Órbitas Keplerianas. Paulo J. S. Gil. Departamento de Engenharia Mecânica Mecânica Aplicada e Aeroespacial Instituto Superior Técnico

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1 Órbitas Keplerianas Paulo J. S. Gil Departamento de Engenharia Mecânica Mecânica Aplicada e Aeroespacial Instituto Superior Técnico Cadeira de Satélites, MEAer, IST Última actualização: 4 de Outubro de 008 Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 1 / 88 Sumário Força Central Movimentos Celestes e Força Central Força Central Gravítica O Problema dos Corpos Órbitas Keplerianas Geometria das Secções Cónicas Órbitas de Planetas e Satélites Leis de Kepler A Equação de Kepler Anomalias A equação de Kepler Órbitas Hiperbólicas Dedução Anaĺıtica Órbita Estabelecida a Partir de Condições Iniciais Estabilidade das Órbitas Circulares O Vector de Laplace-Runge-Lenz Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites / 88

2 Força Central Sumário Força Central Movimentos Celestes e Força Central Força Central Gravítica O Problema dos Corpos Órbitas Keplerianas Geometria das Secções Cónicas Órbitas de Planetas e Satélites Leis de Kepler A Equação de Kepler Anomalias A equação de Kepler Órbitas Hiperbólicas Dedução Anaĺıtica Órbita Estabelecida a Partir de Condições Iniciais Estabilidade das Órbitas Circulares O Vector de Laplace-Runge-Lenz Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 3 / 88 Força Central Movimentos Celestes e Força Central Evidência de Força Central no Sistema Solar v Problema de Força Central O θ e θ F r e r Um corpo sob influência de uma força que está sempre direccionada para um ponto fixo O no referencial (de inércia) Ponto O escolhido como a origem do referencial A força central pode sempre ser escrita como F = F r r No sistema solar observam-se situações similares a esta: Sol e planetas Planetas e satélites etc. Casos reais podem ser aproximados por esta situação (discutir) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 4 / 88

3 Força Central Movimentos Celestes e Força Central Plano do Movimento O movimento dá-se num plano v 0 r 0, v 0 determinam um plano inicial; supor plano xy F r 0 F = m a (referencial de inércia) O θ r 0 A componente a z da aceleração será sempre nula A velocidade só varia no plano xy e o movimento nunca sai deste Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 5 / 88 Força Central Movimentos Celestes e Força Central Momento Angular Relativamente à Origem Derivada do momento angular relativamente a O i d H 0 dt = i d dt ( r m v) = v } {{ m v } + r m a = r F = M 0 (1) =0 M0 é o momento das forças. Mas M 0 = r F = r F r r = 0 () O momento angular conserva-se no problema de força central! H 0 = r m v = Cte (3) O momento angular é um vector constante logo o movimento ocorre num plano; H 0 é normal ao plano do movimento Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 6 / 88

4 Força Central Movimentos Celestes e Força Central Velocidade Areolar Área varrida por r no intervalo de tempo t r + r r v No instante t + t o vector posição será r + r; a área varrida é aproximadamente um triângulo θ r A = 1 r ( r + r) = 1 r r (4) θ O (metade da área do paralelogramo) da dt = lim A t 0 t = lim 1 r t 0 r t = 1 r v = H 0 m = Cte (5) da dt = H 0 m = Cte (6) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 7 / 88 Força Central Movimentos Celestes e Força Central a Lei de Kepler a Lei de Kepler e velocidade areolar A equação da velocidade areolar determina que Áreas iguais varridas em tempos iguais a Lei de Kepler! É consequência da conservação do momento angular H 0 = Cte Momento angular em coordenadas polares Definição: momento angular por unidade de massa h H 0 m da dt = 1 r v = 1 e r e θ e z r 0 0 ṙ r θ 0 = r θ e z = r θ = h (7) Ou seja: r θ = h = Cte (8) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 8 / 88

5 Força Central Movimentos Celestes e Força Central Equações do Movimento em Coordenadas Polares Força central em coordenadas polares Equações do movimento a Lei de Newton a r r r θ = F m f a θ r θ + ṙ θ = 1 r d dt ( ) r θ }{{} = h = Cte (9a) = 0 (9b) A segunda equação só reafirma a conservação do momento angular r θ = h = Cte Substituindo θ = h/r de (9b) em (9a) resulta r h r 3 = f (10) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 9 / 88 Força Central Movimentos Celestes e Força Central Eliminação da Variável Tempo É possível eliminar a dependência expĺıcita do tempo A equação anterior indica que se pode eliminar a dependência de θ da equação do movimento. Então r = d dt ṙ = dṙ dr Substituindo r em (10) vem dr dt = dṙ dr ṙ = 1 d dr (ṙ ) (11) r = 1 d dr (ṙ ) = h r 3 + f (1) Admitindo que a força só depende de r (não depende de t explicitamente) e integrando ṙ = h r + f (r) dr + Cte (13) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 10 / 88

6 Força Central Movimentos Celestes e Força Central Pode-se utilizar a variável θ em conjunto com θ = h/r para obter ṙ = dr dθ dθ dt = dr ( ) h dθ r (14) Combinando com a equação anterior, o tempo será eliminado e é possível obter a trajectória por integração ( ) dr = r + r 4 dθ h f (r) dr + r 4 Cte (15) h Das suas componentes pode-se obter imediatamente a velocidade utilizando (13) e a expressão do momento angular v = ṙ + (r θ) = f (r) dr + Cte (16) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 11 / 88 Força Central Movimentos Celestes e Força Central Força Central Conservativa Uma força central dependente só de r é conservativa Seja F = F (r) e r (F θ = F z = 0). Então, o rotacional em coordenadas ciĺındricas F = 1 e r r e θ e z r r θ z F r rf θ F z = 0 F = U = U r e r (17) U é apenas função de r logo U r = du dr Utilizando a expressão da velocidade (16) e integrando v = m du dr dr + Cte = U m + Cte 1 mv + U = Cte E (18) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 1 / 88

7 Força Central Movimentos Celestes e Força Central Potencial Efectivo Para partículas à mesma distância e mesma energia, a velocidade é a mesma independentemente da trajectória v = ṙ + (r θ) e combinando com a equação da energia e do momento angular E = 1 mṙ + mh r + U = 1 mṙ + V eff (19) Potencial efectivo V eff = U + mh no referencial que roda tal r que a partícula está sempre na mesma direcção; de (19): ṙ = ± m (E V eff) V eff (r) = U(r) + mh E (0) r Valores máx. e min. de r, se existirem são obtidos no caso V eff = E i.e. quando ṙ = 0 pontos de viragem das distâncias apsidais das órbitas; mais sobre V eff mais tarde ṙ = 0 sempre órbita é circular (r = Cte) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 13 / 88 Força Central Movimentos Celestes e Força Central Solução Geral do Problema de Força Central Integração em função do Tempo De (0) Integrando ṙ = dr dt = ± m ( ) E U mh r (1) t t 0 = r r 0 ± m dr (E U(r)) h r () Solução na forma t = t(r); inversão (se possível) pode dar solução expĺıcita r = r(t) O sinal + foi tomado em (1) sem perda de generalidade (equações simétricas no tempo... ) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 14 / 88

8 Força Central Movimentos Celestes e Força Central Solução Geral do Problema de Força Central Trajectória Substituindo a equação da energia na equação da trajectória (15) ou muito simplesmente fazendo dr dθ = ṙ θ usando (1) e θ = h/r obtém-se dr dθ = r h (E U) h m r (3) Integrando r h dr θ θ 0 = (4) r 0 r h m (E U) r θ = h/r θ nunca muda de sinal; θ aumenta monotonamente com t É usual realizar a mudança de variável u = 1/r no integral Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 15 / 88 Força Central Movimentos Celestes e Força Central Força Proporcional a uma Potência de r Caso força f = Ar n TPC: faça a mudança de variável u = 1/r e mostre que U = Au (n+1) /(n + 1) TPC: mostre que (3) se escreve θ θ 0 = u u 0 du a + bu + cu (n+1) (5) com a = E mh, b = 1, c = A mh (n+1) Para n = 1,, 3 o integral pode ser calculado à custa de funções trigonométricas Para n = 5, 3, 0, 4, 5, 7 o integral pode ser calculado em termos de funções eĺıpticas Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 16 / 88

9 Força Central Força Central Gravítica Força Central Gravítica Seja a força central a força gravítica; F = GMm r e r F m = f =, GM (6) r denomina-se Parâmetro Gravitacional (explicar) Tem-se, com a mudança de variável u = 1/r e usando θ = h/r ṙ = dr dt = dr dθ dθ dt = dr dθ θ = dr h dθ r = h d dθ Similarmente r = dṙ dt = dṙ dθ dθ dt = h dṙ r dθ = h d r dθ ( h du ) dθ ( ) 1 = h du r dθ ṙ = h du dθ = h u d u dθ (7) r = h u d u dθ (8) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 17 / 88 Força Central Força Central Gravítica Equação do Movimento Transformada Substituindo as equações anteriores na equação do movimento (10) r h r 3 = f h u d u dθ h u 3 = u (9) Dividindo a equação por h u obtém-se finalmente uma equação linear não homogénea em u! Solução: u = u h + u p d u dθ + u = h (30) Solução particular u p : fácil verificar que u p = h verifica (30) Solução homogénea u h : ensaiar solução da forma u h = C te e λθ Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 18 / 88

10 Força Central Força Central Gravítica Solução da Equação Homogénea Substituindo a tentativa de solução u h = C te e λθ na equação homogénea obtém-se a equação característica λ + 1 = 0 λ = ±i A solução geral da equação homogénea é então u h = Ae iθ + Be iθ = C 1 cos θ + C sin θ (31) com C 1 = A + B, C = i(a B) É sempre possível fazer C 1 = C cos β 0, C = C 1 + C (3a) C = C sin β 0, β 0 = arctan C C 1 A solução geral da homogénea escreve-se finalmente (3b) u h = C(cos θ cos β 0 + sin θ sin β 0 ) = C cos(θ β 0 ) (33) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 19 / 88 Força Central Força Central Gravítica Solução da Equação do Movimento A solução da equação do movimento vem finalmente u = 1 r = u h + u p = C cos(θ β 0 ) + h (34) Notas C, β 0 são constantes de integração a determinar A equação do movimento pode ser reescrita em função de uma constante nova e como u = 1/r = 1 + Ch / cos(θ β 0 ) h / = 1 + e cos(θ β 0) h / (35) A constante de integração β 0 muda apenas a orientação da trajectória no plano do movimento Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 0 / 88

11 Força Central Força Central Gravítica Potencial Gravítico A energia potencial, no caso da força gravítica, pode ser escrita como (usando a força por unidade de mass f ) U(r) = f dr = ρ dρ = (36) r r Escolheu-se para referência da energia potencial no infinito: energia potencial nula quando a partícula não sente a força i.e. quando não há força ρ é a variável muda de integração O potencial U definido deste modo é a energia potencial por unidade de massa Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 1 / 88 Força Central Força Central Gravítica Determinação da Constante de Integração C A energia por unidade de massa E E/m escreve-se, lembrando que v = ṙ + r θ = ṙ + h /r e que ṙ = h du dθ e usando a solução da equação [ (du E = v ) ] r = h + u u dθ = [C h sin θ + h 4 + C cos θ + C ] h cos θ C cos θ h h [ ( ) ] C h + h C h cos θ C cos θ }{{} = 0 = h [ ( ) ] C h (37) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites / 88

12 Força Central Força Central Gravítica Solução das Órbitas Keplerianas Seja C escrita em função da nova constante e C = ( h ) e (38) e é determinada pelas constantes do movimento como sendo E h e = 1 + (39) A nova constante e é a excentricidade da órbita A equação da trajectória fica finalmente u = 1 r = h (1 + e cos(θ β 0)) r = h / 1 + e cos(θ β 0 ) (40) A equação da trajectória descreve uma cónica de excentricidade e Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 3 / 88 Força Central Força Central Gravítica Cónicas Efeito da excentricidade e Fonte: Chow Efeito do β 0 v 0 r 0 θ β 0 β 0 v 0 r 0 F Condições iniciais rodadas β 0 geram uma trajectória rodada β 0 Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 4 / 88

13 O Problema dos Corpos Sumário Força Central Movimentos Celestes e Força Central Força Central Gravítica O Problema dos Corpos Órbitas Keplerianas Geometria das Secções Cónicas Órbitas de Planetas e Satélites Leis de Kepler A Equação de Kepler Anomalias A equação de Kepler Órbitas Hiperbólicas Dedução Anaĺıtica Órbita Estabelecida a Partir de Condições Iniciais Estabilidade das Órbitas Circulares O Vector de Laplace-Runge-Lenz Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 5 / 88 O Problema dos Corpos Problema de Corpos atraídos pela Gravidade x z O m 1 r 1 r = r r 1 y r F 1 F = F 1 m Equações do movimento 3 a Lei de Newton: F = F 1 corpos isolados Não há forças externas Gravidade é a única força r i é a posição do corpo i Fi é a força que actua no corpo i r = r r 1 é o vector relativo de m 1 para m m 1 r1 = F 1, m r = F (41) Centro de massa (def.): r C = m 1 r 1 + m r m, m m 1 + m Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 6 / 88

14 O Problema dos Corpos Mudança de Coordenadas z r 1 m 1 ρ 1 C r Movimento do Centro de Massa C C encontra-se sobre r = r r 1 Somando as equações do movimento r C ρ m r C = m 1 r1 + m r = F 1 + F = 0 m (4) r rc = 0 integra-se imediatamente para O y x r C = r C0 + v C0 t (43) r C = m 1 r 1 +m r m m r C = m 1 r 1 + m ( r + r 1 ) m r 1 = m r C m r (44) Idem para o caso de r ; então ( r i = r C + ρ i ) r 1 = r C m m 1 + m r r = r C + m 1 m 1 + m r (45) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 7 / 88 O Problema dos Corpos Equação que Rege o Movimento Os ρ i são uma percentagem do vector relativo r Mudança de coordenadas de ( r 1, r ) para ( r C, r) Parte da solução: r C já está determinado por (43) C pode ser colocado na origem num referencial de inércia; neste caso r C = Cte = 0 Nas novas coordenadas as equações do movimento ficam F 1 = m 1 r1 = m 1 F = m r = m m rc m }{{} 1 m r = m 1m m r (46a) = 0 m 1 rc +m }{{} m r = m m 1 m r (46b) = 0 Como F = F 1 (3a Lei de Newton), as duas equações são iguais Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 8 / 88

15 O Problema dos Corpos Redução ao Problema de Força Central F = F 1 = Gm 1m r 3 r logo ambas as equações escrevem-se m 1 m m 1 + m r = Gm 1 m r 3 r r = Gm r e r (47) Equação similar à de força central Solução é uma cónica, como no caso de força central, com m = m 1 + m r é posição relativa de m no referencial que acompanha m 1 mas que não roda Cónica descrita por m relativamente a m 1 Ambas as partículas descrevem cónicas no referencial de inércia do centro de massa pois ρ i são uma percentagem fixa do comprimento de r, Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 9 / 88 O Problema dos Corpos Trajectórias no Referencial do Centro de Massa C m m 1 ρ ρ 1 C m descreve uma cónica relativamente a m 1 (e vice-versa) A posição de m relativa a m 1 é r (no referencial que acompanha m 1 mas que não roda relativamente ao de inércia) No referencial de C, ρ i são uma percentagem fixa de r As partículas descrevem cónicas opostas no referencial de C, com a mesma excentricidade; C é foco de ambas Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 30 / 88

16 O Problema dos Corpos Caso m 1 m ou m 1 Razão das massas m 1 ρ ρ 1 C m m 1 = m m 1 = 3m m 1 = 5m m 1 = 9m m 1 = 19m m 1 = 80m Quanto maior a diferença das massas, maior a diferença do tamanho relativo das elipses Massas iguais elipses iguais Caso de órbitas circulares: (m 1 m ) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 31 / 88 Sumário Órbitas Keplerianas Força Central Movimentos Celestes e Força Central Força Central Gravítica O Problema dos Corpos Órbitas Keplerianas Geometria das Secções Cónicas Órbitas de Planetas e Satélites Leis de Kepler A Equação de Kepler Anomalias A equação de Kepler Órbitas Hiperbólicas Dedução Anaĺıtica Órbita Estabelecida a Partir de Condições Iniciais Estabilidade das Órbitas Circulares O Vector de Laplace-Runge-Lenz Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 3 / 88

17 Órbitas Keplerianas Geometria das Secções Cónicas Curvas Cónicas Fonte: Bate et al. Inclinação do plano de intersecção determina o tipo de cónica Hipérboles, parábolas e elipses; circunferência é caso particular da elipse As elipses e as hipérboles têm eixos de simetria (as parábolas só têm 1 e as circunferências têm infinitos) Referencial dos eixos de simetria com origem na intersecção Equação das elipses Equação das hipérboles X a + Y b = 1 (48) X a Y b = 1 (49) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 33 / 88 Órbitas Keplerianas Geometria das Secções Cónicas Geometria Geral das Cónicas Fonte: Bate et al. Focos F, F, parâmetro p define pontos na vertical dos focos Notar que nas hipérboles a ordem dos focos está trocada: parâmetros a, c podem ser considerados negativos No referencial OXY os pontos da elipse [hipérbole] na vertical dos focos têm coordenadas (±c, ±p) A ponto de uma elipse, a soma das distâncias aos focos é sempre constante FA + F A = a Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 34 / 88

18 Órbitas Keplerianas Geometria das Secções Cónicas Cónicas Construídas Utilizando a Directriz p F r θ p/e r/e r p r p /e A razão entre a distância ao foco e a distância à directriz é a excentricidade e O valor de e determina o tipo de cónica: elipses (e < 1, círculos para e = 0), parábolas (e = 1, caso intermédio), hipérboles (e > 1) O parâmetro p é a distância ao foco do ponto na vertical do foco Tem-se x = r cos θ, y = r sin θ (50) D Usando as definições da directriz e de p: p p/e = x + r/e r = (51) 1 + e cos θ A equação geral das cónicas é obtida, em função de p e e Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 35 / 88 Órbitas Keplerianas Geometria das Secções Cónicas Elipses Propriedades A a O b p F r θ P Elipse de semi-eixos maior a e menor b (definição) p é denominado parâmetro ou semi-latus rectum (def.) Periápsis e Apoápsis e nomes derivados; de (51): r p = p 1 + e, r a = p 1 e (5) Claramente tem-se a = r a + r p = p 1 e + p 1 + e = p 1 e p = a(1 e ) (53) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 36 / 88

19 Órbitas Keplerianas Propriedades das Elipses Geometria das Secções Cónicas Propriedades a O b ae p F r θ a(1 e) De (53) r p = a(1 e), r a = a(1 + e) (54a) (54b) Como a = OF + r p então OF = ae (55) Soma das distâncias aos focos: r + r = a (demonstrar) Das propriedades também se obtém que (demonstrar) b = a 1 e (56) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 37 / 88 Órbitas Keplerianas Geometria das Secções Cónicas Parábola Fonte: Schaub Parábola e = 1 Raio do periápsis (não há apoápsis) r p = p Equação da trajectória r = r p 1 + cos θ TPC: Deduzir a expressão em coordenadas cartesianas com origem no foco; que acontece quando p varia? Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 38 / 88

20 Órbitas Keplerianas Geometria das Secções Cónicas Hipérbole Fonte: Schaub Hipérboles e > 1 Resultados similares desde que se considere a < 0 θ = arccos ( 1 ) e b = a e 1 p = ( a)(e 1) = a (e 1) r p = ( a)(e 1) = a (e 1) p = r p (1 + e) TPC: Deduzir as expressões acima neste caso das hipérboles utilizando a directriz Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 39 / 88 Órbitas Keplerianas Órbitas de Planetas e Satélites Excentricidade das Relembrando (39) e = Órbitas e Energia 1 + E h A energia e a excentricidade estão directamente relacionadas e e < 1 E < 0 órbitas eĺıpticas (E = (/h) órbita circular) e = 1 E = 0 órbitas parabólicas e > 1 E > 0 órbitas hiperbólicas Da equação da energia E = v / /r r E v (57) E > 0, partícula escapa para infinito e chega lá com velocidade E = 0, partícula chega a infinito com velocidade nula E < 0, partícula não pode escapar da atracção da massa central Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 40 / 88

21 Órbitas Keplerianas Órbitas de Planetas e Satélites Órbitas Espaciais, Semi-eixo Maior e Energia Comparando a solução da trajectória (40) r = h / 1+e cos θ com a p equação das cónicas (51) r = 1+e cos θ encontra-se o valor em função dos parâmetros da órbita do semi-latus rectum p = h (58) Combinando p = a(1 e ) = h / com a equação (39) E h e = 1 + E = h (e 1) = (e 1) a(1 e ) (59) E = a (60) Órbitas hiperbólicas: E = a = a Órbitas parabólicas: E = 0 Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 41 / 88 Órbitas Keplerianas Órbitas de Planetas e Satélites Propriedades das Órbitas Órbitas, energia e a E = a E aumenta com a F Planeta a Massa central sempre no foco cuja localização depende de e a = Cte, e crescente r a cresce, r p decresce Figura: a = Cte E = Cte, e = 0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9 Órbitas muito excêntricas possibilidade de cair no corpo central Órbitas baixas (baixa energia) têm que ser pouco excêntricas necessário precisão no lançamento Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 4 / 88

22 Órbitas Keplerianas Órbitas de Planetas e Satélites Equação Vis-Viva (da Força Viva) Uma vez que E = a = v r então v = ( 1 r 1 ) a (61) Velocidade na órbita determinada pela posição (raio) e semi-eixo maior Equação fundamental para estudar as manobras orbitais Velocidade é tanto maior quanto menor a distância ao corpo central e vice-versa Outra implicação: velocidade de escape só depende da altitude, não da direcção da velocidade Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 43 / 88 Órbitas Keplerianas Órbitas de Planetas e Satélites Leis de Kepler Revisitadas 1 a Lei de Kepler Todos os planetas descrevem órbitas eĺıpticas com o Sol num dos focos Expressa a solução das órbitas no caso e < 1 a Lei de Kepler A linha que une o Sol aos planetas (posição relativa) varre áreas iguais em tempos iguais Expressa a conservação do momento angular h = Cte Filme a Lei de Kepler animada em Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 44 / 88

23 Órbitas Keplerianas Órbitas de Planetas e Satélites 3a Lei de Kepler 3 a Lei de Kepler Período T a 3/ onde a é o semi-eixo maior As equações das órbitas também resultam nesta Lei de Kepler Demonstração Da a lei: da dt = 1 r θ = h/ = Cte da = 1 hdt da = 1 h dt = 1 h(t t 0) Seja T = t t 0, o período orbital A é a área inscrita na órbita a área da elipse A e = πab = 1 πab ht T = h (6) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 45 / 88 Órbitas Keplerianas Órbitas de Planetas e Satélites Período Orbital Lembrando que b = a 1 e e p = h = a(1 e ) T = πab h = πaa 1 e a 1 e (63) T = πa3/ (64) Tendo planetas pode-se eliminar a constante de proporcionalidade T = 4π a3 = Cte a 3 (resultado de Kepler) T T1 = a3 a 3 1 (65) Implicação: Planetas mais longínquos andam mais devagar Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 46 / 88

24 A Equação de Kepler Sumário Força Central Movimentos Celestes e Força Central Força Central Gravítica O Problema dos Corpos Órbitas Keplerianas Geometria das Secções Cónicas Órbitas de Planetas e Satélites Leis de Kepler A Equação de Kepler Anomalias A equação de Kepler Órbitas Hiperbólicas Dedução Anaĺıtica Órbita Estabelecida a Partir de Condições Iniciais Estabilidade das Órbitas Circulares O Vector de Laplace-Runge-Lenz Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 47 / 88 A Equação de Kepler Anomalias Anomalias Verdadeira e Excêntrica As anomalias são simplesmente ângulos; o seu nome deve-se a historicamente certos ângulos não serem o esperado anómalos Fonte: Battin Cicunferência auxiliar de raio a A Anomalia Verdadeira θ é o ângulo em coordenadas polares a partir do periápsis A Anomalia Excêntrica E é o ângulo central da circunferência auxiliar de raio a relacionado com a posição do satélite (figura) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 48 / 88

25 A Equação de Kepler Anomalias Anomalia Média A partir do período orbital (lei de Kepler) T = (π) a 3 (66) pode-se definir uma velocidade de revolução média do satélite n n = π T = a 3 (67) A Anomalia Média M é o ângulo médio medido a partir da última passagem no periápsis Def. M : M = n(t T 0 ) = a 3 (t T 0) (68) (T 0 é o tempo de passagem no periápsis) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 49 / 88 A Equação de Kepler A equação de Kepler Transformação Afim Fonte: Battin Transformação Afim entre a o círculo e a elipse: contracção da coordenada y em b/a uma mudança de escala Os comprimentos e áreas correspondentes são escalados em b/a RQ escala para RP com RP = b/arq A área FAQ transforma-se na área FAP, que é b/a mais pequena que a primeira Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 50 / 88

26 A Equação de Kepler A equação de Kepler Áreas Fonte: Bate A área A c é determinada à custa do sector circular E π πa e do triângulo definido pelo centro, foco e ponto no círculo Ea = A c + 1 (ae)(a sin E) (69) A c = a (E e sin E) (70) Usando a transformação afim A e = b a A c = ab (E e sin E) (71) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 51 / 88 A Equação de Kepler A equação de Kepler Equação de Kepler Lei de Kepler aplicada a um período da dt = A elipse T = ab = Cte (7) a3 Integrando entre o tempo de passagem no periápsis T 0 e t e utilizando (71) t T 0 da = A e = ab (E e sin E) = ab a 3 t T 0 dt = ab a 3 (t T 0) Finalmente, simplificando e utilizando a definição (68) de M a 3 (t T 0) M = E e sin E (73) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 5 / 88

27 A Equação de Kepler A equação de Kepler Relação entre E e θ Fonte: Battin Da figura a cos E + r cos(π θ) = ae a cos E r cos θ = ae (74) A transformação afim implica que r sin θ = RP = b a RQ = b a a sin E Utilizando a equação da órbita, as equações anteriores resultam em cos E = e + cos θ cos θ = e cos E 1 + e cos θ 1 e cos E 1 e sin E = sin θ 1 e sin θ = sin E 1 + e cos θ 1 e cos E (75) (76) (77) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 53 / 88 A Equação de Kepler A equação de Kepler Utilizando a identidade tan x = 1+cos x e substituindo as equações anteriores, obtém-se finalmente para elipses sin x tan θ = 1 + e 1 e tan E (78) que determina os valores sem confusão de quadrante Para movimentos parabólicos obtém-se p 3 (t T 0) = tan θ + 1 θ 3 tan3 (79) E para movimentos hiperbólicos a 3 (t T 0) = e sinh F F, cos θ = e cosh F e cosh F 1 (80) Nota: o movimento parabólico é singular e os outros podem ser unificados fazendo E = if Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 54 / 88

28 A Equação de Kepler Dedução Anaĺıtica Integração Directa da Equação de Kepler Da lei de Kepler pode-se obter θ da dt = ab a 3 = h = r θ θ = dθ dt = a 1 e r a 3 (81) e usando a equação da órbita r = a(1 e ) 1+e cos θ dθ (1 + e cos θ) = (1 e ) 3/ dt (8) a3 Integrando a partir do periápsis θ 0 dθ (1 + e cos θ) = /a 3 (1 e ) 3 t T 0 dt = /a 3 (1 e ) 3 (t T 0) (83) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 55 / 88 A Equação de Kepler Dedução Anaĺıtica Cálculo do Integral Problema: calcular Tabelas: Caso θ 0 dθ (1 + e cos θ) (84) dθ (1 + e cos θ) n, n = (85) dθ (1 + e cos θ) = e sin θ (1 e )(1 + e cos θ) e dθ 1 + e cos θ (86) Resultado verificado por derivação do resultado (intrincado... ) Mudança de variável laboriosa: tan θ 1 x = x cos θ = com 1+x dθ dx = pode obter-se o resultado (TPC!!!) 1+x Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 56 / 88

29 A Equação de Kepler Dedução Anaĺıtica Mudança de Variável A mudança de variável também funciona no integral original; simplificando, obtém-se dθ (1 + e cos θ) = (1 e) O resultado é diferente para e < 1 e para e > 1 dθ (1 + e cos θ) e < 1 : = 1 1 e [ e > 1 : = 1 e 1 [ 1 c (x + c) + 1 ] x dx, c = 1+e + c 1 e (87) [ ( e sin θ 1 + e cos θ + arctan 1 e 1 e 1+e )] tan θ (88) )] ( e+1 e sin θ 1 + e cos θ 1 e 1 log + e 1 tan θ e+1 e 1 tan θ (89) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 57 / 88 A Equação de Kepler Dedução Anaĺıtica Tempo em Função da Anomalia Verdadeira Finalmente, o tempo em função da anomalia verdadeira é escrito para órbitas eĺıpticas e hiperbólicas e < 1 : t e = a3/ [ arctan [ e > 1 : t h = a3/ e e 1 sin θ 1 + e cos θ ( 1 e 1 + e tan θ Equações na forma adimensional com a substituição ) ] e 1 e sin θ 1 + e cos θ (90) ( )] e e 1 tan θ log e + 1 e 1 tan θ (91) τ e = t e πa 3/ (9) τ h = t h a 3/ (93) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 58 / 88

30 A Equação de Kepler Dedução Anaĺıtica Representação Gráfica Fonte: Thomson Órbitas Eĺıpticas Tempo adimensional τ e vs anomalia verdadeira θ Solução gráfica da equação de Kepler para órbitas eĺıpticas Tempo adimensional τ e = t e πa 3/ Gráficos permitem solução aproximada curvas diferentes para cada valor da excentricidade e < 1 Solução simétrica para as duas metades da órbita pois eixo maior é eixo de simetria Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 59 / 88 A Equação de Kepler Dedução Anaĺıtica Representação Gráfica Fonte: Thomson Órbitas Hiperbólicas Tempo adimensional τ h vs anomalia verdadeira θ Solução gráfica da equação de Kepler para órbitas hiperbólicas Tempo adimensional τ h = t h a 3/ Gráficos permitem solução aproximada curvas diferentes para cada valor da excentricidade e > 1 Solução simétrica para as duas metades simétricas da órbita divididas pelo periápsis Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 60 / 88

31 A Equação de Kepler Dedução Anaĺıtica Resolver a equação de Kepler A equação de Kepler é transcendente, só pode ser resolvida numericamente quando se sabe t e se pretende calcular o ângulo Muitas tentativas de resolver a equação de Kepler, e muitos algoritmos Quando a excentricidade é elevada, certos algoritmos falham A equação de Kepler é fundamental para resolver problemas de Mecânica Orbital Para órbitas não eĺıpticas a equação é diferente Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 61 / 88 Sumário Órbita Estabelecida a Partir de Condições Iniciais Força Central Movimentos Celestes e Força Central Força Central Gravítica O Problema dos Corpos Órbitas Keplerianas Geometria das Secções Cónicas Órbitas de Planetas e Satélites Leis de Kepler A Equação de Kepler Anomalias A equação de Kepler Órbitas Hiperbólicas Dedução Anaĺıtica Órbita Estabelecida a Partir de Condições Iniciais Estabilidade das Órbitas Circulares O Vector de Laplace-Runge-Lenz Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 6 / 88

32 Órbita Estabelecida a Partir de Condições Iniciais Inserção em Órbita F γ 0 v 0 e θ r 0 θ 0 rp Inserção em Órbita r 0, v 0 são as condições iniciais e definem o plano da órbita ( h = r 0 v 0 = Cte) O ângulo γ entre v e a direcção transversal e θ é o flight path angle Relativamente às condições iniciais, qual a órbita em que a partícula se encontra? Especificar órbita no plano determinar {a, e} e θ 0 (i.e. a orientação da órbita) O valor algébrico do momento angular h pode ser determinado em qualquer instante utilizando γ; no instante escolhido t 0 : h = r v sin( r, ˆv) h = r 0 v 0 cos γ 0 (94) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 63 / 88 Órbita Estabelecida a Partir de Condições Iniciais Velocidade Radial na Órbita A componente radial da velocidade ṙ pode ser obtida diferenciando a equação da órbita ( d 1 dt r = 1 + e cos θ ) ṙ sin θ = e θ (95) p r p Ou seja, usando r θ = h, p = h / e resolvendo para ṙ ṙ = e sin θ (96) h ṙ será nulo quando θ = 0, π v r ṙ = 0 no periápsis e no apoápsis A velocidade é perpendicular ao vector posição no periápsis e no apoápsis (só tem componente tangencial) h = r v cos γ = rp v p = r a v a Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 64 / 88

33 Órbita Estabelecida a Partir de Condições Iniciais Órbita Deduzida a Partir de Condições Iniciais No ponto inicial de inserção tem-se ṙ 0 = [ṙ] θ=θ0 = ( v 0 ) r = v 0 sin γ 0 (97a) θ 0 = [ θ] θ=θ0 r 0 θ 0 = ( v 0 ) θ = v 0 cos γ 0 (97b) Utilizando (97a) e (96) para ṙ no ponto inicial ṙ 0 = h e sin θ 0 = v 0 sin γ 0 (98) Utilizando a expressão do momento angular no ponto h = r 0 v 0 cos γ 0 e simplificando e sin θ 0 = r 0v 0 sin γ 0 cos γ 0 (99) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 65 / 88 Órbita Estabelecida a Partir de Condições Iniciais Anomalia Verdadeira Inicial θ 0 Invertendo a equação da órbita 1 r 0 = (1 + e cos θ h 0 ) e utilizando o momento angular novamente e cos θ 0 = h 1 r 0 1 = r 0 v 0 cos γ 0 r 0 1 = r 0v 0 cos γ 0 1 e cos θ 0 = r 0v 0 cos γ 0 1 (100) Dividindo termo a termo as equações (99) e (100) anteriores, o lado esquerdo simplifica para e sin θ 0 e cos θ 0 = tan θ 0 e ( ) r0 v0 sin γ 0 cos γ 0 tan θ 0 = ) (101) cos γ 0 1 ( r0 v 0 Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 66 / 88

34 Órbita Estabelecida a Partir de Condições Iniciais Sinal de γ e Quadrante da Órbita Notas importantes sobre tan θ 0 = r 0 v 0 sin γ 0 cos γ 0 r 0 v 0 cos γ 0 1 v r = ṙ = e h sin θ γ > 0 nos 1o e o Quadrantes γ e θ têm que ser determinados para localização na órbita todas as soluções possíveis devem ser consideradas! Sinal de γ permite determinar quadrante a que pertence θ r 0v 0 cos γ 0 = 1 θ 0 = 90 r 0v 0 cos γ 0 > 1, γ 0 > 0[< 0] θ 0 1 o [3 o ] Quadrante r 0v 0 cos γ 0 < 1, γ 0 > 0[< 0] θ 0 o [4 o ] Quadrante Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 67 / 88 Órbita Estabelecida a Partir de Condições Iniciais Excentricidade em Função das Condições Iniciais Quadrando e somando (99) e (100) (e sin θ 0 ) + (e cos θ 0 ) = e (sin θ 0 + cos θ 0 ) = e ( r0 v ) ( 0 = sin γ 0 cos r0 v ) ( 0 γ 0 + cos 4 r0 v ) 0 γ 0 cos γ 0 +1 [ (r0 v ) ] 0 ( = cos γ 0 cos γ 0 + sin ) γ 0 }{{} = [ (r0 v 0 = 1 ( r0 v ) 0 cos γ 0 + sin γ 0 + cos γ 0 ) ( r0 v ) ] cos γ 0 + sin γ 0 ( e r0 v ) 0 = 1 cos γ 0 + sin γ 0 (10) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 68 / 88

35 Órbita Estabelecida a Partir de Condições Iniciais Semi-Eixo Maior e Outras Notas Semi-Eixo maior e Condições Iniciais Da equação da energia (para hipérboles, a < 0) r 0 a = r 0v 0 r 0 r 0 a r 0 = 1 r 0v 0 (103) Notas [ Dimensões físicas de r 0v0 : r0 v0 ] = LL T M L3 T M = adimensional Equações válidas para qualquer instante, não só para o inicial γ 0 0 e 0 i.e. órbita circular não é possível γ 0 = 0 r 0 é periápsis, apoápsis ou a órbita é circular (ver a seguir) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 69 / 88 r 0 v 0 Órbita Estabelecida a Partir de Condições Iniciais e Tipo de Órbita Da equação de e verifica-se que Se tem órbitas eĺıpticas, parabólicas ou hiperbólicas consoante r 0 v0 <, r 0v0 = ou r 0v0 > TPC: mostrar que este resultado não depende do valor de γ 0 Gráfico polar de e(γ 0 ) para diversos valores de r 0v 0 demonstra este resultado: e = distância ao centro ɛ =.05 e curvas para A = r 0v0 =, ± ɛ, ± ɛ, etc. Linhas verdes: A < e < 1 Linhas azuis: A > e > 1 Linha vermelha: A = e = 1 Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 70 / 88

36 Órbita Estabelecida a Partir de Condições Iniciais Relação Entre e e r 0v 0 para cada γ 0 Fonte: Thomson Desta figura também se verifica relação entre tipo de órbita e parâmetro r 0v 0 Na figura: K, β 0 γ 0 e < 0 corresponde a órbitas rodadas π (ver à frente) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 71 / 88 Órbita Estabelecida a Partir de Condições Iniciais Caso de Satélite lançado com γ 0 = 0 Notas γ 0 = 0 r 0 é periápsis, apoápsis ou a órbita é circular ( ) r0 v 0 Tem-se e = ± 1 Fácil ver o tipo de órbita Órbita circular e = 0 v0 = r 0 Velocidade de escape e = 1 v0 = r 0 Estando no apoápsis, pode-se considerar e negativo i.e. p r = 1 + e cos(θ π) = 1 e cos θ = 1 + e cos θ (104) com e = e < 0 corresponde a órbita rodada π no plano e > 1 pois caso contrário não estaria no ponto considerado Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 7 / 88

37 Órbita Estabelecida a Partir de Condições Iniciais Caso γ 0 = 0 Representação Gráfica Fonte: Thomson Satélite lançado com γ 0 = 0 Se velocidade não é suficientemente elevada o ponto r 0 é o apoápsis e não o periápsis Esse caso é equivalente a ter e < 0 Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 73 / 88 Sumário Estabilidade das Órbitas Circulares Força Central Movimentos Celestes e Força Central Força Central Gravítica O Problema dos Corpos Órbitas Keplerianas Geometria das Secções Cónicas Órbitas de Planetas e Satélites Leis de Kepler A Equação de Kepler Anomalias A equação de Kepler Órbitas Hiperbólicas Dedução Anaĺıtica Órbita Estabelecida a Partir de Condições Iniciais Estabilidade das Órbitas Circulares O Vector de Laplace-Runge-Lenz Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 74 / 88

38 Estabilidade das Órbitas Circulares Estabilidade das Órbitas Órbitas Parabólicas Se alguma perturbação altera ligeiramente a órbita ela transforma-se em órbita eĺıptica ou órbita hiperbólica Impossível saber tipo de órbita quando e 1 Órbitas Circulares Órbita circular é caso especial de órbita eĺıptica Quando órbita circular sofre uma perturbação, o resultado é ainda aproximadamente uma órbita circular? Estudo da estabilidade das órbitas circulares Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 75 / 88 Estabilidade das Órbitas Circulares Perturbação de Uma Órbita Circular Sistemas de forças centrais atractivas órbitas circulares sempre possíveis com a velocidade certa (força aplicada = força centrífuga) Componente radial da equação da força para órbita circular de raio r 0 r 0 θ = f (r 0 ) (105) Instabilidade radial r 1 : r = r 0 + r 1 ; r deve verificar a e que geral r r θ = f (r), r θ = h r h = f (r) (106) r 3 Mas, como r 1 é pequena perturbação, r 1 /r 0 1 ( r = r r ) 1 r 0, r 0 = Cte r = r 1 (107) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 76 / 88

39 Estabilidade das Órbitas Circulares Desenvolvimentos em Série Lembrando que 1 = 1 αx ± α(α + 1)x (1 ± x) α!... (108) O desenvolvimento em série de h /r 3 h r 3 = h r0 3(1 + r 1/r 0 ) 3 = h r0 3 ( 1 3 r 1 r r 1 r 0 )... (109) A série de Taylor de uma função geral f (r) em torno de r 0 é (r 1 = r r 0 ) f (r) = f (r 0 ) + r 1 f (r 0 ) + r 1 f (r 0 ) +... (110) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 77 / 88 Estabilidade das Órbitas Circulares Equação da Estabilidade Linear Substituindo na equação da órbita (106) e mantendo só termos de ordem 1 e sabendo que h = f (r r0 3 0 ) ( r 1 h 1 3 r ) 1 = f (r r 3 0 ) + r 1 f (r 0 ) (111) 0 r 0 Resulta finalmente a equação que rege a perturbação [ ] 3 r 1 f (r 0 ) + f (r 0 ) r 1 = 0 (11) r 0 Equação diferencial do oscilador harmónico de a ordem linear, homogénea, de coeficientes constantes Soluções gerais: C i exp (λ i t), λ i = ± 3 r f (r 0 0) + f (r 0 ), i = 1, Se exponenciais são reais não há estabilidade; Estabilidade para 3 r 0 f (r 0 ) + f (r 0 ) < 0 (113) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 78 / 88

40 Estabilidade das Órbitas Circulares Aplicação: Estabilidade das Órbitas Circulares Gravíticas Caso f (r) = r n 3 f (r 0 ) + f (r 0 ) = 3 r 0 r0 n+1 + n r n+1 0 = (n 3) r n+1 0 (114) Caso f (r) = r n = : 3 f (r 0 ) + f (r 0 ) = r 0 r0 n+1 < 0 Órbita estável (115) TPC: Mostrar que no caso de força gravítica ( e perturbação inicial r 1 (0) a velocidade angular se torna θ = h 1 r 1(0) r0 r 0 cos ) t r0 3 Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 79 / 88 Sumário O Vector de Laplace-Runge-Lenz Força Central Movimentos Celestes e Força Central Força Central Gravítica O Problema dos Corpos Órbitas Keplerianas Geometria das Secções Cónicas Órbitas de Planetas e Satélites Leis de Kepler A Equação de Kepler Anomalias A equação de Kepler Órbitas Hiperbólicas Dedução Anaĺıtica Órbita Estabelecida a Partir de Condições Iniciais Estabilidade das Órbitas Circulares O Vector de Laplace-Runge-Lenz Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 80 / 88

41 O Vector de Laplace-Runge-Lenz O vector de Laplace-Runge-Lenz e Órbitas Keplerianas Equação das órbitas pode ser obtida por um método algébrico utilizando apenas técnicas de análise vectorial O método faz uso de uma quantidade conservada (integral do movimento) pouco usual o vector de Laplace-Runge-Lenz, também conhecido por vector excentricidade ou vector de Laplace Conhecimento do vector de Laplace-Runge-Lenz também permite estudar as propriedades de simetria e ajuda a descrever a órbita no espaço de modo simples Generalizações destas ideias podem ser encontradas em questões mais avançadas Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 81 / 88 O Vector de Laplace-Runge-Lenz Manipulação Algébrica h = r r r, r r h pertence ao plano da órbita Como h = 0 em órbitas keplerianas então d dt ( v ) h = d dt ( r h ) = r h (116) Utilizando a definição de h = r r = r v e a equação do movimento r = r e r = r 3 r obtém-se d dt ( v ) h = r 3 r ( r r) (117) Notando que r v e utilizando a conhecida igualdade vectorial a ( b c) = ( a c) b ( a b) c (118) e notando que r r r = v r r = v e r = v r = ṙ, ṙ r v Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 8 / 88

42 O Vector de Laplace-Runge-Lenz Integral do Movimento O lado direito da expressão (117) simplifica-se [ r r 3 ( r r) ] = r 3 [ r r ( r v) r ] = r r r v r = [( r r 3 r) r ] ( r r) r }{{} = ṙ = [r r r ] ( e r v) r ( ) r r = r ṙ r r = d ( ) r dt r Encontra-se assim mais um integral do movimento d dt ) ( r h = d dt ( ) r r A (119) d ( r dt h r ) = 0 r ( r h r ) = C r = Cte (10) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 83 / 88 O Vector de Laplace-Runge-Lenz O Vector de Laplace-Runge-Lenz (LRL) Denominou-se a constante do movimento C A para facilidade posterior de interpretação O vector A é, por definição, o vector de Laplace-Runge-Lenz A = 1 ( r h r ) r (11) A é uma constante do movimento (não independente de outras já conhecidas) Que representa A? A pertence ao plano do movimento pois r h h (normal ao plano) e r plano Conhecer A é saber quanto vale o seu módulo e direcção Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 84 / 88

43 Módulo de LRL O Vector de Laplace-Runge-Lenz Determinando o módulo de A = r h r r A A = ( v h) r r + r r v h r através da sua norma = ( v h) +1 r ( r v h) (1) A expressão simplifica-se lembrando do cálculo vectorial que ( a b) = a b ( a b), a b c = a b c (13) Substituindo na expressão A = 1 (v h ( v h) }{{} = h ( v r = 0( v h) ) +1 r ( r v }{{} h h }{{} h ) +1 = h E +1 A = ) = h v +1 h r 1 + E h = e (14) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 85 / 88 O Vector de Laplace-Runge-Lenz Vector Excentricidade O módulo do vector de Laplace-Runge-Lenz é a excentricidade, daí a designação de vector excentricidade e A Um modo alternativo de determinar A é utilizar a equação da órbita 1 1+e cos θ e r =, a expressão (96) ṙ = h / h sin θ e r θ = h para determinar directamente o resultado: ( A = h v ) (ṙ + 1 = h + r θ r ) + 1 r = h e h sin θ + h r h r 4 h (1 + e cos θ) h / + 1 = e sin θ + h4 (1 + e cos θ) h 4 / e cos θ + 1 = e sin θ e cos θ + e cos θ 1 e cos θ = e ( sin θ + cos θ) = e (15) q.e.d. Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 86 / 88

44 O Vector de Laplace-Runge-Lenz Direcção do Vector Excentricidade Para determinar a direcção do vector excentricidade pode-se calcular o produto interno com r que, por definição r e = r e cos α (16) onde α é o ângulo entre os dois vectores Por outro lado h {}}{ r v h r e = r v h r r r = r r = h r (17) Igualando (16) e (17) r e cos α = h r r = h / 1 + e cos α O vector excentricidade tem a direcção do periápsis! α = θ (18) Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 87 / 88 O Vector de Laplace-Runge-Lenz Ilustração do Vector de Laplace-Runge-Lenz v h v r r e r v r v h r r F e Vector de Laplace-Runge-Lenz e e = v h r r Aponta sempre para a direcção do periápsis; Determina a direcção da linha das ápsides útil em transformação de referenciais É uma constante do movimento Vector de Laplace-Runge-Lenz pode ser utilizado em cálculos mais sofisticados e estudo das propriedades de simetria das órbitas Quando as perturbações orbitais são importantes a variação do vector de Laplace-Runge-Lenz pode ser utilizada para determinar a precessão do periápsis da órbita Paulo J. S. Gil (IST) Órbitas Keplerianas IST, MEAer, Satélites 88 / 88