ShaMO 20. a < b < c sao cho a b, b c và n = a + b + c. BC, CA, AB sao cho BD = CE = AF và BDF = ĈED = ÂF E. Chứng

Transcrição

1 ShaMO 20 Được soạn bởi Nguyễn Trung Tuân Bài 1. Một số nguyên dương n được gọi là tốt nếu có các số nguyên dương a < b < c sao cho a b, b c và n = a + b + c. a) Chứng minh rằng hầu hết các số nguyên dương là tốt, nghĩa là chỉ có hữu hạn các số nguyên dương không tốt; b) Tính tổng tất cả các số không tốt. Bài 2. Cho tam giác ABC. Biết rằng có các điểm D, E, F trên các cạnh BC, CA, AB sao cho BD = CE = AF và BDF = ĈED = ÂF E. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều. Bài 3. Cho dãy số (x n ) xác định bởi x 1 = 5 và Tìm lim y n với y n = n i=1 x n+1 = x2010 n + 3x n + 16 x 2009 n x n x 2009, n = 1, 2,. i + 7 Bài 4. Cho tam giác ABC. a) Nếu 6S = 2a 2 + bc, tính các góc của tam giác; b) Chứng minh rằng 3a 2 + 3b 2 c 2 4 3S. n 1. Bài 5. Cho n, k là các số nguyên dương thoả mãn n k + 3. Chứng minh rằng các số Cn, k Cn k+1, Cn k+2, Cn k+3 không thể lập thành một cấp số cộng theo thứ tự đó. Bài 6. Hai đường tròn C 1, C 2 cắt nhau tại A, B. CD là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C C 1, D C 2 ) với B gần CD hơn A. CB cắt AD tại E, DB cắt CA tại F, EF cắt AB tại N. K là hình chiếu vuông góc của N trên CD. a) Chứng minh ĈAB = DAK; b) Gọi O là tâm của (ACD) và H là trực tâm của KEF. Chứng minh rằng O, B và H thẳng hàng.

2 ShaMO 21 Được soạn bằng L A TEX bởi Nguyễn Trung Tuân Bài 1. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 = 1 16xyz. Tìm giá trị nhỏ 4 nhất của biểu thức S = x + y + z + 4xyz 1 + 4xy + 4yz + 4zx. Bài 2. Kí hiệu P là tập tất cả các số nguyên tố. Giả sử rằng M là một tập con của P thoả mãn các điều kiện sau a) M có ít nhất ba phần tử; b) Với mỗi tập con thực sự, khác rỗng và hữu hạn A của M, các ước nguyên tố của số p A p 1 cũng thuộc M. Chứng minh rằng M = P. Bài 3. Xét 2002 số hữu tỉ x 1, x 2,, x Biết rằng với mỗi tập con I gồm 7 phần tử của tập {1, 2,, 2002} tồn tại tập con J gồm 11 phần tử của tập {1, 2,, 2002} sao cho 1 i I 7 x i = 1 j J 11 x j. Chứng minh rằng x 1 = x 2 = = x Bài 4. Cho tam giác ABC và các điểm X, Y, Z nằm trong nó sao cho ÂBZ = ẐBX = XBC = B 3, BCX = XCY = Ŷ CA = C 3, ĈAY = Ŷ AZ = ẐAB = A 3. Chứng minh rằng XY = 8R sin A 3 sin B 3 sin C, từ đó suy ra tam giác XY Z là tam giác 3 đều. Bài 5. Cho đường tròn Γ có tâm Z. Hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại P với A, B là các tiếp điểm, điểm C được chọn trên cung nhỏ AB mà khác điểm chính giữa của cung này. Gọi D là giao điểm của AC và P B, E là giao điểm của BC và AP. Chứng minh rằng các tâm của (ACE), (BCD), (P CZ) thẳng hàng. Bài 6. Cho x 1, x 2,, x n ; y 1, y 2,, y n là các số thực dương thỏa mãn i) x 1 y 1 < x 2 y 2 < < x n y n, và ii) x 1 + x x k y 1 + y y k k = 1, n. Chứng minh rằng 1 x x x n 1 y y y n. Áp dụng Bài 6 (hoặc cách khác) giải bài toán sau Bài 7. Cho A = {a 1, a 2,, a n } là tập gồm n số nguyên dương sao cho với mỗi hai tập con B, C rời nhau của A ta có x B x x C x. Chứng minh rằng 1 a a a n < 2.

3 ShaMO 22 Được soạn bằng L A TEX bởi Nguyễn Trung Tuân Bài 1. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = 2(x + y + z). Chứng minh rằng xyz x + y + z + 2. Bài 2. Tam giác ABC thỏa mãn cot 2 A B cot C cot2 2 = 36p2. Chứng minh rằng 49r2 a 13 = b 40 = c 45. Bài 3. Cho ba số thực dương a, b, c. Giải hệ phương trình ax + by = (x y) 2 by + cz = (y z) 2 cz + ax = (z x) 2. Bài 4. Cho x 1 x 2 x n 0 thoả mãn x j 400 và x 2 j 104. Chứng minh rằng x 1 + x Bài 5. Tìm tất cả các số nguyên không âm x, y, z sao cho 12 x + y 4 = 2008 z. Bài 6. Có 1985 người trong một căn phòng. Mỗi người biết nhiều nhất 5 ngôn ngữ. Trong mỗi ba người, có ít nhất hai người cùng biết một ngôn ngữ nào đấy. Chứng minh rằng có một ngôn ngữ mà trong phòng có ít nhất 200 người cùng biết. Bài 7. Các dãy (x n ), (y n ) xác định bởi x 1 = 2, y 1 = 1 và x n+1 = x 2 n + 1, y n+1 = x n y n n 1. a) Chứng minh rằng x n y n < 7 n 1; b) Chứng minh rằng dãy số (x n /y n ) n 1 hội tụ và giới hạn của nó bé hơn 7. Bài 8. Cho tam giác ABC với tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi D là trung điểm của AB, và E là trọng tâm của tam giác ACD. Chứng minh rằng OE vuông góc với CD khi và chỉ khi AB = AC. Bài 9. Cho n 1 số nguyên x 1, x 2,, x n thỏa mãn x x x 2 n + n 3 (2n 1)(x 1 + x x n ) + n 2. Chứng minh rằng a) Các số x 1, x 2,, x n là các số tự nhiên; b) Số x 1 + x x n + n + 1 không phải là số chính phương.

4 ShaMO 23 Được soạn bằng L A TEX bởi Nguyễn Trung Tuân Bài 1. Tính giới hạn lim ( 3 8x3 2x x 2 + 3x + 1). x + Bài 2. Chứng minh rằng với mỗi ba số thực dương a, b và c ta có (b + c a) 2 (c + a b)2 (a + b c)2 + + (b + c) 2 + a2 (c + a) 2 + b2 (a + b) 2 + c Bài 3. Cho ABC với trọng tâm G. Gọi P là một điểm trên đoạn BC. Các điểm Q, R nằm trên các cạnh AC, AB tương ứng sao cho P Q AB và P R AC. Chứng minh rằng khi P thay đổi trên đoạn BC, đường tròn (AQR) luôn đi qua một điểm cố định X thỏa mãn BAG = ĈAX. Bài 4. Cho dãy các số nguyên dương (a n ) xác định bởi [ ] a 2 a 0 = 1, a 1 = 3, a n+2 = 1 + n+1 n 0. (Ở đây [x] là phần nguyên của x.) Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n ta có a n+2 a n a 2 n+1 = 2 n. Bài 5. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho số 2 n+2 (2 n 1) 8 3 n + 1 là một số chính phương. Bài 6. Cho I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Gọi A 1, B 1, C 1 là các điểm bất kì nằm trên các đoạn IA, IB, IC tương ứng. Các đường trung trực của AA 1, BB 1, CC 1 cắt nhau tại A 2, B 2, C 2. Chứng minh rằng tâm của (A 2 B 2 C 2 ) trùng với tâm của (ABC) khi và chỉ khi I là trực tâm của A 1 B 1 C 1. Bài 7. Cho n là một số nguyên dương, a 1 a 2 a n là các số nguyên dương thoả mãn a 1 + a a n = 2n và a n n + 1. Chứng minh rằng nếu n là số chẵn thì tồn tại tập con K của {1, 2,, n} thoả mãn i K a i = n. Chứng minh rằng điều này cũng đúng khi n là số lẻ nếu ta thêm vào giả thiết a n 2. Bài 8. Chứng minh rằng nếu α, β là các số vô tỷ dương sao cho 1 α + 1 = 1 thì hai tập β {[nα] n = 1, 2, } và {[nβ] n = 1, 2, } là một phân hoạch của tập các số nguyên dương. Bài 9. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n ta có n [ )] π n [ )] tan (1 + 3k π = cot (1 3k. 3 3 n n 1 k=1 k=1 a n

5 ShaMO 24 Được soạn bằng L A TEX bởi Nguyễn Trung Tuân Bài 1. Cho trước các số thực dương u và v. a) Chứng minh rằng phương trình 2x 3 + (u + v + 1)x 2 uv = 0 có đúng một nghiệm dương, và hơn nữa, nghiệm này nằm trong khoảng (0; uv). b) Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi nhưng thỏa mãn điều kiện xy +yz +zx = 1. Chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2 + uy 2 + vz 2 bằng 2t, ở đây t là nghiệm dương của phương trình trong phần a). Bài 2. Cho M là tập gồm 1985 số nguyên dương phân biệt, không số nào có ước nguyên tố lớn hơn 26. Chứng minh rằng M chứa một tập con gồm 4 phần tử sao cho tích của chúng là lũy thừa bậc 4 của một số nguyên. Bài 3. AP, AQ, AR và AS là các dây của một đường tròn cho trước sao cho P AQ = QAR = RAS. Chứng minh rằng AR(AP + AR) = AQ(AQ + AS). Bài 4. Cho dãy số (u n ) xác định bởi u 1 = 2011 và u 1 + u u n = n 2 u n n 2. Tính u Bài 5. Chứng minh rằng trong mỗi tam giác ta có OG 2 R(R 2r). Bài 6. Chứng minh rằng với mỗi ba số thực dương a, b và c ta có b + c a + c + a b + a + b c a b + c + b c + a + c a + b Bài 7. Cho a, b là các số nguyên và n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng số b n 1 a(a + b)(a + 2b) (a + (n 1)b) n! là một số nguyên. Bài 8. Hai đường tròn tâm O, O cắt nhau tại A, B sao cho OA O A. Đường thẳng OO cắt các đường tròn tại C, E, D, F sao cho các điểm C, O, E, D, O, F thẳng hàng theo thứ tự đó. BE cắt lại đường tròn tại K và cắt AC ở M. BD cắt lại đường tròn tại L và cắt AF tại N. Chứng minh rằng KE KM LN LD = O E OD. Bài 9. Cho ABC là một tam giác đều và D là một điểm nằm trên cạnh BC. Một đường tròn tiếp xúc với BC tại D, cắt đoạn AB tại M và N, cắt đoạn AC tại P và Q. Chứng minh rằng Bài 10. S Q thỏa mãn đồng thời hai điều kiện BD + AM + AN = CD + AP + AQ. a) 1 2 S; 1 b) Nếu x S thì x + 1 S và x x + 1 S. Chứng minh rằng S chứa tất cả số hữu tỷ trong (0; 1). Bài 11. Cho n > 1 là một số nguyên dương và 1 = d 1 < d 2 < < d k = n là tất cả các ước dương của n. Đặt S n = d 1 d 2 + d 2 d d k 1 d k. Chứng minh rằng S n < n 2 và tìm n để S n n 2. Bài 12. Chứng minh rằng với mỗi ba số thực dương a, b và c ta có ( a b + b c + c a ) 2 (a + b + c) 1 ( 1 a + 1 b + 1 ). c

6 Bài 13. Cho X = {A 1, A 2,, A n } là một tập chứa các tập con gồm ba phần tử của tập {1, 2,, 36} sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời a) A i, A j có giao khác rỗng với mỗi i, j; b) Giao của tất cả các tập A i là tập rỗng. Chứng minh rằng n 100. Có bao nhiêu tập X khi n = 100? [ ] (n 1)! Bài 14. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n ta có số là số chẵn. n(n + 1) Bài 15. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x 2 y + y 2 z + z 2 x. Bài 16. Cho n là một số nguyên dương sao cho có đúng 2011 cặp (x, y) các số nguyên dương thỏa mãn 1 x + 1 y = 1. Chứng minh rằng n là một số chính phương. n Bài 17. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n n và n n Bài 18. Chứng minh rằng cos A+cos B+cos C 1 (3+cos(A B)+cos(B C)+cos(C A)) ABC. 4 Bài 19. Với mỗi số nguyên dương n, gọi d(n) là số ước dương của nó. Tìm các số nguyên dương n sao cho d 3 (n) = 4n. Bài 20. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n có đúng 16 ước dương 1 = d 1 < d 2 < < d 16 = n thoả mãn d 6 = 18 và d 9 d 8 = 17. Bài 21. Chứng minh rằng trong mỗi tam giác nhọn ABC ta có (cos A + cos B) 2 + (cos B + cos C) 2 + (cos C + cos A) 2 3. Bài 22. Tìm tất cả số nguyên k sao cho có số nguyên dương n thoả mãn d(n2 ) d(n) = k. Bài 23. Chứng minh rằng có đúng một dãy số nguyên u 1, u 2, thoả mãn u 1 = 1, u 2 > 1 và u 3 n = u n u n+2 n 1. Bài 24. Cho dãy Fibonacci xác định bởi F (1) = F (2) = 1 và Chứng minh rằng F (n + 2) = F (n + 1) + F (n) n 1. (F (F (1998))) 2 + (F (F (1999))) 2 = F (F (1997)) F (F (2000)). Bài 25. Chứng minh rằng với mỗi hai số nguyên dương m, n thì số (36m + n)(m + 36n) không phải là một luỹ thừa của 2. Bài 26. Chứng minh rằng nếu a, b, c > 0 và x = a + 1 b, y = b + 1 c, z = c + 1 a thì xy + yz + zx 2(x + y + z). Bài 27. Chứng minh rằng trong mỗi tam giác không cân ta có ĜIH > 90. Bài 28. Cho p là một số nguyên tố lẻ và f : {1, 2,, p 1} {1, 2,, p 1} là một song ánh. Chứng minh rằng có i j sao cho p if(i) jf(j). Bài 29. Hai dãy (a n ), (b n ) thỏa mãn a 1 = 1, a 2 = 7, a n+2 = 14a n+1 a n n 1 và b 1 = 0, b 2 = 1, b n+2 = 14b n+1 b n n 1. Chứng minh rằng các số tự nhiên a, b thỏa mãn a 2 48b 2 = 1 khi và chỉ khi có số nguyên dương k sao cho a = a k, b = b k. Bài 30. Với mỗi số nguyên dương n, gọi u n là số hoán vị (a 1, a 2,, a n ) của tập n số nguyên dương đầu tiên sao cho ka k là số chính phương với mỗi 1 k n. Tìm số nguyên dương n bé nhất để 2010 u n. Bài 31. Chứng minh rằng nếu m, n, r là các số nguyên dương thỏa mãn 1 + m + n 3 = (2 + 3) 2r 1 thì m là một số chính phương. 2

7 ShaMO 25 Bài luyện cho các học sinh của tôi Người soạn: Nguyễn Trung Tuân A1. Cho a 1, a 2,, a n là n số thực dương. Đặt M = max 1 i n a i, m = min 1 i n a i. Chứng minh rằng m 2n M a k M + m ( n 1 + m ) a k M 1 k n 1 k n và n 2 1 k n a k 1 k n 1 2 (m + M)2 n a k 4mM. A2. Với mỗi số nguyên dương k, ta xét dãy (a n ) n 1 xác định bởi a n = k + k + + k (Biểu thức trên có n dấu căn.) Chứng minh rằng dãy số này hội tụ với mỗi số nguyên dương k. Tìm k để giới hạn của dãy là số nguyên. Chứng minh rằng khi k lẻ thì giới hạn của dãy là số vô tỷ. A3. Cho tam giác vuông ABC(Â = 900 ) và một điểm D trên cạnh huyền BC. Gọi E là điểm đối xứng với D qua AB và G là giao điểm của AB với DE. Từ giao điểm H của AB và CE, hạ đoạn HI vuông góc với BC tại I. Các tia CH và IG cắt nhau tại K. Chứng minh rằng tia KC là tia phân giác của ÎKA. A4. Cho M là tập các điểm trong mặt phẳng có tọa độ (x; y) với x {1, 2,, 12} và y {1, 2,, 13}. Chứng minh rằng mỗi tập con gồm 49 phần tử của M chứa bốn đỉnh của một hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục tọa độ. Cho ví dụ một tập con gồm 48 phần tử không có tính chất này của M. B1. Dãy số a 0, a 1, xác định bởi a) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy; b) Tìm tất cả n để a n = n. a 0 = 0, a n+1 = [ 3 a n + n] 3 n 0. (Ở đây [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x.) B2. Giải hệ sau trên R x 3 + y = 3x + 4 2y 3 + z = 6y + 6 3z 3 + x = 9z + 8. B3. Tìm tất cả các số thực x [0; 2π) sao cho tất cả số hạng của dãy đều là các số nguyên. a n = 1, n = 1, 2, cos nx

8 ShaMO 26 Bài luyện cho các học sinh của tôi Người soạn: Nguyễn Trung Tuân A1. Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng a 3 a 3 + (b + c) + b 3 3 b 3 + (c + a) + c 3 3 c 3 + (a + b) 1. 3 A2. Tìm tất cả các số thực a, b sao cho lim ( 3 1 n 3 an b) = 0. n + A3. Cho tam giác ABC có đường cao, đường phân giác trong, đường trung tuyến chia góc Ĉ thành bốn phần bằng nhau. Tính các góc của tam giác. A4. Tìm tất cả các cặp (m, n) các số nguyên dương thỏa mãn m! + n! = m n. B1. Cho tứ giác lồi ABCD có AC là phân giác của DCB. Gọi E là giao điểm của đoạn AB với (ACD), F là giao điểm của đoạn AD với (ABC). Chứng minh rằng AC, DE, BF đồng quy. B2. Cho n là một số nguyên dương. Có 2n + 2 điểm trong mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào trong chúng thẳng hàng. Một đường thẳng l được gọi là tốt nếu nó đi qua hai điểm trong các điểm đã cho và mỗi bên của nó có đúng n điểm trong 2n điểm còn lại. Tìm m lớn nhất để luôn có ít nhất m đường thẳng tốt. B3. Cho dãy (x n ) xác định như sau x 1 = 1 2, x k+1 = x x x 2 k Chứng minh rằng x 4 k + 4 xk 1 Q k 2. x k+1 x k k 1.

9 ShaMO 27 Bài luyện cho các học sinh của tôi Người soạn: Nguyễn Trung Tuân A1. Tìm tất cả các số nguyên dương x, y sao cho x + y + 1 2xy và x + y 1 x 2 + y 2 1. A2. Cho tứ giác nội tiếp ABCD với O 1, O 2 là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác ABC, ABD tương ứng. Đường thẳng O 1 O 2 cắt đoạn BC, AD tại E, F tương ứng. a) Chứng minh rằng có đường tròn Γ tiếp xúc với các đường thẳng BC, AD tại E, F tương ứng; b) Chứng minh rằng Γ cũng tiếp xúc với (ABCD). A3. Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng 3 1 a 2 bc b 2 ca c 2 ab B1. ABC nhọn với AB < AC, AD là đường cao của nó. P là một điểm trên đoạn AD. Vẽ P E AC, P F AB với E AC, F AB. Gọi O 1 là tâm của (BDF ), O 2 là tâm của (CDE). Chứng minh rằng O 1, O 2, E, F đồng viên khi và chỉ khi P là trực tâm của ABC. B2. Tìm tất cả các hàm f : S S sao cho f(x) + f(y) + 2xyf(xy) = f(xy) f(x + y) x, y S. Ở đây S là tập tất cả các số hữu tỷ dương. B3. Tìm tất cả các bộ ba (a, b, c) các số nguyên dương sao cho abc + 1 a 2 + b 2. C1. ABC nhọn với AB > BC, AC > BC. Gọi O, H tương ứng là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác ABC. Giả sử (AHC) giao với đường thẳng AB tại hai điểm khác nhau A, M; (AHB) giao với đường thẳng AC tại hai điểm khác nhau A, N. Chứng minh rằng tâm của (MNH) nằm trên đường thẳng OH. C2. Cho (a n ) là dãy thỏa mãn a n+1 = a 2 n + (a n 1) 2 n 0. Tìm a 0 Q để có bốn chỉ số phân biệt p, q, r, s sao cho a p a q = a r a s. C3. Trong mặt phẳng cho n điểm phân biệt A 1, A 2,, A n, và n số thực khác không λ 1, λ 2,, λ n sao cho A i A 2 1 j = λ i + λ j i j. Chứng minh rằng n 4 và nếu n = 4 thì = 0. λ 1 λ 2 λ 3 λ 4

10 ShaMO 28 Bài luyện cho các học sinh của tôi Người soạn: Nguyễn Trung Tuân A1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 + (a + b + c) 2 4. Chứng minh rằng A2. Cho dãy (a n ) n 0 xác định bởi Chứng minh rằng 45 < a 1000 < 45, 1. ab + 1 (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a) 3. 2 a 0 = 5, a n = a n a n 1 n 1. A3. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Giả sử AB CD = E, BC DA = F, AC BD = G. Chứng minh rằng a) P E/(O) + P F/(O) = EF 2 ; b) O là trực tâm của EF G. A4. Cho m, n là các số nguyên dương. Tìm giá trị bé nhất của 3 5 m n. B1. Một bảng ô vuông cỡ được lát bởi các miếng hình chữ L, T, Z dưới đây Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của số các miếng hình chữ L. B2. Cho tứ giác nội tiếp ABCD, các đường chéo AC và BD cắt nhau tại E và các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại F. Các trung điểm của AB và CD là G và H, tương ứng. Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến của EGH. B3. Cho k là một số nguyên dương. Xét dãy (a n ) định bởi a 1 = k + 1, a n+1 = a 2 n ka n + k n 1. Chứng minh rằng gcd(a m, a n ) = 1 m, n N, m n.

11 ShaMO 29 Bài luyện cho các học sinh của tôi Người soạn: Nguyễn Trung Tuân A1. Cho ABC với các điểm M, N trên các cạnh AB, BC tương ứng sao cho AM + AN = CM + CN. Các đoạn CM, AN cắt nhau tại O. Chứng minh rằng AO + AB = CO + CB. A2. Xác định tất cả các hàm f, g : R R sao cho với mỗi x, y R, f(x)f(y) = g(x)g(y) + g(x) + g(y). A3. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho phương trình có nghiệm nguyên dương. x 3 + y 3 + z 3 = n x 2 y 2 z 2 B1. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = x + y + z. Chứng minh rằng 1 x 2 + y y 2 + z z 2 + x B2. Cho f là một đa thức monic có hệ số nguyên. Biết rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình f(x) = 2 n có ít nhất một nghiệm nguyên dương. Chứng minh rằng deg f = 1. B3. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho ta có thể lát nền nhà cỡ n n bằng các viên gạch cỡ 2 2 và 3 3. C1. Dãy (a n ) n 1 xác định bởi a 1 = 0, a n+1 = a n + 4n + 3 n 0. Tính giới hạn an + a 4n + a 4 lim 2 n + + a 4 10 n n + an + a 2n + a 2 2 n + +. a 2 10 n C2. Cho ω là đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Hai tiếp tuyến của ω qua B và C cắt nhau tại P, AP và BC cắt nhau tại D. Các điểm E, F nằm trên AC và AB sao cho DE BA và DF CA. 1/. Chứng minh rằng F, B, C, E đồng viên. 2/. Ký hiệu A 1 là tâm của đường tròn qua F, B, C, E. B 1, C 1 được xác định tương tự. Chứng minh rằng AA 1, BB 1, CC 1 đồng quy. C3. Cho trước số nguyên a. Tìm tất cả các hàm f : Z [a; + ) R sao cho f(x + y) = f(x)f(y) với mỗi số hai nguyên x, y thỏa mãn x a, y a và x + y a.