Aula 1b Tipos de Órbitas

Transcrição

1 Aula 1b Tipos de Órbitas Profa. Jane Gregorio-Hetem & Prof. Annibal Hetem AGA0521 Manobras Orbitais 1

2 Um tiro de canhão Newtoniano Transição de trajetórias parabólicas para órbitas elípticas. 2

3 Uma órbita Kepleriana Descreve o movimento de um corpo em órbita como uma elipse, parábola ou hipérbole forma um plano bidimensional orbital no espaço tridimensional. Também pode ser uma linha reta... 3

4 Uma órbita Kepleriana Considera apenas a atração gravitacional entre de dois corpos: Negligencia perturbações devido às interações gravitacionais com outros objetos. Despreza arrasto atmosférico. Não considera pressão de radiação solar. Não considera um corpo não esférico. Não leva em conta os efeitos da relatividade geral. É a solução de um caso especial do problema de dois corpos, conhecido como o problema de Kepler. 4

5 Abordagem do ponto de vista de aplicações CLASSIFICAÇÃO DAS ÓRBITAS 5

6 Órbita geoestacionária Uma órbita é considerada geoestacionária quando for circular, acompanhando a linha do equador da Terra (pontos de latitude zero) e a sua rotação acompanha exatamente a rotação da Terra. Geostationary Earth Orbit (GEO) Órbita geosincrônica Altitude: km 6

7 Órbita baixa Uma órbita terrestre baixa é uma órbita em que os objetos se encontram abaixo de 2000 km. Low Earth Orbit (LEO) A velocidade típica é de cerca de km/h (8 km/s) o que representa uma revolução de 90 minutos. 7

8 Órbita média Uma órbita terrestre média é uma órbita em que os objetos se encontram entre 2000 km e a órbita geoestacionária. Mean Earth Orbit (MEO) Intermedite Circular Orbit (ICO) Revoluções entre 2 e 12 horas. Onde estão os satélites do sistema GPS 8

9 Órbita alta Uma órbita terrestre alta é uma órbita em que os objetos se encontram acima da órbita geoestacionária. 9

10 Classificações das órbitas em função do corpo principal Galactocêntrica: Uma órbita em torno do centro de uma galáxia. Heliocêntrica: em torno do sol. Geocêntrica: em torno do planeta Terra Areocêntrica: Uma órbita em torno do planeta Marte Selenocêntrica (Lunar): ao redor da Lua. Hermocêntrica: Mercúrio. Aphrodiocêntrica: Vênus. Jovicêntrica (ou Zeocêntrica): Júpiter. Cronocêntrica (ou Saturnocêntrica): Saturno. Uranocêntrica: Urano. Neptunocêntrica: Netuno. 10

11 Classificações das órbitas em função da inclinação Inclinada : Uma órbita cuja inclinação em relação ao plano equatorial é 0. Não Inclinada : inclinação é igual a zero no que diz respeito a um plano de referência. Polar: uma órbita que passa acima ou quase acima de ambos os pólos do planeta em cada revolução. Tem uma inclinação de (ou muito perto de) 90 o. Heliosíncrona Polar (SSO): uma órbita quase polar que passa pelo equador sempre no mesmo momento solar em cada passagem. Útil para a imagem de tomada de satélites porque as sombras serão as mesmas a cada passagem. Eclíptica: Uma órbita sem inclinação em relação à eclíptica. Órbita equatorial: uma órbita não inclinada com respeito ao equador. Próxima da órbita equatorial: Uma órbita cuja inclinação em relação ao plano equatorial é quase zero. Esta órbita permite revisitar várias vezes locais perto do equador. 11

12 Visão Kepleriana CLASSIFICAÇÃO DAS ÓRBITAS 12

13 Forma geral: Formas quadráticas j i j i ij x x a y, Cônicas: c x b b x x a x x a x a y r y x F Ey Dx Cy Bxy Ax ) ( 4 ) ( 2 k y p h x b y a x 13

14 Órbitas circulares r = constante 14

15 Órbitas circulares Para lançar um satélite da superfície da Terra para uma órbita circular devemos aumentar a sua energia mecânica específica e. Se o satélite tiver uma massa m, o incremento de energia total deverá ser de 15

16 Órbitas elípticas sempre positivo Periapsis Apoapsis 16

17 Órbitas elípticas anomalia verdadeira do ponto B. 17

18 Órbitas elípticas As coordenadas de um ponto da órbita são dadas por Lei da Energia: Período: Distância média entre os corpos: 18

19 Órbitas elípticas Anomalia média Relaciona a posição e o tempo para um corpo em movimento em uma órbita Kepleriana. Baseia-se na 2ª Lei de Kepler (Lei das Áreas). 19

20 Órbitas elípticas Anomalia Excêntrica Ângulo entre o centro da órbita e a posição projeta por uma linha perpendicular à linha das apses sobre um círculo que circunscreve a elipse. 20

21 Anomalia média M e q 21

22 Anomalia excêntrica E q 22

23 As anomalias As três anomalias são ângulos que definem precisamente a posição de um planeta em sua órbita. Anomalia verdadeira Anomalia média Anomalia excêntrica 23

24 Órbitas parabólicas q 180 o r 24

25 Órbitas parabólicas Lei da energia r v 0 Uma órbita parabólica também é chamada de trajetória de escape 25

26 Órbitas Hiperbólicas tende a zero quando cos q=-1/e q sin q cos 1 1 e e 2 1 e anomalia verdadeira assintótica q q q 26

27 Órbitas Hiperbólicas cos 1 1 e Inclinação das assíntotas 2sin 1 1 e abertura das assíntotas 27

28 Órbitas Hiperbólicas r p 2 h 1 1 e distância foco-periapse semieixo maior posição 28

29 Órbitas Hiperbólicas v e 2a energia a velocidade terminal C v 2 3 Energia característica: necessária para missões interplanetárias 29

30 Elipse & Hipérbole 30

31 Órbitas x cônicas: resumo 31

32 O REFERENCIAL GEOCÊNTRICO 32

33 Referencial equatorial geocêntrico o ponto da esfera celeste onde o Sol está no equinócio 33 de primavera do hemisfério norte

34 Referencial equatorial geocêntrico 34

35 Exemplo A posição da ISS Estação Espacial Internacional é Qual é sua ascensão reta e sua declinação? 35

36 Exemplo - resolução O módulo de r vale Então Comparando com 36

37 Exemplo - resolução Continuando: 37

38 Exemplo - resolução Temos duas opções de resultado: Como o cos a é negativo, optamos pela solução no terceiro quadrante: 38

39 SISTEMA REFERENCIAL PERIFOCAL 39

40 Sistema referencial perifocal Sistema de referências baseado na órbita e seus parâmetros. Centrado no foco de m 1. Seus eixos são: A periapsis da órbita elíptica (na direção do vetor de excentricidade). A linha com 90 o de anomalia verdadeira. O vetor do momento angular h. 40

41 Sistema perifocal Coordenadas: Vetores unitários (versores) (base ortonormal) 41

42 Sistema perifocal Vetor posição: (equação orbital) 42

43 Sistema perifocal Podemos então reescrever o vetor posição: O qual, sendo derivado no tempo, resulta na velocidade: 43

44 Sistema perifocal Onde é a velocidade radial,, que vale Também sabemos que Então 44

45 OS COEFICIENTES DE LAGRANGE 45

46 Joseph Louis Lagrange Fez contribuições significativas para todos os campos de análise, teoria dos números e mecânica clássica e celeste. Por recomendação de Euler e d'alembert, Lagrange sucedeu em 1766 Euler como diretor de matemática na Academia Prussiana de Ciências, em Berlim, onde permaneceu por mais de vinte anos. Produziu um grande número de trabalhos, ganhando vários prêmios da Academia de Ciências da França. Escreveu o tratado sobre mecânica analítica (Mécanique Analytique), onde apresenta uma visão mais abrangente da mecânica clássica. Teve trabalhos publicados em matemática, física, engenharia e filosofia. Joseph Louis Lagrange (Turim, janeiro de 1736 Paris, abril de 1813) 46

47 Os coeficientes de Lagrange Estes valores servem para, a partir da posição e velocidade de um corpo, determinar suas futuras posições na órbita. Partimos de Que no instante t=t 0 ficam 47

48 Os coeficientes de Lagrange O momento angular (que é constante) pode ser calculado em t=t 0 : De onde podemos obter o módulo do momento angular: 48

49 Os coeficientes de Lagrange Substituindo em chega-se a 49

50 Os coeficientes de Lagrange Isolando p Substituindo em chega-se a Como 50

51 Os coeficientes de Lagrange Com e Podemos escrever 51

52 Os coeficientes de Lagrange Para simplificar estas expressões, adotamos os coeficientes de Lagrange: E ficamos com 52

53 Os coeficientes de Lagrange Agora, queremos expressões que nos dêem os coeficientes de Lagrange em função da anomalia verdadeira. Começamos por e 53

54 Os coeficientes de Lagrange Substituindo em Usando a identidade trigonométrica e 54

55 Os coeficientes de Lagrange... chega-se a Como Teremos, finalmente 55

56 Os coeficientes de Lagrange De forma semelhante podem ser obtidos Resumindo: 56

57 Os coeficientes de Lagrange Um interessante resultado parcial das deduções dos coeficientes de Lagrange é que nos permite obter a posição radial, r, devida a uma variação da anomalia verdadeira, Dq, a partir de uma situação inicial, r 0 e v 0, e do momento angular, h. 57

58 Exemplo 1: Previsão de trajetória Um satélite artificial move-se no plano xy em um sistema de referência que tem o centro da Terra como origem. No instante t 0, a posição e velocidade do satélite são: Calcule a posição e velocidade deste satélite quando sua anomalia verdadeira for de 120 o. 58

59 Exemplo 1 - resolução O primeiro passo é calcular o momento angular do satélite: 59

60 Exemplo 1 - resolução O módulo do vetor r 0 é dado por A velocidade radial inicial v r0 é obtida projetando-se a velocidade v 0 na direção do vetor r 0 : 60

61 Exemplo 1 - resolução Podemos agora calcular a posição radial r: 61

62 Exemplo 1 - resolução Com r, podemos calcular os coeficientes de Lagrange: 62

63 Exemplo 1 - resolução Agora podemos usar as expressões 63

64 PONTOS DE LAGRANGE 64

65 O problema de três corpos 65

66 O problema de três corpos Lembrando a 2 a lei de Newton: Existem pontos no espaço, nas proximidades de m 1 e m 2 onde é nula. 66

67 Pontos de Lagrange no sistema Terra-Lua 67

68 Pontos de Lagrange no sistema Terra-Lua Os pontos de Lagrange orbitam a Terra acompanhando a Lua. Pontos instáveis: L1, L2, L3 Pontos estáveis: L4, L5 68

69 Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) 69

70 TEMPO DESDE A PERIAPSIS 70

71 O tempo! A obtenção da posição como uma função do tempo é relativamente simples para órbitas circulares. Para trajetórias elípticas, parabólicas e hiperbólicas somos levados a diversas formas da equação de Kepler. Estas equações transcendentais podem ser resolvidas iterativamente usando o método de Newton, por exemplo. 71

72 A busca de q (t) A expressão do momento angular pode ser reescrita como h r 2 q dq dt Substituindo na equação orbital, obtemos h r h dt dq ( 1 ecosq ) 2 72

73 A busca de q (t) Integrando dos dois lados, chega-se a 2 3 h ( t t p ) q d (1 ecos) 0 2 Onde t p é o instante no qual q=0, a passagem pela periapsis. Fazendo t p =0: 2 3 h t q d ( 1 ecos)

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