Difração de Elétrons. Relatório, 09 de maio de 2008 Brenno Gustavo Barbosa e Thiago Schiavo Mosqueiro

Transcrição

1 Difração de Elétrons Relatório, 09 de maio de 2008 Brenno Gustavo Barbosa e Thiago Schiavo Mosqueiro

2 Difração de Elétrons Em torno do século XX, o modelo clássico da física divergia em resposta de diversos experimentos. Alguns novos modelos foram propostos que remendavam este modelo clássico. Um dos modelos foi a proposta de Louis de Broglie, sobre a existência de ondas de matéria.

3 Difração de Elétrons Três anos após esta proposta, dois experimentos distintos confirmaram esta nova modelagem utilizando a difração (efeito usualmente observado em ondas) de elétrons. George Paget Thomson, na Universidade de Aberdeen, observou a passagem de um feixe de elétrons por uma fina camada de metal e observou o fenômeno proposto, medindo o comprimento de onda efetivo. Nos laboratórios da Bell, Clinton Joseph Davisson e Lester Halbert Germer guiaram um feixe de elétrons, incidindo sobre uma estrutura cristalina (periódica) e observaram o mesmo fenômeno.

4 Comprimento de onda associada a um elétron O modelo de de Broglie propõe associarmos a qualquer partícula uma onda, cujo comprimento de onda e energia estão bem definidos.

5 Difração de Elétrons De Broglie propôs como partida para as novas teorias a asserção, para uma dada partícula qualquer, a relação h p. h: constante de Planck. p: momento. Com isto, podemos modelar a seguinte situação de forma bem simples: imagine um feixe de elétrons que incide sobre um material.

6 Difração de Elétrons De Broglie propôs como partida para as novas teorias a asserção, para uma dada partícula qualquer, a relação h p. h: constante de Planck. p: momento. Com isto, podemos modelar a seguinte situação de forma bem simples: imagine um feixe de elétrons que incide sobre um material.

7 Difração de Elétrons De Broglie propôs como partida para as novas teorias a asserção, para uma dada partícula qualquer, a relação h p. h: constante de Planck. p: momento. Com isto, podemos modelar a seguinte situação de forma bem simples: imagine um feixe de elétrons que incide sobre um material.

8 Difração de Elétrons De Broglie propôs como partida para as novas teorias a asserção, para uma dada partícula qualquer, a relação h p. h: constante de Planck. p: momento. Com isto, podemos modelar a seguinte situação de forma bem simples: imagine um feixe de elétrons que incide sobre um material.

9 Difração de Elétrons De Broglie propôs como partida para as novas teorias a asserção, para uma dada partícula qualquer, a relação h p. h: constante de Planck. p: momento. Com isto, podemos modelar a seguinte situação de forma bem simples: imagine um feixe de elétrons que incide sobre um material.

10 Difração de Elétrons De Broglie propôs como partida para as novas teorias a asserção, para uma dada partícula qualquer, a relação h p. d A B C h: constante de Planck. p: momento. Com isto, podemos modelar a seguinte situação de forma bem simples: imagine um feixe de elétrons que incide sobre um material.

11 Difração de Elétrons Chamamos a distância d de distância entre planos de incidência, sobre os quais o elétron realizará a difração. Este é um fator que necessitaremos de dados previamente calculados por outras técnicas. As ilustrações anteriores nos fornecem como solução final, utilizando como argumento a diferença de caminho óptico (termo emprestado da óptica geométrica), 2d sin( ) n A d B Esta equação assemelha-se aos máximos associados ao padrão de difração. O comprimento de onda associada ao elétron pode, portanto, ser calculada a partir da difração de elétrons em uma rede cristalina.

12 Difração de Elétrons O que no entanto realmente ocorre está esquematizado acima. Podemos, portanto, aproximar a relação acima, conhecida como Equação de Bragg, apenas como rd l. Isto significa que, utilizando esta aproximação, podemos calcular o comprimento de onda associada ao elétron. Parte de nossa experiência será utilizar o padrão de difração para realizar este cálculo.

13 Difração de Elétrons Suponha agora que um cátodo incandescente emite elétrons e os acelera com a ação de um potencial V. Sem nos preocupar com muitos detalhes, podemos calcular a velocidade a partir da conservação de energia v 2eV m Utilizando a proposta de de Broglie, conhecemos o comprimento de onda associada a esses elétrons, h 2meV.. Conhecendo o comprimento de onda de um elétron, podemos então calcular a constante de Planck, h 2meV. Podemos então obter a constante de Planck de 2 formas parecidas: uma delas é calculando diversos comprimentos de onda, para diferentes potenciais de aceleração, e calculando a media das constantes de Planck calculadas com cada particular valor; outra forma é utilizar um gráfico que relacione contra o inverso da raiz quadrada do produto 2meV.

14 A difração de elétrons e a constante de Planck Segundo nosso modelo, podemos propor um procedimento que resultará não apenas na medição do comprimento de onda associada ao elétron, como também o valor da constante de Planck.

15 O procedimento Sabemos o que calcular e o que devemos medir. Nos falta um procedimento, isto é, como medir. O padrão de difração assemelha-se muito à figura abaixo. Esta figura traz consigo detalhes que serão importantes para nossa modelagem e criação de nosso procedimento para realizar as medidas. O raio das circunferências observadas são os padrões de difração. Cada circunferência retrata um plano de reflexão distinto. Deveremos marcar, portanto, o raio de cada uma das circunferências que forem passíveis de leitura. Note que a resolução do feixe não é muito pequeno. Notamos que a largura do feixe observado pode chegar a diferir de 0.5cm, medida esta relevante para nosso experimento. Com base nisto, bolamos o seguinte procedimento de medida: para cada tensão de aceleração, era possível observar duas circunferências distintas. Anotamos então o diâmetro de cada uma das duas circunferências, utilizando três métodos distintos.

16 O procedimento Primeiro Passo: medimos o raio mais interno, fechando o paquímetro totalmente e o reabrindo até tocar, internamente, a circunferência. d 1

17 O procedimento Primeiro Passo: medimos o raio mais interno, fechando o paquímetro totalmente e o reabrindo até tocar, internamente, a circunferência. Segundo Passo: medimos o raio mais externo, abrindo o paquímetro até ultrapassar a circunferência e, em seguida, o fechando até tocar, externamente, a circunferência. d 2

18 O procedimento Primeiro Passo: medimos o raio mais interno, fechando o paquímetro totalmente e o reabrindo até tocar, internamente, a circunferência. Segundo Passo: medimos o raio mais externo, abrindo o paquímetro até ultrapassar a circunferência e, em seguida, o fechando até tocar, externamente, a circunferência. d 3 Terceiro Passo: medimos o raio médio, entre o raio interno e o raio externo, utilizando apenas o bom senso como discriminação.

19 O procedimento O procedimento descrito no slide anterior é repetido para cada um dos valores do potencial de aceleração. O paquímetro que utilizamos nos fornecia precisão de ± 0.01 mm. Variamos o potencial partindo de 2.50kV, com passo de 0.50kV, até 9.50kV. Foi possível verificar duas circunferências diferentes, às quais identificaremos como circunferência menor e circunferência maior. Infelizmente, outras ordens eram observadas apenas em altos valores do potencial de aceleração (~8.00 ± 0.05kV), o que é uma sugestão de simplesmente ignorá-los para todo o experimento. Apresentaremos a seguir os resultados.

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21 Potencial (kv, ± 0.01) Diâmetro Externo (mm, ± 0.01) Diâmetro Interno (mm, ± 0.01) Diâmetro médio (mm, ± 0.01) Raio (mm, ± 0.01) Comp. Onda (E-11 m, ± 0.06)

22 Circunferência menor Os valores anteriores mostram como devem ser os comprimentos de onda para o elétron. Notemos que a ordem de grandeza de nossas medidas é m Este valor está dentro do valor esperado, mas ainda não tem muito significado para nós. Podemos agora medir o valor da constante de Planck h, cujo valor é fornecido pelo CODATA com grande precisão. Para isto, utilizamos a relação. h 2meV.

23 Circunferência menor Comp. Onda (E-11 m, ± 0.06) h (E-34 Js) Erro (E-34 Js) Comp. Onda (E-11 m, ± 0.06) h (E-34 Js) Erro (E-34 Js)

24 Comprimento de onda do elétron (m) Circunferência menor 2.6x x x x x x x x10-11 Difração de Elétrons Medidas obtidas para a circunferência de menor diâmetro. Melhor reta fitada: (6.9 ± 0.2)10-34 Js * x - (6 ± 5) x x x x x10 22 Prop. ao inverso da raiz quadrada do potencial (1/(2meV) 1/2 ) Ao lado, vemos o comportamento dos dados modelados em um gráfico. Ao relacionarmos com o inverso do quadrado do potencial, o esperado é uma reta cujo coeficiente angular é diretamente proporcional a h. Assim, podemos calcular a média das constantes de Planck, obtendo como resultado h p ( )10 34 Js.

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26 Potencial (kv, ± 0.01) Diâmetro Externo (cm, ± 0.01) Diâmetro Interno (cm, ± 0.01) Diâmetro médio (mm, ± 0.01) Raio (mm, ± 0.01) Comp. Onda (E-11 m, ± 0.06)

27 Circunferência maior Temos mais novos dados sobre os comprimentos de onda do elétron, cuja ordem de grandeza concorda com o experimento anterior, m Este valor, teoricamente, deveria manter-se o mesmo. Podemos notar que a discrepância entre estes dois valores obtidos é de (0.02) m Digamos de passagem que esta é uma discrepância usualmente chamada de insignificante..

28 Circunferência maior Comp. Onda (E-11 m, ± 0.06) h (E-34 Js) Erro (E-34 Js) Comp. Onda (E-11 m, ± 0.06) h (E-34 Js) Erro (E-34 Js)

29 Comprimento de onda do elétron (m) Circunferência maior 2.6x10-11 Difração de Elétrons 2.4x x x x10-11 Ao lado, vemos o (bom) comportamento dos dados modelados em um gráfico. Ao relacionarmos com o inverso do quadrado do potencial, o esperado é uma reta cujo coeficiente angular é diretamente proporcional a h. 1.6x x x10-11 Medidas obtidas para a circunferência de maior diâmetro. Melhor reta fitada: (6.55 ± 0.07)10-34 Js * x + (9 ± 2) x x x x x10 22 Prop. ao inverso da raiz quadrada do potencial (1/(2meV) 1/2 ) Assim, podemos calcular a média das constantes de Planck, obtendo como resultado hg ( )10 34 Js.

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31 Correção relativística Sabendo o potencial a que esta submetido um elétron, sua velocidade deverá ser v( V ) 2eV m 0. Sem muito rigor, vamos propor a seguinte correção na massa eletrônica: m( V ) 1 m 0 v( V c ) 2 1 m 0 2eV m c 0 2.

32 Correção relativística Infelizmente, ao propor esta correção não há qualquer modificação nos cálculos. Primeiramente, podemos argumentar que os potenciais não são suficientemente grandes para que diferenças sejam de fato notórias. Também podemos lembrar que esta correção, segundo a modelagem relativística usual, não é correta: a massa seria uma função da velocidade, que é função do potencial. Dada a velocidade inicial, teríamos a aceleração destes elétrons e, então, a colisão nos planos cristalinos. Isto exigiria, para correções de maior ordem, a relatividade geral, o que não está dentro do escopo do estudo.

33 Conclusão e palavras finais Apresentaremos a seguir nossas conclusões e as referências que utilizamos para efetuas os cálculos e raciocínios.

34 Conclusão A constante de planck foi determinada pelo CODATA com o valor h (10 34 ) Js. Nós obtemos o valor, dados os experimentos realizados como descrito acima, h ( )10 34 Js Este valor indica um erro relativo ao valor esperado de 2%.. Nesta experiência, utilizamos a difração de Bragg para obter o comprimento de onda, segundo De Broglie, dos elétrons. Com o comprimento de onda, calculamos o valor da constante de Planck com erro relativo de 2%. Para realizar as medidas, propusemos uma modelagem segura para a medida do raio de circunferências espessas. Utilizamos o programa Origin para montar os gráficos.

35 Obrigado pela atenção