UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica THIAGO ANTONIO DA LUZ

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica THIAGO ANTONIO DA LUZ ANÁLISE DE SENSIBILIDADE PARA ALOCAÇÃO DE BANCO DE CAPACITORES CURITIBA 2011

2 THIAGO ANTONIO DA LUZ ANÁLISE DE SENSIBILIDADE PARA ALOCAÇÃO DE BANCO DE CAPACITORES Trabalho de conclusão de curso apresentado à disciplina Trabalho Final de Curso como requisito parcial à conclusão do Curso de Engenharia Elétrica, Setor de Tecnologia, Exatas, Universidade Federal do Paraná. Orientação: Profa. Dra. Thelma Solange Piazza Fernandes. CURITIBA 2011

3 Eu, enquanto homem, não existo somente como criatura individual, mas me descubro membro de uma grande comunidade humana. Ela me dirige, corpo e alma, desde o nascimento até a morte. Meu valor consiste em reconhecê-lo. Sou realmente um homem quando meus sentimentos, pensamentos e atos têm uma única finalidade: a comunidade e seu progresso. Minha atitude social portanto determinará o juízo que têm sobre mim, bom ou mau. (Albert Einstein)

4 AGRADECIMENTOS Meus sinceros agradecimentos à Professora Doutora Thelma Solange Piazza Fernandes, que me guiou e me ensinou muito ao longo do desenvolvimento deste trabalho, sendo ela a principal responsável pela realização do mesmo. Deixo também o meu muito obrigado aos meus pais, Jackson e Geneci e ao meu irmão, Lucas, também à minha namorada Priscilla, por todo o apoio e compreensão ao longo do desenvolvimento não somente deste trabalho, mas de todo o meu processo de graduação. Agradeço aos Professores Doutores Odilon Luís Tortelli e Clodomiro Unsihuay Vila por aceitarem o convite de participação da banca e demonstrarem interesse pelo desenvolvimento do trabalho. deste trabalho. Muito obrigado a todos que ajudaram, direta ou indiretamente no desenvolvimento

5 RESUMO Com o aumento da demanda dos sistemas elétricos de potência, o gerenciamento da potência reativa tem se tornado cada vez mais importante para as empresas concessionárias de energia que necessitam manter as tensões dentro dos limites pré-estabelecidos, garantindo assim bons níveis de qualidade e confiabilidade. Nesse trabalho, a fim de se controlar o perfil de tensão, fator de potência e perdas de uma rede elétrica, será analisada a questão de se alocar banco de capacitores de uma forma eficiente e econômica. Para tanto, propõe-se estudar e implementar técnicas de sensibilidade que orientem na localização de bancos a serem instalados na rede básica a fim de melhorar o desempenho do sistema e diminuir o campo de busca de problemas de otimização, já consagrados na literatura, que alocam banco de capacitores. As técnicas foram testadas em um sistema elétrico de 70 barras. Palavras-chave: Análise de sensibilidade, Alocação Ótima de Banco de Capacitores, Matriz Sensibilidade, Fator de Potência.

6 ABSTRACT With the increase of the demand of electric power systems, the management of the reactive power has become so important for energy supplier companies that require keeping voltage within pre-established limits, ensuring thus good quality and reliability levels. In this task, in order to handle the voltage profile, power factor and reduce the losses, it will be analyzed the introduction of capacitor bank connected in shunt in an efficient and economical way. Thus, this work analyses and proposes sensitivities techniques to guide the location of banks of capacitors trying to improve the system performance and diminish the search field of usual optimization problems. The techniques were tested at a 70 bus system. Key-words: Sensitivity Analyze, Capacitor Allocation, Sensitivity Matrix, Power Factor

7 SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO Contexto Objetivo Estrutura do Trabalho REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Sensibilidade baseada em controle de energia reativa para melhoria do perfil de tensão Sensibilidade baseada em algoritmos evolucionários para despacho de potência reativa Alocação de capacitores utilizando Algoritmos Genéticos Considerações finais do capítulo MATERIAIS E MÉTODOS Fluxo de Potência Ótimo Multiplicadores de Lagrange Relação de Sensibilidade Análise do Fator de Potência Análise de Barras Violada Alocação de Banco de Capacitores via Algoritmo Genéticos RESULTADOS Obtenção dos resultados via AG Análise dos Multiplicadores de Lagrange Análise do perfil de tensão com relação a reativos Análise do Fator de Potência Análise da violação dos limites de tensão Conjunto de barras candidatas à alocação de BC Metodologia proposta conclusões REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXO A SISTEMA DE 70 BARRAS DE BARAN E WU (1989) ANEXO B... 39

8 LISTA DE FIGURAS Figura 1 - Sistema de 70 barras usado Figura 2 - Perfil de tensão sem inserção de BC Figura 3 - Perfil de tensão com inserção de BC nas barras 54 e Figura 4 - Perfil de tensão com inserção de BC nas barras 27, 54, 62 e Figura 5 - Comparação entre os perfis de tensão nas três situações apresentadas Figura 6 - Comparativo de sensibilidade entre as barras 62 e

9 LISTA DE TABELAS Tabela 1 - Resultados apresentados pelo método dos AG para 1000 gerações Tabela 2 - Resultados apresentados pelo método dos AG para 5000 gerações Tabela 3 - Valores de λq para os cálculos sem correção de reativos Tabela 4 - Valores de λq para os cálculos com correção de reativos Tabela 5 - Comparação dos resultados do cálculo de FPO com e sem bancos de capacitores Tabela 6 - Menores valores de sensibilidade Tabela 7 - Fator de Potência para barras de carga Tabela 8 - Barras selecionadas por violação dos limites de tensão a 0,93 pu Tabela 9 - Barras selecionadas por violação dos limites de tensão a 0,95 pu Tabela 10 - Comparação entre os grupos de barras candidatas Tabela 11 - Comparação entre os resultados para os diferentes grupos resultantes... 30

10 1. INTRODUÇÃO 1.1 Contexto Com o aumento da demanda dos sistemas elétricos de potência, o gerenciamento da potência reativa tem se tornado cada vez mais importante para as empresas concessionárias de energia que necessitam manter as tensões dentro dos limites pré-estabelecidos, garantindo assim bons níveis de qualidade e confiabilidade. Alterações no sistema podem resultar em variações de tensão nos barramentos, e assim comprometer a qualidade da energia elétrica fornecida. As causas destas variações indesejadas de tensão são: - Crescimento das cargas; - Distância das unidades geradoras; - Linhas de transmissão longas e operando em carga leve; - Crescimento dos sistemas e transmissão e subtransmissão com a adição de mais linhas; Normalmente, são adotadas medidas que visam resolver o problema de suporte de reativo e perfil de tensão. Essas medidas são: remanejamento de carga, desligamentos de circuitos, abertura de barramentos, chaveamentos de capacitores e/ou reatores e controle de tensão via ajuste de taps dos transformadores. Estas medidas procuram levar o sistema a atender aos critérios pré-estabelecidos pela operação. Nesse trabalho, será abordado a medida que se refere ao uso de capacitores ligados em shunt no sistema de transmissão. Mais especificamente, a questão de se alocar otimamente banco de capacitores de uma forma eficiente e econômica de modo a melhorar o perfil de tensão e fator de potência (FP). Existem poucas referências para alocação de bancos de capacitores em sistemas de transmissão e muitas em sistemas de distribuição que propõem as mais diferentes técnicas de solução. Segundo ElHawary(2002), elas se dividem em quatro categorias de metodologias: - Métodos analíticos: os pioneiros Neagle&Samson(1956), melhorados por Grainger& Lee (1981), Grainger&Civanlar (1985); - Métodos de programação numérica: Duran (1968) que foi o primeiro e destaque para Mamandur&Chenoweth (1981) e Iyeret al. (1984), além de muitos outros que utilizaram e utilizam esses métodos; - Métodos heurísticos: Abdel Salamet al. (1994) cujo método não garante bons resultados; - Métodos baseados em inteligência artificial: os pioneiros foram Sundhararajan&Pahwa (1994); Lee&Yang (1998) que utilizaram modos iterativos; e Bêe (2007) que otimizou a função objetivo clássica e minimizou as correntes inrush provocadas pela energização dos bancos com o propósito de otimizar as distâncias entre os bancos de capacitores; 1

11 A função objetivo clássica para alocar bancos de capacitores é: - Minimizar perdas; - Minimizar custo dos capacitores; - Controlar limites de tensão; Na linha de apenas se otimizar o tamanho do banco, pré-selecionando as barras segundo a experiência do operador, têm-se o trabalho da Chiamulera (2006) que utilizando o FLUPOT conseguiu obter valores dos bancos de capacitores menores aos obtidos através de forma heurística, ou seja, baseado na experiência do analista. Pela análise de alguns dos artigos apresentados na literatura, fica claro que a alocação de bancos em sistema de transmissão é um problema não completamente abordado e que exige estudos apurados para resolvê-lo. Assim, esse projeto propõe estudar e implementar técnicas que orientem na localização e tamanho de bancos a serem instalados na rede básica a fim de melhorar o desempenho do sistema. A principal técnica a ser implementada são técnicas de sensibilidade para inicializar o problema e diminuir o universo de busca. 1.2 Objetivo A alocação de bancos é um problema de otimização onde se pretende minimizar o custo de instalação de banco de capacitores e minimizar as violações no perfil de tensão. Como o problema tem grandes proporções, assume-se que apenas algumas barras da rede serão candidatas à alocação de banco de capacitores. Assim, preliminarmente, pretendese diagnosticar diversos conjuntos de barras candidatas à alocação de bancos das seguintes formas: - Através das barras com os maiores multiplicadores de Lagrange (SOUSA, 2003); - Através das barras calculadas a partir da relação de sensibilidade: S V i i i=1,...,nb (1) Qdi obtido como subproduto de um Fluxo de Potência Ótimo convergido; - Através das barras com fatores de potência mais baixos; - Através das barras previamente diagnosticadas utilizando um Fluxo de potência ótimo (FPO) com limites de tensão violados Lenzi (2007); Com estes critérios, será realizada uma análise e proposta uma metodologia para determinação de um conjunto de barras candidatas a inserção de bancos de capacitores na rede elétrica. 2

12 1.3 Estrutura do Trabalho No próximo capítulo, é apresentada uma breve revisão bibliográfica a cerca do assunto tratado neste trabalho, visando contextualizar o mesmo em relação a outras publicações semelhantes e que seguem a mesma linha de estudo. No terceiro capítulo, está descrita toda a metodologia e a formulação matemática utilizada ao longo deste trabalho, como a interpretação do operador lambda (λ), o qual representa os multiplicadores de Lagrange associados às restrições de igualdade de um problema de otimização. Será apresentada também a formulação matemática da relação de sensibilidade representada pela equação (1). Ao longo do capítulo quatro é apresentada uma validação realizada através da ferramenta de Algoritmos Genéticos proposta por Szuvovivski (2008), apresentando assim uma solução que é referenciada como solução ótima para o presente trabalho, servindo com parâmetro de comparação e aferição dos demais resultados obtidos. No capítulo em questão, ainda serão apresentados os conjuntos de barras com os maiores multiplicadores de Lagrange, as barras com a melhor relação de sensibilidade, um conjunto de barras com fatores de potência problemáticos e o conjunto selecionado a partir de um FPO com relaxamento de restrições de tensão. No referido capítulo será realizada também a comparação entre os conjuntos de barras candidatas obtidos e será apresentado o conjunto de barras resultante, que engloba os aspectos tratados por todas as metodologias propostas. Por fim, são listados os resultados positivos e negativos obtidos, as dificuldades encontradas e propostas para trabalhos posteriores. 3

13 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Os dois primeiros trabalhos selecionados para melhor detalhamento o foram por salientarem a questão da análise de sensibilidade para se encontrar as melhores barras para instalação de banco de capacitores. Já o terceiro trabalho é descrito, pois sua metodologia foi utilizada como algoritmo padrão para alocação e validação dos resultados obtidos pelos critérios propostos neste trabalho. 2.1 Sensibilidade baseada em controle de energia reativa para melhoria do perfil de tensão O trabalho apresentado por Expósito, Ramos, Macias e Salinas (1993) é parte de um projeto que visa desenvolver um sistema híbrido, utilizando técnicas heurísticas e algoritmos para o controle de reativos e de tensão. O foco principal é minimizar as violações nos limites de tensão utilizando sistemas especialistas, deixando o FPO somente para a minimização de perdas. O trabalho apresenta um procedimento para realizar o despacho de potência reativa quando os desvios de tensão não estão dentro dos limites aceitáveis. O referido trabalho se restringe a questões de algoritmos que devem compor o sistema especialista em si, visando melhorar as suas capacidades e reduzir limitações. O método proposto, que é controlado por sistemas especialistas, consiste basicamente em uma sequência de passos que será descrito a seguir: Passo a: determinar o nó com a maior violação nos limites de tensão; Passo b: computar a sensibilidade desta tensão para as variáveis de controle; Passo c: para cada tipo de controle, selecionar as variáveis de controle com a maior sensibilidade; Passo d: computar as sensibilidades para as outras barras a fim de controlar as variáveis selecionadas no passo c ; Passo e: baseado no chamado coeficiente de eficiência, selecionar a variável de controle mais eficiente dentre as pré-selecionadas no passo c ; Passo f: determinar até que ponto essas variáveis de controle devem ser recalculadas a fim de corrigir as violações de tensão; Passo g: por meio de um Fast Decoupled Load Flow (FDLF), atualizar o estado da rede e retornar ao passo a até que as violações de tensão sejam extintas. Alternativamente, o FDLF poderia ser executado apenas uma vez, quando as violações estejam supostamente corrigidas. Neste último caso, as tensões devem ser linearmente atualizadas antes de retornar ao passo a, gerando um maior erro acumulado. 4

14 Para a escolha de qual é a barra com a maior violação dos limites de tensão, o artigo defende a utilização da experiência do operador, o qual deve indicar a barra mais problemática não só do ponto de vista de violação de limites de tensão, mas também levar em consideração as demais variáveis do sistema. 2.2 Sensibilidade baseada em algoritmos evolucionários para despacho de potência reativa O trabalho de Bhattacharyya e Goswami (2009) apresenta um estudo de variação de perda de potência ativa com relação à tensão em cada barra do sistema elétrico (Sensibilidade de perdas), utilizado juntamente com técnicas de algoritmos evolucionários (Algoritmos Genéticos, Evolução Diferencial e Enxame de Partículas). A metodologia abordada no trabalho de Bhattacharyya e Goswami (2009) é apresentada a seguir. A sensibilidade de perdas em cada barra é definida e dependendo destes valores, as injeções de reativos são controladas através dos taps de transformadores e de inserção de bancos de capacitores. Na sequência, os algoritmos evolucionários são acionados realizando apenas uma interação. Esta sequência de técnicas combinadas continua por um número pré-definido de interações, obtendo-se assim uma solução otimizada. 2.3 Alocação de capacitores utilizando Algoritmos Genéticos Szuvovisvki (2008) propõe uma metodologia de alocação de Banco de Capacitores (BC) e Reguladores de Tensão (RT) através da utilização de Algoritmos Genéticos (AG), juntamente com um FPO resolvido pelo método Primal-Dual de Pontos Interiores. Os AGs são utilizados para a alocação de BC, levando em consideração o tipo do banco (fixo ou automático) e sua potência em kvar e também a alocação de RT, ajustando a sua tensão de saída. O FPO fica encarregado de solucionar o fluxo de carga e ajustar os taps do RT. A função objetivo a ser minimizada leva em consideração a minimização de custos de perda de potência ativa, as penalizações por violação dos limites de tensão e queda de tensão e também os custos dos equipamentos alocados. 2.4 Considerações finais do capítulo Em geral, os trabalhos estudados apresentam formas híbridas de otimização de determinados problemas, utilizando um FPO para cálculos de fluxo de carga e algum algoritmo para realizar outras funções como minimizar as violações nos limites de tensão, alocação de BC e outras. 5

15 O trabalho apresentado por Expósito, Ramos, Macias e Salinas (1993) defende a utilização da experiência do operador para indicar qual é a barra mais problemática do sistema elétrico de potência, mas desta forma o resultado final de todo o processo pode ser condicionado a esta escolha, que se for mal feita pelo operador pode não ser a melhor possível. Assim, uma metodologia que oriente a definição das barras problemáticas pode ser uma ferramenta interessante para o operador realizar a escolha de uma forma mais assertiva. A proposta de Szuvovivski (2008) utiliza como campo de busca todas as barras de um sistema elétrico de potência, ou apenas as barras que formam o tronco principal do mesmo, dependendo da escolha do operador. Esta estratégia pode ser extremamente demorada e incerta, uma vez que o algoritmo pode estagnar em um ponto de mínimo local e não global. Assim, utilizar como campo de busca um conjunto de barras pré-selecionadas pode reduzir o tempo de busca do algoritmo e até tornar a busca mais assertiva. Assim, o presente trabalho propõe uma metodologia para definir um conjunto inicial de barras candidatas à alocação de BC, tornando o processo de busca utilizado por outros métodos, como os propostos por Szuvovivski (2008) e Expósito, Ramos, Macias e Salinas (1993), menos desgastante e até mais precisos. 6

16 3. MATERIAIS E MÉTODOS Como colocado na introdução, pretende-se diagnosticar diversos conjunto de barras candidatas à alocação de banco das seguintes formas: Critério 1: Pela análise dos multiplicadores de Lagrange (SOUSA, 2003); Critério 2: Pela análise das relações de sensibilidade: S V i i i=1,...,nb (1) Qdi obtidas como subproduto de um Fluxo de Potência Ótimo convergido; Critério 3: Pela análise dos fatores de potência; Critério 4: Pela análise dos limites de tensão violados (LENZI, 2007); Através destes critérios, será investigada uma proposta para determinação de um conjunto de barras candidatas a inserção de bancos de capacitores na rede elétrica. Os critérios 1, 2 e 4 baseiam-se em resultados obtidos a partir da simulação de um Fluxo de Potência Ótimo, sendo a seguir descrita sua formulação. 3.1 Fluxo de Potência Ótimo O problema do Fluxo de Potência consiste na obtenção das condições de operação, ou seja, magnitude e ângulo das tensões nodais, a partir dos quais podem ser determinados os fluxos de potência ativa e reativa em regime permanente de uma rede de energia elétrica com topologia, níveis de geração e consumo conhecidos. Esta ferramenta, proposta inicialmente por Carpentier (1962) como uma extensão do problema de despacho econômico (DE), tem sido largamente resolvida por inúmeras técnicas de otimização, que diferem entre si basicamente pelas direções de busca ao ponto ótimo, salientando-se o Método Primal-Dual de Pontos Interiores (MPI) utilizado por Granville (1994) no problema de despacho ótimo de reativos com minimização de perdas, o qual demonstra robustez numérica quando aplicado a sistemas de grande porte e redes mal-acondicionadas. A partir daí a aplicação do MPI para a solução do FPO passou a ser intensiva e formulada tanto na versão linear quanto não linear. Este histórico positivo motivou o uso do MPI na solução do FPO utilizado neste trabalho. Caracterizado como um problema de programação não-linear com restrições, o problema de FPO pode ser formulado genericamente como: min f (u) (2) Sujeito a: g (u) 0 (3) 7

17 h min max h( u) h (4) onde u : vetor de variáveis do sistema; f(u): função objetivo a ser otimizada; g(u): vetor de restrições de igualdade; h(u): vetor de restrições de desigualdade. As restrições de igualdade correspondem à modelagem da rede, ou seja, às equações de balanço de potência ativa e reativa; enquanto que as restrições de desigualdade representam os limites das variáveis do sistema, ou seja, as restrições funcionais dos equipamentos e operacionais do sistema. As restrições de igualdade básicas do FPO correspondem às equações de um fluxo de carga com nb barras, ou seja: Pg Pd real * [V (Y V) ] (5) QgQd imag * [V (Y V) ] (6) onde Pg : vetor com geração de potência ativa com dimensão (nb x 1); Pd : vetor de demanda de potência ativa com dimensão (nb x 1); Qg : vetor com geração de potência reativa com dimensão (nb x 1); Qd : vetor de demanda de potência reativa com dimensão (nb x 1); V : vetor com tensão fasorial com dimensão (nb x 1); Y : matriz de admitância de barra com dimensão (nb x nb). nb: número de barras do sistema. As restrições de desigualdade correspondem às restrições de canalização nas variáveis e refletem limites de operação dos equipamentos ou alguma política operativa específica. Desta forma, as principais restrições de desigualdades utilizadas em problemas de FPO são apresentadas a seguir em sua forma geral: Pg Qg V min max Pg Pg (7) min max Qg Qg (8) min max V V (9) onde max b b (10) 8

18 min Pg, min Qg, max Pg : limites mínimo e máximo de geração de potência ativa; max Qg : limites mínimo e máximo de geração de potência reativa; min V, max V : limites mínimo e máximo de magnitude de tensão; max b : limite máximo de susceptância capacitiva do banco de capacitores tensão; V vetor de magnbitude de tensão. Neste trabalho a função objetivo engloba a minimização das perdas elétricas (Perdas): ng LO Pg i (11) i1 onde ng: número de geradores; Pg i : geração de potência ativa na barra i. Assim o problema de otimização completo é: s.a nb min Pg i i1 Pg Pd real [V (Y V) * ] ( Qg diag ( V 2 b) Qd imag [ V ( Y V ) * ] (12) Pg Qg min min Pg Pg Qg Qg max max V min V V max max 0 b b Para solução do FPO representado pelo conjunto de equações (12) utiliza-se o Método dos Pontos Interiores versão Primal-Dual. Este método se baseia nos seguintes tópicos fundamentais: i. formulação da Função Lagrangeana para a manipulação das restrições de igualdade; ii. transformação de todas as restrições de desigualdade em restrições de igualdade, através das variáveis de folga; 9

19 iii. relaxação no processo iterativo da equação de complementaridade estrita, por um parâmetro barreira logarítmica μ > 0; iv. utilização do Método de Newton para a solução de um conjunto de equações não lineares. Para formação da Função Lagrangeana, dentro os vários multiplicadores de Lagrange utilizados, salientam-se: λ p, λq que são multiplicadores de Lagrange associados às restrições de igualdade ativa e reativa. Uma vez apresentado o FPO básico utilizado neste trabalho, passa-se à descrição dos critérios de sensibilidade para busca das melhores barras a terem bancos de capacitores instalados. 3.2 Multiplicadores de Lagrange Ao se resolver um Fluxo de Potência Ótimo cuja função objetivo é a minimização das perdas de transmissão (f(x)), obtém-se também os multiplicadores de Lagrange que podem ser utilizados para se determinar as barras que são candidatas a terem alocação de reativos. A interpretação dos multiplicadores de Lagrange ( qi ) relacionadas às equações de balanço de potência reativa fornecem uma relação de sensibilidade entre a função objetivo (f(x)) e a variação de carga reativa Qd i : f ( x) qi i=1,...,nb (13) Qd i Ou seja, as barras com os maiores multiplicadores de Lagrange indicam aquelas barras cuja variação de carga reativa mais influenciam as perdas totais, sendo essas candidatas naturais a terem alocação de reativo. Essas barras formam o conjunto 1 de barras candidatas à alocação de capacitores. A fim de melhor compreender este critério, passa-se à interpretação dos multiplicadores de Lagrange, utilizando um problema de otimização simplificado tal como: Min f(x) Sujeito a x R n onde. g ( x )= 0 (14) Este problema de otimização genérico consiste em minimizar uma função f(x) sujeito à restrição de igualdade g(x). 10

20 O problema pode ser re-apresentado de acordo com a Função Lagrangeana: L( x,λ) = f( x ) λ T g( x ) Min (15) Onde lambda (λ) representa o multiplicador de Lagrange associado à restrição de igualdade. Se f(x) é contínua e tem primeira e segunda derivada para qualquer valor assumido por x, então a sua derivada primeira tem que ser igual a zero para que este ponto seja um ponto de mínimo, local ou global. a) Condições Necessárias (Condição de Otimalidade de Primeira Ordem) para um ótimo são: * f (x ) 0 x i A matriz 2 f (x 2 x i 1, 2,... n i * ) é Semi definida positiva. (16) b) Condições Suficientes para um ótimo global são: A matriz 2 f ( x * ) é Definida positiva. 2 x i (17) em: Assim, se 2 x R, a aplicação da condição de Otimalidade de Primeira Ordem resulta L ( x, ) = x f (x) x1 f (x) x f ( x) g( x) x1 x1 f ( x) g( x) x x 2 2 g(x) x1 g(x) x 2 f (x) g( x) (18) (19) (20) Desta forma é possível concluir que λ indica a variação da função objetivo decorrente de uma variação na restrição de igualdade. 11

21 Assim, já que para o problema (12), f(x) representa as perdas totais, os multiplicadores de Lagrandevinculados às restrições de balanço de potência reativa, totais com variações de carga reativa por barra, tal como colocada em (13). qi, relacionam perdas 3.3 Relação de Sensibilidade É possível determinar como o perfil de tensão do sistema responde às variações de V Pd V Qd carga obtendo: [ ] através da linearização das equações pertencentes às condições de Otimalidade de Primeira Ordem (Condições de KKT). Primeiramente, chama-se as equações de KKT relacionadas ao problema de V otimização representado em (12) como ρ (z), onde z y, sendo que V representa o vetor das magnitudes de tensão nas barras e y o vetor que engloba todas as variáveis de otimização, com exceção de V, do problema de otimização (12). Explicita-se o vetor de cargas reativas ρ(vz,y,qd) : Após um incremento ρ(v, y,qd) 0 (21) Qd, define-se um novo ponto de operação: ρ( V V, y y, Qd Qd) ρ( V, y, Qd) ρ( V, y, Qd) V ρ( V, y, Qd) y V y ρ( V, y, Qd) Qd Qd 0 (22) Esta relação implica que: ρ(v, y,qd) V ρ(v, y,qd) y V y ρ(v, y,qd) Qd Qd V ρ( V, y, Qd) W Qd y Qd (23) (24) ρ(v, y,qd) ρ(v, y,qd), V y onde W 12

22 V Qd ρ( V, y, Qd) W y Qd Qd V Qd W y Qd ρ( V, y, Qd Qd 1 ) S (25) (26) Desta forma, pode-se concluir que o impacto na barra i por variação na carga reativa na barra j pode ser calculado da seguinte forma: S i, j Vi Qd j (27) Vi Si, j Qd j (28) V final i inicial i V S, Qd (29) i j j A equação (27) representa a relação de sensibilidade da tensão na barra i, para uma variação na potência reativo na barra j. A expressão em questão é de extrema importância na confecção e interpretação da matriz de sensibilidade. Assim, as barras, cujos valores de sensibilidade S i são elevados, indicam que nelas há maior impacto nas magnitudes de tensão para variações de carga. Ou seja, em carga pesada, são as barras mais susceptíveis de terem tensões abaixo do mínimo. Essas barras formam o conjunto 2 de barras candidatas à alocação de capacitores. 3.4 Análise do Fator de Potência As barras com fatores de potência menores que 0,95 formam o conjunto 3 de barras candidatas à alocação de capacitores, pois segundo os Procedimentos de Rede do ONS, todas as barras de fronteira não devem ter fator de potência abaixo de 0,95. 13

23 3.5 Análise de Barras Violada O conjunto 4 de barras candidatas à alocação de capacitores é formado pelas barras previamente diagnosticadas com tensões violadas. Para tanto, utiliza-se um FPO com Relaxamento de Restrições de Tensão, ou seja, sem considerar os limites de magnitude de tensão: Assim o problema de otimização passa a ser: s.a min Pg Pd real nb w p Pg i i1 [V (Y V) * ] Qg Qd imag [V (Y V) * ] (30) Pg min Pg Pg max Qg min b min Qg Qg b b max max 3.6 Alocação de Banco de Capacitores via Algoritmo Genéticos A fim de avaliar cada um dos conjuntos i de barras candidatas à alocação de capacitores, resolve-se um problema de otimização para alocação de capacitores, conforme Szuvovivski (2008), resolvido pela técnica de Algoritmos Genéticos, a fim de avaliar os conjuntos de barras candidatas à alocação de capacitores. Os AG são programas evolutivos inspirados na Teoria de Seleção Natural. Eles atuam sobre uma população de indivíduos baseados no fato de que os indivíduos com boas características genéticas têm maiores chances de sobrevivência e de produzirem indivíduos cada vez mais aptos, enquanto os indivíduos menos aptos tendem a desaparecer. Nos AG, normalmente, cada indivíduo da população corresponde a uma solução para um dado problema. Os AG baseiam-se inicialmente na geração de uma população formada por um conjunto de indivíduos que podem ser vistos como possíveis soluções do problema. Durante o processo evolutivo, esta população é avaliada. Para cada indivíduo é dado um índice (fitness), refletindo sua habilidade de adaptação a determinado ambiente. Uma porcentagem dos mais adaptados é mantida, enquanto os outros são descartados. Os membros mantidos pela seleção podem sofrer modificações em suas características, através da recombinação e das mutações, gerando descendentes para a próxima geração que, de alguma forma, mantenham 14

24 as características da geração anterior e possibilitando a variabilidade dos indivíduos na população. Este problema da alocação de BCs em redes de distribuição de energia é um problema de otimização que inclui variáveis inteira-mista. Neste problema, busca-se a localização e o tamanho dos equipamentos de regulação, além do tipo, fixo ou automático, para os BCs a serem instalados. Estas respostas devem ser obtidas de modo a se satisfazer os limites de tensão impostos pela Resolução N 505/2001 da ANEEL e quedas de tensão pré-estabelecidas, ou seja, visando melhorar níveis indesejáveis de tensão nas barras de distribuição, verificados antes da instalação dos equipamentos e, ainda, de modo a se obter o menor custo de instalação dos equipamentos de regulação e o menor custo de perdas de potência ativa. Desta forma, a fitness, a ser minimizada durante o processo de alocação, especificação, dimensionamento e ajustes do BCs que contempla todos os critérios citados anteriormente é, de acordo com Szuvovivski (2008): fitness min f (31) 1 f 2 f3 f 4 f5 onde fitness: função objetivo a ser minimizada; f 1 : custo das perdas de potência ativa; f 2 : custo das violações dos limites de tensão; f 3 : custo das violações das quedas de tensão; f 4 : custo dos BCs; f 5 : custo dos RTs. Os indivíduos são codificados em sequência binária de forma a definir as barras que terão banco de capacitores instalados, bem como seu tamanho e tipo. A avaliação, fitness, de cada indivíduo é calculada a partir de resultados obtidos do FPO convergido para cada configuração de banco de capacitor selecionada pela codificação dos indivíduos. 15

25 4. RESULTADOS A Figura 1 presenta o sistema de 70 barras usado nas simulações onde a barra 1 representa a barra da SE. Figura 1 - Sistema de 70 barras usado Os dados deste sistema encontram-se no ANEXO A. 4.1 Obtenção dos resultados via AG Primeiramente, utilizando o programa desenvolvido em Szuvovivski (2008) foram realizadas algumas simulações de alocação de banco de capacitores utilizando AG, a fim de verificar quais são as melhores barras a terem seus reativos compensados. O sistema simulado foi com carga constante e pesada, utilizando alocação de três bancos em todas as barras do sistema. As respostas obtidas pelo AG estão representadas na Tabela 1. É importante lembrar que o programa permite a alocação de mais de um banco na mesma barra, esta situação pode ser observada nos resultados da simulação número quatro da Tabela 1, onde apenas duas barras têm capacitores alocados, porém a potência do banco instalado na barra 62 é superior a 1500 kvar, o que indica que existem dois bancos nesta mesma barra, um de 1500 kvar e um de 900 kvar. 16

26 Tabela 1 - Resultados apresentados pelo método dos AG para 1000 gerações Simulação Barra com banco Potência do banco (kvar) Valor do fitness ,50E ,35E ,35E ,21E+01 Verificando a Tabela 1, é possível concluir que os resultados não foram sempre os mesmos, por se tratar de um problema probabilístico e de grande porte. A fim de encontrar uma solução que esteja mais próxima o possível da solução ótima, o número de gerações simuladas pelo AG foi aumentada de 1000 para Os resultados destas simulações estão apresentados na Tabela 2. Tabela 2 - Resultados apresentados pelo método dos AG para 5000 gerações Simulação Barra com banco Potência do banco (kvar) Valor do fitness ,24E ,22E ,21E+01 Fazendo uma rápida comparação entre os resultados apresentados nastabelas 1 e 2, é possível concluir que as simulações com 5000 gerações foram melhores, e apresentaram um valor de função objetivo em geral mais baixo se comparados às simulações de 1000 gerações. O resultado da simulação quatro da Tabela 1 apresenta um resultado idêntico ao da simulação três da Tabela 2, o que nos leva a concluir que este resultado é o que mais se aproxima do resultado ótimo. Porém, é importante observar que barras como a 10 (simulações um e dois da Tabela 2) aparecem com certa frequência e apresentam um bom resultado no valor da função objetivo. 17

27 4.1 Análise dos Multiplicadores de Lagrange Primeiramente, o FPO (equação 12) foi utilizado para realizar os cálculos do sistema de 70 barras estudado. Desta forma foi possível conhecer o comportamento do sistema sem a correção de reativos e os lambdas (λq) foram anotados na Tabela 3. Os λq representam o comportamento da variação da função objetivo de acordo com variações na potência reativa em cada barra do sistema, ou seja, a sensibilidade de determinada barra à variação de reativos. Teoricamente, as barras com maiores λq são mais sensíveis a alocação de BC, implicando em uma variação de reativo na barra na qual está sendo alocado. O resultado do FPO em questão sem alocação de capacitores apresenta perda ativa total de 0,2142 pu. Verificando os λq apresentados na Tabela 3 é possível concluir que os valores aumentam da barra 7 até a barra 28, o que nos leva a concluir de forma grosseira que esta poderia ser uma região relativamente sensível à alocação de reativos. Os valores de λq chegam novamente a níveis interessantes a partir da barra 52 até a 70. O primeiro resultado significativo surge da comparação entre o conjunto de barras com λq relativamente altos com os resultados apresentados pela alocação de bancos de capacitores realizada pelos AG. Verificando as barras apresentadas nas Tabelas 1 e 2 observa-se que todas estão dentro do intervalo de barras que apresentaram λq relativamente altos, barras 7 a 28 e 52 a 70. Utilizando as respostas da simulação três da Tabela 2, foram inseridos os dois bancos propostos nas barras 54 e 62, com potências de 1500 kvar e 2400 kvar respectivamente, e os valores de lambda para os novos cálculos são apresentados na Tabela 4. Para os cálculos com alocação de capacitores a perda ativa total do sistema foi de 0,1968 pu. A melhora dos resultados com relação à perdas quando não foram utilizados bancos de capacitores pode ser observada na Tabela 5. Os valores de λq foram significativamente reduzidos quando os bancos foram inseridos nos cálculos, conclusão esta realizada através na comparação entre as Tabelas 3 e 4. Através da análise da Tabela 5, por motivos já mencionados, selecionaram-se as barras de 7 a 28 e 52 a 70 para formarem o primeiro conjunto de barras candidatas a receber um banco de capacitores: 1 {7 28,52 70}. 18

28 Tabela 3 - Valores de λq para os cálculos sem correção de reativos Barra Lambdaq (λq) Barra Lambdaq (λq)

29 Tabela 4 - Valores de λq para os cálculos com correção de reativos Barra Lambdaq (λq) Barra Lambdaq (λq)

30 Tabela 5 - Comparação dos resultados do cálculo de FPO com e sem bancos de capacitores Barras com bancos Perdas [pu] - 0, ,62 0, Análise do perfil de tensão com relação a reativos A Tabela B.1 do Anexo B apresenta os resultados do FPO para o sistema de 70 barras quando não estão ligados bancos de capacitores. Para a análise do perfil de tensão, o importante é o valor absoluto da tensão em cada barra do sistema. Para uma melhor visualização deste perfil foi gerado um gráfico que representa este nível em cada barra, conforme a Figura 2. Figura 2 - Perfil de tensão sem inserção de BC Através do gráfico da Figura 2, observa-se que existem dois grandes afundamentos no nível de tensão no sistema, o primeiro acontece entre as barras 10 e 30 e o segundo entre as barras 50 e 70. Para uma maior segurança, foram selecionadas todas as barras cujos valores absolutos da tensão estão abaixo de 0,95 pu. Desta forma, os dois grandes afundamentos no nível de tensão acontecem entre as barras 13 e 28 e entre as 56 e 70. Os valores mais baixos 21

31 de tensão são observados nas barras 26, 27 e 28 para o primeiro afundamento e nas barras 65 e 66 para o segundo, com valores absolutos de respectivamente 0,9374 pu e 0,8960 pu. Utilizando a alocação de BC nas barras indicadas pelos Algoritmos Genéticos, barras 54 e 62 com potências 1500 kvar e 2400 kvar respectivamente, foram obtidos o perfil de tensão apresentado na Figura 3 e perda ativa total de 0,1968 pu. Os valores de tensão para cada uma dessas barras é apresentado na Tabela B.1 do Anexo B. Figura 3 - Perfil de tensão com inserção de BC nas barras 54 e 62 Com base no gráfico da Figura 3, verifica-se que o perfil de tensão teve uma melhora significativa com relação ao perfil de tensão apresentado, quando não foi realizada a inserção de banco de capacitores. Apesar da melhora, verifica-se que os níveis de tensão ainda estão baixos. A fim de se melhorar mais o perfil de tensão do sistema, foi calculada a matriz de sensibilidade, S, e da análise da mesma é possível concluir quais são as barras que implicam em uma melhora de tensão quando adicionados reativos e aonde estes devem ser adicionados. Da matriz de sensibilidade, as barras que apresentaram maiores valores em módulo são as barras 27 e 65. A barra 27 apresenta valores de sensibilidade iguais para as barras 27 e 28, este valor é representado por -0,0213. A barra 65 apresenta o valor de -0,0211 para a sensibilidade nas barras 65 e

32 Da análise da matriz de sensibilidade, nota-se que as barras com maiores valores absolutos são as mesmas já notificadas quando realizada a análise do perfil de tensão, porém existe uma precisão maior, tendo em vista que o perfil de tensão informa mais de uma barra com o mesmo valor de tensão. Foi realizado um teste com bancos de capacitores nas barras indicadas pela matriz de sensibilidade, barras 27 e 65 com BCs de 300 kvar e 1500 kvar respectivamente, a fim de melhorar o perfil de tensão sem penalizar muito as demais variáveis de otimização abordadas no problema. Estes capacitores foram alocados em adição aos já existentes nas barras 54 e 62. Os dados para esta simulação são apresentados na Tabela B.3 do Anexo B o perfil de tensão na Figura 4. Analisando os valores de tensão apresentados na Figura 4, é possível concluir que houve uma melhora no perfil de tensão do sistema, adequando-o ao valor estabelecido de 0,95 pu em todas as barras com exceção da barra 61, que ficou com um valor de 0,9478 pu. Apesar desta melhora significativa, os bancos nas barras 27 e 65 implicaram em um aumento nas perdas do sistema. As perdas passaram de 0,1968 pu, para a situação com os bancos nas barras 54 e 62, para 0,4191 pu com a adição dos bancos nas barras 27 e 65. Figura 4 - Perfil de tensão com inserção de BC nas barras 27, 54, 62 e 65 23

33 Figura 5 - Comparação entre os perfis de tensão nas três situações apresentadas Do ponto de vista de tensão, as barras 27 e 65 são as que melhor influenciam o sistema quando nelas são inseridos reativos. Porém, os demais aspectos devem ser analisados, como as perdas e custos dos capacitores. O gráfico da Figura 6 apresenta um comparativo entre as barras 62 e 65, do ponto de vista de como reativos nestas barras influenciam no perfil de tensão do sistema. 24

34 Sensibilidade Barras 62 e ,005-0,01-0,015 Barra 65 Barra 62-0,02-0, Figura 6 - Comparativo de sensibilidade entre as barras 62 e 65 A partir do gráfico da Figura 6, verifica-se que a barra 65 apresenta melhores valores de sensibilidade para as barras próximas a ela, mas a barra 62 também apresenta valores significativos nesta região. Além disso, ambas as barras influenciam praticamente na mesma intensidade os níveis de tensão em barras entre 7 e 28, o que justifica a melhora do perfil de tensão nesta região quando foram feitas simulações de alocação com capacitores nas barras 54 e 62. Desta forma, a barra fornecida pela solução do AG é realmente uma boa candidata à alocação de reativo, a fim de solucionar o problema como um todo. A Tabela 6 apresenta as barras com os valores de sensibilidade abaixo de -0,01 e as barras 27 e 65, que apresentam os menores valores, estão representadas em negrito. Tabela 6 - Menores valores de sensibilidade Bara Sensibilidade Barra Sensibilidade 16-0, , , , , , , , , , , , , , , ,0211 Desta análise, as barras apresentadas na Tabela 7 apresentam o conjunto dois de barras candidatas à alocação de BC: 2 {16,17,18,20,21,22,24,26,27,45,46,59,61,62,64,65} 25

35 4.3 Análise do Fator de Potência O fator de potência (fp) foi calculado individualmente para cada uma das barras de carga que compõem o sistema elétrico em questão, sendo esse realizado com base na carga de cada uma. O fp é apresentado na Tabela 7 ordenado do menor para o maior. Apesar de os valores de fp estarem muito baixos, selecionaram-se 30% das barras como os menores fatores de potência como candidatas à alocação de BC, ou seja, 21 barras, apresentadas na Tabela 7 em negrito. No caso de sistemas maiores, este mesmo percentual pode ser utilizado para a confecção do conjunto 3 de barras candidatas a receber capacitores: 3 {6,7,8,9,11,12,24,26,27,29,33,34,41,43,48,29,54,55,59,62,69}. Tabela 7 - Fator de Potência para barras de carga Barra FP Barra FP Análise da violação dos limites de tensão Para se verificar quais as barras do sistema de 70 em questão foram violadas com tensão menor que a crítica, 0,93 pu, a função objetivo foi mudada a fim de priorizar os limites de tensão, passando a operar com uma função objetivo que procura obter valores de 26

36 magnitude de tensão o mais próximo de 1 pu, sem considerar a minimização das perdas e relaxando os limites mínimos de tensão para 0,8 pu, para que o FPO possa convergir. As barras problemáticas, do ponto de vista do relaxamento dos limites de tensão, e suas respectivas tensões são apresentadas na Tabela 8. Tabela 8 - Barras selecionadas por violação dos limites de tensão a 0,93 pu Barra Tensão (pu) T Para não se perder possíveis barras candidatas à inserção de BC, definiram-se como barras violadas as que possuem a tensão abaixo de 0,95 pu, agindo desta forma com mais rigor na violação de tensão. As barras com tensão abaixo de 0,95 pu são apresentadas na Tabela 9. Tabela 9 - Barras selecionadas por violação dos limites de tensão a 0,95 pu Barra tensão Barra tensão As barras candidatas à alocação de capacitores devido a violações nos limites de tensão são apresentadas na Tabela 10 e formam o conjunto 4 de barras candidatas: 4 {13 28,56 68} 27

37 4.5 Conjunto de barras candidatas à alocação de BC Uma vez definidos os quatro conjuntos de barras candidatas à alocação de BC, o próximo passo é analisá-los simultaneamente, para podermos concluir sobre qual é o melhor conjunto resultante do ponto de vista da alocação ótima de capacitores. Seguindo esta ideia, a Tabela 10 foi confeccionada colocando lado-a-lado os quatro conjuntos trabalhados. Tabela 10 - Comparação entre os grupos de barras candidatas Barra Lagrange Sensibilidade FP Relaxamento X 7 X X 8 X X 9 X X 10 X 11 X X 12 X X 13 X X 14 X X 15 X X 16 X X X 17 X X X 18 X X X 19 X X 20 X X X 21 X X X 22 X X X 23 X X 24 X X X X 25 X X 26 X X X X 27 X X X X 28 X X 29 X X 34 X 35 28

38 X X X 46 X X X 53 X 54 X X 55 X X 56 X X 57 X X 58 X X 59 X X X X 60 X X 61 X X X 62 X X X X 63 X X 64 X X X 65 X X X 66 X X 67 X X X 68 X X 69 X X 70 X Da análise da Tabela 10, verifica-se que apenas 5 das 70 barras do sistema apareceram em todas as análises realizadas. Estas barras são as 24, 26, 27, 59 e 62. A primeira observação importante é que uma dessas 5 barras é apresentada na solução ótima dos AG, a barra 62, e a barra 27 é uma das que apresentam a melhor solução do ponto de vista da relação de sensibilidade de tensão. 29

39 Observando a Tabela 10, verifica-se que o grupo de barras proposto pela análise do FP ficou disperso em relação aos demais, levando-nos a concluir que o FP restringiu muito o conjunto de barras resultante, por este motivo o grupo proposto pela analise do FP não participará da composição do conjunto resultante de barras candidatas. O grupo resultante 1 foi confeccionado pela intersecção dos grupos fornecidos pelas análises dos multiplicadores de Lagrange, relação de sensibilidade e relaxamento nos limites mínimos de tensão, e é composto pelas seguintes barras: r 1 { 1 2 4} r 1 {16,17,18,20,21,22,24,26,27,59,61,62,64,65} O grupo resultante 1 apresenta poucas barras para que se tenha uma representação fiel do sistema estudado, por isso um segundo grupo resultante 2 foi selecionado utilizando como regra a união do conjunto 1 com a intersecção dos conjuntos e 2, que apresenta 4 39 barras candidatas: r2 { 1 [ 2 4]} r 2 {7 28,52 70} Para se avaliar qual seria o comportamento do AG se fossem utilizados como campo de busca os conjuntos de barras resultantes aqui apresentados ao invés de todas as 70 barras do sistema, foram realizadas cinco simulações utilizando o AG proposto por Szuvovivski (2008) para cada conjunto de barras resultante e outras cinco utilizando todas a 70 barras do sistema, em todos os casos foram utilizadas 5000 gerações. A comparação dos resultados é apresentada da Tabela 11. Tabela 11 - Comparação entre os resultados para os diferentes grupos resultantes Todas as Barras Conjunto r1 Conjunto r2 Simulação Barra com BC Potência do BC (kvar) Tempo de simulação Valor do fitness 1 57, 62 e , 1500 e min 22s 3.23e , 62 e , 1500 e min e 30s 3.24e e e min e 50s 3.22e , 62 e , 1500 e min e 44s 3.23e , 62 e , 1500 e min e 6 s 3.24e e e min e 36s 3.34e e e min e 33s 3.34e min e 4s 3.36e e e min e 51s 3.38e e e min e 34s 3.34e e e min e 58s 3.19e e e min e 42s 3.19e e e min e 36s 3.19e e e min e 8s 3.21e e e min e 36s 3.19e

40 Pela análise da Tabela 11, é possível observar uma melhora significativa nos resultados para o conjunto r2. O tempo de simulação ficou baixo para o conjunto r1 devido ao espaço de busca ser menor, mas os valores da função objetivo estão sempre maiores do que os apresentados nas simulações utilizando todas as barras do sistema. Dessa forma, fica provada a ineficiência de se trabalhar com um conjunto pequeno de barras, mesmo que isto acarrete em uma diminuição do tempo de simulação e demanda de recursos computacionais. O conjunto r2 apresentou tempos de simulação semelhantes aos apresentados quando utilizado como campo de busca todas as barras do sistema, porém os valores da função objetivo foram menores em quase todas as simulações, e na simulação que teve um valor de função objetivo um pouco maior o resultado coincidiu com o proposto na validação do programa. Dessa forma, os melhores resultados sempre apareceram nas simulações utilizando o conjunto r2 de barras candidatas. É importante lembrar que o AG é uma ferramenta de natureza estatística probabilística, sendo dessa forma justificada a ausência do resultado proposto na validação do início dessa sessão nas simulações utilizando todas as barras do sistema. É possível assegurar que quanto melhor o campo de busca, mais garantias se tem de encontrar o melhor resultado possível e menos aleatório é o processo, conclusões estas tomadas com base nos resultados da Tabela 11, em que o conjunto r2 apresenta resultados com um valor de função objetivo quase que constante. 4.6 Metodologia proposta Uma vez comprovada a eficiência do método proposto neste trabalho, os próximos parágrafos propõem uma metodologia estruturada de análise preliminar do sistema elétrico, a fim de restringir o espaço de busca de qualquer técnica computacional de alocação de Bancos de Capacitores, diminuindo os esforços computacionais e até melhorando a resposta do algoritmo, uma vez que desta análise todas as barras não viáveis a receber BC são eliminadas. O primeiro passo é calcular os multiplicadores de Lagrange (λq) para todas as barras do sistema. A definição do conjunto 1 de barras candidatas deve ser realizada verificando quais os maiores valores de λq, estes são facilmente identificados, pois são em média de 10 a 100 vezes maiores que os demais valores. Para a definição do 2 de barras candidatas, a matriz de sensibilidade deve ser calculada para o sistema em questão. Os valores apresentados nesta matriz são em geral muito pequenos, mas o que interessa são os menores (mais negativos). Assim, o menor valor da matriz de sensibilidade deve ser encontrado e o grupo dois de barras candidatas será formado pelas barras que apresentam valores na mesma ordem de grandeza deste. Dependendo da carga, o fator de potência pode ser relativamente baixo e não fornece uma boa visão do sistema, do ponto de vista de alocação de BC, mas este é um importante parâmetro que pode ser analisado. No presente estudo, este conjunto foi desprezado, pois ele 31