RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

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1 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Questão 01. (G1 - ifal 018) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 1 cm. Determine o valor da medida do cateto maior sabendo que o cateto menor mede 5 cm. a) 6 cm. b) 8 cm. c) 10 cm. d) 11cm. e) 1 cm. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Considere o texto e a imagem a seguir para responder à(s) questão(ões) a seguir. Na figura, BAC e DEC são triângulos retângulos em  e Ê, com AB 15 cm, ED 10 cm e AE 0 cm. O ponto C pertence a AE e o ponto F pertence a r, que é reta suporte de DE. O ponto C pode mover-se ao longo de AE, e o ponto F pode mover-se ao longo de r, como mostra a figura. Questão 0. (Insper 018) A medida de BD, em centímetros, é igual a a) 5 5 b) 5 7 c) 6 6 d) 5 41 e) 18 Questão 0. (G1 - cp 017) Diferente dos balões comuns, os balões meteorológicos são produzidos com borracha natural usando um processo de rotomoldagem. Isso quer dizer que toda a superfície do balão apresenta a mesma espessura, evitando estouros prematuros. Fonte: Acesso em: 15 de maio de 016. Dois jovens pesquisadores, João e Diogo, decidiram lançar um único balão meteorológico para fazer um estudo. Após o lançamento, em um dado momento, João estava a 8 km do balão e Diogo a 15 km. Sabe-se que o balão subiu verticalmente durante todo o percurso e que a distância entre os pesquisadores naquele momento era de 17 km. Observe a figura abaixo, representativa da situação: A partir dessas condições, demonstra-se facilmente que BC CD será mínimo na circunstância em que o triângulo DCF é isósceles de base DF.

2 Desconsiderando a curvatura da Terra, pode-se afirmar que a altura aproximada desse balão era de a) 6 km. b) 6,5 km. c) 7 km. d) 7,5 km. Questão 04. (G1 - cftmg 017) Duas crianças, cada uma em um prédio diferente, brincam com canetas lasers nas janelas de seus apartamentos, apontando para um ponto na quadra situada entre os prédios. A criança do prédio A está a uma altura de 10 m, e a do prédio B, a uma altura de 0 m do chão. A distância entre os prédios é de 50 m. Em um determinado momento, os lasers das crianças atingem, simultaneamente, um ponto P do pátio equidistante das crianças, tal como na ilustração abaixo: A distância x, em metros, deste ponto até o prédio B é a). b). c) 5. d) 8. Questão 05. (G1 - cp 017) Pedrinho está brincando com duas moedas circulares com tamanhos diferentes e uma régua não graduada. Sabe-se que as moedas possuem raios iguais a 8 e 18 milímetros, respectivamente. Em certo momento ele posicionou as duas moedas tangentes à régua em dois pontos (A e B), e tangentes entre si, simultaneamente, conforme a figura a seguir: Nessas condições, o comprimento de AB seria igual a a) 6 mm. b) 4 mm. c) mm. d) 0 mm. Questão 06. (G1 - ifce 016) Um retângulo cujo comprimento excede a largura em m está inscrito em um círculo de 5m de raio. A área desse retângulo, em metros quadrados, vale a) 56. b) 5. c) 48. d) 50. e) 64. Questão 07. (G1 - ifpe 016) Um fio foi esticado entre as extremidades de duas torres de transmissão. Sabendo que a torre menor tem 16 m de altura, a torre maior tem 1m de altura e que a distância entre as duas torres é de 1 m, qual é o comprimento do fio? a) 1 m b) 5m

3 c) 7 m d) 1 m e) 10 m Questão 08. (G1 - ifce 016) Um triângulo retângulo tem catetos medindo 1 e. Se um quadrado for construído tendo como lado a hipotenusa desse triângulo, a diagonal do quadrado medirá a) 5. b) 5. c) 5. d) 10. e). Questão 09. (G1 - cps 016) As barragens são elementos fundamentais para as usinas hidrelétricas. x 1 1 x x x 5 Como procuramos uma medida, o valor será positivo, então x 5. Considere também, um segundo triângulo retângulo que tem como hipotenusa o talude de jusante e como catetos a altura e outra parte da base, com medida y. Após aplicar o Teorema de Pitágoras no segundo triângulo descrito, podemos concluir que a medida da base do trapézio é, em metros, a) 5. b) 9. c) 14. d) 4. e) 50. Questão 10. (Ita 016) Um triângulo está inscrito numa circunferência de raio 1cm. O seu maior lado mede cm. O trapézio ABCD da imagem é um modelo matemático que representa um corte vertical de uma barragem. Na imagem, a crista mede 10 metros, a altura mede 1 metros, o talude de montante mede 1 metros e o talude de jusante mede 15 metros. Para calcular a medida da base, podemos dividir a figura em outros polígonos, como triângulos. Assim, considere um primeiro triângulo retângulo que tem como hipotenusa o talude de montante e como catetos a altura e uma parte da base, com medida x. Aplicando o Teorema de Pitágoras nesse triângulo, temos: 1 e sua área é de cm. Então, o menor lado do triângulo, em cm, mede 1 a) 1. b). 1 c). d). 6 e). 6 Questão 11. (G1 - ifba 016) Um grupo de corredores de aventura se depara com o ponto A no topo de um despenhadeiro vertical (o ângulo C é reto), ponto este que já está previamente ligado ao ponto B por uma corda retilínea de 60 m, conforme a figura a seguir:

4 e) 16. Se a altura (AC 0 m) do despenhadeiro fosse a metade do que é, o comprimento da corda deveria ser igual a: a) 15 m. b) 0 m. c) 15 m. d) 1 15 m. e) 15 1 m. Questão 1. (G1 - ifce 016) Um retângulo inscrito em um círculo de raio 5 cm tem um dos lados medindo cm a mais que o outro. A área desse retângulo, em centímetros quadrados, é a) 0. b) 56. c) 48. d) 4. e) 40. Questão 14. (Mackenzie 016) A soma entre as medidas da altura e da base de um retângulo é de 14 cm. Se a diagonal mede 10 cm, então as medidas da altura e da base do retângulo são, respectivamente, a) cm e 1 cm b) 9 cm e 5 cm c) 10 cm e 4 cm d) 8 cm e 6 cm e) 11cm e cm Questão 15. (Unisinos 016) Na figura abaixo, temos um trapézio retângulo cujas bases medem 9 cm e 1 cm e cujo lado não perpendicular às bases mede 5 cm. Questão 1. (G1 - ifce 016) No triângulo ABC, C 90, AC 6 cm, BC 8 cm. Os pontos D e E estão sobre os lados AB e BC, respectivamente, e o ângulo BED 90. Se DE 4 cm, então BD mede a) 5. b) 15. c) 8. d) 0. Qual o perímetro, em trapézio? a) 6. b) 9. c) 0. d) 1. e) 48. cm, desse Questão 16. (Uece 015) As medidas das arestas de um paralelepípedo reto, em metros, são as raízes da equação x 5x 8x t 0, onde t é um número real. A medida da diagonal deste paralelepípedo é a) 6 m. b) 8 m. c) m.

5 d) 5 m. Questão 17. (G1 - cftmg 015) Na figura a seguir, os quadrados ABCD e DEFG possuem áreas iguais a 9 e 16m, respectivamente. O triângulo ADG é retângulo em D e λ é a circunferência cujo centro está no ponto O. A distância entre os centros de dois círculos não tangentes entre si é a) r. b) r. c) r. d) r. e) r. Questão 19. (Insper 015) Na figura, AD é um diâmetro da circunferência que contém o lado BC do quadrado sombreado, cujos vértices E e F pertencem à circunferência. Sabendo-se que a área de um círculo de raio r é π r, então o valor da área delimitada por λ, em m, é igual a a) 4,55π b) 5,76π c) 7,4π d) 9,0π Questão 18. (Ufrgs 015) Quatro círculos de raio r foram traçados de forma que sejam tangentes entre si dois a dois, como na figura abaixo. As distâncias entre os centros de dois círculos não tangentes entre si têm a mesma medida. Se a é a medida do segmento AB e a medida do lado do quadrado, então a é igual a a) 5. b) c) d). e) 5. Questão 0. (G1 - col. naval 015) Qual a medida da maior altura de um triângulo de lados, 4 e 5? é a) 1 5 b) c) 4 d) 5 e) 0

6 Questão 1. (G1 - ifsul 015) Considere a figura: A área da região hachurada, em cm, é a) (10π 100) 4 b) (50π 100) 4 c) (100π 100) 4 d) 50π 10 Questão. (Uece 015) No plano, as circunferências C 1 e C, cuja medida dos raios são respectivamente 4 cm e 1cm tangenciam-se exteriormente e são tangentes a uma reta r em pontos distintos. Uma terceira circunferência C, exterior a C 1 e a C, cuja medida do raio é menor do que 1cm tangencia a reta r e as circunferências C 1 e C. Nestas condições a medida do raio da circunferência C é a) 1 cm. b) 1 cm. c) 4 cm. 9 d) 5 cm. Questão. (Pucrs 015) Considere a figura e o texto abaixo. As medidas de comprimento e largura da tela de uma televisão, em geral, obedecem à proporção 16 : 9, sendo que o número de polegadas (1pol,5 cm) desse aparelho indica a medida da diagonal de sua tela. Considerando essas informações, as medidas do comprimento e da largura, em centímetros, de uma TV de polegadas, como mostra a figura acima, podem ser obtidas com a resolução do seguinte sistema: a) b) c) d) e) x 9 y 16 x y x 16 y 9 x y x 16 y 9 x y 104 x 9 y 16 x y 6400 x 16 y 9 x y 6400 Questão 4. (Unicamp 015) A figura a seguir exibe um pentágono com todos os lados de mesmo comprimento.

7 A medida do ângulo θ é igual a a) 105. b) 10. c) 15. d) 150. Questão 5. (Unicamp 014) O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a a),0 m. b),0 m. c) 1,5 m. d),5 m. Questão 6. (Ucs 014) Uma escada de 15 m, encostada em uma parede, fica estável quando a distância do chão ao seu topo é 5m maior que a distância da parede à base da escada. Nessa posição, qual é, em metros, aproximadamente, a altura que a escada alcança na parede, considerando que as bases da escada e da parede estão no mesmo nível? Use para o cálculo a aproximação log4,1 17. a) 7,80 b) 8,4 c) 10,00 d) 1,80 e) 1,40 Questão 7. (G1 - ifsc 014) Todos os anos, no mês de Setembro, comemora-se a Independência do Brasil. Durante uma semana, muitas Instituições exibem a Bandeira do Brasil como forma de homenagear a Pátria. A maioria dos brasileiros desconhece que a fabricação da Bandeira Nacional obedece a rígidos critérios em relação às dimensões das figuras geométricas (retângulo, losango e círculo), das letras e das estrelas. Considere que as diagonais maior e menor do losango amarelo da Bandeira do Brasil medem 16 dm e 1 dm, respectivamente. Então é CORRETO afirmar que a linha que delimita a parte amarela mede: a) 40 dm b) 8 dm c) 0 dm d) 48 dm e) 96 dm Questão 8. (Cefet MG 014) A figura abaixo tem as seguintes características: - o ângulo Ê é reto; - o segmento de reta AE é paralelo ao segmento BD; - os segmentos AE, BD e DE, medem, respectivamente, 5, 4 e.

8 b) 60. c) 90. d) 10. e) 150. O segmento AC, em unidades de comprimento, mede a) 8. b) 1. c) 1. d) 61. e) Questão 9. (Unifor 014) Os pneus de uma bicicleta têm raio R e seus centros distam R. Além disso, a reta t passa por P e é tangente à circunferência do pneu, formando um ângulo α com a reta s que liga os dois centros. Questão 1. (G1 - ifpe 014) Para determinar a largura L de um rio de margens paralelas, sem precisar atravessá-lo, um topógrafo utilizou o seguinte procedimento: - a partir de um ponto B na margem em que se encontrava, avistou um ponto A na margem oposta, de modo que o segmento AB fosse perpendicular às margens (observe a figura); - deslocou-se 100 metros perpendicularmente a AB até o ponto C; - do ponto C, determinou a medida do ângulo BCA, obtendo 60. Adotando 1,7, qual o valor aproximado encontrado para L, em metros? Pode-se concluir que cos α a) b) c) d) e) Questão 0. (G1 - ifsp 014) Ao ligar, por segmentos de retas, os pontos médios dos lados de um quadrado de lado 60 cm, obtém-se um quadrilátero, cujo perímetro é, em centímetros, a) 0. a) 15 b) 158 c) 16 d) 168 e) 17 Questão. (G1 - ifal 014) Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é a e um dos catetos a. Se o outro cateto vale 18, quanto vale a? a) 0 b) c) 4 d) 7 e) 0

9 Gabarito: Resposta da questão 1: [E] Considere a situação: Resposta da questão : [C] Como , concluímos que o ângulo do triângulo com vértice no balão é reto. Aplicando o Teorema de Pitágoras temos: hip cat cat 1 5 cat cat cat 144 cat 144 cat 1 cm Portanto, a altura h do balão desprezando a altura dos pesquisadores será dada por: 17 h h 10 h 7 km Resposta da questão 4: [A] Resposta da questão : [B] Considere a figura, em que D' é o pé da perpendicular conduzida por D sobre AB. Portanto, sendo D'B cm e D'D AE, pelo Teorema de Pitágoras, vem BD D'B D'D BD 5 0 BD 5 7 cm. Nos triângulos assinalados na figura temos o seguinte sistema: d 10 (50 x) d 0 x Igualando as equações, temos: 0 x 10 (50 x) 400 x x x 100x 00 x Resposta da questão 5: [B]

10 Considere a ilustração a seguir: Considerando que D e C são os centros das circunferências de raios 8 e 18, respectivamente, tracemos por um uma reta paralela ao segmento de extremos A e B de modo que ela intercepte o segmento CB no ponto E. como mostrado na figura acima. Para determinarmos a medida AB bastar determinarmos a medida DE, pois DE AB. Para isto devemos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo CDE. DE 10 6 DE 576 DE 4mm Resposta da questão 6: [C] Logo, aplicando teorema de Pitágoras, temos: d (5) (1) d d 1m Resposta da questão 8: [D] De acordo com as informações do enunciado e considerando d a medida pedida, construímos a seguinte figura: Teremos: r x x 10 x x 100 x x 4x 4 x 4x 96 0 x 8 (não convém) x 4x 96 0 x x 48 0 x 6 Sretângulo Resposta da questão 7: [A] No triângulo ABC, temos: a 1 a 5 No triângulo BDC, temos: d a a d a d 5 d 10 Resposta da questão 9: [D] De acordo com o problema, temos a seguinte figura:

11 Da segunda equação escrevemos que: y x Substituindo o resultado acima na primeira equação, encontramos: 4 x 4x 0 Resolvendo a equação e determinando o valor de y, encontramos: x y O valor de y será calculado aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo de hipotenusa BC. y 1 15 y 81 y 9 Como y é uma medida de comprimento, temos y 9. Portanto, a medida da base DC será dada por: DC m. Resposta da questão 10: [B] Como a medida do lado maior é igual a medida do diâmetro (cm), podemos afirmar que este triângulo é retângulo de catetos x e y. ou x y Portanto, o menor cateto do triângulo é. Resposta da questão 11: [E] Utilizando o Teorema de Pitágoras, tem-se: 60 0 BC BC 700 BC 0 A 'B A 'B 95 A 'B 1 Resposta da questão 1: [C] Temos, então o seguinte sistema. x y 4 x y 1 Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo assinalado, temos:

12 (x ) x 10 x 4 x 4 x 100 x 4 x 96 0 x x x 1 14 x x 6 ou x 8 (não convém) x 6 x 8 Portanto, a área A do retângulo, em cm, será dada por: A cm. Resposta da questão 1: [D] De acordo com as informações do enunciado, podemos escrever: x y 14 y 14 x x y 10 x y 10 Substituindo a primeira equação na segunda, temos: x (14 x) 10 x 14x 48 0 x 6 ou x 8 Se x 6, temos y 8. Se x 8, temos y 6. Portanto, a única alternativa correta é a [D]. Resposta da questão 15: [C] Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de A sobre CD. No triângulo ABC, temos: AB 6 8 AB 10 Os triângulos BDE e BAC são semelhantes, logo: BD BD BD cm Resposta da questão 14: [D] Tem-se que AB CH 9 cm. Logo, vem DH CD CH cm. Portanto, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo ADH, concluímos que AH BC 4 cm.

13 A resposta é AB BC CD DA cm. Resposta da questão 16: [C] Sendo c, p e h as arestas do paralelepípedo em questão, pode-se deduzir, conforme figura a seguir, utilizando o Teorema de Pitágoras: y c p y c p d y h c p h d c p h c p h 9 c p h, logo d Resposta da questão 17: [B] Lado do quadrado ABCD: AD 9 cm Lado do quadrado DEFG: DG 16 4cm Considerando o segmento DO como altura do triângulo, temos: AG 4 AG 5cm DO 5 4 DO,4cm (raio da circunferência) Portanto, a área do círculo de centro O e raio DO,4cm será dada por: A π(,4) 5,76πcm Resposta da questão 18: [D] Sabendo que c, p e h são raízes da equação x 5x 8x t 0 pode-se deduzir, utilizando as relações de Girard: 5 c p h cp ph ch 8 1 t cph t 1 Se desenvolvermos a expressão (c p h), tem-se: (c p h) c p h (cp ph ch) Substituindo os valores encontrados pelas relações de Girard: (5) c p h (8) c p h 9 A distância d pedida é a medida da diagonal de um quadrado de lado r. Portanto, d r. Resposta da questão 19: [C] Considere a figura, em que O é o centro da circunferência. Logo, se a diagonal d é definida pela expressão d c p h, pode deduzir que:

14 Resposta da questão 1: [B] Tem-se que o triângulo ADE é retângulo em E e OB. Daí, segue que OE a e, portanto, pelo Teorema de Pitágoras, vem OE BE BO a 5 1. a Resposta da questão 0: [C] O triângulo com lados, 4 e 5 é retângulo, pois 4 5. A altura, relativa ao lado de medida 4, mede. A altura, relativa ao lado de medida, mede 4. A altura, relativa ao lado de medida 5, mede h, que será calculado abaixo: A figura apresenta um arco de circunferência com um quadrado inscrito e um triângulo retângulo em um de seus lados. O lado do quadrado é igual a hipotenusa do triângulo. Pelo Teorema de Pitágoras: Pelos conhecimentos em geometria plana, pode-se deduzir que a diagonal do quadrado será igual ao diâmetro do semicírculo, e o raio R do mesmo é igual a duas vezes seu diâmetro, logo: R R 10 R 5 A área hachurada S será igual a três quartos da área da circunferência C menos a área do quadrado Q. Aplicando-se as fórmulas, tem-se: π π π S (C Q) R 5 10 S Resposta da questão : [C] Pelo enunciado, pode-se desenhar as circunferências e a reta como segue: 5h 4 h,4 Portanto, a maior altura do triângulo mede 4. Considerando o raio de C 1 como R 4 cm, o raio de C como r 1cm e o raio de C como x (o qual pretende-se

15 encontrar), podemos deduzir algumas relações, conforme figura a seguir: R r AB R r 5 AB AB 4 cm R x 4 AE R x 4 x 4 AE 4 x 16 8x x 16 8 AE AE 16 8x x 16x 16 8 AE AE Sendo que AE 4x, então 4 AE 16x, logo: 4 AE 16 8 AE AE AE 8 AE ( 16) AE AE 4 ou AE Sabendo-se a medida do segmento AB, pode-se deduzir outras relações, conforme figura a seguir: Um comprimento de reta negativo é impossível, logo a única raiz possível para a equação é AE 4. Assim, substituindo o valor de AE na relação AE 4x, obtêm-se o valor de x em centímetros, ou seja, o raio da circunferência C : AE 4x 4x 4x x cm 9 9 Resposta da questão : [E] Analisando o triângulo retângulo menor da figura: r x AE r x 1 x AE 1 x x y (,5) 1 x x AE 1 x x AE 4x x 16 y 9 x y 6400 Analisando o triângulo retângulo maior da figura: Aplicando o Teorema de Pitágoras e a utilizando a proporção dada no enunciado, pode-se montar o seguinte sistema: Resposta da questão 4: [B]

16 Considere o pentágono equilátero ABCDE de lado da figura. 1 r 4r 5r 6 r. Portanto, a área do triângulo é igual a r 4r 1 6 1,5 m. Resposta da questão 6: [D] É fácil ver que o triângulo CDE é isósceles, com CD ED. Sabendo que BAE 90, tem-se que o triângulo ABE é retângulo isósceles, com BE. Em consequência, sendo ABC 15, concluímos que o triângulo ABC é retângulo em B. Agora, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo BCE, encontramos CE. Finalmente, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo CDE, vem 1 ( ) cosθ cosθ θ 10. Resposta da questão 5: [C] Sejam x, x r e x r as medidas, em metros, dos lados do triângulo, com x, r 0. Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos x r. Logo, os lados do triângulo medem r, 4r e 5r. Se x é a altura que a escada alcança na parede, então, pelo Teorema de Pitágoras, vem x (x 5) 15 x 5x x 4 5 x (1 17). Sendo α 17 e tomando log4,1 17, encontramos 1 1 log4,1 α log4,1 17 log4,1 α log4,1 17 log4,1 α 1 α 4,1. Portanto, 5 x (1 4,1) 1,80 m. Resposta da questão 7: [A] Observe que desejamos obter o perímetro do losango. Logo, sabendo das medidas de suas diagonais, temos que: Sabendo que o perímetro do triângulo mede 6,0 m, vem

17 Aplicando teorema de Pitágoras obteremos o lado x: x 6 8 x 6 64 x 100 x 10 dm Obtendo o perímetro temos que: Perímetro dm Resposta da questão 8: [E] AP AB PB (R) R PB PB R. Em consequência, temos PB R cosα cosα AP R cos α. Resposta da questão 0: [D] Desde que os triângulos ACE e BCD são semelhantes por AA, vem CD BD CD 4 CE AE CD 5 CD 1. Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ACE, encontramos AC AE CE AC 5 15 AC Resposta da questão 9: [D] Gabarito Oficial: [E] Gabarito SuperPro : [D] Considere a figura. x 0 0 x 1800 x 0 Logo, o perímetro P será dado por: P 4 0 P 10 cm. Resposta da questão 1: [E] Basta aplicar a tangente do ângulo 60 : cateto oposto L tg(60 ) L 100 1,7 17 m cateto adjacente 100 Sabendo que AP R Teorema de Pitágoras, vem e AB R, do Resposta da questão : [D] Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:

18 hip cat cat (a ) (a ) 18 a 6a 9 a 6a 9 4 1a 4 a 7

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