MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC.

Transcrição

1 TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN LÊ KHIẾT MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC. TÁC GIẢ: NGUYỄN ANH KHOA LỚP : 0 TOÁN QUẢNG NGÃI, THÁNG NĂM 009

2 NGUYỄN ANH KHOA A.Lời giới thiệu: Cá ất đẳng thứ thuần nhất ó điều kiện và không ó điều kiện là hai ài toán hoàn toàn khá nhau như ẩn sau trong đó húng lại ó mối quan hệ mật thiết với nhau. Chính sự liên quan mật thiết này đã làm nảy sinh một kĩ thuật mới hứng minh ất đẳng thứ đó là kĩ thuật huẩn hoá. Trong ài viết này húng ta sẽ khám phá kĩ thuật này ó ý nghĩa như thế nào nhé! B. Kiến thứ ơ ản:. Bất đẳng thứ thuần nhất: Hàm số f( x; x;... xn) ủa á iến x; x;... x n đượ gọi là hàm thuần nhất ậ α nếu tồn tại số thự t α thoả mãn: f( tx; tx;... txn) = t. f( x; x;... xn) Từ đó ta ó định nghĩa ất đẳng thứ thuần nhất như sau: * Bất đẳng thứ thuần nhất là ất đẳng thứ ó dạng: f( x; x;... xn) 0 trong đó f( x; x;... x n) là hàm thuần nhất ậ α. Ví dụ: Bất đẳng thứ AM-GM là ất đẳng thứ thuần nhất ậ. tx + tx tx nn tx. tx... tx x + x x nn x. x... x n n n n Từ đây trở đi trong ài viết này khi nói đến ất đẳng thứ thuần nhất ta không ần quan tâm đến ậ α.. Một số phương pháp, kĩ thuật hứng minh ất đẳng thứ: Trong phần này ta không xét hết tất ả á phương pháp, kĩ thuật hứng minh ất đẳng thứ từ trướ tới nay mà hỉ xét một số phương pháp sẽ đượ áp dụng trong ài viết này... Phương pháp dồn iến: Phương pháp dồn iến tư tưởng hính là làm giảm số iến đã ó thông qua á đại lượng trung ình, đưa ất đẳng thứ ần hứng minh về dạng đơn giản hơn ó thể hứng minh trự tiếp ằng áh khảo sát hàm một iến. Định lí dồn iến: Giả sử f( x; x;... xn) là một hàm số liên tụ và đối xứng với tất ả á iến xá định trên một miền liên thong thoả mãn điều kiện sau: x+ x x+ x f( x, x,... xn) f ; ; x;... xn () x+ x xn Khi đó ất đẳng thứ sau sẽ thoả mãn f( x; x;... xn) f( xx ; ;... x) trong đó x=. n Điều kiện () ó thể iến đổi thành một số dạng khá như: f( x, x,... x ) f( xx, xx, x,... x ) n n x + x x + x f( x, x,... xn) f,, x,... xn Tuy nhiên trong ài viết này ta hỉ hú ý đến phương pháp dồn iến với á ất đẳng thứ iến nên ta sẽ xét đến trường hợp ụ thể như sau: Giả sử ta ần hứng minh: f( x, x, x) 0 ta ó thể hứng minh: f( x, x, xn) f(,, ttx) Trong đó giá trị ủa t ó thể là :

3 x+ x + Trung ình ộng: t = + Trung ình nhân: t = xx x + x + Trung ình ình phương: t = Sau đó ta hỉ ần hứng minh f(,, ttx) 0 là ài toán đượ giải quyết. Chú ý khi hứng minh ất đẳng thứ ó điều kiện, ta thự hiện phép dồn iến thì phép dồn iến đó phải đảm ảo thoả mãn điều kiện ủa á iến; ví dụ như khi ho điều kiện là tổng thì ta hỉ dồn iến ằng trung ình ộng đượ mà thôi. Phương pháp dồn iến mà dựa vào trung ình ộng; trung ình nhân; trung ình ình phương là những dạng đơn giản nhất ngoài ra ta òn ó một số phép dồn iến như sau: + Dồn iến toàn miền : sử dụng khi ất đẳng thứ ần hứng minh ó đại lượng hênh lệh ậ ủa á đại lượng xấp xỉ 0 ( x y),( y z),( z x) : f( xyz,, ) f( x z, y z,0) + Dồn iến về iên: sử dụng khi đẳng thứ xảy ra tại á giá trị iên. f( xyz,, ) f(0, st,) trong đó s,t tuỳ thuộ vào mỗi ài toán + Dồn iến không xá định: (UMV) Nếu f là một hàm liên tụ đối xứng xá định trên tập U x + x x + x i j i j thoả điều kiện: f(..., xi,..., xj,...) min f...,,...,,... ; f (...,0,..., xi + xj,... ) Khi đó với mọi ộ x, x,... x n U n thì (,,... ) min{ } f x x xn C t, Nghĩa là GTNN ủa f( x t= 0, x,... x n ) sẽ đạt đượ khi và hỉ khi trong á số x, x,... x n ó t số ằng 0, á số òn lại ằng nhau... Bất đẳng thứ Shur và kĩ thuật đổi iến P,Q,R: a. Bất đẳng thứ Shur: Với mọi số thự không âm ak,,, ta ó: k k k a ( a )( a ) + ( )( a) + ( a)( ) 0. Nếu k =, thì ta ó: aa ( )( a ) + ( )( a) + ( a)( ) 0() () òn đượ xuất hiện ở á dạng sau:.( + a )( + a)( a+ ) a.( a+ + ) + 9a 4( a+ + )( a+ + a). a a a( a+ ) + ( + ) + a( + a) Nếu k =, thì ta ó: a ( a )( a ) + ( )( a) + ( a)( ) 0() () òn đượ xuất hiện ở dạng sau: a a( a+ + ) a ( + ) + ( + a) + ( a+ ) * Chú ý: Bất đẳng thứ Shur ậ đúng với mọi số thự a.,,. Bất đẳng thứ Shur suy rộng:(vorniu-shur). Với á số thự dương axyz,,,,, thoả mãn ( a,, );( xyz,, ) là á ộ đơn điệu. Khi đó ta ó: xa ( )( a ) + y ( )( a) + z ( a)( ) 0 Việ hứng minh ất đẳng thứ Vorniu-Shur không khá gì áh hứng minh ất đẳng thứ Shur nhưng á áp dụng ủa nó lại đa dạng và phong phú hơn ất đẳng thứ Shur. Sau đây là một ất đẳng thứ mạnh hơn ất đẳng thứ Shur và ông ụ hứng minh ủa nó là phải dùng tới phương pháp phân tíh ình phương S.O.S: (ài toán sẽ đượ xét ở phần sau). a a a ( a + ) + ( + ) + a ( + a )

4 . Kĩ thuật đổi iến P,Q,R: Định lí: Mọi đa thứ đối xứng Fa (,, ) đều ó thể iểu diễn dưới dạng á đa thứ đối xứng Viete. Nghĩa là ó thể iểu diễn qua á đại lượng a+ + a, + + a, a. Từ đó ta ó ý tưởng sau: Khi hứng minh một ất đẳng thứ đối xứng ta ó thể đổi iến lại như sau: Đặt p= a+ + q ; = a+ + a; r = a. Khi đó ất đẳng thứ Shur ậ 0,, đượ iểu diễn lại như sau: Với k = 0 thì pq 9r 0. (i) Với k = thì () p 4pq 9r 0 + (ii) 4 Với k = thì () p 5pq+ 4q + 6pr 0(iii). Trong thự hành ta thường sử dụng một số kết quả phân tíh như sau:. a( a+ ) + ( + ) + a( + a) = pq r.( a+ )( + )( + a) = pq r a a a a p q.( + )( + ) + ( + )( + ) + ( + )( + ) = + a a a + a = pq q pr 4. ( ) ( ) ( ) a + + = p q 5. a + + = p pq+ r 6. a + + = p pq+ q + pr a + + a = q pr 9. a + + a = q pqr+ r a + + a = q 4pq r+ pr + 4qr Điều quan trọng mà ta rút ra đượ đó là (i);(ii);(iii) ta suy ra: pq r 9 p(4 q p ) r max 0, 4 (4 q p )( p q) r max 0, 6 p Đồng thời trong việ hứng minh ta ũng thường sử dụng một số ất đẳng thứ ràng uộ giữa iến p,q,r : p q p q 7r pr p r pq pq+ pr 4q.. Look at the end point: Đây hính là kĩ thuật xét phần tử iên, trong ài viết này ta sẽ sử dụng một số định lí sau: Định lí : Nếu f( x ) là hàm ậ nhất theo x thì nếu f( a) 0; f( ) 0 khi đó f( x) 0 với mọi [ a, ] x.

5 Định lí : Nếu ( ) [ a, ] x. Định lí : Nếu ( ) Định lí 4: Nếu ( ) f x là hàm ậ nhất theo x thì : min { f( a); f( ) } f( x) max { f( a); f( ) } với mọi f x là một hàm số lồi dưới trên khoảng [ a, ] thì f( x) max { f( a), f( ) }. f x là một hàm số lõm dưới trên khoảng [ a, ] thì f( x) min { f( a), f( ) }... Phương pháp ân ằng hệ số:..4 Kĩ thuật họn điểm rơi đối với AM-GM:..5 Phương pháp phản hứng: Đây là một trong những ý tưởng khá hay trong việ hứng minh ất đẳng thứ ũng như sáng tạo ất đẳng thứ. Phương pháp này lấy ý tưởng từ ài toán sau: Bài toán: Cho hai hàm F( x, x,... xn); Gx (, x,... x n) thuần nhất ậ α > 0. Ta xét mệnh đề sau: Nếu F( x, x,... xn) = k thì Gx (, x,... xn) m(*) ( km>, 0) + Nếu F; G là hai hàm tăng đối với x, x,... x n. Khi đó: (*) Nếu Gx (, x,... xn) = m thì F( x, x,... xn) k + Nếu F là hàm tăng; G là hàm giảm đối với x, x,... x n. Khi đó: (*) Nếu Gx (, x,... xn) = m thì F( x, x,... xn) k Bạn đọ tự hứng minh ài toán này và nên ghi nhớ kết quả để sau này tiện sử dụng. C. Kĩ thuật huẩn hoá ất đẳng thứ thuần nhất đối xứng: Người ta sử dụng ý tưởng huẩn hoá là như sau: Giả sử ta ần hứng minh ất đẳng thứ thuần nhất f( x, x,... xn) gx (, x,... xn) trong đó f và g là hai hàm thuần nhất ùng ậ. do tính hất ủa hàm thuần nhất ta ó thể huyển ất đẳng thứ trên về việ hứng minh ất đẳng thứ f( x, x,... xn) a với mọi x, x,... x n thoả mãn gx (, x,... xn) = a. Lợi íh ủa việ huẩn hoá là ta ó thể làm đơn giản á iểu thứ ủa ất đẳng thứ ần hứng minh, tận dụng đượ một số tính hất đặ iệt ủa hằng số. Bạn đọ ó thể hiểu kĩ thuật huẩn hoá thông qua ài toán sau. a+ + a ( a+ )( + )( + a) Prolem: (STBĐT) CMR với a,, không âm thì () 8 Chắ hẳn á ạn điều nhận ra rằng đây là ài toán từ sáh Sáng tạo ất đẳng thứ ủa anh Phạm Kim Hùng ũng trong phần anh Hùng giới thiệu kĩ thuật huẩn hoá. Vì thế tôi sẽ không đưa ra lời giải mà hỉ quan tâm tới áh thứ huẩn hoá, vì sao lại huẩn hoá đượ. Hiển nhiên á ạn điều dễ dàng nhận ra ất đẳng thứ ần hứng minh là thuần nhất. ' a ' ' Theo sáh, anh Hùng huẩn hoá a+ + a =. Khi ta lấy a = ; = ; = ta ần họn t sao ho t t t ' ' ' ' ' ' a+ + a ' ' ' a + + a = lú đó ta tìm đượ t =. Bât đẳng thứ đúng với a,, nên nó sẽ ' ' ' đúng với a,, sau khi nhân a,, với t. Như vậy việ tìm số t là xong ( tất nhiên á ướ trên ta hỉ làm trong nháp không ần ghi vào ài làm).bây giờ ta oi như hưa iết số t, ta sẽ tạo điều kiện a,, như sau

6 ( a+ )( + )( + a) ( a+ + a) : 8 7 ( a+ )( + )( + a) a+ + a 64. a a 8 a+ + a a+ + a a+ + a a+ + a a+ + a a+ + a a Đặt x= ; y = ; z = khi đó ta ó điều kiện xy+ yz+ xz = và a+ + a a+ + a a+ + a ất đẳng thứ ần hứng minh trở thành : ( x+ y )( y+ z )( x+ z ) 8 Có lẽ tới đây á ạn đã hiểu đượ vì sao ta lại huẩn hoá đượ như vậy. Nhưng để tăng thêm niềm tin ta thử huẩn hoá ài toán trên theo một áh khá thử xem. Chẳng hạn huẩn hoá a+ + = ' a ' ' ' ' ' Ta đặt a = ; = ; = ta ần họn t sao ho a + + =, lú đó ta tìmđượ t = a+ +. t t t Bây giờ ta xem như hưa iết số t, ta sẽ tạo điều kiện a,, như sau: () a+ + a ( a+ )( + )( + a).. 8 ( a+ + ) ( a+ + ) a a a+ + + a a+ + a+ + a+ + a+ + a+ + a+ + 8 a+ + a+ + a+ + a Đặt x= ; y = ; z = khi đó ta ó điều kiện x+ y+ z = và ất đẳng thứ ần a+ + a+ + a+ + hứng minh trở thành: xy + yz + xz ( x + y )( y + z )( x + z ) 8 Để hiểu sau hơn ạn đọ ó thể tự mình huẩn hoá ài toán trên theo a = hoặ ( a+ )( + )( + a) = 8. Ghi hú: ất đẳng thứ trên òn ó một áh hứng minh khá hay như sau: Sử dụng hai ất đẳng thứ phụ sau: ( a+ )( + )( + a) ( a+ + )( a+ + a) 8 9 ( a+ + ) ( a+ + a) Khi đó ta ó: ( a+ )( + )( + a) ( a+ + )( a+ + a) ( a+ + a)( a+ + a a+ + a =

7 Cáh giải này đượ GV Hoàng Đứ Nguyên-khối THT huyên ĐHSP Hà Nội đưa ra trong huyên mụ ạn đọ tìm tòi trong áo Toán ho và tuổi trẻ với tên Ứng dụng ủa một đẳng thứ Như vậy ta ó thể thấy đượ một ất đẳng thứ một khi đã thuần nhất thì ó thể đượ huẩn hoá ằng nhiều áh khá nhau. Chuẩn hoá là một kĩ thuật ơ ản nhưng kĩ thuật này lại đòi hỏi những kinh nghiệm và độ tinh tế nhất định. Đây ũng hính là điều độ đáo và khó khăn nhât ủa kĩ thuật này, vì huẩn hoá một áh hợp lí thì ta mới ó lời giải ài toán đơn giản nhất. Bây giờ húng ta sẽ xem thử kĩ thuật huẩn hoá ó sứ mạnh như thế nào trong thế giới ất đẳng thứ. Bắt đầu từ đây trở đi trong mỗi ài toán ta sẽ không giải thíh rõ ràng áh huẩn hoá nữa mà điểm này sẽ dành ho ạn đọ. D. Kĩ thuật huẩn hoá và ứng dụng: Trong phần ài tập tôi sẽ ố gắng ghi rõ nguồn gố xuất xứ ủa ài toán từ đâu ra. Tuy nhiên do ó một số sự hạn hế nên ó một số ài toán húng tôi không ghi rõ nguồn gố xuất xứ mong ạn đọ thông ảm. Prolem : ( England-999) Cho xyz,, không âm. Chứng minh rằng: ( x+ y+ z) + xyz ( x+ y+ z)( xy+ yz+ xz) 9 7 Bất đẳng thứ đã ho là thuần nhất nên ta huẩn hoá x+ y+ z =, khi đó ất đẳng thứ ần hứng minh trở thành: + 9a 7( a+ + a).() Do tính đối xứng ủa ất đẳng thứ ần hứng minh nên ta hoàn toàn ó thể giả sử x max { xyz,, } Ta xét f( x) = (7y+ 7z 9 yz) x+ 7yz với x,. Sử dụng Look at the end point (định lí ) ta ó: 7( y+ z) + yz 6 4(9yz ) y z + f = = 0 vì yz = = () 9 f = 7( y+ z) yz = < 0 vì x= y = z = 0.() ( ) Từ ()&() suy ra f( x) 0 ất đẳng thứ đã ho đúng. Đẳng thứ xảy ra x= y = z. Ta xét tiếp một ài toán tương tự sau: Prolem : ( Sưu tầm). Cho xyz,, không âm. Chứng minh rằng: 9 xyz+ ( x+ y+ z) 4( xy+ yz+ xz)( x+ y+ z) =. Bất đẳng thứ đã ho thuần nhất nên ta huẩn hoá x+ y+ z =. Khi đó ất đẳng thứ ần hứng minh trở thành: + 9xyz 4( xy+ yz+ xz). Do ất đẳng thứ ó tính đối xứng nên ta giả sử x max { xyz,, } =.

8 Xét f( x) = (4y+ 4z 9 yz) x+ 4yz với x,. Sử dụng Look at the end point (định lí) ta ó: 4( y z) yz f + + y z + = = yz 0 vì yz = =.() 9 9 f() = 4( y+ z) 5yz = < 0 vì x= y = z = 0.() Từ ()&() suy ra: f( x) 0 ất đẳng thứ đã ho đúng. Đẳng thứ xảy ra x= y = z. Comment : Qua hai ài toán trên hắ hẳn ạn đọ ũng đã thấy đượ sự hữu íh ủa việ huẩn hoá. Việ huẩn hoá không những làm ho ài toán nhìn đon giản hơn mà nó òn định hướng lời giải ho húng ta một áh khá rõ ràng. Quả thật á ài toán từ nay trở về sau trong ài viết này nếu ta không làm một ông việ là huẩn hoá thì rất khó để ho một lời giải hay, đẹp trong từng ài toán đượ. Chú ý: Cá ài toán trên điều ó thể hứng minh một áh trự tiếp, ằng áh khai triển hai vế rút gọn sau đó sử dụng thêm BĐT Shur. Bằng phương pháp tương tự ạn đọ tự giải hai ài toán sau: Prolem : (IMO-984) Cho xyz,, không âm. Chứng minh rằng: 7( )( ) 7( ) 54 x+ y+ z xy+ yz+ xz x+ y+ z + xyz Prolem 4: ( Sưu tầm) Cho xyz,, không âm. Chứng minh rằng: ( x+ y+ z) 9( x + y + z ) + 7xyz 9( x+ y+ z). Gợi ý: Chuẩn hoá x+ y+ z =. BĐT ở VT xảy ra tại iên. BĐT ở VP xảy ra tại tâm. Sau đây ta xét tiếp một lớp ài toán ó mứ độ khó khăn. Prolem 5: (Maedonia 999) Cho akhông,, âm. Chứng minh rằng: a a a a a ( + + ) + ( + + ) 4 ( + + ) Bất đẳng thứ đã ho thuần nhất và đồng thời với mong muốn iểu thứ trong ăn mất đi ta huẩn hoá a + + =. Khi đó ất đẳng thứ ần hứng minh trở thành: a( a+ + ) + 4. a a () a Tới đây nếu giải theo áh thông thường ta sẽ thu đượ hai ất đẳng thứ trái dấu đó là:

9 a+ + a Vì thế ta phải tìm áh khá để giải quyết (). Phương pháp tối ưu lú này là sử dụng kĩ thuật họn điểm rơi với ất đẳng thứ AM-GM. Ta sẽ tìm áh táh a+ + để khi sử dụng ất đẳng thứ AM-GM dấu ằng sẽ xảy ra, đưa tham số α vào ta ó: αa+ α+ α+ + ( α)( a+ + ) a Sử dụng BĐT AM-GM dấu ằng xảy ra khi α a = nhưng do tính đối xứng ủa ài toán nên ta dự a đoán dấu ằng xảy ra khi á iến ằng nhau, nghĩa là lú đó ta ó: α = = 9. Như vậy ta sẽ giải quyết 4 a () như sau: 4 () 9a ( a ) 4 9. a. 8 ( a ) 8 4 a + + a + + = = Vậy ất đẳng thứ đã ho đúng. Đẳng thứ xảy ra a = =. Comment : Bất đẳng thứ AM-GM là một ất đẳng thứ thuần nhất nên nó rất hữu hiệu trong việ hứng minh á ất đẳng thứ thuần nhất khá. Tuy nhiên điều khó khăn nhất ủa nó là điều kiện xảy ra dấu ằng rất nghiêm ngặt, vì thế việ áp dụng trự tiếp một áh máy mó rất dễ dẫn đến sai lầm. Bất đẳng thứ AM-GM ó khá nhiều kĩ thuật sử dụng nhưng ạn đọ nên iết kĩ thuật hính: + Kĩ thuật ân ằng hệ số: sử dụng để giải á ất đẳng thứ không đối xứng.(sẽ đượ giới thiệu ở phần sau) + Kĩ thuật họn điểm rơi-trọng số: sử dụng để giải á ất đẳng thứ đối xứng khi ta nhận thấy đượ dấu ằng xảy ra ủa ài toán. + Kĩ thuật AM-GM ngượ dấu: sử dụng để giải á ất đẳng thứ hoán vị. Sử dụng kĩ thuật trên ta giải á ài toán sau: Prolem 6: (Crux 946) Cho adương.,, Chứng minh rằng: ( a+ + a)( a + + ) + a( a+ + ) 4a ( a + + ) Bất đẳng thứ đã ho là thuần nhất và ũng với mong muốn làm mất iểu thứ trong ăn nên ta huẩn hoá a + + =. Khi đó ất đẳng thứ ần hứng minh trở thành: a+ + a+ a( a+ + ) 4. a a () a Sử dụng kĩ thuật họn điểm rơi ta ó: 6 () a ( a+ + ) 6. a. ( a + + ) = 6 = 4 a a Vậy ất đẳng thứ đã đượ hứng minh. Đẳng thứ xảy ra a = =.

10 Prolem 7: (Sưu tầm) Cho a,, dương. Chứng minh rằng: ( a+ + a)( a + + ) a ( a + + ) + a( a+ + ) Bất đẳng thứ đã ho thuần nhất ta huẩn hoá thành: a+ + a. a+ a( a+ + ) a + + =. Khi đó ất đẳng thứ ần hứng minh trở + + ( a+ + ) () a Sử dụng kĩ thuật họn điểm rơi ta ó: () a+ + 4( a+ + ) 6. a. 4 ( a + + ) = 6 4 = a a Vậy ất đẳng thứ đã ho đúng. Đẳng thứ xảy ra a = =. Bạn đọ tự luyện á ài sau. Prolem 8: (Sưu tầm) Cho a,, dương. Chứng minh rằng: ( ) ( a+ + a)( a + + ) + a( a+ + ) 5a a + + Prolem 9: (Sưu tầm) Cho a,, dương. Chứng minh rằng: ( ) ( a+ + a)( a + + ) + 4 a( a+ + ) a a + + Prolem 0: (Sưu tầm) Cho a,, dương; m,n dương và n m. Chứng minh rằng: ( ) ma( a+ + ) + na ( + + a)( a + + ) ( m+ na ) a + + Hướng dẫn: NX: Đây là ài toán tổng quát ủa á ài toán trên. Sau khi huẩn hoá a + + = ta sẽ ó đượ ất đẳng thứ sau: ma ( + + ) + n + + ( m+ n) (*) a Ngoài áh sử dụng kĩ thuật họn điểm rơi, ta ó thể sử dụng áh giải sau: Đặt X = + + ; Y = a + + a

11 m m Gọi VT (*) là T ta ó: T ( Y Y X) = n X Dễ dàng hứng minh: X ; XY 7. Khi đó : m m 9m m T. XY + n. + n = ( m+ n) Tiếp theo đây ta sẽ xét những ài toán vừa áp dụng kĩ thuật huẩn hoá vừa áp dụng phương pháp ân ằng hệ số. Prolem : (Sưu tầm) Cho akhông,, âm. Chứng minh rằng: 89( a ) 64( a+ + ) Rõ ràng đối với ài toán trên nếu ta khai triển hai vế dùng phương pháp iến đổi tương đương thì dẫn tới lời giải quá dài hoặ không ra. Nếu để ý ta thấy ất đẳng thứ đã ho là thuần nhất nên nó định hướng ho ta nghĩ tới kĩ thuật huẩn hoá ất đẳng thứ. Nếu a+ + = 0 thì ất đẳng thứ hiển nhiên đúng. Nếu a+ + > 0 ta huẩn hoá a+ + =. Khi đó ất đẳng thứ ần hứng minh trở thành: a Do vai trò a, như nhau nên ta đưa vào đây á tham số αβ: ; 64 ( ) ( ) ( ) a = a + α + α β + β + + α + α 4α β Áp dụng BĐT AM-GM trong từng dấu ngoặ ta ó: a aα + β + aα 4α β a= = α β Đẳng thứ xảy ra = 8α + β = 4() 4 a + + = Đồng thời với ý muốn làm xuất hiện a+ + = nên ta phải ó: 8 4 Từ ()&() suy ra α = ; β = α = β α = β () Do đó: a Vậy ất đẳng thứ đã ho đã đượ hứng minh. Đẳng thứ xảy ra a = = 8 Cáh khá: Ta dùng đạo hàm dồn iến. Do tính đối xứng ủa iến a, nên nó định hướng ho ta đánh giá qua một ất đẳng thứ trung gian quen thuộ để từ đó ta xét theo ẩn : Ta ó: a ( a+ ) + ( ta dễ dàng hứng minh BĐT này ằng phương pháp iến đổi tương đương) 4 ( ) a a = 4 4

12 Xét [ ] ' ( ) ( ) f( ) = 0; f ( ) = f ( ) = 0 =. 7 ' Lập ảng iến thiên ủa hàm số f( ) trên đoạn [ 0; ] ta thấy Vậy a Đẳng thứ xảy ra a = = Prolem : (Sưu tầm) Cho a,, dương.tìm GTNN : 0a A= a+ + a 64 f( ). 89 Soluiton: Biểu thứ A ó tính thuần nhất nên ta huẩn hoá a+ + a = (). Bài toán qui về tìm GTNN ủa A= 0a với a,, thoả điều kiện (). a + 4a Ta ó: 8a + 4a Cộng lại ta suy ra 0a ( a+ + a) = 4. Đẳng thứ xảy ra 4a = 4=. Prolem : (ài toán tổng quát). Cho ak,,, dương. Tìm GTNN ủa: ka ( + ) + A= a+ + a ( k ho trướ). Bất đẳng thứ đã ho thuần nhất nên ta huẩn hoá a+ + a =. Bài toán qui về tìm GTNN ủa A= ka ( + ) + với a,, thoả điều kiện trên. Ta táh k l ( k l) ( 0 l k) = + <. Áp dụng ất đẳng thứ AM-GM ta ó: la + l la k la + k la k l + k l ( ) ( ) ( ) ( )

13 + + 8k Với ý muốn xuất hiện a+ + a = thì ta phải ó: l = ( k l) l = 4 8k Vậy GTNN ủa A + + =. Đẳng thứ xảy ra a= = 4 ( k l) Prolem 4: (Sưu tầm). Cho a,, dương. Tìm GTLN ủa: 4a+ 6a+ 8 A = ( a+ + ) Biểu thứ A ó tính thuần nhất nên ta huẩn hoá a+ + =. Bài toán qui về việ tìm GTLN ủa: A= 4a+ 6a+ 8 với a,, thoả điều kiện trên. Ta sử dụng kĩ thuật hệ số ất định để táh ra á hạng tử trong iểu thứ A như sau: A= αa ( + ) + βa ( + ) + γa ( + ) = ( α + β) a+ ( α + γ) + ( β + γ) a Đồng nhất á hệ số ta ó: α + β = 4 α = α + γ = 6 β = β γ 8 + = γ = 5 Do đó: 4a+ 6a+ 8 = a ( + ) + ( a+ ) + 5( a+ ) = a( a) + ( ) + 5( ) 9 = a Đặt x= a ; y = ; z = x+ y+ z = a + + a+ + = 9 Bài toán qui về việ tìm GTLN ủa A= ( x + y + 5 z ) với x+ y+ z. 4 Sử dụng phương pháp ân ằng hệ số ta ó: x y. 5z 5. Vậy GTLN ủa x y 46 x + y + 5 z A= ( x + y + 5 z ) z A = 9 Bạn đọ tự luyện một số ài toán sau: 9 9. Đẳng thứ xảy ra a = =. 4 0

14 Prolem 5: (Sưu tầm) Cho a,, dương. Tìm GTNN ủa: a A = ( a+ + ) Prolem 6: (Sưu tầm) Cho ad,,, dương. Tìm GTNN ủa: 5a d A = a+ + d + da Prolem 7: (Sưu tầm) Cho a,, dương. Tìm GTLN ủa: a+ + a A = ( a+ + ) Comment : Kĩ thuật ân ằng hệ số là một kĩ thuật ần thiết và thường đượ sử dụng, mặ dù đôi lú ta phải giải quyết nhiều hệ phương trình khá phứ tạp. Nhưng đối với á ài toán không ở dạng huẩn tứ là không đối xứng, không hoán vị, á iểu thứ lệh nhau thì ông việ này dường như là ắt uộ. Qua á ài toán trên ta àng thấy tầm ứng dụng quan trọng ủa kĩ thuật huẩn hoá, quả thật á ài toán trên nếu ta không kèm theo sử dụng kĩ thuật huẩn hoá thì không thể giái quyết húng đượ. Tiếp theo ta sẽ xét một số ài toán vừa sử dụng kĩ thuật huẩn hoá vừa sử dụng phương pháp dồn iến. Prolem 8: (Vasile Cirtoaje) Cho xyz,, dương. Chứng minh rằng: 4 7 ( x + y + z ) + 9xyz ( xy+ yz+ zx)( x + y + z ) Ngoại hình ủa ài toán thật ồng kềnh nếu như theo lói mòn ta suy nghĩ sử dụng phương pháp iến đổi tương đương như ình phương hai vế hẳng hạn hay sử dụng phương pháp mạnh như S.O.S hay dồn iến thì vẫn không dễ gì ra ài toán. Nhưng ta hãy ình tĩnh suy xét lại ấu hình ủa nó. Dễ nhận thấy ất đẳng thứ đã ho thuần nhất và với mong muốn làm mất đi á iểu thứ trong ăn ta huẩn hoá x + y + z =.Khi đó ất đẳng thứ ần hứng minh trở thành: + 9xyz 7( xy+ yz+ zx) Đến đây ta sử dụng phương pháp dồn iến theo trung ình ình phương. Ta hứng minh:

15 x + y x + y f( xyz,, ) f,, z 0 4 zx ( y) (9z 7)( x y) x + y + x + y Ta ần hứng minh: ( ) 7 z (9z 7) ( x + y ) 7z 9 ( z ) 7 Cuối ùng ta ùng ta ần hứng minh trong trường hợp x = y. Đặt. BĐT này đúng do z. x + y t =, BĐT ần hứng minh z z z trở thành: 7( t + zt) + 9tz 7 + z + 9z Công việ ủa húng ta ây giờ là khảo sát hàm số iến z. (ạn đọ tự giải) Cáh khá: Ta dồn tất ả về một iến z như sau.bđt ần hứng minh tương đương với BĐT sau: 7 zx ( + y) + xy(7 9) z 0 BĐT trên đúng thật vậy : (7 9)( z x + y ) (7 9)( z z ) 7 z(5 z ) 7 zx ( + y) + xy(7 9) z + 7z ( x + y ) + ( z ) z (7 9)( z z ) 7(5 z z ) Đặt f( z) = + = 0( z [ 0,] ). Vậy ất đẳng thứ đã đượ hứng minh. Đẳng thứ xảy ra x= y = z. Commnet 4: Thật ra với ài toán này thì phương pháp dồn iến vẫn hưa phải là tối ưu nhất, ởi vì khảo sát hàm z ở áh hơi khó. Nhưng vẫn với ý tưởng dồn tất ả về một iến ta đã giải quyết ài toán theo áh một áh nhẹ nhàng, ngắn gọn. Ta đã vận dụng một áh khéo léo BĐT AM-GM khi đánh giá: + x + y 5 z ( x + y ) =. Do ta dự đoán x= y = nên ta áp dụng BĐT AM-GM giữa hai số và x + y mà vẫn đảm ảo điều kiện dấu ằng xảy ra. Prolem 9: (Việt Nam MO-00). Cho xyzlà,, số thự ất kì. Chứng minh rằng: ( ) 6( x+ y+ z)( x + y + z ) 7xyz+ 0 x + y + z Bất đẳng thứ thuần nhất nên ta huẩn hoá: thành: [ ] ( x+ y+ z) xyz+ 0 ( x+ y+ z) xyz 00. x + y + z = 9. Khi đó ất đẳng thứ ần hứng minh trở Không mất tính tổng quát giả sử x y z.áp dụng BĐT Cauhy-Shwarz: [ ] ( x+ y+ z) xyz = ( x+ y) + z( xy) ( x+ y) + z + ( xy) = 7 0xy+ xy + xy

16 [ ] ( x+ y+ z) xyz 00 + ( xy+ ) (xy 7). Từ x y z z xy x y + 6. Suy ra đpm. Cáh khá: Ta sử dụng phương pháp dồn iến. Xét hiệu: y + z y + z xy ( z) x f x,, f( xyz,, ) = ( ( y + z ) y z) = ( y z) ( y + z ) + y+ z Nếu xyz>,, 0. Ta xét hai trường hợp: x y z. Khi đó: 0 x. Khi đó: ( x y z) xyz ( x y z ) = <. ( x+ y+ z) xyz < ( x+ y+ z) x+ ( y + z ) = x+ (9 x ) = gx ( ) ' x g ( x) = > 0 gx ( ) g() = 0. 9 x y + z y + z Nếu trong số xyz,, ó một số âm, giả sử x < 0. Khi đó: f x,, f( xyz,, ) 0. y z y z + + x(9 x ) Ta ần hứng minh f x,, 0 hay : x+ (9 x ) 0 hx ( ) = x 5x+ 4 (9 x ) 0. Ta ó: Prolem 0: (Nguyễn Anh Khoa) Cho xyz,, dương. Chứng minh rằng: ( ) 4x ( ) = 5 = 0 = ( ) ( ) = 0 9 x ' h x x x hx h 6 ( a + + ) + a+ + 5( a+ + ) + 54 a( a+ + ) + 79a Bất đẳng thứ đã ho thuần nhất nên ta huẩn hoá a+ + =. Khi đó ất đẳng thứ ần hứng minh trở thành:. 6 ( a + + ) a+ 79a + a a+ 7a Sử dụng ất đẳng thứ AM-GM ta ó: ( ) Khi đó ta phải hứng minh : Lại ó: + a + + 7( + a )( + )( + ) ( + a )( + )( + ) 5 + a( + a) a a + + a 4+ a() + + ( + + ) =.() a a a a a Từ ()&() ta phải hứng minh BĐT sau: a a 4 Ta viết BĐT ần hứng minh dưới dạng: ( + ) + a + a 4 0 ( a) + a + ( a ) 4 0 ( a ) + a 6a+ 5 0

17 Ta ố định a xét hàm ậ nhất Theo tính hất về hàm ậ nhất thì ( a) f( ) = ( a ) + a 6a+ 5 0; 4 ( a) f f f ( ) min{ (0); } 4 Mà: f(0) = a 6a+ 5= a + > 0 ( a) ( a) f ( a ). a 6a 5 ( a ) ( a ) 0 4 = + + = Do đó f( ) 0 Vậy ất đẳng thứ đã đượ hứng minh. Đẳng thứ xảy ra a = = =. Sau đây là một số ài toán sử dụng thêm kĩ thuật đổi iến p,q,r. Prolem : (Phạm Sinh Tân) Cho akhông,, âm và không ó hai số nào đồng thời ằng 0. CMR với mọi k ta luôn ó: a ( a+ + )( a+ + a) k. k a a+ a + + Bất đã ho là thuần nhất nên ta huẩn hoá: a+ + =. Khi đó ất đẳng thứ ần hứng minh trở thành: a a+ + a k. k a a+ a + + Đổi iến atheo,, pqr;,, khi đó ta ần hứng minh: q+ r q + k. k +. q r q+ r Ta ó: q + r q. q r q. q r q + k = + + k k. + q r q+ r q r q+ r q q+ r Sử dụng tiếp ất đẳng thứ AM-GM ta ó: q+ r q + k. + k +. q q+ r Đẳng thứ xảy ra ( a) k+ k + k+,, = xx,,0 hoặ á hoán vị. Prolem 4: (Dương Đứ Lâm). Cho akhông,, âm và không ó hai số nào đồng thời ằng 0. CMR: a 0a a a+ ( a+ )( + )( + a)

18 a Đặt x= ; y = ; z = khi đó ta ó: xy+ yz+ xz+ xyz = 4. Bất đẳng thứ ần hứng minh trở + + a a+ thành: x + y + z + 5xyz 8. Đổi iến xyz,, theo pqr,, khi đó giả thiết: q+ r = 4. BĐT ần hứng minh trở thành: p q r p q Nếu 4 p sử dụng ất đẳng thứ Shur Do đó: 7( p + 6) p 7q+ p +. Ta ần hứng minh: 4p+ 9 7( p + 6) p + 0 ( p )( p 6) 0. 4p+ 9 Bất đẳng thứ trên đúng vì: 4 q q. r p q p 4 q+ p q p q p 9 9 4p+ 9 (4 ) (4 ) + 6 p Nếu p 4 ta ó: p 6 4q nên: p q+ 5r p q 8. Vậy ất đẳng thứ đã đượ hứng minh. Đẳng thứ xảy ra khi x= y = z = hoặ x= y =, z = 0 và á hoán vị tương ứng. Comment 5: Bài toán trên khá hay ta đã đặt một lần ẩn phụ rồi sau đó ta mới đổi iến theo p,q,r. Đến đây ta đã dung một thủ thuật rất hay dùng khi sử dụng ất đẳng thứ Shur đó là hia trường hợp ra để giải quyết. Bài toán trên trong khi sử dụng phương pháp phân tíh ình phương S.O.S là khá dài dòng nhưng ta đã ó một lời giải đẹp gọn gàng thoả mãn mỹ quan về mặt toán họ khi sử dụng khéo léo kĩ thuật đổi iến p,q,r. Sau đây là một số ài toán tương tự như ài trên. Prolem 6: (Toán họ&tuổi trẻ). Cho alà,, á số không âm và không ó hai số nào đồng thời ằng 0. CMR: a 4a a a+ ( a+ )( + )( + a) Prolem 7: (Toán tuổi thơ) Cho alà,, á số dương. Chứng minh rằng: a + + a + + a + + a a+ ( + )( + a) ( + a)( a+ ) ( + )( a+ ) Ta xét tiếp một ài toán kinh điển sau: Prolem 8: (Iran-996) Cho xyz,, không âm và không ó hai số nào đồng thời ằng 0. CMR: 9 ( xy+ yz+ xz ) + + ( ) ( ) ( ) x+ y y+ z x+ z 4

19 Do tính đối xứng ủa ài toán nên ta giả sử x y z. Sử dụng ất đẳng thứ Cauhy-Shwarz ta ó: ( x+ y+ ) z + + = ( y+ z) ( x+ z) x+ y x+ z ( y+ z)( x+ z) Nên ta ần hứng minh: ( x+ y+ ) z 9 ( xy+ yz+ xz) + ( ) ( )( ) x y x z y z Do tính thuần nhất ủa ất đẳng thứ ta huẩn hoá x+ y = và đặt đẳng thứ trở thành: Ta ó: (+ )( z a+ z) 9 ( z+ z + a) 4 f( a) = a+ z+ 0 (+ )( z z+ a z ) (+ )( z z z + a) ( ) = ; ( ) = 0 ( z+ z + a) ( z+ z + a) ' '' f a f a 4 a= xy a z( z). Khi đó ất 4 Nên f ' ' ' (z )(8z + 0z + 8z+ 7) ( a) đồng iến ta suy ra: f ( a) f = (z+ ) z( ) z Do đó f( a ) nghịh iến vậy nên: f( a) f = 0. 4 (+ ) z Vậy ất đẳng thứ đã đượ hứng minh. Đẳng thứ xảy ra khi x= y = z hoặ x= y =, z = 0. Comment 6: Bài toán trên là một trong những ài toán khá nổi tiếng trong làng ất đẳng thứ và đã ó khá nhiều áh xuất hiện để giải quyết nó như: phương pháp S.O.S, phương pháp dồn iến, phương pháp p,q,r Nhưng áh giải trên khá mới mẻ mà người ta gọi đó là: Kĩ thuật Cauhy ất đối. Bạn đọ ó thể tìm hiểu kĩ hơn kĩ thuật này trong ài viết ùng tên ủa anh Võ Quố Bá Cẩn. Prolem 9: (Phạm Kim Hùng). Cho a,, dương. Chứng minh rằng: a a a a+ ( a+ + ) Sử dụng ất đẳng thứ Cauhy-Shwarz ta ó: a a ( a+ + ) a a a+ ( a+ + ) ( a+ + a) ( a+ + ) Do tính thuần nhất ủa ất đẳng thứ nên ta huẩn hoá: a =. Đổi iến a,, theo pqr,, ta ó ất đẳng thứ tương đương: p + p + q pq p pq+ r + q r q p Bất đẳng thứ trên đúng do: p 4pq+ 9r 0 ( Bất đẳng thứ Shur ậ ) 4 ( 4 9) ( 9) 0 ( a+ + a) 9 a = 9= 9a q 9r 0

20 Vậy ất đẳng thứ đã đượ hứng minh. Đẳng thứ xảy ra a = =. Prolem 0: (Olympi Ba Lan-005) Cho a,, dương. Chứng minh rằng: a a a+ + a ( ) Bất đẳng thứ đã ho là thuần nhất nên ta huẩn hoá: a+ + a =. Khi đó ất đẳng thứ ần hứng minh trở thành: a a 9 Trướ hết ta hứng minh ất đẳng thứ sau: a a 0. Đổi iến a,, theo pqr,, ta ó: p(4 q p ) p( p ) Áp dụng ất đẳng thứ Shur ta ó: r max 0, = max 0,. 9 9 Ta ần hứng minh: p 9p+ 0r 0. Đến đây ta dùng thủ thuật Chia để trị để giải quyết: Nếu p thì: p p r p p p q p = 0> 0. Nếu p < 4 thì: 0 p 9p+ 0r 0 p 9 p+ p( p ) 0 = ( p ) (6 p ) + (4 p) Như vậy a a 0 a a 9+ a 9. Bất đẳng thứ trên đúng do: = a+ + a a a. Đẳng thứ xảy ra a = =. Prolem : (Sưu tầm) Cho adương.,, Chứng minh rằng: a a+ + a+ + + a Bất đẳng thứ đã ho là thuần nhất nên ta huẩn hoá a+ + =. Khi đó ất đẳng thứ ần hứng minh tương đương với ất đẳng thứ sau: a a+ + + a.() Đặt a= x ; = y ; = z. Khi đó () tương đương: x+ y+ z x+ y+ z x+ y+ z x+ y+ z x+ y+ z x+ y+ z 4( x+ y+ z) 4( x+ y+ z) 4( x+ y+ z) x y z x+ y y+ z x+ z y+ z x+ z x+ y x y z () x y z y+ z x+ z x+ y Ta sử dụng ất đẳng thứ phụ: + 4. Ta ó: A B A+ B

21 x x 4x + y z y+ z y y 4y + (). Vậy ất đẳng thứ đã đượ hứng minh. Đẳng thứ xảy ra a = =. z x x+ z z z 4z + y x x+ y Comment 7: Bài toán trên òn ó nhiều áh giải khá nhưng áh giải trên theo tôi ó lẽ là đẹp nhất. Còn vì sao mà ta ó thể đặt a= x ; = y ; = z đó là một điều hoàn toán tự nhiên x+ y+ z x+ y+ z x+ y+ z và dễ hiểu ởi vì một khi ta đã ó điều kiện a+ + = thì việ tồn tại á số xyz,, là một điều hiển nhiên. Phép đặt như trên người ta gọi là phép thế đại số. Lưu ý: Bạn đọ ó thể sử dụng phương pháp phân tíh ình phương S.O.S để giải ài toán trên. Prolem : (Phạm Kim Hùng) Cho a,, dương. Chứng minh rằng: ( a )( a+ + a) ( a + + )( a + + a ) Bất đẳng thứ trên thuần nhất nên ta huẩn hoá a+ + a =.Đổi iến a,, theo pqr,, ta ó ất đẳng thứ ần hứng minh tương đương với: 4 p 4p + + 4pr p pr + 4pr 4 ( p 5p + 6pr+ 4) + pr( p ) 0 Bất đẳng thứ trên luôn đúng do: 4 p 5p pr 0( Bất đẳng thứ Shur ậ với q= a+ + a = ). ( a+ + ) ( a+ + a) = ( ) ( ) ( ) 0 a + + a p 0 pr( p ) 0 Vậy ất đẳng thứ đã đượ hứng minh. Đẳng thứ xảy ra a = =. Prolem : (Nguyễn Anh Khoa) Cho a,, dương. Chứng minh rằng: a a ( + ) + ( + ) + ( + ) 6 a a a a Bất đẳng thứ đã ho thuần nhất nên ta huẩn hoá a+ + =. Đổi iến atheo,, pqr.,, Khi đó ất đẳng thứ ần hứng minh tương đương với ất đẳng thứ sau:

22 r p pq+ r 9 + pq r r 6 r q+ r r + q q+ r + q r r 6 rq ( ) r 6 9 ( )( ) r 6( q )( q ) r 9 rq ( ) r 6r + 6q 8r+ 8q + 54qr+ 8qr 45r 9qr 57r q(8q+ 5r+ ) + 9r + ( q 9) r 0 Bất đẳng thứ trên luôn đúng do: q(8q+ 5r+ ) + 9r 0( với a,, > 0 pqr,, > 0). ( pq 9) r 0 ( q 9) r 0 ( Bất đẳng thứ Shur ậ 0 với p = ). Vậy ất đẳng thứ đã đượ hứng minh. Đẳng thứ xảy ra a = =. Comment 8: Ta đã iết hai ất đẳng thứ xảy sau: a a ( + ) + ( + a) + ( a+ ) 6a a ( + ) + ( + a) + ( + a) 6 a + + a + + a a Từ hai ất đẳng thứ trên ta thấy ài toán ho ta thự hiện phép ộng ngượ hiều. Đa số ất đẳng thứ hiện nay đều đượ tạo ra nhờ phép ộng ngượ hiều. Những loại ất đẳng thứ như vậy thì phương pháp tối ưu nhất là phân tíh ình phương S.O.S. Sau đây là lời giải ằng phương pháp S.O.S. Bất đảng thứ ần hứng minh tương đương với ất đẳng thứ sau: a + + a a 6 a ( + ) + ( + a) + ( a+ ) a + + a a sym a 6. sym 6a a Ta tạo dạng hính tắ ho hai vế ta ó: ( a+ + ) ( a ) ( ) ( a) VT: + + a a ( ) + ( a) + a ( ) VP: Khi đó ất đẳng thứ ần hứng minh ó dạng: 6 a( a+ ) + 6 ( + ) + 6 a( a+ ) S + S a + S a trong đó: S S S a( ) ( ) ( ) 0 a a. a a a+ + a sym a(7a ) = = > 0. a 6 a( a+ ) + 6 ( + ) + 6 a( a+ ) 6 a. a 6 a. a a a a sym. a+ + a(8a ) = = > 0 a 6 a( a+ ) + 6 ( + ) + 6 a( a+ ) 6 a. a 6 a. a a. a a a+ + a(8a ) = = > 0 6 ( ) 6 ( ) 6 ( ) sym a a a a a+ aa aa sym sym sym sym sym sym

23 Vậy ất đẳng thứ đã hứng minh xong. Với ài toán này vấn đề đặt ra là tìm hằng số k tốt nhất sao ho ất đẳng thứ sau đúng với mọi a,, dương: a a + + k k. + + a ( + ) + ( + a ) + ( a + ) a 6 Prolem 4: (USAMO-00) Cho a,, dương. Chứng minh rằng: ( a+ + ) ( + a+ ) ( + a+ ) a + ( + ) + ( a+ ) + ( a+ ) Bất đẳng thứ đã ho thuần nhất nên ta huẩn hoá a+ + =. Khi đó ất đẳng thứ ần hứng minh tương đương với ất đẳng thứ sau: ( a+ ) ( + ) ( + ) a + ( a) + ( ) + ( ) ( a+ ) 8 Nhiệm vụ ủa húng ta ây giờ là tìm số thự α sao ho: αa+ α () đúng với a + ( a) ( 0;) a.giả sử tồn tại số α thì : () αa + (7 9 α) a + (5α ) a+ 5 9α 0. Đặt f( a) αa (7 9 α) a (5α ) a 5 9α = Vì f( a) 0 ( a (0;)) ' 4 và f () = 0 nên theo đính lí Fermat ta ó: f () = 0 α =. ( a+ ) 4 4 Như vậy ta ần hứng minh : a+ ( a ) (4a+ ) 0. a + ( a) Tương tự đối với, ộng lại ta đượ điều ần hứng minh. Comment 9: Kĩ thuật tìm số thự α như trên người ta gọi đó là phương pháp hệ số ất định. Ý tưởng ủa kĩ thuật này ta ó thể hiểu sơ lượ như sau: Bài toán: Cho á số thự i (, ) a i= n D R + thoả mãn: ga ( ) + ga ( ) ga ( n) = mm ( > 0). Chứng minh rằng: f( a) + f( a) f( a n ) 0. HD: Vì ất đẳng thứ ần hứng minh và ả iểu thứ điều kiện đề ài là mang tính đối xứng với tất ả á iến nên dấu ằng thường đạt tại tâm. Việ ta phải làm là tìm số thự α sao ho: f( a) α ga ( ) đúng với mọi a thoả mãn đề ài. Đây là một đường lối rất ơ ản để giải quyết dạng toán này. Đồng thời với á ất đẳng thứ thuần nhất sau khi huẩn hoá sẽ huyển ngay về dạng này. Điều kiện ần để ó thể sử dụng phương pháp này là: + Bất đẳng thứ ần hứng minh phải thuần nhất. + Dấu ằng ủa ất đẳng thứ xảy ra khi á iến số ằng á giá trị trong một tập hữu hạn nào đó (thường thì tập đó hỉ ó một số ùng lắm là hai). +Bất đẳng thứ là tổng ủa một dãy á iểu thứ đối xứng nhau và tồn tại áh huẩn hoá để mỗi iểu thứ hỉ òn phụ thuộ vào một iến số hoặ á iểu thứ là hoán vị liên tiếp nhau.

24 Prolem 5: (IMO-00) Cho adương.,, Chứng minh rằng: a + + a a + 8a Bất đẳng thứ đã ho thuần nhất nên ta huẩn hoá a+ + =. Khi đó ài toán ần hứng minh trở thành: af( a + 8 ) + f( + 8 a) + f( + 8 a) Trong đó f() t =. Vì hàm f là hàm lồi trên R + nên áp dụng ất đẳng thứ Jensen ta ó: t ( ) af a f a f a f aa a a ( + 8 ) + ( + 8 ) + ( + 8 ) ( + 8 ) + ( + 8 ) + ( + 8 ) Ta thấy f () = và hàm f nghịh iến nghiêm áh trên R + nên ta hỉ ần hứng minh: aa ( + 8 ) + ( + 8 a) + ( + 8 a) ( a+ + ) a a a ( ) + ( a) + a ( ) 0 Vậy ất đẳng thứ đã đượ hứng minh. Đẳng thứ xảy ra a = =. Comment 0: Vì lời giải trên đã sử dụng hàm lồi và hàm đơn điệu nghiêm áh nên ó lẽ không phù hợp với á ạn hưa họ á lí thuyết đó. Sau đây là một lời giải khá: Ta huẩn hoá a = khi đó ất đẳng thứ ần hứng minh tương đương: a (+ 8 a)(+ 8) (+ 8 a)(+ 8)( + 8) 8( a+ + ) + (+ 8 a)(+ 8)( + 8) + 8a 50 Do a= a+ + và (+ 8 a)(+ 8)( + 8) 9a = 79 và + 8a 9a 9( a) = 9. Cộng tất ả lại ta đượ điều ần hứng minh. Bài toán tổng quát: Cho a,, > 0; λ 8. Chứng minh rằng: a + +. a + λ + λa + λa Lời giải ài toán này tương tự như ài trên. Như vậy là qua á ài toán trên húng ta ũng đã thấy đượ sự hữu hiệu, lợi íh ủa việ huẩn hoá một ất đẳng thứ thuần nhất: * Làm ất đẳng thứ ần hứng minh ủa húng ta đơn giản hơn so với ngoại hình ủa nó lú an đầu (thường thì á ất đẳng thứ lời giải ó sử dụng kĩ thuật huẩn hoá thì ngoại hình ủa nó khá ồng kềnh, dễ sợ ). * Sau khi huẩn hoá nó giúp húng ta định hướng lời giải ài toán ũng như sử dụng ông ụ nào tiếp theo để sử lí phần òn lại ủa ài toán. Tiêu iểu ho sự lợi íh này là sử dụng kĩ thuật huẩn hoá đi kèm với phương pháp dồn iến.

25 * Một khi ạn đã huẩn hoá đượ thì ũng hính là ạn đã đoán đượ dấu ằng xảy ra khi nào (tại tâm hay tại iên), nghĩa là ạn đã đi đượ 0% quãng đường. Tuy nhiên điều độ đáo và ũng là điều khó khăn nhất ủa kĩ thuật này là huẩn hoá như thế nào là hợp lí? huẩn hoá như thế nào để ó lời giải tốt? điều quan trọng hơn ả là khi nào ta phải huẩn hoá?... Đó hính là vấn đề tôi mong muốn á ạn hiểu đượ qua ài viết này. Nói tóm lại kĩ thuật huẩn hoá đúng như theo tên ủa nó tuy không phải là một phương pháp giải mang tính ao quát như S.O.S; U.M.V;S.M.V; P,Q,R;ABC;GLA nhưng nó vẫn là một trong những ông ụ ưu tiên hàng đầu khi đối mặt với á ất đẳng thứ thuần nhất. Kết thú ài viết là một số ài tập tự luyện dành ho ạn đọ. Prolem :(Mihai Pitiari, Dan Popesu, Old and NewInequalities). Cho adương.,, Chứng minh rằng: 5( a + + )( a+ + ) 6( a + + ) + ( a+ + ) Prolem :(Sưu tầm) Cho á số thự a.,, Chứng minh rằng: ( a + + )( a + + ) a+ ( a + + ) Prolem :(Sưu tầm) Cho xyz,, dương. Chứng minh rằng: xy + yz + xz xyz x + y + z Prolem 4:(Sưu tầm) Cho adương.,, Chứng minh rằng: ( a+ + a) + 4( a+ + )( a + + ) ( a + + ) Prolem 5:(Sưu tầm) Cho a,, dương. Chứng minh rằng: 4( a+ + )( a + + ) 4.( a + + ) + 9a Prolem 6:(Russia MO) Cho a,, dương. Chứng minh rằng: ( ) ( a+ + ). a + + ( a+ + a) Prolem 7:(Sưu tầm) Cho a,, dương. Chứng minh rằng: ( a + + ) + ( a + + )( a+ + a) 8a Prolem 8:(Sưu tầm) Cho xyz,, dương. Chứng minh rằng: ( )( ) ( ) x+ y+ z x + y + z x + y + z + xyz Prolem 9:(Sưu tầm) Cho adương.,, Chứng minh rằng: ( a + + ) ( a+ + ) a + + a Prolem 0:(Japan MO 00) Cho akhông,, âm. Chứng minh rằng: ( + a) ( + a ) ( a+ ) + + ( + ) + a ( + a) + ( a+ ) + 5 Prolem :(Nguyễn Anh Khoa) Cho akhông,, âm. Chứng minh rằng: a + + a + ( + ) + ( + a) + ( a+ ) Prolem :(Darij Grinerg) Cho a,, không âm và không ó hai số nào đồng thời ằng 0. Chứng minh rằng: ( + ) ( + a) ( a+ ) a + + a + a.

26 NGUYỄN ANH KHOA A. Lời nói đầu: Như ở phần trướ ta đã xét ất đẳng thứ thuần nhất với kĩ thuật huẩn hoá và ta đã thấy đượ sự quan trọng ủa kĩ thuật này. Ở phần này ta xét một lớp ất đẳng thứ không thuần nhất ó điều kiện và không ó điều kiện. Tuy ất đẳng thứ không thuần nhất không đượ nhiều người hú ý đến nhưng theo tá giả một khi đã nghiên ứu về ất đẳng thứ thì không nên lãng quên ất ứ vấn đề gì liên quan đến nó. Vì lí do đó mà hôm nay tá giả đã viết thêm một ài viết về ất đẳng thứ không thuần nhất mong ạn quan tâm đến. B. Bất đẳng thứ không thuần nhất: Vì kiến thứ lớp hàm không thuần nhất không ó gì quan trọng nên tá giả sẽ không nêu ra đây mà tá giả mong muốn rằng thong qua một số ài tập ạn đọ tự rút ra những kinh nghiệm riêng ho mình.. Bất đẳng thứ không thuần nhất ó điều kiện: Ta xét ài toán đơn giản sau: Prolem : (Sưu tầm) Cho a,, không âm và a+ + =. Chứng minh rằng: a + + a + + a+ + Mỗi vế ủa ất đẳng thứ hơn kém nhau một ậ đồng thời đẳng thứ điều kiện ó dạng ậ nhất nên ta dựa vào đó để đồng ậ hai vế. Vế thứ nhất: Bất đẳng thứ ần hứng minh tương đương với ất đẳng thứ sau: ( a + + ) ( a + + )( a+ + ) ( a + a a ) + ( + ) + ( + a a a) 0 ( a )( a+ ) + ( )( + ) + ( a)( + a) 0 Bất đẳng thứ trên luôn đúng. Vế thứ hai: Bất đẳng thứ ần hứng minh tương đương với ất đẳng thứ sau: ( a + + ) ( a+ + ) ( a ) + ( ) + ( a) 0. Bất đẳng thứ trên luôn đúng. Vậy ất đẳng thứ đã ho hứng minh xong. Đẳng thứ xảy ra a = = =. Comment : Kĩ thuật đã sử dụng ở ài toán trên gọi là kĩ thuật đồng ậ hoá (thuần nhất hoá) ất đẳng thứ. Đây là một kĩ thuật quan trọng trong hứng minh ất đẳng thứ. Nội dung kĩ thuật thuần nhất hoá ất đẳng thứ: f( x, x,.. x ) g x, x,... x mà trong đó ậ ủa ủa vế BĐT hênh Giả sử ta ần hứng minh BĐT ( ) n lệh nhau thì ta dựa vào điều kiện đề ài ( thường thì đối với loại toán này người ta thường ho thêm điều kiện ràng uộ á iến như tổng hoặ tíh ) ho để đồng ậ vế, rồi sau đó sử dụng phép iến đổi tương đương để hứng minh BĐT là đúng. n

27 Thự ra thuần nhất hoá và huẩn hoá là hai kĩ thuật đối ngượ nhau nhưng nó ổ sung ho nhau và ó mối liên hệ mật thiết với nhau. Hầu hết á ất đẳng thứ ó điều kiện đều đượ suy ra từ ất đẳng thứ thuần nhất sau một ướ huẩn hoá nào đó. Bạn đọ ó thể hiểu rõ ý mà tôi muốn nói thông qua ài toán sau. Prolem : (IMO-984) Cho xyzkhông,, âm và x+ y+ z =. Chứng minh rằng: 7 xy+ yz+ xz xyz 7 Thuần nhất hoá hai vế ất đẳng thứ ta ó: 7 xy+ yz+ xz x+ y+ z xyz x+ y+ z * 7 ( )( ) ( )( ) ( ) 7 x + y + z + 5xyz 6 xy( x+ y) + 6 yz( y+ z) + 6 xz( x+ z) BĐT trên đúng do đượ suy ra từ hai BĐT sau: 6 x + y + z + 8xyz 6 xy( x+ y) + 6 yz( y+ z) + 6 xz( x+ z) ( BĐT Shur) ( ) x + y + z xyz ( BĐT Cauhy) Đẳng thứ xảy ra x= y = z = Comment : Sau đã thuần nhất hóa hai vế ta ó thể phát iểu ài toán lại như sau: Cho xyz,, không âm. Chứng minh rằng: 7( x+ y+ z) + 54xyz 7( xy+ yz+ xz)( x+ y+ z) Bây giờ ta oi như hưa iết lời giải ủa ài toán hai. Ta giải ài toán này như sau: Bất đẳng thứ đã ho thuần nhất nên ta huẩn hoá x+ y+ z = (vì sao lại huẩn hoá như vậy thì tôi nghĩ tới đây á ạn đã tự ó thể trả lời âu hỏi đó). Khi đó ất đẳng thứ ần hứng minh tương đương với ất đẳng thứ sau: 7+ 54xyz 7( xy+ yz+ xz). Đến đây ta ó thể giải ằng nhiều áh khá nhau, sau đây là một lời giải theo phương pháp Look at the end point. BĐT ần hứng minh tương đương với BĐT sau: xy+ yz+ yz xyz = xy ( + z) + yz( x) = x( x) + yz( x) ( x) Ta ố định x xét f( yz) = x( x) + yz( x) yz 0;. Theo định lí ta ó : 7 4 x f( yz) max{ f(0); f }. 7 7 (0) = ( ) = + < + = 0 (0) < 0 Mà f x x x x x x x f ( ) x ( x) ( x) 7 ( x) f x( x) x x 0 f = + =

28 Do đó f( yz) 0 đpm. Qua đó hắ ạn đọ đã hiểu điều tôi muốn nói. Nhưng theo kinh nghiệm ản thân thì tôi thấy hầu hết á ất đẳng thứ thuần nhất đều dễ hứng minh hơn á ất đẳng thứ không thuần nhất (đặ iết là không ó điều kiện). Prolem : (Sưu tầm) Cho á số thự a,, thoả mãn điều kiện: a + + a + +. a + + =. Chứng minh rằng: Để loại ỏ số mũ hữu tỉ ta đặt ẩn phụ như sau: hứng minh trở thành x + y + z x + y + z với điều kiện Thuần nhất hoá ất đẳng thứ ần hứng minh ta ó: ( x + y + z ) ( x + y + z )( x + y + z ) x= a ; y = ; z =. Khi đó ất đẳng thứ ần x + y + z =. ( x y )( x + y ) + ( y z )( y + z ) + ( x z )( x + z ) 0 Bất đẳng thứ trên luôn đúng Vậy ất đẳng thứ đã đượ hứng minh. Đẳng thứ xảy ra a = = = Ta xét tiếp một số ài toán ó mứ độ khó hơn. Prolem 4: (Trần Tuấn Anh). Cho adương,, và a+ + =. Chứng minh rằng: a+ + a + a a a+ Thuần nhất hoá ất đẳng thứ ần hứng minh ta ó: aa ( + + ) + a ( + + ) + a a ( + + ) + a a a+ ( a+ )( a+ ) ( a+ )( + ) ( a+ )( + ) = a a+ Sử dụng ất đẳng thứ AM-GM ta ó: ( a+ )( a+ ) ( a+ )( + ) + a+ + + a ( a+ )( + ) ( a+ )( + ) ( a+ )( a+ ) + + ( a+ + ) =. + a a+ + ( a+ )( a+ ) ( a+ )( + ) + a+ + a+ Vậy ất đẳng thứ đã đượ hứng minh. Đẳng thứ xảy ra a = = =.

29 Prolem 5: (Nguyễn Anh Khoa) Cho adương,, và a+ + =. Chứng minh rằng: + + a+ + a + a 6a Thuần nhất hoá ất đẳng thứ ần hứng minh ta ó: + + aa ( + + ) + a ( + + ) + a a ( + + ) + a = + + ( a+ )( a+ ) ( + )( + a) ( + a)( + ) Sử dụng ất đẳng thứ AM-GM ta ó: + ( a+ )( a+ ) a+ a () ( + )( a+ ) + a+ ( a+ )( a+ ) a+ + + a + ( + a)( + ) + a + Sử dụng tiếp ất đẳng thứ phụ + 4 ta ó: A B A+ B ( a+ + ) a+ + a = = () a+ + + a a a a 6a Từ ()&() suy ra đpm. Đẳng thứ xảy ra a = = =. Sau đây là một số ài toán tự luyện ho kĩ thuật này. Prolem 6: (Sưu tầm) Cho adương,, và a =. Chứng minh rằng:. ( a+ )( + )( + a) ( + a+ + ). a a+ Prolem 7: (Sưu tầm) Cho a,, dương và a+ + =. Chứng minh rằng:. 5+ xyz ( xy+ yz+ xz). a + + a+ a+ + + a + + a

30 Prolem 8: (Sưu tầm) Cho adương,, và a+ + =. Chứng minh rằng: a a Ta sử dụng phương pháp Look at the end point. Ta viết ất đẳng thứ ần hứng minh dưới dạng: ( y+ z) yz+ x + xyz 4 0 ( x) + x + yz( x ) 4 0 ( xyz ) + x 6x+ 5 0 ( x) Ta ố định x xét f( yz) = ( x ) yz+ x 6x+ 5 yz 0; 4 ( x) Theo đĩnh lí f( yz) min{ f(0); f }.Mà 4 f(0) = x 6x+ 5= x + > 0 f(0) > 0 ( ) x ( x) ( ) x f ( x ) x 6x 5 ( x ) ( x ) 0 f = + + = Do đó f( yz) 0 đpm. Sau đây là một ài toán tương tự. Prolem 9: (Nguyễn Anh Khoa) Cho a,, dương và ( a + + ) + a = 7. Chứng minh rằng: a+ +.(*) Thật kì lạ hắ hẳn á ạn thắ mắ vì sao mà tôi lại nói ài toán này lại tương tự như ài toán 8. Và đó ũng là một điều dễ hiểu. Sử dụng kĩ thuật phản hứng ta hứng minh ài toán tương đương sau: Với a>,, 0 và a+ + =. Chứng minh rằng: ( a + + ) + a 7.(**) Sử dụng phương pháp Look at the end point ta viết ất đẳng thứ ần hứng minh dưới dạng: ( + ) 4+ a + a 7 0 ( a) + ( a 4) + a 7 0 4a a+ + ( a 4) 0 Ta ố định a xét f( ) = ( a 4) + 4a a+ 0, a Theo định lí f( ) min f(0), f. Mà : f a a a ( ) (0) = 4 + = + > 0 a

31 a ( a)( a 4) ( a ) ( a+ 8) f = + 4a a+ = 0. Do đó f( ) 0 đpm 4 4 Comment : Có lẽ á ạn sẽ thắ mắ vì sao khi ất đẳng thứ (**) đúng thì dẫn tới ất đẳng thứ (*) đúng đó ũng hính là ái hay ủa kĩ thuật phản hứng. Nó giúp ta đưa một ài toán hứng minh ất đẳng thứ với điều kiện phứ tạp về ài toán ất đẳng thứ tương đương với điều kiện nhẹ nhàng hơn. Giả sử ất đẳng thứ (**) đúng việ ây giờ là từ (**) ta suy ra (*) nghĩa là ta ó giả thiết: a+ + = ( a + + ) + a 7. Bây giờ ta hứng minh (*). Giả sử tồn tại athoả,, mãn ( a + + ) + a = 7. CMR: a+ +. ' ' ' ' ' ' Giả sử ngượ lại: a+ + = k >. Đặt: a= ka; = k; = k thì a + + = vì (**) hứng minh đượ nên ta suy ra Do k > nên ' ' ' ' ' ' ( a + + ) + a 7. ' ' ' ' ' ' ( a + + ) + a> ( a + + ) + a 7(vô lí). Prolem 0: (Nguyễn Anh Khoa) Cho adương,, và thoả mãn: Chứng minh rằng: + + a a a = + a+ a+ a+ + 6 Xây dựng ài toán phản hứng: Với adương,, và + + =. Chứng minh rằng: a a a a a+ a+ + 6 Sử dụng ất đẳng thứ AM-GM ta ó: = + + a. a a a a a Khi đó: a a+ a a a+ a+ +. Sử dụng tiếp ất đẳng thứ Cauhy-Shwarz ta ó: a a a a+ a+ + a+ +. t 7 7 Đặt a+ + = t. Sử dụng kĩ thuật điểm rơi ta ó:. + t t t = 9 + t = 6. Vậy ất đẳng thứ đượ hứng minh. Đẳng thứ xảy ra a = = =. Prolem : (IMO-005) Cho xyzdương,, và xyz. Chứng minh rằng: x x y y z z x + y + z x + y + z x + y + z

32 Ta thuần nhất hoá ất đẳng thứ như sau: x x x x. xyz x xyz x x ( y + z ) = x + y + z x + xyz( y + z ) x + yz( y + z ) x + yz( y + z ). xyz,, xyz,, xyz,, xyz,, Đặt a x y z = ; = ; =. Khi đó ta ần hứng minh: a,, a a+ a + ( + ) ( ) 0 a ( a ) 0 a,, a + ( + ) + ( a+ ) + a ( + ) + a a+ ( a ) 0 a,, ( a + ( + ) )( + ( a+ ) ) Vậy ất đẳng thứ đã đượ hứng minh. Đẳng thứ xảy ra x= y = z =. Prolem : (Phạm Kim Hùng) Cho a,, dương và a+ + =. Chứng minh rằng: a + + a+ + + a Sử dụng kĩ thuật Cauhy ngượ dấu. Ta ó ất đẳng thứ ần hứng minh tương đương với: a a + + a+ + = a+ + + a a a + + a+ + + a Sử dụng ất đẳng thứ AM-GM ở dưới mẫu ta ó: a a a+ a a + + a a ( + ) + ( + ) + a ( + ) + a+ 4 a a + a Vậy ất đẳng thứ đã đượ hứng minh. Đẳng thứ xảy ra a = = =. Prolem : (Sưu tầm) Cho adương,, và a+ + =. Chứng minh rằng: a + + a 6

33 a ( a) ( ) ( ) Ta ó: + + = + + a a = + + ( a + + ) () a Sử dụng ất đẳng thứ Cauhy-Shwarz ta ó: a + + ( a ) = = a a a 9 6 Do đó: =. a 6 Vậy ất đẳng thứ đượ hứng minh. Đẳng thứ xảy ra a = = =. Prolem 4: (Moskva-000) Cho xyz,, dương và xyz =. Chứng minh rằng: x + y + z + x+ y+ z xy+ yz+ xz ( ) Do tình đối xứng ủa ài toán nên ta giả sử x y z. Ta đặt: f xyz x y z x y z xy yz xz (,, ) = ( + + ) Xét hiệu: f( xyz,, ) f( x, yz, yz ) = x + y + z + x+ y+ z ( xy+ yz+ xz) x yz yz x yz + ( x yz + yz) y z y z ( xy yz xz) yz 4x yz = = ( y z) + ( y z) x( y z) ( y z) ( y z x yz ) + nên f xyz f ( x yz yz ) = Do x y z y z x 0 (,, ),, 0 Đặt a= x; 4 yz = a =. Xét: f( x, yz, yz) = f( a,, ) = a + a+ 4a= = 5 ( 4 ) ( ) ( 4 ) f ( xyz,, ) f ( x, yz, yz ) 0. Vậy ất đẳng thứ đã đượ hứng minh. Đẳng thứ xảy ra x= y = z =. Prolem 5: (Võ Quố Bá Cẩn) Cho adương,, và a = Chứng minh rằng: a a + 8 +

34 Bài toán trên đây đượ anh Võ Quố Bá Cẩn đưa lên áo Toán họ&tuổi trẻ. Tính ho đến nay (thời điểm tôi đang viết ài viết này) là tôi hưa nhận đượ lời giải từ áo Toán họ&tuổi trẻ. Nhưng may mắn thay là tôi đã giải đượ ài toán này và àng ngạ nhiên hơn là tôi đã sử dụng kĩ thuật thuần nhất hoá. Sau đây là lời giải ủa tôi: Ta ó: 4 + a a 8 + = (+ )(4 + ) = ( )(4 ) = + + = + + 4a + 8a (a )(4a a ) a 8a + a a a Do đó: () 8 + 8a a + + x y z Do a = nên ta đặt a= ; = ; = khi đó () trở thành: y z x + = + + = + + x y z + + xy+ yz yz+ zx xz + xy x y z = xy+ xyz yz+ xyz xz + xy z Sử dụng ất đẳng thứ Cauhy-Shwarz ta ó: x y z ( x + y + z ) + + xy+ xyz yz+ xyz xz + xy z xy+ yz+ zx+ xyz( x+ y+ z) Ta hứng minh: ( x + y + z ) xy+ yz+ zx+ xyz( x+ y+ z) x + y + z + ( xy + yz + xz ) xy+ yz+ zx+ xyz( x+ y+ z) Sử dụng ất đẳng thứ AM-GM ta hứng minh đượ: Giả sử y max { xyz,, } =. Xét hiệu: x + y + z xy yz zx= x x y + y y z + z z x xy yz zx xyz x y z ( ) ( ) ( ) + + ( + + ). = ( x z)( x z ) + ( y z)( y x ) = ( x z)( x + xz+ z ) + ( y z)( y x)( x + xy+ y ) 0 Bất đẳng thứ trên đúng. Vậy ất đẳng thứ an đầu đã đượ hứng minh. Đẳng thứ xảy ra a = = = Qua á ví dụ trên ó lẽ á ạn đã tự nắm ho mình một số kinh nghiệm trong việ giải quyết á ài toán không thuần nhất ó điều kiện. Thật ra đối với á ất đẳng thứ không thuần nhất ó điều kiện thì kĩ thuật thuần nhất hoá là đượ sử dụng nhiều nhất. Tuy nhiên ạn hãy xét ất đẳng thứ sau: Cho a,, 0 và a+ + =. Chứng minh rằng: ( a a )( )( ) Đối với ài toán trên thì việ sử dụng kĩ thuật thuần nhất hoá vế là hoàn toàn vô dụng mà phải sử dụng ông ụ mạnh hơn là phương pháp dồn iến. Qua đó tôi muốn nói không phải lú nào kĩ thuật thuần nhất hoá ũng ó thể giải quyết đượ hầu hết á ất đẳng thứ không thuần nhất ó điều kiện (tứ là sứ mạnh ủa kĩ thuật thuần nhất hoá ó hừng mự nào đó). Tuy nói thế nhưng kĩ thuật này vô ùng quan

35 trọng trong việ hứng minh ất đẳng thứ và nó ũng là một tiêu huẩn đầu tiên mỗi khi xét đến một ài toán ất đẳng thứ nào đó. Sau đây là một số ài toán tự luyện: Prolem :(Sưu tầm) Cho a,, 0và a+ + =. Chứng minh rằng: a a. 4 Prolem :(Pháp 005) Cho adương,, và a+ + =. Chứng minh rằng: a a + +. a Prolem :(Toán họ&tuổi trẻ) Cho adương,, và a+ + =. Chứng minh rằng: a+ + a a ( a + + ) Prolem 4:(Sưu tầm) Cho a,, dương và a + + =. Chứng minh rằng: a a a ( + ) + ( + ) + ( + ) 6. Prolem 5:(APMO 00) Cho a,, dương và + + =. Chứng minh rằng: a a+ + + a + + a a + a + +. Prolem 6:(Sưu tầm) Cho adương,, và a + + =. Chứng minh rằng: a a a + a Prolem 7:(Sưu tầm) Cho adương,, và a+ + =. Chứng minh rằng: a ( + ) + ( + a) + ( a+ ) 4 HD: Sau khi thuần nhất hoá hai vế ất đẳng thứ ta sử dụng kĩ thuật huyển từ ất đẳng thứ ó dấu ằng đạt tại iên về hứng minh ất đẳng thứ ó dấu ằng đạt tại tâm. Cụ thể là ta hứng minh ất đẳng thứ sau: ( a+ + ) 4 a ( + ) + ( + a) + ( a+ ) + a. Đây là kĩ thuật rất hay ạn đọ ó thể tham khảo kĩ thuật này trên trang we diendantoanho.net. Bất đẳng thứ không thuần nhất không ó điều kiện: 7 Prolem 5: (Áo 000) Cho a 0, là hai số thự. Chứng minh rằng: a + + a + a Ta ó: a = + + a + a +. = a a a 4a 4a Vậy ất đẳng thứ đã đượ hứng minh. Đẳng thứ xảy ra ; 4 a = =. 4

36 Prolem 6: (Nguyễn Anh Khoa) Cho adương.,, Chứng minh rằng: a + a Ta hứng minh BĐT phụ sau: Với x,y,z dương thì: x + y + z xyz( x+ y+ z)() ( ) ( + x)( + y)( + z) + xyz () + Chứng minh BĐT (). Sử dụng BĐT AM-GM: x + x + y + z 4 xyz; y + y + x + z 4 xy zz ; + z + x + y 4xyz Cộng dồn lại ta ó: x + y + z xyz( x+ y+ z) + Chứng minh BĐT (). Ta ó: ( + )( + )( + ) = = + ( ) x y z x y z xy yz xz xyz xyz xyz xyz xyz Bây giờ ta quay lại việ hứng minh BĐT (*) Bất đẳng thứ ần hứng minh tương đương với ất đẳng thứ sau: a + a a + a Sử dụng BĐT () ta ó: a a a Sử dụng BĐT () và BĐT AM-GM ta ó: a a a a a a a.. + a Vậy BĐT đã đượ hứng minh. Đẳng thứ xảy ra a = =. Prolem 7: (Sưu tầm) Cho adương.,, Chứng minh rằng: + +. a( + ) ( + ) ( + a) + a Ta ó ất đẳng thứ ần hứng minh tương đương với ất đẳng thứ sau:

37 + a + a + a + + a( + ) ( + ) ( + a) + a+ a+ a + a+ + + a+ a a( + ) ( + ) ( + a) ( + a) + a( + ) ( + ) + ( + a) ( + ) + a( + ) a( + ) ( + ) ( + a) + a a( + ) + ( + ) + ( + a) a( + ) + a 6 ( + ) ( + a) + ( ) Sử dụng ất đẳng thứ AM-GM ta suy ra + a a a( + ) + a. Vậy ất đẳng thứ đã đượ hứng minh. Đẳng thứ xảy ra a = = =. Comment 4: Ta ó ất đẳng thứ mạnh hơn ất đẳng thứ trên như sau: + +. a( + ) ( + ) ( + a) a( + a) Để hứng minh điều này ta hứng minh rằng: ( a) a a( + a) + a + (đúng theo ất đẳng thứ AM-GM). Prolem 8: (Sưu tầm) Cho addương.,,, Chứng minh rằng: a d a+ + + d d + a + ad Ta ó: a+ + d a+ a+ + d + d. = ( ad,,, ) a ( ad,,, ) a+ a d a( d) d( a ) + + a( a+ d) a( + ) d( + ) d( d + a) 4 a+ a+ + d + d ad a( d + a) a( + ) d( + ) d( d + a) a+ d a+ d Tương tự ta ó: VT ad ( a+ ) ( + d) ad( a+ ) ad( + d) Do đó: 8 a+ d + a a+ + + d + + d a+ d VT + + a( d a) ad( a ) + + ad a( ) ( a ) + + d( ) ( d) d( d + a) ad( + d) 8 8 VT = ad a d a d d a ad d a a d 8 6 VT ad + ad Vậy ất đẳng thứ đượ hứng minh. Đẳng thứ xảy ra a = = = d =.