METAHEURÍSTICAS APLICADAS À ALOCAÇÃO DE CAPACITORES EM REDES DE ENERGIA ELÉTRICA

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1 METAHEURÍSTICAS APLICADAS À ALOCAÇÃO DE CAPACITORES EM REDES DE ENERGIA ELÉTRICA A. A. Augusto Universidade Federal Fluminense, Departamento de Engenharia Elétrica Rua Passo da Pátria Bloco D sala São Domingos, Niterói - RJ abeltee@hotmail.com L.C. Menezes Direito Light Serviços de Eletricidade S.A., Universidade Federal Fluminense Rua Passo da Pátria Bloco E - 3º andar São Domingos, Niterói - RJ luiz.direito@light.com.br J. C. Stacchini de Souza, M. B. Do Coutto Filho Universidade Federal Fluminense Departamento de Engenharia Elétrica, Instituto de Computação Rua Passo da Pátria Bloco E - 3º andar São Domingos Niterói - RJ julio@ic.uff.br, mbrown@ic.uff.br RESUMO Este trabalho apresenta a comparação entre diferentes metaheurísticas aplicadas ao problema da alocação ótima de bancos de capacitores em redes de distribuição de energia elétrica. Este problema é de natureza combinatória, tendo como principais objetivos a redução das perdas de energia elétrica e o controle do perfil de tensão durante o suprimento de energia elétrica. Na investigação aqui realizada são consideradas diferentes formas de codificação da solução do problema. Além disso, uma metodologia para representação adequada da demanda é também proposta. Resultados de testes utilizando parte de uma rede de distribuição real são apresentados e discutidos. PALAVARAS CHAVE. Otimização, Planejamento de Sistemas de Distribuição, Redução de Perdas Elétricas. Área principal: Metaheurística, Energia Elétrica ABSTRACT This work compares the application of different metaheuristics to the problem of optimal capacitor placement in power distribution networks. This is a combinatorial problem, where the main objectives are the reduction of energy losses and the control of the voltage profile throughout the power distribution network. Different forms of codification are tested for the representation of the problem solutions. A methodology that adequately represents the power demand variations is also proposed. Results from tests with part of a real power distribution network are presented and discussed. KEYWORDS. Optimization, Distribution Systems Planning, Power Losses Reduction Main area: Metaheuristic, Power Systems 377

2 1. Introdução A área de distribuição de energia elétrica tem sofrido mudanças rápidas e intensas, fazendo com que os problemas a ela associados se tornem cada vez mais complexos. O problema de alocação de potência reativa em redes de distribuição tem recebido a atenção de pesquisadores há bastante tempo. Diversas ferramentas têm sido propostas para a solução deste problema, envolvendo métodos analíticos e técnicas de otimização. A alocação de capacitores em redes de distribuição permite um melhor gerenciamento da potência reativa, trazendo benefícios como redução de perdas elétricas e melhoria do controle do perfil de tensão. A solução do problema deve indicar a localização e a capacidade de bancos de capacitores a serem instalados na rede. Tal solução deve ser aquela que contemple objetivos como: minimização das perdas, controle adequado do perfil de tensão e minimização de custos de investimentos na aquisição e instalação de capacitores. É fácil perceber que existem objetivos antagônicos a serem contemplados e a solução ótima deverá ser aquela que corresponde à melhor relação de compromisso entre eles. Muitos esforços têm sido direcionados para a solução do problema de alocação de bancos de capacitores em redes de distribuição, Granger (1981), Baran (1989), Chiang (1990), Ng (2000), Gallego (2001). Em muitos casos, dada a complexidade do problema, certas simplificações são assumidas, tal como a consideração apenas de patamares de demanda máxima e mínima do sistema. Maiores esforços de modelagem visando à adequada quantificação dos custos envolvidos e do retorno de investimento são também necessários. O problema a ser resolvido é de natureza combinatória e a solução através de metaheurísticas se torna atraente. Técnicas evolutivas se tornam interessantes porque são capazes de tratar problemas que apresentam a natureza acima citada, envolvendo variáveis discretas e/ou contínuas, funções objetivo complexas, não lineares, multimodais, descontínuas ou não convexas, Lee (2002). As metaheurísticas são métodos para a solução de problemas complexos de otimização, que utilizam procedimentos locais para a melhoria de uma solução e estratégias que permitem cobrir de forma eficiente o espaço de soluções, apresentando características de robustez e capacidade de escapar de ótimos locais durante a busca pela solução ótima, Glover (2003). As metaheurísticas realizam uma ampla busca no espaço de soluções, diferindo umas das outras pela forma como são realizadas as transições entre duas soluções ou entre dois conjuntos de soluções propostas para o problema (populações). Em geral, as soluções propostas são apresentadas de forma codificada, onde a representação adotada pode ser crucial para a eficiência do processo de busca, podendo ainda ser decisiva para o seu sucesso ou fracasso. No caso do problema de alocação de bancos de capacitores em redes de distribuição, a codificação da solução deve levar em consideração os locais onde os capacitores podem ser instalados, assim como a quantidade de potência reativa que pode ser empregada, de acordo com dados de equipamentos comerciais. A capacidade de tratar problemas complexos, não convexos, reside no fato de que as transições entre soluções dependem apenas dos valores observados para a função objetivo e de certos parâmetros de controle do processo de evolução. Dessa maneira, é fundamental que a função objetivo seja formulada de forma a permitir avaliar adequadamente a qualidade de cada solução obtida. No problema alvo deste trabalho, é fundamental a utilização de uma ferramenta de análise capaz de avaliar o efeito de cada solução proposta sobre a rede de distribuição. O resultado de tal avaliação deve ser então adequadamente processado de forma a se obter uma medida de qualidade de cada solução proposta. Para a avaliação do efeito de cada solução proposta será utilizado um fluxo de potência para sistemas de distribuição. Este trabalho visa comparar a aplicação de técnicas como recozimento simulado, algoritmos genéticos e busca tabu para a alocação ótima de capacitores em redes de distribuição. Uma metodologia para a representação adequada da variabilidade da demanda também é apresentada e discutida. Testes são realizados com parte de uma rede de distribuição real, visando avaliar as metodologias propostas, bem como o impacto de sua utilização. 378

3 2. Alocação de Potência Reativa em Redes de Distribuição O planejamento de potência reativa em redes de distribuição de energia elétrica consiste basicamente na determinação dos investimentos em bancos de capacitores, bem como suas localizações na rede, de forma a garantir que níveis adequados de tensão sejam observados durante o suprimento de energia elétrica aos consumidores. A agência nacional de energia elétrica (Aneel) penaliza as empresas distribuidoras de energia caso a tensão de suprimento viole limites pré-definidos para operação. Pode-se destacar como benefício adicional do controle do perfil de tensão na rede através de bancos de capacitores, a possibilidade de redução das perdas elétricas. Isto permite a redução do montante de energia importada pela empresa para atender a mesma demanda e, conseqüentemente, o aumento de sua receita líquida. De modo a minimizar as perdas elétricas e melhorar o perfil de tensão na rede, deve-se determinar a localização ótima dos bancos de capacitores a serem instalados, bem como suas respectivas capacidades. Dessa forma, é possível formular um problema onde o objetivo passa a ser a maximização do retorno do investimento na aquisição e instalação de bancos de capacitores na rede. O problema pode então ser formulado como: Max L = R I (1) s/a atendimento às restrições operativas da rede onde L representa o lucro obtido em um dado horizonte de tempo, R representa o retorno obtido (por exemplo, medido em função da economia com a energia recuperada a partir da redução das perdas elétricas) e I representa os custos de investimentos na aquisição, instalação e manutenção de bancos de capacitores. As restrições operativas correspondem às observações de limites impostos para magnitudes de tensão observadas na rede. O problema de alocação de bancos de capacitores é de natureza combinatória e a solução através de metaheurísticas será adotada neste trabalho. É importante ressaltar que, ao se aplicar metaheurísticas para a solução de um dado problema, é interessante utilizar o conhecimento existente sobre o mesmo, visando obter benefícios como: codificação adequada das soluções, redução do espaço de busca, etc. Na alocação de bancos de capacitores tal conhecimento pode, por exemplo, se refletir na definição (com base na experiência) de um número máximo de pontos da rede onde a instalação de capacitores deve estar contemplada na solução ótima, definição de patamares de demanda a serem considerados, etc. No desenvolvimento das metodologias a serem testadas neste trabalho, tais aspectos são levados em consideração. Porém, independente da metaheurística empregada, modelos e métodos propostos para a alocação ótima de potência reativa devem ser formulados de modo a considerar, entre outros, os seguintes aspectos: Modelagem adequada da rede de distribuição Análise de diversas condições de carregamento associados à operação da rede em análise Modelagem realista dos custos de investimentos e para a avaliação do retorno financeiro Consideração das restrições de operação, como limites para as magnitudes de tensão, assim como restrições físicas referentes à quantidade máxima de capacitores que podem ser instalados em pontos específicos da rede. Escolha de uma técnica de otimização adequada ao problema, que é de natureza combinatória e apresenta grande complexidade. As seções seguintes apresentam uma breve descrição das metaheurísticas a serem testadas, a formulação adotada e os resultados obtidos a partir de simulações realizadas com parte de uma rede de distribuição real. 3. Metaheurísticas Muitos problemas de interesse prático consistem na busca por valores ou estados de um conjunto de variáveis que façam com que certos objetivos sejam atingidos. Em alguns casos, como o que se apresenta neste trabalho, as variáveis envolvidas são discretas, resultando em um problema de otimização combinatória de difícil solução. Este tipo de problema tem sido 379

4 adequadamente tratado através do emprego de metaheurísticas. Uma metaheurística pode ser definida como um algoritmo que, utilizando uma estratégia de alto nível, combina métodos heurísticos de forma a explorar de forma eficiente e eficaz um espaço de busca. Neste contexto, o adequado balanço entre as fases de diversificação e identificação, presentes em um processo de otimização via metaheurísticas, deve ser buscado. Para tal, é crucial a exploração de parâmetros específicos de cada metaheurísticas, os quais influenciam a eficiência e eficácia na obtenção de soluções de boa qualidade. A seguir serão brevemente descritas as metaheurísticas investigadas para aplicação ao problema descrito neste trabalho. A. Recozimento Simulado O Recozimento Simulado (RS) foi uma das primeiras metaheurísticas a serem desenvolvidas e utilizadas em problemas práticos. Foi proposto por Kirkpatrick, Kirkpatrick (1983), para otimização do projeto de circuitos integrados. RS é fruto da analogia sugerida por Kirkpatrick entre o processo de resfriamento e a solução de um problema de otimização. A idéia fundamental é permitir aceitar a transição de uma solução corrente para soluções de pior qualidade de forma a escapar de mínimos locais. A probabilidade com que tais transições são aceitas deve decrescer durante o processo de busca. Tal processo é baseado no algoritmo de Metropolis, cuja idéia é: causar perturbações na solução atual, e caso a variação de energia seja negativa, a nova solução r é aceita, caso contrário, é aplicada a probabilidade de Boltzmann modificada: P( r) = exp(( E( r)) / T ) (2) onde E(r) é a variação de energia e o parâmetro T representa a temperatura, a qual deve ter no início um valor elevado, sendo gradativamente reduzido até um valor mínimo. A energia, a qual se deseja minimizar, deve estar em correspondência com os objetivos do problema tratado. A perturbação é uma forma de gerar vizinhança, portanto, o RS é classificado como uma heurística de busca local. Maiores detalhes sobre o algoritmo RS podem ser encontrados na literatura, Lee (2002), Glover (2003). B. Busca Tabu A Busca Tabu (BT) é uma heurística de busca local desenvolvida por Glover, (Glover, 1986) para solução de problemas de otimização inteira, sendo posteriormente aperfeiçoada e utilizada em problemas de pesquisa operacional. O grande sucesso da busca tabu deve-se à sua forma inteligente de encontrar a melhor solução. A inteligência do método provém do uso do conceito de tabu. Tabu significa "restrição ou proibição imposta por tradição e que não pode ser violada, sob pena de reprovação ou perseguição". O conceito de Tabu é aplicado na heurística da seguinte forma: os movimentos que produziram as últimas soluções do problema (inclusive a atual) são considerados tabus, i.e, não podem ser executados para encontrar uma solução. Portanto, a nova solução é alcançada realizando-se movimentos que não são proibidos, ou seja, não pertencem à memória que guarda os últimos movimentos realizados. Tal memória é denominada Lista Tabu. A Busca Tabu foi aperfeiçoada por Glover, que lhe incorporou novos conceitos e técnicas. À lista (ou fila) tabu foi incorporado a Tabu tenure. Tabu tenure é o tempo (em relação ao algoritmo) em que determinado movimento permanece como tabu. O armazenamento de soluções inteiras na Lista Tabu (Short-Term Memory) exige, nos problemas de grande porte, grande esforço computacional. Para solucionar esse problema, faz-se uso de atributos da solução, que são características comuns a todas as soluções e capazes de diferenciá-las. A Lista Tabu com o uso de atributos é denominada Long-Term Memory. A Lista Tabu na forma Long-Term Memory se baseia em quatro fatores: tempo (ou histórico), freqüência, qualidade e influência. O uso de atributos ocasiona perda de informação sobre as soluções, o que pode piorar a qualidade das soluções encontradas. Além disso, verificou-se que a quebra de tabus em alguns momentos trazia melhoramentos nas soluções obtidas. Com base nesses fatos desenvolveu-se o critério de aspiração: se a solução proposta satisfaz todas as condições tabus e pelo menos um dos 380

5 critérios de aspiração, então a solução é aceita. Maiores detalhes sobre o algoritmo BT podem ser encontrados na literatura Lee (2002), Glover (2003). C. Algoritmos Genéticos Os Algoritmos Genéticos (AGs) baseiam-se em processos observados na evolução natural das espécies. Denominações usuais em sistemas biológicos, e.g., cromossomos, genes, genótipo e fenótipo, têm correspondentes em modelos computacionais, especialmente propostos para simular aqueles processos. A idéia básica a ser explorada nos AGs é a de que, assim como nos sistemas naturais, os melhores indivíduos sobrevivem e geram descendentes com suas características. Em geral, um AG parte de uma população de indivíduos gerados aleatoriamente (configurações iniciais de um problema), faz a avaliação de cada um (avaliação da aptidão), seleciona os melhores (com maior aptidão) e promove manipulações genéticas, como cruzamento e mutação, a fim de criar uma nova população. Este processo adaptativo pode ser usado para resolver problemas de otimização combinatória. Uma população é formada por um conjunto de indivíduos, cada um deles representando uma solução proposta para o problema em estudo; um indivíduo é codificado em uma cadeia de caracteres de alfabeto finito, denominada cromossomo. Cada elemento de um cromossomo equivale a um gene. Ao realizar a busca examinando um conjunto de pontos em vez de um único ponto, os AGs exploram melhor o espaço de soluções na busca pelo ótimo global, reduzindo a probabilidade de encontrar um ótimo local. Assim, apresenta bons resultados mesmo em espaços de busca complexos, sendo eficazes na otimização de funções multimodais e descontínuas. A função de aptidão é utilizada para avaliar a adequação de cada indivíduo (potencial solução) aos objetivos do problema em estudo. Em outras palavras, tal função avalia soluções candidatas. O processo de evolução de uma população é guiado através da realização de operações genéticas sobre indivíduos. As operações básicas são: seleção, cruzamento e mutação. A seleção é o mecanismo que copia (seleciona) indivíduos de uma população para a seguinte, de acordo com valores da função-objetivo. Neste processo, indivíduos com valores mais altos têm maior probabilidade de serem selecionados para participar com seu material genético na próxima geração. O operador de cruzamento é o similar artificial do cruzamento de indivíduos. Este operador vai permitir a recombinação do material genético (cadeias de caracteres) presente nos indivíduos da nova geração. O cruzamento realiza-se em duas etapas: primeiramente, dois indivíduos da nova geração são selecionados; a partir disto, as cadeias de caracteres correspondentes são permutadas. O cruzamento é um processo aleatório e ocorre com probabilidade previamente especificada. A mutação pode ser implementada através da mudança do valor de um gene em uma cadeia de caracteres. Este operador tem uma função secundária, porém necessária: permite que materiais genéticos perdidos durante o processo evolutivo sejam recuperados, servindo como uma espécie de proteção contra a perda prematura de genes. Assim como o cruzamento, a mutação é controlada por um parâmetro previamente especificado que indica a probabilidade de um gene sofrer mutação. Maiores detalhes sobre os AGs podem ser encontrados na literatura, Goldberg (1989), Mitchell (1996). 4. Modelagem do Problema Conforme discutido anteriormente, a alocação ótima de capacitores é vista neste trabalho como um problema de otimização combinatória, para os quais a aplicação de diferentes metaheurísticas será investigada. A eficiência computacional e a eficácia em obter soluções de boa qualidade dependem fundamentalmente da utilização de bons modelos e do adequado ajuste de parâmetros destes modelos. Como exemplo, pode-se citar os valores adotados para operadores e outros parâmetros inerentes a cada metaheurística, cujas escolhas podem ser cruciais para os seus respectivos desempenhos. A escolha adequada para a codificação da solução pode também ser determinante para se obter soluções de alta qualidade em tempos computacionais reduzidos. Por outro lado, a utilização de uma modelagem que leve em consideração aspectos relevantes do problema tratado fará com que a solução obtida seja realista, fazendo com que os seus efeitos 381

6 esperados sejam realmente verificados quando a mesma for implementada e avaliada para situações reais de operação. Os aspectos mencionados serão tratados nas seções seguintes, quando serão detalhadas a escolha da função objetivo, a forma de codificar a solução e a consideração da variabilidade da demanda. A. Função Objetivo A função objetivo empregada neste trabalho contempla a maximização da receita obtida com a energia recuperada após a instalação dos bancos de capacitores, a minimização do investimento em bancos de capacitores e a necessidade de atendimento às restrições operativas da rede de distribuição. A energia recuperada corresponde à redução das perdas elétricas, observada em um dado horizonte de tempo. As restrições operativas correspondem à exigência de que as magnitudes das tensões em todos os nós da rede não violem limites inferiores e superiores prédefinidos. Tais objetivos são representados através do emprego da função de avaliação apresentada em (3): np np nb FA = α 1 Pi hi tc α 2CBcap β Vk (3) i= 1 i= 1 k= 1 i onde np indica o número de patamares de carga considerados na representação da demanda; P i representa as redução de perdas observada no i-ésimo patamar de carga em relação à observada no caso inicial (sem capacitores) para este mesmo patamar; h i representa a duração do i-ésimo patamar de carga, expressa em quantidade de horas; t c é o valor da tarifa associada à energia comprada pela empresa de distribuição; C Bcap representa o custo total de investimento em bancos de capacitores e V k é o módulo da violação de tensão observada no k-ésimo nó da rede, sendo nb o número total de nós elétricos. As constantes α 1, α 2 e β são penalidades impostas a cada termo da função de avaliação de forma a melhor representar a relação de compromisso desejada entre os diferentes objetivos do problema. O primeiro termo da expressão (3) representa a estimativa de retorno financeiro considerando a energia recuperada em um determinado horizonte de tempo e o investimento realizado em bancos de capacitores. O segundo termo corresponde ao somatório das violações de tensão observadas em cada nó para todos os patamares de carga analisados. Como violações de tensão são severamente penalizadas pela Aneel, não devendo ser admitidas, o ajuste das penalidades α 1, α 2 e β deve ser tal que o segundo termo da expressão (3) tenda a se anular durante o processo de busca, enquanto o primeiro termo da expressão é maximizado. Assim como as violações de tensão, violações de carregamento podem também ser facilmente consideradas no segundo termo da expressão (3), sendo neste caso observados os limites impostos às magnitudes de correntes nos ramos da rede. B. Codificação da Solução Assumindo ser possível a instalação de bancos de capacitores em qualquer nó da rede e que os bancos de capacitores comerciais podem ser comumente encontrados com capacidades de 300 kvar, 600 kvar e 1200 kvar, o vetor que armazena uma solução proposta para o problema terá dimensão igual a duas vezes o número de nó, estando cada par de elementos deste vetor associado a uma localização da rede (nó elétrico) e possuindo a seguinte representação: 00 a instalação de bancos de capacitores não é proposta 01 é proposta a instalação de um banco de capacitores de 300 kvar 10 é proposta a instalação de um banco de capacitores de 600 kvar 11 é proposta a instalação de um banco de capacitores de 1200 kvar A Figura 1 apresenta a estrutura do vetor que armazena uma solução codificada para o problema. 382

7 Barra 1 Barra i Barra nb n=2 x Número de barras do sistema Figura 1 Codificação da solução É possível ainda alterar a codificação através do vetor ilustrado na Figura 1 de forma se obter uma representação que torne o processo de busca mais eficiente. Isto pode ser feito levando-se em consideração o conhecimento e a experiência sobre o problema. Sabe-se, por exemplo, que é muito pouco provável que a solução ótima contemple a instalação de bancos de capacitores em todos os nós da rede, sendo necessária a instalação de tais bancos em um número reduzido de nós, restando definir as suas localizações. Dessa maneira, um vetor de dimensão reduzida, igual ao número máximo de bancos de capacitores que se acredita serem necessários, pode ser empregado. Em tal vetor, cada par de elementos está associado a uma localização na rede, sendo esta inicialmente escolhida de forma aleatória, podendo esta ser posteriormente alterada durante a busca pela solução ótima. A Figura 2 ilustra a codificação da solução em um vetor reduzido, sendo n max o número máximo de bancos de capacitores permitidos em cada solução proposta. O vetor de referência exemplificado indica a localização física (barra) representada por cada par de elementos do vetor que armazena uma solução proposta. A codificação utilizada para cada banco de capacitores é a mesma anteriormente apresentada para o vetor da Figura 1. Tal estratégia permite que se opere em um espaço reduzido, o que tende a tornar o processo de busca mais eficiente. Vetor referência Localização do banco proposto n=2 x n max Figura 2 Codificação da solução em um espaço reduzido C. Representação da Demanda A modelagem da demanda é crucial para que se represente o problema de forma realista. A consideração de todos os patamares de carga horária tornaria a solução do problema inviável, dado a grande quantidade de análises a serem realizadas para cada solução proposta. Como exemplo, considerando um horizonte de tempo de 1 ano, cada solução proposta teria que ser analisada para 8760 cenários de carga horária. Usualmente, apenas dois cenários de carga são considerados para análise, correspondendo aos cenários de demanda máxima e mínima verificados no intervalo de tempo considerado. A escolha de tais patamares deve-se à preocupação em garantir um perfil de tensão adequado na rede de distribuição, sendo neste caso analisados os cenários nos quais o sistema é submetido a condições extremas. A duração do patamar de demanda máxima corresponde aos períodos em que o sistema experimenta os picos 383

8 de carga, enquanto os demais períodos são associados ao patamar de demanda mínima. Embora a consideração dos patamares de demanda máxima e mínima seja interessante para a verificação do atendimento às restrições de operação da rede, o mesmo não se pode afirmar com relação à redução de perdas. Neste caso, os bancos de capacitores propostos com base apenas na análise dos patamares extremos de demanda podem não ser adequados para a obtenção de reduções de perdas expressivas em outros cenários de carregamento observados no intervalo de tempo considerado. Neste trabalho busca-se uma representação da demanda que possibilite a obtenção de soluções realistas, que levem em consideração não apenas a necessidade de atendimento às restrições impostas às magnitudes de tensão na rede, bem como a minimização das perdas globais, ou seja, considerando os diferentes cenários de carga que o sistema pode experimentar. Sabe-se que o aumento do número de patamares considerados acarreta um aumento no tempo computacional para a obtenção da solução final, uma vez que uma quantidade maior de análises é necessária para cada solução proposta. Dessa maneira torna-se fundamental que a variabilidade da demanda seja representada através de um número reduzido de patamares de carga, mas que sejam representativos dos diferentes cenários que podem ser observados. Como existe um ciclo diário de carga que se repete com pequenas variações em função do dia da semana e do mês do ano, é possível agrupar os diferentes patamares de carga com base na similaridade entre eles, de forma a obter representantes de conjuntos de cenários que apresentam características semelhantes. A representação da demanda é obtida neste trabalho com o auxílio do algoritmo k- means, responsável por formar agrupamentos na base da similaridade. Para o problema em questão, considerando uma base de dados com nc cargas horárias observadas, tal algoritmo consiste dos seguintes passos: (i) Definir o número de agrupamentos a serem formados (k patamares de carga); (ii) Escolher os k primeiros patamares de carga como centróides de k agrupamentos. O centróide de um grupo é, neste caso, um patamar de carga que corresponde à média aritmética dos patamares de carga associados a este grupo; (iii) Associar cada um dos nc-k patamares de carga restantes na base de dados ao grupo cujo centróide é o mais próximo, recalculado o valor do centróide do grupo aumentado; (iv) Percorrer toda a base de dados, associando cada patamar de carga ao agrupamento com centróide mais próximo. Quando um patamar de carga for associado a um grupo diferente daquele ao qual estava anteriormente associado, é necessário recalcular os centróides dos agrupamentos aumentado e subtraído; (v) Repetir o passo (iv) até que não sejam mais observadas trocas de agrupamento para qualquer patamar de carga da base de dados. Ao final da execução do algoritmo k-means é possível obter a representação da variabilidade da demanda através de k patamares de carga, que são mais representativos do que os patamares de carga máxima e mínima. Contudo, é reconhecida a importância de se analisar o desempenho do sistema em tais situações extremas, sobretudo para a verificação do atendimento às restrições impostas às magnitudes de tensão na rede. Dessa maneira, neste trabalho será considerada a representação da demanda através de k+2 patamares de carga, correspondendo aos centróides dos k agrupamentos obtidos utilizando o algoritmo k-means, além dos patamares de carga máxima e mínima, sendo estes analisados apenas para verificar a ocorrência de violações de tensão e tendo impacto apenas no cálculo do segundo termo da expressão (3). É importante ressaltar que a duração de cada patamar de carga (centróide) obtido pelo algoritmo k-means corresponde, em horas, ao número de patamares de carga horária da base de dados que estão associadas a cada agrupamento. A escolha do número de agrupamentos (patamares) a serem considerados deve ser um compromisso entre a qualidade desejada na modelagem da demanda (e conseqüente impacto na solução final) e o esforço computacional a ser despedido na busca pela solução ótima. 384

9 5. Testes e Resultados As diferentes metaheurísticas testadas para a solução do problema foram avaliadas utilizando-se parte de uma rede de distribuição real, correspondendo à linha de distribuição Bandeira, da Light Serviços de Eletricidade S.A., cuja topologia é apresentada na Figura 3. A partir de um caso inicial onde é assumido que nenhum capacitor está instalado na rede, os métodos propostos são empregados para propor a instalação de bancos de capacitores de forma a minimizar as perdas elétricas e garantir perfis de tensão adequados em toda a rede. As opções consideradas para as capacidades dos bancos de capacitores que podem ser instalados na rede (e correspondentes codificações utilizando dois bits) são de 300 kvar (codificação 01 ), 600 kvar (codificação 10 ) ou 1200 kvar (codificação 11 ), cujos respectivos custos são de R$ 4.079,00, R$ 4.640,00 e R$ 7.993,00. Alternativamente, a codificação 00 é associada a um ponto da rede onde a instalação de capacitores não é proposta. O custo considerado para compra de energia foi de R$ 91,91/MWh. 25+j39 17+j13 SETD Itapeba j79 149m 249m 547m 240mm² Cu 4.649m j13 249m j13 149m 240mm² Al 2.606m j m 2 240mm² Cu 236m LDA Bandeiras 149m j13 201m 67+j54 482m j39 17+j13 408m 482m 8 Al 872m 3 120mm² Cu 806m 240mm² Al 145m j420 Bitola R (W/km) X (W/km) I (A) 240mm² Cu mm² Al mm² mm² mm² mm² mm² mm² mm² mm² j20 95mm² 267m j47 95mm² 410m 249m j32 249m 25 2+j4 249m j j mm² 75m 105+j mm² 50mm² 220m 189m j32 25+j m j13 325m j m 109+j83 325m m j j mm²Cu 114+j m 197+j m 621m m 42+j j j m 45+j33 305m 42+j m 621m m 305m 59+j j m 25+j j m m 166m j m 305m j j41 67+j m 17+j13 621m 59+j j j51 21mm² 21mm² 21mm² 21mm² 21mm² 621M m 224m 224m 224m 224m 54 3+j2 3+j2 6+j4 15+j10 25+j19 933m 933m j103 21mm² 21mm² 21mm² 21mm² 25+j j m 227m 227m 227m 406M 17+j13 17+j13 25+j19 17+j13 55 Legenda j47 Cabo Subterrâneo 361+j M 56 Cabo Aéreo m 126+j96 Barra 42+j32 177mm² Carga 62m 406M Número da barra 63 50mm² n Subestação 90m 406m 406m 109+j72 25+j19 17+j13 34+j j m Figura 3 Linha de Distribuição Bandeira. A. Testes utilizando patamares de carga máxima e mínima Nestes testes considerou-se a avaliação das soluções propostas para dois patamares de carga, correspondendo estes ao maior e menor valor de carga horária observados em uma base de dados que contêm cargas horárias de um período de um mês. Por simplicidade, assumiu-se que as cargas observadas na base de dados, para um mês, se repetem em todos os meses do ano. Dessa maneira, os resultados são obtidos considerando-se o horizonte de tempo de um ano. Foram testadas também duas codificações distintas para a solução do problema, conforme modelagem apresentada na Seção 4.B. 385

10 A1. Resultados empregando a codificação completa De acordo com o modelo de codificação completa apresentado na Seção 4.B e considerando o sistema da Figura 3, o vetor que armazena a solução tem dimensão igual a duas vezes o número de nós na rede, sendo neste caso igual a 156. Os resultados obtidos utilizando a codificação completa da solução e os patamares de demanda mínima e máxima são apresentados na Tabela 1, para cada metaheurística testada. Detacam-se nesta tabela a receita recuperada com a redução de perdas, o investimento realizado em bancos de capacitores e o lucro anual esperado (o qual, em última análise, reflete a qualidade de cada solução). Tabela 1. Resultados utilizando codificação completa e demandas mínima e máxima Metaheurística RS BT AG N o de Bancos Capacitores Pot. Total Instalada (kvar) Recuperação da Receita (R$) , , ,19 Investimento (R$) , , ,00 Lucro Anual (R$) 4.925, , ,19 A2. Resultados empregando a codificação reduzida Neste caso definiu-se arbitrariamente n = 30 para o emprego da codificação reduzida apresentada na Seção 4.B, Figura 2, sendo o vetor que armazena a solução de dimensão igual a 60. Os resultados obtidos utilizando a codificação reduzida e os patamares de demanda mínima e máxima são apresentados na Tabela 2, para cada metaheurística testada. Tabela 2. Resultados utilizando codificação reduzida e demandas mínima e máxima Metaheurística RS BT AG N o de Bancos Capacitores Pot. Total Instalada (kvar) Recuperação da Receita (R$) , , ,15 Investimento (R$) , , ,00 Lucro Anual (R$) , , ,15 É possível perceber que as soluções obtidas pelo AG e pela BT são competitivas com relação à sua qualidade (lucro anual). Porém, o tempo computacional para a obtenção da solução final pelo AG (1,47 minutos) é significativamente inferior à da BT (33,97 min). Ganhos expressivos no tempo de processamento foram também observados quando se utilizou a codificação reduzida, uma vez que a solução apresentada pelo AG na Tabela 1 foi obtida em 20,58 minutos. Pode-se observar das Tabelas 1 e 2 que foi possível, quando se utilizou a codificação reduzida, encontrar soluções de melhor qualidade. Isto se deve à melhoria proporcionada na eficiência e eficácia do processo de busca. B. Testes utilizando centróides como patamares de carga Nestes testes os patamares de carga considerados correspondem aos centróides calculados de acordo com o algoritmo da Seção 4.B, além dos patamares de demanda mínima e máxima observados na base de dados. Simulações foram realizadas considerando diferentes números de agrupamentos para a representação da demanda. Os resultados obtidos são ilustrados na Tabela 3, para três modelos de representação da demanda (número de patamares) e utilizando um algoritmo genético, o qual mostrou melhor desempenho em obter soluções de boa qualidade em tempos computacionais reduzidos. Em todos os casos foi considerada a codificação reduzida da solução, uma vez que esta levou a melhores resultados nos testes anteriormente realizados. Não foi observada variação na solução quando se considerou cinco (k=3) ou mais patamares de demanda. Porém, tais soluções diferem das encontradas na Seção 5.A, tendo sido os capacitores alocados de forma diferente na rede. Os tempos computacionais variaram entre 15 minutos (k=3) e 30 minutos (k=8). 386

11 Tabela 3. Resultados utilizando 5, 7 e 9 patamares de demanda (k = 3, k = 5, k = 7) No. de agrupamentos k=3 k=5 k=7 N o de Bancos Capacitores Pot. Total Instalada (kvar) Recuperação da Receita (R$) , , ,30 Investimento (R$) 9.280, , ,00 Lucro Anual (R$) , ,3 A Figura 4 ilustra os valores obtidos para a energia recuperada, em função do número de patamares de carga obtidos com o algoritmo k-means (k). Pode-se concluir que, para os dados em questão, o agrupamento em três patamares foi suficiente para se ter uma boa representação da variabilidade da demanda Receita recuperada (R$ x 10³) nº de agrupamentos( k ) Figura 4 Receita Recuperada em função de k Para se verificar a qualidade da solução obtida quando se planeja a alocação de capacitores considerando-se apenas a representação dos patamares de carga máxima e mínima, tal solução foi testada para a situação onde se representa a carga através de 5 patamares (3 patamares obtidos do algoritmo k-means, mais os patamares de demanda mínima e máxima). Neste caso, a expectativa da receita líquida recuperada (lucro anual) foi de R$ ,80 contra R$ ,66 obtida quando a representação mais realista da demanda foi considerada durante o planejamento (resultado obtido na Tabela 3, para k=3). É possível observar que a solução obtida quando o planejamento é realizado considerando apenas os patamares extremos de carga é sub-ótima com relação à obtida com uma representação mais realista da demanda. C. Comentários sobre os resultados obtidos Em todos os testes realizados foi realizada uma abrangente exploração dos parâmetros que influenciam a busca pela solução ótima realizada por cada metaheuristica empregada. Apenas os melhores resultados obtidos foram apresentados. Diferentes ajustes das penalidades α 1, α 2 e β foram também explorados. O emprego da solução codificada em um espaço reduzido permitiu significativa redução do tempo computacional e maior eficácia no processo de busca. Os resultados obtidos indicaram uma superioridade do algoritmo genético em relação às outras técnicas. A representação realista da demanda, através dos patamares de carga obtidos com o auxílio do algoritmo k-means, permitiu que o problema fosse tratado de forma mais realista e, como pode se observar nos resultados, a não consideração de tal modelagem durante a fase de 387

12 planejamento pode levar a soluções sub-ótimas. Em todos os resultados apresentados nesta seção, nenhuma violação dos limites impostos às magnitudes de tensão da rede foi observada. É importante destacar que, para a base de dados utilizada, não existem violações de tensão no caso inicial, ou seja, quando nenhum capacitor estava instalado na rede. Tal fato explica o número reduzido de capacitores alocados, uma vez que tal alocação buscou a maior redução de perdas possível sem causar sobretensões na rede. É esperado que, para condições de maior carregamento, onde violações de tensão do cenário inicial precisam ser corrigidas, a necessidade da representação mais realista da demanda seja ainda mais evidente. Considerando que os resultados foram obtidos para uma única linha de distribuição, os benefícios observados podem ser ainda multiplicados quando da aplicação da metodologia proposta a outras linhas da rede de distribuição. 6. Conclusões Este trabalho apresentou um estudo comparativo sobre a aplicação de diferentes metaheurísticas ao problema de alocação ótima de bancos de capacitores em redes de distribuição. Diferentes formas de codificação da solução e representação da variabilidade da demanda foram também discutidas e implementadas, tendo sido analisados os seus efeitos sobre a qualidade da solução final obtida e nos tempos computacionais envolvidos. A redução do vetor que armazena cada solução codificada levou a uma redução do tempo computacional necessário para se obter a solução final, sendo também a solução obtida de melhor qualidade. Neste caso, a aplicação de uma algoritmo genético mostrou uma melhor relação de compromisso, considerando-se eficiência e eficácia. O algoritmo k-means foi empregado para a obtenção de um modelo realista para representar, durante a fase de planejamento, os diferentes cenários de carga que um sistema de distribuição pode experimentar, o que se mostrou relevante para a correta avaliação dos efeitos da instalação de bancos de capacitores com relação à redução das perdas de energia no sistema. Todos os testes foram realizados utilizando parte de uma rede de distribuição real, considerando custos realistas de bancos de capacitores e de tarifa de compra de energia. 7. Agradecimentos Os autores agradecem ao CNPq, Light e FAPERJ que financiaram em parte a execução desta pesquisa. Referências Baran, M.E. and Wu, F.F. (1989), Optimal Capacitor Placement on a Radial Distribution System, IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 4, No. 1, pp Chiang, H.D. Wang, J.C., Coockings, O., Shin, H.D. (1990), Optimal Capacitor Placement on Distribution Systems, Parts 1 and 2, IEEE Trans. on Power Delivery, Vol. 5, No. 2, pp Gallego, R.A. Monticelli, A.J., Romero, R. (2001), Optimal capacitor placement in radial distribution networks, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 16, No. 4, pp Glover, F. (1986), Future paths for integer programming and links to artificial intelligence,comput. Oper. Res. 13, Glover, F. and Kochenberger, G. A. (2003), Handbook of Metaheuristics, Kluwer Academic. Goldberg, D. E. (1989), Genetics algorithms in search, optimization and machine Learning Addison Wesley Reading, Mass. Granger, J., Lee, S.H. (1981), Optimum Size and Location of Shunt Capacitors for Reduction of Losses in Distribution Feeders, IEEE Transactions on PAS, PAS-100, 3, pp Kirkpatrick, S., Gelatt, C.D. and Vecchi, M.P. (1983), Optimization by simulated annealing. Science, 13 May , 4598, Lee, K. Y. and El-Sharkawi, M. A. (2002), Modern Heuristic Optimization Techniques with Applications to Power Systems, Edited by IEEE Power Engineering Society. Mitchell, M. (1996), An introduction to genetic algorithms, MIT Press. Ng, H.N., Salama, M.A., Chikhani, A.Y. (2000), Classification of Capacitor Allocation Techniques, IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 15, No. 1, pp