UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL JOSIANE TELES RODRIGUES

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL JOSIANE TELES RODRIGUES ANÁLISE DE PLACAS FINAS POR ANALOGIA DE GRELHA BOA VISTA, RR 2017

2 JOSIANE TELES RODRIGUES ANÁLISE DE PLACAS FINAS POR ANALOGIA DE GRELHA Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Departamento de Engenharia Civil da Universidade Federal de Roraima como parte do requisito para a obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil. Área de concentração: Análise numérica Orientador: Prof. Msc. João Bosco Pereira Duarte BOA VISTA, RR 2017

3 FICHA CATALOGRÁFICA

4 FOLHA DE APROVAÇÃO

5 AGRADECIMENTOS A Deus, sempre em primeiro lugar. Aos meus pais, Paulo e Josenilda, por me darem apoio em todas as etapas de minha vida. Agradeço principalmente a paciência e o amor incondicional. Ao meu amado, Janderson, pela paciência, apoio e companheirismo em nossa jornada de graduação. Ao Professor MSc. João Bosco pela tranquilidade, dedicação e incentivo durante a elaboração deste trabalho e durante o curso de graduação. A todos os professores do departamento de Engenharia Civil que contribuíram para o meu aprendizado nestes anos da graduação. Aos meus irmãos por estarem sempre me incentivando a buscar conquistas. Aos amigos e familiares que me apoiaram em todos os momentos.

6 RESUMO RODRIGUES, J. T. (1).,DUARTE, J. B. P.(2), Análise de Placas finas por analogia de grelha., (1) Acadêmica do curso de engenharia civil UFRR; (2) Professor adjunto IV do departamento de engenharia civil- CCT-UFRR. Placa é um dos elementos estruturais mais utilizado na engenharia. Com uma formulação bastante complexa, torna sua resolução analítica bastante trabalhosa. Nos primeiros cursos de ciências e engenharia, sua análise só era possível com a utilização de ábacos e tabelas, principalmente nas disciplinas de concreto armado. Sua análise torna-se bastante simples com o advento do computador pessoal, principalmente com a ferramenta dos métodos numéricos aproximados como os dos elementos finitos (FEM) e dos elementos de contorno (BEM). Este fato contribuiu para a comercialização de programas fechados para análise de placas finas e/ou espessas, principalmente para dimensionamento de peças estruturas. Neste trabalho elaborouse inicialmente um software para análise de esforço e deformação de grelhas, o MATGRELHA, em MATLAB, comparando os resultados com softwares livres, como SERRA e DUARTE, na resolução de grelhas isostática e hiperestática. Posteriormente, utilizando analogia de grelha, fez-se análise de placas, comparando os resultados obtidos para deformações e esforços, com a resolução analítica contida na tabela de BARES. Para uma maior aproximação dos resultados, efetuou-se a montagem do vetor carga considerando vários fatores físicos para cada elemento de grelha, entre ele sua rigidez a torção e/ou flexão no conjunto. Aplicando este procedimento, obteve-se uma maior aproximação com BARES, considerando a proporcionalidade com a rigidez à torção e uma discretização mais refinada adotada na placa. Palhas Chaves: Placas Finas. Placas de Kirchhoff. Analogia de Grelha. BARES.

7 ABSTRACT RODRIGUES, J. T. (1)., DUARTE, J.B.P. (2), "Analysis of Thin Plates by Grid Analog.", (1) Academic of the civil engineering course - UFRR; (2) Adjunct Professor IV of the Department of Civil Engineering- CCT-UFRR Plate is one of the most used structural elements in engineering. With a very complex formulation, it makes your analytical resolution quite laborious. In the first courses of sciences and engineering, its analysis was only possible with the use of abacuses and tables, mainly in the disciplines of reinforced concrete. Its analysis becomes quite simple with the advent of the personal computer, especially with the tool of approximate numerical methods such as the finite elements (FEM) and the contour elements (BEM). This fact contributed to the commercialization of closed programs for analysis of thin and / or thick boards, mainly for dimensioning of structural parts. In this wok, initially was elaborate a software to analyze grid stresses and deformations, the MATGRELHA, in MATLAB, comparing the results with free software, such as SERRA and DUARTE, in resolutions of isostatic and hyperstatic grids. Later, using grid analogy, plates were analyzed, comparing the obtained results for deformations and stresses, with the analytical resolution contained in the BARES table. For a better approximation of the results, the load vector was assembled considering several physical factors for each grid element, among them its torsional rigidity and/or flexion in the set. Applying this procedure, a closer approximation with BARES was obtained, considering the proportionality with the stiffness to the torsion and a more refined discretization adopted in the plate. Key words: Thin Plates. Kirchhoff s Plates. Grid Analogy. BARES.

8 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura Pórtico plano com carregamento externo atuante Figura Eixos globais, cargas, reações, deslocamentos e rotações de uma grelha Figura Eixos locais e esforços internos de uma barra de grelha Figura Ações de extremidade de uma barra de grelha Figura Esforços resultantes devido a rotação unitária no eixo x na extremidade j Figura Esforços resultantes devido a rotação unitária no eixo y na extremidade j Figura Esforços resultantes devido a translação unitária no eixo z na extremidade j Figura Matriz de Rigidez da barra de grelha em relação ao sistema de eixo local Figura Matriz de rigidez de membro girada Figura Laje plana discretizada em uma grelha - malha de vigas ortogonais entre si Figura Estrutura de grelha do arquivo Exemplo01.txt Figura Representação da deformada Exemplo Figura Resolução analítica de grelha isostática exemplo01 por equilíbrio de elemento de barra aplicando o princípio da ação e reação Figura Grelha isostática adotada para o segundo exemplo Figura Resolução analítica da grelha isostática do segundo exemplo Figura Representação Deformada "exemplo02" Figura Grelha hiperestática para o terceiro exemplo Figura Representação da deformada da grelha descrita na Figura Figura Elemento de grelha de início no nó 1 até o nó 11, como as respectivas molas de torção e linear, nos nós 3, 6 e 9, (a) calculados de acordo com as características físicas e geométricas da barras perpendiculares a estes nós, (b) com seu respectivo diagrama de momento fletor Figura Elemento de grelha de início no nó 2 até o nó 4, como as respectivas molas de torção e linear, no nó 3, análoga a barra 8 até 10, (a)

9 calculados de acordo com as características físicas e geométricas da barras perpendiculares a estes nós, (b) com seu respectivo diagrama de momento fletor Figura Elemento de grelha de início no nó 5 até o nó 7, como as respectivas molas de torção e linear, no nó 6, (a) calculados de acordo com as características físicas e geométricas da barras perpendiculares a estes nós, (b) e seu respectivo diagrama de momento Figura Discretização de uma placa de dimensão 4m x 3m, com 15 cm de espessura, por elemento de grelha Figura 6.13 Deformada com todo carregamento aplicado na Placa, distribuído linearmente e atuando nas barras de menor dimensão Figura 6.14 Deformada com todo carregamento aplicado na Placa, distribuído linearmente e atuando nas barras de maior dimensão Figura 6.15 Deformada com todo carregamento aplicado na Placa, distribuído igualmente em todas as barras da grelha Figura Deformada das distribuição do carregamento total considerando a rigidez a torção e flexão Figura Deformada das distribuição do carregamento total considerando a rigidez a flexão Figura Deformada das distribuição do carregamento total considerando a rigidez a torção Figura Segunda discretização de uma placa de dimensão 4m x 3m, com 15 cm de espessura, por elemento de grelha Figura Resultado todo carregamento aplicado na Placa, distribuído linearmente e atuando nas barras de menor dimensão Figura Resultado todo carregamento aplicado na Placa, distribuído linearmente e atuando nas barras de maior dimensão Figura Resultado todo carregamento aplicado na Placa, distribuído igualmente em todas as barras da grelha Figura Representação da deformada da grelha com carregamento em função da rigidez a torção e flexão Figura Representação da deformada da grelha com carregamento em função da rigidez e flexão

10 Figura Representação da deformada da grelha com carregamento em função da rigidez a torção

11 LISTA DE TABELAS Tabela Entrada de dados - Dados da estrutura Tabela Dados das barras e Carregamentos Tabela Resultados de Deslocamentos e Rotações Nodais Tabela Reações de Apoio Tabela Resultados de Esforços Internos nas Barras (direções locais)

12 LISTA DE QUADROS Quadro Justificativa de identificação dos nós na discretização do Figura Quadro 2.2 Sistema de referência de acordo o tipo de estrutura reticulada Quadro Ações de extremidade da barra de grelha sujeitas a um carregamento distribuído uniformemente Q Quadro Resultados da grelha isostática da Figura Quadro Resumo dos resultados obtidos para "Exemplo02" Quadro Resumo dos resultados obtidos para "Exemplo03" Quadro Resultados obtido com vetor carregamento considerando apenas tamanho de elemento de barra Quadro Resultados obtido com vetor carregamento considerando a rigidez de cada elemento de grelha Quadro Resultados obtido com vetor carregamento considerando apenas tamanho de elemento de barra Quadro Resultados obtido com vetor carregamento considerando a rigidez de cada elemento de grelha

13 LISTA DE VARIÁVEIS UTILIZADAS E, G I, J t z θ x, θ y Q M T D i β i0 K ij {β 0 } {D} E 0 E i L [k ] [k], [K] [R T ] [R T ] T γ C x, C y q j, k E x {f} ν b, h k torção k linear w s Módulo de elasticidade longitudinal e transversal respectivamente Momento de inércia à flexão e a torção respectivamente Deslocamento na direção do eixo global Z Rotação em torno do eixo global X e Y respectivamente Esforço cortante na direção do eixo local z Momento fletor em torno do eixo local y Momento torsor em torno do eixo local x Deslocabilidade do nó interno da estrutura Reação no apoio fictício associado à deslocabilidade D i Coeficientes de rigidez globais Vetor dos termos de carga Vetor de deslocabilidades Efeito provocado pelo sistema principal pelo carregamento Efeito provocado pelos deslocamentos com os valores unitários Comprimento de barra Matriz de Rigidez de membro em relação ao sistema de eixo local Matriz de rigidez de membro girada e global, respectivamente Matriz de rotação Matriz de rotação transposta Ângulo de inclinação da barra Co-senos diretores Carregamento uniformemente distribuído Extremidades inicial e final da barra respectivamente Ações de extremidade nos elementos de barras Vetor carregamento de extremidade atuando na barra Coeficiente de Poisson. Largura e altura da faixa representada pela barra respectivamente Rigidez à torção e a do elemento de barra Rigidez à flexão do elemento de barra Deflexão máxima atuando no ponto central da placa

14 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO Objetivo geral Objetivos específicos REFERÊNCIAL TEÓRICO Grelha Introdução Grelha Como Estrutura Reticulada Método Da Rigidez Para Resolução De Grelha Introdução Método Da Rigidez METODOLOGIA Análise Matricial Para Resolução De Grelha Introdução Dados De Entrada Para Análise Matricial Matriz De Rigidez De Barra No Sistema Local Matriz De Rigidez Local No Sistema Global Vetor De Cargas Solução Do Sistema Determinação Das Ações De Extremidade Reações De Apoio RESULTADOS Análise De Placas Por Analogia De Grelha Aplicação Introdução Resoluções de grelha Grelhas isostáticas... 35

15 Grelha hiperestática Aplicação para análise de placas por analogia de grelha Determinação da rigidez dos elementos de barras para compor vetor carregamento Distribuição do carregamento constante na placa nos elementos de grelha Análise Dos Resultados CONCLUSÃO REFERÊNCIAS ANEXO... 64

16 15 1 INTRODUÇÃO Segundo DUARTE (1999) placas é um elemento estrutural de superfície plana, cujos esforços atuantes são perpendiculares a mesma. É uma estrutura bastante comum na engenharia, que consiste de um plano com dimensões bem maiores que a sua espessura. Sua formulação pode ser dividida em duas categorias, a saber: placas finas (ou placa de Kirchhoff) e placas espessas (ou de Besel). Embora seja um elemento plano, é considerada como uma estrutura espacial, já que seu carregamento é perpendicular a mesma, bem como sua deformação. Pode exemplificar como placa os seguintes elementos construtivos: lajes de piso ou forro; radier; tabuleiros, etc.. Seu dimensionamento permaneceu por muito tempo sendo tratado como um elemento estrutural isolado, sua arquitetura bastante limitada e pobre, já que na grande maioria das vezes sua forma básica era a retangular. Com o surgimento de uma arquitetura moderna e traços curvos ocorreu a necessidade um comportamento mais preciso desta estrutura, ou seja, o mais próximo do real. Com isso surge a necessidade de analisar suas deformações e seu esforços de forma mais integrada com os outros elementos como vigas e pilares. Quando a engenharia não disponha da ferramenta computacional, as resoluções das placas eram possíveis com a utilização de tabelas com vários tipos de vinculações, carregamentos adotados, espessura e características físicas. Podem-se citar as mais conhecidas: Bares, Marcus, Czerny, entre outras que não dispondo na época de tecnologia de cálculo, tinham que se valer de processo para resolução analítica de placas. Forma mais simplificada, como a determinação do quinhão de carga proveniente das Lajes, atuando nas vigas, determinado em função da sua área de contribuição. Todos estes fatores foram bastante importantes e não ocasionaram nenhum problema na execução de obras de engenharia estrutural, mas não tinha uma atuação realista de como uma laje se comporta quando submetida a um carregamento. Com o advento do computador, a resolução tornou-se bastante simples, principalmente com a introdução de métodos numéricos, ou métodos aproximados, com formulação matemática tridimensional da teoria da elasticidade onde a resposta obtida é bastante próxima do real. O precursor das resoluções de lajes utilizando métodos computacionais consiste na analogia de grelhas. Neste processo considera-se a placa como uma estrutura

17 16 reticulada, ou seja, constituída de elementos de barras de largura unitária, simulando uma viga contínua. Com a necessidade de máquinas com maior capacidade de cálculo, alguns softwares comerciais são aplicados, principalmente o que utilizam do método dos elementos finitos, como por exemplos: o SAP2000, e o ANSYS, e outros..., expandindo a resolução de estruturas com discretização mais complexa como por exemplo, estrutura tridimensional, como casca. Como ferramenta básica para a execução deste trabalho, preocupou-se na confecção de um algoritmo, denominado de MATGRELHA para análise matricial de grelhas. A resolução de placas por analogia de grelha consiste em dividi-la de forma adequada, em elementos de barras, considerando sua rigidez à flexão e torção, bem como suas condições de contorno nas bordas. Em COL DEBELLA (2016), considerase também um refinamento desta discretização das malhas de contribuição da grelha, bem como aplicando uma redução na rigidez à torção do elemento de barra. Neste mesmo os resultados são comparados principalmente com a tabela de BARES, este método é bastante vantajoso em relação a outros por ter uma formulação simples, no caso, análise matricial pelo método da rigidez, não necessitando uma formulação matemática complexa nos casos dos métodos numéricos aproximados. No capítulo 2 deste trabalho, apresenta um referencial teórico de grelha, aplicando a estruturas reticuladas e suas especificidades, tanto nos esforços como nas deformações. No capítulo 3 deste trabalho, é apresentado todos os passos para resolução de problema de grelha pelo método da rigidez, baseado em um sistema de referência adotado. Todo o procedimento adotado na lógica computacional para resolução com análise matricial de uma estrutura tipo grelha, é descrito de forma clara e sucinta no capítulo 4. A resolução de placa por analogia de grelha é descrita em um referencial teórico dos principais trabalhos publicados, é explanada no capitulo 5. Para referendar o sucesso do trabalho, é apresentada, no capítulo 6, a resolução de vários exemplos de grelhas isostáticas e hiperestática, comparando os resultados em softwares acadêmicos, bem como, tratando placas por analogia de grelha. A fim de revalidar o produto deste trabalho, o programa MATGRELHA, analisam-se os resultados obtidos no capítulo 7.

18 Objetivo geral Confeccionar um programa para resolução de grelhas. 1.2 Objetivos específicos Resolução de placas por analogia de grelha, comparando os resultados com as tabelas de Bares; Analisar a contribuição do vetor carregamento em função das características geométricas de cada elemento de grelha. Analisar os resultados obtidos, levando em consideração a rigidez à torção e à flexão de cada barra na contribuição do vetor carregamento.

19 18 2 REFERÊNCIAL TEÓRICO 2.1 Grelha Introdução Neste capítulo, apresenta-se de forma geral, a estrutura reticulada e quais seus tipos. Dando prosseguimento, descreve-se a estrutura grelha, detalhando suas características de deformação, bem como, os esforços no qual a mesma está sujeita Grelha Como Estrutura Reticulada A estrutura reticulada é formada por membros que são compridos em comparação com as dimensões de sua seção transversal. Os nós são os pontos de interseção dos membros, como também os pontos de apoio e extremidades livres dos membros (Gere, Weaver, 1987). Em consequência disto, toda estrutura reticulada é discretizada por nós e elementos de barras, identificando em cada barra, identificando suas restrições de deslocamento, e em cada barra suas características físicas e geométricas, como também os carregamentos externos atuantes. Tomando como exemplo o pórtico plano descrito na Figura 2.1, para transforma-lo em um arquivo de entrada de dados, ocorre a necessidade de informar as coordenadas dos nós A até F seguindo as justificativas no Quadro 2.1. Podem-se definir as estruturas reticuladas de acordo com o sistema de referência, os seguintes tipos, conforme o Quadro 2.2. Assim, dentre os tipos de estruturas reticuladas existentes será estudado a Grelha, que segundo Martha (2010) é uma estrutura plana composta de membros contínuos que se interceptam ou se cruzam mutuamente, as cargas atuam na direção perpendicular ao plano, incluindo momentos em torno de eixos do mesmo. As reações de apoio de uma grelha apresentam apenas uma componente de força (V), sendo na direção Z, e duas componentes de momento (M), indicadas por setas duplas. Em grelhas não diferirão entre apoio do 1º gênero e 2º gênero, apresentando somente uma componente força

20 19 na direção Z, por hipótese, uma grelha não apresenta deslocamentos dentro do seu plano. Figura Pórtico plano com carregamento externo atuante. 1 t/m C EI 3 t m D EI E 3 t m EI EI 1,5 m 2 t/m B F 2EI 1,5 m A 3 m 3 m Fonte: Autoria própria Quadro Justificativa de identificação dos nós na discretização do Figura 2.1. Nó Indica na discretização: Início da estrutura; presença de um apoio com restrição de deslocamento linear na vertical e horizontal (apoio do segundo gênero); Início de um A carregamento distribuído de 2 t/m e início de uma barra com modulo de rigidez a flexão 2EI. B Final da barra com rigidez 2EI; início de uma barra com rigidez EI. Finais da barra com rigidez EI e do carregamento distribuído 2 t/m; Início da C barra com outra direção, como também do carregamento distribuído de 1 t/m Final da barra, como também do carregamento distribuído de 1 t/m; aplicação D de um momento pontual de 3 tm; indica uma vinculação com deslocamento linear vertical impedido; Final de uma barra; aplicação de um momento de 3 tm; início de outra barra E com mudança de direção. Indica o final da barra, como também a vinculação de engaste, onde todos os F deslocamentos possíveis: linear vertical e horizontal, e rotação, são impedidas. Fonte: Autoria própria

21 20 Quadro 2.2 Sistema de referência de acordo o tipo de estrutura reticulada. Tipo Sistema de referência 2 3 Viga Treliça plana 2 4 Pórtico plano Grelha z 2 y x Treliça espacial 1 z 3 2 y x y Pórtico espacial 4 1 z x 6 12

22 21 A Figura 2.2 esboça de forma exagerada a configuração da deformada da grelha, tendo como componentes de deslocamentos e rotações: z Deslocamento na direção do eixo global Z; θ x Rotação em torno do eixo global X; θ y Rotação em torno do eixo global Y. Figura Eixos globais, cargas, reações, deslocamentos e rotações de uma grelha. Fonte: MARTHA (2010, p.32) Na Figura 2.3 são indicados os esforços internos de uma barra de grelha, assim como também a convenção adotada para os seus eixos locais, onde o eixo x é axial, o eixo y é o plano da grelha e o eixo z, que coincide com o eixo Z global. Os esforços internos são: Q: esforço cortante na direção do eixo local z; M: momento fletor em torno do eixo local y; T: momento torsor em torno do eixo local x. Figura Eixos locais e esforços internos de uma barra de grelha. Fonte: MARTHA (2010, p.33)

23 22 Para calcular os esforços solicitantes nas grelhas hiperestáticas são usados os métodos básicos da analise estrutural, dentre eles o Método dos Deslocamentos, também conhecido como Método da Rigidez, sendo o método que está mais direcionado a uma implementação computacional.

24 Método Da Rigidez Para Resolução De Grelha Introdução Neste capítulo é apresentado o processo algébrico utilizado pelo método da rigidez, definindo todas as matrizes e vetores necessários para aplicação da resolução de grelha Método Da Rigidez No método da Rigidez (ou dos Deslocamentos) as incógnitas principais do problema são os deslocamentos. As outras incógnitas, força e momento, são expressas em termos das incógnitas principais escolhidas e substituídas em equações de equilíbrio, que depois são resolvidas. Segundo Martha (2010) a essência da análise de modelos estruturais está no atendimento à condição de equilíbrio, nas leis constitutivas dos materiais e nas condições de compatibilidade. A metodologia empregada no Método dos deslocamentos consiste em somar uma série de soluções básicas atendendo somente a condição de compatibilidade, sem satisfazer a condição de equilíbrio da estrutura original, para na superposição de todas as soluções básicas, restabelecer as condições de equilíbrio. Segundo Gere e Weaver (1981) a finalidade do método é conseguir uma estrutura cinematicamente determinada, alterando a estrutura real de modo tal que os deslocamentos desconhecidos sejam zero. Como os deslocamentos desconhecidos são as translações e rotações dos nós, podem-se fazer iguais a zero, impedindo os deslocamentos dos nós, dessa forma obtém-se uma estrutura restringida. Na análise da estrutura restringida quando submetida as cargas, são consideradas todas as cargas aplicadas na estrutura fixa, exceto as que estão aplicadas em nós com deslocamentos conhecidos (nós com restrição), para avaliar as várias ações na estrutura. As ações correspondentes aos deslocamentos desconhecidos são os mais importantes, mas também são verificadas as ações de extremidades das barras e as reações de apoio dos nós com restrição.

25 24 Os nós da grelha possuem três possíveis deslocabilidades, se não tiver restrições de apoio, podendo ser um deslocamento vertical (no eixo z, perpendicular ao plano) e duas componentes de rotação (em torno dos dois eixos x e y da grelha). Assim, no modelo estrutural utilizado para se determinar os deslocamentos da estrutura, o Sistema Hipergeométrico (SH), uma estrutura cinematicamente indeterminada obtida pela adição de apoios fictícios, é necessário inserir duas chapas fictícias e um apoio simples fictício nos nós sem restrição de apoio. Martha (2010) afirma que para se restabelecer as condições de equilíbrio da estrutura, os efeitos dos apoios fictícios são anulados utilizando a superposição de soluções básicas (casos básicos) que isolam o efeito da solicitação externa (carregamento) e os efeitos de cada uma das deslocabilidades. O equilibro do nó interno é afetado por cada um dos efeitos isolados, assim pode-se fazer a superposição dos casos para se reestabelecer as condições de equilíbrio do nó interior. As resultantes de forças e momentos externos no nó devem ser nulas, assim de forma geral, tem-se a seguinte equação de equilibro na direção das deslocabilidades D i do nó interno para uma estrutura com n deslocabilidades: Em que: β i0 + j=n K ij j=1. D j = 0 (2.1) β i0 Reação no apoio fictício associado à deslocabilidades D i para equilibrar o SH quando atua a solicitação externa isoladamente, isto é, com deslocabilidades de valores nulos; K ij Coeficientes de rigidez globais. O sistema de equações de equilíbrio da estrutura pode ser reescrito da seguinte forma matricial no caso geral de uma estrutura com n deslocabilidades: {β 0 } + [K]{D} = 0 (2.2) Em que: {β 0 } Vetor dos termos de carga; [K] Matriz de rigidez global quadrada e simétrica; {D} Vetor de deslocabilidades.

26 25 Dessa forma, quando a grelha é sujeita a cargas externas, o sistema de equações é resolvido calculando-se os deslocamentos. Com base nos deslocamentos calculados e nas matrizes de rigidez de cada elemento isolado, são obtidos os esforços nas barras da estrutura (COELHO, 2000). Süssekind (1977) afirma que resolvendo a equação (3.2), obtém-se a expressão (3.3), que soluciona o problema e demostra que para resolver uma estrutura pelo Método dos Deslocamentos, trabalha-se com a inversão de sua matriz de rigidez. {D} = [K] 1 {β 0 } (2.3) Após resolver o sistema e determinados os deslocamentos dos nós, a estrutura está resolvida, pois ao empregar o princípio da superposição de efeitos, qualquer efeito final E será: E = E 0 + E i. D i (2.4) Em que: E 0 Efeito provocado pelo sistema principal pelo agente solicitante externo (carregamento) Vetor dos termos de carga. E i Efeito provocado, no sistema principal, pelos deslocamentos com os valores unitários Matriz de Rigidez.

27 26 3 METODOLOGIA 3.1 Análise Matricial Para Resolução De Grelha Introdução Como o Método da Rigidez é o método mais indicado para implementação computacional, pois o Método das Forças não possui uma metodologia adequada para implementação computacional, assim ele é apresentado em uma formulação matricial, conhecida também com análise matricial de estruturas (MARTHA, 2010). Neste capítulo introduziremos de forma sucinta a aplicabilidade do método da rigidez por análise matricial para resolução de grelha Dados De Entrada Para Análise Matricial Os tipos de dados necessários para análise matricial são comuns à maioria dos programas, os que serão utilizados no seguinte trabalho são: a) Coordenadas dos nós; b) Restrições de deslocamento dos nós quando houver; c) Conexidade nodal das barras, ou seja, indicando o nó inicial e seu nó final, e também suas características físicas (módulo de elasticidade longitudinal (E) e transversal (G)) e geométrica (espessura da placa, momento de inércia à flexão (I) e momento de inércia a torção (J t )); d) Carregamentos distribuídos constantes atuando nas barras Matriz De Rigidez De Barra No Sistema Local Para formar a matriz de rigidez da barra de grelha [k ], os deslocamentos unitários podem ser provocados um por vez. O significado físico de [k ] pode ser apresentado como: Cada coluna (j) da matriz [k ] é um vetor de cargas que deve ser aplicado ao grau de liberdade de modo a manter estado de deformação associado com

28 27 um valor unitário do grau de liberdade j enquanto todos os demais graus de liberdade são zero (COELHO, 2000, p.54). Quando umas das extremidades da barra é impedida de se deslocar, seja por translação ou rotação, a barra é considerada restringida. As ações de reação, força ou momento que aparecem nas extremidades das barras quando são submetidas a esforços, variação de temperatura, deslocamentos impostos ou outros efeitos, são as ações de extremidade da barra (COELHO, 2000). Os deslocamentos possíveis nas extremidades de uma barra de grelha são demostrados na Figura 3.1, que são quatro rotações nos eixos x e y, e duas translações no eixo z. Figura Ações de extremidade de uma barra de grelha Fonte: Gere e Weaver (1981, p. 248) Na Figura 3.2 tem-se o caso de uma barra de grelha engastada nas duas extremidade, onde é imposto um deslocamento (rotação) unitário no eixo x na extremidade j, gerando assim momentos torsores nas duas extremidades das barras. Figura Esforços resultantes devido a rotação unitária no eixo x na extremidade j Fonte: Gere e Weaver (1981, p. 180)

29 28 Na Figura 3.3 tem-se o caso de uma barra de grelha engastada nas duas extremidade, onde é imposto um deslocamento (rotação) unitário no eixo y na extremidade j, gerando assim momentos fletores e forças nas duas extremidades da barra. Figura Esforços resultantes devido a rotação unitária no eixo y na extremidade j Fonte: Gere e Weaver (1981, p. 180) Na Figura 3.4 tem-se o caso de uma barra de grelha engastada nas duas extremidade, onde é imposto um deslocamento (translação) unitário no eixo z na extremidade j, gerando assim momentos fletores e forças nas duas extremidades da barra. Figura Esforços resultantes devido a translação unitária no eixo z na extremidade j Fonte: Gere e Weaver (1981, p. 180) Assim as reações obtidas nas três figuras anteriores para extremidade j serão as mesmas para a extremidade k, e essas reações obtidas são os coeficientes de rigidez da barra, que ao serem agrupados formaram uma matriz 6x6, a chamada

30 29 matriz de rigidez de uma barra de grelha (no sistema local), representada na Figura 3.5. Figura Matriz de Rigidez da barra de grelha em relação ao sistema de eixo local. Fonte: MARTHA (2010, p.286) Em que: I Momento de inércia a flexão da barra; J t Momento de inércia a torção da barra; E Módulo de elasticidade longitudinal da barra; G Módulo de elasticidade transversal da barra; L Comprimento de barra Matriz De Rigidez Local No Sistema Global Para considerar a influência de uma barra na estrutura, é preciso antes transformar as propriedades mecânicas da barra, definidas anteriormente pelos coeficientes de rigidez em seu sistema de eixo local, para o sistema de coordenadas generalizadas globais (MARTHA, 2010). Assim para girar a matriz de rigidez no sistema local para o sistema global, parte-se da seguinte equação: [k] = [R T ] T. [k ]. [R T ] (3.1) Em que: [R T ]: Matriz de rotação: cos γ sen γ 0 C x C y 0 R = [ sen γ cos γ 0] = [ C y C x 0] (3.2)

31 30 R T = [ R 0 0 R ] (3.3) Sendo γ o ângulo de inclinação da barra, conforme a Figura 3.1. O comprimento da barra é dado por: C x = (x k x j ) L (3.4) C y = (y k y j ) L (3.5) L = (x k x j ) + (y k y j ) (3.6) [k] = Figura Matriz de rigidez de membro girada. GJ t L C x 2 + 4EI L C y 2 ( GJ t L 4EI ( GJ t L 4EI L ) C xc y 6EI L 2 C y L ) C xc y GJ t L C y 2 + 4EI 6EI L 2 C x L C x 2 6EI GJ t L C x 2 + 2EI L C y 2 ( GJ t L + 2EI L ) C xc y ( GJ t L + 2EI L ) C xc y [ 6EI L 2 C y GJ t L C x 2 + 2EI 6EI L 2 C y GJ t L C x 2 + 2EI L C y 2 ( GJ t L + 2EI L ) C xc y L 2 C x ( GJ t L + 2EI L ) C xc y GJ t L C x 2 + 2EI 12EI L 3 6EI L 2 C y L C y 2 6EI L 2 C x ( GJ t 6EI L 2 C x 12EI L 3 6EI L 2 C y GJ t L C x 2 + 4EI L C y 2 ( GJ t L 4EI L 4EI L ) C xc y 6EI L 2 C y 6EI L 2 C y L C y 2 6EI L 2 C x 6EI L 2 C x 12EI L 3 L ) C xc y 6EI L 2 C y GJ t L C y 2 + 4EI 6EI L 2 C x L C x 2 6EI L 2 C x 12EI L 3 ] Após gerada a matriz de rigidez local [k] de cada barra, pode ser feita a montagem da matriz de rigidez [K] global da estrutura, somando as contribuições das matrizes de rigidez das barras, uma por vez (MARTHA, 2010) Vetor De Cargas Para este trabalho é considerado apenas um carregamento distribuído constante, assim para uma barra de grelha sujeita a um carregamento distribuído uniformemente q, as cargas nodais equivalentes em suas extremidades serão:

32 31 Quadro Ações de extremidade da barra de grelha sujeitas a um carregamento distribuído uniformemente q Extremidade Momento torsor Momento fletor Força j k q. L C y q. L2 12. C y q. L2 12. C x q. L C x Com os valores do Quadro 3.1 obtém-se um vetor de carga para cada barra no sistema global. Como na discretização ocorre a situação de nós pertencerem a mais de um elemento de barra, tem-se a necessidade de determinar a resultante dos carregamentos distribuídos atuantes nas barras em cada nó, com isso obtém-se um vetor carga com dimensão coerente com a matriz de rigidez global na resolução do sistema definido na Equação (3.2). q. L 2 q. L Solução Do Sistema Anteriormente a resolução do sistema, condiciona-se a matriz de rigidez e o vetor de carga aos valores das deformações conhecidas no caso, as suas restrições de deslocamentos nulos. Com isso, aplica-se na Matriz de Rigidez o procedimento de zerar todas linhas e colunas correspondentes aos nós com restrição de deformação. Da mesma forma para o vetor de carga, na correspondente posição. Posteriormente, torna o termo da diagonal principal unitário, ou seja, K ii = 1. Assim é possível determinar os deslocamentos dos nós que não estão restringidos pela seguinte operação: {D} = [K] 1. {F} (3.7) Determinação Das Ações De Extremidade As ações de extremidade indicam os valores dos esforços gerados devidos aos carregamentos externos, no nó inicial e final de elemento de barra. Seus valores são obtidos na seguinte equação:

33 32 {E x } = [k]. {D} {f} (3.8) Em que: E x : Ações de extremidade nos elementos de barras; [k]: Matriz de rigidez de membro das barras; {D}: Vetor deformação obtido na resolução do sistema descrito na equação (4.7) relativo a conexidade da barra; {f}: Vetor carregamento de extremidade atuando na barra. Os valores obtidos nas ações de extremidade são de grande importância para construção dos diagramas de esforço cortante, momento fletor e torsor, bem como das deflexões dos nós, para a construção da deformada Reações De Apoio As reações nos apoios são determinadas pela resultante das ações de extremidades obtidas nos nós com restrição de deslocamento.

34 33 4 RESULTADOS 4.1 Análise De Placas Por Analogia De Grelha O processo de Analogia de Grelha é um método de resolução numérica que consiste em substituir uma placa por uma malha, formando uma grelha, sendo composta por vigas ortogonais entre si, que são barras paralelas e transversais aos eixos principais da placa, e estão situadas no mesmo plano da grelha, assim como os nós também, conforme a Figura 5.1 (HENNRICHS, 2003). Figura Laje plana discretizada em uma grelha - malha de vigas ortogonais entre si. Fonte: HENNRICHS (2003, p. 69) Posteriormente para determinar os deslocamentos e os esforços da grelha fazse uso da Análise Matricial descrita anteriormente. Para ser feita a analogia de grelha, divide-se a placa em um número adequado de faixas que terão suas larguras dependentes da geometria e das dimensões da placa. Considera-se que faixas possam ser substituídas por elementos estruturais de barras, assim como as vigas em seus eixos, dessa forma obtém-se uma grelha equivalente para representar a placa (SILVA, 2003). Segundo HENNRICHS (2003) nos resultados da analogia de gelhas, as propriedades físicas e geométricas das barras são de grande importância, pois

35 34 influenciam diretamente nos resultados, assim as barras devem representar as propriedades da placa em estudo. As propriedades físicas são em função do material da placa. Neste trabalho serão analisadas placas de qualquer material, sendo necessário determinar o valor do módulo de elasticidade longitudinal E e o módulo de elasticidade transversal G, obtido pela relação: Em que: ν Coeficiente de Poisson. G = E (1 + ν) (4.1) Em relação as propriedades geométricas das barras, de acordo com Hambly (1991) devem ser definidas os momentos de inércia a flexão (I) e a torção (J t ) das barras, onde b representa a largura da faixa representada pela barra e h a espessura da placa, assim: I = (b. h 3 ) 12 (4.2) J t = (b. h 3 ) 6 (4.3) Pode-se concluir que: J t = 2. I (4.4) Logo, segundo Hambly (1991) o momento de inércia a torção pode ser calculado como duas vezes o momento de inércia a flexão. Quanto ao carregamento atuante, considera-se que a carga total aplicada na placa será inserida nos elementos de barra de acordo com as seguintes condições: a) Aplicação de toda carga total nos menores elementos de grelha de forma distribuída; b) Aplicação de toda carga total nos maiores elementos de grelha de forma distribuída; c) Aplicação de toda carga total em todos os elementos de grelha de forma distribuída; d) Aplicação de toda carga total proporcionalmente a rigidez dos elementos de grelha à flexão e torção; e) Aplicação de toda carga total proporcionalmente somente a rigidez dos elementos de grelha à flexão;

36 35 f) Aplicação de toda carga total proporcionalmente somente a rigidez dos elementos de grelha à torção. 4.2 Aplicação Introdução Neste capitulo, aplica-se o software elaborado neste trabalho, comparando os resultados com outros softwares existentes, bem como, quando possível, como a resolução analítica da grelha Resoluções de grelha Grelhas isostáticas A primeira aplicação do programa consiste na resolução de uma grelha simplesmente engastada, comparando seu resultado com os softwares confeccionados por J.B.P.DUARTE, e J.L.SERRA. Neste primeiro e único caso, apresenta-se os arquivos de dados com a resolução gerada nos respectivos programas, para uma familiarização destes arquivos. Figura Estrutura de grelha do arquivo Exemplo01.txt 3 t /m 2 t /m A 2,0 m B C 1,5 m

37 36 Resolução MATGRELHA Arquivo Exemplo01.xlsx Tabela Entrada de dados - Dados da estrutura. NJ (número de nós) 21 M (número de membros/barras) 20 NRJ (número de nós restringidos) 1 NLM (número de membros carregados) 20 E (Módulo de elasticidade long.) (t/m²) 1000 G (Módulo de elasticidade transv.) (t/m²) 750 Jt (momento de inércia polar) (m 4 ) 1 Iy (Momento de inércia à flexão) (m 4 ) 1 Tabela Dados das barras e Carregamentos Membro Nó Nó Q Inicial Final (t/m) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00

38 37 Tabela Resultados de Deslocamentos e Rotações Nodais. Nó Rotação Rotação Deslocamento X (rad) Y (rad) Z ,000000E-04 2,224000E-03-2,282000E ,200000E-03 4,112000E-03-8,672000E ,800000E-03 5,688000E-03-1,852200E ,400000E-03 6,976000E-03-3,123200E ,000000E-03 8,000000E-03-4,625000E ,600000E-03 8,784000E-03-6,307200E ,200000E-03 9,352000E-03-8,124200E ,800000E-03 9,728000E-03-1,003520E ,400000E-03 9,936000E-03-1,200420E ,000000E-03 1,000000E-02-1,400000E ,304875E-03 1,000000E-02-1,492367E ,549000E-03 1,000000E-02-1,588842E ,739125E-03 1,000000E-02-1,688567E ,882000E-03 1,000000E-02-1,790780E ,984375E-03 1,000000E-02-1,894824E ,053000E-03 1,000000E-02-2,000142E ,094625E-03 1,000000E-02-2,106279E ,116000E-03 1,000000E-02-2,212880E ,123875E-03 1,000000E-02-2,319692E ,125000E-03 1,000000E-02-2,426562E-02 Tabela Reações de Apoio Nó Mx (tm) My (tm) Fz (t) 1 2, ,0000 9, ,0000 0,0000 0, ,0000 0,0000 0, ,0000 0,0000 0, ,0000 0,0000 0, ,0000 0,0000 0, ,0000 0, ,0000 0,0000 0, ,0000 0,0000 0, ,0000 0,0000 0, ,0000 0,0000 0, ,0000 0,0000 0, ,0000 0, ,0000 0,0000 0,0000

39 38 Nó Mx (tm) My (tm) Fz (t) 15-0,0000 0, ,0000 0,0000 0, ,0000 0,0000 0, , ,0000 0,0000 0, ,0000 0,0000 0, ,0000 0,0000 0,0000 Tabela Resultados de Esforços Internos nas Barras (direções locais). Barra Mx (tm) My (tm) F (t) Mx (tm) My (tm) F (t) Nó Inicial Nó Inicial Nó Inicial Nó Final Nó Final Nó Final 1 2, ,0000 9,0000-2, ,2600-8, , ,2600 8,4000-2,2500 8,6400-7, ,2500-8,6400 7,8000-2,2500 7,1400-7, ,2500-7,1400 7,2000-2,2500 5,7600-6, ,2500-5,7600 6,6000-2,2500 4,5000-6, ,2500-4,5000 6,0000-2,2500 3,3600-5, ,2500-3,3600 5,4000-2,2500 2,3400-4, ,2500-2,3400 4,8000-2,2500 1,4400-4, ,2500-1,4400 4,2000-2,2500 0,6600-3, ,2500-0,6600 3,6000-2,2500 0,0000-3, ,2500 0,0000 3,0000-1,8225 0,0000-2, ,8225 0,0000 2,7000-1,4400 0,0000-2, ,4400 0,0000 2,4000-1,1025 0,0000-2, ,1025 0,0000 2,1000-0,8100 0,0000-1, ,8100 0,0000 1,8000-0,5625 0,0000-1, ,5625-1,5000-0, , ,3600 0,0000 1,2000-0,2025 0,0000-0, ,2025 0,0000 0,9000-0,0900 0,0000-0, ,0900 0,0000 0,6000-0,0225 0,0000-0, ,0225 0,0000 0,3000 0,0000 0,0000 0,0000

40 39 Figura Representação da deformada Exemplo01 Quadro Resultados da grelha isostática da Figura 6.1. Resultado MATGRELHA Prof. J.B.P. Duarte Prof. J.L. Serra T = 2,25 tm T = 2,25 tm T = 2,25 tm Reação nas M = tm M = tm M = tm vinculações Fz = 9.00 t Fz = 9.00 t Fz = 9.00 t Deformações Nó B: θ x = -6,0000E-03 θ y = 1,0000E-02 z = E-02 Nó C: θ x = -7,1250E-03 θ y = 1,0000E-02 z = -2, Nó B: θ x = -5,9999E-03 θ y = 9,9999E-03 z = E-03 Nó C: θ x = E-03 θ y = 9,9999E-03 z = -2,5109E-02 Fonte: Autoria própria Nó B: θ x = -6,0000E-03 θ y = 1,0000E-02 z = E-02 Nó C: θ x = -7,1250E-03 θ y = 1,0000E-02 z = -2,4266E-02 Para comparação com a resolução analítica, tem-se o equilíbrio de cada elemento de barra da grelha do primeiro exemplo, demostrada na Figura 4.4. Determinando os esforços desconhecidos nas extremidades, aplica-se a terceira lei de Newton, onde os esforços são aplicados nas barras adjacentes com a mesma intensidade e direção, mas com sentido contrário.

41 40 Figura Resolução analítica de grelha isostática exemplo01 por equilíbrio de elemento de barra aplicando o princípio da ação e reação. 2 t /m 1,5 m B C 2,25 t m 3 t 3 t /m 3 t 2,25 t m 12 t m 2,0 m A 9 t B 2,25 t m Como segundo exemplo, também para grelha isostática, admite-se a resolução da grelha conforme figura a seguir. Figura Grelha isostática adotada para o segundo exemplo. 1 t /m y 1 t /m 2 m A C B D x 3 m 2 m Fonte: Autoria própria

42 41 Resolução analítica: Figura Resolução analítica da grelha isostática do segundo exemplo. 1 t /m 4.5 t C 3 m 3 t D 3 t 4.5 t m B 4.5 t m 3 t C 6.0 t m 2 m 1 t /m 3 t 6.0 t m A 12.5 t m 2 m 5 t B 4.5 t m 6.0 t m Quadro Resumo dos resultados obtidos para "Exemplo02" Resultado MATGRELHA Prof. J.B.P. Duarte Prof. J.L. Serra T = 6.00 tm T = 6.00 tm T = 6.00 tm Reação nas M = tm M = tm M = tm vinculações Fz = 5.00 t Fz =5.00 t Fz = 5.00 t Nó B: θ x = E-02 θ y = E-02 z = E-02 Nó B: θ x = E-02 θ y = E-02 z = E-02 Nó B: θ x = E-02 θ y = E-02 z = E-02 Deformações Nó C: θ x = E-02 θ y = E-02 z = E-02 Nó C: θ x = E-02 θ y = E-02 z = E-02 Nó C: θ x = E-02 θ y = E-02 z = E-02 Nó D: θ x = E-02 θ y = E-02 z = E-01 Nó D: θ x = E-02 θ y = E-02 z = E-01 Nó D: θ x = E-02 θ y = E-02 z = E-01

43 42 Figura Representação Deformada "exemplo02" Grelha hiperestática. Como terceiro exemplo aplicativo, considera-se a grelha hiperestática demostrada na Figura 4.8. Aplicação do programa para estruturas hiperestáticas. Figura Grelha hiperestática para o terceiro exemplo. 5 Adote: EI = 10 t m² e GJp = t m² 1,5 t /m 1 t /m 5 y A D x 3,0 m B C 2,0 m 1,5 m

44 43 Resultados obtidos: Quadro Resumo dos resultados obtidos para "Exemplo03". Resultado MATGRELHA Prof. J. B. P. Duarte Prof. J. L. Serra Nó A: Nó A: Nó A: T = tm T = tm T = tm M = tm M = tm M = tm Fz = t Fz = t Fz = t Reação nas vinculações Nó B: T = M = Fz = t Nó B: T = M = Fz = t Nó B: T = M = Fz = t Deformações Nó D: T = tm M = tm Fz = t Nó B: θ x = E-04 θ y = E-04 z =0.0000E-00 Nó C: θ x = E-04 θ y = E-04 z = E-04 Nó D: T = tm M = tm Fz = t Nó B: θ x = E-06 θ y = E-06 z = E-00 Nó C: θ x = E-06 θ y = E-06 z = E-06 Nó D: T = tm M = tm Fz = t Nó B: θ x = E-06 θ y = E-06 z = E-00 Nó C: θ x = E-06 θ y = E-06 z = E-06 Figura Representação da deformada da grelha descrita na Figura 6.7

45 Aplicação para análise de placas por analogia de grelha Determinação da rigidez dos elementos de barras para compor vetor carregamento Como proposta de compor o vetor carregamento dos elementos de grelha, este trabalho propõe a alternativa de distribuição deste, de acordo com a proporção de rigidez do elemento de grelha. Para isso, realizou-se o cálculo da rigidez aplicando o software FTOOL, propondo uma rotação unitária em cada extremidade engastada dos elementos de grelha. Considerando, por exemplo, a discretização efetuada na placa descrita na Figura A barra descrita nas Figuras 6.9, 6.10 e 6.11 teve a simulação das barras perpendicular representada por uma mola de torção e uma mola linear, calculada na forma: Para a barra da Figura 4.10, na torção: k torção = 0,5 105 tm 2 5, m 4 2m Como há duas barras similares atuando: Na flexão: k torção = GJ t L (4.5) k linear = 12EI L³ (4.6) k torção = 28,125 tm/rad k linear = 12 1,0 105 tm 2 2, m 4 (2m)³ Como há duas barras similares atuando: k linear = 84,375 t/m = 14,0625 tm/rad = 42,1875 t/m

46 45 Figura Elemento de grelha de início no nó 1 até o nó 11, como as respectivas molas de torção e linear, nos nós 3, 6 e 9, (a) calculados de acordo com as características físicas e geométricas da barras perpendiculares a estes nós, (b) com seu respectivo diagrama de momento fletor. (a) (b) Para a barra da Figura 4.11, na torção: Neste, tem-se atuação de duas barras diferentes, uma de 0,5 m e 1,0 m, portanto a mola de torção que simula as barras perpendiculares é calculada por: Na flexão: k torção = 0,5 104 tm 2 2, m 4 0,5m = 337,5 tm/rad k linear = 12 1, tm 2 1, m 4 (0,5m)³ = ,00 t/m + 0,5 104 tm 2 2, m 4 1,0m ,0 105 tm 2 1, m 4 (1m)³

47 46 Figura Elemento de grelha de início no nó 2 até o nó 4, como as respectivas molas de torção e linear, no nó 3, análoga a barra 8 até 10, (a) calculados de acordo com as características físicas e geométricas da barras perpendiculares a estes nós, (b) com seu respectivo diagrama de momento fletor. (a) (b) Para a barra da Figura 6.11, na torção: k torção = 0,5 104 tm 2 2, m 4 1m Como há duas barras similares atuando: Na flexão: k torção = 225,0 tm/rad k linear = 12 1, tm 2 1, m 4 (1m)³ Como há duas barras similares atuando: k linear = 2.700,0 t/m = 112,5 tm/rad = 1.350,0 t/m

48 47 Figura Elemento de grelha de início no nó 5 até o nó 7, como as respectivas molas de torção e linear, no nó 6, (a) calculados de acordo com as características físicas e geométricas da barras perpendiculares a estes nós, (b) e seu respectivo diagrama de momento. (a) (b) Para determina a rigidez do elemento de barra, pode-se considerar as seguintes condições: rigidez à flexão e torção; apenas a flexão, apenas a torção, conforme calculado para as várias discretizações da placa a seguir em porcentagem do esforço calculado para uma rotação unitária Distribuição do carregamento constante na placa nos elementos de grelha Antes de se obter uma comparação entre dados de placas pelas tabelas de BARES, analisa-se uma forma de representar uma melhor distribuição do carregamento constante atuando na placa, nos elementos de grelha adotado para resolução. Para isto, tem-se a tabela com várias formas de carregamento e seus respectivos erros obtidos, se comparado com BARES.

49 48 Figura Discretização de uma placa de dimensão 4m x 3m, com 15 cm de espessura, por elemento de grelha m E = t/m² G = t/m² by m bx bx bx Quadro Resultados obtido com vetor carregamento considerando apenas tamanho de elemento de barra. Carregamento aplicado Todo carregamento aplicado na Placa, distribuído linearmente e atuando nas barras de menor dimensão. Todo carregamento aplicado na Placa, distribuído linearmente e atuando nas barras de maior dimensão. Todo carregamento aplicado na Placa, distribuído igualmente em todas as barras da grelha. MATGRELHA Prof. J. L. Serra ws Bares (-5.664E-03) Erro (%) -6,338 E E % -3,209 E E-03 43,34% -3,835 E E-03 32,29%