Optimal Allocation of Capacitor Banks using Genetic Algorithm and Sensitivity Analysis

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1 Optimal Allocation of Capacitor Banks using Genetic Algorithm and Sensitivity Analysis W. M. da Rosa, P. Rossoni, J. C. Teixeira, E. A. Belati and P. T. L. Asano Abstract This paper presents a methodology for Capacitor Bank (CB) allocation in distribution systems using Genetic Algorithms (GAs) and Sensitivity Analysis (SA). The AS is used to evaluate the candidate solutions directly instead of using a Load Flow or an Optimal Power Flow (OPF), which are iterative methods. The proposed methodology was applied on two systems, containing 34 and 70 bus, respectively. For each system was allocated two CB units. The proposed methodology was compared with an implemented exhaustive search technique and the gain in computational processing time is showed. As a main result, it was obtained the best locations for placement of BC units considering the minimization of real power losses, and consequently an improvement in the voltage profile of the system Keywords Optimal Power Flow, Distribution System, Sensitivity Analysis, Capacitor Allocation, Genetic Algorithms. I. NOMECLATURA (): função objetivo que representa o desempenho do sistema; () R : equações do fluxo de potência; h () R : restrições funcionais do fluxo de potência; (,, ) R : vetor das variáveis de estado; : angulo de fase do fasor de tensão; : magnitudes de tensão; : tap do transformador com comutação sob carga, o LTC (Load Tap Change); e : limites inferiores e superiores das variáveis respectivamente; L(x, μ, λ, ε) : função Lagrangeana; : multiplicadores de Lagrange associados às restrições de igualdade; : multiplicadores de Lagrange associados às restrições de desigualdade; : perturbações; : solução ótima do problema de FPO; = (,,); =[ ( ),, ( )]; = h ( ),, h ( ); W. M. da Rosa, Universidade Federal do ABC (UFABC), Santo André - SP, Brasil, william.moreti@ufabc.edu.br P. Rossoni, Universidade Federal do ABC (UFABC), Santo André - SP, Brasil, priscila.rossoni@gmail.com J. C. Teixeira, Universidade Federal do ABC (UFABC), Santo André - SP, Brasil, juliocarlos.teixeira@ufabc.edu.br E. A. Belati, Universidade Federal do ABC (UFABC), Santo André - SP, Brasil, edmarcio.belati@ufabc.edu.br P. T. L. Asano, Universidade Federal do ABC (UFABC), Santo André - SP, Brasil, patrícia.leite@ufabc.edu.br = 0 = ; 0 ( ) + ( ) + h ( ); h ( ) 0 =. 0 h ( ) II. INTRODUÇÃO OM a expansão do consumo de energia elétrica no Brasil Co planejamento e operação ficaram mais complexos, acarretando vários problemas para a indústria da energia elétrica. Um destes problemas é a manutenção do perfil de tensão em redes de distribuição de energia elétrica que pode ficar comprometido devido à alteração no perfil das cargas que ocorrem após a construção da rede elétrica. Este problema pode ser minimizado com a instalação de bancos de capacitores (BC) ao longo da linha para compensar as cargas indutivas ou reatâncias das linhas. Os BC, quando utilizados de forma adequada, podem reduzir as perdas de energia, melhorar o perfil de tensão, corrigir o fator de potência e aumentar a capacidade de transmissão de energia do sistema [1]. Na literatura especializada várias técnicas de alocação de BCs foram propostas [2-7] e podem ser classificadas, segundo Ng et al. [1], em quatro grupos: analítica; programação numérica; heurísticas e inteligência artificial (IA). Na literatura especializada é observado que a aplicação de IA baseada em Algoritmos Genéticos (AGs) vem sendo utilizada há vários anos por diversos pesquisadores. Uma das primeiras aplicações de AGs para alocação de BC foi proposta em 1991 por [8] e posteriormente em 1993 por [9]. Desde então vários trabalhos utilizando AGs vem sendo apresentados inclusive associando-a a outras técnicas [10-13]. A aplicação de AGs para alocação de BC e reguladores de tensão foi apresentada em [14] no qual utilizou-se o FPO para otimizar o problema mediante a proposta de alocação dos dispositivos definidos pelos AGs no processo de convergência. Neste trabalho é proposta uma metodologia baseada na utilização de um AG para definição da alocação dos BC e em seguida é feito a Análises de Sensibilidade (AS). A AS utilizada é baseada no teorema da perturbação do ótimo, originalmente apresentado por Fiacco em 1976 [15] e formulada a partir da solução do FPO. A AS é utilizada para avaliar o conjunto de soluções candidatas obtido durante a execução dos AGs. A grande vantagem em utilizar AS é a obtenção de uma solução adequada de forma direta, ao invés

2 da forma iterativa dos métodos de Fluxo de Carga e FPO. A aplicação da AS proposta neste trabalho já foi testada em outros trabalhos [16-18] e se mostrou adequada para avaliar as perdas elétricas de energia em sistemas elétricos de potência. Um algoritmo de Busca Exaustiva (BE) também foi implementado usando AS com a finalidade comparar o custo computacional e validar a metodologia proposta. A contribuição do trabalho está na utilização de AGs com AS para encontrar o melhor ponto para conexão de BCs, visando a redução das perdas de potência e melhora no perfil de tensão da rede. A AS é utilizada para calcular as perdas para cada solução candidata utilizada no processo de busca do AGs. O trabalho está dividido da seguinte forma: na seção III é apresentado os AGs utilizado; na seção IV a formulação do FPO é descrita; em V a técnica de AS utilizada é mostrada; na seção VI os testes e resultados são apresentados e finalmente em VII as conclusões do trabalho são mostradas. III. ALGORITMOS GENÉTICOS Um dos primeiros trabalhos que utilizou técnicas de computação evolucionárias foi apresentado por John Holland em 1975 [19]. O trabalho apresenta um algoritmo inspirado na teoria da seleção natural, em que o algoritmo atua sobre uma população de indivíduos aumentando as chances de sobrevivência dos mais aptos geneticamente, produzindo assim indivíduos cada vez melhores, e eliminando os menos aptos. Estes algoritmos são robusto e muito eficientes para encontrar soluções otimizadas para problemas complexos como é o problema de alocação de BCs, pois dependendo do tamanho do sistema e da quantidade de elementos a serem alocados o problema cresce exponencialmente. Devido a estas características os AGs estão sendo amplamente utilizados na solução deste tipo de problema [1]. As etapas dos AGs utilizados são detalhadas a seguir. A. Codificação Entre as diversas formas de codificação possíveis para os AGs escolheu-se a codificação na forma binária. Um possível ponto de conexão é representado pelas barras que são os melhores pontos para alocar os BCs. A Fig. 1 representa um exemplo de ponto de conexão, na forma binária escolhida (indivíduo). Este exemplo corresponde a barra 29, com 4 bits para cada algarismo; Figura 1. Indivíduo que representa a codificação utilizada para barra 29. B. População Inicial Optou-se por adotar o número de indivíduos que representam a população inicial de acordo com a dimensão do sistema analisado, portanto a população inicial representa 50% do número total de barras que compõem o sistema que está sendo analisado. Inicialmente foi criada uma matriz com as possíveis soluções de forma aleatórias. Esta matriz possui dimensões NxM, onde N é a quantidade de indivíduos da população inicial e M representa, na forma binária, o número das barras onde os BCs serão alocados. C. Seleção: A seleção é feita sorteando-se um indivíduo apto para a próxima geração, a recombinação, por meio de uma roleta virtual. Nesta roleta, a probabilidade de cada indivíduo ser o escolhido é proporcional à sua aptidão. O critério de aptidão escolhido é a redução das perdas de potência ativa que o indivíduo produziria, calculada por meio da AS. A roleta é girada tantas vezes quantas as necessárias para obtenção do número suficiente de indivíduos a serem recombinado para gerar os indivíduos que comporão a próxima geração. D. Recombinação Na recombinação, um único ponto de corte é escolhido de forma randômica, dividindo a cada indivíduo (ponto de conexão) em duas partes. A recombinação ocorre como exemplificado na Fig. 2, quando dois descendentes (filhos) são gerados. Assim, cada filho herda características de cada um dos pais usados na recombinação, distinguindo os filhos dos pais apenas pelo ponto de recombinação. Figura 2. Técnica de recombinação. E. Mutação No processo de mutação, uma posição do cromossomo escolhido na etapa anterior é escolhida aleatoriamente. O valor referente ao bit desta posição é trocado, ou seja, caso possua valor 1 troca-se para valor 0, caso o valor seja 0 trocase por 1. A Fig. 3 mostra como o processo ocorre. Figura 3. Técnica de mutação. 3 7 Pai Pai Filho Filho Filho Filho Mutante

3 F. Ordenação da população A melhoria é aplicada após a fase de mutação. Nesta etapa, a aptidão de cada novo indivíduo gerado, bem como os indivíduos que representam as barras vizinhas a ele, é analisada, e em seguida analisa-se a aptidão das possibilidades e o passa para próxima geração. A melhoria local de um indivíduo é um dos benefícios dos AGs. G. Alteração na População Todos os indivíduos da população são analisados a fim de encontrar o menos apto que é retirado da população e sua posição será ocupada por um novo individuo que obrigatoriamente deve melhora a aptidão, caso o novo indivíduo tenha uma aptidão menor que os demais membros da população ou igual a um já presente na população o mesmo é retirado. H. Critério de Parada O critério de parada utilizado foi a estagnação. Caso o melhor indivíduo da população permaneça inalterado durante 20 gerações, o processo considera que têm-se as melhores barras para alocação dos BCs. IV. FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO Em termos gerais, o FPO é um problema de otimização de grande porte, não linear, não convexo, com restrições com variáveis discretas ou inteiras e uma função que objetivo que busca melhorar as condições de operação em estado estacionário de um sistema elétrico de potência. Pela complexidade implícita é um problema de difícil solução e resolvido por métodos iterativos [20, 21]. Os problemas de otimização estão compostos principalmente de três elementos definidos como função objetivo, variáveis e restrições. A função objetivo tipicamente consiste na maximização ou minimização de uma função que representa o comportamento de um sistema. As variáveis precisam ser quantificáveis e controláveis e representam as decisões que podem ser tomadas para afetar o valor da função objetivo. As restrições representam o conjunto de relações expressas mediante equações e inequações que certas variáveis estão forçadas a atenderem. O conjunto de equações (1) representa o modelo matemático generalizado correspondente ao FPO. ().. () = 0, = 1,, h () 0, = 1,, Neste trabalho, o vetor das variáveis de estado representa as magnitudes e fases da tensão e a relação de transformação dos transformadores (representada pelo tap escolhido) As restrições de igualdade, () = 0 representam tipicamente as equações de balanço de potência ativa e reativa nas barras da rede. As restrições de desigualdade, h() 0 representam os limites a atender por parte das variáveis de controle e de estado, podem representar as potências reativas nas barras de controle de reativos, os fluxos ativos e reativos nas linhas, os perfis de tensão e o fluxo de intercâmbio. (1) V. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE A técnica de AS adotada é baseada no teorema proposto por Fiacco [15]. O teorema utiliza a AS de primeira ordem aplicada à solução local de segunda ordem. Essa técnica pode ser utilizada para estimar a nova solução de um problema de Programação Não Linear (PNL) depois de ocorridas perturbações no problema. As perturbações podem ocorrer tanto nas restrições como na função objetivo. A técnica de AS apresentada nesta seção considera as variações, ou perturbações, nas restrições de igualdade. Neste estudo a perturbação será a injeção de potência reativa na barra candidata apontada pelos AGs. A formulação matemática da técnica de AS utilizada é apresentada a seguir. Ao conjunto de equação (1), são introduzidas perturbações nas restrições de igualdade. ().. () + = 0, = 1,, h () 0, = 1,, Ao problema (2), associa-se a seguinte função Lagrangiana: (,,, ) =() + [ () + ] + h () (2) (3) Para aplicar a técnica de AS, é preciso ter a solução ótima ( ) do sistema sem perturbação (,, ), ou seja, a solução para o problema (2) com ε = 0, o caso base, em que pode-se associar os multiplicadores de Lagrange das igualdades () e das desigualdades (), como mostrado em (3). Para a técnica de AS é considerado o gradiente da função Lagrangiana, as condições de folgas complementares e as restrições de igualdade perturbadas em que >0 e é irrestrito. (,, λ, ) = () + λ () + h () =0 h () = 0 () + = 0 (4) As raízes do sistema não linear (4) são determinadas linearizando o sistema no ponto ótimo (,, ), em que =0, o que resulta no sistema linear (5) após eliminar os termos nulos. (,, ) + (,,,) + (,,,) = 0 h ( ) + h ( ) = 0 + ( ) = 0 O conjunto (5) pode ser reescrito como (6): (,, ) + (,,,) + (,,,) = 0 h ( ) + h ( ) = 0 ( ) = O sistema (6) na forma matricial é dado por (7). (5) (6)

4 0 ( ) 0 = 0 (7) ( ) 0 0 Em que =[,, ] é o vetor perturbação. O sistema (7) pode ser organizado como (8). = ( ) 0 ( ) (8) Após realizada alguma perturbação (por exemplo,injeção de potência reativa no sistema), o novo estado do sistema e as novas variáveis duais podem ser obtidos por (9). () = + () = + () = + (9) O sistema representado em (8) pode ser usado para reduzir o esforço computacional na solução de várias condições de perturbação, seguindo dois passos fundamentais. O passo I, realizado uma única vez para o sistema escolhido, é usado para determinar a matriz sensibilidade. O passo II é realizado para avaliar a aptidão de cada indivíduo gerado pelos AGs, portanto é realizado várias vezes. O passo II exige um esforço computacional muito menor do que o passo I. Passo I - cálculo da matriz de sensibilidade. i. Determine a solução do FPO, (x *,λ *,μ * ), para o caso base do FPO. Neste artigo, esta solução foi obtida sem BCs. Trabalhos futuros podem incluir dispositivos de compensação de potência reativa já instalados na rede, mesmo para sistemas em malha; ii. Valide a matriz de sensibilidade e obtenha a sua inversa; Passo II - determinação da aptidão do individuo. iii. Determine o vetor perturbação. Neste trabalho, são os acréscimos de potência reativa nas barras indicadas pelo AG; iv. Resolva o sistema (8). A partir da aplicação de() em (9), calcule as perdas do sistema (parâmetro de aptidão). VI. RESULTADOS A metodologia proposta foi aplicada em dois sistemas de distribuição, contendo 34 e 70 barras respectivamente. A solução dos AGs foi comparado com a solução da busca exaustiva implementada, ambas usando AS. Os dados dos dois sistemas podem ser encontrados respectivamente em [22, 23]. Para cada sistema foram realizados dois testes, alocando dois BCs com a mesma capacidade. No primeiro teste, a potência reativa a ser alocada foi de 300 kvar para os dois sistemas. No segundo esta potência foi escolhida como sendo de 600 kvar e 500 kvar para o sistema de 34 e 70 barras respectivamente. A determinação destas potências foi feita aumentando de 100 em 100 kvar até encontrar, de forma exaustiva, a solução com menor perdas. Segundo os passos apresentados, inicialmente foi obtido o caso base através do FPO [20] para o sistema em estudo. Com o caso base foi executado os AGs usando a AS para obter a avaliação da alocação dos BCs apontada. Os resultados foram validados com os obtidos pela busca exaustiva implementada. Os estudos foram realizados em ambiente MATLAB e utilizando um computador Inspiron DELL 5000 processador Intel Core i7-2410m 2.40 GHz, 8GB de memória RAM, Sistema operacional Windows 10 Home - 64 Bits. A. Sistema de 34 Barras Dois testes foram realizados no sistema de 34 barras com o objetivo de alocar 2 BCs. O primeiro com BCs de 300 kvar e o segundo com BCs de 600 kvar. Inicialmente, a alocação foi realizada de forma exaustiva usando AS, quando todas as 1122 (34x33) possibilidades de cada teste foram avaliadas. Em seguida, foi utilizado o método proposto neste artigo. A melhor solução encontrada, tanto pelos AGs como pela alocação de forma exaustiva, corresponde a alocação dos BCs de 300 kvar nas barras 26 e 27 e dos BCs de 600 kvar nas barras 25 e 26. Utilizando os AGs foi obtido as mesma resposta. O layout do sistema e o local encontrado para a alocação dos BCs são apresentados na Fig. 5. Figura 4. Sistema de 34 barras. Com a inserção dos BCs houve uma redução das perdas ativas. A Tabela I apresenta a comparação redução das perdas após a inserção dos BCs para os dois testes realizados. TABELA I COMPARAÇÃO DAS PERDAS PARA O SISTEMA DE 34 BARRAS Perdas Ativas (MW) - BCs de 300 kvar - BCs de 600 kvar Sem Banco 300 kvar 600 kvar 0,2223 0,1916 0,1794 A Fig. 5 apresenta a melhora do perfil de tensão do sistema com os BCs alocados. A melhora significativa com o uso de BCs de 600 kvar mostra que o perfil de tensão pode ser um critério a ser pesquisado em trabalhos futuros para o uso dos AGs proposto.

5 Figura 5. Comparativo de perfíl de tensão do sistema de 34 barras. Figura 6. Comparativo de perfíl de tensão do sistema de 70 barras. B. Sistema de 70 Barras Neste sistema de 70 barras, os testes de alocação de dois BCs de 300 kvar e de 500 kvar foram realizados. A alocação de forma exaustiva usando AS necessita de 4830 (70x69) simulações para cada caso. A melhor solução encontrada tanto pelos AGs como pela alocação de forma exaustiva corresponde a alocação de BCs de 300 kvar nas barras 65 e 66 e BCs de 500 kvar nas barras 23 e 65. O layout do sistema resultante é apresentado na Fig. 6. C. Tempo computacional Como as soluções obtidas usando os AGs e a busca exaustiva foram semelhantes, a grande vantagem em utilizar a metodologia com os AGs em conjunto com AS está no ganho em tempo de processamento. A Tabela III apresenta a média de tempo obtida em 10 simulações para as duas técnicas. Nos dois sistemas testados o ganho computacional médio foi superior a 88%. TABELA III COMPARATIVO DOS TEMPOS COMPUTACIONAIS MÉDIO ENTRE AG E EXAUTIVO Sistema Exaustivo Tempo (s) Genético Tempo (s) Ganho Computacional (%) 34 Barras 73,92 4,76 93,5 % 70 Barras 328,44 38,99 88,1 % Figura 5. Sistema de 70 barras. Com a inserção dos BCs houve uma redução das perdas ativas. A Tabela II apresenta a comparação das perdas para os dois casos. TABELA II COMPARAÇÃO DAS PERDAS PARA O SISTEMA DE 70 BARRAS Perdas Ativas (MW) - BCs de 300 kvar - BCs de 500 kvar Sem Banco 300 kvar 500 kvar 0,2250 0,1750 0,1714 Na Fig. 6 é apresentado o gráfico do perfil de tensão do sistema antes e após a alocação dos BCs. Observa-se também neste caso, a eficiência da resposta encontrada foi mais significativa para a alocação de BCs com 500kvar. VII. CONCLUSÃO Este artigo apresentou uma proposta para alocação de BCs, baseada no uso de Algoritmos Genéticos com Análise de Sensibilidade. Os AGs têm características que melhora o processo de busca e o uso de AS proporciona a obtenção das perdas de forma direta, trazendo ganho computacional no processo de solução. O desempenho da metodologia utilizada foi comparado com o uso da busca exaustiva implementada que também utiliza AS. A solução obtida com o uso dos AGs, na média, necessitou um tempo computacional menor na ordem de 88%. Também foi demonstrado que a alocação ótima de BCs proporciona uma diminuição nas perdas da rede, e por consequência causam uma melhora no perfil de tensão do sistema. Os resultados atuais contribuem substancialmente para a compreensão e disseminação da aplicação dos AG associados a AS aplicados às redes de distribuição de energia elétrica, uma vez que os resultados obtido se mostraram bastante eficiente nos sistemas testados. Finalizando, destaca-se que este tipo de estudo se faz cada vez mais necessário, principalmente quando todos os esforços dos agentes e planejamento e operação dos sistemas elétricos de potência se direcionam no uso eficiente dos recursos existentes e melhor aproveitamos da energia existente.

6 AGRADECIMIENTOS Os autores agradecem a Universidade Federal do ABC e a CAPES pela bolsa de estudo de William Moreti da Rosa. REFERÊNCIAS [1] H. N. Ng, M. M. A. Salama, and A. Y. Chikhani, "Classification of capacitor allocation techniques," IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 15, pp , [2] S. Segura, R. Romero, and M. J. Rider, "Efficient heuristic algorithm used for optimal capacitor placement in distribution systems," International Journal of Electrical Power & Energy Systems, vol. 32, pp , 1// [3] R. A. Jabr, "Optimal placement of capacitors in a radial network using conic and mixed integer linear programming," Electric Power Systems Research, vol. 78, pp , 6// [4] M. Ramalinga Raju, K. V. S. Ramachandra Murthy, and K. Ravindra, "Direct search algorithm for capacitive compensation in radial distribution systems," International Journal of Electrical Power & Energy Systems, vol. 42, pp , 11// [5] G. E. Soria, J. H. T. Hernandez, and G. G. 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Mestrado em Engenharia Elétrica pela Universidade de São Paulo (1988) e doutorado em Eletricidade - Institut National Polytechnique de Grenoble, França (1994). Atualmente é Professor Adjunto na Universidade Federal do ABC. Tem experiência na área de Engenharia Elétrica atuando principalmente nos seguintes temas: máquinas elétricas, transdutores e materiais magnéticos, geração eólica e equipamentos eletromédicos. Edmarcio Antonio Belati: obteve os títulos de bacharel, mestre e doutor em Engenharia Elétrica, respectivamente pela Escola de Engenharia de Lins (1995), pelo Departamento de Engenharia Elétrica- FEIS-UNESP (1999) e pelo Departamento de Engenharia Elétrica da Escola de Engenharia de São Carlos-USP (2003). Atualmente, é professor da Universidade Federal do ABC - UFABC. Seu principal interesse é em otimização de sistema elétricos de potência usando meta-heurísticas bioinspiradas e otimização clássica. Patricia Teixeira Leite Asano: possui graduação em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Mato Grosso (1995), mestrado em Engenharia Elétrica pela Universidade de São Paulo (1999) e doutorado em Engenharia Elétrica São Carlos pela Universidade de São Paulo (2003). Atualmente é professora Universidade Federal do ABC. Tem experiência na área de Engenharia Elétrica, com ênfase em Operação de Sistemas Hidrotérmicos de Potência, atuando principalmente nos seguintes temas: algoritmos genéticos, sistemas hidrotérmicos, planejamento da operação, otimização e inteligência artificial.