Uma estratégia para minimização de funções com termos modulares via métodos de pontos interiores

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1 Proceeding Series of the Brazilian Society of Applied and Computational Mathematics Vol. N. 0. Trabalho apresentado no CMAC-Sul Curitiba-PR 0. Uma estratégia para imização de funções com termos modulares via métodos de pontos interiores Diego Nunes da Silva Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica FEB UNESP Bauru SP Antonio Roberto Balbo Departamento de Matemática FC UNESP Bauru SP Ricardo Bento Nogueira Pinheiro Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica EESC USP São Carlos SP Resumo: Neste trabalho apresentamos um método de otimização deterístico híbrido que vincula um método previsor-corretor primal-dual de pontos interiores o qual emprega a função barreira logarítmica modificada com uma estratégia baseada na função tangente hiperbólica para imização de funções objetivo com termos modulares. Para garantir a convergência global do método proposto uma estratégia variante de Levenberg-Marquardt é inserida no método proposto a fim de ajustar a matriz dual normal da função lagrangiana barreira modificada em situações em que a mesma não é definida positiva. Por fim resultados iniciais obtidos através da abordagem explorada são apresentados. Palavras-chave: Otimização Pontos Interiores Função Barreira Modificada. Introdução e Motivações A não-diferenciabilidade de funções é um tipo de dificuldade que pode surgir ao resolver problemas de otimização principalmente quando se utilizam métodos clássicos os quais empregam informações de vetores gradientes e matrizes hessianas para deterar as direções de busca. Diante desta possibilidade diversos autores optam por utilizar métodos de otimização estocástica/heurísticas para sua resolução como algoritmos genéticos ou simulated annealing [6]. Tais métodos têm se mostrado bastante eficientes na resolução deste tipo de problema porém não possuem garantias de convergência. Diversos problemas reais podem ser modelados como problemas de otimização com função objetivo não-diferenciável. Em particular em engenharia elétrica um problema de grande relevância é o Problema de Despacho Econômico com Ponto de Válvula (PDE-PV). O PDE-PV é um problema de otimização em que a função objetivo é não-diferenciável devido à presença de termos modulares cuja finalidade é alocar a demanda de energia entre as unidades geradoras ao mesmo tempo em que as restrições operacionais são satisfeitas. Neste sentido o objetivo deste trabalho é apresentar uma estratégia para aproximar funções com termos modulares de modo que a função aproximante seja diferenciável. Isto possibilitará a aplicação de um método clássico de otimização a saber o método primal-dual previsor-corretor barreira logarítmica modificada o qual foi utilizado com sucesso por Sousa et al. [5] e Pinheiro [3] na resolução de problemas de fluxo de potência ótimo a fim de obter soluções consistentes para um problema de otimização com função objetivo não diferenciável devido a termos modulares. DOI: 0.550/ SBMAC

2 Proceeding Series of the Brazilian Society of Applied and Computational Mathematics Vol. N. 0. Método Primal-Dual Previsor-Corretor Barreira Logarítmica Modificada Seja o seguinte modelo de otimização não-linear em que a função objetivo e as restrições são funções de classe C. Minimizar f(x) sujeito a g(x) = 0 () u h(x) u l x l onde f(x) é a função objetivo x R n g : R n R m h : R n R r. O problema () é então convertido em um problema irrestrito através da função lagrangiana barreira logarítmica modificada proposta por Polyak [] expressa em (): L(ω) = f(x) r [(δ ) i ln (z ) i + (δ ) i ln (z ) i ] n [(δ 3 ) j ln (z 3 ) j + (δ ) j ln (z ) j ] i= + m (λ 0 ) t g t (x) + r (λ ) i [ h i (x) + (u ) i + (z ) i ] + r (λ ) i [h i (x) (u ) i + (z ) i ] t= i= j= i= + n (λ 3 ) j [ x j + (l ) j + (z 3 ) j ] + n (λ ) j [x j (l ) j + (z ) j ] j= j= () em que ω = (x z z z 3 z λ 0 λ λ λ 3 λ ) t é o parâmetro de barreira δ δ R r δ 3 δ R n são denoados estimadores dos multiplicadores de Lagrange relativos às restrições de desigualdade λ 0 R m é o vetor de multiplicadores de Lagrange das restrições de igualdade λ λ R r λ 3 λ R n são os vetores de multiplicadores de Lagrange das restrições de desigualdade (z ) i = +(z ) i (z ) i = +(z ) i (z 3 ) j = +(z 3) j e (z ) j = +(z ) j onde z z R r z 3 z R n são as variáveis de folga as quais foram relaxadas através da introdução da função barreira modificada de modo que z > e r z > e r z 3 > e n e z > e n com e r = (... ) t R r e e n = (... ) t R n. Sobre () são aplicadas as condições necessárias de KKT impondo que L(ω) = 0. O sistema nãolinear obtido é então linearizado utilizado um aproximante de Taylor de primeira ordem. O sistema linear obtido é da forma: A k d k ω = b k (3) em que A k = K Jg(x k ) t Jh(x k ) t Jh(x k ) t I n I n Jg(x k ) Jh(x k ) I r Jh(x k ) 0 I r I n 0 0 I n I n I n Λ k Z k Λ k Z k Λ 3k Z 3k Λ k Z k Z = Z 3 = +(z ) (z ) r +(z 3 ) (z 3 ) n Z = Z = +(z ) (z ) r +(z ) (z ) n com Jg(x) R n m e Jh(x) R n r as matrizes jacobianas dos funcionais g e h respectivamente. Os () (5) DOI: 0.550/ SBMAC

3 Proceeding Series of the Brazilian Society of Applied and Computational Mathematics Vol. N. 0. resíduos do método são expressos por (6): m k f(x k ) Jg(x k ) t λ k 0 Jh(x k ) t (λ k λ k ) + λ k 3 λ k t k g(x k ) 0 t k h(x k ) z k u t k h(x k ) z k + u b k = t k x k z k 3 3 t k = l x k z k + l π k Z k λ k + k δ k d k λ π k Z k λ k π k + k δ k d k λ 3 Z 3k λ k π k 3 + k δ k 3 3 d k λ 3 Z k λ k + k δ k d k λ (6) onde K = xxf(x k ) + m [(λ k 0 ) t xxg t (x k )] + r {[(λ k ) i (λk ) i ] xxh i (x k )} I n é a matriz identidade de t= i= ordem n I r a matriz identidade de ordem r v = diag(d k z v ) Λ vk = diag(λ k v) com v =... e d k ω = (d k x d k z d k z d k z 3 d k z d k λ 0 d k λ d k λ d k λ 3 d k λ ) t é o vetor de direções.. Procedimentos Previsor e Corretor No passo previsor desconsideram-se os termos não-lineares da forma v d k λ v presentes nos resíduos π k v. Em Pinheiro [3] a esparsidade da matriz A k é explorada para calcular as direções explicitadas a seguir: d k λ 0 = λ k 0 [Jg(x k )θ k Jg(xk ) t ] {Jg(x k )θ k [ f(xk ) + c k + k ϕ k ] + t k 0} (7) d k x = θ k [ f(xk ) + c k + k ϕ k + Jg(x k ) t λ k 0 + Jg(x k ) t d k λ 0 ] (8) d k z = Jh(x k )d k x + t k ; d k z = Jh(x k )d k x + t k ; d k z 3 = d k x + t k 3; d k z = d k x + t k (9) d k λ v com = Z Λ vk d k z v + k Z δ k v λ k v v =... (0) θ k = K + Jh(x k ) t (Z k Λ k + Z Λ k )Jh(x k ) + Z Λ 3k + Z Λ k () c k = Jh(x k ) t (Z k Λ k t k Z Λ k t k ) + Z Λ 3k t k 3 Z Λ k t k () ϕ k = Jh(x k ) t ( Z k δ k + Z δ k ) Z δ k 3 + Z δ k (3) Uma vez que as direções do procedimento previsor são calculadas efetua-se o procedimento corretor. Nesta etapa os resíduos não-lineares desconsiderados no passo corretor são utilizados empregando as direções do passo corretor. Isto permite calcular as seguintes direções corrigidas: d k λ 0 = λ k 0 [Jg(x k )θ k Jg(xk ) t ] {Jg(x k )θ k [ f(xk ) + c k + k ϕ k ] + t k 0} () d k x = θ k [ f(xk ) + c k + k ϕ k + Jg(x k ) t λ k 0 + Jg(x k ) t dk λ 0 ] (5) d k z = Jh(x k ) d k x + t k ; d k z = Jh(x k ) d k x + t k ; d k z 3 = d k x + t k 3; d k z = d k x + t k (6) d k λ v em que = Z Λ vk dk z v + k Z δ k v Z v d k λ v λ k v v =... (7) c k = c k + Jh(x k ) t (Z k d k λ Z d k λ ) + Z 3 d k λ 3 Z d k λ (8) Um ponto a se destacar é que na abordagem aqui apresentada os procedimentos previsor e corretor são realizados na mesma iteração. Além disso o parâmetro de barreira também é utilizado no passo previsor.. Cálculo da nova solução e do comprimento do passo Com as direções corrigidas a partir da solução ω k numa iteração k calcula-se um novo ponto ω k+ = ω k + α d k ω. O escalar α é um fator tipicamente igual a cuja função é evitar que o novo ponto DOI: 0.550/ SBMAC

4 esteja exatamente na fronteira da região relaxada o que causaria erros devido à inexistência do logaritmo. Uma justificativa mais rica pode ser encontrada em [7]. O vetor de direções corrigidas é expresso por d k ω = (α P dk x α P dk z α D dk λ) t onde os escalares α P e α D são calculados segundo Granville []: { α P = α D = com i =... r e j =... n. Proceeding Series of the Brazilian Society of Applied and Computational Mathematics Vol. N. 0. { (z ) i (z ) i >0 e ( d z ) i ( d z ) i (z 3) j (z 3 ) j >0 e ( d z3 ) j ( d z3 ) j (λ ) i (λ ) i >0 e ( d λ ) i ( d λ ) i (λ 3) j (λ 3 ) j >0 e ( d λ3 ) j ( d λ3 ) j (z ) i >0 e ( d z ) i (z ) j >0 e ( d z ) j (λ ) i >0 e ( d λ ) i (λ ) j >0 e ( d λ ) j (z ) i ( d z ) i (z ) j ( d z ) j (λ ) i ( d λ ) i (λ ) j ( d λ ) j } (9) } (0).3 Parâmetro de barreira estimadores dos multiplicadores de Lagrange e critério de parada O parâmetro de barreira foi atualizado pela seguinte heurística: k+ = β k β [0 ) () Os estimadores dos multiplicadores de Lagrange foram atualizados pela estratégia de baixo custo computacional desenvolvida por Pinheiro [3]: δ k+ i = λ k i () Como critério de parada verifica-se a viabilidade primal-dual e as condições de folgas complementares sobre a nova solução ω k+ isto é L(ω k+ ) < ε (3) onde ε > 0 é a precisão adotada. Quando (3) ocorre o método deve parar pois ω k+ é a solução ótima com precisão desejada. Senão é realizada uma nova iteração dos procedimentos previsor e corretor.. A estratégia de convergência global Neste trabalho adotou-se uma estratégia de convergência global proposta por Pinheiro [3] a qual é uma variante do método de Levenberg-Marquardt. Em problemas de otimização não-convexos a matriz dual normal θ k pode não ser definida positiva. Isto pode acarretar a instabilidade do método bem como a convergência para máximos locais. Pode-se verificar se a matriz θ k é definida positiva utilizando a Decomposição de Cholesky. Se a decomposição não é possível a diagonal da matriz é perturbada de modo a torná-la definida positiva da seguinte maneira: θ k = θ k + γ k I n () onde I n é a matriz identidade de ordem n (igual à de θ k ) e γ k R +. O número γ k é denoado parâmetro de amortecimento. Este valor é incrementado enquanto a decomposição não puder ser finalizada pela seguinte heurística: γ p+ = γ p k + ( 5 ) + (5) k Quando a decomposição for finalizada define-se γ k = γ p+. Ao terar uma iteração o valor do parâmetro de amortecimento é atualizado pela seguinte heurística a qual é uma modificação daquela proposta por Bazaraa et al. []: i. Se L(ω k ) L(ω k+ ) < 0 5 então γ k+ = 3 γ k; ii. Se L(ω k ) L(ω k+ ) > 0 75 então γ k é atualizado pela heurística (5); iii. Se 0 5 L(ω k ) L(ω k+ ) 0 75 então γ k+ = γ k. DOI: 0.550/ SBMAC

5 Proceeding Series of the Brazilian Society of Applied and Computational Mathematics Vol. N A estratégia para suavização de termos modulares Dada uma função real f : X R n R sabemos que é válida a identidade: f(x) = f(x) sgn(f(x)) (6) onde sgn é a função sinal definida por: se x < 0 sgn(x) = 0 se x = 0 se x > 0 (7) A função sinal apesar de descontínua na origem pode ser aproximada por funções de classe C com boa precisão quando se está fora da origem. Redes neurais artificiais utilizam com frequência esse tipo de aproximação nas funções de ativação. Assim se f for uma função de classe C um problema de imização tiver a forma Minimizar f(x) (8) sujeito a x Ω e uma função aproximante e diferenciável A para a função sinal for conhecida podemos substituir (8) por um problema aproximado Minimizar f(x) A(f(x)) (9) sujeito a x Ω Desde que a função aproximante A seja de classe C a função objetivo de (9) também o será pois resulta da composição e produto de funções de classe C. Isto significa que sobre esta função podemos aplicar os métodos clássicos de otimização em particular o método previsor-corretor primal-dual barreira logarítmica modificada. A proximidade da solução obtida com as soluções do problema original dependerá naturalmente da qualidade da aproximação feita para a função sinal. Na seção a seguir apresentamos os resultados obtidos com esta estratégia para imizar uma função com termos modulares. Para obter os resultados utilizamos um aproximante da função sinal baseado na função tangente hiperbólica: A(x) = tanh(ρx) de modo que resolvemos uma sequência de problemas aproximados: Minimizar sujeito a f(x) tanh(ρf(x)) x Ω (30) Esta estratégia de suavização está sendo aplicada ao PDE-PV e os resultados iniciais obtidos são promissores sendo este problema o objeto para trabalhos futuros. Resultados Numéricos A abordagem apresentada foi aplicada ao seguinte problema-teste matemático: (3) Minimizar x + x + sen(x ) x sujeito a e x + x 0 5 = 0 x + x Os resultados das iterações estão sumarizados na Tabela apresentada a seguir em que as colunas FO e FA apresentam respectivamente o valor da função objetivo original e aproximada no ponto. Além disso a Figura ilustra o processo de convergência. Os parâmetros iniciais para o método foram: 0 = 5 γ 0 = 0 β = 0 5 e os estimadores dos multiplicadores de Langrange iguais a 0. A precisão de parada foi ε = 0. Excetuando as variáveis x e x cujos valores foram fornecidos as demais variáveis iniciais foram calculadas assudo que os resíduos eram nulos em (6). A região factível do problema é dada pelo arco da função exponencial em azul claro no interior da circunferência. Observa-se que o método foi inicializado no ponto x 0 = ( ) t o qual é infactível inclusive para a restrição de desigualdade. Ainda assim o método foi capaz de convergir para um ponto factível devido à utilização da função barreira modificada que realiza uma relaxação sobre as folgas das restrições de desigualdade. Outro ponto a notar é que o método não apresentou instabilidades mesmo quando se aproximou de pontos em que a função não é diferenciável (situados sobre a senoide em verde). O valor da função objetivo original na solução encontrada é enquanto na função aproximada é evidenciando que a função original e aproximada têm valores próximos. DOI: 0.550/ SBMAC

6 Proceeding Series of the Brazilian Society of Applied and Computational Mathematics Vol. N x x Figura : Curvas de nível da função objetivo e convergência do método k x k x k FO FA Tabela : Iterações do método 5 Conclusão Este trabalho apresentou um método primal-dual previsor-corretor de pontos interiores que emprega a função barreira logarítmica modificada para a resolução de problemas de otimização com funções objetivo com termos modulares. Para tanto adotou-se uma estratégia que utiliza um aproximante da função sinal para substituir o problema original por um problema aproximado. Utilizou-se ainda uma estratégia de convergência global a fim de tratar a não-convexidade do problema e obter um ponto de mínimo local. Uma implementação do método proposto em Matlab 0 mostrou que a estratégia foi eficiente e estável para deterar um ponto de mínimo para um problema-teste matemático iniciando em pontos infactíveis. Referências [] M. S. Bazaraa H. D. Sherali C. M. Shetty. Nonlinear Programg: Theory and Algorithms. New Jersey: Wiley Interscience 006. [] S. Granville. Optimal Reactive Dispatch through Interior Point Method IEEE Transactions on Power Systems v.9 n. p [3] R. B. N. Pinheiro. Um método previsor corretor primal-dual de pontos interiores barreira logarítmica modificada com estratégias de convergência global e de ajuste cúbico para problemas de programação não-linear e não-convexa. Dissertação (mestrado) Faculdade de Engenharia de Bauru Universidade Estadual Paulista Bauru 0. [] R. Polyak. Modified barrier functions Mathematical Programg v. 5 n. p [5] V. A. Sousa E. C. Baptista G. R. M. Costa. Modified Barrier Method for Optimal Power Flow Problem. In: IEEE Power Engineering Society General 00 Denver Colorado. IEEE Catalog Number: 0CH37567C. USA: Mira Digital Publishing 00. v.. p. -6. [6] K. K. Vishwakarma H. M. Dubey M. Pandit B. K. Panigrahi. Simulated annealing approach for solving economic load dispatch problems with valve point loading effects International Journal of Engineering Science and Technology v. n. p [7] M. H. Wright. Why a Pure Primal Newton Barrier Step May Be Infeasible SIAM Journal on Optimization v. 5 n. p DOI: 0.550/ SBMAC