MODELAGEM ARIMA-ARCH PARA A OBTENÇÃO DE RESÍDUOS APTOS À APLICAÇÃO DE GRÁFICOS DE CONTROLE NA PRESENÇA DE CORRELAÇÃO E AUTO-CORRELAÇÃO

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1 MODELAGEM ARIMA-ARCH PARA A OBTENÇÃO DE RESÍDUOS APTOS À APLICAÇÃO DE GRÁFICOS DE CONTROLE NA PRESENÇA DE CORRELAÇÃO E AUTO-CORRELAÇÃO Adriano Mendonca Souza (UFSM) amsouza@smail.ufsm.br Francisca mendonca Souza (ISCTE-IUL) kikamatcom@yahoo.com.br Roselaine Ruviaro Zanini (UFSM) rrzanini@smail.ufsm.br Rui Menezes (ISCTE-IUL) rui.menezes@iscte.pt Esta pesquisa tem como objetivo apresentar um procedimento de modelagem matemática para as variáveis de processo produtivo quando estas possuem características multivariadas, e os resíduos devem ser utilizados para a elaboração dos gráficoss de controle. Considera-se para análise um conjunto de variáveis com características de correlação cruzada e autocorrelacionadas. A correlação cruzada é tratada utilizando a análise de componentes principais e vencida esta etapa investiga-se as componentes selecionadas em relação a sua condição de autocorrelação, que são tratadas por meio da modelagem ARIMA-ARCH. Estas etapas são realizadas de modo a atender os pressupostos para a aplicação de gráficos de controle. Procura-se mostrar que nem sempre estando os resíduos com características de ruído branco, deixa de existir dependência. A exemplificação do estudo se dá com a aplicação da metodologia proposta na avaliação da temperatura da produção de aço. Portando apresenta-se a modelagem conjunta ARIMA-ARCH para a obtenção de resíduos aptos para a aplicação em gráficos de controle, desta forma avalia-se a média e a variância condicional da variável em estudo. Palavras-chaves: Processos autocorrelacionados, Correlação cruzada, Volatilidade, Modelos ARIMA, Modelos ARCH

2 1. Introdução Os gráficos de controle univariados e multivariados são usados amplamente para a avaliação de processos de produtivos Montgomery (2004). Neste caso, deve-se considerar a natureza das variáveis que podem ser classificadas como univariadas ou multivariadas, e a natureza das observações que podem ser autocorrelacionadas ou não. Portanto é necessário escolher a melhor metodologia para a avaliação da estabilidade do processo. Se o processo for considerado multivariado e autocorrelacionado, duas pré-análises devem ser conduzidas. A primeira é a aplicação direta do gráfico de controle T 2 de Hotelling na tentativa de tratar a correlação cruzada entre as variáveis, mas este procedimento não elimina autocorrelação. Então uma alternativa apropriada é eliminar a correlação por meio da aplicação da análise de componentes principais (ACP) e verificar se estas ainda apresentam o efeito de autocorrelação. Em caso afirmativo, deve-se procurar um modelo matemático de forma a encontrar resíduos oriundos desta modelagem que estejam aptos para a aplicação de gráficos de controle. Em ambos os casos, uni e multivariados, os gráficos de controle devem, segundo Smeti et al. (2007), ser avaliados sobre as suposições de que as observações do processo são independentes e identicamente distribuídas (iid). Se essa condição não é satisfeita, há um aumento no número de alarmes falsos e no número médio de pontos necessários para que o gráfico avise que o processo está fora de controle (ARL). Este estudo está centrado na hipótese de que, mesmo se tratando a autocorrelação por meio de um modelo matemático do tipo Autoregressivo Integrado e de Médias Móveis (ARIMA), que proporciona resíduos com características de ruído branco, estes resíduos são investigados de uma forma quadrática e apresentam algum tipo de dependência que poderão fornecer informação adicional a respeito da variabilidade por meio dos modelos Autoregressivos Condicionais a Heteroscedasticidade (ARCH). Esta pesquisa tem como objetivo apresentar um procedimento de modelagem matemática para as variáveis de processo produtivo quando estas possuem características multivariadas autocorrelacionadas e os resíduos devem ser utilizados para a elaboração dos gráficos de controle. Desta forma, pretende-se apresentar a modelagem ARIMA - ARCH aplicadas aos componentes principais (CP), onde os resíduos serão utilizados em análise futura por meio de gráficos de controle. 2. Revisão de literatura Neste item serão abordados os seguintes assuntos: gráficos de controle, análise de componentes principais e modelos de previsão Análise de componentes principais O método de Análise de Componentes Principais (ACP) foi desenvolvido por Pearson (1901) e, posteriormente, por HOTELLING (1933, 1947). Essa técnica vem sendo estudada por autores como MORRISON (1976), SEBER (1984), REINSEL (1993), JACKSON (1981ab) e JOHNSON e WICHERN (1992). A ideia central é a redução da dimensionalidade 2

3 do problema a ser estudado, mantendo o máximo de informação, principalmente quando os dados são constituídos de um grande número de variáveis inter-relacionadas. Esta redução é feita transformando-se o conjunto de variáveis originais em um novo conjunto de variáveis que mantém, ao máximo, a variabilidade do conjunto de dados. Partindo-se de um vetor X`= [X 1 X 2... X p ] de variáveis aleatórias com vetor média µ e matriz de variância-covariância Σ, procura-se encontrar um novo conjunto de variáveis Y 1 Y 2... Y p, as quais são não-correlacionadas entre si e cujas variâncias de cada nova variável é descrita em ordem decrescente de valores. Esta combinação linear é denominada de componente principal (REIS, 2001). Cada componente principal será representada por Y j = a 1j X 1 + a 2j X a pj X p1, em que a j corresponde ao vetor de constantes que deve manter a condição de normalidade, isto é, p 2 a ij j 1 p j 1 1para que o sistema tenha solução única e de ortogonalidade, isto é, a ij a kj 0 para i k com i, k = 1, 2,..., p, que garante que as componentes principais sejam independentes. De acordo com Corrar, Paulo e Dias Filho (2007) o i-ésimo CP é Y j = a 1j X a pj X p1, tem as seguintes características: i) Vâr ( ) ˆ logo Vâr Y ) Vâr ( Y )... Vâr ( Y ); ii) Vâr ( X ) ˆ i i Vâr ( Yi ) ; iii) Côv ( Y i, Y j ) 0, desde que aija kj 0. Y i i p j i ( 1 2 p As novas variáveis, denominadas de Componentes Principais (CP) são independentes e não-correlacionadas, favorecendo a análise, principalmente quando muitas variáveis devem ser analisadas, o que geralmente ocorre em controle estatístico de processos. A ACP possui um papel importante em controle de qualidade, pois, é uma ferramenta adicional para verificar a estabilidade do sistema (TELHADA, 1995). 2.2 Modelos de previsão Os modelos autorregressivos integrados e de médias móveis (ARIMA) fundamentamse na teoria de que o comportamento da própria variável responderá pela sua dinâmica futura BOX e JENKINS, (1970). Genericamente um processo { xt, t Z} que seja não-estacionário segue um processo ARIMA (p,d,q) conforme a expressão 2.1. (2.1) em que: B é operador retroativo, d representa a ordem de integração; é o termo autorregressivo representado pela ordem p, e é o parâmetro de média móvel representado por q, e a t = RB(0;σ 2 ),, que é o ruído branco. Os autores Box, Jenkins e Reinsel (1994), Makridakis, Wheelwright e Hyndman (1998), Gujarati, (2000), Morettin e Toloi (2004) e Morettin (2008) mostram que a construção dos modelos ARIMA segue um ciclo iterativo e na etapa final geralmente utilizam-se os 3

4 critérios Akaike s Information Criteria (AIC) e Bayesian Information Criteria (BIC), que selecionam os melhores modelos considerando o número de parâmetros estimados. AIC T ln( SQR) 2n BIC T ln( SQR) nln( T) (2.2) (2.3) em que: T é o tamanho da amostra; SQR é a soma do quadrado dos resíduos e n é o número de parâmetros. Os modelos lineares são responsáveis por modelar e prever a média condicional da série, assumindo que os resíduos e t possuem características de ruído branco, com média zero e variância constante. Mas, ao se investigar um pouco mais os resíduos, pode-se observar uma dependência entre as observações quando estes resíduos são elevados ao quadrado. Os resíduos quadráticos de um modelo linear representam a volatilidade dos resíduos, os quais Engle (1982) descreveu por meio dos modelos autorregressivos de heteroscedasticidade condicional (ARCH) e posteriormente foram generalizados por Bollerslev (1986, 1992), nos quais fica caracterizada uma dependência não linear dos resíduos, função da dependência da variância condicional (COSTA e BAIDYA, 2001). Assim, pode-se observar que a variância desses erros não é constante ao longo do tempo, existindo uma autocorrelação na variância dos erros de previsão (BOLLERSLEV, 1986; GUJARATI, 2000). Logo, dado um modelo linear, que pode ser um modelo de regressão ou um modelo de série temporais do tipo ARIMA, tem-se a expressão 2.4. (2.4) em que o termo de erro distribuído conforme 2.5., condicionado à informação disponível no período (t-1) seria (2.5) Os valores das constantes α 0 e α 1 são os parâmetros explicativos da variância do termo do erro. Nesse caso, a variância de, no instante t, dependerá de um termo constante mais o quadrado do erro no período t-1. Dessa forma, tem-se o modelo ARCH (1), o qual pode ser generalizado para r defasagens de. (2.6) Portanto, no modelo ARCH (m), a variância de e no período t dependerá de um termo constante mais o quadrado dos erros nos períodos t-1 até t-m (LAMOUNIER, 2006). Para que a variância condicional seja positiva e fracamente estacionária, impõem-se as restrições de que 0 0 e para todo i = 2,..., p e t 1. 4

5 O modelo GARCH explicará a variância dos erros oriundos de um modelo econométrico ou de séries temporais no instante t e dependerá de um termo constante de um termo representado pelo quadrado dos resíduos, no instante t-1, que representa a partição ARCH, acrescido de um termo que representa a revisão da volatilidade feita no último período,, que é o termo GARCH. Considerando novamente a equação 2.4, observa-se que a variância dos resíduos também pode ser explicada pelo resíduo quadrático defasado, bem como pela atualização da variância em instantes posteriores, conforme expresso por 2.7. (2.7) A soma dos parâmetros (α+β) representa a persistência dos choques na volatilidade e se esta soma é próxima de zero, indica que o choque sobre a volatilidade terá efeitos rápidos, e a variância deverá rapidamente retornar a sua média histórica. Caso contrário, o efeito da persistência será mais duradouro, e o retorno da variância a sua média histórica será mais demorado (LAMOUNIER, 2006). 3. Metodologia A exemplificação do estudo se dará por meio do processo de produção de lingotamento contínuo durante a fase de solidificação de produto sólido semi-acabado. Os dados referem-se à temperatura medida por termopares, dispostos ao longo do molde, num total de 30 sensores com leituras horárias, formando um total de 392 observações. Para cumprir o objetivo proposto, realiza-se os seguintes passos metodológicos: Considerando-se que as variáveis são correlacionadas, o procedimento adequado é a decomposição do conjunto de variáveis originais em componentes principais para posterior análise, já utilizando as variáveis estacionárias e padronizadas. A seleção das CP se dará pelo método de Kaiser (Kaiser, 1960 apud Mardia, 1979), e, com explicação do conjunto de dados superior a 70%. Dessa forma, um número menor de novas variáveis é escolhido para representar o conjunto de variáveis originais. A partir desse instante, apenas procedimentos univariados são utilizados, realizando-se a redução de dimensionalidade do problema (ALEXANDRE, 2000; MINGOTI e YASSUKAWA, 2008). Detectada que as CP selecionadas apresentam características de autocorrelação, os modelos lineares ARIMA são aplicados. Caso os resíduos oriundos da modelagem ARIMA apresentem características de heteroscedasticidade, os resíduos serão elevados ao quadrado para se proceder a modelagem da volatilidade condicional, onde a estimação será conjunta do tipo genérico ARIMA GARCH. Desta forma espera-se mostrar que os resíduos, embora apresentando características de ruído branco (RB), ainda possuem informações e, estas podem ser extraídas e auxiliar na interpretação dos GC, além de serem úteis para se determinar resíduos com maior acurácia, dado que os modelos conjuntos são estimados simultaneamente. 5

6 Dessa forma, trata-se um problema multivariado de forma univariada e cumpre-se as premissas impostas para a aplicação de gráficos de controle: amostras provenientes de um processo iid e de variáveis não-correlacionadas. 4. Resultados e discussões Inicia-se este item com a análise das 30 variáveis envolvidas no processo de produção, que são de grande importância para manter a qualidade do produto a ser elaborado. Como se trata de variáveis que apresentam características de correlação cruzada aplica-se a análise de componentes principais de modo a obter um conjunto de novas variáveis independentes. Na Tabela 1 apresentam-se os autovalores, o percentual de variância e seus respectivos valores acumulados. Ordem Autovalor % de variância explicada Autovalor acumulado % de variância acumulada 1 11, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,1688 TABELA 1 Autovalores e percentual de variância explicada com seus respectivos valores acumulados para as componentes selecionadas para estudo do processo de lingotamento Para a extração das CP, utilizou-se a matriz de correlação, e os CP selecionados foram aqueles com autovalor maior do 1 cujo conjunto explicasse, no mínimo, 70% da variância acumulada. Assim, encontrou-se sete componentes principais e uma variabilidade explicada de aproximadamente 83%. A contribuição da ACP, até esse momento, foi a de redução de dimensionalidade. De 30 variáveis originais que deveriam ser analisadas inicialmente, agora se obtém apenas 7 novas variáveis, que são as CP. Também, deve-se salientar que o efeito de correlação entre as variáveis está neutralizado, pois as componentes geradas são independentes entre si, vencendo-se, assim, a primeira premissa para a aplicação de gráficos de controle. Embora essas novas variáveis não sejam correlacionadas, deve-se observar se as mesmas não são autocorrelacionadas, pois, se o forem, a aplicação de gráficos de controle deve ser estabelecida utilizando os resíduos oriundos de um modelo de previsão (REQUEIJO e PEREIRA, 2004). 6

7 Após a verificação da estacionariedade das séries em estudo, realiza-se a sua modelagem, utilizando modelos lineares do tipo ARIMA para investigação da volatilidade. Sendo assim, as CP selecionadas serão modeladas para tratar a autocorrelação existente na modelagem conjunta ARIMA GARCH, conforme mostra a Tabela 2. Modelo 1: Componente principal 1 Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution Coeficiente Erro padrão z-static. Prob AR(1) Modelo 2: (Componente principal 2) IMA(1,1) Modelo 3: (Componente principal 3) IMA(1,1) Modelo 4: Componente principal 4 AR(1) MA(1)

8 Modelo 5: Componente principal 5 AR(1) MA(1) Modelo 6: Componente principal 6 Coefficient Std. Error z-statistic Prob AR(1) MA(1) MA(2) Modelo 7: (Componente principal 7) IMA(1) TABELA 2 Modelos representativos das componentes principais selecionadas para se obter os resíduos oriundos da modelagem conjunta ARIMA GARCH ABAIXO Da Tabela 2, observa-se, em primeiro lugar, que todos os parâmetros estimados para as CP foram significativos. Também salienta-se que foram estimados outros modelos concorrentes, tais como Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (GARCH), Exponentially Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (EGARCH) e Treshold Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (TARCH) que não produziram melhores resultados que os modelos apresentados. Os modelos analisados foram considerados 8

9 com características de ruído branco. Dessa forma, os propósitos de tratar a correlação e a autocorrelação foram atingidos de forma que seja possível a aplicação de gráficos de controle para analisar a estabilidade do processo produtivo. Na interpretação dos valores dos parâmetros estimados para a volatilidade, deve-se fazer no sentido que o valor de α introduza o conceito de reação da volatilidade, e β, o coeficiente de persistência da volatilidade (CAMPOS, 2007). Essa volatilidade é importante para avaliar os choques externos (LAMOUNIER, 2006). No caso de controle de qualidade, em relação aos choques externos, podem ser consideradas as mudanças introduzidas no processo, como a troca de fornecedores na matéria-prima, troca de procedimentos operacionais, atualização de equipamentos, desgastes de maquinaria, oscilações na temperatura, entre outros agentes externos. Observa-se que o menor valor para a reação é de 0, da CP2, sendo um valor pequeno que irá provocar efeitos rápidos, isto é, de curto período na série, assim, a volatilidade retornará logo ao seu patamar histórico. Nesses casos uma mudança externa nas variáveis terá um baixo impacto no sistema. As demais CP selecionadas apresentam valores de reação maiores que 0,518266, no caso a CP6, para valores próximos de 1, a volatilidade é persistente e se transmitirá para longos períodos, fazendo com que a volatilidade custe a retornar para o seu patamar histórico. A quarta componente principal apresenta um valor da soma dos parâmetros α e β de aproximadamente 0,9184, mostrando que uma ação externa à série terá efeitos duradouro. Analogamente se faz esta análise para as demais componentes principais envolvidas no estudo. Quando as variáveis originais em uma primeira etapa foram decompostas em componentes principais, obtiveram-se novas variáveis não-correlacinadas que ainda mantinham uma relação de dependência dentro da própria série caracterizada pela autocorrelação. A modelagem conjunta da série por meio da classe geral de modelos ARIMA ARCH proporcionou a obtenção de resíduos não autocorrelacionados, sendo possível a análise por meio de gráficos de controle. 5. Conclusões O controle estatístico do processo utiliza ferramentas que possibilitem a correta avaliação de processos produtivos de maneira a acompanhar a evolução tecnológica e os processos de produção. Dessa forma, procuram-se métodos alternativos para auxiliar nessa avaliação, respeitando os pressupostos para a aplicação dos gráficos de controle. A análise de componentes principais proporcionou, por meio das novas variáveis, um conjunto de dados não-correlacionados e, a modelagem conjunta da classe geral ARIMA GARCH, possibilitou, em primeiro lugar, que a autocorrelação fosse tratada proporcionando a interpretação da volatilidade. Um aspecto relevante a ser considerado aqui é o tratamento correto na determinação dos resíduos por meio de modelagem matemática para posterior aplicação dos gráficos de controle 9

10 dos resíduos, pois com uma etapa a mais na investigação dos resíduos se consegue estimativas mais próximas da realidade. Sugere-se, como pesquisas futuras, a aplicação em outros processos produtivos, com a utilização de outros modelos de volatilidade. Agradecimentos Ao suporte financeiro fornecido pela CAPES Processo BEX- 1784/ CAPES Foundation, Ministery of Education of Brazil Brasília - para a realização do post-doc no Instituto Superior da Ciência do Trabalho e da Empresa ISCTE PT, onde desenvolvi a pesquisa. 6. Referências ALEXANDER, C., Orthogonal Methods For Generating Large Positive Semi-Definite Covariances Matrices. Discussion Papers in Finance , ISMA Centre. BOLLERLEV, T., RAY, Y.C. E KENNETH, F.K., ARCH Modeling In Finance: A Review Of The Theory and Empirical Evidence. Journal of econometrics, 52, 5 59, BOLLERSLEV, T. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. Journal of Econometrics, v. 31, p , BOX, G. E. P.; JENKINS, G. M. Time Series Analysis: Forecasting and Control. San Francisco: Holden-Day, BOX, G.E.P; JENKINS G.M AND REINSEL G.C., Time Series Analysis: Forecasting and Control. 3 ed. Prentice Hall Inc. Englewood Cliffs, NJ, CAMPOS, K. C., Análise Da Volatilidade De Preços De Produtos Agropecuários No Brasil. Revista de Economia de Agronegócio, v. 5, n. 3, p , CORRAR, J.L.; PAULO, E.; DIAS FILHO, J.M.. Análise Multivariada Para Os Cursos de Administração, Ciências Contábeis E Economia. FIPECAF Fundação Instituto de Pesquisas Contábeis, Atuariais e Financeiras. Ed. Atlas, São Paulo, COSTA, P. H. S.; BAYDIA, T. K. N., Propriedades Estatísticas das Séries de Retornos das Principais Ações Brasileiras. Pesquisa Operacional, v. 21, n. 1, p , ENGLE, R. F., Autoregressive Conditional Heteroskedasticity With Estimates of The Variance of United Kingdom Inflation. Econometria, v. 50, n. 4, p , GUJARATI, D. N. Econometria Básica. São Paulo: Makron Books, HOTTELLING, H., Analysis of a Complex of Statistical Variables Into Principal Components. The Journal of Educational Psychology, v.24, pp / , HOTTELLING, H., Multivariate Quality Control. Techniques of Statistical Analysis. McGraw Hill, NY, NY, pp (1947). JACKSON, J.E., Principal Components and Factor Analysis: Part I Principal Components. Journal of Quality Technology, October. v.12, n.4, pp ,

11 JACKSON, J.E., Principal Components and Factor Analysis: Part II Additional Topics Related To Principal Components. Journal of Quality Technology, January, v.13. n.1, pp.46 58, JOHNSON, R.A., WICHERN, D.W. Applied Multivariate Statistical Analysis. 3 ed. Prentice-Hall. New Jersey, LAMOUNIER, M. W., Análise da Volatilidade dos Preços no Mercado Spot de Cafés do Brasil. Organizações Rurais & Agroindustriais, Lavras, v. 8, n. 2, p , MAKRIDAKIS, S. G.; WHEELWRIGHT, S. C.; HYNDMAN, R. J., Forecasting: Methods and Applications. 3ed. New York: John Willey & Sons, Inc., MARDIA, K.V.; KENT, J.T. AND BIBBY, J.M. Multivariate Analysis. Academic, London MINGOTI, S. A.; YASSUKAWA, F. R. S., Uma Comparação de Gráficos de Controle para a Média de Processos Autocorrelacionados. Revista Eletrônica Sistemas & Gestão, v.3, n. 1, p , jan-abr MONTGOMERY, D. C., Introdução Ao Controle Estatístico da Qualidade. 4.ed. Rio de Janeiro: LTC, MORETTIN, P. A., Econometria Financeira: Um Curso em Séries Temporais Financeiras. São Paulo: Blucher,