Um método de reescalamento não-linear integrado

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1 Trabalho apresentado no CNMAC, Gramado - RS, 206. Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics Um método de reescalamento não-linear integrado Ricardo B. N. M. Pinheiro LASEE - Departamento de Engenharia Elétrica, EESC - USP, São Carlos, SP Guilherme G. Lage 2 CCET - Departamento de Engenharia Elétrica, UFSCar, São Carlos, SP Diego N. da Silva 3 LASEE - Departamento de Engenharia Elétrica, EESC - USP, São Carlos, SP Geraldo R. M. da Costa 4 LASEE - Departamento de Engenharia Elétrica, EESC - USP, São Carlos, SP Resumo. Neste trabalho, propomos um método de reescalamento não-linear integrado, o qual mescla as famílias de funções penalidades não-quadráticas desenvolvidas por Polya e Teboulle [] e Matioli e Gonzaga [7] para os métodos de lagrangiano aumentado. Além disso, definimos uma nova função para ser usada como penalidade para as restrições de desigualdade e uma abordagem primal-dual do tipo previsor-corretor. Aplicamos o método proposto no problema de fluxo de potencia ótimo reativo, da engenharia elétrica, ao sistema elétrico de 8 barras. Palavras-chave. Método de reescalamento não-linear, função lagrangiana aumentada, distâncias de Bragman e entrópicas, método dual de ponto proximal, fluxo de potência ótimo reativo. Introdução O método de ponto proximal em programação convexa permanece em intensa investigação até os dias atuais. Sua invenção é atribuída a Martinet [6], cujas ideias foram amplamente desenvolvidas por Rocafellar [2]. Embasados em [5, 3], o método clássico de ponto proximal consiste em minimizar uma função f : R n R convexa por meio de uma sequência { x } gerada conforme ): { x + = arg min f x) + µ 2) x x 2}, ) em que {µ } é uma sequência em R ++ e é a norma euclidiana em R n. O algoritmo apresentado em ) é generalizado por meio da formulação x + = arg min { f x) + µ D x, x )}, em que D : R n R n R + é uma função cujo significado representa um modo de medirmos rbnpinheiro@usp.br 2 glage@ufscar.br 3 diegoitapeva996@hotmail.com 4 geraldo@sc.usp.br DOI: / SBMAC

2 2 a distância de um vetor a para o vetor b e que ao menos possua as seguintes proporiedades: D a, b) = 0 a = b e D a, b) > 0, a b. As medidas de distância D mais conhecidas e utilizadas são as distâncias de Bregman [2,7,8] e as medidas entrópicas ϕ-divergente [5,,3]. Uma exceção é apresentada em [], pois o autor utiliza uma medida de distância que não é nem uma distância de Bregman nem uma medida entrópica. Todavia, em geral, as medidas de distâncias D são induzidas por funções não-quadráticas cujo domínio pode ser um subconjunto do R n. Em problemas de otimização convexa, nos quais a condição de Slater é satisfeita, Matioli e Gonzaga [7] e Polya e Teboulle [] aplicaram, respectivamente, as medidas de distância de Bregman e as medidas ϕ-divergente para induzir o método de ponto proximal no espaço dual associado ao problema primal. As medidas de distâncias são induzidas por meio do conjugado convexo de uma função não-quadrática ψ, a qual está em um conjunto H mediante a propriedades específicas. A finalidade desta função, em princípio, é penalizar as restrições de desigualdade do problema primal. Foi demonstrado pelos autores que resolver o método dual de ponto proximal é totalmente equivalente a resolver o problema primal mediante o princípio de reescalamento não-linear vinculado a uma das duas classes de lagrangiano aumentado. Para distinguir uma classe da outra, Matioli e Gonzaga denominaram por classe P às funções penalidades associadas ao método de lagrangiano aumentado, cujo conjugado convexo induz uma distância de Bregman para método dual de ponto proximal; por classe P 2 à classe funções penalidades vinculadas ao método de lagrangiano aumentado, cujo conjugado convexo induz uma medida entrópica ϕ-divergente para o método dual de ponto proximal. Neste trabalho propomos uma abordagem de lagrangiano aumentado, no sentido do princípio de reescalamento não-linear, a qual integra as classes P e P 2 de funções penalidades. Apresentamos uma nova função ψ cujo conjugado convexo é a função logarítmicaquadrática, a qual é variante a de Auslender []. Entretanto, a medida de distância difere-se substancialmente a de Auslender e de Gregório e Oliveira [4]. Nós apresentamos uma abordagem primal-dual de reescalamento não-linear integrado no sentido de Griva e Polya [3] com estratégia previsor-corretor proposta por Pinheiro [9]. Aplicamos o método previsor-corretor primal-dual de reescalamento não-linear integrado ao problema de fluxo de potência ótimo reativo vinculado ao sistema elétrico de 8 barras. 2 Medidas de distância de Bregman e entrópicas De acordo com Teboulle [3], seja ν : R n R uma função convexa de classe C, então a medida de distância de Bregman induzida por ν é expressa em 2): D ν x, y) = ν x) ν y) νy) T x y), x, y) R n R n ). 2) Seja F o conjunto das funções ϕ : R ++ R +, as quais possuem as seguintes propriedades: ϕ ) = ϕ ) = 0; ϕ é de classe C, ϕ s) < 0, para todo s 0, ); ϕ s) > 0, para todo s 0, ); ϕ s) > 0, para todo s R ++ e; lim ϕ s) = a, 0 < a. Então, + s 0 a medida entrópica ϕ-divergente induzida por ϕ é conforme 3): d ϕ x, y) = n y jϕ y j x j ), x, y) R n ++ R n ++). 3) DOI: / SBMAC

3 3 Por fim, sejam ϕ F, ν s) = n ϕ s i) e a função B ϕ x, y) = ϕ x) ϕ y) ϕ y) x y), para todo x, y) R Então uma maneira de relacionarmos as medidas de distância de Bregman com as medidas entrópicas, mediante a função B ϕ, é dada por: e D ν x, y) = d ϕ x, y) = ) B ϕ yj x j, = ) y j B ϕ yj x j, = ϕ yj x j ), x, y) R n ++ R n ) ++ b j ϕ yj x j ), x, y) R n ++ R n ) ++ 4) 5) 3 Método de Reescalamento não-linear Integrado Considere o problema de programação não-linear: Min {f x) : h x R n i x) 0, i =,..., r}, 6) em que f : R n R, h i : R n R são funções convexas de classe C. O conjunto viável do problema 6) é X = {x R n ; h i x) 0, i =,..., r} e assumimos que o problema 6) satisfaz as condições de Slater e que o conjunto das soluções ótimas X = {x X; f x ) f x)} é não-vazio e limitado. Mediante a condição de Slater, existe um vetor λ = λ,..., λ i,..., λ r) T R r + de multiplicadores de Lagrange tal que as equações 7) e 8) a seguir são consistentes x L x, λ ) = f x ) + r i= λ i h i x ) = 0, 7) min λ i, h i x )) = 0, i =,..., r, 8) em que L x, λ) = f x)+ r i= λ ih i x) é a função lagrangiana. O problema dual associado à 6) é: max {d λ) : λ λ R r i 0, i =,..., r}, 9) onde d λ) = inf {L x, λ) ; x X} é a função dual. Neste trabalho, a função lagrangiana aumentada vinculada ao problema 6) é definida em 0): L x, λ, µ) = f x) + µ r i= λ i α + α) λ i ) ψ µ α + α) λ i ) h i x) ), 0) para algum α [0, ] e fixo. O escalar µ R ++ é denominado parâmetro de reescala; a função ψ : T =, b) R, com 0 < b, é elemento do conjunto H de funções convexas que possuem as seguintes propriedades [7, ]: ψ é de classe C ; ψ 0) = 0; ψ 0) = ; lim t ψ t) = 0; lim t b ψ t) = ; ψ t) > 0 para todo t T e; ψ t) > 0 para todo t T. Se α = 0, então 0) é exatamente a lagrangiana aumentada proposta por Matioli e Gonzaga [7] e se α =, então 0) torna-se a lagrangiana aumentada de DOI: / SBMAC

4 4 Polya e Teboulle []. A classe de funções penalidades é o conjunto P int das funções η : T R ++ [0, ]) R definidas por: η ψ t, λ, α) = λα + α) λ) ψ α + α) λ) t). ) No sentido de Matioli e Gonzaga [7], se α = 0, então a classe P int = P e que se α =, então a classe P int = P 2. O princípio de reescalamento não-linear consiste em resolver uma sequência de minimizações irrestritas da lagrangiana aumentada 0) seguido de atualizações dos multiplicadores de Lagrange. Em sentido de método, este princípio é transcrito da seguinte forma: Seja = 0,, 2,..., então dado um par λ 0 0, µ ) 0 R r+ ++ e um α [0, ], então determine x + = argmin { L x, λ ) }, µ, x X e, então, faça: λ i+ = ψ µ α + α) λ i ) h i x + )) λ i, i =,..., r. 2) Agora, devido à existência de ψ, o conjugado convexo de ψ, o qual é dado por ϕ s) = sup {st ψ t), t T}, está bem definido. Como ϕ = ψ, segue, a partir da expressão 2), a expressão 3): h i x +) ) µ α + α) λ i ) ϕ λ i λ i+ = 0. 3) Isso significa que λ i+ é solução para condição de primeira ordem do método dual de ponto proximal apresentado em 4): { λ + r ) } = arg max d λ) µ α + α) λ i i= ) λ i ϕ λ i λ i ; λ R r ++. 4) Pelas expressões 4) e 5), a medida de distância aplicada ao par λ,λ ) não é nem uma distância de Bregman nem entrópica ϕ-divergente para qualquer α 0, ). Todavia, se α = 0 ou α =, então recuperamos, respectivamente, os métodos dual de ponto proximal de Matioli e Gonzaga e de Polya e Teboulle. Neste trabalho, propomos a função: H ψ t) = ln 2 t + )) t t2 + t t ) 4 Suas propriedades são: T = R; trata-se de uma função convexa imprópria, isto é, ψ t), para todo t T; ψ t) = t+ t ; ψ t) = t t 2 +4+t 2 +4; lim t ψ t) = 2t 2 +4) t coerciva a direita) e; seu conjugado convexo é a função logarítmica-quadrática ϕ s) = ln s) + 2 s 2 ), a qual é uma variante apresentada por Auslender []. Todavia, a indução de uma medida de distância de Bregman ou entrópica difere substancialmente a de Auslender e a de Gregório e Oliveira [4], pois a proposta do integrado mescla ponderadamente as características de ambas medidas de distância para qualquer α [0, ]. 4 Método primal-dual de reescalamento não-linear integrado Seja o problema 6), o qual assumirmos as soluções ótima primal e dual estão bem definidas. Min {f x) : g x) = 0; h x) + z = 0; z 0} 6) x,z ) R n+r DOI: / SBMAC

5 5 em que: f : R n R, g : R n R m, h : R n R r são funções não-convexas pelo menos de classe C 2 e z é o vetor de variáveis de folgas vinculadas à restrição h x) 0. A lagrangiana aumentada associada à 6) é: L ω) = f x) + λ T 0 g x) + λ T h x) + z ) + µ r µ z i, δ i, α ), 7) i= η ψ onde: ω = x T, z T, λt 0, ) T λt ; λ0 = λ 0,..., λ 0m ) T R m, λ = λ,..., λ r ) T R r + são respectivamente os vetores duais vinculados à g x) = 0 e à h x) + z = 0 e δ = δ,..., δ r ) T R r ++ é o parâmetro dual, o qual é uma estimativa para λ. O método primal-dual seguido de atualizações dinâmicas dos parâmetros foi proposto por Griva e Polya [3] e uma estratégia previsor-corretor para este método foi apresentado por Pinheiro [9]. A abordagem primal-dual consiste em gerar uma sequência { ω } seguida de atualizações do vetor µ, δ ) R r+ ++ L ω ) = 0. Neste de parâmetros até que lim trabalho, a sequência { ω } é gerada ao efetuarmos dois passos do método de Newton por iteração para o cálculo das direções de busca primal e dual. O primeiro é denominado previsor enquanto que o segundo é denominado corretor. As direções de busca são definidas em 8): d λ 0 = g x ) θ g x ) ) T g x ) θ r µ h x ) ) T c + g x )) λ 0 d x = θ r µ h x ) T c g x ) T λ 0 + d ) ) λ0 d z = h x ) d x h x ) + z ), d λ = µ α Ψ ΨΛ d z + c + µ Ψδ λ 8) onde: r µ = f x ) µ h x ) T Ψ α ΨΛ h x ) + z ) ) + µ Ψδ, Λ = diag λ ) r i i=, Ψ = diag ψ µ ) )) α + α) δ i z r i i=, α = diag α + α)) δ ) r i, Ψ = diag ψ µ ) )) α + α) δ i z r i i=, c = 0, se o passo é o previsor e c = µ α Ψ ΨDz d λ se o passo é o corretor, D z = diag θ = 2 f x ) + m λ 0 t 2 g t x ) + t= i= d z i ) r i= e λ i 2 h i x ) +µ x h ) T Ψ α ΨΛ h x ). O cálculo do tamanho do passo, atualizações dos parâmetros e uma estratégia para a regularização da matriz θ é feito de acordo com Pinheiro [0]. 5 Resultados numéricos Nesta seção, apresentamos um desempenho, o qual enfatizamos à escolha para α, da proposta do método primal-dual de reescalamento não linear integrado. Aplicamos ao problema de fluxo de potência ótimo descrito, da engenharia elétrica, somente para o sistema elétrico de 8 barras. A formulação do problema e dados de entrada para o método são descritos em Pinheiro [0]. A função ψ t) escolhida para obtermos os resultados é aquela apresentada em 5). DOI: / SBMAC

6 6 Tabela : Desempenho método primal-dual de reescalamento não linear integrado em função da escolha de α. α iterações Perdas MW L ω ) L ω ) 0 8 9,3474 8, ,26E-05 0, 9 9, ,286 2,07E-05 0,2 9 9,283 9,2859,79E-05 0,3 9 9,2842 9,2894,08E-05 0,4 8 9,2882 9, ,37E-05 0,5 8 9, , ,7E-05 0,6 8 9, , ,62E-05 0,7 8 9, ,2823 8,5E-05 0,8 8 9, ,2823 8,37E-05 0,9 8 9, , ,9E , , ,96E-05 Os resultados mostram que a proposta do método de reescalamento não-linear integrado é eficiente. Neste exemplo, a escolha para α inferiu apenas no número de iterações em alguns casos. Em outras aplicações, nós constatamos que o método falhou ou obteve sucesso ao escolhermos um α ao impormos os mesmos dados de entrada. 6 Conclusões Neste trabalho, foi apresentado um método de reescalamento não-linear integrado. Mostramos que a classe de funções penalidades para os métodos de lagrangiano aumentado proposto contém, em particular, as classes desenvolvidas por Matioli e Gonzaga e de Polya e Teboulle. Mostramos que o método é equivalente ao método dual de ponto proximal, cuja medida de distância contém características das medidas de distâncias de Bregman e entrópicas ϕ-divergente. Além disso, definimos uma nova função para ser usada como penalidade, cuja propriedade é que seu conjugado convexo é a função logarítmica quadrática, a qual é uma variante a Auslender. Por fim, aplicamos com sucesso o método proposto no problema de fluxo de potencia ótimo reativo, ao sistema elétrico de 8 barras. Os resultados mostram que a abordagem integrada é uma nova opção junto aos métodos de lagrangiano aumentado que são embasados no princípio de reescalamento não-linear. Agradecimentos Os autores agradecem à CAPES pelo financiamento desta pesquisa. Referências [] A. Auslender, M. Teboulle, and S. Ben-Tiba. A Logarithmic-Quadratic Proximal Method for Variational Inequalities. In Jong-Shi Pang, editor, Computational Opti- DOI: / SBMAC

7 7 mization, pages Springer US, 999. DOI: 0.007/ [2] L. M. Bregman. The relaxation method of finding the common point of convex sets and its application to the solution of problems in convex programming. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 73):200 27, 967. [3] I. Griva and R. A. Polya. Primal-dual nonlinear rescaling method with dynamic scaling parameter update. Mathematical Programming, 062): , [4] R. Gregório and P. R. Oliveira. A logarithmic-quadratic proximal point scalarization method for multiobjective programming. Journal of Global Optimization, 492):28 29, April 200. [5] A. N. Iusem, B. F. Svaiter, and M. Teboulle. Entropy-Lie Proximal Methods in Convex Programming. Mathematics of Operations Research, 94):790 84, November 994. [6] B. Martinet. Perturbation des méthodes d optimisation. Applications. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis - Modélisation Mathématique et Analyse Numérique, 22):53 7, 978. [7] L. C. Matioli and C. C. Gonzaga. A new family of penalties for augmented Lagrangian methods. Numerical Linear Algebra with Applications, 50): , December [8] A. R. De Pierro and A. N. Iusem. A relaxed version of Bregman s method for convex programming. Journal of Optimization Theory and Applications, 53):42 440, December 986. [9] R. B. N. Pinheiro, A. R. Balbo, E. C. Baptista, and L. Nepomuceno. Interior - exterior point method with global convergence strategy for solving the reactive optimal power flow problem. International Journal of Electrical Power & Energy Systems, 66: , March 205. [0] R. B. N. M. Pinheiro, G. G. Lage, and G. R. M. da Costa. O método previsor-corretor primal-dual de reescalamento não-linear M2BF aplicado ao fluxo de potência ótimo reativo. Anais do Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional XLVII SBPO), pages , 205. [] R. Polya and M. Teboulle. Nonlinear rescaling and proximal-lie methods in convex optimization. Mathematical Programming, 762): , February 997. [2] R. Rocafellar. Monotone Operators and the Proximal Point Algorithm. SIAM Journal on Control and Optimization, 45): , August 976. [3] M. Teboulle. Entropic Proximal Mappings with Applications to Nonlinear Programming. Mathematics of Operations Research, 73): , August 992. DOI: / SBMAC