TAMIRES DOS SANTOS DE MOURA ESTUDO PRELIMINAR DO POTENCIAL DE ALGUNS ASTEROIDES

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1 TAMIRES DOS SANTOS DE MOURA ESTUDO PRELIMINAR DO POTENCIAL DE ALGUNS ASTEROIDES Guaratinguetá 2014

2 TAMIRES DOS SANTOS DE MOURA Estudo Preliminar do Potencial de Alguns Asteroides Trabalho de Graduação apresentado ao Conselho de Curso de Graduação em Licenciatura em Matemática da Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, como parte dos requisitos para obtenção do diploma de Graduação em Licenciatura em Matemática. Orientador: Prof. Dr. Othon Cabo Winter Guaratinguetá 2014

3 M929e Moura, Tamires dos Santos de Estudo Preliminar do Potencial de Alguns Asteroides / Tamires dos Santos de Moura. - Guaratinguetá : [s.n.], f.: il. Bibliografia: f Trabalho de Graduação em Licenciatura em Matemática Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, Orientador: Prof. Dr. Othon Cabo Winter 1. Asteroides 2. Potencial gravitacional 3. Curvas em superfícies I. Título CDU

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5 AGRADECIMENTOS A minha querida mãe, Celina e minha irmã Aline, que me deram muito apoio para que eu chegasse até essa etapa da minha vida. Obrigada por eu poder sempre contar com a ajuda de vocês e por estarem tão presentes na minha vida. Ao meu marido, Marcelo, que tem sido companheiro, amigo e confidente, me proporcionando apoio, calma, conselhos e incentivo nas horas que foram necessárias. As minhas amigas Vanessa e Michele, que sempre me apoiaram para que eu seguisse em frente e realizasse os meus sonhos. Ao meu orientador Professor Dr. Othon Cabo Winter que acreditou em mim, ouvindo pacientemente as minhas considerações e partilhando comigo as suas ideias e conhecimentos. Quero expressar o meu reconhecimento e gratidão. Aos meus antigos professores da Escola Estadual Paulo Virgínio, Cunha - SP, que sempre me incentivaram a nunca parar e sempre ir em busca de novos conhecimentos. Ao Professor André Amarante Luiz que pacientemente ouviu as minhas dúvidas e auxiliou-me. Hoje realizo um sonho e todos vocês de algum modo foram essenciais para que ele se tornasse realidade.

6 EPÍGRAFE O sucesso nasce do querer, da determinação e persistência em se chegar a um objetivo. Mesmo não atingindo o alvo, quem busca e vence obstáculos, no mínimo fará coisas admiráveis. José de Alencar

7 MOURA, T.S. Estudo preliminar do potencial de alguns asteroides. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, RESUMO A pesquisa que realizamos, e trazemos expressa neste texto, é um estudo preliminar sobre o formato de asteroides e nos permitiu compreender um pouco mais a dinâmica ao redor desses corpos, tendo em vista que as imagens que temos de asteroides são as mais irregulares possíveis. Neste trabalho, o asteroide é modelado por meio do método dos poliedros, que fornece uma precisão muito boa da forma irregular do corpo. Por meio de estudo dos modelos de potenciais gravitacionais para corpos não esféricos, implementação de rotinas computacionais e simulações numéricas foi realizada uma análise preliminar em relação ao formato dos asteroides 4179 Toutatis, 6489 Golevka, 2063 Bacchus, 1620 Geographos e 1998 ML14, como também regiões de estabilidade/instabilidade, computamos os coeficientes do potencial gravitacional. O trabalho possibilita ampliação não somente para o caso de asteroides, mas também para outros corpos não esféricos, contribuindo para o desenvolvimento de estudos direcionados a origem e evolução do sistema solar, e quem sabe da origem da Terra, e de novas tecnologias para modelagem e mapeamento de corpos não esféricos. Os principais resultados foram obtidos através da análise dos gráficos do formato e da planificação dos asteroides, que confirmou quão irregulares são esses corpos e como apresentam distribuição de massa não homogênea. Observamos o comportamento das curvas de velocidade zero e curvas de equipotencial, bem como suas respectivas superfícies. Também computamos alguns valores do potencial gravitacional e dos coeficientes harmônicos esféricos de cada objeto. Além disso, encontramos possíveis pontos de equilíbrio dos asteroides, exceto 4179 Toutatis, e analisamos sua estabilidade. PALAVRAS-CHAVE: Sistema Solar. Corpos irregulares. Asteroides. Superfície de um asteroide. Potencial gravitacional.

8 MOURA, T.S. Preliminary study of the potential of some asteroids. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, ABSTRACT A survey we conducted, and bring expressed in this text is a preliminary study on the shape of asteroids and allowed us to understand a little more the dynamics around these bodies, in order that the images we have of asteroids are the most irregular possible. In this work, the asteroid is modeled by the method of the polyhedron, which provides a very good accuracy of the irregular shape of the body. Through study of models for non-spherical gravitational potential bodies, implementation of computational algorithms and numerical simulations a preliminary analysis was performed in relation to the shape of asteroids 4179 Toutatis, 6489 Golevka, 2063 Bacchus, 1620 Geographos and 1998 ML14, as well as regions of stability instability, we compute the coefficients of the gravitational potential. The work not only enables expansion for the case of asteroids, but also for other non-spherical bodies, contributing to the development of targeted studies the origin and evolution of the solar system, and perhaps the origin of the earth, and new technologies for modeling and mapping of non-spherical bodies. The main results were obtained by analyzing the graphics format and planning of asteroids, which confirmed how these bodies are irregular and show how distribution of nonhomogeneous mass. Observe the behavior of the curves of zero velocity and equipotential curves as well as their respective surfaces. Also, compute some values of the gravitational potential and the spherical harmonic coefficients of each object. Furthermore, we find possible equilibrium points of asteroids except 4179 Toutatis, and analyze its stability. KEYWORDS: Solar system. Irregular bodies. Asteroids. Surface of an asteroid. Gravitational potential.

9 LISTA DE FIGURAS Figura Imagem do asteroide 216 kleopatra Figura Imagem do asteroide Ceres tirada pelo telescópio espacial Hubble Figura Cinturão Principal Figura Imagem do asteroide 433 Eros pela sonda NEAR Shoemaker Figura Imagem do asteroide Itokawa tirada pela sonda Hayabusa Figura Modelo de poliedros para o asteroide Castalia Figura Ilustração do formato do asteroide 4179 Toutatis Figura Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 4179 Toutatis Figura Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 4179 Toutatis com faces pintadas Figura Gráfico representando o formato do asteroide 4179 Toutatis com projeção nos planos xy, yz e xz Figura Ilustração do formato do asteroide 1620 Geographos Figura Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 1620 Geographos Figura Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 1620 Geographos com faces pintadas Figura Gráfico representando o formato do asteroide 1620 Geographos com projeção nos planos xy, yz e xz Figura Ilustração do formato do asteroide 6489 Golevka Figura Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 6489 Golevka Figura Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 6489 Golevka com faces pintadas Figura Gráfico representando o formato do asteroide 6489 Golevka com projeção nos planos xy, yz e xz Figura Ilustração do formato do asteroide 2063 Bacchus Figura Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 2063 Bacchus Figura Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 2063 Bacchus com faces pintadas Figura : Gráfico representando o formato do asteroide 2063 Bacchus com projeção nos planos xy, yz e xz Figura Ilustração do formato do asteroide 1998 ML Figura Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 1998 ML Figura : Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 1998 ML14 com faces pintadas... 38

10 Figura Gráfico representando o formato do asteroide 1998 ML14 com projeção nos planos xy, yz e xz Figura Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 4179 Toutatis com faces pintadas Figura Mapa topográfico do asteroide 4179 Toutatis Figura Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 1620 Geographos com faces pintadas Figura Mapa topográfico do asteroide 1620 Geographos Figura Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 6489 Golevka com faces pintadas Figura Mapa topográfico do asteroide 6489 Golevka Figura Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 2063 Bacchus com faces pintadas Figura Mapa topográfico do asteroide 2063 Bacchus Figura Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 1998 ML14 com faces pintadas Figura Mapa topográfico do asteroide 1998 ML Figura Representação de harmônicos zonais Figura Representação de harmônicos setoriais Figura Representação de harmônicos tesserais Figura Curvas de equipotencial do asteroide 4179 Toutatis nos plano Figura Curvas de equipotencial do asteroide 1620 Geographos no plano Figura Curvas de equipotencial do asteroide 6489 Golevka no plano Figura Curvas de equipotencial do asteroide 2063 Bacchus no plano Figura Curvas de equipotencial do asteroide 1998 ML14 no plano Figura Superfícies de equipotencial do asteroide 4179 Toutatis juntamente com as curvas nos planos, e Figura Superfícies de equipotencial do asteroide 1620 Geographos juntamente com as curvas nos planos, e Figura Superfícies de equipotencial do asteroide 6489 Golevka juntamente com as curvas nos planos, e Figura Superfícies de equipotencial do asteroide 2063 Bacchus juntamente com as curvas nos planos, e Figura Superfícies de equipotencial do asteroide 1998 ML14 juntamente com as curvas nos planos, e Figura Sistema de referencia (,, ) projetado no plano (, )... 67

11 Figura Curvas de velocidade zero do asteroide 4179 Toutatis nos planos, e, respectivamente Figura Curvas de velocidade zero do asteroide 1620 Geographos nos planos, e, respectivamente Figura Curvas de velocidade zero do asteroide 6489 Golevka nos planos, e, respectivamente Figura Curvas de velocidade zero do asteroide 2063 Bacchus nos planos, e, respectivamente Figura Curvas de velocidade zero do asteroide 1998 ML14 nos planos, e, respectivamente Figura Superfícies de velocidade zero do asteroide 4179 Toutatis Figura Superfícies de velocidade zero do asteroide 4179 Toutatis nos planos, e Figura Superfícies de velocidade zero do asteroide 4179 Toutatis juntamente com as curvas nos planos, e Figura Superfícies de velocidade zero do asteroide 1620 Geographos Figura Superfícies de velocidade zero do asteroide 1620 Geographos nos planos, e Figura Superfícies de velocidade zero do asteroide 1620 Geographos juntamente com as curvas nos planos, e Figura Superfícies de velocidade zero do asteroide 6489 Golevka Figura Superfícies de velocidade zero do asteroide 6489 Golevka nos planos, e Figura Superfícies de velocidade zero do asteroide 6489 Golevka juntamente com as curvas nos planos, e Figura Superfícies de velocidade zero do asteroide 2063 Bacchus Figura Superfícies de velocidade zero do asteroide 2063 Bacchus nos planos, e Figura Superfícies de velocidade zero do asteroide 2063 Bacchus juntamente com as curvas nos planos, e Figura Superfícies de velocidade zero do asteroide 1998 ML Figura Superfícies de velocidade zero do asteroide 1998 ML14 nos planos, e Figura Superfícies de velocidade zero do asteroide 1998 ML14 juntamente com as curvas nos planos, e Figura Localização dos pontos de equilíbrio do asteroide 1620 Geographos Figura Localização dos pontos de equilíbrio do asteroide 6489 Golevka... 92

12 Figura Localização dos pontos de equilíbrio do asteroide 2063 Bacchus Figura Localização dos pontos de equilíbrio do asteroide 1998 ML Figura Localização dos pontos de equilíbrio do asteroide 2063 Bacchus observando as curvas de velocidade zero... 94

13 LISTA DE TABELAS Tabela Potencial Gravitacional do asteroide 4179 Toutatis em alguns pontos Tabela Potencial Gravitacional do asteroide 1620 Geographos em alguns pontos Tabela Potencial Gravitacional do asteroide 6489 Golevka em alguns pontos Tabela Potencial Gravitacional do asteroide 2063 Bacchus em alguns pontos Tabela Potencial Gravitacional do asteroide 1998 ML14 em alguns pontos Tabela Potencial Gravitacional dos asteroides Tabela Coeficientes gravitacionais e do asteroide 4179 Toutatis Tabela Coeficientes gravitacionais e do asteroide 1620 Geographos Tabela Coeficientes gravitacionais e do asteroide 6489 Golevka Tabela Coeficientes gravitacionais e do asteroide 2063 Bacchus Tabela Coeficientes gravitacionais e do asteroide 1998 ML

14 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS AU - Astronomical Unit IAU - International Astronomical Union LINEAR - Asteroid Research Lincoln Near-Earth NEA - Near-Earth Asteroid NEAR - Near Earth Asteroid Rendezvous PHA - Potentially Hazardous Asteroid SMASS - Small Main-Belt Asteroid Spectroscopic Survey UAI - União Astronômica Internacional ou distância Sol-Terra

15 SUMÁRIO CAPÍTULO I: APRESENTANDO A PESQUISA O que é um asteroide? Classificação dos asteroides NEAs Missão ÁSTER CAPÍTULO II: FORMATO DOS ASTEROIDES Asteroide 4179 Toutatis Asteroide 1620 Geographos Asteroide 6489 Golevka Asteroide 2063 Bacchus Asteroide 1998 ML Conclusões CAPÍTULO III SUPERFÍCIE DOS ASTEROIDES EM LATITUDE E LONGITUDE Asteroide 4179 Toutatis Asteroide 1620 Geographos Asteroide 6489 Golevka Asteroide 2063 Bacchus Asteroide 1998 ML Conclusões CAPÍTULO IV POTENCIAL GRAVITACIONAL CAPÍTULO V: COEFICIENTES GRAVITACIONAIS CAPÍTULO VI: CURVAS DE EQUIPOTENCIAL CAPÍTULO VII: SUPERFÍCIES DE EQUIPOTENCIAL CAPÍTULO VIII: CURVAS DE VELOCIDADE ZERO Asteroide 4179 Toutatis Asteroide 1620 Geographos Asteroide 6489 Golevka Asteroide 2063 Bacchus Asteroide 1998 ML CAPÍTULO IX: SUPERFÍCIES DE VELOCIDADE ZERO Asteroide 4179 Toutatis... 79

16 9.2 Asteroide 1620 Geographos Asteroide 6489 Golevka Asteroide 2063 Bacchus Asteroide 1998 ML CAPÍTULO X: PONTOS DE EQUILÍBRIO Regiões de estabilidade/instabilidade Resultados CAPÍTULO XI: CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFIA CONSULTADA APÊNDICE A Manual dos programas APÊNDICE B CD com animações dos asteroides

17 15 CAPÍTULO I: APRESENTANDO A PESQUISA Tendo em vista que os asteroides são materiais dos primórdios do Sistema Solar, os cientistas estão interessados na composição deles. Existem missões que estão sendo analisadas com a finalidade de enviar sondas em direção a asteroides do grupo Near Earth Asteroids (NEA), que representa uma das mais peculiares classes de objetos no Sistema Solar e suas órbitas podem se aproximar ou até mesmo cruzar a terrestre. Esse grupo é considerado representativo da população de asteroides, visto que podem fornecer informações sobre a mistura química a partir da qual os planetas teriam se formado a bilhões de anos atrás, possibilitando a compreensão da origem e evolução do sistema solar e quem sabe até a origem da vida na Terra. Dessa forma, um estudo detalhado a fim de compreender a superfície, a composição e a estrutura interna de um NEA será um grande passo para a Ciência. Neste trabalho um dos principais objetivos foi estudar e compreender os modelos de potenciais para corpos irregulares, implementar rotinas computacionais que levam em conta esses potenciais gravitacionais e explorar regiões de estabilidade/instabilidade para órbitas espaciais ao redor de um asteroide. A metodologia adotada foi com base em métodos numéricos, visto que foi necessário fazer a leitura de tabelas de dados obtidos por meio de sondas espaciais, como também computar a forma e os coeficientes do potencial gravitacional. No entanto, se trata de um estudo preliminar, sendo que particularidades serão vistas mais a fundo na pós-graduação. A seguir apresentaremos algumas informações importantes no que diz respeito a um asteroide. 1.1 O que é um asteroide? Sabe-se que diversas imagens que temos de asteroides foram enviadas por sondas espaciais que tiveram como objetivo observar outros objetos, ao invés de asteroides. Por exemplo, a sonda Galileo, no decorrer de seu caminho em direção ao planeta Júpiter, foi a primeira a observar asteroides. Durante estes encontros, foram obtidas imagens de alta resolução do asteroide 951 Gaspra em outubro de 1991, e Ida em agosto de Apenas três sondas tiveram como objetivo estudar um asteroide: a sonda americana Near-Shoemaker (1996) enviou imagens do asteroide 253 Mathilde e no ano de 2000 se aproximou e pousou no asteroide 4Eros 33; a sonda japonesa Hayabusa (2005) enviou imagens do asteroide Itokawa; e a

18 16 sonda Dawn, lançada pela NASA em 2007 com a finalidade de coletar imagens dos asteroides 4 Vesta e 1 Ceres. O termo "asteroide" deriva do grego "astér", estrela, e "oide", sufixo que denota semelhança. São objetos essencialmente rochosos e/ou metálicos, ou formados por aglomeração gravitacional de partículas rochosas, e como todos os demais corpos do Sistema Solar, possuem rotação própria. Sua forma é irregular e seu diâmetro pode variar de alguns metros a centenas de quilômetros, como por exemplo o asteroide 216 Kleopatra (Fig. 1.1) que possui um formato incomum, como se fosse um osso de cão, e mede por volta de 217 de comprimento e 94 de largura. São desconhecidos quase todos os asteroides de menor tamanho cuja estimativa é de cerca de 1 milhão. Já que a grande maioria é representada por corpos muito pequenos que não podem ser considerados planetas, e também não possuem atmosfera. São semelhantes aos meteoroides, porém em dimensões bem maiores, possuindo formas e tamanhos indefinidos. A grande maioria possui a compreensão dos asteroides como pequenos pedaços de detritos espaciais que caem na superfície terrestre. Meteoroides são aqueles asteroides que se encontram em colisão com o nosso planeta, e ao se chocarem com a nossa atmosfera em alta velocidade produz um risco de luz conhecido como meteoro. Caso não haja queima total desses meteoroides, o que sobra da matéria espacial atinge a Terra e é chamado de meteorito. A grande maioria dos meteoritos são compostos de silicato (pedra), o restante de ferro e níquel e uma terceira parte da mistura dos três materiais. Meteoritos pedregosos são os mais difíceis de identificar, uma vez que eles aparentam-se como as pedras terrestres. Figura 1.1: Imagem do asteroide 216 kleopatra. Fonte: NASA, 2000.

19 17 Ceres (Fig. 1.2) foi o primeiro asteroide a ser descoberto em 1801 pelo astrônomo italiano Giuseppe Piazzi, e é também o maior asteroide, com aproximadamente 980 de diâmetro e massa de 9,5x10. A forma praticamente esférica de Ceres é uma exceção entre os asteroides. Por outro lado, um dos menores, descoberto em 1991 é chamado 1991 BA, tem apenas cerca de 6 de diâmetro. Figura 1.2: Imagem do asteroide Ceres obtida pelo telescópio espacial Hubble. Fonte: NASA, Tradicionalmente quando um asteroide é descoberto recebe um nome de uma figura mitológica, mas há vários asteroides nomeados em honra de astrônomos ou outras figuras importantes. Atualmente, os asteroides são descobertos em massa pelo projeto LINEAR de pesquisas de asteroides próximos à Terra, por isso muitos não chegam a receber um nome próprio. A fórmula atual envolve o ano da descoberta, duas letras e, se necessário, alguns algarismos. Mais de meio milhão de asteroides estão contidos dentro de um cinturão principal (Fig. 1.3), entre as órbitas de Marte e Júpiter e estão separados por distâncias muito grandes, distribuídos não uniformemente na região do cinturão. No entanto, no interior deste cinturão, existem áreas que estão praticamente vazias, as chamadas Lacunas de Kirkwood, que correspondem a zonas de ressonância onde a atração gravitacional do planeta Júpiter impede a permanência de qualquer corpo celeste.

20 18 Figura 1.3: Cinturão Principal a cintura principal (vista em branco) está localizada entre as órbitas de Marte e Júpiter. Fonte: Classificação dos asteroides Os asteroides, assim como os planetas, apenas refletem a luz visível emitida pelo Sol, sendo que seu albedo, capacidade de refletir esta luz, varia enormemente. A estimativa de sua forma física pode ser feita através do seu albedo, que depende da composição química na superfície do asteroide e com o brilho. A taxonomia mais comumente usada por mais de uma década fora aquela de David J. Tholen, proposta pela primeira vez em 1984, que diferencia os asteroides em 14 tipos. Outra mais recentemente introduzida em 2002 foi baseada no Small Main-Belt Asteroid Spectroscopic Survey (SMASS), que classifica os asteroides em 24 categorias. Como são classificados de várias maneiras, vamos destacar as três principais, já que a grande maioria dos corpos recaem nelas: Tipo C ou Carbonáceos: esse grupo representa cerca de 75% do número de asteroides conhecidos. As principais características são a cor escura, a baixa refletividade (albedo entre 0,03 e 0,09) e costumam apresentar um tom ligeiramente azulado. Devido à presença de água na sua estrutura eles absorvem bastante radiação infravermelha. De um modo geral esses

21 19 objetos encontram-se nas regiões exteriores do cinturão. São compostos por material rochoso, à base de compostos de carbono e silício. Tipo S ou Silicatos: esse grupo representa cerca de 15% do número de asteroides conhecidos, as principais características é que são mais claros, exibindo uma cor ligeiramente avermelhada e, por esse motivo, refletem mais a luz solar (albedo entre 0,10 e 0,22) que os do tipo C. São encontrados na parte do cinturão mais próxima ao Sol. São compostos de níquel e ferro metálico misturado a ferro e silicatos de magnésio. Tipo M ou Metálicos: representa a maior parte dos asteroides restantes (cerca de 10%), são brilhantes e refletem muito a luz solar (albedo entre 0,10 e 0,18). São compostos de puro níquel e ferro. Há também uma minoria de outros tipos raros. Pelo fato dos asteroides do Tipo C serem escuros, dificulta a visibilidade, e dessa forma as observações tendem a ser tendenciosas e o percentual acima pode não representar a verdadeira distribuição dos asteroides. Visto que hoje em dia a descoberta de uma imensidade de asteroides, e consequentemente variedade, faz com que existam asteroides do tipo A, B, D, E, F, G, P, Q, R, T e V. Essas formas de classificação serão convenientemente substituídas devido a pesquisas futuras. Quando o número de asteroides descobertos começou a ser elevado, os astrônomos observaram que alguns deles partilhavam certas características, como a excentricidade, o semieixo maior ou a inclinação orbital. Assim as regiões com um maior número de asteroides são chamadas famílias, aproximadamente um terço dos asteroides do cinturão faz parte de uma família. As famílias possuem elementos orbitais similares, o qual indica que têm a sua origem na fragmentação de um objeto maior. Reconhecemos, atualmente, dois tipos de formação de famílias. Uma, quando o objeto progenitor é totalmente quebrado. Outro, quando ele é apenas craterizado (isto é, quando crateras são formadas em sua superfície). A família de Eufrosina faria parte desse segundo grupo. É muito provável que todos os objetos pequenos que a compõem tenham se originado do material arrancado de uma cratera existente na superfície do asteroide principal, essa é uma das pesquisas lideradas por Valério Carruba, professor da Universidade Estadual Paulista (Unesp), campus de Guaratinguetá, apoiada pela FAPESP (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo). Algumas das famílias mais importantes são Flora, Eunoma, Koronis, Eos e Themis. A família Flora, uma das mais numerosas, poderia ter a sua origem numa colisão ocorrida há milhões de anos.

22 NEAs Como sabemos a maior parte dos asteroides conhecidos estão localizados no cinturão principal, entre as órbitas dos planetas Marte e Júpiter. No entanto, muitos desses corpos estão cada vez mais perto do Sol e consequentemente passam a cruzar as órbitas de Marte, Terra, Vênus e Mercúrio, esse fato acontece por causa das perturbações no sistema solar. Asteroides com periélio 1 inferior a 1,3 AU 2, possuem órbitas passando próximas da órbita terrestre, e são chamados de Near Earth Asteroids (NEAs). Dentro do grupo dos NEAs existem os asteroides considerados potencialmente perigosos, ou PHAs, sigla em inglês para Potentially Hazardous Asteroids. Estes possuem distância mínima de interseção da órbita com a Terra de 0,05 AU. Pesquisas recentes estimam que existam asteroides considerados PHAs para o nosso planeta, de acordo com a NASA, agência espacial americana, visto que podem, no futuro, entrar em rota de colisão com a Terra. Esses asteroides possuem a órbita mais próxima do nosso planeta e têm tamanho suficiente para passar pela atmosfera terrestre e causar danos em grande escala. No entanto, não é uma notícia que deva deixar todos sem dormir, uma vez que esse tipo de evento só acontece uma vez a cada 10 mil anos, e também não quer dizer que vá necessariamente colidir com o nosso planeta. Caso ocorra um impacto de um asteroide com a Terra os prejuízos dependerão do tamanho do corpo, dos materiais que o compõem e da sua velocidade na colisão. A partir do tamanho de 40 de diâmetro até cerca de 1 de diâmetro, a colisão de um NEA pode gerar um enorme estrago em uma escala local. Impactos bem maiores podem até causar extinções em massa, como a que possivelmente eliminou a era dos dinossauros a milhões de anos atrás (15 de diâmetro). Isso os torna um alvo atraente para a exploração. De acordo com a International Astronomical Union (IAU), o maior asteroide potencialmente perigoso é o 4179 Toutatis, um dos objetos deste trabalho. Dos asteroides considerados PHAs, pelo menos tem mais de 100 de diâmetro. Os NEAs são classificados em quatro grupos (Fonte: JPL/NASA): Amor Seu nome é em homenagem ao asteroide 1221 Amor e estão localizados entre as órbitas de Marte e Júpiter. Órbita completamente externa à órbita terrestre. Representam 32% dos NEAs; 1 Em astronomia o periélio é o ponto da órbita de um corpo, seja ele planeta, planeta anão, asteroide ou cometa, que está mais próximo do Sol. 2 1 Astronomical Unit (AU) é igual a 1,495979x10, e é definida como sendo a distância média entre a Terra e o Sol.

23 21 Apolo Cruzam a órbita da Terra. O semieixo maior é maior que o terrestre. Representam 62% dos NEAs; Atenas - Cruzam a órbita da Terra. O semieixo maior é menor que o terrestre. Representam 6% dos NEAs; Atira Objetos com órbita completamente dentro da órbita da Terra. Existem 6 objetos conhecidos. A NASA com o intuito de proteger a Terra monitora e controla esses asteroides, e consequentemente os pesquisadores conseguem prever com maior grau de exatidão as suas órbitas como também analisam futuras aproximações, e por ventura um provável impacto. Indo além de mero interesse científico, o estudo dos NEAs é uma questão de segurança planetária, fato que leva esses objetos a serem permanentemente catalogados, seguidos e estudados por telescópios. Em 1996 a NASA lançou a missão NEAR (Near Earth Asteroid Rendezvous) Shoemaker, com o intuito de estudar de perto estes corpos, em particular o asteroide 433 Eros (Fig. 1.4). A sonda Japonesa Hayabusa, que fotografou de perto o asteroide Itokawa mostrado na Figura 1.5, pela primeira vez coletou material de um asteroide retornando à Terra para ser analisado. Diferente da maioria dos asteroides, Itokawa não possui grandes marcas de crateras. Figura 1.4: Imagem do asteroide 433 Eros pela sonda NEAR Shoemaker. Fonte: NASA, 2001

24 22 Figura 1.5: Imagem do asteroide Itokawa obtida pela sonda Hayabusa. Fonte: Tese de Doutorado Manobras Orbitais ao Redor de Corpos Irregulares, de Flaviane Cristine Faria Venditti. 1.4 Missão ÁSTER Asteroides binários ou duplos também existem, situação em que dois asteroides de tamanho aproximadamente igual orbitam um ao outro. E sistemas de asteroides triplos são conhecidos também, e será estudo da missão Áster. O Brasil está prestes a dar um importante salto tecnológico e realizar o que poucos países já fizeram em termos de tecnologia espacial. Se tudo sair conforme previsto, o país pousará uma pequena sonda em um raro mundo distante, e dará início à primeira exploração espacial brasileira. O alvo da missão é orbitar um asteroide triplo e pousar na superfície do maior deles, como também colher dados sobre a sua formação. Esse sistema foi batizado de 2001-SN263, descoberto pelo projeto LINEAR em 2001, e é formado por um objeto central (2,8 de diâmetro) e outros dois menores (1,1 e 0,4 de diâmetro), sendo que os dois últimos descrevem órbitas em volta do corpo central. Na ocasião da descoberta, pesquisadores estadunidenses acreditavam se tratar de um objeto único, mas através de imagens de radar feitas em 2008 através do radiotelescópio de Arecibo, em Porto Rico, constatou-se que era um sistema triplo, com duas rochas orbitando o asteroide principal. A missão está programa para lançar a sonda em 2017, com previsão de chegada ao asteroide em 2019, quando o objeto estiver a 150 milhões de quilômetros da Terra. A missão está sendo coordenada pelos pesquisadores Elbert Macau e Haroldo de Campos Velho, do

25 23 Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE), Othon Winter, ligado à Universidade Estadual Paulista e Alexander Sukhanov, cientista ligado ao INPE e Instituto de Pesquisas Espaciais da Rússia. Diante de tudo o que foi exposto escolhemos cinco asteroides, sendo eles 4179 Toutatis, 6489 Golevka, 2063 Bacchus, 1620 Geographos e 1998 ML14, pelo motivo da NASA disponibilizar arquivos, que serão arquivos de entrada para as simulações numéricas, contendo o número de vértices e faces desses corpos. Em seguida foi necessário reconstruir a forma desses corpos e conhecer suas características físicas. Modelar corpos irregulares não é uma tarefa simples devido à complexidade da distribuição de massa destes corpos. Para se aproximar de modo mais preciso do formato desses corpos tendo em vista os formatos observados nos artigos consultados, foram desenvolvidos trabalhos que tratam do potencial de corpos tridimensionais por meio do método de poliedros (Hudson e Ostro, 1994). Logo, foram realizadas várias simulações numéricas para de se obter o modelo de poliedros com faces triangulares de cada asteroide para serem modeladas no software Gnuplot, e assim gerar os gráficos do formato de cada objeto. O foco principal foi aprender a utilizar todos os programas, em linguagem de programação C e Fortran (vide Apêndice A), a fim de aplicá-los para os objetos escolhidos. Esses programas foram criados pela Equipe do Curso de Pós - Graduação em Dinâmica de Asteroides 3. Também foram realizadas simulações para obter e analisar os pontos de equilíbrio, o potencial gravitacional, os coeficientes gravitacionais, para gerar os gráficos das curvas e superfícies de velocidade zero, gráficos das curvas e superfícies de equipotencial e gráficos da superfície do asteroide em latitude e longitude e com profundidade. Com isso, no presente capítulo apresentamos a pesquisa e uma introdução ao trabalho desenvolvido bem como um contexto a respeito dos asteroides. No capítulo a seguir iremos apresentar os 5 asteroides dessa pesquisa e também os gráficos representando o formato desses objetos. Já o capítulo III traz os gráficos das superfícies dos asteroides em latitude e longitude e com profundidade. O capítulo IV e V é destinado a análise do potencial e dos coeficientes gravitacionais, respectivamente. O sexto, sétimo, oitavo e o nono capítulos são compostos pelos gráficos das curvas de equipotencial, superfícies de equipotencial, curvas de velocidade zero e superfícies de velocidade zero, respectivamente, dos asteroides escolhidos. E o capítulo X traz 3 A Equipe do Curso de Pós Graduação em Dinâmica de Asteroides é composta pelos seguintes membros: Othon Cabo Winter; Thierry Gregory Gil Chanut; André Amarante Luiz; Nilton Carlos Santos Araújo; Alexandre Pinho dos Santos Souza; Luiz Augusto Guimarães Boldrin; Helton da Silva Gaspar; Ernesto Vieira Neto; Rafael Sfair de Oliveira; Rosana Aparecida Nogueira de Araújo.

26 24 a região de estabilidade/instabilidade levando em consideração as simulações que geraram os pontos de equilíbrios dos asteroides, exceto 4179 Toutatis. Construímos, no último capítulo, as considerações finais, procuramos trazer o que foi compreendido acerca da pesquisa e aos dados coletados e aos autores lidos.

27 25 CAPÍTULO II FORMATO DOS ASTEROIDES Neste capítulo apresentamos um breve contexto a respeito dos objetos escolhidos e os gráficos da construção da forma dos asteroides baseado no método dos poliedros, com faces triangulares. É como se a superfície do asteroide fosse revestida por uma capa cheia de figuras de triângulos, com os vértices ligados uns aos outros, conforme figura 2.1. Para tanto a NASA disponibiliza uma tabela de vértices com as coordenadas x, y e z de cada vértice, e logo abaixo é fornecida uma tabela de faces triangulares com o número dos três vértices que formam cada uma das faces. Estes dados do modelo de poliedros disponibilizados pelo JPL/NASA têm sido referência para várias pesquisas relacionadas a asteroides, como por exemplo para estudos de estabilidade e estudo do campo gravitacional do asteroide 433 Eros (Chanut et al. 2014), entre outros. Os dados relativos as faces e vértices dos asteroides estão em relação a origem de um sistema inercial e para essa pesquisa transferimos para o centro de massa de cada objeto, através de simulação numérica. Figura 2.1: Modelo de poliedros para o asteroide Castalia. Fonte: Tese de Doutorado Manobras Orbitais ao Redor de Corpos Irregulares, de Flaviane Cristine Faria Venditti. Foi utilizada implementação de alguns programas em linguagem de programação C, para reorganizar os dados dos asteroides, e visualizar sua forma poliédrica com profundidade, isto é, o programa calcula a distância do centro de massa do asteroide ao baricentro de cada face do asteroide. Lembrando que a rotina implementada para cálculo do baricentro é com base

28 26 em faces triangulares. Também foi encontrado o centro de massa de casa objeto. Para todos os corpos foi considerado densidade constante. Para plotar as figuras foi utilizado o software Gnuplot, que é uma ferramenta gráfica e pode ser executado no sistema operacional Linux. Também foi necessário o programa FFmpeg, para converter as figuras de cada asteroide em pequenos vídeos, que são as animações que estão gravadas em um CD (vide Apêndice B). Nessas animações é possível notar que o asteroide está rotacionando nos eixos e, obtendo dessa forma uma boa visão do formato de cada corpo sob diversos ângulos. O eixo representa o maior momento de inércia, enquanto que o eixo representa o menor momento de inércia. Em cada gráfico representando o formato dos objetos em 3D existe uma escala de cores que representa a distância da superfície do asteroide em relação ao centro de massa do corpo. Já as cores das projeções de cada objeto nos planos xy, yz e xz foram escolhidas apenas para ilustrar. 2.1 Asteroide 4179 Toutatis Em 04 de janeiro de 1989, o asteroide Toutatis (Fig. 2.2), anteriormente 1989 AC, oficialmente numerado 4179, foi descoberto pelo astrônomo francês Christian Pollas. Seu nome é em homenagem a Teutates, um deus na mitologia céltica protetor da tribo na antiga Gália. Pertence ao grupo Apollo, seu período orbital 4 é de 1.473,27 dias e seu diâmetro é cerca de 5,4. Suas dimensões são de 1,70x2,03x4,26 (Hudson et al. 2003). Ele frequentemente se aproxima muito perto da terra. Em setembro de 2004 o asteroide fez sua trajetória mais próxima à Terra, a uma distância de (quatro vezes a distância entre a Terra e a Lua), considerada extremamente próxima para um objeto que pode causar devastação. É um dos mais estranhos objetos do nosso sistema solar. O modelo de poliedros utilizado para Toutatis possui vértices e faces de acordo com os dados obtidos da NASA. Consideramos densidade de 2,5 / ³ e um período de rotação 5 de 176,4 horas (Scheeres et al. 1998). Sua massa é de aproximadamente 2,27x10 e seu albedo geométrico é de 0,13. 4 O período orbital é o tempo que leva um planeta (ou outro astro) para fazer uma órbita completa. 5 O movimento de rotação é a revolução de um corpo celeste sobre seu próprio eixo (imaginário). O tempo gasto para realizar esse percurso é chamado de período.

29 27 As figuras 2.3, 2.4 e 2.5 representam o formato desse asteroide, onde se observa a presença de possíveis crateras, conforme as projeções nos planos xy, yz e xz. Também podemos observar que Toutatis possui uma forma convexa dominada por dois componentes em contato, um de aproximadamente duas vezes maior do que o outro. Um dos formatos com tendência mais arredondada, enquanto que o outro mais alongado. Na parte mais arredondada podemos considerar que existam menos crateras, pois de acordo com os gráficos a cor dominante é o azul, representando a profundidade em relação ao centro de massa quase que uniforme. Já a parte do asteroide mais alongada é a mais distante em profundidade em relação ao seu centro de massa. Nessa parte há forte evidência da presença de crateras, uma vez que ocorrem mudanças significativas de cores, conforme gráficos, saindo da cor azul claro para o vermelho. As projeções nos planos somente evidenciam quão irregular é o formato de Toutatis. Figura 2.2: Ilustração do formato do asteroide 4179 Toutatis. Fonte: wikipedia.

30 28 Figura 2.3: Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 4179 Toutatis. Fonte: Autora. Figura 2.4: Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 4179 Toutatis com faces pintadas. Fonte: Autora.

31 29 Figura 2.5: Gráfico representando o formato do asteroide 4179 Toutatis com projeção nos planos xy, yz e xz. Fonte: Autora. 2.2 Asteroide 1620 Geographos Foi descoberto em 14 de setembro de 1951 no Observatório de Palomar, Califórnia, por Albert George Wilson e Rudolph Minkowski, e foi originalmente designado 1951 RA. Seu nome significa geógrafo e é em homenagem a National Geographic Society pelo suporte no Palomar Mountain Sky Survey, um projeto de fotografia do céu noturno no observatório de Palomar, finalizado em É um asteroide do tipo S, ou seja, é reflexivo e composto de níquel e ferro misturado com silicatos de ferro e magnésio. Geographos (Fig. 2.6) faz parte dos NEAs e também é considerado um asteroide potencialmente perigoso. Faz parte do grupo Apollo, possui um período orbital de 507,75 dias, diâmetro de aproximadamente 2,7 e período de rotação de 5,223 horas e densidade de 2,5 / ³ (Ostro et al. 1996). Sua massa é de 2,6x10, dimensões de 5,0x2,0x2,1 e albedo geométrico de 0,3258. O modelo de poliedros utilizado para o asteroide possui vértices e faces de acordo com os dados obtidos da NASA. As figuras 2.7, 2.8 e 2.9 representam o formato desse asteroide, e podemos concluir que esse objeto é presumivelmente produto cumulativo de uma sequência de colisões (Ostro et al.

32 ). Podemos observar que as extremidades são afiladas e são praticamente simétricas, ambas com cerca de 2,5 de distância em relação ao centro de massa. A parte central possui uma deformidade, representada por um possível buraco/cratera com cerca de 500 de profundidade, conforme análise da figura 2.7. Figura 2.6: Ilustração do formato do asteroide 1620 Geographos. Fonte: wikipedia. Figura 2.7: Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 1620 Geographos. Fonte: Autora.

33 31 Figura 2.8: Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 1620 Geographos com faces pintadas. Fonte: Autora. Figura 2.9: Gráfico representando o formato do asteroide 1620 Geographos com projeção nos planos xy, yz e xz. Fonte: Autora.

34 Asteroide 6489 Golevka Golevka (Fig. 2.10), também denominado 1991 JX, foi descoberto em maio de 1991 em Palomar por Eleanor F. Helin, três semanas antes de passar 0,036 AU da Terra. Faz parte do grupo Apollo, possui um período orbital de 1.454,49 dias e diâmetro de aproximadamente 0,53. Seu período de rotação de 6,0264 horas e suas dimensões são 0,35x0,25x0,25 (Hudson et al. 2000). Possui massa de 2,10x10, densidade de 2,7 / ³, albedo geométrico de 0,151. O modelo de poliedros utilizado para o asteroide possui vértices e faces de acordo com os dados obtidos da NASA. De acordo com as observações de radar e o modelo físico do asteroide 6489 Golevka realizado por Hudson et al (2000), revela as propriedades das superfícies bastante típicas de um asteroide do tipo S e uma forma que é altamente angular e com muitas facetas. As observações de radar revelam que ele tem uma forma muito estranha, que parece diferente dependendo da direção, o que notamos na animação do apêndice A. Ao se observar as figuras 2.11, 2.12 e 2.13, fica evidente que Golevka é um objeto com uma forma dominada por grandes facetas unidas nas bordas relativamente afiadas. Em alguns pontos de vista tem um contorno geral quase triangular. Observamos na figura 2.11 que a superfície desse asteroide é constituída de diversas elevações, o que pode ser observado pela cor azul-verde na parte central indo até a coloração amarelo-vermelha nas bordas, considerando a profundidade em relação ao centro de massa. Figura 2.10: Ilustração do formato do asteroide 6489 Golevka. Fonte: wikipedia.

35 33 Figura 2.11: Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 6489 Golevka. Fonte: Autora. Figura 2.12: Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 6489 Golevka com faces pintadas. Fonte: Autora.

36 34 Figura 2.13: Gráfico representando o formato do asteroide 6489 Golevka com projeção nos planos xy, yz e xz. Fonte: Autora. 2.4 Asteroide 2063 Bacchus Bacchus (com designação provisória 1977 HB) foi descoberto no dia 24 de abril de 1977 por Charles T. Kowal, em Palomar. Seu nome deriva do deus romano Baco. De acordo com as observações de radar sob direção do cientista Benner et al. (1999) o asteroide 2063 Bacchus aproximou-se dentro de 0,0678 AU da Terra em 31 de março 1996, o seu encontro terrestre mais próximo até 2271, permitindo assim a construção de um modelo para esse objeto. Também foi observado que o albedo geométrico óptico de Bacchus está entre os maiores estimados para qualquer asteroide e que Bacchus é um objeto brilhante em comprimentos de onda ópticos. Bacchus (Fig. 2.14) faz parte do grupo Apollo, possui um período de rotação de 14,904 horas e densidade de 3,3 / ³ (Benner et al. 1999). Possui massa de 1,64x10, período orbital de 408,70 dias, um diâmetro aproximado de 0,96, e suas dimensões são de 1,1x1,1x2,6. O modelo de poliedros utilizado para o asteroide possui vértices e faces de acordo com os dados obtidos da NASA. Das figuras 2.15, 2.16 e 2.17 observamos que Bacchus tem um centro concavidade ou cintura, que delimita duas partes assimétricas. E essa divisão é a mais próxima em

37 35 profundidade em relação ao centro de massa, o que pode representar uma grande cratera com cerca de 100 de profundidade. Figura 2.14: Ilustração do formato do asteroide 2063 Bacchus. Fonte: wikipedia. Figura 2.15: Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 2063 Bacchus. Fonte: Autora.

38 36 Figura 2.16: Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 2063 Bacchus com faces pintadas. Fonte: Autora. Figura 2.17: Gráfico representando o formato do asteroide 2063 Bacchus com projeção nos planos xy, yz e xz. Fonte: Autora.

39 Asteroide 1998 ML14 Este asteroide foi descoberto no final de junho de 1998 pelo projeto LINEAR, em White Sands, no Novo México. Em 18 de agosto do mesmo ano sua trajetória foi a 0,018 AU da Terra (Ostro et. al. 2001). Também é conhecido como ML14 (Fig. 2.18) faz parte do grupo Apollo, seu período orbital é de 1.369,31 dias e sua massa é de 1,09x10. Possui um período de rotação de 14,98 horas, densidade de 2,5 / ³ e um diâmetro de aproximadamente de 1 (Ostro et. al. 2001). O modelo de poliedros utilizado para o asteroide possui vértices e faces de acordo com os dados obtidos da NASA. Das figuras 2.19, 2.20 e 2.21 observamos que seu formato é aproximadamente de uma esfera, com algumas saliências íngremes e várias crateras, o que podemos notar pela predominância da cor amarela. Essas crateras devem ter por volta de 12 a 15 de profundidade. Figura 2.18: Ilustração do formato do asteroide 1998 ML14. Fonte: wikipedia.

40 38 Figura 2.19: Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 1998 ML14. Fonte: Autora. Figura 2.20: Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 1998 ML14 com faces pintadas. Fonte: Autora.

41 39 Figura 2.21: Gráfico representando o formato do asteroide 1998 ML14 com projeção nos planos xy, yz e xz. Fonte: Autora. 2.6 Conclusões Tendo em vista as ilustrações de cada asteroide extraídas da internet, e também as que alguns autores conseguiram, como por exemplo para 4179 Toutatis (Scheeres et al. 1998), 1620 Geographos (Ostro et al. 1996), 6489 Golevka (Hudson et al. 2000), 2063 Bacchus (Benner et al. 1999) e 1998 ML14 (Ostro et al. 2001), e se comparamos com os gráficos produzidos no Gnuplot através das informações concedidas por simulações numéricas, podemos concluir que os formatos dos corpos ficaram satisfatórios com os modelos que temos atualmente. Em relação a todas as imagens observadas podemos concluir que os asteroides possuem os mais distintos formatos, e constituem objetos de estudo desde muitos anos. Dessa forma se torna importantíssimo que se invista financeiramente em pesquisas que possam auxiliar no estudo do surgimento desses corpos, com o propósito de descobrir sua composição, sua superfície, e se realmente podem contribuir para o entendimento de como surgiu o sistema solar. Foi feita uma animação com o formato dos asteroides que se encontra em um CD - Apêndice B.

42 40 CAPÍTULO III: SUPERFÍCIES DOS ASTEROIDES EM LATITUDE E LONGITUDE Neste capítulo será apresentada a planificação de cada asteroide em latitude por longitude, em graus, assim como fez Yu e Baoyin (2012) com o asteroide Kleopatra, e uma breve analise do mapa de cada objeto. A escala de cor é em relação a profundidade do centro de massa, medida em quilômetros. 3.1 Asteroide 4179 Toutatis Ao compararmos as figuras 3.1 e 3.2 vamos observar que a frente do asteroide vai de 0 a 180º em longitude, onde podemos identificar que o formato mais alongado do objeto, onde provavelmente existam mais crateras pela predominância da cor vermelha, conforme figura 3.1, se encontra entre 150º a 180º. Já a parte mais arredondada do asteroide que tem no seu extremo uma espécie de bico, predominantemente da cor amarelada, se encontra entre -30º e 30º. A parte posterior, que seria as costas, vai de 0º a -180º, tendo visto que de -150º a -180º é o extremo da parte mais alongada de Toutatis, e obviamente tem que completar com a parte do gráfico da figura 3.2 que vai de 150º a 180º. Podemos notar também que a cor verde se faz presente ao redor dos dois extremos desse corpo, o que claramente é visto no mapa da figura 3.2. Já o restante desse asteroide, que seria a sua parte central, no tom de azul vai de 60º a 150º e -30º a -150º. Figura 3.1: Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 4179 Toutatis com faces pintadas. Fonte: Autora.

43 41 Figura 3.2: Mapa topográfico do asteroide 4179 Toutatis. Fonte: Autora. Ao analisarmos a figura 3.2 em latitude, notamos que o marco de 0º seria uma linha imaginária que passa praticamente no centro dos dois extremos do asteroide. E que de 0º a 90º seria a parte norte, enquanto que de 0º a -90º seria a parte sul de Toutatis. Os extremos estariam compreendidos entre -30º e 30º, enquanto que todo o restante do objeto seria a cor azul. 3.2 Asteroide 1620 Geographos Ao observamos as figuras 3.3 e 3.4 vamos observar que a frente do asteroide vai de 0 a 180º em longitude. Podemos notar que as extremidades são praticamente simétricas, tendo a sua parte central composta pela cor vermelha, rodeadas pelas cores amarelo e verde, respectivamente. As extremidades estão compreendidas aproximadamente de -30º a 30º e 130º a 180º, respectivamente. A parte central que possui uma deformidade, representada por um possível buraco/cratera com cerca de 500 de profundidade, conforme análise da figura 3.3, onde a cor predominante é a azul, está entre 50º a 130º. A parte posterior, que seria as costas, vai de 0º a -180º, tendo visto que de -150º a -180º é o extremo do bico mais avermelhado de

44 42 Geographos, e obviamente tem que completar com a parte do gráfico da figura 3.4 que vai de 130º a 180º. Figura 3.3: Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 1620 Geographos com faces pintadas. Fonte: Autora. Figura 3.4: Mapa topográfico do asteroide 1620 Geographos. Fonte: Autora.