TAP DE TRANSFORMADORES EM FASE

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1 O FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO REATIVO COM RESTRIÇÕES DE ATUAÇÃO DO TAP DE TRANSFORMADORES EM FASE Guilherme G. Lage, Geraldo R. M. da Costa Depto. de Engenharia Elétrica (DEE), Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia (CCET) Universidade Federal de São Carlos (UFSCar) Rodovia Washington Luís (SP-30), km São Carlos, SP, Brasil Depto. de Engenharia Elétrica e de Computação (SEL), Escola de Engenharia de São Carlos (EESC) Universidade de São Paulo (USP) Avenida Trabalhador São-carlense, São Carlos, SP, Brasil s: glage@ufscar.br, geraldo@sc.usp.br Abstract Reactive optimal power flow (ROPF) problems are solved by means of adjustments in all control variables to determine an optimal performance of a power system, nevertheless such a consideration is far from the actual operational procedures of such systems. In this context, this paper proposes a new model for the active loss minimization problem with transformer tap changer actuation constraints. Mathematically, this ROPF problem is formulated as a nonlinear programming problem with complementarity constraints, which are used to model the voltage control actuation by on-load tap changer transformers. Tests with the IEEE 57 and 8-bus power systems were carried out, and the results show that the proposed model effectively restrains, whenever it is possible, the voltage control actuation performed by on-load tap changer transformers. Keywords Optimal power flow, active losses, voltage control modeling, on-load tap changer transformer, complementarity constraints. Resumo Problemas de fluxo de potência ótimo reativo (FPOR) são resolvidos utilizando todos controles na determinação do desempenho ótimo do sistema de energia elétrica (SEE), porém tal consideração está muito longe da realidade operacional desses sistemas. Nesse contexto, este trabalho propõe um novo modelo para o problema de minimização das perdas ativas na transmissão com restrições de atuação do tap de transformadores em fase. Matematicamente, este problema de FPOR é formulado como um problema de programação não linear com restrições de complementaridade, as quais são empregadas na modelagem da atuação do controle de tensão por ajustes no tap de transformadores. Foram realizados testes utilizando os sistemas IEEE de 57 e 8 barras, e os resultados obtidos mostram a eficácia do modelo em restringir, sempre que possível, a atuação do tap de transformadores em fase do sistema. Palavras-chave Fluxo de potência ótimo, perdas ativas, transformador em fase com comutação de tap, modelagem do controle de tensão, restrições de complementaridade. Introdução Problemas de fluxo de potência ótimo (FPO) constituem uma ampla classe de problemas cujo objetivo é a otimização de um dado desempenho operacional do sistema de energia elétrica (SEE), sujeito ao balanço de potência ativa e reativa nas barras da rede, às restrições operacionais do sistema, aos limites das variáveis de controle etc. Diferentemente do problema de fluxo de carga, nos problemas de FPO, as variáveis de controle do SEE são passíveis de ajustes para que um desempenho operacional ótimo do sistema seja determinado. Matematicamente, o FPO é formulado como um problema de programação não linear (PNL), estático, não convexo, restrito, de grande porte e com variáveis contínuas e discretas. Desde sua proposição inicial (Carpentier, 962), o FPO tem se mostrado como uma ferramenta essencial para o planejamento e a operação dos SEEs. Por esses motivos, o FPO aparece nos dias atuais como uma poderosa ferramenta para análise de SEEs graças à proposição de modelos realistas e ao desenvolvimento de metodologias eficientes (Huneault and Galiana, 99; Momoh et al., 999a; Momoh et al., 999b; Capitanescu et al., 20) e à implementação de solvers robustos para a resolução desses problemas (Quintana et al., 2000). Apesar de todas as conquistas alcançadas com a reestruturação do setor elétrico, as margens de segurança operacional dos SEEs têm sido reduzidas, em parte, devido ao planejamento e à operação pautados por critérios de eficiência econômica. Em resposta às pressões de mercado, a operação dos SEEs, mais especificamente dos sistemas de transmissão, tem sido feita cada vez mais próxima aos seus limites de controle (Rosehart, 2002). Devido ao aumento da demanda por energia elétrica e à capacidade limitada do sistema de transmissão de acomodar cargas adicionais mantendo, ao mesmo tempo, um perfil de tensão adequado a diferentes cenários de operação, problemas de FPO aplicados a estudos de potência reativa têm despertado o interesse das empresas do setor elétrico e dos pesquisadores da área (de Sousa, 2006). Desta forma, o problema de FPO considerado neste tra- 229

2 balho é o de despacho ótimo de reativos, cujo objetivo é a minimização das perdas ativas na transmissão. Nesses problemas de FPO, denominados fluxo de potência ótimo reativo (FPOR), as variáveis de controle associadas à potência ativa são fixas e as variáveis de controle associadas à potência reativa são ajustadas de forma a otimizar o desempenho desejado. Como já dito, um dos objetivos de um FPO é a determinação dos ajustes das variáveis de controle de um SEE responsáveis por otimizar um determinado desempenho operacional do sistema. Através da resolução do problema minimização das perdas ativas na transmissão, determina-se, portanto, o conjunto de ações de controle que levam o sistema à uma operação mais eficiente e com menor custo operacional. A motivação para a proposição de um modelo que dá suporte à tomada de decisões operacionais baseada na resolução desse problema de FPOR relaciona-se ao seu potencial de contribuir para um melhor desempenho do sistema de transmissão de energia elétrica, com um melhor perfil de tensão. Em estudos do sistema Sul-Sudeste brasileiro, as perdas ativas foram reduzidas em 3,53%, mantendo-se um perfil de tensão médio em torno de,00 p.u. (Baptista et al., 2006). De acordo com o Ministério de Minas e Energia do Brasil, a demanda média do Sistema Elétrico Brasileiro entre outubro de 20 e setembro de 202 foi de aproximadamente 6.76,80 MW (Brasil, 202). Perdas ativas na transmissão da ordem de 8,5%, típicas de sistemas de transmissão, corresponderam, portanto, a aproximadamente MW da potência média demandada nesse período. Nesse cenário, uma redução de 3,5% nas perdas corresponderia a uma economia de aproximadamente 82 MW médios. Isto não pode ser ignorado, pois essa economia poderia ser obtida atuando-se exclusivamente sobre as variáveis de controle do sistema, sem a necessidade de investimentos adicionais em infraestrutura. Apesar de metodologias recentes para resolução de problemas de FPO determinarem os ajustes ótimos de todas variáveis de controle de SEEs (Baptista et al., 2006; de Sousa et al., 2009; Soler et al., 202; Soler et al., 203), os operadores do sistema procuram ajustar o menor número de controles em um intervalo de tempo para o alcance de um determinado desempenho operacional. No entanto, os modelos de problemas de FPO existentes utilizam todas as variáveis de controle na determinação do desempenho operacional ótimo. Nesse caso, um número excessivo de ações de controle torna a solução obtida impraticável à operação de sistemas de grande porte. Portanto, torna-se necessário restringir, sempre que possível, os ajustes em algumas variáveis de controle no processo de determinação da operação ótima praticável de um SEE. Esse requisito é especialmente importante para metodologias que dão suporte à tomada de decisões operacionais pela resolução de problemas de FPOR, pois um número muito grande de ajustes nas variáveis de controle (principalmente nas variáveis associadas a controles ajustados por passos discretos, como os taps dos transformadores em fase) é praticamente impossível de ser realizado antes que o estado do sistema mude significativamente. Matematicamente, o controle de tensão por ajustes no tap de transformadores em fase pode ser representado por problemas de complementaridade, os quais modelam algebricamente a condição de que esses dispositivos atuem somente quando um dos limites de tensão da barra controlada por eles for atingido. Dessa forma, através da incorporação desses problemas de complementaridade no conjunto de restrições de problemas de FPOR, restringem-se, portanto, os ajustes nas variáveis de controle associadas a estes dispositivos de controle de tensão. Tendo em vista a necessidade de operar SEEs de acordo com critérios de eficiência econômica, este trabalho propõe um novo modelo para o problema de minimização das perdas ativas na transmissão, formulado como um problema de FPOR, com restrições de atuação do tap de transformadores em fase. Este trabalho está organizado da seguinte forma: na Seção 2 são apresentadas algumas definições básicas a respeito dos problemas de complementaridade. Na Seção 3 apresenta-se a modelagem do controle de tensão por ajustes nos taps de transformadores em fase. Na Seção 4 é apresentada a formulação do problema de minimização das perdas ativas na transmissão com restrições de atuação do tap de transformadores em fase. Na Seção 5 são apresentados os resultados obtidos para o modelo proposto usando-se os sistemas elétricos IEEE de 57 e 8 barras. E, finalmente, na Seção 6 apresentam-se as conclusões. 2 Problemas de Complementaridade 2. Condição de Complementaridade A condição de complementaridade entre duas variáveis a e b pode ser representada matematicamente pelo seu produto igual a zero, ou seja: ab = 0 () A condição () pode ser satisfeita de três formas distintas: ) a = 0 e b 0; 2) a 0 e b = 0; 3) e a = 0 e b =

3 Em muitos problemas, a condição de complementaridade entre duas grandezas é comumente expressa pelo símbolo. Portanto: a b ab = 0 (2) A condição de complementaridade também é definida para vetores. Nesse caso, sejam a e b vetores de dimensão n. A condição de complementaridade entre a e b é representada pela condição de complementaridade entre seus respectivos elementos, tal que o produto entre o i-ésimo elemento de a e o i-ésimo elemento de b seja igual a zero. Matematicamente, a condição de complementaridade entre esses vetores é escrita da seguinte forma: a b a b = a b. a n b n = 0. 0 (3) onde o símbolo é usado para representar o produto de Hadamard (ou Schur). 2.2 Problemas de Complementaridade Seja c : R n R n. Um problema de complementaridade consiste em encontrar x R n tal que: 0 x c(x) 0 (4) Aplicando a notação do produto de Hadamard ao problema (4), tem-se: x c(x) = 0 (5a) c i(x) 0, i =,, n (5b) x i 0, i =,, n (5c) ou, alternativamente, (5) pode ser reescrito algebricamente como: x ic i(x) = 0, i =,, n (6a) c i(x) 0, i =,, n (6b) x i 0, i =,, n (6c) Alternativamente, problemas de complementaridade como (7) podem ser reformulados como uma associação de dois problemas de complementaridade do tipo (4). O problema (7) é modificado da seguinte forma: ) as restrições canalizadas são desmembradas em desigualdades simples: 0 x x min e 0 x max x 2) o valor de c em x passa a ser especificado em função das variáveis auxiliares não negativas c a, c b R n : c(x) = c a c b 3) e, finalmente, o problema (7) é reescrito como uma associação de dois problemas de complementaridade do tipo (4) da seguinte forma: c(x) = c a c b (8a) 0 (x x min ) c a 0 (8b) 0 (x max x) c b 0 (8c) Ou seja, (8) significa que: se x = x min c a 0 e c b = 0 c(x) 0; se x min < x < x max c a = 0 e c b = 0 c(x) = 0; se x = x max c a = 0 e c b 0 c(x) 0. Observe que (7) e (8) são equivalentes. Portanto, (8) pode ser reescrito algebricamente da seguinte forma: c i(x) = c ai c bi, i =,, n (9a) (x i x min i )c ai = 0, i =,, n (9b) (x max i x i)c bi = 0, i =,, n (9c) x i x min i 0, i =,, n (9d) x max i x i 0, i =,, n (9e) c ai, c bi 0, i =,, n (9f) 2.3 Problemas de Complementaridade com Limites Inferiores e Superiores Em muitos problemas de aplicação prática (Ferris and Pang, 997), o problema de complementaridade consiste em encontrar um vetor x X R n tal que: x min x x max c(x) (7) onde X = {x R n : x min x x max } e c : R n R n. Na prática, (7) significa que: se x = x min c(x) 0; se x min < x < x max c(x) = 0; se x = x max c(x) 0. 3 Modelagem do Controle de Tensão por Problemas de Complementaridade Para que o controle da magnitude de tensão por transformadores em fase possa ser modelado por problemas de complementaridade, deve-se, primeiramente, conhecer a forma de operação desse dispositivo de controle na rede de transmissão. Para isso, considere a representação geral de transformadores dada na Figura, que consiste basicamente em um auto-transformador ideal com relação de transformação a km : e uma admitância série y km. Para transformadores em fase, a km =. 23

4 k Ė k = V k e jθ k I km a km : Ė p = V pe jθp y km Ė m = V me jθm Imk Figura : Modelo genérico de um transformador. Na Figura, as equações de I km e I mk são determinadas a partir das relações entre as magnitudes das tensões nos nós k e p, do fato do transformador k-p ser ideal, e da aplicação da lei das tensões de Kirchhoff à análise desse circuito. Dessa forma, as equações das correntes I km e I mk definidas em função das tensões fasoriais nas barras k e m são dadas por: I km = y t 2 km Ė k y km Ė m (0) km I mk = y km Ė k + y km Ė m () O transformador em fase também pode ser representado por um circuito equivalente do tipo π, conforme é ilustrado na Figura 2. A determinação das admitâncias A, B e C do circuito equivalente é feita pela comparação das expressões das correntes I km e I mk do modelo da Figura com as correntes correspondentes do circuito equivalente da Figura 2. k Ė k = V k e jθ k I km B A C m Ė m = V me jθm Imk Figura 2: Circuito equivalente tipo π de transformadores em fase. Para o modelo π da Figura 2, as correntes e I mk podem ser escritas da seguinte forma: m I km I km = (A + B) Ėk A Ėm (2) I mk = A Ėk + (A + C) Ėm (3) A partir da identificação dos coeficientes de Ė k e Ėm nas expressões (0), (), (2) e (3), obtém-se as seguintes expressões para as admitâncias A, B e C do circuito equivalente: A = y km B = ( ) y km ( C = ) y km (4a) (4b) (4c) As expressões (4) permitem a análise do efeito da relação de transformação : sobre as magnitudes das tensões terminais nas barras k e m. Para isso, considere inicialmente que =. Neste caso, as admitâncias B e C são nulas, e o circuito equivalente π reduz-se à admitância série y km. Alterando-se para um valor maior que, B terá sinal contrário a y km e, portanto, será do tipo capacitivo, enquanto C será do tipo indutivo: isto implicará em uma tendência em aumentar a magnitude de tensão da barra k e diminuir a da barra m. Ao contrário, quando for menor que, B será do tipo indutivo (mesmo sinal que y km ), enquanto C será do tipo capacitivo: haverá uma tendência em diminuir a magnitude de tensão da barra k e a aumentar a da barra m (Monticelli, 983). Para modelar a atuação desse dispositivo de controle, considere que a barra cuja magnitude de tensão é controlada seja a barra m. A forma dos ajustes na variável para este caso está diretamente ligada à análise da admitância C do modelo equivalente π. Quando a magnitude de tensão na barra m atinge seu limite mínimo, a variável é ajustada de forma a aumentar a magnitude de tensão nessa barra, ou seja, diminui-se. Ao contrário, quando a magnitude de tensão na barra m atinge seu limite máximo, a variável é ajustada de forma a diminuir a magnitude de tensão nessa barra, ou seja, aumenta-se. Por essa análise, o controle da magnitude de tensão na barra m por um transformador em fase pode ser expresso da seguinte forma: se V m = V min m < 0; se Vm min < V m < Vm max = 0; se V m = Vm max > 0. (5) sendo = o o ajuste na variável de controle, e o seu valor inicial. Observe que, nesta representação, a barra cuja tensão é controlada possui um intervalo de valores (e não um valor especificado) para a magnitude de tensão controlada. Nessas condições, a variável será ajustada somente quando a magnitude de tensão na barra m não puder ser mantida entre seus limites. Assim, o controle da magnitude de tensão na barra m pelo ajuste na variável associada ao tap do transformador em fase do ramo k m pode ser modelado pelo seguinte problema de complementaridade: V min m V m V max m (6) Assim como (7) foi transformado na associação de dois problemas de complementaridade do tipo (4), o problema de complementaridade (6) 232

5 também pode ser modificado da seguinte forma: = t akm t bkm (7a) 0 (V m Vm min ) t akm 0 (7b) 0 (Vm max V m) t bkm 0 (7c) onde t akm e t bkm são variáveis auxiliares não negativas que podem, dependendo do valor da magnitude de tensão V m, aumentar ou diminuir o ajuste na variável. Portanto, o controle da magnitude de tensão por transformadores em fase pode ser modelado algebricamente da seguinte forma: = t akm + t bkm (8a) (V m Vm min )t akm = 0 (8b) (Vm max V m)t bkm = 0 (8c) (V m Vm min ) 0 (8d) (Vm max V m) 0 (8e) t akm 0 (8f) t bkm 0 (8g) Raciocínio análogo pode ser aplicado para o caso em que a barra cuja magnitude de tensão é controlada seja a barra k. 4 Formulação do Problema de FPOR Um dos objetivos de um FPO é a determinação do ajuste ótimo das variáveis de controle de um SEE em função de um determinado desempenho operacional do sistema. O FPO é um problema de otimização restrita, estático, não convexo, de grande porte e com variáveis contínuas e discretas, cuja formulação pode ser representada da seguinte forma: onde: min f(x) (9a) s.a: g i(x) = 0, i =,, p (9b) h i(x) 0, i =,, q (9c) x min i x i x max i, i =,, m (9d) x 2i D xi, i =,, m 2 (9e) x R m é o vetor das variáveis (de controle e dependentes) contínuas do sistema; e x 2 D x R m2 é o vetor das variáveis de controle discretas, sendo x = (x, x 2 ); D x é o conjunto dos valores discretos das variáveis x 2 ; f : R m R m2 R é uma função escalar que representa um desempenho operacional do sistema; g : R m R m2 R p é o conjunto das restrições de igualdade formado pelas equações do problema de fluxo de carga, pelas equações do modelo de atuação de dispositivos de controle etc.; h : R m R m2 R q é o conjunto das restrições de desigualdade formado pelos limites de geração de potência reativa, limites de fluxo de potência nas linhas de transmissão, limites de corrente nos ramos da rede (limites termais) etc.; e x min e x max são, respectivamente, os limites mínimo e máximo das variáveis x. Devido às dificuldades impostas pela existência das variáveis x 2 nas formulações de problemas de FPO, a maioria dos modelos propostos na literatura desconsideram sua modelagem discreta, considerando-as contínuas. Nesses casos, a restrição (9e) é reformulada da seguinte forma: x min 2 i x 2i x max 2 i (20) onde x min 2 e x max 2 são, respectivamente, os limites mínimo e máximo das variáveis x 2, sendo x min 2 = min{d x } e x max 2 = max{d x }. 4. Modelo Clássico Nesta formulação do problema de FPOR, os taps dos transformadores em fase são modelados como variáveis de controle discretas do sistema, porém não possuem restrições de atuação. Esse modelo de FPOR é dado por: min f(v, θ, t) (2a) k,m L T s.a: P k P km (V, θ, t) = 0, k G C (2b) m V k Q k Q km (V, θ, t) = 0, k C (2c) m V k Q min G k V min k Q Gk (V, θ, t) Q max G k, k G (2d) V k V max k, k B (2e) D tap km, k, m T (2f) onde f(v, θ, t) representa a função perdas ativas no ramo k m: ( ) f(v, θ, t) = g km Vk 2 + V m 2 2 V k V m cos θ km t 2 km (22) e V e θ são, respectivamente, os vetores das magnitudes e ângulos de fase de tensão nas barras do sistema; t é o vetor dos taps variáveis de transformadores em fase; e D tap km é o conjunto dos valores discretos do tap do transformador em fase do ramo k m. Ainda, L é o conjunto dos ramos k m que representam linhas de transmissão, T é o conjunto dos ramos k m que representam transformadores em fase, B é o conjunto de todas 233

6 as barras do sistema, G é o conjunto das barras de geração, G é o conjunto das barras de geração, exceto pela barra slack, e C é o conjunto das barras de carga. Apesar do modelo (2) considerar a modelagem discreta dos taps, todas variáveis de controle do sistema ainda são ajustadas para se determinar o estado ótimo da rede. Tal característica pode inviabilizar a aplicação deste modelo de FPOR à operação de SEEs de grande porte, pois um número excessivo de ajustes nos controles torna-se praticamente impossível de ser realizado antes de que estado do sistema mude significativamente. 4.2 FPOR com Restrições de Atuação do Tap de Transformadores Em Fase O modelo para o problema de FPOR com restrições de atuação do tap de transformadores em fase proposto neste trabalho é dado por: min f(v, θ, t) (23a) k,m L T s.a: P k P km (V, θ, t) = 0, k G C (23b) m V k Q k Q km (V, θ, t) = 0, k C (23c) m V k Q min G k V min k Q Gk (V, θ, t) Q max G k, k G (23d) V k V max k, k B (23e) D tap, k, m T (23f) V min m max Vm Vm, k, m T (23g) A presença de variáveis de controle discretas, restrições não lineares e restrições de complementaridade deste modelo dificultam sua solução. Problemas de FPOR como o representado em (23) possuem características de problemas de PNL e de programação inteira mista (PIM), além de possuírem características próprias que não aparecem nesses dois tipos de problema. Observe ainda que, a formulação apresentada, considerou-se somente o controle de tensão da barra m pelos ajustes no tap do transformador em fase do ramo k m. 5 Resultados Numéricos Nesta seção são apresentados os testes numéricos realizados com os modelos clássico (2) e com restrições de atuação do tap de transformadores em fase (23) para os sistemas IEEE de 57 e 8 barras (Power Systems Test Case Archive, 999). Estes resultados foram obtidos a partir da implementação dos modelos (2) e (23) na linguagem para modelagem de problemas matemáticos AMPL (Fourer et al., 2002). As condições necessárias de otimalidade desses problemas foram resolvidas pelo solver IPOPT (Wächter and Biegler, 2006; Interior Point Optimizer (IPOPT), version 3.0, release 3.0., 20). Ressalta-se que um mesmo ponto de operação inicial foi utilizado em todos os testes realizados. Além disso, considerou-se que os limites mínimo e máximo das magnitudes de tensão fossem, respectivamente, 0, 95 e, 0 p.u.; os limites mínimo e máximo das magnitudes de tensão das barras controladas pelo ajuste no tap dos transformadores em fase foram, respectivamente, 0,99 e,0 p.u. Ainda, em função da existência de variáveis de controle discretas nos modelos (2) e (23), num primeiro instante a modelagem discreta destas foi desconsiderada e as restrições (2f) e (23f) foram reformuladas como (20). Em seguida, essas variáveis foram arredondadas para seus valores discretos mais próximos, e os problemas de FPOR representados pelos modelos (2) e (23) foram resolvidos novamente, porém com as variáveis de controle discretas fixas. 5. Sistema IEEE de 57 Barras Para este sistema, considerou-se na modelagem das variáveis de controle discretas que o tamanho do passo entre dois valores consecutivos dos taps dos transformadores fosse 0, 0 p.u. e que seus limites mínimo e máximo fossem 0, 88 e, 2 p.u. Pela aplicação dos modelos (2) e (23), as perdas ativas calculadas em função das soluções ótimas e o número de taps ajustados são apresentados na Tabela. Tabela : Perdas ativas no sistema IEEE de 57 barras determinadas pelos modelos (2) e (23) e número de taps ajustados. Modelo (2) Modelo (23) Perdas [MW] 7,990 8,597 Taps ajustados 20 8 Como pode ser visto na Tabela, o uso das restrições de complementaridade no modelo (23) resulta em perdas ativas maiores que as perdas calculadas pelo modelo (2). No entanto, todos os 20 taps dos transformadores em fase foram ajustados pelo modelo (2), enquanto que no modelo (23) apenas 8 taps foram ajustados. Pode-se dizer, portanto, que o custo de não se ajustar os outros 2 taps deste sistema corresponde a aproximadamente 0,6 MW. Por outro lado, um número menor de ajustes de variáveis de controle, principalmente de variáveis de controle discretas como os taps dos transformadores em fase, é mais prático à operação de SEEs. As Figuras 3 e 4 mostram, respectivamente, os valores dos taps dos transformadores determinados pelos modelos (2) e (23). Na Figura 4, os pontos em azul correspondem aos taps dos transformadores que foram ajustados para controlar a magnitude de tensão de uma de suas barras terminais, e os pontos em vermelho correspondem aos 234

7 taps dos transformadores que não precisaram ser ajustados. Taps (p.u.) Observe que, neste caso, somente um tap não precisou ser ajustado para determinar o ponto da operação ótima do sistema. Este resultado deixa claro que, quando restrições de complementaridade para a modelagem do controle de tensão por transformadores em fase são consideradas na formulação do problema de FPOR, as variáveis de controle por elas modeladas somente serão ajustadas quando um dos limites de tensão da barra controlada for atingido. As Figuras 5 e 6 mostram, respectivamente, os valores dos taps dos transformadores determinados pelos modelos (2) e (23) Transformadores Figura 3: Valores ótimos dos taps dos transformadores determinados pelo modelo (2) para o sistema IEEE de 57 barras. Taps (p.u.) Transformadores Taps (p.u.) 0.95 Figura 5: Valores ótimos dos taps dos transformadores determinados pelo modelo (2) para o sistema IEEE de 8 barras Transformadores.04 Figura 4: Valores ótimos dos taps dos transformadores determinados pelo modelo (23) para o sistema IEEE de 57 barras. 5.2 Sistema IEEE de 8 Barras Para este sistema, considerou-se na modelagem das variáveis de controle discretas que o tamanho do passo entre dois valores consecutivos dos taps dos transformadores fosse 0, 0075 p.u. e que seus limites mínimo e máximo fossem 0, 88 e, 2 p.u. Pela aplicação dos modelos (2) e (23), as perdas ativas calculadas em função das soluções ótimas e o número de taps ajustados são apresentados na Tabela 2. Tabela 2: Perdas ativas no sistema IEEE de 8 barras determinadas pelos modelos (2) e (23) e número de taps ajustados. Modelo (2) Modelo (23) Perdas [MW] 06, ,727 Taps ajustados 9 8 Taps (p.u.) Transformadores Figura 6: Valores ótimos dos taps dos transformadores determinados pelo modelo (23) para o sistema IEEE de 8 barras. Por fim, observa-se que o tempo computacional demandado pelo solver IPOPT para a resolução de ambas as formulações foi praticamente o mesmo, independente do porte do sistema. 6 Conclusões Historicamente, problemas de FPOR são resolvidos por métodos clássicos de PNL, utilizando 235

8 todos controles na determinação do desempenho operacional ótimo do sistema. Essas abordagens, no entanto, estão muito longe da realidade de um SEE. Nesse contexto, este trabalho propôs um novo modelo para o problema de minimização das perdas ativas na transmissão com restrições de atuação do tap de transformadores em fase. Matematicamente, o problema de FPOR para minimização das perdas ativas na transmissão foi formulado como um problema de PNL com variáveis contínuas e discretas e restrições de complementaridade. Os testes realizados demonstraram a eficácia do modelo proposto. O modelo proposto restringe, sempre que possível, a atuação de dispositivos de controle de tensão através de sua representação por problemas de complementaridade. Agradecimentos Este trabalho teve o apoio financeiro da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP), processo 203/ Referências Agência Nacional de Energia Elétrica (ANEEL) (2008). Atlas de energia elétrica do Brasil, 3 edn, ANEEL, Brasília. Baptista, E. C., Belati, E. A., de Sousa, V. A. and da Costa, G. R. M. (2006). Primaldual logarithmic barrier and augmented Lagrangian function to the loss minimization in power systems, Electric Power Components and Systems 34(7): Brasil (202). Monitoramento do sistema elétrico brasileiro, Ministério de Minas e Energia (MME), Brasília. Capitanescu, F., Ramos, J. L. M., Panciatici, P., Kirschen, D., Marcolini, A. M., Platbrood, L. and Wehenkel, L. (20). State-of-the-art, challenges, and future trends in security constrained optimal power flow, Electric Power Systems Research 8(8): Carpentier, J. L. (962). Contribution à l étude du dispatching économique, Bulletin de la Société Française des Electriciens 3(8): de Sousa, V. A. (2006). Resolução do problema de fluxo de potência ótimo reativo via método da função Lagrangiana barreira modificada, Doutorado em engenharia elétrica, Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos. de Sousa, V. A., Baptista, E. C. and da Costa, G. R. M. (2009). Loss minimization by a predictor-corrector modified approach, Electric Power Systems Research 79(5): Ferris, M. C. and Pang, J. S. (997). Engineering and economic applications of complementarity problems, SIAM Review 39(4): Fourer, R., Gay, D. M. and Kernighan, B. W. (2002). AMPL, 2nd edn, Duxbury Press. Huneault, M. and Galiana, F. D. (99). A survey of the optimal power flow literature, IEEE Transactions on Power Systems 6(2): Interior Point Optimizer (IPOPT), version 3.0, release 3.0. (20). URL: Momoh, J. A., El-Hawary, M. E. and Adapa, R. (999a). A review of selected optimal power flow literature to 993, IEEE Transactions on Power Systems 4(): Momoh, J. A., El-Hawary, M. E. and Adapa, R. (999b). A review of selected optimal power flow literature to 993, IEEE Transactions on Power Systems 4(): 05. Monticelli, A. J. (983). Fluxo de carga em redes de energia elétrica, Edgard Blücher, São Paulo. Power Systems Test Case Archive (999). URL: Quintana, V. H., Torres, G. L. and Medina- Palomo, J. (2000). Interior-point methods and their applications to power systems: a classification of publications and software codes, IEEE Transactions on Power Systems 5(): Rosehart, W. (2002). Optimal power flows incorporating network stability, Proceedings..., Vol. 2, IEEE Power Engineering Society Winter Meeting, IEEE, New York. Soler, E. M., Asada, E. N. and da Costa, G. R. M. (203). Penalty-based nonlinear solver for optimal reactive power dispatch with discrete controls, IEEE Transactions on Power Systems 28(3): Soler, E. M., de Sousa, V. A. and da Costa, G. R. M. (202). A modified primal-dual logarithmic-barrier method for solving the optimal power flow problem with discrete and continuous control variables, European Journal of Operational Research 222(3): Wächter, A. and Biegler, L. T. (2006). On the implementation of a primal-dual interior point filter line search algorithm for largescale nonlinear programming, Mathematical Programming 06():