O EFEITO DA DISTORÇÃO DA MALHA PARA O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADOS

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1 26 a 28 de maio de 2010 Universidade Federal de São João del-rei MG Associação Brasileira de Métodos Computacionais em Engenharia O EFEITO DA DISTORÇÃO DA MALHA PARA O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADOS Phillipe Daniel Alves 1 ; Felício Bruzzi Barros 1 ; Roque Luiz da Silva Pitangueira 1 1 Departamento de Engenharia de Estruturas DEEs - UFMG Av. Antônio Carlos, Bloco 1 - Campus Pampulha Belo Horizonte - MG - CEP phillipe@dees.ufmg.br, felicio@dees.ufmg.br, roque@dees.ufmg.br Resumo. O Método dos Elementos Finitos (MEF) é atualmente a ferramenta numérica mais amplamente empregada na mecânica computacional para resolução de problemas de valor de contorno. Por outro lado, existem problemas em que a formulação convencional do MEF não consegue descrever de forma satisfatória o fenômeno analisado, despertanto o desenvolvimento de novas estratégias. A aplicação do MEF no estudo de placas, por exemplo, sugere uma constante preocupação com a distorção dos elementos. Tais distorções, causadas por motivos diversos, acabam, muitas vezes, comprometendo os resultados encontrados. É nesse contexto que surge o Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG), considerado produto de métodos sem malha, sua formulação garante relativa independência da malha, possibilitando vantagem em problemas onde MEF convencional encontra problema na representação. Neste trabalho, busca-se apresentar a implementação do MEFG junto ao INSANE (INteractive Structural ANalysis Environment), um ambiente computacional implementado em Programação Orientada a Objetos (POO) e desenvolvido no Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) da UFMG. Duas abordagens do MEFG são aqui consideradas, diferenciando-se na forma com que o enriquecimento da aproximação é realizado, ou seja, em coordenadas de naturais ou físicas. As coordenadas de naturais são adimensionais sendo associadas ao elemento mestre, já as coordenadas físicas descrevem o problema real. Mostra-se, nos exemplos numéricos, de que forma estas duas abordagens influenciam na qualidade da discretização. Para isso são comparados diversos tipos de elementos empregados na análise de estruturas (via MEF) e o elemento enriquecido (via MEFG nas duas abordagens aqui citadas). Propõe-se identificar as vantagens do MEFG quando comparado à abordagem convencional do MEF, em particular no que se refere à distorção da malha de elementos e a influência do mapeamento no resultado final. Palavras-chave: MEF, MEFG, MECÂNICA COMPUTACIONAL, DISTORÇÃO DE ELEMEN- TOS, POO

2 1. INTRODUÇÃO A utilização de Elementos Finitos, ao longo dos tempos, tem se tornado bastante comum, e atualmente é a ferramenta numérica mais amplamente empregada na Mecânica Computacional, sendo utilizado na resolução de grande classes de problemas como os de análises estruturais, mecânica dos fluidos e eletromagnetismo. Por outro lado, a melhoria do desempenho dos elementos finitos quadriláteros tem sido, nos últimos anos, objeto de importantes estudos e discussões. De fato, a aplicação do MEF, especialmente no estudo de placas, sugere uma constante preocupação com a distorção dos elementos nas suas mais diferentes etapas. Tais distorções, causadas por motivos diversos, acabam, muitas vezes, comprometendo os resultados encontrados. Assim, apesar da enorme contribuição do Método dos Elementos Finitos (MEF) para engenharia, existem problemas em que a formulação convencional não consegue descrever de forma satisfatória as características de um determinado fenômeno, despertando o desenvolvimento de novas estratégias para a descrição numérica do problema. É nesse contexto que surge o Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG), Duarte et al. (2000). O MEFG é formulado de tal forma que a simulação numérica garanta uma certa independência da malha de elementos. Torna-se, assim, uma alternativa ao MEF, na medida que possibilita a análise de problemas que, com o MEF, exigiriam diversos remalhamentos, sem grandes perturbações na discretização do domínio. Apesar de seus fundamentos teóricos estarem bem estabelecidos e dos inúmeros trabalhos realizados, existe ainda uma extensa área de pesquisa e de experimentação numérica a ser desbravada. Neste sentido, a proposta deste trabalho é identificar vantagens do MEFG quando comparado à abordagem convencional do MEF, em particular no que se refere à influência da distorção da malha de elementos. tais vantagens, quando não eliminam, são capazes de minorar os efeitos negativos da forma dos elementos que, muitas vezes, compromete significativamente a qualidade da solução numérica encontrada. Para isso foi necessária implementação computacional do MEFG em ambiente INSANE. O projeto INSANE (INteractive Structural ANalysis Environment) é um ambiente computacional desenvolvido no Departamento de Engenharia de Estruturas da Universidade Federal de Minas Gerais, implementado em Java e que utiliza o paradigma da programação orientada a objetos (POO). 2. O EFEITO DA DISTORÇÃO E AS FAMÍLIAS DE ELEMENTOS É fato que elementos distorcidos acabam modificando a capacidade original de representação do fenômeno a ser aproximado, prejudicando consideravelmente os resultados obtidos da análise. Assim, essa incapacidade de representação do campo de deslocamentos acaba ocasionando, muitas vezes, em erros de interpretação dos resultados por parte do usuário pouco atento ao assunto. Segundo Lee and Bathe (1993), existem alguns tipos de distorção de elementos, que podem ser classificadas como: retangular, paralelogramo e angular. Através de análises encontradas na literatura, entre os quais destaca-se o trabalho de Lee and Bathe (1993), verifica-se que nas distorções retangular e em paralelogramo a matriz jacobiana é constante, mas, de maneira geral, nas demais formas distorcidas, não se tem nas coordenadas físicas a mesma expansão polinomial adotada no elemento mestre com as coordendas naturais. Observa-se que distorções angulares não afetam as representações quadráticas e cúbica dos correspondentes elementos Lagrange, enquanto nos elementos Serendípetos tem-se apenas a representação do campo linear, conforme pode ser visualizado na Tabela 1, modificada de Lee and Bathe (1993).

3 Tabela 1: Termos conservados na expansão polinomial em elementos distorcidos 3. O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADOS O Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG), pode ser entendido como uma variação do Método dos Elementos Finitos (MEF) convencional. O MEFG compartilha importantes características dos métodos sem malha, em que as aproximações são construídas sem que uma malha de elementos seja necessária. As funções de aproximação do MEFG, atreladas aos pontos nodais, são enriquecidas de modo semelhante ao que ocorre no Método das Nuvens-hp, proposto por Duarte and Oden (1995). Diferentemente deste último, contudo, em que o os pontos formadores das nuvens podem ser distribuídos de forma aleatória, emprega-se no MEFG a malha de elementos para o posicionamento dos pontos nodais. A utilização de funções de Partição de Unidade (PU), sobre uma malha de elementos, e o enriquecimento destas funções, faz com que o MEFG seja interpretado como uma forma não-convencional do MEF, que estabelece uma ponte com os métodos sem malha. 3.1 Formulação A estratégia utilizada no MEFG consiste em empregar as funções de forma Lagrangianas lineares do Método dos Elementos Finitos (MEF) como Partição da Unidade (PU). Logo em seguida é feito o enriquecimento dessas funções, construindo-se, assim, a função de aproximação. O emprego das funções convencionais de MEF, além de facilitar a aplicação do método, garante estabilidade ao sistema, verificando diretamente as condições de contorno, ao contrário do que normalmente ocorre no Método das Nuvens-hp, Barros (2002). Assim, considera-se uma malha convencional de elementos finitos definida a partir de um conjunto de n pontos nodais {x j } n j=1, conforme pode ser visto na Figura 1. Define-se então a região ou nuvem ω j, formada por todos os elementos que concorrem no ponto nodal x j. O conjunto das funções interpoladoras de Lagrange associadas ao nó x j obtidas através do MEF define a função N j, cujo suporte corresponde à região ω j, que está representada na Figura 1 como região de Partição de Unidade (PU). Já o conjunto de funções de enriquecimento, que são específicas para um determinado tipo de problema, é composto por q j funções linearmente independentes definidas para cada nó x j com suportes na nuvem ω j : I j def = {1, L j1, L j2,..., L jqj } (1)

4 Ao final do processo, através de união das funções básicas que formam a PU com as funções de enriquecimento, é possível obter as funções de forma φ j do MEFG atreladas ao nó x j : {φ ji } q j i=0 = N j {1, L j1, L j2,..., L jqj } sendo L j0 = 1 (2) As funções do conjunto (1) podem ser polinomiais ou não, sendo selecionadas conforme o tipo de problema que se está analisando. Pela maneira como é realizado, o enriquecimento pode variar entre elementos e ainda assim chega-se a uma aproximação sem costura, Duarte et al. (2000), verificando o critério de conformidade dos elementos. Além disso, o emprego das funções do MEF para a PU simplifica a implementação e evita, segundo Barros (2002), problemas relacionados à integração numérica e à imposição das condições de contorno, encontrados em diversas formulações sem malha. A aproximação ũ(x) é, dessa maneira, obtida pela seguinte combinação linear das funções de forma, em que b ji são novos parâmetros nodais em correspondência a cada componente N j L ji. : { q N j } ũ(x) = N j (x) u j + L ji (x)b ji (3) j=1 i=1 Figura 1: Descrição das funções de MEFG em R 2, (Barros, 2002) Assim, como resultado final do processo, obtém-se a função produto, que apresenta as características aproximadoras da função de aproximação local, ao mesmo tempo que herda o suporte compacto da PU. ũ(x) = { N N j (x) u j + j=1 q j i=1 L ji (x)b ji } ũ = Φ T U (4) 4. IMPLEMENTAÇÃO EM AMBIENTE INSANE O projeto INSANE (INteractive Structural ANalysis Environment), (Fonseca, 2007) é um ambiente computacional desenvolvido no Departamento de Engenharia de Estruturas da Universidade Federal de Minas Gerais. O INSANE é implementado em Java e utiliza o paradigma da programação orientada a objetos (POO). Em linhas gerais, ele pode ser dividido em três grandes aplicações: pré-processador, processador e pós-processador. O processador é a aplicação mais importante deste ambiente e representa o sistema do núcleo numérico, que é responsável por obter os resultados para diferentes modelos de análise.

5 A estrutura do núcleo numérico desenvolvido para o MEFG é formada por interfaces e classes abstratas que representam as diversas abstrações de uma resolução numérica de modelos discretos. Sua organização, quando refere-se ao MEFG, é centrada nas relações entre as interfaces GfemAssembler, GfemModel e Persistence, além da classe abstrata Solution. A interface GfemAssembler é a responsável por montar o sistema matricial, incluindo a parte enriquecida do processo. 4.1 Interface Shape No projeto INSANE original, as funções de aproximação estão agrupadas na hierarquia da interface Shape, que possui métodos responsáveis por fornecer as funções de forma, suas primeiras e segundas derivadas. A hierarquia é dividida segundo: sistema de coordenadas utilizado, geometria dos elementos finitos e número de nós na incidência dos elementos. Na Figura 2 isola-se as classes que foram modificadas dentro da interface Shape. As classes em amarelo representam aquelas que foram modificadas, enquanto as classes em verde representam aquelas que foram criadas. Figura 2: UML das classes modificadas do pacote Shape Para o desenvolvimento do MEFG neste ambiente, a construção do enriquecimento em elementos isoparamétricos de 4 lados, foi desenvolvida a classe denominada Q4Enrich. Através da informação da variável grau de enriquecimento a classe é capaz de interpretar as funções de aproximação que regem o problema, forncecendo seus dados para análise enriquecida. 4.2 Interface GfemAssembler Para inclusão da abordagem do MFEG a interface Assembler foi implementada pela classe GFemAssembler que é apropriada aos diversos tipos de problemas que podem ser modelados através do MEFG. É importante ainda citar o método numberequations(), que numera as equações do modelo, organizando-as segundo o critério de valores desconhecidos, prescritos ou como elementos que fazem parte do enriquecimento. 4.3 Interface GfemModel O modelo discreto a ser analisado é representado pela interface GfemModel que representa de forma geral as características específicas do modelo. GFemModel possui lista de nós, elementos, carregamento, materiais e outras características do problema. Tem ainda dois atributos: AnalysisModel e ProblemDriver.

6 4.4 Classe Abstrata Solution Com a equação do problema montada, fica a cargo da classe Solution, resolvê-la. Seu principal método é denominado execute() e é ele quem desencadeia todo o processo de solução. A classe SteadyState é a mais simples das subclasses de Solution, pois representa a solução de um problema linear estático. Para a resolução da equação do problema de MEFG, foram utilizadas implementações baseadas nos trabalhos de Silva et al. (2009). 5. EXEMPLO NUMÉRICO Neste artigo, será apresentada simulação numérica de um problema de viga, cujas soluções analíticas já são conhecidas. Esta simulação possui a finalidade de estudar a influência das distorções da malha para o Método dos Elementos Finitos (MEF) convencional e o Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG). O problema proposto foi modelado utilizando o programa INSANE, através da nova implementação do MEFG. O objetivo principal deste exemplo é estabelecer um comparativo entre os elementos Q-12 e Q-16 (elementos quadrilaterais de, respectivamente, 12 e 16 nós), utilizando a teoria clássica do MEF (resultados de Lee and Bathe (1993)), e o elemento Q-4 enriquecido utilizando a teoria do MEFG. A simulação foi feita utilizando tanto o enriquecimento nas coordenadas naturais (tendo o INSANE como instrumento de análise), quanto nas coordenadas físicas (obtidas de Barros (2002)). Através deste problema é possível ter uma ideia do desempenho do MEFG para resolução de problemas de elementos finitos em que a malha tenha sofrido considerável distorção. 5.1 Problema de viga A Figura 3 corresponde ao problema de uma viga submetida a uma força f y aplicada em sua extremidade, como uma carga distribuída do tipo parabólica. As reações de apoio estão aplicadas na face x = 0 através de uma força f y e um momento M representado aqui por uma distribuição de força f x. Isto é feito para que o problema simule a condição de viga engastada. A estrutura encontra-se, portanto, auto-equilibrada e os vínculos introduzidos servem apenas para eliminar os movimentos de corpo rígido. Figura 3: Problema de viga a ser resolvido Os valores utilizados na resolução do problema de estado plano de tensão são os seguintes, em unidades consistentes: Módulo de Elasticidade E = 1, ; Coeficiente de Poison ν = 0, 3; Espessura t = 1, 0; P = 20c2 distribuído como f L y = 120y 120y2 e M = L cl 20c2 distribuído como f x = 240y 120. c Para as geometrias utilizadas na resolução do problema, diversos tipos de malha são propostas, como podem ser visto nas Figuras 4. Para que somente os efeitos da distorção sejam considerados, a aproximação adotada para o MEFG deve ser capaz de representar, para uma malha regular, exatamente as soluções analíticas

7 Figura 4: Descrição das malhas utilizadas na resolução do problema do problema. Para isso, a Partição de Unidade (PU) definida pelas funções Lagrangianas de ordem 1 é enriquecida, de maneira que a função de forma seja capaz de representar exatamente polinômios completos do terceiro grau. Tabela 2: Resultados comparativos (solução analítica u y = 8, 046E 03) Malha Ser. 12 nós Lag. 16 nós MEFG local MEFG global NGL u y NGL u y NGL u y NGL u y I 24 8,046E ,046E ,046E ,046E-03 II 40 3,444E ,046E ,052E ,046E-03 III 64 0,585E ,046E ,011E ,046E-03 Os resultados que estão representados na Tabela 2 mostram que a aproximação do problema através do Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG), utilizando as aproximações enriquecidas com funções em coordendas físicas (MEFG global), consegue descrever de forma adequada o comportamento da viga. Assim como no MEF com interpolação Lagrangiana, a simulação através do MEFG não tem seu desempenho comprometido, conseguindo reproduzir exatamente a solução analítica. Conforme foi visto na Tabela 1, os elementos Serendípetos com 12 nós, ao apresentarem distorção angular, deixam de representar exatamente os polinômios completos de grau 3, restrigindo-se apenas aos polinômios lineares. A dimensão do espaço definido através das interpolações Lagrangianas acaba sendo bem superior ao espaço Serendípeto. Assim, a penalização devido à distorção angular não chega a impedir que as aproximações sejam capazes de representar exatamente polinômios completos até terceiro grau. Dessa maneira, pode-se explicar a diferença de resultados obtidos para as duas formas de aproximação do MEF. Na análise via MEFG, foram encontrados dois resultados distintos. Os resultados obtidos com enriquecimento nas coordenadas físicas, para as malhas I, II e III foram exatos. Já a análise com enriquecimento nas coordenadas naturais apresentou resultados satisfatórios apenas para o elemento não distorcido. Isto se deve à penalização da capacidade de representação de polinômios completos de ordem 3, que é induzida pelo mapeamento entre as coordenadas naturais, na qual o enriquecimento é definido, e as coordendas físicas, no qual o problema é resolvido. Ilustra-se, assim, por meio deste exemplo, a importância de se construir o enriquecimento nas coordenadas físicas do problema, caso se pretenda utilizar uma formulação com certa independência da malha.

8 6. CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste trabalho foi feito um estudo da utilização do Método dos Elementos Finitos (MEF) e do Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG) em análise de problemas que apresentam distorção nos elementos. Através da análise numérica do problema proposto, foi possível identificar que o MEFG de enriquecimento global não é penalizado pela distorção dos elementos, assim como o que ocorre no MEF com interpolação Lagrangiana. Por outro lado, do ponto de vista da flexibilidade/implementação do enriquecimento polinomial da solução aproximada, o MEFG apresenta-se vantajoso com relação ao MEF. Isso deve-se ao fato de que o enriquecimento é associado aos nós e não mais aos elementos, contornando problemas de conformidade da aproximação variável ao longo da malha. Ao final, validou-se, através de exemplos numéricos, a implementação do MEFG na plataforma INSANE, além de se realizar comparações entre os dois métodos envolvidos nesse trabalho. Conclui-se, por fim, que através do estudo, implementação e testes numéricos, é possível demonstrar alguns detalhes importantes da formulação do MEFG na análise de problemas que apresentam elementos distorcidos. Assim, elucida-se melhor o problema da distorção da malha e como ele pode interferir na qualidade da aproximação numérica do MEFG. A implementação do MEFG na plataforma INSANE, por sua vez, teve o sucesso planejado, comprovando-se a flexibilidade deste ambiente computacional. Os experimentos numéricos permitiram identificar a influência da distorção da malha e mostrou-se a importância de se fazer o enriquecimento nas coordendas físicas. Agradecimentos Os autores agradecem o apoio da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais (FAPEMIG) e o Conselho Nacional de Desenvolv. Científico e Tecnológico (CNPq). 7. BIBLIOGRAFIA Barros, F. B., Métodos Sem Malha e Métodos dos Elementos Finitos Generalizados em Análise Não-Linear de Estruturas. Tese de doutorado, EESC - USP, São Carlos, SP, Brasil. Duarte, C. A., Babuska, I., & Oden, J., Generalized finite element methods for threedimensional structural mechanics problems. Computers & Structures, vol. 77, n. 2, pp Duarte, C. A. & Oden, J. T., Hp clouds - a meshless method to solve boundary-value problem. Technical report, TICAM, The University of Texas at Austin. Technical Report. Fonseca, F.T., P. R., An object oriented class organization for dynamic geometrically non-linear. CMNE/CILAMCE Lee, N. S. & Bathe, K. J., Effects of element distortions on the performance of isoparametric elements. International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 36, pp Silva, F. F. A., Santos, A. L., Barros, F. B., & Pitangueira, R. L., Detalhes da implementação do método dos elementos finitos generalizados em ambiente de programação orientada a objetos - matriz de rigidez semi-definida positiva. CILAMCE DIREITOS AUTORAIS Os autores são os únicos responsáveis pelo conteúdo impresso incluído no seu trabalho.