Assim, de acordo com o tipo de níveis atribuídos para o fator, a técnica apropriada será escolhida. Logo temos o seguinte esquema:

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1 Assim, de acordo com o tipo de níveis atribuídos para o fator, a técnica apropriada será escolhida. Logo temos o seguinte esquema: Fator Qualitativo Teste de comparações múltiplas Rejeita H 0 H 0 H ANOVA Fator Quantitativo Regressão Aceita H 0 As pressuposições devem ser satisfeitas!

2 Como estudar os fatores? Fatores Qualitativos Fatores Quantitativos Cultivares de milho (A,, C e D) Rações (Comum e remium) Idades de Corte de Gramíneas (0, 60 e 90 dias) Níveis de Estradiol na Ração (0, 0, 0, 60 e 80 mg) Raças Temperaturas (R, R,...) (7 0 C, 0 C e 0 C ) Seo (acho e Fêmea) Irrigação (resença e Ausência) Adubação (Orgânica, Química, Testemunha) Níveis de Energia (800, 000, 00 e 00 Kcal/kg) Doses de Adubo (0, 0, 0, 0 e 0 kg/ha) orcentagem de proteína (6, 8, 0 e %) Teste de Comparações últiplas Regressão

3 Regressão na ANOVA (olinômios ortogonais) rof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio de edeiros DTAiSeR-Ar

4 A análise de variância, como é feita usualmente, pressupõe a independência dos efeitos dos diversos tratamentos utilizados. Quando essa hipótese não se verifica, a análise de variância deve refletir a dependência entre os efeitos dos tratamentos, sob pena de não ser válida. olinômios ortogonais para fatores quantitativos Nos eperimentos em que os tratamentos são quantitativos, como por eemplo: níveis crescentes de adubo, inseticida, fungicida etc., muitas vezes se justifica a eistência de uma correspondência funcional, denominada equação de regressão, que liga os valores dos tratamentos (X) aos dados analisados (Y). Variável resposta y = 0, ,98 Valor observado Valor estimado Idade de Corte (dias)

5 Como fazer a análise de variância para o estudo da regressão? O método a ser utilizado é o dos polinômios ortogonais, que é de fácil aplicação quando os níveis que compõem os tratamentos são igualmente espaçados, pois nos permitem a utilização de coeficientes dados em tabelas. ara a construção de polinômios ortogonais para níveis que não são igualmente espaçados ver: CAOS, H. Estatística aplicada à...98 Capítulo.

6 olinômios y =a + b Equação y = a + b + c y = a + b + c + d y = a + b + c + d + f y = a + b + c + d + f + g y = a + b + c + d + f + g + h 6 odelo Linear (º grau): reta Quadrático (º grau): parábola Cúbico (º grau) º grau º grau 6º grau y = a + b + c + d + f + g + h 6 + i º grau... 6

7 Eemplos: O número de modelos possíveis de serem ajustados depende do número de níveis do fator em estudo. Fator A com níveis (gl = ) odelo linear (º grau) Fator A com níveis (gl = ) odelo linear (º grau) odelo quadrático (º grau) Fator A com níveis (gl = ) odelo linear (ºgrau) odelo quadrático (º grau) odelo cúbico (º grau) Fator A com níveis (gl = ) odelo linear (ºgrau) odelo quadrático (º grau) odelo cúbico (º grau) Regressão de º grau... 7

8 Eemplo Um eperimento inteiramente casualizado com repetições para estudar os feitos de 7 doses de gesso (0, 0, 00, 0, 00, 0 e 00 kg/ha) sobre diversas características do feijoeiro. ara a característica peso de 000 sementes os resultados obtidos, em gramas, são apresentados na Tabela. Eiste diferença entre as doses para a variável em estudo? Teste essa hipótese ao nível de % de significância. Qual é a melhor dose para se recomendar? Repetições Tratamentos (kg/ha) Totais T) 0,8 9,7 7,6,, T) 0 6,7 7,7 0,,7 6, T) 00 60,7 7,7 6, 6, 68, T) 0 69,8 68, 60,7 6,0 69,7 T) 00 6,7 60,0 8,,0 6,9 T6) 0 7,8 7, 0, 60, 69,9 T7) 00, 60, 8,8,0 67,7 Total 79, Fator quantitativo: Note que há uma tendência de aumento na produção do feijoeiro (Y) à medida que aumentamos a dose de gesso (X). 8

9 Tabulação: DIC_feijao_reg.csv dose y repet 0,8 0 9,7 0 7,6 0, 0 6,7 0 7,7 0 0, 0, ,7 00 7,7 00 6, 00 6, 0 69,8 0 68, 0 60,7 0 6,0 00 6, ,0 00 8, 00,0 0 7,8 0 7, 0 0, 0 60, 00, 00 60, 00 8,8 00,0 Repetições Trat édia T) 0,8 9,7 7,6, 8,60 T) 0 6,7 7,7 0,,7,60 T) 00 60,7 7,7 6, 6, 6, T) 0 69,8 68, 60,7 6,0 6,9 T) 00 6,7 60,0 8,,0 8,7 T6) 0 7,8 7, 0, 60, 9,98 T7) 00, 60, 8,8,0, Eemplo No R: y = c(.8, 9.7, 7.6,., 6.7, 7.7, 0.,.7, 60.7, 7.7, 6., 6., 69.8, 68., 60.7, 6.0, 6.7, 60.0, 8.,.0, 7.8, 7., 0., 60.,., 60., 8.8,.0) # peso 000sementes dose<- rep(c(0, 0, 00, 0, 00, 0, 00),each=) DIC<- data.frame(y, dose) #OU DIC<- read.csv("dic_feijao_reg.csv",head=t,dec=", ") 9

10 Eemplo ANOVA Causas de Variação gl SQ Q F Tratamento 6 SQTrat QTrat F calc Resíduo SQRes QRes - Total 7 SQTotal - - Tarefa : a) Faça esses cálculos da ANOVA à mão, com o auílio da calculadora. b) Conclua o teste de hipóteses. No R: mod<- lm(y ~ factor(dose), data=dic) anova(mod) Analysis of Variance Table Response: y Df Sum Sq ean Sq F value r(>f) factor(dose) *** Residuals # F_tab = F(6,; %) qf(0.9,6,) [].77 0

11 No R: # Normalidade dos erros shapiro.test(rstudent(mod)) Shapiro-Wilk normality test data: rstudent(mod) W = 0.97, p-value = 0.67 Verificando as pressuposições da ANOVA # Homocedasticidade bartlett.test(y ~ dose, data=dic) artlett test of homogeneity of variances data: y by dose artlett's K-squared =.8, df = 6, p-value = 0.99

12 No R: # Gráfico Quantil-quantil com envelope simulado library(car); par(mfrow=c(,)) qqlot(rstudent(mod), pch=9) Verificando as pressuposições da ANOVA # Gráfico de resíduos preditos plot(fitted(mod), rstudent(mod), pch=6, lab='valores ajustados', ylab='resíduos studentizado'); abline( h=c(-,0,), lty=) rstudent(mod) - 0 Resíduos studentizado norm quantiles Valores ajustados

13 Eemplo Desdobramento das doses em regressões por polinômios ortogonais. Como os tratamentos são quantitativos, uma análise completa deve levar em conta a regressão, subdividindo-se os 6 graus de liberdade de tratamento da seguinte maneira: ANOVA Causas de Variação gl SQ Reg. Linear (. o grau) SQRL Reg. Quadrática (. o grau) SQRQ Reg. Cúbica (. o grau) SQRC Reg. de. o grau SQR Reg. de. o grau SQR Reg. de 6. o grau SQR6 (Tratamento) (6) SQTrat ANOVA Causas de Variação gl SQ Reg. Linear SQRL Reg. Quadrática SQRQ Reg. Cúbica SQRC Desvios de regressão SQDV (Tratamento) (6) (SQTrat) Resíduo SQResíduo Total 7 SQTotal Resíduo SQRes Total 7 SQTotal Na ANOVA, podemos considerar as regressões maiores que. o grau como uma única causa de variação, denominada desvios de regressão, pois regressão maior que. o grau não tem interesse prático

14 Análise de variância Qual é o modelo de regressão que se deve usar para esse eperimento? ANOVA Causas de Variação gl SQ Q F Reg. Linear SQRL QRL F_RL Reg. Quadrática SQRQ QRQ F_RQ Reg. Cúbica SQRC QRC F_RC Desvios de regressão SQDV QDR F_DR (Tratamento) (6) (SQTrat) QTrat F_calc Resíduo SQResíduo QRes - Total 7 SQTotal - - (significativa) Resposta: Quando o teste F para Desvios de regressão for significativo, isto indica que eiste alguma regressão significativa, de grau maior que. o e, se tivermos interesse em estudá-la devemos desdobrar os desvios de regressão.

15 Análise de variância Qual é o modelo de regressão que se deve usar para esse eperimento? ANOVA Causas de Variação gl SQ Q F Reg. Linear SQRL QRL F_RL Reg. Quadrática SQRQ QRQ F_RQ Reg. Cúbica SQRC QRC F_RC Desvios de regressão SQDV QDR F_DR (Trat) (6) (SQTrat) QTrat F_calc Resíduo SQResíduo QRes - Total 7 SQTotal - - (significativa) Resposta: odelo Linear: y = a + b

16 Análise de variância Qual é o modelo de regressão que se deve usar para esse eperimento? ANOVA Causas de Variação gl SQ Q F Reg. Linear SQRL QRL F_RL Reg. Quadrática SQRQ QRQ F_RQ Reg. Cúbica SQRC QRC F_RC Desvios de regressão SQDV QDR F_DR (Trat) (6) (SQTrat) QTrat F_calc Resíduo SQResíduo QRes - Total 7 SQTotal - - (significativa) Resposta: odelo Quadrático: y = a + b + c 6

17 Análise de variância Qual é o modelo de regressão que se deve usar para esse eperimento? ANOVA Causas de Variação gl SQ Q F Reg. Linear SQRL QRL F_RL Reg. Quadrática SQRQ QRQ F_RQ Reg. Cúbica SQRC QRC F_RC Desvios de regressão SQDV QDR F_DR (Trat) (6) (SQTrat) QTrat F_calc Resíduo SQResíduo QRes - Total 7 SQTotal - - (significativa) Resposta: odelo Cúbico: y = a + b + c + d 7

18 Análise de variância Qual é o modelo de regressão que se deve usar para esse eperimento? ANOVA Causas de Variação gl SQ Q F Reg. Linear SQRL QRL F_RL Reg. Quadrática SQRQ QRQ F_RQ Reg. Cúbica SQRC QRC F_RC Desvios de regressão SQDV QDR F_DR (Trat) (6) (SQTrat) QTrat F_calc Resíduo SQResíduo QRes - Total 7 SQTotal - - (significativa) (significativa) Resposta: Escolha a fonte de variação (regressão) de maior grau que seja significativa: odelo Cúbico: y = a + b + c + d 8

19 Tabela de coeficientes A tabela fornece também a soma dos quadrados dos coeficientes (K) e uma constante () que será utilizada na determinação da equação de regressão. N.º Trat Grau do polinômio Totais de Tratamentos T T T T T T 6 K / / / / / 7/ /0 Os coeficientes para um número maior de tratamentos podem ser encontrados em GOES,. Curso de Estatística Eperimental, 98 Capítulo. 9

20 Como calcular as somas de quadrados das regressões? a) Obtenha a estimativa do contraste de cada regressão. Eemplo Totais de Tratamentos (T i ) Coeficientes para n=7 níveis º grau º grau º grau c i c i c i T =, () - - T = 6, () - 0 T = 68, () - - T = 69,7 () 0-0 T = 6,9 () - - T 6 = 69,9 () 0 - T 7 = 67,7 () K Reg. linear (RL): Y RL Y RC I i Reg. Cúbica (RC): c i T i Reg. Quad. (RQ): /6 Y RQ 67,0 Y RL ( ) * (,) ( )(6,)... () * (67,7) 7,70 Y 6, 00 I i c i RC T i Y RQ I i c i 0 T i

21 Como calcular as somas de quadrados das regressões? b) Cálculo das Somas de Quadrados das regressões (SQReg) SQY r ( Y) I i c i ( Y) rk r: número de parcelas somadas para obter cada total (T i ) de tratamento. K I i c i Eemplo SQY RL ( Y RL ) rk (7,7) 8, ( Y ) RQ ( YRC ) SQY RQ 8,8 SQY RC, 0 rk rk SQDR SQDR SQTrat 77,80 SQY RL SQY RQ SQY RC

22 Eemplo Tabela da análise de variância da regressão polinomial ortogonal Causas de Variação G.L. S.Q. Q.. F Regressão linear,, 0,0 * Regressão quadrática 8,8 8,8 0,6 * Regressão cúbica,0,0,67 ns Desvios de regressão 77,80,9 0,6 ns (Trat) (6) (9,8) - - Resíduo 886,, - Total 7 88,7 - - F (,; %) =, F (,; %) =,07 Conclusão: Verificamos que a regressão linear e a regressão quadrática foram significativas, indicando que é possível estabelecer uma relação funcional entre a dose de gesso colocada (X) e o peso de 000 sementes (Y) do feijoeiro. Logo, a regressão de mais alto grau no nosso eemplo, será escolhida para determinar a equação de regressão, no caso equação de. o grau.

23 odelo Quadrático: odelo Cúbico: odelo Linear: b a Y c b a Y d c b a Y m Y m Y Eemplo Eemplo Obtendo a equação de regressão estimada Obtendo a equação de regressão estimada m Y m Y odelo Cúbico: d c b a Y m Y odelo de. o grau: e d c b a Y odelo de. o grau: f e d c b a Y

24 Obtendo a equação de regressão estimada odelo Linear: Y a b sendo Y rk RL Y m Cuidado! É muito parecido com a SQRegressão SQY r ( Y) I i c i ( Y) rk m é a média geral referente a todas as observações. é o valor da tabela de coeficientes m q m é a média dos níveis dos tratamentos: ( )/ = q é o espaçamento entre os níveis de tratamentos (q=0)

25 Obtendo a equação de regressão estimada odelo Quadrático: Y a b c Y m sendo Y RQ rk m q n, e são obtidos como na RL. n é o número de níveis do fator m é a média dos níveis dos tratamentos q é o espaçamento entre os níveis de trat s é o valor da tabela de coeficientes

26 odelo Cúbico odelo Cúbico: d c b a Y m Y sendo Y Obtendo a equação de regressão estimada Obtendo a equação de regressão estimada q m n q m 0 7,,,, e são obtidos como na RQ. rk Y RC é o valor da tabela de coeficientes. 6

27 Obtendo a equação de regressão estimada odelo de. o grau: Y a b c d e Y m sendo Y rk R m n m ( n )( n q q 60 9),,,,,,, e são obtidos como na RC. é o valor da tabela de coeficientes. 7

28 sendo odelo de. odelo de. o grau grau: f e d c b a Y m Y Y R Obtendo a equação de regressão estimada Obtendo a equação de regressão estimada,,,,,,,,,, e são obtidos como na R. q m n n q m n q m ) ( rk é o valor da tabela de coeficientes. 8

29 Obtendo a equação de regressão estimada Eemplo odelo Quadrático: Y a b c Y m m Y rk RL,96 6,96 7,7,98 8 ( ) m 7 q 0 n 7 0 m q 0 0 m q 0 0 n 7 9

30 Obtendo a equação de regressão estimada Eemplo Substituindo os valores na equação, temos: Y m Y 0,78 0,76 0,00078, sendo 0 00 em que: Y é o peso de 000 sementes (em gramas); X é a dose de gesso (em kg/ha). A equação só vale no intervalo determinado em que o eperimento foi realizado. 0

31 O modelo se ajusta bem aos dados? Quando determinamos uma equação de regressão é conveniente apresentar o correspondente coeficiente de determinação (R ) que representa, em porcentagem, quanto da variação na resposta é eplicada pela regressão em questão. ara obter o coeficiente de determinação, devemos somar as somas de quadrados das regressões de grau mais baio até aquela que determinou o grau da equação. O resultado deve ser dividido pela SQTrat, isto é: Eemplo R SQRL SQRQ SQTrat, 8,8 9,8 0,880 88,0% Isso significa que da variação eistente nos resultados 88,0% da variação é eplicada pela equação de. o grau.

32 No R: require(epdes.pt) dic(dose, y, quali=f, sigt = 0.0, sigf = 0.0 ) Quadro da analise de variancia GL SQ Q Fc r>fc Tratamento Residuo Total CV =. % Teste de normalidade dos residuos (Shapiro-Wilk) p-valor: 0.79 De acordo com o teste de Shapiro-Wilk a % de significancia, os residuos podem ser considerados normais Ajuste de modelos polinomiais de regressao $`odelo linear ` Estimativa Erro.padrao tc p.valor b b $`R do modelo linear: 0.79 $`Analise de variancia do modelo linear` GL SQ Q Fc p.valor Efeito linear Desvios de Regressao Residuos

33 $`odelo quadratico ` Estimativa Erro.padrao tc p.valor b e+00 b e+00 b e-0 $`R do modelo quadratico`: $`Analise de variancia do modelo quadratico` GL SQ Q Fc p.valor Efeito linear Efeito quadratico e-0 Desvios de Regressao Residuos $`odelo cubico ` Estimativa Erro.padrao tc p.valor b b b b $`R do modelo cubico: $`Analise de variancia do modelo cubico` GL SQ Q Fc p.valor Efeito linear Efeito quadratico e-0 Efeito cubico Desvios de Regressao Residuos

34 O modelo se ajusta bem aos dados? Eemplo No R: # gráfico de pontos plot(dose, y, pch=9, ylab="peso de 000 sementes(gramas)", lab="dose de gesso (kg/ha)") peso de 000 sementes(gra amas) dose de gesso (kg/ha)

35 O modelo se ajusta bem aos dados? Eemplo No R: # Gráfico da regressão quadrática no R: curve( * *^, lwd=, add=t) peso de 000 sementes s(gramas) dose de gesso (kg/ha)

36 O modelo se ajusta bem aos dados? Eemplo odemos fazer também uma verificação do ajuste da equação de regressão, calculando os valores esperados ( Y ) através da equação, e os valores observados (Y obs ) pelas médias dos tratamentos: Dose (X) Y obs Y 0 8,60 0,78 0,60, 00 6, 60, 0 6,9 6, 00 8,7 6,0 0 9,98 60,7 00,, 09,80 09,7 Espera-se que Y obs Y No R: y_chapeu = *doses *dose^ DIC<- data.frame(dic,y_chapeu) sum(tapply(dic$y_chapeu, DIC$dose, mean)) sum(barra) 6

37 Qual é o melhor tratamento? Eemplo No caso do eemplo, o melhor tratamento é a dose em que aumenta o peso de 000 sementes (g). Logo, deve-se derivar a função obtida anteriormente para encontrar o ponto de máimo da função. peso de 000 sementes(gra amas) Alternativamente o ponto de máimo da função pode ser obtido empiricamente: No R: # ponto máimo empírico abline(h=6.7,col="red,lty=) abline(v=7,col="blue",lty=) dose de gesso (kg/ha) 7