IMPLEMENTAÇÃO DE UM ALGORITMO PARA O PROBLEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO UTILIZANDO O MÉTODO SEQÜENCIAL QUADRÁTICO

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1 IMPLEMENTAÇÃO DE UM ALGORITMO PARA O PROBLEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO UTILIZANDO O MÉTODO SEQÜENCIAL QUADRÁTICO Nilo Américo Fonseca de Melo Engenharia de Produção CCT/ Universidade Estadual Do Norte Fluminense Escola Técnica Federal de Campos, nilo@uenf.br José Ramón Arica Chávez Engenharia de Produção CCT/ Universidade Estadual Do Norte Fluminense arica@uenf.br ABSTRACT In this work, we present the implementation of an algorithm developed to solves the problem of Optimal Power Flow (OPF) by the method of Sequential Quadratic Programming (SQP), exploring the algebraic properties of the equations involved in the problem. This method solves a system of equations to find a direction of descent for the problem OPF using a quadratic minimization subproblem whose optimality conditions are identical to the conditions of the original problem. We use an active set strategy for it. We make a linear search in the direction found by the method SQP using as merit function the Augmented Lagrangian Function. The obtained computational results are satisfactories. Área: Pesquisa Operacional Optimal Power Flow, Sequential Quadratic Programming, Non Linear Programming 1 - INTRODUÇÃO 1.1 Descrição do problema FPO O problema de Fluxo de Potência Ótimo (FPO) consiste em determinar um estado de funcionamento (um fluxo de potência) de uma dada rede elétrica, considerando as restrições físicas e operacionais da mesma, de forma que o fluxo de potência procurado otimize uma certa função critério (objetivo), que nos diz sobre a performance do sistema. As principais informações obtidas do estudo de fluxo de potência são: o módulo e o ângulo de fase da tensão em cada barra e as potências ativa e reativa que circulam em cada linha de transmissão. O problema é caracterizado matematicamente como um problema de Programação Não Linear de grande porte (com milhares de variáveis e restrições) podendo ser formulado como: min f(x) s.a. h(x) = 0 (1.1) g(x) 0 x R n

2 onde: f(x) - é uma função objetivo do problema FPO e serve como medida da condição operativa desejada. h(x) - as restrições de igualdades são equações não lineares dos fluxos de potências ativas e reativas associados a cada barra do sistema. g(x) - as restrições de desigualdades são restrições lineares de canalização que definem limites inferiores e superiores para as variáveis do problema. Os limites são definidos como: x i + liminf i 0 (1.2) x i limsup i 0 A não-linearidade das equações ocorre devido a certas características da modelagem de alguns componentes do sistema Variáveis Na formulação do fluxo de potência, a cada barra da rede são associadas quatro variáveis: θ i - ângulo de tensão na barra i V i - módulo de tensão na barra i P i - geração líquida (geração menos carga) de potência ativa na barra i Q i - geração líquida de potência reativa na barra i. 2 - MÉTODO SEQUENCIAL QUADRÁTICO 2.1 Descrição do Método PSQ Os métodos seqüenciais quadráticos, também conhecidos como programação seqüencial (ou recursiva) quadrática (PSQ) empregam o método de Newton (ou Quasi- Newton) para resolver as condições de Karush-Kuhn-Tucker (K.K.T). do problema original. Como resultado, ao invés de resolver o problema original, resolve-se um subproblema de minimização quadrática (PQ) que consiste em uma aproximação quadrática da função Lagrangeana otimizada sobre uma aproximação linear das restrições. As condições de otimalidade deste subproblema são idênticas as condições do problema original. Tal subproblema pode ser observado abaixo: PQ(x k, u k, v k ): Minimizar f(x k ) + f(x k ) T x + ½ x T 2 L(x k ) x s.a. h i (x k ) + h i (x k ) T x = 0, i = 1,, l (2.1) g j (x k ) + g j (x k ) T x 0, j = 1,, m onde: L(x) = L(x, u k, v k ) = f(x) + u T k h(x) + v T k g(x). Para a resolução do subproblema PQ existe basicamente duas formulações alternativas: formulação IQP (Innequality Constrained Quadratic Programming) e a formulação EQP (Equality Constrained Quadratic Programming) Na formulação IQP todas a restrições do problema original são linearizadas e incluídas no subproblema quadrático. A solução do problema quadrático identifica o

3 conjunto ativo para a iteração k e este conjunto é utilizado como um preditor do conjunto ativo do problema original. Na formulação EQP se tem uma predição do conjunto ativo I k para o problema, que é atualizada a cada iteração e o subproblema quadrático é definido apenas em função das restrições ativas na iteração k: PQ (x k, u k, v k ): Minimizar f(x k ) + f(x k ) T x + ½ x T B x s.a. h i (x k ) + h i (x k ) T x = 0, i = 1,, l (2.2) g j (x k ) + g j (x k ) T x = 0, j I k onde: B - é uma aproximação definida positiva de 2 L(x k ); Neste caso, a resolução do subproblema quadrático consiste apenas da solução de um sistema de equações lineares. Um aspecto crítico desta formulação é a atualização do conjunto ativo a cada iteração. Uma estratégia para atualizar o conjunto ativo pode ser observada em Bazaraa(1993). Quando a matriz 2 L(x k ) for definida positiva, a aproximação B poderá ser definida como a própria matriz hessiana do lagrangeano. Quando esta não for definida positiva, uma forma de conseguir uma aproximação definida positiva de 2 L(x k ), é perturbar somente a diagonal principal desta matriz com ε pequeno suficiente para tornar a matriz B definida positiva. Desta forma, evita-se o preenchimento dos demais elementos da matriz, mantendo a matriz B simétrica, como a própria hessiana. De fato, esta é a estratégia que implementamos no presente trabalho. A principal desvantagem do método de programação seqüencial quadrática é que a sua convergência só é garantida quando o algoritmo é inicializado suficientemente próximo de uma solução desejada, Gill et al. (1986). Uma maneira de assegurar a convergência global do algoritmo é garantir que x k+1 seja um solução suficientemente melhor do que x k. Isto pode ser feito utilizando o vetor x (solução do subproblema quadrático) como uma direção de descida para uma função que garanta um decréscimo razoável no seu valor (função de descida). Para forçar tal situação, introduz-se a idéia da Função de Mérito. 2.2 Função de Mérito. Uma Função de Mérito é definida como sendo uma função que, junto com a função objetivo, é simultaneamente minimizada na solução do problema, servindo como função de descida, proporcionando uma idéia da não otimalidade do ponto atual. Uma função de mérito que tem recebido atenção considerável é a Função Lagrangeana Aumentada ( Augmented Lagrangian Penalty Function - F ALAG ), também conhecida como função de penalidade de multiplicadores. Considere primeiro o caso em que todas restrições não lineares são igualdades, a função Lagrangeana Aumentada associada é definida como: F ALAG (x, v, µ): f(x) + v T h(x) + ½ µ h(x) T h(x) (2.3) onde: v - multiplicador de Lagrange estimado. µ - parâmetro de penalidade não negativa.

4 A função Lagrangeana Aumentada, além de ser diferenciável, possui a propriedade crucial de penalização exata, i. e., existe um valor finito do parâmetro de penalidade µ para (2.3) tal que para todo µ µ *, x* é um mínimo exato para (2.3), quando v = v *. Uma extensão com restrições de desigualdades dessa idéia, desenvolvida por Gill et al. (1986) e usada também por Eldersveld (1992), para tornar a função de mérito suave, consiste em acrescentar variáveis de folga as restrições de desigualdade exclusivamente na definição da função de mérito (de forma que são usadas unicamente na definição do tamanho do passo). Deste modo, definimos a seguinte função Lagrangeano Aumentado: F ALAG (x, v, u, s, µ) = f(x) + v T h(x) + u T (g(x)+s) +1/2 µ ( h(x) 2 + g(x)+s 2 ) (2.4) Como em Gill et al. (1986), as variáveis de folga serão definidas no começo da iteração k como: max (0,- g i (x k ), se µ =0 ; s i = (2.5) max (0,- g i (x k ) - u i /µ, caso contrário Esta escolha das s i corresponde aos valores ótimos das variáveis de folga se a função de mérito fosse minimizada somente a respeito de s Viabilidade O algoritmo que será desenvolvido neste trabalho irá buscar um ponto de K.K.T. na região viável. Desta forma, além do ponto inicial x 0, os próximos pontos deverão ser tais que toda as iterações sejam viáveis para o problema original. O procedimento adotado foi corrigir, quando necessário, o próximo ponto x k+1 encontrado pela função de mérito por um algoritmo bisseção. 3 - ALGORITMO SEQÜENCIAL QUADRÁTICO PARA O PROBLEMA FPO 3.1 O Método Seqüencial Quadrático associado o problema FPO O algoritmo desenvolvido neste trabalho utiliza a formulação EQP (Equality Constrained Quadratic Programming). Devemos relembrar que esta formulação faz uma predição do conjunto ativo I k que é atualizada a cada iteração. O acréscimo de uma restrição de desigualdade ativa ao subproblema PQ representa o acréscimo de uma linha e uma variável ao subproblema PQ (o multiplicador de Lagrange λ correspondente a restrição que será acrescida). Devemos notar que as restrições de desigualdades do FPO são restrições de canalização linear, seu jacobiano corresponde a um vetor de elementos constantes e a sua derivada segunda é nula, não alterando a matriz hessiana do Lagrangeano ( 2 L(x k )). Desta forma a restrição de desigualdade que será acrescida ao subproblema quadrático é da forma: x f = - x k (f) + liminf f ou (3.1) x f = - x k (f) + limsup f

5 Ao invés de acrescentar uma linha e uma variável ao subproblema PQ, o cálculo direto da componente x f representa uma simplificação computacional considerável no algoritmo de solução. Podemos observar que com a esta estratégia, mesmo com acréscimo de novas restrições, o sistema não altera o seu tamanho original. 3.2 Algoritmo Seqüencial Quadrático para o problema FPO Nesta seção apresentaremos o algoritmo desenvolvido neste trabalho. Passo Inicial: Fazer k=1 e I k = Escolher um ponto inicial x 0 viável e valores iniciais para: u 0, λ 0, x 0 e µ 0. Passo 1: Calcular os valores de f(x k ), 2 f(x k ), J k e b k Onde: J k = h i (x k ) i E = {1,..., l} g i (x k ) i Ι k b k = h i (x k ) i E g i (x k ) i Ι k Passo 2: Obter uma aproximação B definida positiva da matriz hessiana do Lagrangeano 2 f(x k ). Passo 3: Resolver o subproblema quadrático PQ (x k, u k, v k ) Passo 4: Testar os valores encontrados de x k+1 e λ k+1 para verificar se x k+1 é solução ótima do problema quadrático PQ. Caso seja, ir ao passo 5. Caso contrário, verificar se precisa acrescentar ou retirar restrições de desigualdade ao problema quadrático PQ (Bazaraa,1993). e voltar ao passo 3. Passo 5: Se x k+1 =0, então x k é um ponto de K.K.T., faça u k+1 = λ k+1 e PARE. Caso contrário, calcule x k+1 e û k+1 utilizando a função de mérito Lagrangeano Aumentado (Gill et al, 1986); Passo 6: Verificar se x k+1 é viável para o problema original, Caso seja ir ao Passo 7. Caso contrário, corrigir o ponto x k+1 para um novo ponto x k+1 viável. Passo 7: Se x k+1 - x k = 0 então PARE. Caso contrário, faça k=k+1 e ir ao Passo TESTES E RESULTADOS NUMÉRICOS Apresentamos os resultados obtidos a partir de oito problemas testes estudados. Os problemas testes simulam sistemas elétricos de 30, 60, 90 e 100 barras, respectivamente. Cada sistema foi otimizado com duas funções objetivo diferentes: uma linear e outra não linear.

6 Os testes formam realizados em um computador Pentium MMX de 200Mhz, com 32Mbytes de memória RAM. A seguir apresentamos uma tabela com os resultados computacionais obtidos: Sistema Função Objetivo Tempo de processamento 30 barras 60 barras 90 barras Nº de iterações maiores Nº de iterações menores Linear 3 seg 2 2 não linear 5 seg 3 6 Linear 31 seg 2 3 não linear 41 seg 3 6 Linear 1 min e 27 seg 2 3 não linear 2 min e 15 seg 3 6 Linear 2 min e 12 seg barras não linear 3 min e 6 seg 3 6 onde: i ) iterações maiores: referem-se ao número de subproblemas quadráticos; ii ) iterações menores: referem-se às iterações (de Cholesky ou Gauss) necessárias para resolver os subproblemas quadráticos. Em todos os casos o algoritmo foi rodado a partir de um único ponto viável (na prática inicia-se com o ponto de operação atual da rede elétrica) e o ponto inicial para os multiplicadores foi um vetor com todas as componentes iguais a 1. É interessante notar que, como reportado em Latorre(1995) e Pereira(1991), o processo fica muito estável depois das primeiras iterações. É conveniente ressaltar que nosso modelo trata o problema de potência ativa e reativa de maneira acoplada, diferente de outros (como Latorre(1995) e Pereira(1991)), o que de um lado aumenta o número de variáveis, aumentando o tempo computacional, mas por outro lado permite uma aproximação melhor do problema físico representado. Uma característica do problema FPO que permite uma melhora significativa no tempo computacional é a esparsidade. Neste trabalho não foi abordada tal característica, porém acreditamos que tanto o tempo de CPU como o número de iterações menores sejam sensivelmente diminuídas quando implementarmos técnicas de esparsidade no tratamento das iterações menores. 5 - CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES Neste trabalho desenvolvemos uma implementação computacional para a solução do problema FPO, usando uma adaptação do Método Seqüencial Quadrático (MSQ). Apresentamos os principais aspectos teóricos para o desenvolvimento do MSQ e construímos uma algoritmo específico, explorando o formato do FPO, para a solução dos problemas quadráticos originados em cada iteração. Os testes numéricos apresentaram resultados satisfatórios, apesar de não ter sido implementado técnicas de esparsidade. Acreditamos que o uso dessas técnicas melhorará em muito os resultados.

7 Entre as principais características de nossa implementação devemos mencionar o algoritmo para manter a viabilidade ( i.e., nossos resultados sempre serão fisicamente implementáveis). Para isso, os subproblemas quadráticos são resolvidos originando uma direção de descida. Um tamanho de passo é obtido com a função de mérito Lagrangeano Aumentado. Com isto, pontos que não são necessariamente viáveis para as desigualdades do problema original (que são do tipo canalização) podem ser obtidos dessa maneira. Então, antes de iniciar a próxima iteração, estes pontos são projetados sobre a canalização para obter um ponto viável para o problema original. Além das técnicas de esparsidade a serem implementadas acreditamos que, na medida que o algoritmo apresentado trabalha com condições de otimalidade de primeira ordem, é interessante continuar desenvolvendo o MSQ sobre condições de segunda ordem, como proposto por Eldersveld (1992). 6 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Barbosa, A.M.S., (1979), Métodos de Otimização Não Linear para Planejamento e operação de Sistemas de Potência, Tese (Mestrado em Ciências), Rio de Janeiro - RJ, Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, 125p. Bazaraa, M.S., Sherali, H.D., Shetty, C.M., (1993), Nonlinear Programming: Theory and algorithms. 2.ed. New York: John Wiley & Sons, 638p. Burchett, R. C., Harp H.H. e Vierath D.R., (1984), Quadratically Convergent Optimal Power Flow, IEEE Transactions on PAS, Vol. 103, Nº 11, p Burchett R. C., Happ H. H. e Wirgau K. A., (1982), Large Scale Optimal Power Flow, IEEE Transactions on PAS, Vol. 101, p Carpentier J. (1962), Contribuition á `L`étude du Dispaching Économique, Bulletin de la Societe Françoice dos Electriciens, SER-8, Vol. 3, p Carpentier,J., (1973), Differencial Injections Method: A General Method for Segure and Optimal Load Flows, Proc PICA, p Dommel H. W. e Tinney W. F., (1968), Optimal Power Flow Solutions, IEEE Transactions on PAS, Vol. 87, p Eldersveld, S.K., (1992), Large Scale Sequential Quadratic Programming Algorithms, Technical Report of System Optmization Laboratory SOL, Stanford, Califórnia, SOL 92-4,82p. Farag, A., Al-Baiyat S., Cheng T.C.,(1995), Economic Load Dispach Multiobjetive Optmization procedure using Linear Programming Techniques, IEEE/PES, Vol.10, Nº2, p Geoffrion H. M., (1972), Generalized Benders Decomposition, J. Optimization Theory and Apliccation - JOTA, Vol. 10, p

8 Gill, P.E., Murray, W, Saunders, M.A., Wright, M.H., (1986), Some Theoretical Properties of na Augmented Lagrangian Merit Funcion, California, System Optimation Laboratory SOL, Stanford, Califórnia, SOL86-6, 21p. Gill P. E., Murray W. e Wright M.H., (1981), Practical Optimization, Academic Press, London and New York. Granvillle S., Lima M.C.A., (1994), Aplication of Decomposition Techniques to Var Planning: Methodological & Computacional Aspects, IEEE/PES, Present at 1994 Winter Meeting, New York, USA, Nº 94. Latorre, M. L. (1995) Aplicação de Métodos de Pontos Interiores Primal-Dual para resolução do Problema de Fluxo do Potência Ótimo. Tese (Mestrado em Ciências em Engenharia de Sistemas e Computação), Rio de Janeiro - RJ, Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, 75p. Melo A.C.G., Mello J.C.O., Romero S.P., Oliveira G.C., Morozowski M., Pereira M.V.F., Cunha S.H.F., Fontoura R.N., (1992), Reability Evaluation of Large Scale Composite Power Systems, III Simposio de Especialistas em Planejamento da Operação e Expansão Elétrica. Monticelli A., Pereira M.V.F. e Granville S., (1987), Security-Constrained Optimal Power Flow with Post-Contigency Corrective Rescheduling, IEEE Transactions on Power System, Vol. 2, Nº 1. Pereira L.A.C., (1991), Implementação de um Programa de Fluxo de Potência Ótimo Utilizando Programação Quadrática Seqüencial. Tese (Mestrado em Ciências em Engenharia de Sistemas e Computação), Rio de Janeiro - RJ, Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ,187p. Powell, M. J. D., (1977), A fast algorithm for nonlinearly constrained optimization calculations in numeric analysis, Report DAMTPP, nº 2. Dundee, G.A. Watson (Ed.). Lecture Notes in Matemathics 630, Springer Verlag, Berlim Powell, M. J. D., (1983), Variable metric methods for constrained optimization, Mathematical Programming, Berlim and New York, p Rockafellar, R. T.,(1973). The multiplier method of Hestenes and Powell applied to convex programming, J. Optimization Theory and Applications JOTA, Nº12, p Stott B., Alsaç O e Monticelli A., (1987), Security Analysis and Optimization, Proceedings of the IEEE, Vol.75, Nº 12. Sun D.I., Ashley B. T., Brewer B.J., Hughes B.A. e Tinney W.F., (1984), Optimal Power Flow by Newton Approach, IEEE Transactions on PAS, Vol. 103, Nº 10. Tautz,C., (1995), O Governo mostra as cartas e espera o investidor privado. Revista Brasil Energia, Rio de Janeiro, Nº 182: