Vibrações Não Lineares e Estabilidade de Barras Esbeltas de Seção Aberta

Transcrição

1 Renzo Cayo Mancilla Vibrações Não Lineares e Estabilidade de Barras Esbeltas de Seção Aberta Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós- Graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio. Orientador: Prof. Paulo Batista Gonçalves Co-orientador: Prof. Eulher Chaves Carvalho Rio de Janeiro Junho de 2014

2 Renzo Cayo Mancilla Vibrações Não Lineares e Estabilidade de Barras Esbeltas de Seção Aberta Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós- Graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil do Centro Técnico Científico da PUC- Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada. Prof. Paulo Batista Gonçalves Orientador Departamento em Engenharia Civil PUC-Rio Prof. Eulher Chaves Carvalho Co-orientador Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Goiás Profª. Deane Mesquita Roehl Departamento em Engenharia Civil PUC-Rio Prof. Raul Rosas e Silva Departamento em Engenharia Civil PUC-Rio Prof. Ney Roitman Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. José Eugenio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico PUC-Rio Rio de Janeiro, 27 Junho de 2014

3 Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador. Renzo Cayo Mancilla Graduou-se em Engenharia Civil na Universidade Nacional San Antonio Abad del Cusco, UNSAAC (Cusco - Peru), em Janeiro de Ingressou em março de 2012 no curso de Mestrado em Engenharia Civil da Pontifícia Universidade Católica de Rio de Janeiro (PUC-Rio), na área de Estruturas. Já desenvolveu trabalhos na área de projetos de estruturas e, mais recentemente, na área de dinâmica das estruturas, abrangendo nesta última os temas de estabilidade e dinâmica de colunas e vigas com seções não simétricas. Renzo Cayo Mancilla. Ficha Catalográfica Vibrações Não Lineares e Estabilidade de Barras Esbeltas de Seção Aberta/ Renzo Cayo Mancilla; orientadores: Paulo Batista Gonçalves, Eulher Chaves Carvalho f. il. (color.); 30 cm Dissertação (Mestrado) Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil, Inclui bibliografia 1. Engenharia Civil Teses. 2. Acoplamento flexotorção. 3. Perfis de seção aberta. 4. Vibrações não lineares. 5. Instabilidade I. Gonçalves, Paulo Batista. II. Carvalho, Eulher Chaves. III. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV. Título. CDD: 624

4 Dedico a: Meus Pais Mateo e Asunta

5 Agradecimentos A Deus pelas oportunidades que colocou na minha vida, ao minha família pelo amor, educação e exemplo que me oferecem todos os dias. Ao professor Paulo Batista Gonçalves, quem soube transmitir com paciência e dedicação cada passo da orientação e tornou-se um símbolo como profissional e amigo. Ao meu Co-orientador, Professor Eulher Chaves Carvalho, pela orientação e esclarecimento de muitas dúvidas que ajudaram no desenvolvimento da dissertação. Aos professores que participaram da comissão examinadora. A instituição PUC-Rio. Aos professores e funcionários do Departamento de Engenharia Civil. Aos amigos (as) que fiz na PUC-Rio. Ao CNPq e CAPES.

6 Resumo Renzo Cayo Mancilla; Gonçalves, Paulo Batista (Orientador); Carvalho, Eulher Chaves (Co-orientador), Vibrações Não Lineares e Estabilidade de Barras Esbeltas de Seção Aberta. Rio de Janeiro, p. Dissertação de Mestrado Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Em virtude de sua eficiência, elementos estruturais de paredes finas com seções abertas são comuns em estruturas de aço, sendo secção em I, L, C e T usuais na prática de engenharia. A maior parte das vigas de parede fina tem uma boa resistência à flexão em relação ao eixo principal de inércia, mas uma baixa rigidez à flexão em relação ao eixo de menor inércia e uma baixa rigidez em torção. É por isso que estes elementos apresentam em geral uma instabilidade que leva a um acoplamento de flexo-torção. Muitas destas estruturas trabalham em um regime não linear e uma formulação não linear que leve em conta grandes deslocamentos e os acoplamentos inerentes é necessária. Neste trabalho um modelo não linear para vigas de seção aberta e paredes finas, considerando grandes deslocamentos, os efeitos de encurtamento e acoplamentos em flexão e torção é adotado. Inicialmente um estudo das frequências naturais, das cargas críticas e da relação frequência-carga axial é apresentado para diversos perfis. Com base nestes resultados, faz-se um estudo detalhado do comportamento dinâmico não linear destes perfis destacando o efeito do acoplamento não linear na região de ressonância e sua influência na estabilidade dinâmica da estrutura. Para isto são usadas diversas ferramentas de dinâmica não linear, tais como diagramas de bifurcação, respostas no tempo e plano de fase e bacias de atração. Os resultados mostram que a consideração dos acoplamentos não lineares é essencial para se avaliar o nível de segurança destas estruturas. Palavras-chave Acoplamento flexo-torção; perfis de seção aberta; vibrações não lineares; instabilidade.

7 Abstrac Renzo Cayo Mancilla; Gonçalves, Paulo Batista (Advisor); Carvalho, Eulher Chaves (Co-advisor), Nonlinear Vibrations and Stability of Slender Bars with Open Cross-Section. Rio de Janeiro, p. M.Sc. Dissertation Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Due to its efficiency, thin-walled structural elements with open sections, such as I, L, C and Z profiles, are common in steel structures, being usual in engineering applications. Most thin-walled beams have a good flexural strength around of the principal axis of inertia, but a low one around the axis of lower inertia as well as low torsional stiffness. That is why these elements, generally, show instabilities that lead to flexural torsional coupling. Many of these structures do not work in a linear range and a non-linear formulation that takes into account large displacements and associated couplings is required. This dissertation presents a nonlinear model for extensional beams with thin-walled open section, considering large displacements, and flexural-torsional couplings. Initially a study of the natural frequencies, critical load and axial load vs. frequency relation is presented for different profile kinds. Based on these results, a detailed study of the dynamic behavior of non-linear profiles is made, highlighting the effect of non-linear coupling in the resonance region and its influence on the dynamic stability of the structure. For this, various tools of nonlinear dynamics are used, such as bifurcation diagrams, time histories and phase-space portraits and basins of attraction. The results show that the consideration of non-linear couplings is essential to availed the safety level of these structures. Keywords Flexural-torsional coupling; bars with open cross-sections; nonlinear vibrations; instabilities.

8 Sumário 1. INTRODUÇÃO Considerações gerais Breve histórico bibliográfico Objetivos Escopo FLEXO-TORÇÃO EM PERFIS DE SEÇÃO ABERTA E PAREDE DELGADA Perfis de seção aberta e paredes delgadas Centro de Cisalhamento de uma seção transversal Centro de cisalhamento para seções com dois eixos de simetria Centro de cisalhamento para seções com um eixo de simetria Centro de cisalhamento para seções transversais assimétricas Área Setorial Torção de perfis de seção aberta e paredes delgadas FORMULAÇÃO MATEMÁTICA PARA ANÁLISE NÃO LINEAR Elementos de seção transversal aberta de parede delgada Campo de deslocamentos Campo de deformações Formulação variacional Variação da energia interna de deformação Variação do trabalho das cargas externas Variação da energia cinética Relações constitutivas Equações de movimento FREQUÊNCIAS NATURAIS E CARGAS CRÍTICAS Aplicação do método de Galerkin Linearização das equações de movimento Frequências naturais e cargas críticas axiais da viga. 57

9 4.4. Análise numérica de vários tipos de perfis Seção duplamente simétrica - perfil I Seção monosimétrica - perfil T Seção monosimétrica - perfil C Seção monosimétrica - perfil L Seção assimétrica - perfil L ANÁLISE NÃO LINEAR Equações de movimento para o perfil monosimétrico C Vibração livre Vibração Forçada: carregamento Q y Vibração forçada: carregamento Q z aplicado no centro de cisalhamento Vibração forçada: carregamento Q z aplicado no centro de gravidade Vibração forçada: carregamento Q z aplicado na mesa superior do perfil CONCLUSÕES E SUGESTÕES Conclusões Sugestões REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 133

10 Lista de figuras Figura 1.1: Aplicação dos perfis de seção aberta e paredes delgadas na engenharia estrutural. 21 Figura 1.2: Exemplos da aplicação dos perfis na engenharia estrutural. 23 Figura 2.1: Perfil de seção aberta e parede delgada. 28 Figura 2.2: Representação do esforço solicitante cortante (V) na barra. 30 Figura 2.3: Resultante das tensões de cisalhamento perfil bissimétrico. 30 Figura 2.4: Resultante das tensões de cisalhamento perfil monossimetrico T. 31 Figura 2.5: Resultante das tensões de cisalhamento perfil monossimetrico C. 33 Figura 2.6: Distribuição de tensões de cisalhamento em seção de parede delgada. 34 Figura 2.7: Seção transversal aberta assimétrica genérica de parede delgada. 34 Figura 2.8: Representação esquemática do raio vetor r. 36 Figura 2.9: Planos de carregamento fictícios paralelos as direções z e y.38 Figura 2.10: Representação da área setorial. 39 Figura 2.11: Relação da área setorial com a geométrica. 39 Figura 2.12: Torção de perfis de seção aberta e parede delgada. 40 Figura 3.1: Elemento de seção transversal aberta. Sistema de referência e notação. 43 Figura 3.2 : Componentes do deslocamento do centro de cisalhamento. 43 Figura 3.3: Eixo normal e tangencial do contorno da seção. 44 Figura 3.4: Forças resultantes na seção. 48 Figura 3.5: Componentes de carga aplicada à barra. 49 Figura 3.6: Deslocamento vertical do ponto M gerado por Q z. 50 Figura 4.1: Perfil simétrico I e suas dimensões características. 60 Figura 4.2: Relação carga frequência de vibração da Seção I. 63 Figura 4.3: Relação carga comprimento (a) e Relação frequência natural comprimento (b) da viga de Seção I. 63 Figura 4.4: Perfil monossimétrico T e suas dimensões características. 64

11 Figura 4.5: Relação carga frequência de vibração da Seção T. 66 Figura 4.6: Relação carga comprimento (a) e Relação frequência natural comprimento (b) da viga de Seção T. 67 Figura 4.7: Perfil monossimétrico C e suas dimensões características. 67 Figura 4.8: Relação carga frequência de vibração da Seção C. 69 Figura 4.9: Relação carga comprimento (a) e Relação frequência natural comprimento (b) da viga de Seção C. 69 Figura 4.10: Perfil monosimétrico L e suas dimensões características. 70 Figura 4.11: Relação carga frequência de vibração da Seção monosimetrica L. 72 Figura 4.12: Relação carga comprimento (a) e Relação frequência natural comprimento (b) da viga de Seção monosimetrica L. 73 Figura 4.13: Perfil assimétrico L e suas dimensões características. 73 Figura 5.1: Resposta no tempo e espectro de frequência para o sistema autônomo não amortecido. 79 Figura 5.2: Variação da frequência devido a não linearidade geométrica. 80 Figura 5.3: Perfil monosimétrico C e aplicação da força excitadora Q y no centro de cisalhamento. 80 Figura 5.4: Diagramas de bifurcação considerando o sistema de 3GDL com frequência de excitação Ω y variando entre 92 e 112 rad/s, para um Q y = 1kN/m. 82 Figura 5.5: Diagrama de bifurcação, resposta no tempo, plano fase e bacia de atração e espectro de frequência, para o sistema de 3GDL com ξ=0.32%. e Qy = 1kN/m. 83 Figura 5.6: Diagrama de bifurcação para a direção v 0 com Q y = 1kN/m e uma frequência de excitação Ω y variando entre 92 e 112 rad/s, para o sistema com 1GDL. 84 Figura 5.7: Diagramas de bifurcação para a direção v o com Ω y = 90, e 104 rad/s, ξ = 1,22% e Qy=1 e 50 kn/m. 85 Figura 5.8: Diagrama de bifurcação para o modelo com 3 GDL e respostas no tempo, planos fase, bacia de tração e espectros de frequência para Ω y = rad/s, ξ = 0.32% e Q y =1,035 kn/m. 87 Figura 5.9: Diagrama de bifurcação para a direção v 0 com Ω y = rad/s, ξ = 0.32% e magnitude da excitação Q y variando entre 940 e 1060 N/m. 87

12 Figura 5.10: Perfil monosimétrico C e aplicação da forca excitadora. 88 Figura 5.11 : Diagramas de bifurcação variando a frequência Ω z e a magnitude de excitação Q z com ξ = 1.22% para a direção v o, w o e θ o. 91 Figura 5.12: Fronteira de estabilidade no espaço de controle da carga. Excitação aplicada na direção Z com frequência, variando entre Ω z = 15 e 300 rad/s. e ξ=1.22%. 92 Figura 5.13: Resposta no tempo do sistema, resposta na fase permanente, espaço fase e seção de Poincare para as direções v o, w o, θ o com Ωz=100.0 rad/s e ξ=1.22% e uma magnitude de excitação Q z =6 kn/m. 93 Figura 5.14: Espectros de frequência na direção v o w o e θ o. 93 Figura 5.15 : Diagrama de bifurcação com as três seções analisadas. 94 Figura 5.16: Resposta no tempo, plano fase e seção de Poincaré para a seção 1, com Ω z =105 rad/s, Q z = 20,053 kn/m e ξ=1.22%. 94 Figura 5.17: Resposta no tempo, plano fase e seção de Poincaré para a seção 2, com Ω z =105 rad/s, Q z = 30 kn/m e ξ=1.22%. 95 Figura 5.18: Diagrama de bifurcação, resposta no tempo, plano fase e bacia de atração para o sistema, com Ω z = 105 rad/s, Q z = 34,5 kn/m e ξ = 1.22% na direção v o. 96 Figura 5.19: Diagrama de bifurcação, resposta no tempo e plano fase para o sistema, com Ω z = 105 rad/s, Q z = 34,5 kn/m e ξ = 1.22% na direção w o. 97 Figura 5.20: Diagrama de bifurcação, resposta no tempo e plano fase para o sistema, com Ω z = 105 rad/s, Q z = 34,5 kn/m e ξ = 1.22% na direção θ o. 97 Figura 5.21: Detalhes do diagrama de bifurcações apresentado na Figura 5.14 (y) para a direção v o. 98 Figura 5.22: Diagrama de bifurcação com as duas seções. 99 Figura 5.23: Resposta no tempo, plano fase e seção de Poincaré para a seção 1, com Ω z =110 rad/s, Q z = 21,45 kn/m e ξ=1.22%. 99 Figura 5.24: Diagrama de bifurcação, resposta no tempo, plano fase e bacia de atração para o sistema, com Ω z =110 rad/s, Q z = 21,5 kn/m e ξ=1.22%. 100 Figura 5.25: Diagramas de bifurcação variando a frequência de excitação Ω z, para diferentes magnitudes de excitação Q z nas direções v o, w o e θ o com ξ=1.22%. 102

13 Figura 5.26: Perfil monosimétrico C e aplicação da forca excitadora no centro de gravidade. 102 Figura 5.27: Diagramas de bifurcação variando a frequência Ω z e a magnitude de excitação Q z com ξ = 1.22% para a direção v o, w o e θ o. 104 Figura 5.28: Resposta no tempo do sistema, resposta na fase permanente, espaço fase, seção de Poincaré e espectros de frequência para as componentes v o, w o, θ o com Ωz = rad/s e ξ = 1.22% e uma magnitude de excitação Q z = 21,750 kn/m. 106 Figura 5.29: Resposta no tempo, plano de fase e seção de Poincare para a direção v o, com Ω z = 105 rad/s, Q z = 20,024 kn/m e ξ=1.22%. 107 Figura 5.30: Resposta no tempo, plano de fase e seção de Poincare para a direção v o, com Ω z =110 rad/s, Q z = 21,503 kn/m e ξ=1.22%. 107 Figura 5.31: Fronteira de estabilidade no espaço de controle da carga. Excitação aplicada na direção Z com frequência variando entre Ω z = 15 e 300 rad/s. e ξ = 1.22%. 108 Figura 5.32: influência da excentricidade na direção Y na fronteira de estabilidade. 109 Figura 5.33: Perfil monosimétrico C e aplicação da forca excitadora no espaço. 109 Figura 5.34: Diagrama de bifurcações, para a direção v o com frequência variando entre 15 e 160 rad/s e ξ = 1,22%. 111 Figura 5.35: Diagrama de bifurcações para a direção v o, com amplitude Q z = 20.kN e frequências variável. 112 Figura 5.36: Diagrama de bifurcações, para a direção v o, com amplitude Q z = 7.5 kn e frequências variável. 113 Figura 5.37: Seção v 0 versus w 0 da bacia de atração. 113 Figura 5.38: Solução estável não planar do sistema para Q z = 7,5 kn e Ω z = 50 rad/s. 114 Figura 5.39: Diagrama de bifurcações, para a direção v o com Q z = 10 kn. 114 Figura 5.40: Soluções estáveis identificadas quando Ω z = rad/s. 115 Figura 5.41: Seção da bacia de atração quando Ω z = 100,318 rad/s. 115 Figura 5.42: Diagrama de bifurcações, para a direção v o com Q z = 15 kn. 116 Figura 5.43: Soluções estáveis identificadas para Q z = 15 kn. 117

14 Figura 5.44: Seção da bacia de atração para Ω z = 100,234 rad/s e Q z = 15 kn. 118 Figura 5.45: Diagrama de bifurcações, para a direção v o com Q z = 12,5 kn. 118 Figura 5.46: Seção da bacia de atração quando Ω z = 95 rad/s e Q z = 10 kn. 119 Figura 5.47: Detalhes do diagrama de bifurcações apresentado na Figura 5.41(a). 120 Figura 5.48: Detalhes do diagrama de bifurcações apresentado na Figura 5.30(n) 120 Figura 5.49: Projeções da resposta no tempo, plano de fase e mapa de Poincaré, considerando Q z = 16,89 kn. 121 Figura 5.50: Projeções da resposta no tempo, plano de fase e mapa de Poincaré, considerando Q z = 17 kn. 122 Figura 5.51: Projeções da resposta no tempo, plano de fase e mapa de Poincaré, considerando Q z = 17,08 kn. 123 Figura 5.52: Projeções da resposta no tempo, plano de fase e mapa de Poincaré, considerando Q z = 17,225 kn. 124 Figura 5.53: Projeções da resposta no tempo, plano de fase e mapa de Poincaré, considerando Q z = 17,23 kn. 124 Figura 5.54: Projeções da resposta no tempo, plano de fase e mapa de Poincaré, considerando Q z = 17,235 kn. 125 Figura 5.55: Projeções da resposta no tempo, plano de fase e mapa de Poincaré, considerando Q z = 17,244 kn. 126 Figura 5.56: Projeções da resposta no tempo, plano de fase e mapa de Poincaré, considerando Ω z = 137,80 rad/s. 127 Figura 5.57: Projeções da resposta no tempo, plano de fase e mapa de Poincaré, considerando Ω z = 139,80 rad/s. 128 Figura 5.58: Projeções da resposta no tempo, plano de fase e mapa de Poincaré, considerando Ω z = 142,03 rad/s. 129

15 Lista de tabelas Tabela 4.1: Propriedades geométricas da seção I. 60 Tabela 4.2: Frequências naturais (rad/s) e modos de vibração da seção I. 61 Tabela 4.3: Cargas de modos de bifurcação da seção I. 62 Tabela 4.4: Propriedades geométricas da Seção T. 64 Tabela 4.5: Modos de vibração da seção T. 65 Tabela 4.6: Modos de Flambagem da seção T. 66 Tabela 4.7: Propriedades geométricas da Seção C. 68 Tabela 4.8: Frequências naturais e modos de vibração da seção C. 68 Tabela 4.9: Cargas e modos de bifurcação da seção C. 69 Tabela 4.10: Propriedades geométricas da Seção monosimétrica L. 70 Tabela 4.11: Propriedades geométricas principais da Seção monosimétrica L. 71 Tabela 4.12: Frequências naturais e modos de vibração da seção monosimétrica "L". 72 Tabela 4.13: Cargas e modos de bifurcação da seção monosimétrica L. 72 Tabela 4.14: Propriedades geométricas da Seção assimétrica L. 74 Tabela 4.15: Propriedades geométricas principais da seção assimétrica L. 74 Tabela 4.16: Modos de vibração da seção assimétrica L. 75 Tabela 4.17: Modos de Flambagem da seção assimétrica L. 75

16 Lista de símbolos X,Y,Z -Eixos principais L -Comprimento do elemento. S t t -Perímetro da seção. -Espessura da seção. V, V y, V z -Esforços cortantes. T -Momento de torção τ, τ1, τ2 -Tensão de cisalhamento. A -Área da seção transversal. F, F v -Resultante da força externa. G -Centro de gravidade. C -Centro de cisalhamento. I, T, C, L -Seções do perfil. o -Ponto acima da linha média da seção. M o -Momento com respeito ao ponto o. M s I -Momento estático. -Momento de inércia. s1, s2 -Pontos da coordenada curvilínea. d -Distância de C ao ponto o. XY, XZ -Planos paralelos. M c r ds T t T e B ω E G ν -Momento no centro de cisalhamento. -Raio vetor. -Diferencial de comprimento. -Momento torsor devido à torção. -Momento torsor devido ao empenamento. -Bi momento. -Módulo de Young. -Módulo de distorção. -Coeficiente de Poisson.

17 h(s) -Distância perpendicular desde o centro de cisalhamento até o contorno da seção. r(s) -Componente curvilíneo do centro de cisalhamento nas coordenadas de referência. I o I R I t -Momento polar de inércia com relação ao centro de cisalhamento. -Quarto momento de inércia com relação ao centro de cisalhamento. -Constante de torção de maior ordem. I y -Momento principal de inércia com relação ao eixo Y. I z -Momento principal de inércia com relação ao eixo Z. I ω J -Constante de empenamento. -Constante de torça-o de St Venant. K y -Curvatura com relação ao eixo Y. K z -Curvatura com relação ao eixo Z. M x m x -Momento. -Momento de torção distribuído. M y -Momento de torção com relação ao eixo Y. M z -Momento de torção com relação ao eixo Z. M R M sv N q x, q y, q z R s L a U W T -Tensão resultante de ordem superior. -Momento de torção de St. Venant. -Carga axial. -Componentes da carga distribuída nos eixos X, Y e Z. -Distância de um ponto M ao centro de cisalhamento. -Coordenada curvilínea. -Função de Lagrange. -Energia de deformação interna e total. -Energia do trabalho das cargas externas. -Energia cinética. u, v, w -Componentes do deslocamento do centro de cisalhamento nos eixos X, Y e Z. u M, v M, w M -Componentes do deslocamento do ponto M nos eixos X, Y e Z.

18 v t w t -Componente do deslocamento do ponto M na coordenada curvilínea no eixo Y. -Componente do deslocamento do ponto M na coordenada curvilínea no eixo Z. x, y, z -Coordenadas principais do ponto M nos eixos X, Y e Z. y c, z c -Coordenadas principais do ponto de cisalhamento C nos eixos Y e Z. α -Ângulo entre o eixo Y e a tangente à coordenada curvilínea. β y, β z -Coeficientes de Wagner nos eixos Y e Z. β ω ε xx ε 1, ε 2 ε xy ε xy ω s -Coeficiente de Wagner. -Deformação axial. -Componentes da deformação axial. -Deformação de cisalhamento no plano XY. -Deformação de cisalhamento no plano XZ. -Coordenada setorial ou área setorial principal. θ x -Ângulo de rotação no eixo X. v o, w o, θ o -Amplitudes dos deslocamentos dependentes do tempo. P -Carga axial compressiva. e z, e y -Excentricidade do carregamento Q z. P y, P z, P θ -Cargas de Flambagem em flexão e torção. M oy, M oz -Máximos momentos de flexão. m -Massa do elemento por unidade de comprimento. [M] -Matriz de massa. [K e ] -Matriz de rigidez linear. [K G ] -Matriz de rigidez geométrica. {F} -Vetor de forças externas. λ -Autovalores. b, h - Dimensões da seção transversal. t f, t w -Espessuras da seção transversal. ω o P e -Frequência natural. -Carga crítica de Euler.

19 v, w, -Amplitudes modais. ρ -Densidade do material. I max I min γ I yz Q z, Q y Ω z, Ω y -Momento de inércia máximo. -Momento de inercia mínimo. -Ângulo das coordenadas principais. -Produto de inércia. -Forças laterais de excitação. -Frequências das forças de excitação. y 0, y 2, y 4 - Amplitudes dos deslocamentos v o, w o, θ o. y 1, y 3, y 5 -Velocidades dos deslocamentos v o, w o, θ o. ξ -Amortecimento viscoso. M ocr δ Q zcr -Momento crítico estático. -Fator que representa o efeito de flexão. -Carregamento lateral crítico estático.

20 Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional INTRODUÇÃO Neste primeiro capítulo da dissertação encontra-se uma descrição geral do problema estudado, uma breve revisão bibliográfica, a descrição dos objetivos desta pesquisa e uma síntese dos capítulos que compõem este trabalho Considerações gerais. Vigas metálicas de seções abertas e paredes finas são comumente encontradas na maioria das estruturas em engenharia civil, naval e aeronáutica, como exemplificam a Figura 1.1 e Figura 1.2, pelas vantagens decorrentes do emprego de perfis metálicos gerando redução de peso próprio da estrutura e facilidade construtiva, dentre outras vantagens. Neste contexto, é importante garantir que o seu projeto seja confiável e seguro. Análises preliminares das vigas de seções abertas e paredes finas também ajudam a evitar futuros custos com reparos. Com isto têm-se estruturas cada vez mais leves e esbeltas, aumentando o risco de ruína por perda de estabilidade na presença de cargas estáticas e dinâmicas. É, portanto, essencial que os engenheiros projetistas saibam avaliar a estabilidade e as características dinâmicas das vigas de paredes finas com precisão, bem como a interação entre fenômenos de instabilidade e vibrações não lineares. A maioria das estruturas de seção aberta têm paredes delgadas. Isto resulta em elementos com uma baixa rigidez à torção. Muitas seções usadas em projeto têm apenas um ou nenhum eixo de simetria, levando ao acoplamento entre os esforços de flexão e torção. Sabe-se que, quando as seções transversais das vigas têm dois eixos de simetria, o centro de cisalhamento (C) e o centro de gravidade (G) das seções transversais coincidem, e a flexão e torção são fenômenos independentes em uma análise linear. No entanto, para um grande número de vigas de seções de paredes

21 21 finas encontradas na prática, o centro de cisalhamento e o centro de gravidade não são coincidentes. Quando as seções transversais têm um eixo de simetria, a vibração de flexão na direção do eixo de simetria é desacoplada. Mas a vibração de flexão na direção perpendicular ao eixo de simetria é acoplada com o modo de vibração torsional, mesmo em uma análise linear. Esta característica tem estimulado a pesquisa sobre o comportamento dinâmico de vigas de paredes finas. O acoplamento torna-se ainda mais importante quando se consideram em perfis delgados os efeitos da não linearidade geométrica e a consequente correlação entre os fenômenos de instabilidade sob cargas estáticas e dinâmicas e as vibrações não lineares. a) Seção I b) Seções T e C c) Seções I, L e C d) Seção C Fontes: - Acesso 10 Jun Acesso 11 Jun Acesso 11 Jun Figura 1.1: Aplicação dos perfis de seção aberta e paredes delgadas na engenharia estrutural.

22 22 a) Estádio Nacional de China - Beijing. Fonte: - Acesso 10 Jun b) Conservatório Gardens by the Bay - Cingapura. Fonte: Year-the-World-Architecture-Festival-Awards-2012.html. - Acesso 10 Jun. 2014

23 23 c) Ponte Helix - Cingapura. Fonte: - Acesso 11 Jun d) Aeroporto Internacional de San Francisco - USA. Fonte: structural_engineering. - Acesso 11 Jun estrutural. Figura 1.2: Exemplos da aplicação de perfis metálicos na engenharia Neste trabalho, um modelo não linear para vigas de seção aberta e paredes finas, considerando grandes deslocamentos, os efeitos de encurtamento e acoplamentos entre flexão e torção, é adotado. Inicialmente um estudo das frequências naturais, das cargas críticas e da relação frequência-carga axial é

24 24 apresentado. Com base nestes resultados, faz-se um estudo detalhado do comportamento dinâmico não linear destes perfis, com destaque para o efeito do acoplamento não linear na região de ressonância e sua influência na estabilidade dinâmica da estrutura. Para isto são usadas diversas ferramentas de dinâmica não linear, tais como diagramas de bifurcação, respostas no tempo, planos de fase e bacias de atração. Os resultados mostram que a consideração dos acoplamentos não lineares é essencial para se avaliar o nível de segurança destas estruturas Breve histórico bibliográfico. Apesar da extensa literatura sobre perfis de parede delgada, pouco se conhece sobre o seu comportamento dinâmico não linear. Formulações para a análise do acoplamento dos esforços de flexão e torção em vigas de paredes finas foram inicialmente desenvolvidas por Timoshenko e Young (1955), Gere e Lin (1958) e Vlasov (1961). Em particular a teoria de Vlasov tem desempenhado um papel bastante importante na análise destas estruturas (Barsoum e Gallagher, 1970; Wang, 1986; Laudiero e Zaccaria, 1988; Trahair, 1993). Neste modelo, o momento de torção aplicado é equilibrado pelos momentos devidos ao cisalhamento St-Venant e empenamento. Entretanto, Gregory (1961), Gobarah, Black (1967) e Tso (1971), estudando o comportamento de perfis de secção aberta sob grandes deslocamentos, verificaram que as equações contêm termos não lineares que são negligenciados na formulação de Vlasov, e que levam ao chamado efeito de encurtamento. Moore (1986) prova que este efeito é importante e leva a uma melhor correlação entre resultados teóricos e experimentais. Posteriormente esta formulação foi usada para estudar a estabilidade e vibrações lineares de várias estruturas de parede delgada. Para grandes ângulos de torção, vários modelos não lineares têm sido desenvolvidos, levando a sistemas de equações acopladas altamente não lineares (Gobarah e Tso, 1971; Attard, 1986; Ronagh, Bradford e Attard, 2000). Mohri et al. (2001) desenvolveram uma formulação não linear onde as relações de deslocamento são expressas primeiro sem qualquer hipótese simplificadora em relação à magnitude do ângulo de torção. Relações não lineares entre os

25 25 momentos de flexão e curvaturas principais são usadas e as equações de equilíbrio são estabelecidas, levando-se em conta os efeitos de encurtamento e o acoplamento entre torção e flexão. Este modelo pode ser utilizado para prever o comportamento das estruturas carregadas em flexão e torção e submetida a grandes deslocamentos. Posteriormente esta formulação foi usada para estudar a estabilidade e vibrações lineares de várias estruturas de parede delgada (Mohri, Brouki e Roth, 2003; Mohri, Azrar e Potier-Ferry 2004, Mohri et al. 2008, Mohri, Damil e Potier-Ferry, 2010). O comportamento dinâmico tridimensional de vigas tem sido objeto de várias pesquisas nas últimas décadas. Uma das primeiras teorias foi desenvolvida por Crespo da Silva e Glynn (1978) para seções compactas onde a componente de torção é condensada estaticamente e o empenamento é desprezado. Rosen e Friedmann (1979), na mesma época, desenvolveram uma formulação para seções compactas considerando o empenamento. Em Crespo da Silva (1988, 1991) e Crespo da Silva e Zaretzky (1994) o acoplamento flexo-torção é estudado considerado empenamento. Schulz e Filippou (1998) desenvolveram um modelo onde um empenamento não uniforme de barras é considerado. Mais recentemente Di Egidio et al. (2003a, 2003b) desenvolveram um modelo mecânico não linear para vigas de seção aberta a partir de um contínuo tridimensional. Aproximações para mudanças de curvatura devidas a torção e flexão de mesma ordem de magnitude são consideradas e o empenamento é obtido estendendo a teoria de Vlasov para o regime não linear. A seguir descrevem-se, em ordem cronológica, os trabalhos que formam a base teórica da presente pesquisa. Mohri, Azrar e Potier-Ferry (2001) apresentaram uma análise pósflambagem de elementos de parede delgada e seção aberta sob compressão axial. Efeitos de deformação e encurtamento são considerados na equação de equilíbrio de torção. Com base no método de Galerkin, as três equações resultantes de flexão e torção, altamente acopladas, são obtidas e resolvidas através do método de Newton-Raphson. Considera-se uma viga simplesmente apoiada, tendo como resultado os caminhos não lineares de equilíbrio para diferentes perfis. Mohri, Brouki e Roth (2003) estudaram a estabilidade de elementos de parede delgada e seção aberta, derivando uma solução analítica para a carga

26 26 crítica lateral de vigas sem restrições, chegando a obter as constantes para os parâmetros de Wagner. Mohri, Azrar e Potier-Ferry (2004) estudaram as vibração de vigas de parede delgada e seção aberta, para entender as características do comportamento pós-flambagem destas estruturas sob cargas axiais e laterais. Nesta análise foi utilizado um modelo que representa a interação não linear de flexão-flexão e acoplamentos de flexo-torção. Os resultados foram obtidos mediante métodos numéricos. Mohri, Bouzerira e Potier-Ferry (2008), baseados em um modelo não linear, derivaram soluções analíticas para elementos de viga-coluna simplesmente apoiados de seção simétrica. As soluções propostas são validadas mediante um programa de elementos finitos não lineares, onde elementos de casca são usados para discretizar a estrutura. Mohri, Damil e Potier-Ferry (2010) pesquisaram a estabilidade lateral de elementos de seção monosimétrica de paredes delgadas. Com base em um modelo de elementos finitos, desenvolvido para vigas de parede delgada, sujeitas a grandes ângulos de torção, diferentes tipos de carregamento e considerando os coeficientes de Wagner, os autores chegaram à conclusão que a flambagem lateral das vigas não depende apenas da pré-deformação, mas também da forma da seção e da distribuição de carga. Di Egídio e Vestroni (2011) fizeram uma avaliação numérica e experimental do comportamento estático e dos diagramas de bifurcação de vigas de parede delgada e seção aberta com um eixo de simetria, utilizando um modelo unidimensional e inextensível de uma viga em balanço, apresentando resultados para os valores críticos das cargas de instabilidade em flexo-torção. Entretanto nenhum destes trabalhou investigou as vibrações não lineares e instabilidade dinâmica destes perfis Objetivos. Este trabalho faz parte da linha de pesquisa em Instabilidade e Dinâmica das Estruturas do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio. O objetivo desta pesquisa é enfatizar o comportamento dinâmico e estudar as vibrações não

27 27 lineares e não planares de perfis de seções abertas e paredes delgadas com um único eixo de simetria Escopo. Esta dissertação está dividida em seis capítulos, sendo o primeiro esta introdução. No Capítulo 2 são apresentados alguns conceitos básicos e as equações da teoria clássica de vigas esbeltas sob flexo-torção. No Capítulo 3 são deduzidos, com auxílio do programa de álgebra simbólica Maple, os funcionais de energia e as equações de movimento para uma viga sob carregamentos axiais e laterais. As equações de movimento daí decorrentes são utilizadas nos capítulos seguintes. No Capítulo 4 faz-se a análise linear dos perfis de seção aberta de paredes delgadas simétricas, monosimétricas e assimétricas. Este capítulo apresenta inicialmente o processo de discretização das equações não lineares de movimento usando-se o método de Galerkin. Também, calculam-se as frequências do sistema e as cargas críticas, assim como as relações entre as cargas aplicadas, frequências e comprimento da viga. O Capítulo 5 trata da análise não linear de uma viga simplesmente apoiada, de seção aberta e paredes delgadas com um único eixo de simetria. Para a resolução do sistema, utiliza-se o método de Runge Kutta, obtendo-se assim as amplitudes modais. Com a finalidade de entender e explicar o comportamento dinâmico não linear apresentam-se os diagramas de bifurcação, respostas no tempo, planos de fase e seções de Poincaré para diversos casos de carregamento. O último capítulo apresenta, de forma sucinta, as principais conclusões do trabalho e sugestões para trabalhos futuros.

28 2. FLEXO-TORÇÃO EM PERFIS DE SEÇÃO ABERTA E PAREDES DELGADAS. Neste capítulo são apresentados, de forma concisa, com base no trabalho de Mori e Munaiar Neto (2009), alguns conceitos básicos necessários ao entendimento do presente trabalho e as equações da teoria clássica de vigas esbeltas sob flexo-torção Perfis de seção aberta e paredes delgadas. A principal característica de um perfil de paredes delgadas é que a espessura da seção transversal é muito menor que sua largura, altura ou contorno. Porém, estas dimensões são muito menores do que seu comprimento, de modo que ainda é possível utilizar modelos de barra para sua análise. Usualmente tem-se que St 10t e L 10St, onde L é o comprimento do elemento, S t é o perímetro da seção e t é a espessura das paredes do elemento, como ilustra a Figura 2.1. Figura 2.1: Perfil de seção aberta e paredes delgadas. Para a determinação das equações que permitem obter a posição do centro de cisalhamento em seções transversais abertas e delgadas, são admitidas como válidas as seguintes hipóteses simplificadoras:

29 29 O contorno da seção transversal permanece rígido em seu próprio plano durante a deformação. As deformações por cisalhamento na superfície média da barra podem ser desprezadas Centro de cisalhamento de uma seção transversal. Toma-se como ponto de partida uma viga carregada com forças aplicadas em posições arbitrárias ao longo do seu comprimento (eixo X) e contidas em um único plano definido como plano das forças. Inicialmente, admitindo uma posição arbitrária do plano das forças em relação aos pontos da seção, se considera que essa mesma viga possa estar solicitada, simultaneamente, por esforços de flexão e de torção. Nessa situação mais geral, as tensões de cisalhamento (τ) geradas na seção transversal ocorrem com vistas a garantir o estabelecimento do equilíbrio entre forças externas aplicadas e os esforços internos. Considerando a dimensão da seção transversal b, as tensões de cisalhamento produzem como resultantes um esforço cortante (V) e um momento de torção (M x ), dados respectivamente por: V M da (2.1) x A bda (2.2) A No entanto, os estudos iniciais para barras apenas fletidas submetidas a carregamentos transversais ao próprio eixo, tomam como ponto de partida a hipótese de que existe um plano do carregamento (plano das forças) passando por um ponto específico da seção transversal da barra onde o efeito da torção é nulo, ocorrendo apenas o esforço cortante (V), Equação (2.1), como resultante (equivalência estática) das tensões de cisalhamento geradas ao longo da seção, como ilustra a Figura 2.2.

30 30 Figura 2.2: Representação do esforço solicitante cortante (V) na barra. Existe, portanto, um ponto pertencente ao plano da seção transversal, coincidente ou não com um ponto da mesma seção, denominado centro de cisalhamento (C) ou centro de torção, pelo qual deve passar o plano de aplicação da resultante das cargas transversais e, consequentemente dos esforços cortantes, de modo que não ocorra torção, mas apenas flexão. O centro de cisalhamento é, portanto, uma propriedade geométrica da seção transversal Centro de cisalhamento para seções com dois eixos de simetria Para seções com dois eixos de simetria, tem-se que a posição do centro de gravidade (G) coincide com o ponto de interseção dos dois eixos de simetria (centroide da seção transversal), aspecto demonstrado pela condição de momento estático nulo para ambos os eixos. Para uma seção retangular, por exemplo, admitindo que o plano de forças seja coincidente com a posição do centro de gravidade, a distribuição das tensões de cisalhamento dá origem a uma resultante (V) que passa por G e coincide com o plano de carregamento, conforme exemplifica a Figura 2.3. Figura 2.3: Resultante das tensões de cisalhamento em perfil bissimétrico.

31 31 Nota-se que, para os casos apresentados na Figura 2.3, o carregamento aplicado provoca apenas flexão e, consequentemente, uma distribuição de tensões de cisalhamento na seção transversal que produz como resultante apenas o esforço cortante. Nesse caso, o plano de carregamento e o esforço cortante são colineares. Desse modo, fica estabelecida como centro de cisalhamento (C) a posição na seção transversal em que as resultantes V y e V z se cruzam. Portanto, para seções transversais com dois ou mais eixos de simetria, a posição do centro de cisalhamento (C) é coincidente com a posição do centro de gravidade (G) Centro de cisalhamento para seções com um eixo de simetria. Para as seções com apenas um eixo de simetria, sabe-se que o centro de gravidade (G) pertence a esse mesmo eixo. Por exemplo, para uma seção do tipo T de paredes delgadas a distribuição das tensões de cisalhamento é admitida paralela às linhas de borda e uniformemente distribuída ao longo da espessura, o que não implica em significativa perda de precisão dos resultados. Em função das espessuras reduzidas das paredes, esse tipo de seção pode ser representado pela linha média da seção. Como análise inicial, admite-se que o plano de carregamento seja coincidente com o eixo de simetria da seção (eixo Z) e, portanto, tem-se flexão em torno do eixo Y. Nesse caso, representando a seção por meio da linha média, obtém-se uma distribuição das tensões de cisalhamento e sua correspondente resultante, V z, conforme ilustrado na Figura 2.4. Figura 2.4: Resultante das tensões de cisalhamento perfil monosimétrico T.

32 32 Nesse caso, a parcela da resultante de τ na mesa do perfil T é pequena e pode ser desconsiderada, uma vez que a seção é delgada, ou seja, t 0,1S t, restando apenas a parcela de τ na alma da seção, que é coincidente com o plano de carregamento, garantindo a inexistência de torção, situação que tem correspondência direta com a Equação (2.1). Portanto, o lugar geométrico do centro de cisalhamento coincide com o eixo de simetria da seção T, e sua posição fica assim parcialmente definida. Como segunda análise, admite-se que o plano de carregamento seja coincidente com a mesa da seção, com flexão em torno do eixo Z. Nesse caso, obtém-se uma distribuição das tensões de cisalhamento e sua correspondente resultante, V y, conforme ilustra a Figura 2.4. Utilizando o mesmo raciocínio da primeira análise, a parcela da resultante de τ na alma do perfil T é desconsiderada, restando apenas tensões τ na mesa da seção cuja resultante é coincidente com o plano de carregamento, garantindo novamente a inexistência de torção. Finalmente, nota-se que o ponto de intersecção das direções das duas resultantes, V y e V z, definem a posição do centro de cisalhamento, como mostra a Figura 2.4. Sempre que o plano de carregamento passar por esse ponto, fica garantida a inexistência de torção e a condição apresentada na Equação (2.1) é verificada. Para seções transversais cujos trechos que as constituem são concorrentes a um único ponto (seções T, cantoneira ou similares), fica como regra geral que C coincide com o ponto comum das linhas médias da seção dos trechos que as formam. Com base nos aspectos identificados para a seção T, sabe-se que a seção C terá a posição do centro de cisalhamento situada em algum ponto pertencente ao eixo de simetria. Nesse caso, para determinar a posição exata de C, basta considerar a ocorrência de um plano de carregamento que seja perpendicular àquele eixo, uma vez que se sabe que a posição de C é definida pela intersecção desse mesmo eixo de simetria com a direção da resultante de τ que aparece em resposta ao referido carregamento, conforme ilustra a Figura 2.5.

33 33 Figura 2.5: Resultante das tensões de cisalhamento perfil monosimétrico C. Nesse caso, a distribuição de τ, admitida conforme idealizada na Figura 2.5, respeitadas às condições de equilíbrio, deve representar, no conjunto das partes que compõem a seção, sentidos que percorram a seção de uma extremidade à outra, podendo, se desejado, ser contrário àquele indicado na mesma figura. Por equivalência estática, com redução ao ponto o o efeito de V, na seção, deverá ser equivalente ao efeito provocado pelas resultantes τ1 e τ2, e a posição final de C fica estabelecida a partir das equações: F v 0 V= 2 (2.3) 1 M o 0 Vd 1h d h (2.4) Centro de cisalhamento para seções transversais assimétricas. Assim como no caso anterior, por se considerar as paredes como delgadas (pequena espessura), a distribuição das tensões de cisalhamento é admitida paralela às linhas da borda e uniformemente distribuída ao longo da espessura, não implicando em significativa perda de precisão dos resultados. Em função das espessuras reduzidas das paredes, esse tipo de seção pode ser representado pela linha média da seção, conforme ilustra a Figura 2.6.

34 34 Figura 2.6: Distribuição de tensões de cisalhamento em seção de parede delgada. Inicialmente, por meio dos conceitos da resistência dos materiais, para barras fletidas, vale lembrar que a tensão de cisalhamento pode ser obtida a partir da expressão: VM s (2.5) ti Na Equação (2.5), M s e I representam, respectivamente, o momento estático e o momento de inércia determinados em relação aos eixos principais de inércia, aqui designados por Y e Z. Para o estudo que se segue, parte-se de uma seção transversal qualquer, assimétrica e constituída de paredes delgadas e retas com espessura t, eixos principais de inércia definidos por Y e Z, e representada pela linha média da seção à qual está associada uma ordenada s que a percorre desde s 1 até s 2, conforme ilustra a Figura 2.7. delgada. Figura 2.7: Seção transversal aberta assimétrica genérica de parede

35 35 Supõe-se um plano de carregamento fictício paralelo ao eixo Z, também representado na Figura 2.7. Nesse caso, tem-se que: V V z (2.6) I I y (2.7) M zda ztds s A s (2.8) s1 Deste modo, obtém-se a força elementar resultante de cisalhamento, por meio de equivalência estática em um elemento de comprimento ds, dada por: df da tds (2.9) A condição para garantir a não ocorrência de momento de torção consiste em impor que a resultante destas forças elementares deve ser igual, em módulo e posição, à força cortante V z. Uma vez garantida essa última condição é possível afirmar que a linha de ação do traço do plano de cargas, ou do esforço cortante, é o lugar geométrico do centro de cisalhamento. Fica claro, portanto, que se realizando análises para planos de carregamento em duas direções distintas, nesse caso, em direções coincidentes com os eixos principais Y e Z (planos paralelos a XY e XZ), se determina a posição de C pela interseção dos traços dos planos de carga, os quais podem ser interpretados como lugares geométricos desse mesmo ponto. Com base na primeira análise estabelecida na Figura 2.7, a condição que permite obter o lugar geométrico da posição do centro de cisalhamento é aquela que garante que a resultante dos momentos das forças elementares, obtidas por τda em relação a C por meio da integral em toda a seção, de s 1 a s 2, seja nula, a saber: s2 M dar = tdsr 0 c (2.10) A s1

36 36 Na Equação (2.10), o parâmetro r é denominado raio vetor e definido pela distância de C até a tangente à linha média da seção do trecho de interesse, e M c é denominado o momento com respeito a C conforme mostra a Figura 2.8. Figura 2.8: Representação esquemática do raio vetor r. Para carregamento na direção do eixo Z e coincidente com o correspondente esforço cortante (plano de carga paralelo ao plano XY), e considerando a validade da Equação (2.5) particularizada para flexão em torno do eixo Y (Equações (2.6) e (2.8)), tem-se: VM z s dar 0 (2.11) ti y Como o esforço cortante e o momento de inércia (I y ) são constantes para uma mesma seção transversal, e com base na Equação (2.10), da Equação (2.11) tem-se: 2 2 V s 1 s s s z V z ztds rtds = ztds rds I y t I s1 s1 y s1 s1 (2.12) como V z /I y 0, da última igualdade tem-se que: s2 s s1 s1 ztds rds 0 (2.13)

37 37 A Equação (2.13) consiste de duplo procedimento de integração, cuja resolução é obtida por meio de seguinte integração por partes. s2 s s s2 s ztds rds rds ztds 0 (2.14) s1 s1 s1 s1 s1 Na Equação (2.14), a parcela s ztds representa o momento estático da seção s1 transversal, que, por definição, é nulo ao longo de toda a linha média da seção, isto é, s s2 ztds 0 e ztds 0 (2.15) s1 s1 Portanto, como produto final de interesse, obtém-se: s2 s s1 s1 rds ztds 0 (2.16) O termo entre parênteses s rds é denominado área setorial da seção s1 transversal, proposto em Vlasov (1961) e representado por ω s. Nesse caso, a área setorial e a condição para a determinação da posição do ponto C são escritas nas formas: s s rds (2.17) s1 szda 0 (2.18) A Em uma segunda análise, análoga à primeira, supõe-se um plano de carregamento fictício e paralelo ao eixo Y, procedimento que resulta na equação: s yda 0 (2.19) A

38 38 Portanto, como condição necessária para determinar o centro de cisalhamento, basta estabelecer planos de carga, nas direções dos eixos principais (por ser mais conveniente), considerados coincidentes com as respectivas forças cortantes resultantes que aparecem em resposta aos carregamentos aplicados. Nesse caso, tem-se como produto final, o conjunto de Equações (2.18) - (2.19), que é suficiente para a determinação de C. Figura 2.9: Planos de carregamento fictícios paralelos as direções z e y. Cabe destacar que os termos szda e s A A yda são denominados produtos setoriais da seção transversal, Vlasov (1961), e se referem aos eixos principais de inércia. As equações para determinar a posição do centro de cisalhamento são: 1 yc zsda I (2.20) y A 1 zc ysda I (2.21) z A 2.3. Área Setorial Considere-se a linha média de uma seção transversal qualquer, como se mostra na Figura 2.10

39 39 Figura 2.10: Representação da área setorial. Escolhe-se ao longo da linha média da seção de comprimento de arco s, um ponto exterior C, denominado polo (neste caso coincide com o centro de cisalhamento). Sobre o contorno da linha média da seção consideram-se os pontos s 1 e s 2 distantes um do outro de ds. Denomina-se r a menor distância entre a reta tangente a s 1 e o polo C. Liga-se a seguir o ponto C aos pontos s 1 e s 2, formando uma área infinitesimal denominada dω s, que é a diferencial da chamada área setorial. d r. ds (2.22) s A área setorial é, pois, dada pela integral: s r. ds (2.23) s 0 É importante ressaltar que a área setorial ω s, quando calculada em relação a um trecho qualquer da linha média de uma seção, resulta no dobro da área do setor da figura geométrica plana, como mostra a Figura Figura 2.11: Relação da área setorial com a geométrica. Fazendo uma correlação entre a Figura 2.10 e a Figura 2.11 têm-se:

40 40 2 a (2.24) s rds = r ds = ra 1 0 ra A s 2A (2.25) Torção de perfis de seção aberta e paredes delgadas. Figura 2.12: Torção de perfis de seção aberta e parede delgada. Quando um perfil de seção aberta e paredes delgadas é submetido a um momento torsor m x, Figura 2.12, as suas seções giram em torno do seu próprio eixo e empenam. Se o empenamento for livre nas extremidades e o momento torsor (m x ) aplicado for constante, diz-se que o perfil está submetido a uma torção uniforme ou torção de Saint-Venant. Se, por outro lado, o momento torsor for variável ou o empenamento estiver impedido em alguma seção, diz-se que o perfil está submetido a uma torção não uniforme. No caso mais geral, de um perfil submetido a uma torção não uniforme, o momento torsor resistente é constituído por duas parcelas, o momento devido à torção, T t, e o momento devido ao impedimento do empenamento, T e. Deste modo, o equilíbrio do perfil corresponde a: mx Tt Te (2.26) No caso da torção uniforme, apenas existe a primeira parcela.

41 41 As duas parcelas do momento torsor relacionam-se com o ângulo de torção θ x do perfil (em torno do eixo longitudinal que passa pelo centro de cisalhamento da seção transversal) através das expressões: d x Tt GJ dx 3 d x Te EIw 3 dx (2.27) onde X é o eixo do perfil e GJ e EI w designam, respectivamente, a rigidez a torção e rigidez ao empenamento. Aqui G e E são, respectivamente, os módulos de elasticidade transversal e longitudinal do material e J e I w são respectivamente as constantes de torção e empenamento do perfil. Sabe-se, da resistência dos materiais que: J 1 3 bt i i 3 (2.28) i onde b i e t i são, respectivamente, a largura e a espessura da i-ésima parede do perfil. O cálculo de I w é próprio de cada perfil. Por exemplo, para um perfil C, a constante de empenamento é obtida pela seguinte equação: I w 3 2 tfb h 3btf 2ht 12 6bt ht f w w (2.29) onde t f e t w são respectivamente as espessuras da mesa e alma da seção. A resolução do problema da torção não uniforme de um perfil requer a solução da seguinte equação diferencial de equilíbrio: 3 d d x (2.30) 3 dx dx x mx GJ EIw

42 3. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA PARA ANÁLISE NÃO LINEAR. Neste capítulo é apresentada a formulação utilizada para a obtenção do funcional de energia e das equações de movimento não lineares para vigas/colunas de seção transversal aberta de paredes delgadas, com base no trabalho de Mohri, Azrar e Potier-Ferry (2003) Elementos de seção transversal aberta de paredes delgadas. A Teoria de Vlasov aplicada aos elementos de seção transversal aberta e paredes delgadas, baseia-se nas seguintes hipóteses principais (Vlasov, 1961): O contorno da seção transversal permanece rígido em seu próprio plano durante a deformação. As deformações por cisalhamento na superfície média da barra podem ser desprezadas. A Figura 3.1 mostra um elemento de uma barra reta de seção transversal aberta. Para a formulação do problema se adota um sistema retangular de coordenadas globais (X, Y, Z), como mostra a Figura 3.1, onde X representa o eixo da barra na configuração inicial indeformada e Y e Z definem a seção transversal, coincidindo com os eixos principais de inércia. Adota-se como origem do sistema de eixos o centro de gravidade da seção, denotado por (G). Em seções com um único eixo de simetria (monosimétricas) ou assimétricas, o centro de cisalhamento, (C), não coincide com o centro de gravidade, sendo suas coordenadas no sistema de referências aqui adotado dadas por (y c, z c ). Considere-se um ponto ao longo do contorno da seção com coordenadas (y, z, ω s ), onde ω s é a área setorial do ponto usado no modelo de Vlasov para torção não uniforme (Vlasov, 1961).

43 43 e notação. Figura 3.1: Elemento de seção transversal aberta. Sistema de referência 3.2. Campo de deslocamentos. A partir das hipóteses iniciais, o campo de deslocamentos do ponto M pode ser escrito em função das coordenadas do centro de cisalhamento. A primeira hipótese de Vlasov implica em que as componentes do deslocamento no plano da seção correspondem a uma rotação de corpo rígido, como mostra a Figura 3.2. Figura 3.2 : Componentes do deslocamento do centro de cisalhamento. Assim os deslocamentos transversais do ponto M, v M e w M, são dados por: 1 v v z z sin y y cos (3.1) M c x c x 1 w w y y sin z z cos (3.2) M c x c x

44 44 Nas Equações (3.1) e (3.2), v e w são as componentes do deslocamento do centro de cisalhamento e θ x é o ângulo de torção. O deslocamento longitudinal u M é obtido a partir da segunda hipótese de Vlasov que considera que as deformações por cisalhamento na superfície média da seção são nulas. Introduzindo no ponto M da seção um sistema de coordenadas curvilíneo s (Figura 3.3), tem-se as componentes de deslocamento v t e w t do ponto M na direção tangencial e transversal à parede do elemento. Assim, a componente X do tensor de deformações de Green, devido ao cisalhamento ao longo do contorno, deve ser nula, ou seja: xs um vt vt vt wt wt 0 s x x s x s (3.3) Figura 3.3: Eixo normal e tangencial ao contorno da seção. w t, a saber: A partir das Equações (3.1), (3.2) e (3.3) são obtidos os deslocamento v t e v v cos w sin + h(s) sin r(s)(cos 1) (3.4) t x w v sin w cos + r(s) sin - h(s) (cos 1) (3.5) t x x x onde α é o ângulo entre o eixo Y e a tangente t e h(s) e r(s), as coordenadas do centro de cisalhamento no sistema de coordenadas curvilíneo, como mostra a Figura 3.3 Partindo da Equação (3.3), usando as seguintes relações:

45 45 hs () 0 s rs () 1 s (3.6) (3.7) dy ds cos (3.8) dz ds sin (3.9) h( s) ds (3.10) s s e fazendo a integração com respeito à variável s, obtém-se o deslocamento axial do ponto M dado por: u u y( v cos w sin ) z( w cos v sin ) (3.11) ' ' ' ' ' M x x x x x onde ( ) representa a derivada com respeito a X Campo de deformações. A teoria de vigas considera que os deslocamentos axiais u M, Equação (3.11), são muito menores que os deslocamentos w M, Equação (3.2), e v M, Equação (3.1). Com base nesta hipótese o tensor de deformação de Green para grandes deslocamentos é dado por: ' 1 ' ' ' ' 1 ' ' xx um um vm w M u M vm w M (3.12) 2 2 xy xz 1 u v v v w w 2 y x x y x y M M M M M M 1 u w v v w w 2 z x x z x z M M M M M M (3.13) (3.14) Substituindo as Equações (3.1), (3.2) e (3.11) nas Equações (3.12) a (3.14), chega-se às seguintes expressões para as deformações. (3.15) xx 1 2

46 46 1 u y( v cos w sin ) z( w cos v sin ) (3.16) ' '' '' '' '' '' x x x x x '2 '2 2 '2 ' ' ' v w R x yc x w cos x v sin x z v cos w sin ' ' ' c x x x (3.17) 1 z z 2 y ' xy c x 1 y y 2 z ' xz c x (3.18) (3.19) onde R é a distância entre o centro de cisalhamento e o ponto M, dada pela seguinte relação: R y yc z zc (3.20) 3.4. Formulação variacional. Tendo em conta as hipóteses anteriores, as equações não lineares de movimento podem ser obtidas a partir do princípio variacional de Hamilton, considerando a função de Lagrange L a = U T + W, onde U é a energia interna de deformação, T a energia cinética e W o trabalho das cargas externas. A seguir mostra-se a variação das parcelas de energia para vigas de paredes delgadas e seção aberta Variação da energia interna de deformação. A variação da energia interna de deformação de um corpo elasticamente deformado, U, é dada por: U xx xx 2 xy xy 2 xz xz d A dx (3.21) LA onde σ ij é o tensor de tensões de Piola Kirchhoff. Utilizando as Equações (3.16) a (3.19), obtém-se a variação das componentes do tensor de deformação:

47 47 ' '' '' '' '' xx u - y v cos x w sin x - y w cos x v sin x x '' '' '' '' '' x x x x x x ' ' ' ' ' ' ' ' v v yc x sin x zc x cos x w w yc x cos x zc x sin x ' 2 ' ' ' ' ' x ( R x yc -w cos x v sin x zc v cos x w sinx ' ' ' ' ' ' ' ' x ( yc ( w x sin x v x cos x ) zc w x cos x v x sin x ) -z w cos v sin z w sin v cos - 1 z z 2 y s ' xy c x 1 y y 2 z s ' xz c x (3.22) (3.23) (3.24) Finalmente, a variação da energia interna de deformação pode ser expressa em função das resultantes das tensões que agem em um elemento da seção transversal da viga em seu estado deformado, as quais são definidas por: N da (3.25) A xx M M y z zda (3.26) A A xx yda (3.27) xx B da (3.28) A xx M y y z z da z (3.29) sv xz c xy c z A M R (3.30) A 2 xxr da onde N é a força axial, M y e M z são os momentos fletores, B ω é o bi momento, M sv momento de torção de Saint Venant e M R é uma resultante de ordem superior. Estes esforços generalizados são ilustrados na Figura 3.4. Substituindo as equações (3.22) a (3.30) na equação (3.21), chega-se à seguinte equação:

48 48 L ' ' ' ' ' u v v yc x sin x z cos c x x ' ' ' ' w w y cos z sin ' ' ' ' ' ' ' ' sin cos cos sin U N dx L c x x c x x N y w v z w v dx x c x x x x c x x x x N y w cos v sin z v cos w sin dx M ( w cos L ' ' ' ' ' '' x c x x c x x y x L '' '' '' '' v sin ) dx M ( w sin v cos ) dx M ( v cos x y x x x z x L L w sin ) dx M ( w cos v sin ) dx B dx M dx L '' '' '' '' ' ' x z x x x x R x x L L L M sv dx ' x (3.31) Figura 3.4: Forças resultantes na seção. Fazendo a integração por partes da Equação (3.31), e coletando os termos em função dos deslocamentos virtuais δu, δv, δw e δθ x chega-se às seguintes expressões: ' N u dx (3.32) L '' cos sin sin cos '' ' ' M z x M y x N v y c x z c x x v dx (3.33) L cos sin cos sin '' '' ' ' M y x M z x N w y c x z c x x w dx (3.34) L ' '

49 49 ' ' '' ' '' '' '' (( B M sv M R x M y w sinx v cos x Mz( w cosx L ' ' ' ' ' ' v sin ) N( y w sin v cos z ( w cos v sin )) '' ' ' ' ' ' ' x c x x x c x x x Ny w cos v sin Nz v cos w sin ) ) dx c x x c x x x (3.35) Variação do trabalho das cargas externas. As cargas aplicadas ao elemento podem ser reduzidas às componentes q x, q y, q z e a um momento torsor adicional m x, resultante da excentricidade das cargas com relação ao centro de cisalhamento, como ilustra a Figura 3.5. Figura 3.5: Componentes de carga aplicada à barra. A variação do trabalho das cargas externas é dada por: x y z x x (3.36) L W q u q v q w m dx onde m x está em função da carga q z e das excentricidades com relação ao centro de cisalhamento e y e e z.

50 50 Figura 3.6: Deslocamento vertical do ponto M gerado por Q z. Da Figura 3.6 tem-se que: w w e sin e (1 cos ) (3.37) M y x z x onde w M, como enunciado anteriormente, é o deslocamento vertical do ponto M. Fazendo a variação da Equação (3.37) encontra-se que: w w e cos e sin (3.38) M y x z x x Tem-se assim que a Equação (3.36) toma a seguinte forma: W qxu qyv qzw qz ey cos x ez sinx x dx (3.39) L Variação da energia cinética. Utilizando as Equações (3.1), (3.2) e (3.11), a energia cinética de um elemento de paredes delgadas, com massa específica constante ρ, é dada por: T um vm wm dadx 2 t t t LA (3.40)

51 51 Fazendo-se a integração da área da Equação (3.40) e desprezando os termos de inércia a rotação, chega-se à seguinte equação: u v w x v x w x T m Io zc yc dx 2 t t t t t t t t L (3.41) onde m é a massa do elemento por unidade de comprimento e I o é o momento polar de inércia. A variação da energia cinética é dada por: u v x w x T m( u zc v yc w t t t t t t t t L x v w Io zc yc x ) dx t t t t (3.42) Fazendo a integração por partes da Equação (3.42) e coletando-se os termos em função dos deslocamentos virtuais δu, δv, δw e δθ x, chega-se às seguintes expressões: 2 du m u dx 2 dt (3.43) L 2 2 dv d x m z 2 c v dx 2 dt dt L (3.44) 2 2 d w d x m y 2 c w dx 2 dt dt L (3.45) d x d v d w mio z 2 c y 2 c 2 x dx dt dt dt L (3.46) 3.5. Relações constitutivas. Todas as equações anteriores foram obtidas sem referência ao comportamento do material do elemento e à sua relação tensão deformação. Entretanto, neste trabalho, considera-se um material com comportamento elástico

52 52 linear com módulo de Young E, e módulo de elasticidade transversal G, com G=E/2(1+υ), sendo υ o coeficiente de Poisson do material. Assim sendo, as resultantes das tensões são dadas por: ' 1 '2 '2 '2 ' ' ' ' N EAu v w Io x zcvx ycwx (3.47) 2 M EI k cos k sin sin x '2 y y y x z x z (3.48) '2 z z z x y x y x M EI k cos k sin sin (3.49) B '' '2 x x M EI (3.50) sv GJ (3.51) ' x '' 2 '2 x R 0 x '' '' '' '' M NI 2EI v cos w sin 2EI w cos v sin R o z y x x y z x x 1 2EI E I AI 2 (3.52) onde k y e k z são as curvaturas do elemento, I y e I z são os momentos de inércia com relação aos eixos Y e Z, respectivamente, J é constante de torção de Saint Venant, I ω é a constante de empenamento e β y, β z e β ω são os coeficientes de Wagner (Mohri, Brouki e Roth, 2003). Estes parâmetros geométricos são obtidos através das seguintes integrais: I I y z 2 z da (3.53) A 2 y da (3.54) A I 2 da (3.55) A 1 y 2I (3.56) 2 2 y y z da yc z A 1 z 2I (3.57) 2 2 z y z da zc y A y z da 2I (3.58) A

53 53 onde, novamente, I o é o momento polar de inércia e I R é o quarto momento de inércia, ambos calculados com respeito ao centro de cisalhamento e são dados por: Iy Iz 2 2 Io yc zc (3.59) A I y y z z da (3.60) R c c A Partindo da teoria clássica da flexão, as seguintes aproximações de segunda ordem são adotadas para as curvaturas: k k y z w w w '' '2 '' '2 w '' '2 v '' v v '2 v (3.61) (3.62) Lembrando que, para pequenos deslocamentos, que não é o caso deste trabalho, adotam-se usualmente as conhecidas aproximações lineares k y = w e k z = v. Finalmente, as funções cos θ x e sem θ x são aproximadas pelos dois primeiros termos de sua expansão em séries de Taylor, ou seja: 2 x cos x 1 2 (3.63) 3 x sinx x 6 (3.64) 3.6. Equações de movimento. Após determinar os funcionais de energia nas seções anteriores, para a obtenção das equações de movimento, tem-se que: ( U T W) 0 (3.65)

54 54 A partir da Equação (3.65) e considerando os termos não lineares até a terceira ordem, chegam-se às seguintes equações de movimento: dn qx (3.66) dx d v d v v m z EI v v v v v N v z y dt dt (4) '2 x (4) ' '' ''' ''3 '' '' '' '2 3 2 c 2 z c x c x x x (4) ''' ' '' '' (4) 2 ''' ' '' '' '' ' EI EI w w w v v v v q z y x x x x x x x x x y (3.67) 2 2 (4) '2 d w d x (4) ' '' ''' ''3 w w m y 3 2 c EI 2 yw w w w w dt dt 2 '' '' '' '2 c x c x x x z y N w y z EI EI v 2v v w 4w 2w 2w q (4) ''' ' '' '' (4) 2 ''' ' '' '' '' '2 x x x x x x x x x z d d v d w 3 mi z y EI GJ EI N I dt dt dt x (4) '' '2 '' '' o 2 c 2 c 2 x x t x x o x '' '' '' '' '' ''' ''2 ''2 ) y w v z v w EI EI v w v w m c x c x z y x x x (3.68) (3.69) onde (.) (4) é a derivada de quarta ordem em função de X e o termo I t é um parâmetro geométrico que denota uma constante de torção de ordem mais elevada, dada pela seguinte equação: I I AI (3.70) 2 t R o

55 4. FREQUÊNCIAS NATURAIS E CARGAS CRÍTICAS O presente capítulo apresenta a análise linear de vigas de seção aberta e paredes delgadas simplesmente apoiadas, mostrando o processo de discretização por Galerkin e as equações de movimento linearizadas. Com base nestas equações faz-se o cálculo das frequências naturais, das cargas críticas axiais e da relação entre carga axial e frequência para diversos perfis encontrados em aplicações práticas com o intuito de mostrar o efeito da assimetria nas vibrações e estabilidade da estrutura Aplicação do método de Galerkin Através do método de Galerkin, as equações diferenciais parciais de movimento (Equações (3.68) a (3.70)) podem ser reduzidas a um sistema de equações diferencias ordinárias no domínio do tempo. Para uma viga simplesmente apoiada, o primeiro modo de vibração em flexão nas duas direções ortogonais e o modo de torção são dados por: x v( x, t) vo ( t)sin L x w( x, t) wo ( t)sin L x ( x, t) o( t)sin L (4.1) (4.2) (4.3) onde v o (t), w o (t), e θ o (t) são as amplitudes modais dependentes do tempo, associados aos três graus de liberdade. Cabe ressaltar que para uma barra simplesmente apoiada a solução analítica para os modos de flambagem em flexão e torção coincidem com os modos de vibração.

56 56 Substituindo as Equações (4.1) a (4.3) em (3.68) a (3.70), e aplicando o método de Galerkin, obtém-se o seguinte sistema de equações diferencias ordinárias de movimento: ml d d 3 4yc0 2 v 2 0 zc 2 0 Pz v0 v 2 0 P v0 zc0 P dt dt 8L Pz Py w00 v00 M 3 0 y ml d d 3 4zc0 2 w 2 0 yc 2 0 Py w0 w 2 0 P w0 yc0 P dt dt 8L Pz Py v00 w00 M 3 0 z ml d d d 3 EI dt dt dt 8 L 8zcw00 8ycv00 P I0 0 ycw0 zcv0 P P Pz Py v0w0 0v0 0w t 3 2 I0 0 z 2 c v 2 0 yc w 2 0 I0P M 0z e 3 y e 2 z0 0 (4.4) (4.5) (4.6) Nas equações (4.4) - (4.6), P y, P z e P θ, são as cargas de flambagem em flexão e torção para o problema desacoplado, P é a carga axial compressiva, M 0z, e M 0y são os máximos momentos de flexão resultante das cargas laterais uniformes q z e q y respectivamente, para uma viga simplesmente apoiada. Estes parâmetros são dados por: EI L 2 z z (4.7) 2 P P EI 2 y y (4.8) 2 L P 2 1 EI 2 I0 L GJ (4.9) 2 2 L L M 0z qz e M 0y q (4.10) y 8 8

57 57 As Equações (4.4) a (4.6) formam um sistema de três equações não lineares acopladas que deve ser resolvido através de métodos numéricos Linearização das equações de movimento. Para calcular as frequências naturais e a carga crítica, é preciso linearizar as equações (4.4) - (4.6), obtendo-se: ml d d dt dt v0 z 2 c 2 0 Pz v0 P v0 zc0 0 ml d d dt dt w0 y 2 c 2 0 Py w0 P w0 yc ml d d d 2 I0 2 0 zc v 2 0 yc w 2 0 I0P 0 dt dt dt P I y w z v c 0 c 0 (4.11) (4.12) (4.13) Verifica-se que o acoplamento no sistema linearizado é função dos parâmetros geométricos y c e z c. Isto significa que em seções monosimétricas ou assimétricas, onde o centro de cisalhamento não coincide com o centro de gravidade da seção, há modos de vibração e flambagem com acoplamento entre flexão e torção Frequências naturais e cargas críticas axiais da viga. Para avaliar a possibilidade de ocorrência de ressonância, faz-se necessário conhecer as frequências naturais da estrutura. Estas frequências naturais são obtidas a partir do problema de vibração livre e não amortecida descrito pelas equações diferenciais de movimento, (4.11) a (4.13), que é um sistema de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e que pode ser expresso matricialmente como: U K PK U 0 [ M ] (4.14) e G

58 onde {U} é o vetor dos deslocamentos, M é a matriz de massa, K rigidez, [K G ] é matriz geométrica e F é o vetor das forcas externas. e 58 matriz de Para o cálculo das frequências naturais da estrutura descarregada, tem-se o problema de autovalor: M U K U 0 (4.15) e onde: e M K e ml zc 0 1 y c z c yc I 0 Pz Py IP 0 (4.16) (4.17) a solução da Equação (4.15) é da forma: 0 v t ve 0 i ot (4.18) w t we 0 t i ot (4.19) i ot e (4.20) onde ω o é a frequência natural e v, w e são as amplitudes modais. Da substituição das Equações (4.18) a (4.20) na Equação (4.15), chega-se à seguinte equação característica do problema de autovalor: K M 0 e onde: (4.21) 2 o (4.22)

59 59 ou seja, os autovalores representam o quadrado das frequências naturais e os autovetores os modos de vibração. Em um problema de instabilidade linearizado, o cálculo da carga crítica e os modos de flambagem também resultam de um problema de autovalor linear generalizado na forma abaixo: K P K 0 e (4.23) G onde: P 0 Pzc KG 0 P Py c Pzc Pyc PI 0 K e Pz Py IP 0 (4.24) As frequências da estrutura carregada e a relação entre carga axial e frequência de vibração podem ser obtidas através da solução do problema de autovalor, Equação (4.14) Análise numérica de vários tipos de perfis Com o propósito de ilustrar melhor os efeitos considerados obtêm-se as frequências naturais, cargas críticas axiais e relação frequência-carga axial para alguns perfis frequentemente utilizados em aplicações práticas como I, T, C e L, incluindo assim seções duplamente simétricas, seções monosimétricas e seções assimétricas. Os resultados numéricos são obtidos para uma viga simplesmente apoiada com módulo de Young E = 210 GPa, módulo de Cisalhamento G = GPa, densidade do material ρ = 7800 kg/m 3 e comprimento L = 4 m. As propriedades geométricas dos perfis foram obtidas com a ajuda do programa ShapeDesigner (2013).

60 Seção duplamente simétrica - perfil I. A Figura 4.1 apresenta os eixos principais de inércia (eixos de simetria), campo de deslocamentos e características geométricas de um perfil I com dupla simetria. Na Tabela 4.1, encomtram-se as dimensões do perfil utilizado na presente análise e as principais propriedades geométricas deste perfil. Figura 4.1: Perfil simétrico I e suas dimensões características. Tabela 4.1: Propriedades geométricas da seção I. Propriedades Geométricas b = 15,00 cm A = 51,881 cm 2 h = 30,00 cm J = 15,898 cm 4 t f = 1,07 cm I w = 1,258E+05 cm 6 t w = 0,71 cm I y = 7999,000 cm 4 y c = 0,00 cm I z = 602,710 cm 4 z c = 0,00 cm I r = 1,83E-06 m 6 As equações lineares de movimento para este perfil são: 2 d 5 2 v 0 0 v 0 65, , (4.25) dt 2 d 5 65,6029 w 2 0 1, w0 0 dt (4.26) 2 d 1, , dt (4.27)

61 61 Note-se que as Equações (4.25) a (4.27) são desacopladas em função do centro de cisalhamento coincidir com o centro de gravidade. Tem-se assim o problema de autovalor: K e 5 7, , M ,77-1, , , (4.28) cujo polinômio característico é dado por: , 08 9, , , (4.29) Resolvendo a Equação (4.29), têm-se as três frequências naturais e os respectivos modos de vibração que são apresentados na Tabela 4.2. Estes valores foram corroborados pelos valores obtidos por F. Mohri, L. Azrar e M. Potier- Ferry (2001). I. Tabela 4.2: Frequências naturais (rad/s) e modos de vibração da seção Modo ω o (rad/s) Componentes Direção (v o ) Direção (w o ) Direção (θ o ) F 109,092 1,000 0,000 0,000 F 397,426 0,000 1,000 0,000 T 163,671 0,000 0,000 1,000 As cargas de bifurcação são obtidas a partir do determinante: K e 5 7,81 10 P P KG 0 1,04 10 P 0 0 (4.30) , 77-0,02P que leva ao seguinte polinômio característico: ,02 P 2,14 10 P 4, P 2, (4.31)

62 62 Resolvendo a Equação (4.31) têm-se as três raízes e os respectivos autovetores apresentados na Tabela 4.3. A carga crítica (P cr =780,7kN), corresponde a um modo de flambagem de flexão em torno do eixo de menor inércia. Note-se também que, neste caso, a carga crítica coincide com a carga crítica de Euler. Tabela 4.3: Cargas de modos de bifurcação da seção I. Modo Pcr. (kn) Componentes Direção (v o ) Direção (w o ) Direção (θ o ) F 780,7 1,000 0,000 0,000 F 10360,0 0,000 1,000 0,000 T 1757,0 0,000 0,000 1,000 Para estudar a variação das frequências naturais em função da carga axial aplicada utilizasse o seguinte determinante: ( K P K ) M 0 (4.32) e G A Figura 4.2 mostra a variação das três frequências com a carga axial compressiva P. À medida que o valor da carga de compressão aumenta, os valores das frequências diminuem até chegar à carga crítica em cada modo. Nota-se que há uma grande influência do carregamento nas frequências de vibração. Para efeito prático, quando se atinge a primeira carga crítica, um dos autovalores se torna negativo e ocorre a flambagem, passando a estrutura a vibrar em torno de uma configuração de equilíbrio pós-crítica. Precisa-se, portanto, de uma formulação não linear para a análise deste problema.

63 63 Figura 4.2: Relação carga frequência de vibração da Seção I. A carga crítica e a frequência natural variam de forma não linear com o comprimento da coluna. A Figura 4.3 mostra a variação das cargas de bifurcação do perfil e das três frequências naturais com o comprimento da viga L. O modo crítico depende da dimensão das secções e também do comprimento da viga. Como esperado, tanto as frequências quanto as cargas de bifurcação decrescem à medida que L cresce. a) Carga - Comprimento b) Frequência - Comprimento Figura 4.3: Relação carga comprimento (a) e Relação frequência natural comprimento (b) da viga de Seção I.

64 Seção monosimétrica - perfil T. A Figura 4.4 apresenta uma seção monosimétrica em T. Na Tabela 4.4, apresentam-se as dimensões e as principais propriedades geométricas do perfil aqui analisado. Figura 4.4: Perfil monosimétrico T e suas dimensões características. Tabela 4.4: Propriedades geométricas da Seção T. Propriedades Geométricas b = 10,00 cm A = 18,776 cm 2 h = 19,20 cm J = 3,136 cm 4 t f = 0,85 cm I w = 36,224 cm 6 t w = 0,56 cm I y = 717,590 cm 4 y c = 0,00 cm I z = 71,102 cm 4 z c = 5,21 cm I r = 2,590E-07 m 6 As equações de movimento obtidas para este perfil são: 2 2 d d 23, 742 v 2 0 1, ,505v0 0 (4.33) dt dt 2 d 5 2 w 0 0 w 0 23,742 9, (4.34) dt 2 2 d d 1, 236 v 2 0 0, , (4.35) dt dt Note-se que a Equação (4.34) é desacoplada e as demais tem um acoplamento geométrico que depende do parâmetro z c.

65 65 As frequências naturais são obtidas a partir do determinante: 92104,5123, , , , , ,24-1,16 5 K M e (4.36) Resolvendo a Equação (4.36) têm-se as três raízes que são as frequências naturais e os modos de vibração mostradas na Tabela 4.5. Verifica-se que há um modo de flexão relativo ao eixo de maior inércia (Equação desacoplada (4.34)) e dois modos de flexo-torção. Tabela 4.5: Modos de vibração da seção T. Modo ω o (rad/s) Componentes Direção (v o ) Direção (w o ) Direção (θ o ) FT 59,012 0,000 0,910 0,415 F 197,869-1,000 0,000 0,000 FT 168,349 0,000-0,998 0,060 As cargas críticas são obtidas a partir de: 92104,51 P 0 0,05P G 9,30 P 0 0 (4.37) 0, 05P ,24-0,01P 5 K P K 0 10 e Resolvendo a Equação (4.37) têm-se as três raízes que são as cargas de bifurcação dos modos de flambagem apresentados na Tabela 4.6. Neste caso observa-se que tanto a frequência natural fundamental quanto a carga crítica correspondem a um modo acoplado de flexo-torção envolvendo os deslocamentos v o e θ o. Note-se também que a carga crítica é aproximadamente 90% da carga crítica de Euler para flambagem por flexão em torno do eixo de menor inércia. Este decréscimo se deve à interação entre flexão e torção que diminui a capacidade de carga do perfil.

66 66 Tabela 4.6: Modos de Flambagem da seção T. Modo Pcr. (KN) Componentes Direção (v o ) Direção (w o ) Direção (θ o ) FT 82,680 0,000 0,910 0,415 F 929,556-1,000 0,000 0,000 FT 672,879 0,000-0,998 0,060 A Figura 4.5, apresenta a variação da frequência natural com a carga aplicada para as três direções do sistema. Figura 4.5: Relação carga frequência de vibração da Seção T. A influência do comprimento da barra nas frequências de vibração e cargas de bifurcação é ilustrada na Figura 4.6. Verifica-se que para L = 4,78 m há duas frequências coincidentes, gerando uma ressonância interna 1:1. Pode-se também observar que há outras proporções inteiras entra as frequências naturais, o que pode gerar diversos problemas de ressonância interna. Por exemplo, para L = 2 m tem-se que ω 02 =2ω 01 e ω 03 =2ω 02. Para este comprimento também há coincidência de duas cargas de bifurcação. Nesta faixa de valores de L a flambagem sempre ocorre no modo flexo-torsional. O modo de flambagem depende da dimensão da seção e também do comprimento da viga.

67 67 a) Carga - Comprimento b) Frequência - Comprimento Figura 4.6: Relação carga comprimento (a) e Relação frequência natural comprimento (b) da viga de Seção T Seção monosimétrica - perfil C. A Figura 4.7 apresenta uma viga simplesmente apoiada de seção monosimétrica C. Figura 4.7: Perfil monosimétrico C e suas dimensões características. deste perfil. Na tabela Tabela 4.7, apresentam-se as principais propriedades geométricas

68 68 Tabela 4.7: Propriedades geométricas da Seção C. Propriedades Geométricas b = 10,00 cm A = 19,500 cm 2 h = 20,00 cm J = 1,692 cm 4 t f = 0,50 cm I w = 1,289E+04 cm 6 t w = 0,50 cm I y = 1236,600 cm 4 y c = -6,08 cm I z = 193,450 cm 4 z c = 0,00 cm I r = 3,51E-07 m 6 As equações de movimento para este perfil são: 2 d 5 2 v 0 0 v 0 24, 658 2, (4.38) dt 2 2 d d 5 24, 658 w 2 0 1, , w0 0 dt dt (4.39) 2 2 d d 1,500 w 2 0 0, , dt dt (4.40) Note-se que a Equação (4.38) tem um desacoplamento linear para a direção v o, e as demais equações têm um acoplamento geométrico que depende do parâmetro y c. As frequências naturais e modos de vibração são apresentados na Tabela 4.8. Nota-se neste caso que há dois modos de vibração com a praticamente a mesma frequência natural, o que gera uma ressonância interna 1:1. Tabela 4.8: Frequências naturais e modos de vibração da seção C. Modo ω o (rad/s) Componentes Direção (v o ) Direção (w o ) Direção (θ o ) F 100,811 1,000 0,000 0,000 FT 322,546 0,000 0,160-0,987 FT 102,390 0,000-0,012-0,999 As cargas críticas e os respectivos modos de flambagem são mostrados na Tabela 4.9 Novamente têm-se duas cargas de bifurcação próximas, o que pode levar a um acoplamento modal com perda de rigidez e, consequentemente, uma diminuição da capacidade de carga na presença de imperfeições geométricas iniciais.

69 69 A Figura 4.8 mostra a variação das frequências naturais com a carga compressiva axial. Nota-se que a ressonância interna ocorre independente do valor da carga, mantendo-se a relação ω 02 =ω 01. Tabela 4.9: Cargas e modos de bifurcação da seção C. Modo Pcr. (kn) Componentes Direção (v o ) Direção (w o ) Direção (θ o ) F 250,592 1,000 0,000 0,000 FT 2565,276 0,000 0,160-0,987 FT 258,501 0,000-0,012-0,999 Figura 4.8: Relação carga frequência de vibração da Seção C. a) Carga - Comprimento b) Frequência - Comprimento Figura 4.9: Relação carga comprimento (a) e Relação frequência natural comprimento (b) da viga de Seção C.

70 70 A Figura 4.9 mostra a variação das cargas criticas de flambagem do perfil de seção C, e das frequências naturais com o comprimento da viga L. Verificase que em toda a faixa de L analisada a interação modal pode ocorrer em virtude da proximidade de cargas e frequências tanto em problemas estáticos quanto dinâmicos Seção monosimétrica - perfil L. A Figura 4.10 apresenta uma viga simplesmente apoiada de seção monosimétrica L. Figura 4.10: Perfil monosimétrico L e suas dimensões características. Na Tabela 4.10, apresenta as propriedades geométricas deste perfil. Tabela 4.10: Propriedades geométricas da Seção monosimétrica L. Propriedades Geométricas b = 15,00 cm A = 14,750 cm 2 h = 15,00 cm J = 1,262 cm 4 t f = 0,50 cm I w = 22,240 cm 6 t w = 0,50 cm I y = 334,540 cm 4 y = -3,68 cm I z = 334,090 cm 4 z = -3,68 cm I r = 1,39E-07 m 6 I yz = -200,45 cm 4 Para analisar este exemplo, precisamos que as propriedades geométricas sejam referenciadas a seus eixos principais de inércia. Para isto deve-se utilizar as seguintes formulações:

71 71 Tan 2 I y I I yz z /2 I y I z I y I z Imax I min 2 2 x x cos y sin p y y cos x sin p 2 2 yx (4.41) (4.42) (4.43) Substituindo os valores da Tabela 4.10 nas Equações (4.41)-(4.43), obtêmse as seguintes propriedades listadas na Tabela Tabela 4.11: Propriedades geométricas principais da Seção monosimétrica L. Propriedades Geométricas nos Eixos Principais y c = -5,210 cm I max = 534,990 cm 4 z c = 0,000 cm I min = 134,090 cm 4 γ = 45,000 As equações de movimento fornecidas para este perfil são: 2 d 5 2 v 0 0 v 0 18, 651 1, (4.44) dt 2 2 d d 5 18, 651 w 2 0 0, , w0 0 dt dt (4.45) 2 2 d d 0,971 w 2 0 0, , dt dt (4.46) Note-se que a Equações (4.44) - (4.46) tem um acoplamento linear geométrico que depende do parâmetro y c. Resolvendo o problema de autovalor têm-se as três raízes que são as frequências naturais com as quais se podem calcular os modos de vibração mostrados na Tabela 4.12.

72 72 Tabela 4.12: monosimétrica L. Frequências naturais e modos de vibração da seção Modo ω o (rad/s) Componentes Direção (v o ) Direção (w o ) Direção (θ o ) F 96,504 1,000 0,000 0,000 FT 253,925 0,000 0,122-0,993 FT 83,445 0,000-0,012-0,999 As cargas críticas e os modos de flambagem deste perfil são apresentados na Tabela A relação frequência natural versus carga axial é apresentada na Figura L. Tabela 4.13: Cargas e modos de bifurcação da seção monosimétrica Direção Pcr. (kn) Modos de Flambagem Direção (v o ) Direção (w o ) Direção (θ o ) F 173,698 1,000 0,000 0,000 FT 1202,591 0,000 0,122-0,993 FT 129,870 0,000-0,012-0,999 Figura 4.11: Relação carga frequência de vibração da Seção monosimetrica L.

73 73 a) Carga - Comprimento b) Frequência - Comprimento Figura 4.12: Relação carga comprimento (a) e Relação frequência natural comprimento (b) da viga de Seção monosimetrica L. A Figura 4.12 mostra a variação das cargas criticas de bifurcação do perfil L em função do comprimento da viga. Pode-se observar que até um comprimento L = 4.51m a flambagem ocorre para um modo de flexão puro, mais para valores maiores o comportamento é flexo-torsional. Mudança semelhante ocorre no modo associado à frequência de vibração mínima. Assim como o perfil de seção C, para certos comprimentos há a possibilidade de ressonância interna e interação modal Seção assimétrica - perfil L. Finalmente neste último exemplo analisa-se o problema referente a uma seção assimétrica. A Figura 4.13 apresenta uma viga com seção transversal assimétrica L. Figura 4.13: Perfil assimétrico L e suas dimensões características.

74 74 A Tabela 4.14 apresenta as propriedades geometricas deste perfil. Tabela 4.14: Propriedades geométricas da Seção assimétrica L. Propriedades Geométricas b = 7,50 cm A = 11,000 cm 2 h = 15,00 cm J = 0,930 cm 4 t f = 0,50 cm I w = 12,391 cm 6 t w = 0,50 cm I y = 266,130 cm 4 y = -1,20 cm I z = 48,006 cm 4 z = -4,90 cm I r = 7,10E-08 m 6 I yz = -64,879 cm 4 Utilizando as Equações (4.41) a (4.43) do exemplo anterior, obtêm-se as propriedades geométricas com relação a seus eixos principais de inércia tal como mostra a Tabela L. Tabela 4.15: Propriedades geométricas principais da seção assimétrica Propriedades Geométricas nos Eixos Principais y c = -2,45 cm I max = 283,970 cm 4 z c = -4,41 cm I min = 30,167 cm 4 γ = 15,374 As equações de movimento fornecidas para este perfil são: 2 2 d d 13,909 v 2 0 0, , 897v0 0 dt dt (4.47) 2 2 d d 5 13,909 w 2 0 0, , w0 0 dt dt (4.48) d d d 0, 613 v 2 0 0,341 w 2 0 0, , dt dt dt (4.49) Note-se que as Equações (4.47) a (4.49) tem um acoplamento linear geométrico em nas todas as direções e que dependem do parâmetro y c e z c. As frequências naturais e modos de vibração são obtidos a partir do problema de autovalor:

75 ,89 13,91 0 0,61 0 3, ,91 0,34 0 0, 61 0,34 753,06-0,07 5 K M e (4.50) Sendo os resultados apresentados na Tabela 4.16 onde se observa que, em função da assimetria da seção, todos os modos são de flexo-torção. Tabela 4.16: Modos de vibração da seção assimétrica L. Modo ω o (rad/s) Componentes Direção (v o ) Direção (w o ) Direção (θ o ) FT 120,528-0,054-0,998-0,030 FT 196,654 0,047 0,996-0,077 FT 50,073 0,344-0,939-0,002 As cargas críticas são obtidas de: 39077,89 P 0 0,04P Ke P KG 0 P 0, 02P 0 (4.51) 0, 04P 0, 02P 753,06-0,01P 5 3, 6910 Os resultados são apresentados na Tabela 4.17, onde, novamente, todos os modos são de flexo-torção. Tabela 4.17: Modos de Flambagem da seção assimétrica L. Modo Pcr. (kn) Componentes Direção (v o ) Direção (w o ) Direção (θ o ) FT 202,062-0,054-0,998-0,030 FT 537,915 0,047 0,996-0,077 FT 34,875 0,344-0,939-0,002 Os resultados dos diversos exemplos mostram que, em virtude das características geométricas dos perfis esbeltos de seção aberta e assimétricas, a interação entre flexão e torção sempre ocorre, sendo em muitos casos a carga crítica e a frequência fundamental associada a um modo de flexo-torção. Também, em virtude das características geométricas destas estruturas, perfis com modos de

76 76 flexão e flexão-torção com a mesma carga crítica pode ocorrer gerando o fenômeno de interação modal. Frequências iguais também podem ocorrer gerando uma ressonância interna 1:1. Finalmente varias relações do tipo ω 0i /ω 0j =n com n inteiro podem ser observadas na presente análise paramétrica, mostrando a possibilidade de diversas ressonâncias internas. Estes problemas de interação modal se tornam ainda mais importantes quando se consideram nas barras esbeltas os acoplamentos devidos as não linearidades geométricas e excentricidades da carga com relação ao centro de cisalhamento, assunto abordado no próximo capítulo da dissertação.

77 5. ANÁLISE NÃO LINEAR. Após a análise linear, apresentada no capítulo anterior, este capítulo investiga a influência da não linearidade geométrica da estrutura no seu comportamento dinâmico sob cargas harmônicas laterais e os possíveis fenômenos de instabilidade dinâmica. Mais especificamente, estuda-se a dinâmica e estabilidade de uma viga biapoiada com seção transversal C, dado que esta geometria de seção permite um estudo detalhado da influência da direção e posição do carregamento no comportamento não linear e, em particular, no acoplamento entre flexão e torção. Para a resolução numérica do sistema de equações não lineares, o método de Runge-Kutta de quarta ordem é utilizado. Adicionalmente, para uma mais completa compreensão do comportamento da estrutura sob diferentes condições de carregamento, diversas ferramentas para análise dinâmica não linear são empregadas, entre elas, diagramas de bifurcações, planos de fase, seções de Poincaré, bacias de atração e transformadas de Fourier (Del Prado, 2001) Equações de movimento para o perfil monosimétrico C Para estudar o comportamento dinâmico do perfil com seção C, utiliza-se uma viga com L=4m e as propriedades geométricas listadas na Tabela 4.7. Assim, as equações não lineares que governam o movimento forçado da estrutura são: 2 d d 3 v0 8,177 v ,916v0 783, 625v ,378w00 dt dt 41101, 496 v 0, 084Q sin( t) y 2 2 d d d w 2 0 8,177 w0 0, , 911w0 5009, 203w dt dt dt 46517, 378v 41101, 49 t) w00 0, 084Qzsin( z y 3 0 (5.1) (5.2)

78 d d d , w 0 0 dt 5,513 dt dt 11160, , , vw 0 0 3, v0 3, w0 7,588Q sin( t) e 5,959Q sin( t) e 0 z z y z z z (5.3) onde, v o, w o, e θ o são as amplitudes dos deslocamentos dependentes do tempo, associados aos graus de liberdade de flexão em torno dos eixos principais de inércia e torção, respectivamente; Q y e Ω y são a magnitude da carga lateral e a frequência da excitação na direção Y; e Q z e Ω z são a magnitude da carga lateral e a frequência da excitação na direção Z, enquanto e y e e z são as excentricidades da carga com relação ao centro de cisalhamento e ξ é o amortecimento viscoso. Cabe ressaltar, como mostra a equação (5.3), que as excentricidades podem gerar efeitos de torção de primeira e segunda ordem (termo dependente de 0 ). Como se pode observar nas Equações (5.1) a (5.3), o modelo dinâmico objeto de estudo neste trabalho é descrito por um sistema de equações diferenciais ordinárias de 2ª ordem. Contudo, para a utilização de um vasto arcabouço teórico, este sistema é transformado em um sistema de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem no espaço de fase, a saber: y1 0 (5.4) 46517, 378y y 41101, 496y y 8,177 y 0,084Q sin( t) , 916y 783, 625y y y (5.5) y3 0 (5.6) 0,126Q sin( t) 69979, 262 y y 61831, 782 y y 12, 301 y 97731,143 y z z ,685 y 3, y y 3, y y , y y 0, 694Q sin( t) e 67, 812 y 1021, 058y z z y , 286y 0, 545Q sin( t) e y z z z 4 4 (5.7) y5 0 (5.8) 41541, 689 y 8, 965Q sin( t) e y 6, y y 5, y z z z , 751y 30406, 885y 0, 694Q sin( t) 67,812 y , 415Q sin( te ) 5, y y 1114,995 y 3, y y z z y 5, y y 3, y y z z (5.9) d d onde: y 0 = v 0, y 1 = v0 v0, y 2 = w 0, y 3 = w0 w0 dt dt, y 4 = θ 0 e y 5 = d. 0 dt 0

79 Vibração livre Apresentadas as equações de movimento, considera-se inicialmente um sistema autônomo não amortecido (Q y = Ω y = Q z = Ω z =0, =0). Para as condições iniciais y 0 = 0,001m, y 2 = y 3 = y 4 = y 5 = 0 têm-se a resposta no tempo e o espectro de frequência do sinal dados na Figura 5.1, dos quais se obtém uma frequência de vibração 0 = 100,853 rad/s. Cabe destacar que a frequência fundamental de vibração, obtida a partir do sistema de equações linearizado (Capítulo 4) foi de = 100,811 rad/s, correspondente a um modo de flexão em torno de eixo de menor inércia, sendo, portanto, próxima à obtida com o sistema não linear de equações considerando pequenos deslocamentos. Esta frequência, como mostrado no Capítulo 4, é bem próxima da segunda frequência natural correspondente a um modo de flexo-torção no valor de 102,39 rad/s, o pode gerar neste caso uma ressonância interna 1:1 (. a) Resposta no tempo b) Espectro de frequência Figura 5.1: Resposta no tempo e espectro de frequência para o sistema autônomo não amortecido. Em adição, na Figura 5.2 mostra-se a relação não linear frequência vs. amplitude dos deslocamentos na direção Y. Observa-se que a curva, com início no valor da frequência natural de vibração, apresenta, devido à influência da não linearidade geométrica, um comportamento com ganho de rigidez (hardening). Comportamento esperado para estruturas unidimensionais tipo viga.

80 80 Figura 5.2: Variação da frequência devida a não linearidade geométrica Vibração Forçada: carregamento Q y Uma vez identificado um comportamento estrutural com ganho de rigidez, estuda-se agora a vibração forçada da estrutura. Inicialmente considera-se uma solicitação harmônica, uniformemente distribuída, aplicada lateralmente à viga e na direção Y (eixo de simetria da seção). A Figura 5.3 mostra a localização da forca excitadora, a qual está aplicada no centro de cisalhamento do perfil. Para esta condição, nas Equações (5.4) a(5.9) faz-se Q z = Ω z = e z = e y = 0. Figura 5.3: Perfil monosimétrico C e aplicação da força excitadora Q y no centro de cisalhamento. Sabe-se que os sistemas lineares não amortecidos possuem na ressonância soluções que crescem indefinidamente no tempo, mas, em sistemas reais, os quais possuem certo grau de amortecimento, um efeito estabilizante é esperado.

81 81 Este comportamento pode ser observado na Figura 5.4, onde se apresentam, para diferentes valores de amortecimento viscoso (ξ), diagramas de bifurcações da estrutura, tomando o deslocamento na direção Y, v o (isto é, na direção da solicitação) como variável de estado e a frequência da excitação, Ω y, como parâmetro de controle. Estes diagramas são obtidos aplicando-se o método da força-bruta (Seydel, 1988) e considerando a magnitude da excitação Q y = 1kN/m. ξ = 0,32%. ξ = 0,42%. ξ = 0,52%. ξ = 0,62%. ξ = 0,72%. ξ = 0,82%.

82 82 ξ = 0,92%. ξ = 1,02%. ξ = 1,12%. ξ = 1,22%. Figura 5.4: Diagramas de bifurcação considerando o sistema de 3GDL com frequência de excitação Ω y variando entre 92 e 112 rad/s, para Q y = 1kN/m. Sabe-se que elementos estruturais construídas com perfis metálicos possuem amortecimento viscoso da ordem de 0,3% a 3%, dependendo do tipo de estrutura e das ligações (Stevenson, 1980). Observa-se na Figura 5.5(a) que, para valores pequenos de amortecimento, por exemplo, = 0,32%, saltos dinâmicos podem ser observados na resposta da estrutura, tanto incrementando (em azul) quanto decrescendo (em vermelho) a frequência da excitação. a) Diagrama de bifurcação direção v o b) Diagrama de bifurcação direção w o c) Diagrama de bifurcação direção θ o

83 83 d) Resposta no tempo na direção v o e) Resposta no tempo na direção w o f) Resposta no tempo na direção θ o g) Plano de fase na direção v o h) Plano de fase na direção w o i) Plano de fase na direção θ o j) Bacia de atração k) Espectro de frequência 1 l) Espectro de frequência 2 Figura 5.5: Diagrama de bifurcação, resposta no tempo, plano de fase, bacia de atração e espectro de frequência, para o sistema de 3GDL com ξ=0.32%. e Qy = 1kN/m. Na Figura 5.5(b-c, e-f) pode-se observar que, apesar do sistema possuir 3 GDL, os deslocamentos na direção Z, assim como o ângulo de torção, são nulos. Na Figura 5.5(a), verifica-se a coexistência de duas soluções periódicas estáveis quando Ω y = 103,04 rad/s, ambas de período um, como observado na Figura 5.5(g, k-l). A bacia de atração mostrada na Figura 5.5(j), apresenta um conjunto de condições iniciais (na cor vermelha) associado à solução de pequena amplitude de vibração. O atrator desta solução possui coordenadas 0,029; -19,463; 0,0; 0,0; 0,0;0,0. As demais condições iniciais (na cor azul) estão associadas à solução de

84 84 maior amplitude de vibração. As coordenadas deste atrator são: -0,692; 65,004; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0. Uma vez que os deslocamentos w o e o são nulos, um sistema com 1 GDL poderia ser utilizado, minimizando assim o esforço computacional. Para tanto, basta considerar apenas as Equações (5.4) a (5.9). Tomando então um sistema com 1GDL, apresenta-se na Figura 5.6(a) o diagrama de bifurcações da estrutura para coeficiente de amortecimento viscoso ξ = 0,32%. Na Figura 5.6(b) considera-se ξ = 1,22%. Comparando a Figura 5.4(a) com a Figura 5.6(a) e a Figura 5.4(j) com a Figura 5.6(b) verifica-se, devido à coincidência das soluções, a viabilidade de se utilizar o sistema com 1 GDL para pequenos níveis de carregamento. Entretanto este modelo seria incapaz de detectar a perda de estabilidade do movimento planar, como se mostra a seguir. ξ = 0,32%. ξ = 1,22%. Figura 5.6: Diagrama de bifurcação para a direção v 0 com Q y = 1kN/m e uma frequência de excitação Ω y variando entre 92 e 112 rad/s, para o sistema com 1GDL. Considerando agora a magnitude da excitação como parâmetro de controle, coeficiente de amortecimento viscoso ξ = 1,22% e frequências de excitação Ω y = 90; 100,08 e 104 rad/s, obtêm-se os diagramas de bifurcações da Figura 5.7. Nota-se que a amplitude máxima da resposta permanente varia com a magnitude da excitação com uma relação praticamente linear até aproximadamente Q y = 1 kn/m mas, depois, tem-se um comportamento acentuadamente não linear, sendo esta mudança dependente da frequência de excitação, como se observa na Figura 5.7(b).

85 85 a) 0 Qy 1 kn/m b) 1 Qy 50 kn/m Figura 5.7: Diagramas de bifurcação para a direção v o com Ω y = 90, e 104 rad/s, ξ = 1,22% e Qy variando de 1 a 50 kn/m. A Figura 5.8 mostra os diagramas de bifurcação considerando o modelo com 3 GDL bem como a resposta no tempo, plano de fase, bacia de tração e espectro de frequência para Ω y = rad/s, ξ = 0.32% e Q y =1,035 kn/m (valor identificado nos diagramas de bifurcação por uma linha pontilhada). Verifica-se nos diagramas de bifurcação mostrados na Figura 5.8 (a-c) a presença de uma bifurcação por duplicação de período, como comprovam as Figuras 5.8 (h, i) onde se observam nos planos de fase dois pontos fixos correspondentes à seção de Poincaré (pontos em destaque na seção). Neste ponto o movimento planar na direção de Y se torna instável dando origem a soluções não planares com flexão na direção Z (transversal à direção de aplicação da excitação) e torção. Utilizando o modelo com 1GDL não se consegue detectar o comportamento mostrado anteriormente para a faixa de carregamento Q y entre 940 e 1060 N/m, como mostra a Figura 5.9. Observa-se também que para certa faixa de excitação há duas soluções estáveis coexistentes (uma solução planar e uma solução não planar), como ilustra a bacia de atração da Figura 5.8(j), onde a região em vermelho corresponde ao conjunto de condições iniciais que levam à solução planar e a região em azul, ao conjunto de condições iniciais que levam à solução não planar.

86 86 a) Diagrama de bifurcação direção v o b) Diagrama de bifurcação direção w o c) Diagrama de bifurcação direção θ o d) Resposta no tempo na direção v o e) Resposta no tempo na direção w o f) Resposta no tempo na direção θ o g) Plano de fase na direção v o h) Plano de fase na direção w o i) Plano de fase na direção θ o j) Bacia de atração k) Espectro de frequência 1 l) Espectro de frequência 2 Figura 5.8: Diagrama de bifurcação para o modelo com 3 GDL e respostas no tempo, planos fase, bacia de tração e espectros de frequência para Ω y = rad/s, ξ = 0.32% e Q y =1,035 kn/m.

87 87 a) 1GDL b) 3GDL Figura 5.9: Diagrama de bifurcação para a direção v 0 com Ω y = rad/s, ξ = 0.32% e magnitude da excitação Q y variando entre 940 e 1060 N/m Vibração forçada: carregamento Q z aplicado no centro de cisalhamento Considera-se agora uma solicitação harmônica aplicada na direção Z atuando no centro de cisalhamento do perfil, como mostra a Figura 5.10 Para esta condição, faz-se necessário considerar nas Equações de movimento (5.4) a (5.9), Q y = Ω y = e z = e y = 0. Figura 5.10: Perfil monosimétrico C e aplicação da forca excitadora. Para efeito de comparação, calcula-se a seguir a carga de flambagem lateral para uma viga simplesmente apoiada de seção C submetida a uma carga uniformemente distribuída. O momento estático crítico para uma viga com carregamento aplicado no centro de cisalhamento, é dado pela seguinte equação (H. G. Allen, P. S. Bulson (1980)):

88 88 M ocr EI zgj EIw 1 2 L GJL (5.10) I z 1 e Iz Iy (5.11) I y onde: δ é um fator que representa o efeito de flexão no plano vertical da viga. Substituindo na Equação (5.10), os valores apresentados na Tabela 4.7 do Capitulo 4, obtêm-se M ocr = 33934,840 Nm. Sabe-se também que: 2 QzcrL M ocr (5.12) 8 Da Equação (5.12) tem-se para o carregamento lateral crítico Q zcr = 16,967 kn/m. A Figura 5.11 apresenta os diagramas de bifurcações da estrutura para diferentes valores da frequência da excitação, considerando a magnitude da excitação Q z como parâmetro de controle e amortecimento viscoso ξ = 1,22%. a) Ωz = 30 rad/s b) Ωz = 90 rad/s

89 89 c) Ωz = 100 rad/s d) Ωz = 102 rad/s e) Ωz = 105 rad/s f) Ωz = 108 rad/s g) Ωz = 110 rad/s

90 90 h) Ωz = 114 rad/s i) Ωz = 140 rad/s j) Ωz = 150 rad/s k) Ωz = 160 rad/s Figura 5.11 : Diagramas de bifurcação variando a frequência Ω z e a magnitude de excitação Q z com ξ = 1.22% para a direção v o, w o e θ o. Verifica-se que o comportamento da estrutura é fortemente influenciado tanto pela amplitude quanto pela frequência da excitação. À medida que cresce a frequência de excitação na região de ressonância, diferentes sequências de

91 91 bifurcações são observadas, gerando diferentes tipos de comportamento dinâmico. Algumas respostas são particularmente interessantes, como, por exemplo, na Figura 5.11(c), Ωz = 100 rad/s, verifica-se o menor valor para a carga crítica dinâmica Qz, justamente para uma frequência da excitação próxima à frequência natural de vibração da estrutura (ressonância 1:1); na Figura 5.11(e), Ωz = 105 rad/s, após a região de ressonância 1:1, verifica-se a presença de uma bifurcação do tipo supercrítica; e nas Figura 5.11(g), Ωz = 110 rad/s, verifica-se uma nuvem de pontos entre Q z = kn/m e Q z = kn/m.. Na Figura 5.12 é mostrada a fronteira de estabilidade no espaço de controle (frequência de excitação Ω z versus magnitude da excitação Q z ) do sistema com excitação harmônica. A região abaixo da fronteira de instabilidade representa os parâmetros para os quais pequenas perturbações levam o sistema a uma ou mais soluções estáveis. A região superior representa os parâmetros para os quais pequenas perturbações levam ao colapso da estrutura (os deslocamentos e/ou rotações aumentam indefinidamente). Verifica-se que a carga crítica varia bastante com o valor da frequência de excitação. Nas regiões de ressonância externa 1:1 e 1:1½, a estrutura apresenta as menores cargas críticas dinâmicas. Figura 5.12: Fronteira de estabilidade no espaço de controle da carga. Excitação aplicada na direção Z com frequência, variando entre Ω z = 15 e 300 rad/s e ξ=1.22%. Para z = 100,0 rad/s, isto e, Figura 5.11(c) e Q z = 6kN/m, mostra-se na Figura 5.13 a resposta no tempo da estrutura, juntamente com um detalhe da fase permanente da mesma, respectivamente para as direções v o, w o, θ o.

92 92 a) Resposta no tempo na direção v o b) Resposta no tempo na direção w o c) Resposta no tempo na direção θ o d) Resposta permanente na direção v o e) Resposta permanente na direção w o f) Resposta permanente na direção θ o g) Plano de fase na direção v o h) Plano de fase na direção w o i) Plano de fase na direção θ o Figura 5.13: Resposta no tempo do sistema, detalhe da resposta na fase permanente, espaço de fase e seção de Poincaré para as direções v o, w o, θ o com Ωz=100.0 rad/s e ξ=1.22% e uma magnitude de excitação Q z =6 kn/m. Verifica-se, como mostra a Figura 5.13, que, após a perturbação inicial, há um crescimento exponencial da amplitude, indicando a perda de estabilidade, mas que, depois de certo tempo, as não linearidades são mobilizadas e a amplitude da resposta para de crescer e fica oscilando em torno de uma configuração de equilíbrio não trivial, tendo período 1T, tal como pode ser observado nas Figura 5.13(g-i). Diz-se que uma solução tem período nt, quando o período da resposta é n vezes o período da força. O conteúdo de frequência dos sinais w o e θ o, como se

93 93 verifica na Figura 5.14, acusa a presença de, respectivamente, dois e três superharmônicos, o que explica a complexidade da resposta no tempo e plano de fase. a) Direção v o b) Direção w o c) Direção θ o Figura 5.14: Espectros de frequência na direção v o w o e θ o. Dando continuidade ao estudo das vibrações forçadas amortecidas da estrutura, realiza-se agora um estudo mais detalhado da sequência de soluções observadas nos diagramas de bifurcação da Figura 5.11(e), para z = 105,0 rad/s. Consideram-se, para o estudo, três seções do diagrama de bifurcação, conforme indicado na Figura Figura 5.15 : Diagrama de bifurcação com as três seções analisadas. Para a seção 1 da Figura 5.15 (Qz = 20,053 kn/m) tem-se na Figura 5.16 a resposta no tempo e o plano de fase com a respectiva seção de Poincaré da estrutura, na qual verifica-se a presença de uma solução planar estável de período 1T, com pequena amplitude de vibração.

94 94 a) Detalhe Seção 1 b) Resposta no tempo c) Plano de fase Figura 5.16: Resposta no tempo, plano de fase e seção de Poincaré para a seção 1, com Ω z =105 rad/s, Q z = 20,053 kn/m e ξ=1.22%. De forma similar, para a seção 2 da Figura 5.15 (Q z = 30 kn/m), verifica-se também uma única solução estável de período 1, porém com maior amplitude (Figura 5.17). a) Detalhe Seção 2 b) Resposta no tempo na direção v o c) Resposta no tempo na direção w o d) Resposta no tempo na direção θ o e) Plano de fase na direção v o f) Plano de fase na direção w o

95 95 g) Plano de fase na direção θ o Figura 5.17: Resposta no tempo, plano de fase e seção de Poincaré para a seção 2, com Ω z =105 rad/s, Q z = 30 kn/m e ξ=1.22%. Contudo, para a seção 3 da Figura 5.15 (Q z = 34,5 kn/m), observa-se a presença de duas soluções periódicas estáveis, ambas de período dois. Na Figura 5.18, Figura 5.19 e Figura 5.20 mostram-se várias projeções da resposta no tempo e plano de fase associadas aos três graus de liberdade onde se podem identificar estas duas soluções de período dois. As condições iniciais associadas com estas duas soluções são mostradas na seção bidimensional da bacia de atração da Figura 5.18(g). As duas regiões em azul correspondem às bacias de uma solução, enquanto as duas regiões em verde correspondem à outra solução. Verifica-se que a maioria das condições iniciais leva a uma resposta instável (região branca). a) Detalhe seção 3 b) Resposta no tempo 1 c) Resposta no tempo 2

96 96 d) Resposta no tempo 3 e) Resposta no tempo 4 f) Plano de fase g) Bacia de atração Figura 5.18: Diagrama de bifurcação, resposta no tempo, plano de fase e bacia de atração para o sistema, com Ω z = 105 rad/s, Q z = 34,5 kn/m e ξ = 1.22% na direção v o. a) Detalhe seção 3 b) Resposta no tempo 1 c) Resposta no tempo 2 d) Resposta no tempo 3 e) Resposta no tempo 4 f) Plano de fase Figura 5.19: Diagrama de bifurcação, resposta no tempo e plano de fase para o sistema, com Ω z = 105 rad/s, Q z = 34,5 kn/m e ξ = 1.22% na direção w o.

97 97 a) Detalhe seção 3 b) Resposta no tempo 1 c) Resposta no tempo 2 d) Resposta no tempo 3 e) Resposta no tempo 4 e) Plano de fase Figura 5.20: Diagrama de bifurcação, resposta no tempo e plano de fase para o sistema, com Ω z = 105 rad/s, Q z = 34,5 kn/m e ξ = 1.22% na direção θ o. Em adição, na Figura 5.21 apresentam-se alguns detalhes do diagrama apresentado na Figura 5.11(g) para y = 110 rad/s, na região onde uma nuvem de pontos pode ser observada. 17 Q z 19 kn/m 19 Q z 21 kn/m 21 Q z 23 kn/m 23 Q z 25 kn/m 25 Q z 27 kn/m 27 Q z 29 kn/m

98 98 29 Q z 31 kn/m 31 Q z 33 kn/m 33 Q z 35 kn/m Figura 5.21: Detalhes do diagrama de bifurcações apresentado na Figura 5.14 (y) para a direção v o. Em geral, verifica-se a presença de uma nuvem de pontos intercalados por pequenas janelas de soluções periódicas. Este comportamento pode ser observado analisando a Figura 5.21(c), considerando nela duas seções, tal como ilustrado na Figura Figura 5.22: Diagrama de bifurcação com as duas seções. Para a seção 1 da Figura 5.22 (Q z = 21,45 kn/m), apresentam-se na Figura 5.23 a resposta no tempo (azul) e plano de fase com a respectiva seção de Poincaré (vermelho) na qual se pode observar uma solução quase periódica.

99 99 a) Detalhe seção 1 b) Resposta no tempo c) Plano de fase Figura 5.23: Resposta no tempo, plano de fase e seção de Poincaré para a seção 1, com Ω z =110 rad/s, Q z = 21,45 kn/m e ξ=1.22%. Para a seção 2 da Figura 5.22, (Q z = 21,5 kn/m), verifica-se a presença de uma única solução estável de período 5 (5 pontos no plano de fase com seção de Poincaré). As condições iniciais associadas a esta solução são mostradas na seção bidimensional da bacia de atração Figura 5.24(h-i), na qual se observam as cinco regiões da bacia correspondentes a estes cinco pontos fixos. Convém salientar que a bacia de atração da solução corresponde à união destas cinco regiões. a) Detalhe seção 2 b) Resposta no tempo 1 c) Resposta no tempo 2 d) Resposta no tempo 3 e) Resposta no tempo 4 f) Resposta no tempo 5

100 100 g) Plano de fase h) Bacia de atração 1 i) Bacia de atração 2 Figura 5.24: Diagrama de bifurcação, resposta no tempo, plano de fase e bacia de atração para o sistema, com Ω z =110 rad/s, Q z = 21,5 kn/m e ξ=1.22%. Finalmente, na Figura 5.25 apresentam-se os diagramas de bifurcações, tomando a frequência da excitação, Ω z, como parâmetro de controle para valores selecionados da magnitude da excitação em termos das componentes v o, w o e θ o. Neles verificam-se regiões onde nenhuma solução estável pode ser identificada, mostrando que certas combinações de magnitude e frequência da excitação podem levar ao colapso estrutural, um risco mais acentuado para magnitude de excitação mais elevada. Para Q z = 4500 N/m, um valor bem menor que a carga crítica estática (Q zcr = 16,967 kn/m), identifica-se sempre uma resposta estável independente do valor de Ω z. Para Q z = N/m, um valor um pouco inferior à carga crítica estática, já se observa na vizinhança da frequência fundamental uma região sem soluções periódicas estáveis. Quando se tem um nível de carregamento superior à carga crítica estática, observam-se respostas dinâmicas estáveis para apenas alguns valores de frequência de excitação. a) Qz = 4500 N/m.

101 101 b) Qz = N/m. c) Qz = N/m. d) Qz = N/m. Figura 5.25: Diagramas de bifurcação variando a frequência de excitação Ω z, para diferentes magnitudes de excitação Q z nas direções v o, w o e θ o com ξ=1.22% Vibração forçada: carregamento Q z aplicado no centro de gravidade. A Figura 5.26 mostra a localização da força excitadora atuando no centro de gravidade do perfil. Para esta condição de carregamento, tem-se uma excentricidade com relação ao centro de cisalhamento, e y = 0, m e faz-se necessário considerar nas Equações de movimento (5.4) a (5.9), e z = 0,0 m. Com isto aumenta o efeito da torção no comportamento dinâmico da estrutura.

102 102 Figura 5.26: Perfil monosimétrico C e aplicação da forca excitadora no centro de gravidade. A Figura 5.27 apresenta os diagramas de bifurcações da estrutura para diferentes valores da frequência de excitação, considerando a magnitude da excitação Q z como parâmetro de controle e amortecimento viscoso ξ = 1,22%. a) Ω z = 15 rad/s b) Ω z =35 rad/s

103 103 c) Ω z =45 rad/s d) Ω z =85 rad/s e) Ω z =100 rad/s f) Ω z =105 rad/s g) Ω z =110 rad/s

104 104 i) Ω z =140 rad/s j) Ω z =145 rad/s Figura 5.27: Diagramas de bifurcação variando a frequência Ω z e a magnitude de excitação Q z com ξ =1.22% para as direções v o, w o e θ o. A Figura 5.27 mostra que para valores de 0 Ω z 40 rad/s o sistema tem solução estável de pequena amplitude até Q z 10 kn; para valores Ω z > 40 observa-se aumento em todas as componentes de deslocamentos e aumento da capacidade de carga do perfil. Observa-se que, na maioria dos casos, a instabilidade ocorre de forma abrupta, sem a presença de bifurcações secundárias que indiquem a iminência de perda de estabilidade. Cascatas de bifurcações, quando existem, estão restritas a uma pequena faixa de variação de Q z. Para z = 100,0 rad/s, isto é, Figura 5.27(e) e Q z = 21,750 kn/m, mostra-se na Figura 5.28 a resposta no tempo (Figura 5.28a-c), detalhe da resposta permanente (Figura 5.28d-f), plano de fase (Figura 5.28g-i) e espectros de frequência (Figura 5.28 j-l) para as componentes de deslocamento v o, w o e θ o. Este nível de carga é levemente superior à carga associada à primeira bifurcação. Na Figura 5.28 pode-se observar que o sistema apresenta uma solução com período 2T, indicando ser esta uma bifurcação por duplicação de período. Observa-se que a torção tem grande influência nas oscilações gerando rotações de grande

105 105 amplitude (aproximadamente ±0.75 rad (±43 0 )). Como se pode observar nos espectros de frequência, a resposta do tempo apresenta a influência de várias frequências incluindo super-harmônicos, sub-harmônicos e combinações de frequência. a) Resposta no tempo na direção v o b) Resposta no tempo na direção w o c) Resposta no tempo na direção θ o d) Resposta permanente na direção v o e) Resposta permanente na direção w o f) Resposta permanente na direção θ o g) Plano de fase na direção v o h) Plano de fase na direção w o i) Plano de fase na direção θ o

106 106 j) Espectro de frequência na direção v o k) Espectro de frequência na direção w o l) Espectro de frequência na direção θ o Figura 5.28: Resposta no tempo do sistema, resposta na fase permanente, espaço de fase, seção de Poincaré e espectros de frequência para as componentes v o, w o, θ o com Ωz = rad/s e ξ = 1.22% e uma magnitude de excitação Q z = 21,750 kn/m. Para z = 105,0 rad/s e Qz = 20,024 kn/m, ver Figura 5.27(f), mostra-se na Figura 5.29 a resposta no tempo e o plano de fase com a seção de Poincaré da estrutura, na qual verifica-se a presença de uma solução estável de período 1T, com pequena amplitude de vibração. a) Figura 5.23(r) b) Detalhe da seção

107 107 c) Resposta no tempo d) Plano de fase Figura 5.29: Resposta no tempo, plano de fase e seção de Poincaré para a direção v o, com Ω z = 105 rad/s, Q z = 20,024 kn/m e ξ=1.22%. De forma similar, para z = 110,0 rad/s e Q z = 21,503 kn/m, ver Figura 5.27(s), verifica-se também uma única solução estável de período 1T. Observa-se que a oscilação ocorre em torno de uma posição de equilíbrio não trivial, (Figura 5.30). a) Figura 5.23(s) b) Detalhe da seção c) Resposta no tempo d) Plano de fase Figura 5.30: Resposta no tempo, plano de fase e seção de Poincaré para a direção v o, com Ω z =110 rad/s, Q z = 21,503 kn/m e ξ=1.22%.

108 108 Comparando-se a Figura 5.28 com os resultados da Figura 5.16, referente a uma carga aplicada no centro de cisalhamento, pode-se observar que, para uma frequência de excitação e um carregamento de mesma magnitude, os deslocamentos são maiores. Da mesma forma pode-se observar uma grande diferença entre os resultados da Figura 5.29 e os da Figura A Figura 5.31 mostra a fronteira de estabilidade para o carregamento Q z aplicado no centro de gravidade do perfil. Nota-se, como na Figura 5.12, que a capacidade de carga da estrutura varia bastante com a frequência de excitação, atingindo um valor mínimo para uma frequência um pouco menor que a frequência fundamental da estrutura. Comparando-se com a Figura 5.12, nota-se que a posição do carregamento tem uma grande influência no valor da carga crítica dinâmica neste tipo de estrutura. Figura 5.31: Fronteira de estabilidade no espaço de controle da carga. Excitação aplicada na direção Z com frequência variando entre Ω z = 15 e 300 rad/s. e ξ = 1.22%. A Figura 5.32 mostra a influência da excentricidade na direção Y variando a posição da carga Q z desde o centro de cisalhamento (e y = 0,0 m) até o centro de gravidade (e y = 0, m). Observar-se que, para frequência de excitação entre 0 Ω z 60 rad/s, a capacidade de carga da estrutura é maior quando o carregamento está aplicado no centro de cisalhamento. Para 60 Ω z 90 rad/s a capacidade de carga da estrutura praticamente independe da posição de aplicação da carga. Já na região de ressonância, a capacidade de carga é maior quando a carga é aplicada no centro de gravidade. Para 100 Ω z 110 rad/s, verifica-se

109 109 novamente uma maior capacidade de carga da estrutura quando a solicitação está aplicada no centro de cisalhamento. Para valores Ω z 110 rad/s têm-se um melhor comportamento quando o carregamento é aplicado no centro de gravidade. Figura 5.32: influência da excentricidade na direção Y na fronteira de estabilidade Vibração forçada: carregamento Q z aplicado na mesa superior do perfil. A Figura 5.33 mostra a localização da força excitadora atuando na mesa superior do perfil. Para esta condição de carregamento há duas excentricidades com relação ao centro de cisalhamento e faz-se necessário considerar nas Equações (5.4) a (5.9) as seguintes excentricidades e z = 0,10 m e e y = 0, m. Figura 5.33: Perfil monosimétrico C e aplicação da forca excitadora no espaço.

110 110 Sabendo-se que a frequência natural de vibração da estrutura é o = 100,8113 rad/s, na Figura 5.34 apresentam-se os diagramas de bifurcações da estrutura para diferentes valores da frequência de excitação, em função da componente v o, magnitude da excitação Q z variável e coeficiente de amortecimento viscoso = 1,22%. a) Ω z = 15 rad/s b) Ω z = 20 rad/s c) Ω z = 25 rad/s d) Ω z = 30 rad/s e) Ω z = 35 rad/s f) Ω z = 40 rad/s g) Ω z = 45 rad/s h) Ω z = 50 rad/s i) Ω z = 55 rad/s j) Ω z = 60 rad/s k) Ω z = 65 rad/s l) Ω z = 70 rad/s

111 111 m) Ω z = 75 rad/s n) Ω z = 80 rad/s o) Ω z = 85 rad/s p) Ω z = 90 rad/s q) Ω z = 95 rad/s r) Ω z = 100 rad/s s) Ω z = 110 rad/s t) Ω z = 120 rad/s u) Ω z = 130 rad/s v) Ω z = 140 rad/s w) Ω z = 150 rad/s x) Ω z = 160 rad/s Figura 5.34: Diagrama de bifurcações, para a direção v o com frequência variando entre 15 e 160 rad/s e = 1,22%. Algumas respostas são particularmente interessantes, como, por exemplo: na Figura 5.34(h) verifica-se um amento na amplitude dos deslocamentos para frequência da excitação aproximadamente igual à metade da frequência natural de vibração da estrutura (ressonância 1:½); na Figura 5.34(s) (após a região de

112 112 ressonância 1:1) verificam-se bifurcações do tipo supercríticas (dobra de período ou de solução); e na Figura 5.34(v) verifica-se uma nuvem de pontos (soluções quase-periódicas ou caóticas). Para todos os valores de frequência da excitação, a partir de certo nível de carregamento (magnitude da excitação) a solução apresenta divergência. Na Figura 5.35, por exemplo, apresenta-se o diagrama de bifurcações, tomando a frequência da excitação como parâmetro de controle e assumindo Q z = 20 kn/m. Observa-se a presença de um braço de soluções estáveis apenas entre 48,95 e 51,70 rad/s e 95,60 e 139,90 rad/s, em conformidade com os diagramas apresentados na Figura Figura 5.35: Diagrama de bifurcações para a direção v o, com amplitude Q z = 20.kN/m e frequências variável. Um diagrama de bifurcações completo pode ser observado assumindo a magnitude da excitação Q z = 7,5 kn/m, conforme se observa na Figura Fica evidente um pico na amplitude dos deslocamentos na metade da frequência natural de vibração da estrutura, indicando uma ressonância sub-harmônica de ordem 1/2.

113 113 Figura 5.36: Diagrama de bifurcações, para a direção v o, com amplitude Q z = 7.5 kn/m e frequências variável. Na Figura 5.37 apresenta-se a seção v o versus w o da bacia de atração hexadimensional. Nela verifica-se um conjunto de condições iniciais (na cor preta) associado com uma solução não planar (v 0 w 0 0 0; Figura 5.38). As demais condições iniciais (na cor branca) correspondem a soluções divergentes. Figura 5.37: Seção v 0 versus w 0 da bacia de atração. a) Resposta permanente na direção v o b) Resposta permanente na direção w o c) Resposta permanente na direção θ o

114 114 d) Plano de fase na direção v o Figura 5.38: Solução estável não planar do sistema para Q z = 7,5 kn/m e z = 50 rad/s. Também na Figura 5.37, não se verifica a coexistência de soluções estáveis para a mesma faixa de frequência da excitação. Na Figura 5.39 apresenta-se o diagrama de bifurcações da estrutura, assumindo Q z = 10 kn/m e tomando a frequência da excitação como parâmetro de controle, sendo que, na Figura 5.39(a) o diagrama foi obtido aplicando-se força bruta e na Figura 5.39(b) aplicando-se continuação. Em ambos os diagramas, os deslocamentos não são os máximos, mas os pontos fixos do mapa de Poincaré. Na Figura 5.39(b), os ramos de soluções em preto e cinza são, respectivamente, soluções estáveis e instáveis. O algoritmo de continuação mostra que a presença de regiões sem respostas estáveis se deve à presença de bifurcações do tipo nó-sela, com a presença de pontos limites. a) Aplicando-se Força Bruta b) Aplicando-se Continuação Figura 5.39: Diagrama de bifurcações, para a direção v o com Q z = 10 kn/m.

115 115 Assim mesmo, verifica-se a coexistência de dois diferentes braços de soluções estáveis na região de ressonância, ambas com período 1T (Figura 5.40). Estas soluções são características do ramo ressonante e não ressonante da curva de ressonância não linear. a) Resposta no tempo b) Plano de fase Figura 5.40: Soluções estáveis identificadas quando Ω z = rad/s. Na Figura 5.41 apresenta-se uma seção da bacia de atração, na qual se observam as condições iniciais associadas com as soluções apresentadas na Figura Figura Nota-se que pequenas perturbações na vizinhança da origem levam a oscilações de pequena amplitude (região em preto). Uma pequena faixa de condições iniciais leva a oscilações de grande amplitude (região em vermelho). Finalmente grandes perturbações levam necessariamente a uma perda de estabilidade (região em branco). Figura 5.41: Seção da bacia de atração quando Ω z = 100,318 rad/s.

116 116 A exemplo do caso anterior (Q z = 10 kn/m), obtêm-se os diagramas de bifurcações por força bruta e continuação para Q z = 15 kn/m. O referido diagrama é apresentado na Figura 5.42(b). a) Aplicando-se Força Bruta b) Aplicando-se Continuação Figura 5.42: Diagrama de bifurcações, para a direção v o com Q z = 15 kn/m. Comparando o diagrama da Figura 5.42(a) com o da Figura 5.42(b), verifica-se que resta identificar neste último o trecho de soluções estáveis na região de ressonância interna 1:½. Adicionalmente, na Figura 5.43 apresenta-se a resposta no tempo e o plano de fase das soluções estáveis para diferentes valores de frequência da excitação z. Diferente dos demais casos, na Figura 5.43(h), verifica-se uma solução do tipo quase periódica. Na Figura 5.43(e) e Figura 5.43(f) verifica-se novamente a coexistência de duas soluções estáveis para o mesmo valor da frequência da excitação z correspondentes à resposta ressonante e a resposta não ressonante da estrutura. a) Resposta no tempo para z = 55 rad/s b) Plano de Fase para z = 55 rad/s

117 117 c) Resposta no tempo para z = 75 rad/s d) Plano de Fase para z = 75 rad/s e) Resposta no tempo para z = 100,234 rad/s f) Plano de Fase para z = 100,234 rad/s g) Resposta no tempo para z = 140 rad/s h) Plano de Fase para z = 140 rad/s Figura 5.43: Soluções estáveis identificadas para Q z = 15 kn/m. Para identificar as condições iniciais que podem levar a um ou outro comportamento (menor ou maior amplitude de vibração), apresenta-se na Figura 5.44 uma seção da bacia de atração para z = 100,234 rad/s.

118 kn/m. Figura 5.44: Seção da bacia de atração para Ω z = 100,234 rad/s e Q z = Na Figura 5.45 apresenta-se o diagrama de bifurcações da estrutura, assumindo Q z = 12,5 kn/m. O comportamento assemelha-se ao observado para Q z = 10 kn/m e Q z = 15 kn/m. a) Aplicando-se força bruta b) Aplicando-se continuação kn/m. Figura 5.45: Diagrama de bifurcações, para a direção v o com Q z = 12,5 Na Figura 5.46 apresenta-se uma projeção da hexa-dimensional bacia de atração na região sem identificações de soluções estáveis ou instáveis, mais especificamente, considerando Q z = 10 kn/m e z = 95 rad/s, na qual confirma-se a ausência de soluções estáveis.

119 119 kn/m. Figura 5.46: Seção da bacia de atração quando Ω z = 95 rad/s e Q z = 10 Em adição, na Figura 5.47 apresentam-se alguns detalhes do diagrama apresentado na Figura 5.45(a), na região onde uma nuvem de pontos pode ser observada, ou seja, 137 z 144. a) Detalhe Figura 5.45(a) b) 137 z 138 rad/s c) 138 z 139 rad/s d) 139 z 140 rad/s e) 140 z 141 rad/s f) 141 z 142 rad/s

120 120 g) 142 z 143 rad/s h) 143 z 144 rad/s i) 142,028 z 142,03 rad/s Figura 5.47: Detalhes do diagrama de bifurcações apresentado na Figura 5.41(a). Na Figura 5.48 apresentam-se alguns detalhes do diagrama apresentado na Figura 5.34(n), na região onde uma nuvem de pontos pode ser observada, ou seja, 16,8 Q z 17,4 kn/m. a) Detalhe Figura 5.45(a) b) 16,8 Q z 17,1 kn/m c) 17,1 Q z 17,2 kn/m d) 17,2 Q z 17,3 kn/m e) 17,3 Q z 17,38 kn/m f) 17,322 Q z 17,34 kn/m Figura 5.48: Detalhes do diagrama de bifurcações apresentado na Figura 5.30(n)

121 121 Com base nos resultados anteriormente apresentados, mostram-se desde a Figura 5.49 até a Figura 5.55, algumas projeções da resposta no tempo, plano de fase e mapa de Poincaré, considerando a frequência da excitação = 80 rad/s e diferentes valores para a magnitude da excitação, a saber: Figura 5.49 para Q z = 16,89 kn/m, na qual se verifica uma solução de período 1T; Figura 5.50 para Q z = 17 kn/m, com uma solução de período 2T; Figura 5.51 para Q z = 17,08 kn/m, na qual se verifica uma solução de período 4T; Figura 5.52 para Q z = 17,225 kn/m, com uma solução caótica (ver atrator na Figura 5.52(e)); Figura 5.53 para Q z = 17,230 kn/m, na qual se verifica uma solução de período 3T; Figura 5.54 para Q z = 17,235 kn/m, onde se verifica uma solução de período 6T; e Figura 5.55 para Q z = 17,244 kn/m, na qual se verifica novamente uma solução caótica. a) Resposta no tempo na direção v o b) Plano de fase e seção de Poincaré c) Resposta no tempo na direção θ o d) Plano de fase e seção de Poincaré Figura 5.49: Projeções da resposta no tempo, plano de fase e mapa de Poincaré, considerando Q z = 16,89 kn/m.

122 122 a) Resposta no tempo na direção v o b) Plano de fase e seção de Poincaré c) Resposta no tempo na direção θ o d) Plano de fase e seção de Poincaré Figura 5.50: Projeções da resposta no tempo, plano de fase e mapa de Poincaré, considerando Q z = 17 kn/m. a) Resposta no tempo na direção v o b) Plano de fase e seção de Poincaré

123 123 c) Resposta no tempo na direção θ o d) Plano de fase e seção de Poincaré Figura 5.51: Projeções da resposta no tempo, plano de fase e mapa de Poincaré, considerando Q z = 17,08 kn/m. a) Resposta no tempo na direção v o b) Plano de fase e seção de Poincaré c) Resposta no tempo na direção θ o d) Plano de fase e seção de Poincaré

124 124 e) Detalhe da Seção de Poincaré Figura 5.52: Projeções da resposta no tempo, plano de fase e mapa de Poincaré, considerando Q z = 17,225 kn/m. a) Resposta no tempo na direção v o b) Plano de fase e seção de Poincaré c) Resposta no tempo na direção θ o d) Plano de fase e seção de Poincaré Figura 5.53: Projeções da resposta no tempo, plano de fase e mapa de Poincaré, considerando Q z = 17,23 kn/m.

125 125 a) Resposta no tempo na direção v o b) Plano de fase e seção de Poincaré c) Resposta no tempo na direção θ o d) Plano de fase e seção de Poincaré Figura 5.54: Projeções da resposta no tempo, plano de fase e mapa de Poincaré, considerando Q z = 17,235 kn/m. a) Resposta no tempo na direção v o b) Plano de fase e seção de Poincaré

126 126 c) Resposta no tempo na direção θ o d) Plano de fase e seção de Poincaré e) Detalhe da Seção de Poincaré Figura 5.55: Projeções da resposta no tempo, plano de fase e mapa de Poincaré, considerando Q z = 17,244 kn/m. Ainda, com base nos resultados, mostram-se a seguir algumas projeções da resposta no tempo, plano de fase e seção de Poincaré para magnitude da excitação Q z = 12,5 kn/m e três diferentes valores de frequência da excitação, sendo: Figura 5.56 para Ω z = 137,80 rad/s, quando se verifica uma solução com período 3T, ainda que com amplitudes muito pequenas das vibrações; Figura 5.57 para Ω z = rad/s, na qual se verifica uma solução quase periódica; e Figura 5.58 para Ω z = 142,03 rad/s com, também, uma solução quase periódica. Em particular, na Figura 5.58 (Ω z = 139,80 rad /s) e Figura 5.58 (Ω z = 142,03 rad/s), letras b e d de ambas, busca-se, na cor vermelha, ilustrar a evolução do grau de liberdade nas projeções dos planos de fase. Nelas, os atratores quase periódicos são indicados pelo uso da cor azul. Em especial, na Figura 5.58(b) e Figura 5.58(d), verifica-se uma nuvem de pontos dentro da órbita do atrator quase periódico.

127 127 a) Resposta no tempo na direção vo b) Plano de fase e seção de Poincaré c) Resposta no tempo na direção θo d) Plano de fase e seção de Poincaré e) Detalhe da Seção de Poincaré Figura 5.56: Projeções da resposta no tempo, plano de fase e mapa de Poincaré, considerando z = 137,80 rad/s.

128 128 a) Resposta no tempo na direção v o b) Plano de fase e seção de Poincaré c) Resposta no tempo na direção θ o d) Plano de fase e seção de Poincaré Figura 5.57: Projeções da resposta no tempo, plano de fase e mapa de Poincaré, considerando Ω z = 139,80 rad/s. a) Resposta no tempo na direção v o b) Plano de fase e seção de Poincaré

129 129 c) Resposta no tempo na direção θ o d) Plano de fase e seção de Poincaré Figura 5.58: Projeções da resposta no tempo, plano de fase e mapa de Poincaré, considerando Ω z = 142,03 rad/s.