Representação de Inteiros

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1 Representação de Inteiros Com n bits, podemos ter 2 n valores distintos Considerando só inteiros não-negativos (unsigned)a faixa de valores é [0, 2 n -1] Considerando inteiros quaisquer (i <0, i >=0), também tem-se apenas 2 n possíveis valores Opção 1: (bit mais significativo como sinal). Por exemplo n=4: : 0 a 7 decimal : -1 a -7 decimal 1000: zero negativo? binário Compl- binário Compl- 2 2 Opção 2: (Complemento a dois) Faixa de valores: [-2 n-1, 2 n-1-1] Considere n=4 Um modelo Circular Idéia central: Se x>= 0 rep 2 (x) = x Se x<0 então rep 2 (x) = 2 n +x Valor complemento a 2 (signed) Exemplos: rep 2 (-2) = = 14 = [1110] rep 2 (-8) = = 8 = [1000] rep 2 (-1) = = 15 = [1111] 2

2 Unsigned x Complemento a dois X w-1, X w-2,...x 3, X 2, X 1, X 0 Unsigned Complemento a 2 w 1 B2U(X) = x i 2 i i=0 B2T(X) = x w 1 2 w 1 + x i 2 i Bit de sinal Em complemento-2, o bit mais significativo indica o sinal 0: inteiro não negativo 1: inteiro negativo w 2 i=0 Se (x >= 0), rep n (x) = x 5 = [ ] Se (x < 0), rep n (x) = 2 n + x -3 = [ ] 3 Unsigned UMin = UMax = 2 w Faixa de Valores Two s complement TMin = 2 w TMax = 2 w Outro valor -1 Exemplos para W = Decimal Hex Binary UMax FF FF TMax F FF TMin FF FF

3 Faixa de Valores Maior e menor inteiros que podemos representar com signed/unsigned g W UMax ,535 4,294,967,295 18,446,744,073,709,551,615 TMax ,767 2,147,483,647 9,223,372,036,854,775,807 TMin ,768-2,147,483,648-9,223,372,036,854,775,808 5 Obter a representação binária de um inteiro negativo Seja x um inteiro negativo: 1. Encontrar a representação de (-x) 2. Inverter bit a bit 3. Somar 1 Exemplo: -5 => => => Por que funciona (para x < 0)? 2 n +x = (2 n -1) (-x) + 1 Complemento bit-a-bit 6

4 Obter a representação decimal de um hexadecimal negativo (compl-2) Oago algoritmo: o: 1. Converter p/ binário a partir do 0 mais significativo: p.ex. 0xfffffe94 = [tudo ] 2. Obter complemento = [tudo ] 3. Calcular o valor do complemento = = Inverter sinal e subtrair = Relacionamento Seja w é o número de bits de x e x w é o bit w Signed (compl-2) para unsigned T2U = * w w (x) x w x T2U w (x) = 2 w + x se x < 0 x se x >= 0 Unsigned para signed (compl.-2) U2T w (x) = - x w-1 * 2 w + x U2T w (x) = x se x < 2 w-1 x -2 w-1 se >= 2 w-1 Estas funções definem um relacionamento entre as duas interpretações, baseadas na mesma representação binária. Exemplo: T2U 4 (-1) = 15; T2U 4 (-8) = 8; etc. 8

5 Conversão: graficamente T2U: Inversão de ordem negativo positivo ii grande TMax UMax UMax 1 TMax + 1 TMax valores unsigned valores aoes Compl TMin 9 Soma complemento a 2 (exemplo para 4 bits) Em complemento a 2 soma e subtração são identicas: = = 0101 = 5 7+ (-1) = = 0110 = 6 (-2) + (-3) = = 1011 = -5 (-3) + 6 = = 0011 = 3 (-1) + (-1) = = 1110 = (-2) 10

6 Signed e Unsigned em C Quase todas as arquiteturas representam inteiros em complemento a 2 Isto também vale para constantes; caso precise representação unsigned use sufixo U no final. Exemplo: 0xAA2BU = [ ] > 0 Na conversão (explícita/implícita), o padrão de bits não é afetado mas apenas a interpretação muda. O efeito equivale a aplicar as funções T2U w (x) ou U2T w (x). Com printf, use a diretivas de formatação %d, %u para signed e unsigned, respectivamente. 11 Extensão de Representação Como Converter um número em w bits para w+k bits mantendo o mesmo valor? Regra: Faça k cópias do bit de sinal: X = x w 1,, x w 1, x w 1, x w 2,, x 0 X w X k w 12

7 Conversão em C Em C, extensão de representação ocorre assim mesmo. Exemplo: short int x = 15213; int ix = (int) x; short int y = ; int iy = (int) y; Decimal Hex Binary x B 6D ix B 6D y C iy FF FF C Truncamento de Inteiros Quando truncamos um int x representado em 32 bits para 16 bits, simplesmente removemos os 16 bits mais significativos. Mas o truncamento t geralmente (e naturalmente) t altera o valor do inteiro. Quando x é unsigned, (short) x = x mod 2 16 Quando x é signed (Compl-2), os bits menos significativos são simplesmente interpretados como complemento a dois! Exemplo (truncamento 8 bits para 4 bits): x = [ ] = -103 (short) x = [1001] = -7 14

8 Conversões unsigned/signed em C Explícita casting int tx; unsigned ux; tx = (int) ux; ux = (unsigned) tx; Impícita na atribuição & operadores relacionais contendo ambos os tipos se um dos operandos for unsigned, C convente o outro também para unsigned. int tx; unsigned ux; tx = ux; /* signed*/ ux = tx; /* unsigned*/ -1 < 0u /* unsigned -> falso */ 15 Operadores relacionais Operadores de comparação (<, ==, >, etc.) levam em conta se operandos são unsigned ou compl.-2. Exemplo: int a[2] = {-1, 0}; if (a[0] <a[1]) true unsigned int z=0; if (a[0] < z) false Em assembler, existem instruções específicas para cada representação. Compilador C gera as instruções específicas, dependendo da declaração dos operandos. 16

9 Soma & Subtração Em Compl.-2 todas as somas e subtrações são feitas usandose um mesmo algorítmo de adição O algoritmo: soma bit a bit, com vai-um A aritmética i módulo 2 n garante que o resultado é sempre correto, mesmo que estejamos somando números de sinais opostos O algoritmo é idêntico para unsigned. Exemplo (para n=3): 1-2 (mod 8) = (1 mod 8)+(-2 mod 8) = 1+6 = 7 = -1 mod 8 [001] - [010] = [001] + [110] = [111] Possível problema: overflow! 17 Overflow em Compl.-2 Quando o resultado (x+y) não é representável em n bits Operandos: w bits Soma real: w+1 bits Descarta bit w+1 + u Se x> 0 e y>0 overflow ocorre se houver carry do penúltimo para o último bit (pois senão resultado seria negativo!) Se x,y tem sinais diferentes, nunca ocorre! Se x<0, y<0, overflow ocorre quando não há carry do penúltimo para o último (mas sempre haverá do último para fora) Portanto, quando os dois carries são diferentes, o hardware marca a condição de overflow. v u + v TAdd w (u, v) 18

10 Exemplos Para 4 bits: Overflow negativo Overflow negativo Sem overflow sem overflow Overflow positivo Obs: para unsigned, overflow é indicado por outra condição: quando houve carry bit para fora 19