Lógica, Regras e Inferência

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1 Lógica, Regras e Inferência André Desessards Jardim Universidade Católica de Pelotas Centro Politécnico Mini Curso Web Semântica Representação de conhecimento A lógica é a base para a maioria dos formalismos de representação de conhecimento, seja de forma explícita, como nos sistemas especialistas baseados na linguagem Prolog, seja disfarçada na forma de representações específicas que podem facilmente ser interpretadas como proposições ou predicados lógicos. No entanto, problemas de eficiência, facilidade de uso e a necessidade de expressar conhecimento incerto e incompleto levaram ao desenvolvimento de diversos tipos de formalismos de representação de conhecimento. Cadeias Semânticas Há vários esquemas para se representar conhecimento. Dois deles, que capturam melhor o conhecimento relativo a objetos e as suas propriedades, são as cadeias semânticas e frames. O primeiro desses esquemas, as cadeias semânticas, originou-se na psicologia como resultado da modelagem de sistemas para a memória associativa humana. Mais recentemente, vários investigadores de ciência da computação estenderam o conceito original de cadeias semânticas para facilitar a manipulação de objetos mais complexos e suas relações. Basicamente, uma cadeia semântica é um grafo no qual os nós representam objetos (ou uma classe), e os vínculos mostram uma relação, geralmente binária, entre objetos ou classes conectadas pelo vínculo. Os nós podem ser de dois tipos: individuais ou genéricos. Os primeiros representam descrições ou afirmações relativas a uma instância individual de um objeto, enquanto os segundos são relacionados a uma classe ou categoria de objetos. As classes são pré-ordenadas em uma taxonomia, e há vínculos que representam relações binárias especiais como isa - é um (do inglês is a) - e ako - um tipo de (do inglês a kind of). O primeiro tipo de vínculo conecta um nó individual a um nó genérico e identifica um indivíduo como pertencendo a certa classe. O segundo une dois nós genéricos entre eles e mostra que determinada classe é subdivisão de outra classe. Exemplo: Analogamente à representação lógica, o formalismo de cadeias semânticas conta com comandos de armazenamento e consulta, e pode ser acessado a partir das regras através 1

2 de padrões. A cadeia semântica associada ao exemplo da cor de Clyde pode ser definida através do seguinte comando: > (snet-store '(color (clyde real e-um) (real elefante e-um) (elefante cinza e-um) (clyde elefante e-um) (real cinza (not. e-um)))) Observe como foi introduzido o arco negado, com a construção de um dotted-pair onde o primeiro elemento é o símbolo not. A visualização do conteúdo da base pode ser feita através do comando list: > (snet-list) =================== graph : color ---- node : clyde * edge : e-um --- > node : elefante * edge : e-um --- > node : cinza * edge : e-um --- > node : real * edge : (not. e-um) --- > node : cinza * edge : e-um --- > node : elefante Pode-se agora determinar toda a teoria hierárquica definida através da rede color, utilizando as expressões de consulta adequadas: > (snet-query '(color (x y e-um))) ([ Substituicao : ((x. elefante) (y. cinza)) ] [ Substituicao : ((x. real) (y. elefante)) ] [ Substituicao : ((x. clyde) (y. elefante)) ] [ Substituicao : ((x. clyde) (y. real)) ]) > (snet-query '(color (x y (not. e-um)))) ([ Substituicao : ((x. real) (y. cinza)) ] [ Substituicao : ((x. clyde) (y. cinza)) ]) Frames A segunda representação de conhecimento - frames - ficou popular nos anos 70 devido ao aparecimento da teoria dos frames, que surgiu inicialmente como resultado de um artigo escrito por M. Minsky. É a forma de representar o conhecimento de um objeto através da "observação visual", ou seja, tendo uma idéia do objeto pré-definida na memória faz a comparação desta idéia, ou conjunto de idéias, com aquelas propriedades que podemos observar visualmente. Na ocasião, o uso de frames foi recomendado como básico para se entender a percepção visual, os diálogos em linguagem natural e outros conceitos complexos. Frame é uma representação de um objeto complexo. Ele é identificado por um nome e consiste em conjunto de slots. Cada frame possui ao menos um frame hierarquicamente superior e, portanto, constitui uma base com mecanismo de herança. Um frame especial é a raiz desta hierarquia de herança. 2

3 Sistemas baseados em cadeias semânticas e sistemas baseados em frames podem ser considerados semelhantes com respeito às suas estruturas, mas diferem no que representam. Quer dizer, enquanto cadeias semânticas representam objetos simples, um sistema de frames pode representar objetos complexos. Exemplo de frame: Frame: Course in KB University MemberSlot: enrolls ValueClass: Student Cardinality.Min: 2 Cardinality.Max: 30 MemberSlot: taughtby ValueClass: (UNION GradStudent Professor) Cardinality.Min: 1 Cardinality.Max: 1 Frame: AdvCourse in KB University SuperClasses: Course MemberSlot: enrolls ValueClass: (INTERSECTION GradStudent (NOT Undergrad)) Cardinality.Max: 20 Frame: BasCourse in KB University SuperClasses: Course MemberSlot: taughtby ValueClass: Professor Frame: Professor in KB University Frame: Student in KB University Frame: GradStudent in KB University SuperClasses: Student MemberSlot: degree ValueClass: String Cardinality.Min: 1 Cardinality.Max: 1 Frame: Undergrad in KB University SuperClasses: Student Redes Neurais Paralelamente à construção de sistemas especialistas ou sistemas baseados em conhecimento, como também são denominados, a área de Inteligência Artificial (IA) também avançou em outra direção, ou seja, na área conexionista. Esta linha de ação baseia-se na crença de que o comportamento inteligente só pode ser obtido através do maciço processamento paralelo, tal qual ocorre nas conexões neurais do Sistema Nervoso Central dos seres humanos. Esta linha conexionista é implementada através da construção de sistemas baseados em redes neurais artificiais. Resumidamente, as redes neurais artificiais podem ser descritas como modelos matemáticos que recebem um conjunto de evidências de entrada (camada de entrada), possuem várias camadas intermediárias de nós que se conectam amplamente às camadas adjacentes e, finalmente uma camada de saída que evidencia os resultados do processamento desta rede. A principal característica dos sistemas conexionistas é sua capacidade de aprendizado automático, a partir de um conjunto de exemplos, também chamado conjunto de treinamento. As redes neurais artificiais são, portanto, capazes de aprender, todavia não explicam como o 3

4 fizeram. Isto se deve ao fato que neste tipo de representação o conhecimento corresponde a pesos nos arcos de conexão entre os nós de entrada, intermediários e os nós de saída da rede. Desta forma, pode-se treinar um sistema conexionista para reconhecer caracteres, visualizar bordas em imagens ou, até mesmo, reconhecer voz. Os sistemas conexionistas têm sido largamente utilizados no desenvolvimento de aplicações para reconhecimento de padrões, tais como: voz, imagens, linguagem natural e identificação de arritmias no eletrocardiograma. Outras aplicações de redes neurais: Reconhecimento de voz; Reconhecimento de texto (OCR); Avaliação de risco de financiamento; Detector de bombas; Auxílio na identificação de reservas de petróleo; Algoritmo de aprendizado supervisionado para redes de uma camada: rede := rede com pesos aleatórios entre [-0.5, 0.5] repita para cada e conjunto de treinamento O := saída da rede para e T := saída esperada para e Erro := T - O para i de 1 até número de saídas se Erro[i] 0 para j de 0 até números entradas W[i,j] := W[i,j] + á * I[j] * Erro[i] // á > 0, taxa de aprendizado // I, valores entrada, I[0]=1 fim tudo até atingir uma taxa aceitável de erro Cláusula de Horn Em lógica, uma cláusula de Horn é uma cláusula (disjunção de literais) com no máximo um literal positivo. Uma cláusula de Horn com exatamente um literal positivo é dita uma cláusula definida (ou regra); uma cláusula de Horn sem literais positivos é às vezes dita cláusula objetivo (ou fato), especialmente no contexto da programação lógica. Uma fórmula de Horn é uma fórmula na forma normal conjuntiva cujas cláusulas são todas de Horn; em outras palavras, é uma conjunção de cláusulas de Horn. Uma cláusula de Horn dual é uma cláusula com no máximo um literal negativo. As cláusulas de Horn têm um papel essencial na programação lógica e são importantes na lógica construtiva. A seguinte fórmula é um exemplo de cláusula de Horn (definida): Em Prolog isto se escreve como: 4

5 u :- p, q,..., t Usando a lógica clássica proposicional, tal fórmula pode ser reescrita ainda, de forma equivalente, da seguinte forma: A relevância das cláusulas de Horn para demonstrações de teoremas através do princípio da resolução reside no fato de que a resolução de duas cláusulas de Horn é uma cláusula de Horn. Além disso, a resolução de uma cláusula objetivo e uma cláusula definida dá origem a uma nova cláusula objetivo, e resoluções deste gênero dão base à programação lógica e à linguagem de programação Prolog. No contexto da demonstração automática de teoremas, resoluções envolvendo cláusulas de Horn podem ser usadas para a definição de algoritmos eficientes para a verificação de teoremas (representados como uma cláusulas objetivos). As cláusulas de Horn são também de interesse no estudo da complexidade computacional, onde o problema de encontrar um conjunto de valorações para as variáveis de modo a satisfazer uma conjunção de cláusulas de Horn é um problema P-completo, às vezes chamado HORNSAT. Este problema é a versão P do problema de satisfatibilidade booleana, um problema NP-completo fundamental. Vale a pena mencionar ainda que um estudo recente ("An evaluation of the effect of the brainoriented organized knowledge map (Bookmap) for improving school results", Twan Brouwers & Hans Morélis, 2003) mostrou que diagramas baseados em cláusulas de Horn podem ter um efeito positivo na compreensão do conhecimento científico complexo por parte de estudantes de nível secundário. Lógicas de Descrição Lógicas de Descrição (DL) é uma família de formalismos para representar conhecimento que pode ser usada para representar taxonomias de um domínio formalmente. Lógicas de descrição, por um lado possuem uma sintaxe boa para descrever conceitos, por outro lado possuem uma semântica bem definida por uma tradução para lógica de primeira ordem. Lógicas foram desenvolvidas como uma extensão dos frames e das redes semânticas que não possuem semântica bem-definida. Regra de inferência Introdução Inferência é o processo pelo qual se chega a uma proposição, firmada na base de uma ou outras mais proposições aceitas como ponto de partida do processo. O Argumento é chamado 5

6 de premissa e o valor de conclusão. As conclusões são deduzidas a partir das premissas. Caso o estado das premissas esteja vazio, então a conclusão é dita ser o axioma da lógica. Uma propriedade desejável de uma regra de inferência é que esta seja efetiva, isto é, existe um procedimento efetivo para determinar se uma dada fórmula é inferível de um dado conjunto de fórmulas. Regras de inferência têm as seguintes características: 1. Se a Hipótese for verdadeira, então a Conclusão é verdadeira 2. Verificação de tipos é baseada em inferência. Se E1 e E2 tem certos tipos, então E3 tem um certo tipo. 3. Regras de inferência são uma notação compacta para comandos de implementação. 4. Inicia-se com um sistema simplificado de regras ao qual adiciona-se novas características gradualmente 5. As premissas são regras sem hipóteses Uma regra de inferência não precisa preservar qualquer propriedade semântica como verdadeira, já que não existe nenhuma regra que garanta que uma caracterização lógica sintática tenha uma semântica. Uma regra pode preservar, por exemplo, a propriedade da conjunção de uma sub-fórmula da uma fórmula mais extensa do conjunto de premissas. Note que existem diferentes sistemas de lógicas formais, cada qual com seus próprios conjuntos de fórmulas bem-formadas, regras de inferências, e algumas vezes, semânticas. Tome como exemplo as lógicas temporal, modal ou intuicionista. Na lógica de primeira ordem, é necessária uma regra de inferência adicional, conhecida como generalização. Na lógica formal, as regras de inferência são normalmente determinadas nas seguinte forma: premissa #1 premissa #2... premissa #n conclusão Esta expressão indica, que sempre que as premissas dadas forem obtidas durante alguma derivação lógica, a conclusão especificada pode ser provada. A linguagem formal que é usada para descrever ambas premissas e conclusões depende do atual contexto das derivações. Por exemplo, pode ser usada como uma fórmula lógica, assim como em A B A B ao qual é justamente a regra modus ponens da lógica proposicional. Regras de inferência são freqüentemente formuladas como regras esquematizadas pelo uso de variáveis universais. Na regra (esquemática) acima. A e B podem ser substituídas por algum elemento do universo (ou 6

7 as vezes, por convenção, alguns sub-conjuntos restritos como as proposições) um conjunto infinito de regras de inferência. Um sistema de prova é formado por um conjunto de regras, as quais podem ser interligadas para formar provas, ou derivações. Uma derivação tem apenas uma conclusão, a qual é um enunciado provado ou derivado. Se a premissa for verdadeira, então a conclusão também o será. Admissibilidade e Derivabilidade Em um conjunto de regras, uma regra de inferência pode ser redundante no sentido de que ela pode ser admissível ou derivável. Uma regra derivável é aquela que a conclusão pode ser derivada de suas premissas usando outras regras. Uma regra admissível é aquela que a conclusão é verdadeira sempre que as premissas também o forem. Todas as regras deriváveis são admissíveis. Para observar a diferença, considere os seguintes conjuntos de regras para definir os números naturais (tome como n pertencendo ao conjunto dos números naturais). A primeira regra indica que 0 é um número natural, e o segundo indica que s(n) é um número natural se n também o for. Em um sistema de provas, a regra a seguir demonstra que o segundo sucessor de um número natural é também um número natural, é derivável: Estas derivações são apenas composições de dois usos da regra de sucessão acima. A regra a seguir para a afirmação da existência de um antecessor para algum número diferente de zero é meramente admissível: Este é um fato dos números naturais, como pode ser provado por indução (para provar que esta regra é admissível, uma delas deve assumir uma derivação da premissa, e induzir para produzir uma derivação de ). Entretanto, ele não é derivável, porque ele depende de uma estrutura da derivação da premissa. Pelo fato desta derivabilidade ser estável sob adições para um sistema de provas, a admissibilidade não o é. Para ver a diferença, suponha que a seguinte regra sem sentido fosse adicionada para o sistema de provas: Neste novo sistema, a regra da dupla sucessão ainda é derivável. Entretanto, a regra para achar o antecessor já não é admissível, pois não há como derivar. A fragilidade da admissibilidade vem da maneira como é provada: desde que a prova possa induzir na estrutura 7

8 das derivações das premissas, extensões para o sistema adicionam novos casos para esta prova, a qual pode já não ser mais válida. Regras admissíveis podem ser pensadas como teoremas de sistemas de provas. Por exemplo, no cálculo seqüencial onde o teorema do corte é válido, a regra do corte é admissível. Outras Considerações Regras de inferências podem também ser indicadas desta forma: 1. algumas (talvez nenhuma) premissas. 2. o símbolo "infere", "prova" ou "conclui". 3. uma conclusão. Isto geralmente uma visão relacional (oposto de funcional) de uma regra de inferência, onde o mantém uma relação de dedução entre premissas e conclusões. Regras de inferência devem ser distinguidas de axiomas de uma teoria. Em termos de semântica, axiomas são asserções válidas. Axiomas são considerados pontos iniciais para a aplicação de regras de inferência e geração de um conjunto de conclusões. Ou em termos informais: Regras são enunciados SOBRE o sistema, axiomas são enunciados no sistema. Por exemplo: A regra que de você pode inferir que Derivável(p) é um enunciado que diz que se você pode provar p, então é provável que p seja derivável. Isto é usado na aritmética de Peano, por exemplo. O axioma Derivável(p) pode significar que todo enunciado verdadeiro é derivável. Isto, entretanto, não é usado na aritmética de Peano. Regras de inferência possuem um papel vital na especificação do cálculo lógico tanto na teoria de prova quanto no cálculo seqüencial e na dedução natural. Bibliografia Anexo:Lista de regras de inferência 8