre a base e os segmentos, o ângulo BDE ˆ oposto pelo vértice DE, também é reto e vale 90. Desta maneira, para obter o valor de x, deve-se somar todos ângulos do triângulo BDE : x+ BDE ˆ + EBD ˆ = 180 x = 180 x = 60. 8

9 Resposta da questão 15: [A] Ccorreia = x y = y = 60 πr y π π x = = x = cm π Ccorreia = Ccorreia = π cm 3 Resposta da questão 18: Nos triângulos assinalados na figura temos o seguinte sistema: d = 10 + (50 x) d = 0 + x Igualando as equações, temos: 0 + x = 10 + (50 x) x = x + x 100x = 00 x = Resposta da questão 16: [B] O arco de extremos C e B, determinado pelo ângulo x na circunferência, mede x. Portanto, x = 360 x = 40 x = 0 Resposta da questão 17: Conforme enunciado, pode-se escrever: Considerando n o número de voltas da engrenagem A e π 4 = 8π a distância percorrida por um de seus pontos quando esta engrenagem executa uma volta, temos: 3600 n 8π = 3600 n= n; 150 8π Resposta da questão 19: [A] Desde que o número de maneiras de escolher dois tenistas 10 10! quaisquer é =, e o número de modos de! 8! 4 4! escolher dois tenistas canhotos é =, tem-se que o!! 10! 4! resultado é dado por.! 8!!! Resposta da questão 0: Existem 6 7 6! 7! = = 55 3! 4! 3! 4! modos de formar uma comissão com vereadores da situação e 3 da oposição. Dentre essas possibilidades, 5 6 6! = 5 = 75 1! 4! apresentam os dois líderes. Logo, há = 450 maneiras para esse caso. Por outro lado, há 6 7 6! 7! = = ! 3!! 5! maneiras de formar uma comissão com 3 vereadores da situação e da oposição. Porém, nessas comissões estão incluídas 5 6 5! = 6 = 60 1! 3! 9

10 possibilidades nas quais os dois líderes figuram. Em consequência, há = 360 comissões possíveis. Portanto, pelo Princípio Aditivo, segue que a resposta é = 810. Resposta da questão 1: Permutando as letras S, T, I, B, U, L, temos, uma permutação simples: VE AR P6 = 6! = = 70 Resposta da questão : Existem = 10 maneiras de escolher os dois algarismos e 5 5 = 5 maneiras de escolher as letras. Definidos os caracteres da senha, podemos dispô-los de (, ) 4! P4 = modos. Portanto, pelo Princípio!! 4! Multiplicativo, segue que a resposta é 10 5.!! Resposta da questão 3: αβθ,,,... n! 5,3 8! Pn = P8 = = 56 α! β! θ!... 5!3! Resposta da questão 4: Pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é = 64. Resposta da questão 6: O termo geral de 10 x( x+ 1) é dado por 10 p 10 p 10 p p+ 1 Tp+ 1= x (x) 1 = x. p p Assim, temos p = e, portanto, a resposta é 10 10! = 4 = 180.! 8! Resposta da questão 7: Por simetria, o imóvel deverá estar sobre a mediatriz do segmento de reta que une o local de trabalho da mãe e o consultório do pai. Tal mediatriz corresponde à rua 4. Ademais, por inspeção, concluímos que a rua horizontal que cumpre a condição é a D. Resposta da questão 8: 3x 16 = x + 10 x = 6 ( ) y + x + 10 = 180 y = 180 y = 118 Resposta da questão 9: [A] O número d de diagonais de um polígono de 14 lados será dado pela seguinte relação: 14 ( 14 3) d = = 77 Resposta da questão 5: [A] O termo geral do desenvolvimento de as potências decrescentes de x, é n 1 x +, segundo x Resposta da questão 30: [B] Calculando: k n k 1 1 n n 3k k n T k+ 1= (x ) = x. k x k Assim, os coeficientes dos três primeiros termos são: 1, n e n(n 1). 8 Portanto, segue que n n (n 1) = 1+ n 9n+ 8= 0 n= 8. 8 No triângulo amarelo, tem-se: (180 4) + (180 30) + (180 x) = 360 x = 108 No triângulo azul, tem-se: (180 37) + (180 38) + (180 y) = 360 y = 105 No triângulo rosa, tem-se: ( ) + ( ) + α = 180 x = 33 10