Desafios e novas perspectivas de aplicação de sistemas de Geometria Interativa: novas funcionalidades do igeom

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1 Desafios e novas perspectivas de aplicação de sistemas de Geometria Interativa: novas funcionalidades do igeom DANILO LEITE DALMON, MARIA JOSÉ G. S. TANBELLINI, SEIJI ISOTANI & LEÔNIDAS DE OLIVEIRA BRANDÃO Departamento de Ciências da Computação, Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, Brasil, CEP: (ddalmon, leo)@ime.usp.br, tanbellini@gmail.com Human-Computer Interaction Institute, Carnegie Mellon University, 5000 Forbes Avenue, Pittsburgh, PA EUA isotani@acm.org Resumo Nos últimos anos, a Geometria Interativa (GI) foi estudada extensivamente, seus benefícios foram documentados em diversas publicações, e seu uso se tornou abrangente. Promovendo essa tecnologia, o igeom: Geometria Interativa na Internet é uma alternativa gratuita e portável que oferece diversas funcionalidades adicionais, quando comparado a outros sistemas, como as funções de recorrência, a autoria de exercicios e a retroação imediata. Porém, os usuários ainda necessitam de novas funcionalidades e o desenvolvimento de metodologias de aplicação que utilizem todo o potencial do sistema. Este artigo descreve alguns desafios enfrentados ao utilizar sistemas de Geometria Interativa em salas de aula e propõe o desenvolvimento de novas funcionalidades no igeom, sistemas de tutoria inteligente e Geometria Interativa 3D, discutindo perspectivas e possíveis contribuições. Palavras chave Geometria Interativa, igeom, Sistemas Tutores Inteligentes, CTAT, Geometria Interativa 3D. I. INTRODUÇÃO A Geometria Interativa (GI 1 ) é uma tecnologia de sistemas de software que facilita uma abordagem construtiva para a aprendizagem de geometria. Programas de GI permitem a manipulação livre dos objetos geométricos, calculando em tempo real as propriedades dos objetos dependentes daquele movimentado, mostrando para o usuário a nova configuração, como mostra a figura 1. A utilização da GI em salas de aula proporciona diversos benefícios aos professores e alunos [1], assim como novos desafios e problemas de utilização. Com o intuito de superar alguns destes desafios, este trabalho propõe a inclusão, em andamento, de funcionalidades de Sistemas Tutores Inteligentes (STI) e de Geometria Interativa 3D no sistema igeom. Um STI é um programa que considera o nível de conhecimento ou habilidade do aluno e recomendações do professor para interagir ativamente visando ampliar a aprendizagem do aluno durante a realização das atividades e eventualmente na sugestão de novas tarefas [2]. 1 Trabalhos anteriores utilizam o termo Geometria Dinâmica, o novo termo é preferido pelo termo anterior ter sido registrado como marca comercial nos Estados Unidos Figura 1. (a) Construção da mediatriz (reta r) entre os pontos A e B em um sistema de Geometria Interativa. (b) Mesma construção após movimentação dos pontos A e B. Um sistema de GI 3D possui as características de um sistema comum, com a capacidade de trabalhar com três dimensões, permitindo melhor visualização e compreensão do espaço e das propriedades dos objetos gométricos tridimensionais [3]. Este trabalho faz uma breve descrição da Geometria Interativa na seção 2. Em seguida, na seção 3, apresenta a proposta de desenvolvimento de funcionalidades de STI e de GI 3D no igeom. Na seção 4 discute desafios encontrados durante a aplicação em salas de aula de sistemas de GI, STI e GI 3D, além de benefícios esperados. Finalmente, na seção 5 apresenta algumas contribuições previstas e considerações finais. II. GEOMETRIA INTERATIVA As ferramentas computacionais de Geometria Interativa (GI) proporcionam interatividade para aumentar a eficiência e melhorar o processo de ensino-aprendizagem de geometria. Hoje em dia existem vários sistemas de GI, como Cabri- Géomètre, Geometer s Sketchpad, C.a.R., Cinderella, além do próprio igeom, mostrado na figura 2. Esses sistemas podem ser usados com o intuito de ajudar o aluno a descobrir relações e propriedades, que do modo

2 Figura 2. O sistema de Geometria Interativa igeom. tradicional (com régua e compasso), levaria muito mais tempo. Por exemplo, na figura 1 à esquerda, objetos foram criados a partir das propriedades de outros objetos, como a circunferência c0 que é definida pelos pontos A (seu centro) e B (que define seu raio). A interatividade desta geometria vem da possibilidade do aluno mover os pontos A ou B, ficando a cargo do sistema atualizar e redesenhar todos os objetos dependentes do ponto movimentado, como mostrado na figura 1 à direita. Mesmo com as várias vantagens de se usar a GI [4], existem diversas dificuldades que limitam sua adoção em salas de aula de escolas públicas brasileiras. Entre eles, dois merecem destaque: (a) a maioria dos programas de GI mencionados é comercial; e (b) dentre eles apenas o igeom e o Cinderella possuem funcionalidades importantes para auxiliar o professor durante a criação de conteúdo e avaliação imediata dos exercícios realizados [1]. Além disso, nenhum programa de GI consultado possui uma funcionalidade que permita acompanhar individualmente o desempenho do aluno. Ou seja, enquanto o aluno está resolvendo um problema geométrico, nenhum dos atuais programas de GI é capaz de guiá-lo para que ele faça as observações e experimentações que poderiam agilizar sua compreensão dos conceitos envolvidos. Em cursos para professores de matemática realizados pelo LEM no IME-USP, uma solicitação frequente dos usuários (professores da rede pública do estado) foi o desenvolvimento de recursos para acompanhar os alunos durante a resolução dos exercícios. Assim, para sanar esta ausência, este trabalho apresenta técnicas vindas da área de sistemas tutores inteligentes para acompanhar o aluno durante o processo de construção de uma solução para um problema geométrico. III. NOVAS FUNCIONALIDES DO igeom A. igeom com funcionalidades de STI A proposta deste trabalho é melhorar o uso e proporcionar novas aplicações para sistemas de GI. Está em desenvolvimento funcionalidades de STI no igeom: Geometria Interativa na Internet [5], disponível gratuitamente em Estas funcionalidades são baseadas no paradigma de Tutores Rastreadores de Padrões (TRP) [2]. Atualmente os TRP são utilizados no programa CTAT (Cognitive Tutor Authoring Tools), também disponível, A vantagem deste modelo é ser mais simples, não sendo necessária habilidade de programação para construir os tutores. O processo de autoria de um exercício com TRP se dá em três etapas: (a) o professor cria a solução do exercício passo a passo, simultaneamente o sistema gera um grafo, que contém todas as ações utilizadas para levar do estado inicial à resposta final (onde as etapas de solução são representadas pelos vértices e as ações que levam de uma etapa à outra pelas arestas). Em seguida, na segunda etapa, ele pode criar caminhos alternativos, corretos ou incorretos neste grafo. A terceira etapa é determinar as ações que o tutor deve realizar quando o aluno avançar um passo previsto no grafo. A figura 3 mostra um exemplo de um grafo de estados para um exercício de calcular a área de um triângulo. Figura 3. Exemplo de grafo de estados de um tutor rastreador de padroes do sistema CTAT para um exercício de calcular a area de um triângulo. Estas ações guiarão o aluno, ajudando-o a resolver o exercício e a assimilar o conteúdo, podendo conter, por exemplo, mensagens, animações e destaque de objetos. No caso do igeom com funcionalidades de TRP, a criação dos exercícios será realizada da mesma maneira que a atual, que compreende a primeira etapa descrita acima, com a inclusão das duas etapas posteriores, que têm caráter opcional. B. igeom com funcionalidades de Geometria Interativa 3D Os Parâmetros Curriculares Nacionais [6] relatam a necessidade de desenvolver com os alunos a exploração do espaço e suas representações, além de relacionar os objetos tridimensionais com os bidimensionais, a partir do ensino médio. Dos diversos sistemas de Geometria Interativa, ja citados, alguns possuem funcionalidades em três dimensões como, por exemplo, o Cabri 3 e o Calques-3D, mostrado na figura 4, disponivel em Porém, nenhum deles possui características importantes para sua utilização em escolas publicas brasileiras e em cursos a distância, como o fato de funcionarem como applets, serem gratuitos e multiplataforma, e de possuirem funcionalidades de autoria

3 e verificação automatica de exercícios e de inserção em ambientes de aprendizagem [7]. A proposta deste trabalho é o desenvolvimento de um programa de Geometria Interativa 3D, como expansão do igeom, que possua tais características. Figura 4. O sistema de Geometria Interativa 3D Calques 3D [8]. Com esse sistema, será possível trabalhar com temas como visualização espacial, planos, sólidos geométricos e intersecções com alunos do ensino médio e superior de uma maneira que os alunos aprendam melhor e mais facilmente, conforme mostra [3], com as facilidades proporcionadas pelas ferramentas desenvolvidas pelo LEM-IME-USP [9]. IV. DESAFIOS E PERSPECTIVAS DE APLICAÇÃO EM SALAS A. Geometria Interativa DE AULA Os principais benefícios da GI provêm da interatividade do aluno com os objetos geométricos. Ela permite que o aluno descubra relações que de modo tradicional (com régua e compasso) levaria muito mais tempo. Isto ocorre porque na GI o próprio aluno movimenta os objetos e verifica empiricamente o que ocorre com a construção, deste modo ajudando o aluno na importante tarefa de perceber relações envolvidas na construção. A literatura relativa ao potencial educacional da GI é bastante ampla, cita-se apenas [4]. Em particular, o igeom, desenvolvido em Java, possui alguns benefícios adicionais. Podemos citar, dentre eles, a capacidade de ser multiplataforma e ser facilmente integrado em sistemas gerenciadores de cursos pela Web. Outro diferencial é possuir funções de auxílio à autoria e correção automática de exercícios [10]. Apesar de melhorar o ensino e a aprendizagem de geometria, a aplicação de programas de GI em salas de aula pode enfrentar alguns problemas, destacamos alguns dos citados por Ruthven et al. (2007): Os alunos cometem erros de manipulação, como por exemplo, desejar selecionar um ponto e selecionar um ponto próximo distinto frequentemente levam tempo para serem percebidos ou corrigidos. Anomalias matemáticas em algumas situações especiais, como divisão por zero, valores infinitos ou erros de arredondamento podem confundir os alunos. Alguns professores limitam a profundidade com que os alunos utilizam a GI, entregando construções prontas para que os alunos apenas as movimentem ou até utilizando o sistema apenas como lousa interativa. Isso pode ocorrer por falta de treinamento, interesse ou por não acreditarem que o investimento no tempo de experimentação do sistema compense os benefícios. Pela experiência em cursos ministrados com o igeom pelo grupo de pesquisa ao qual os autores deste trabalho fazem parte, como em [11], podemos citar: Os alunos possuem a necessidade de uma ferramenta de correção automática que não apenas indique se o exercício está correto. Uma informação sobre a forma ou local do erro cometido pode auxiliar os alunos a recomeçar uma solução e a não se desmotivarem com o estudo. Mesmo antes de enviar a resposta dos exercícios os alunos encontram dificuldades, durante a solução. Pequenas dúvidas que surgem neste caso podem ser sanadas por intervenções automáticas do tutor inteligente. Este problema corresponde às principais sugestões recebidas pelos usuários após os testes e aplicações do sistema. Ruthven et al. (2007) mostra que alguns destes problemas foram contornados pelo método de utilização do sistema, como utilizar as dúvidas que os alunos tinham por causa dos arredondamentos para fazê-los investigar mais. A proposta de desenvolver funcionalidades de STI no igeom possui o objetivo de resolver estes problemas, além de proporcionar modos de aplicação novos. Elas podem diminuir o número de erros de manipulação, confusões causadas por arredondamentos, motivar mais alunos e professores e facilitar a resolução dos exercícios considerados difíceis [12]. Ao intervir quando o aluno encontra um problema, o tutor pode reduzir o impacto negativo em sua aprendizagem. B. Tutores Inteligentes A utilização de STI em salas de aula proporciona uma série de benefícios aos alunos e professores [2]. Uma das principais contribuições no uso de STI é aumentar a velocidade com que os alunos absorvem o conteúdo. Com tutores inteligentes os alunos podem resolver seus exercícios e avançar sem a necessidade de intervenção do professor para esclarecer dúvidas ou avaliar a solução. Além disso, os tutores podem sugerir exercícios apropriados para cada aluno conforme a forma que resolveu os exercícios anteriores. O estudo se torna, em muitos casos, mais eficiente, rápido, prático (o aluno pode fazer em casa) e motivador. O professor ganha tempo para se dedicar a outras tarefas, como resolver dúvidas mais complexas, que o tutor inteligente não seja capaz. Similarmente à GI, a aplicação de STI também enfrenta problemas. Um aspecto presente em vários estudos de aplicação de tutores inteligentes é a presença de exercícios que chamaremos de estáticos. Em um exercício estático o aluno deve preencher campos, ou realizar ações em uma ordem especificada, ou cumprir procedimentos repetitivos para

4 resolver o exercício. Se o estudo de aplicação de tutores inteligentes utiliza apenas exercícios estáticos, não é possível considerar que o aluno aprende os conceitos avaliados nos exercícios, mas que o aluno aprendeu a repetir o procedimento de solução. A introdução de funcionalidades de STI em um ambiente de GI é uma aplicação de tutores inteligentes em exercícios que não são estáticos. A geometria interativa permite a criação de exercícios com inúmeras formas de solução, além de incentivar o aluno a pensar de maneira abstrata e genérica, o que é muito difícil em exercícios estáticos. Este é um dos principais benefícios de utilizar as duas tecnologias em conjunto [12]. C. Geometria Interativa 3D Os principais benefícios proporcionados pela Geometria Interativa 3D são similares aos da bidimensional. Considerando que os alunos visados por essa disciplina são de maior idade como, por exemplo, os alunos do ensino médio, e que a geometria 3D apresenta características de maior complexidade para visualização e compreensão, podemos destacar algumas diferenças. A geometria tridimensional é considerada mais difícil de visualizar do que a 2D, o que torna o papel do software de GI ainda mais importante, oferecendo cortes e animações. O dinamismo proporcionado pelo sistema pode ser usado para expandir os conceitos explorados visualmente, e ainda, pelo fato dos alunos serem mais experientes, a profundidade com que o conteúdo é abordado, ou a exigência de raciocinio dos exercícios, pode ser maior, o que também exige maior preparo por parte do professor. Como toda tecnologia que pode ser usada para ensino, a Geometria Interativa 3D está submetida a uma série de desafios. Um deles, anterior à sua utilização em salas, como ja citado, é o fato de não existir um sistema que funciona totalmente via Web, ou que seja multiplataforma e gratuito. Com relação à sua aplicação com alunos, existe uma maior resistência por partes dos professores de aproveitar a interatividade proporcionada pelos sistemas, devido, provavelmente, à maior dificuldade, que não apenas os alunos enfrentam, de abordar o conteúdo. Por isso grande parte da utilização de sistemas de GI 3D abordam preferencialmente a visualização à interação com os objetos [13]. Outra dificuldade evidente no uso de sistemas de GI 3D é a forma de interação com os objetos, pelo fato do monitor do computador ser plano, como o espaço que o mouse tem acesso. A partir disso vários trabalhos vêm sendo desenvolvidos com relação à realidade aumentada [14]. Como o objetivo deste trabalho é fornecer ferramentas de software para, principalmente, escolas publicas brasileiras, uma atenção especial deve ser dada à forma de interação com os objetos. V. CONSIDERAÇÕES FINAIS A contribuição da proposta deste trabalho é aliar as características positivas dos dos sistemas de GI, STI e GI 3D para solucionar ou amenizar desafios encontrados durante a aplicação destas tecnologias e aumentar o escopo, a facilidade e a abrangência de uso no ensino de geometria. Este trabalho apresentou e discutiu sobre os benefícios e desafios encontrados durante a aplicação de sistemas de GI, STI e GI 3D, que justificam o atual desenvolvimento de um sistema que possui funcionalidades dessas três tecnologias, o igeom. Alguns exemplos de desafios que se pretende superar são: problemas ligados à seleção de objetos próximos e avaliação com resposta booleana nos sistemas de GI e a pouca liberdade que os alunos têm para resolver exercícios de STI, além das dificuldades de acesso e portabilidade da Geometria Interativa 3D. A integração de várias funcionalidades em um único sistema traz diversos benefícios para os usuários finais (alunos) e para os elaboradores de conteúdo (professores). Assim eles podem ser treinados em apenas uma ferramenta e conseguir aplica-la para variados fins. O trabalho a longo prazo do LEM-IME-USP é fornecer ferramentas para o ensino de matematica com características de portabilidade, funcionalidades e integração com sistemas de gerenciamento de cursos formando um conjunto facilitador do trabalho do professor e da aprendizagem significativa do aluno. É relevante ressaltar que a utilização de sistemas de software que auxiliam os processos de ensino-aprendizagem em escolas ou cursos a distância requer, além da disponibilidade, funcionalidade e usabilidade da ferramenta, um treinamento dos professores e, o que muitas vezes não é realizado, um acompanhamento das atividades dos professores e alunos pelos desenvolvedores das ferramentas. Desta maneira a aplicação da ferramenta estará de acordo com os objetivos de todos, desenvolvedores e professores. AGRADECIMENTOS Danilo L. Dalmon é financiado pela FAPESP, projeto 2010/ , Leônidas O. Brandão foi parcilmente financiado pela FAPESP, projeto 05/ REFERÊNCIAS [1] L. O. Brandão, S. Isotani, and J. G. Moura, Imergindo a geometria dinâmica em sistemas de educação a distancia: igeom e SAW, Revista Brasileira de Informática na Educação, vol. v. 14, pp. p , [2] V. Aleven, B. M. McLaren, J. Sewall, and K. R. Koerdinger, Exampletracing tutors: A new paradigm for intelligent tutoring systems, International Artificial Intelligence in Education Society, pp. p , [3] G. Alves, Um estudo sobre o desenvolvimento da visualização geométrica com o uso do computador, Anais do XVIII Simpósio Brasileiro de Informática na Educação, [4] K. Ruthven, S. Hennessy, and R. Deaney, Constructions of dynamic geometry: A study of the interpretative flexibility of educational system in classroom practice, Computers and Education, vol. 51(1), pp , [5] D. L. Dalmon, L. O. Brandão, and S. Isotani, Melhorando a geometria interativa com o uso de tutores rastreadores de padrões: igeom e CTAT, XVI Workshop de Informática na Educação, [6] M. da Educação, Parâmetros curriculares nacionais (pcn), Anais do XVIII Simpósio Brasileiro de Informática na Educação, [7] P. A. Rodrigues and L. O. Brandão, Tarefa interativa: uma proposta flexivel de interatividade para o moodle, XX Simposio de Informática na Educação, [8] H. J. 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5 [9] P. A. Rodrigues and L. O. Brandão, i-tarefa: incrementando a interatividade em cursos via web com o moodle, XVI Workshop de Informática na Educação, [10] S. Isotani and L. O. Brandão, An algorithm for automatic checking of exercises in a dynamic geometry system: igeom, Computers and Education, vol. 51(3), pp , [11] M. J. G. S. Tanbelinni and L. O. Brandão, O uso da geometria interativa como facilitador no ensino e aprendizagem de matemática: estudo com duas turmas de sexta série do ensino fundamental, XVI Workshop de Informática na Educação, [12] S. E. Indiogine, An exploration of computer based learning technologies for the teaching of geometry: elearning, intelligent tutoring systems, and dynamic geometry systems, Spring 2008 EDCI 621 course at Texas A&M University, [13] C. Laborde, Experiencing the multiple dimensions of mathematics with dynamic 3d geometry environments: Illustration with cabri3d, The Electronic Journal of Mathematics Technology, no. 1, [14] H. Kaufmann, The potential of augmented reality in geometry education, 12th International Conference on Geometry and Graphics, 2006.