Palavras-chave Pilar esbelto; análise; dimensionamento; coeficiente de amplificação corrigido.

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1 Pilar Esbelto em Flexão Composta Normal Roberto Buchaim UEL Universidade Estadual de Londrina / Centro de Tecnologia e Urbanismo / Departamento de Estruturas / robbuch@uel.br Resumo Na análise e no dimensionamento de um pilar esbelto são feitas sucessivas verificações até igualar os momentos solicitante total, originado pelas ações e pela esbeltez do pilar, e resistente último, decorrente da resistência da seção transversal. Isto porque a esbeltez do pilar introduz uma incógnita a mais, a parcela de segunda ordem do momento solicitante total. Este, por sua vez, depende da rigidez à flexão, função também da força normal e da armadura que se busca. O trabalho que segue apresenta a solução baseada no coeficiente de amplificação, decorrente da teoria de flexão composta normal em barra esbelta, em pilares de seção, armadura e força normal constantes. Este coeficiente, que em primeira aproximação admite deformada senoidal, é corrigido para levar em consideração a distribuição da curvatura de primeira ordem na combinação de carregamentos que se apresenta. Com isto, obtém-se uma nova equação que relaciona o momento fletor e o deslocamento transversal ao eixo da barra, ambos de primeira ordem, aos valores correspondentes incluindo o efeito de segunda ordem. Excluindo-se os casos extremos em que as taxas de armadura mínima e máxima levam, respectivamente, a momento resistente maior que o solicitante, e vice-versa, é forçoso haver um valor da taxa de armadura para a qual ambos os momentos são iguais. Obtém-se a solução por meio de cálculo iterativo dos momentos solicitante e resistente último e da correspondente rigidez à flexão, através de programa eletrônico, escolhendo-se como variável a taxa mecânica da armadura. A teoria é aplicada em um exemplo, que pode representar pilares de pontes, assim como lances de pilares de pórticos em flexão composta normal. Palavras-chave Pilar esbelto; análise; dimensionamento; coeficiente de amplificação corrigido. Introdução O trabalho que segue refere-se a pilar esbelto biarticulado em suas extremidades, sujeito a ações contidas em um plano principal, de modo que se tem flexão composta normal. A seção, armadura e força normal são constantes. Considera-se a transformação do lance em questão no pilar padrão, fletido em curvatura simples e simétrica, o que se faz através do coeficiente dado na NBR 6118: 2014, item 15.6 (a). Como na solução interfere a esbeltez do pilar na determinação das solicitações, dependentes do deslocamento transversal do seu eixo, tem-se dois níveis de resistências do concreto para a mesma lei constitutiva (parábola-retângulo): a do estado limite último (ELU), com a resistência 0,85, 1,4, e a da deformabilidade local, com a resistência, 1,2, para o concreto. Para o aço, usa-se a lei bilinear com resistência, 1,15 em ambos os casos. Ver as Figuras 1 e 2.

2 Md knm (EI) sec =129,1x127,3= knm ,1kNm Msd,tot, 0,85fck/1,4, fyk/1,15 (EI)sec, fck/1,2, fyk/1, h/r 0 =1,964, r 0 =127,3 m Curvatura relativa 1000h/r Figura 1 Momento-curvatura, exemplo de determinação da rigidez secante correspondente ao momento resistente do ELU. Seção retangular ;; ;;, "#$, CA-50, /$' $()*, +, Md knm (EI)sec=2329,6x291,1=678147kNm ,6kNm Msd,tot; 0,85fck/1,4 e fyk/1,15 (EI)sec; fck/1,2 e fyk/1, De/ro=3,435, ro=291,1m Curvatura relativa 1000De/r Figura 2 Momento-curvatura, exemplo de determinação da rigidez secante correspondente ao momento resistente do ELU. Seção circular / 0 ;/ 1 2;344, :, CA- 50, ; 1,<=< > 0 C A, B, D EF -2,- 7D Estas figuras mostram exemplos de obtenção do momento resistente último, cf. a NBR 6118: 2014, item , e da rigidez secante com resistência do concreto G1,4/0,85H 1,21,37

3 vezes maior que a do ELU. Esta alternativa difere pouco e é mais simples do que a dada no item e na Figura 15.1 da mesma norma. Indicações para obtenção da armadura O dimensionamento de um elemento estrutural como o de um pilar esbelto, a rigor, é feito através de sucessivas verificações, pois a determinação das solicitações depende da rigidez à flexão, a qual depende da força normal e da armadura desconhecida. No exame de um lance de pilar pode-se usar o conhecido fator de amplificação (Ver Timoshenko e Gere, 1961), aqui corrigido, para considerar a distribuição de curvaturas de primeira ordem, dado pela expressão: KLMN OP KQRSTTUKçãM UMNNTXTOM 1 1Y Z [ U (1) Nesta expressão é definido pelo quociente entre a força normal aplicada no pilar e a carga de Euler, correspondente ao pilar biarticulado de comprimento S \, obtida com a rigidez secante como mostra a Figura 1, ou seja: ] G Z H S [ (2) G^_H \ \ Assim, obtém-se o momento solicitante total (i.e., nele incluído o efeito da esbeltez, através da parcela de momento de segunda ordem) pelo produto do momento solicitante de primeira ordem, provenientes de ` ações, pelo fator de amplificação corrigido, cf. (1). Logo, usando (2) obtém-se: g a,bcb da e,f ha [ da e,f h] i a,bcb j S [ \ G^_H \ U e g e g e a,bcb a e,f Z 1Y [ U (3) O coeficiente U, que em primeira aproximação pode ser igualado a Z [, depende da distribuição da curvatura de primeira ordem ao longo do pilar. A sua expressão refere-se ao pilar padrão e está dada no MC-2010, item 7.3.7, Figura , e corresponde nesse código ao nível III de aproximação (substituindo o valor Z [ dos níveis anteriores). A respectiva dedução encontra-se em Marti (2013). A expressão da constante U é a seguinte: U Z [ hg1y H g fle a e,f g a e,f fle U f (4) Em que: ` é o número de casos de carga em questão; a e,f é o momento fletor máximo de primeira ordem do TYénTQM carregamento transversal; cf. Equação (2);

4 U f é o coeficiente correspondente ao TYénTQM carregamento transversal, dependente da distribuição de curvatura de primeira ordem ao longo da barra. É facilmente obtido, nos casos considerados a seguir, pela expressão do máximo deslocamento transversal de primeira ordem no pilar padrão, explicitando-o em função da curvatura de primeira ordem na seção mais solicitada. Por exemplo, na barra biapoiada com carga o uniformemente distribuída no comprimento S \ tem-se deslocamento transversal na seção central: P e,p 5 q o S \ 5 [ [ 384G^_H \ 48 Go S \ 8 H S \ 1 a e,p S [ G^_H \ 9,6G^_H \ 1 \ 9,6 G1 N H [ e,ps \ donde U f 9,6. Para a barra em balanço, engastada na base e de comprimento S t u [ : donde U f 16. P e,p o GS \ 2H q i o GS \ 2H 8G^_H \ 2 [ [ a e,p j GS \ 2H 1 S [ 4G^_H \ 16G^_H \ 1 \ 16 G1 N H [ e,ps \ Dentre os casos práticos resumidos a seguir, este é o único em que se obtêm coeficientes diferentes para as barras biapoiada e em balanço. Na barra biapoiada sujeita à ação de (a) falta de retilineidade, com a excentricidade máxima P v da deformada senoidal: U f Z [ ; (b) carga uniformemente distribuída o em toda altura do pilar: U f 9,6; (c) força horizontal w concentrada na seção média do pilar: U f 12; (d) momentos a iguais nas extremidades, tracionando a mesma face do pilar: U f 8. Na barra em balanço estes coeficientes são os mesmos, exceto o da carga uniformemente distribuída, como se mostrou. Como se vê, a determinação da armadura exige haver a igualdade dos momentos solicitante total e resistente último, e a correspondência entre a rigidez secante e estes momentos. Estas três grandezas dependem da força normal solicitante e da armadura que se busca. Dito de outro modo, determinada a armadura resultam simultaneamente três incógnitas, a rigidez secante, os momentos solicitante total e resistente, iguais entre si para a armadura final. Para resolver o dimensionamento do pilar esbelto, é necessário excluir os casos seguintes: (1) o momento solicitante é inferior ao resistente para a taxa mecânica igual à mínima, x x yfg, caso em que as dimensões da seção e/ou a resistência do concreto podem ser diminuídas; (2) o momento solicitante é superior ao resistente para a taxa mecânica igual à máxima, x x yvz, caso em que as dimensões da seção e/ou a resistência do concreto devem ser obrigatoriamente aumentadas. Definindo a taxa mecânica da armadura por x G{,bcb { HG 0,85 H, em que { é a área da seção transversal do pilar e {,bcb é área total da armadura, os seus valores extremos decorrem das expressões indicadas no item da NBR 6118: 2014: x yfg 0,15 }0,4%, ƒ ; x yvz 4% 8%, ƒ (5), (6) Na Equação (5) a força normal relativa é igual a ] /G0,85 { H. Na equação (6) os fatores 4% e 8% referem-se respectivamente à existência e inexistência de emendas por transpasse.

5 Excluídos os casos de taxas extremas, é certo que há um valor da taxa mecânica para o qual são iguais os momentos resistente a e solicitante total aˆ. A procura desta taxa é feita iterativamente, p.ex., por sucessivos intervalos encaixantes, começando por Gx yfg,x yvz H. Em dois pontos sucessivos para os quais ocorre a mudança de sinal da diferença entre ambos os momentos, i.e., Gaˆ Ya H fše Gaˆ Ya H f 0, terá sido determinado o intervalo correspondente da taxa mecânica, Gx fše,x f H, que substitui o intervalo anterior e o qual pode ser refinado, até obter-se a solução, a menos de um erro tolerável na taxa mecânica. Ver o exemplo a seguir. Exemplo: ˆ ] a KSLK OP NPLTST`PTOKOP S \ /2 \ 1 Q 0,9Q P v w S \ 20 Q S \ /2 f 0,8Q a a Figura 3 Pilar esbelto de seção anelar O cálculo que segue compara o exemplo dado na Revista Estrutura no. 99 (junho/1982), no qual um pilar biarticulado é verificado por diferenças finitas para uma seção anelar, conforme mostra a Figura 3. Na deformabilidade do pilar, foram considerados então os mesmos coeficientes parciais dos materiais do ELU, i.e., 0,85 /1,4 e 1,15. Os dados do problema, além dos mostrados na Figura 3, são os seguintes: 15aŒK (valor comumente usado na época), Aço CA-50, ˆ ] 1514Ž], a ˆ P e ,05 75,7Ž]Q,w 126,8Ž],P v \ 300,033Q. Na verificação por diferenças finitas foram adotadas QQ [, para as quais se obtém a 1120,9Ž]Q e aˆ 979,5Ž]Q. A Tabela 1 mostra os resultados para a armadura final igual a { 5837QQ [. Como se vê na tabela, os momentos resistente e solicitante valem a aˆ 1000,17Ž]Q, a rigidez do pilar é G^_H \ Ž]Q [, e os coeficientes do método são 0,2651,U 10,9038.

6 Tabela 1 - Resultados do Exemplo 1 Com estes resultados, as Equações (1) e (3) podem ser conferidas: U Z [ hg1y H, a,bcb g e a e,f Z 1Y [ U, No exemplo cabe observar que: 0,2651 Z 2 hg1y0,2651h 50,47h75,70h634 10, ,033h75,7h126, Z 1Y0,2651 [ 10, ,47 Z 2 h75,70 8 h ,17 0, ,17Ž] (1) os momentos solicitantes de ambos os cálculos (o antigo e o atual) diferem entre si em apenas 2,1%, embora as respectivas áreas das armaduras difiram em 16,6% e a deformabilidade do concreto no cálculo antigo seja 27,1% menor do que a atual; (2) o índice de esbeltez do pilar é 4S \ i \ š1hg C u H [ j62,5; œ (3) o efeito de segunda ordem majora o momento fletor de primeira ordem em 1CG1Y H 1,316 ou 31,6%. O mesmo pilar pode ser considerado em balanço, com altura S t u 10Q, sujeito no topo ao [ momento a ˆ P e ,0575,7Ž]Q, à força horizontal ž 63,4Ž] e à ação da [ falta de retilineidade, com momento no engaste igual (no exemplo) a ˆP v /30 50,47Ž]Q, donde o momento de primeira ordem no engaste permanecer igual a 760,17Ž]Q, o mesmo do pilar biarticulado. Lembre-se que os coeficientes U f destas ações são iguais nos pilares biarticulado e em balanço, mas se houver carga uniformemente distribuída o ao longo da altura temse U f 9,6 no primeiro e U f 16 no segundo, conforme mostrado antes. Note-se, ainda, que é desnecessário aplicar no pilar em balanço o fator, dada a correção do coeficiente U, cf. Equação (4), no lugar de Z [ 10.

7 O dimensionamento rigoroso por série de Fourier (ver Buchaim (2016)) do pilar em questão leva à área da armadura igual a {,bcb 5833,88QQ [ contra {,bcb 5837,26QQ [ do cálculo anterior. Os momentos solicitante e resistente são aˆ a 999,78Ž]Q, os quais praticamente coincidem com o valor encontrado antes, a saber, a,bcb 1000,17Ž]Q. Conclusões O presente trabalho mostrou a aplicação da teoria de flexão composta em barra esbelta, utilizando no pilar padrão (fletido em curvatura simples e simétrica) o fator de amplificação corrigido para considerar a distribuição de curvaturas devidas aos momentos de primeira ordem. Eliminam-se com isto erros não desprezíveis (entre 25% e Y16,7% no momento solicitante total do pilar biarticulado), e mantém-se a solução por meio do fator de amplificação corrigido em lugar de soluções mais complexas. Entretanto, como se viu, o cálculo é iterativo, para que se consiga simultaneamente a correspondência com a taxa de armadura de três grandezas, a saber, o momento solicitante total (o qual inclui a parcela de segunda ordem) e o resistente do ELU, e a rigidez secante do pilar. A solução baseia-se na constatação das evoluções destes momentos com o crescimento da taxa de armadura: o solicitante decresce, enquanto o resistente cresce. Um exemplo esclarece a aplicação da teoria. Referências ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). Projeto de estruturas de concreto Procedimento: NBR 6118: Rio de Janeiro, RJ, BUCHAIM, R. Análise de seções anelares. Revista Estrutura, no. 99, Junho 1982, pág Editora Estrutura Ltda. RJ. BUCHAIM, R. Pilar Esbelto de Alta Resistência: Exemplo de Dimensionamento. Exemplos de Aplicação dos Conceitos da Seção 15. In: ABNT NBR 6118: 2014, Comentários e Exemplos de Aplicação. IBRACON, 1ª. Edição, pp São Paulo, BUCHAIM, R. Concreto Estrutural: Fundamentos e Projeto. Flexão Simples e Composta Normal. Pilares Esbeltos. C20 a C90. Eduel, Londrina, Pr (no prelo). EUROCODE 2: Projecto de estruturas de betão. Pt. 1-1: Regras gerais e regras para edifícios. Norma portuguesa NP EN INTERNATIONAL FEDERATION FOR STRUCTURAL CONCRETE (fib). CEB-FIP. MODEL CODE Final draft. Volumes 1 and 2. Bulletins 65 and 66. March MARTI, P. Theory of structures. Fundamentals. Frame structures. Plates and Shells. Ernst & Sohn, MENN, C. Prestressed Concrete Bridges. Basel, Boston, Berlin. Birkhäuser, TIMOSHENKO, S. P., GERE, J. M. Theory of Elastic Stability. Second Edition. International Student Edition. McGraw-Hill Book Company, Ltd. Tokyo