Bruno Gustavo Borges Luna

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1 Aceleração de Convergência via Multigrid de Simulador de Escoamentos em Meios Porosos Por Bruno Gustavo Borges Luna Dissertação de Mestrado RECIFE, JULHO/2010

2 Bruno Gustavo Borges Luna Aceleração de Convergência via Multigrid de Simulador de Escoamentos em Meios Porosos Trabalho apresentado ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica do Centro de Tecnologia e Geociências da Universidade Federal de Pernambuco como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Mecânica. Orientador: Paulo Roberto Maciel Lyra Co-Orientador: Ramiro Brito Willmersdorf RECIFE, JULHO/2010

3 Dedico esta dissertação à...

4 Agradecimentos Gostaria de agradecer... iv

5 Resumo Manutenção e evolução de software são atividades caracterizadas pelo seu enorme custo e baixa velocidade de execução. Não obstante, elas são atividades inevitáveis para garantir a qualidade do software quase todo software bem sucedido estimula os usuários a fazer pedidos de mudanças e melhorias. Sommerville é ainda mais enfático e diz que mudanças em projetos de software são um fato. Além disso, diferentes estudos têm afirmado ao longo dos anos que as atividades de manutenção e evolução de software são as mais caras do ciclo de desenvolvimento, sendo responsável por cerca de até 90% dos custos. Todas essas peculiaridades da fase de manutenção e evolução de software leva o mundo acadêmico e industrial a investigar constantemente novas soluções para reduzir os custos dessas atividades. Neste contexto, Gerência de Configuração de Software (GCS) é um conjunto de atividades e normas para a gestão da evolução e manutenção de software; GCS define como são registradas e processadas todas as modificações, o impacto das mesmas em todo o sistema, dentre outros procedimentos. Para todas estas tarefas de GCM existem diferentes ferramentas de auxílio, tais como sistemas de controle de versão e bug trackers. No entanto, alguns problemas podem surgir devido ao uso das mesmas, como por exemplo o problema de atribuição automática de responsável por um bug report e o problema de duplicação de bug reports. Neste sentido, esta dissertação investiga o problema de duplicação de bug reports resultante da utilização de bug trackers em projetos de desenvolvimento de software. Tal problema é caracterizado pela submissão de dois ou mais bug reports que descrevem o mesmo problema referente a um software, tendo como principais conseqüências a sobrecarga de trabalho na busca e análise de bug reports, e o mal aproveitamento do tempo destinado a essa atividade. Palavras-chave: relatos de bug, gerenciadores de relatos de bug, relatos de bug duplicados, requisição de mudança, experimento, estudo de caracterização, ferramenta, busca v

6 Abstract Multigrid methods allow a faster convergence of linear and non-linear equations systems solvers. However, they require a sequence of progressive coarser meshes whose generation can become a issue if not adequately addressed. Traditionally this sequence has been made setting different levels of refinement, manually or automatically, starting with the coarsest mesh. Nevertheless this approach often leads to difficulties in representing the geometrical details in the first mesh. It can also demand successive searches in order to perform interpolations between levels, introducing extra approximation errors. An alternative to overcome these problems is to start the mesh sequence generation from the finest level and gradually coarse it using an appropriate technique. This work presents the implementation of a control volume agglomeration algorithm for the fully automatic creation of consistent unstructured meshes applied to the numerical solution of porous media flows using a multigrid accelerated edge-based finite volume formulation. The methods described here are general enough to handle with three-dimensional and heterogeneous problems. Examples are shown and results discussed for two-dimensional model problems in homogenous domains. Keywords: Multigrid, Finite Volume, Porous Media Flow vi

7 Sumário Lista de Figuras Lista de Tabelas viii ix 1 Introdução Motivação Histórico do Multigrid Formulação Matemática Engenharia de Reservatório de Petróleo Equação de Pressão Equação de Saturação Bibliography 5 vii

8 Lista de Figuras viii

9 Lista de Tabelas ix

10 Capítulo 1 Introdução 1.1 Motivação Dentro do contexto atual de busca constante por um diferencial competitivo, tem havido uma procura, tanto a nível acadêmico como empresarial, de encontrar modos para maximizar a produtividade nas mais diversas atividades. Na área de pesquisa e desenvolvimento em simulação computacional não é diferente, existindo atualmente vários meios para aperfeiçoar o processo de análise dos fenômenos estudados, dentre eles podemos citar: o desenvolvimento de métodos numéricos mais precisos e eficientes computacionalmente (CARVALHO, 2005), a utilização de técnicas de programação para computação paralela em máquinas de memória distribuída, o uso de procedimentos automáticos de adaptação de malhas (ARAÚJO, 2004), entre outros. Como pôde ser observado, apesar de cada técnica ter o seu próprio enfoque e características diferentes, o objetivo de obter a melhor solução com o menor custo computacional possível é comum a todas. Em meio a este vasto campo de possibilidades de estudo, o foco deste projeto de iniciação científica foi o estudo de técnicas de aceleração de convergência via Multigrid. (Trottenberg et al., 2001) (Hughes, 2000) (Fortuna, 2000) (Briggs et al., 2000) (Savitch, 2004) A idéia central do Multigrid consiste na escolha de um método de solução (suavizador) adequado para amortecer os erros associados às altas frequências, enquanto que os erros associados às baixas frequências são amortecidos através de malhas grosseiras, onde estes se manifestam como frequências altas (BRIGGS, 1987). A solução de problemas de escoamento são usualmente caracterizados pela presença de um grande número de diferentes escalas de comprimento. Para geometrias complexas, o número de escalas do problema irá aumentar ainda mais à medida que os diversos componentes interagem. Algumas regiões do domínio são dominadas pela influência 1

11 1.1. MOTIVAÇÃO local, enquanto outras regiões são criticamente dependentes das características da solução localizadas à uma distância maior. Em sistemas numéricos, isto quer dizer que existe um forte acoplamento entre variáveis que estão fracamente acopladas na discretização (SORENSEN, 2001). Esquemas explícitos irão normalmente requerer um grande número de iterações para transferir a informação entre tais pontos do domínio de solução. Devido ao forte acoplamento, a quantidade de informação a ser trocada entre os pontos é grande. Logo, ao passo que os esquemas explícitos são capazes de eliminar rapidamente os erros locais de alta frequência, as baixas frequências, refletindo erros de uma natureza mais global, são muito mais lentos para dissipar através das iterações da solução (LIN, 1995). Métodos de Multigrid foram desenvolvidos para efetivamente amortecer os erros de todas as frequências simultaneamente, enquanto se mantém um pequeno número de operações por iteração e um baixo uso de memória em esquemas explícitos. Existem dois tipos de abordagens para o Multigrid: a geométrica, a qual atua no nível de discretização das equações e a algébrica, a qual considera apenas o sistema linear de equações. O Multigrid Geométrico consiste essencialmente em resolver as equações discretas em várias malhas com diferentes níveis de refinamento. Cada malha é responsável por remover um determinado intervalo de frequências de erros, com as malhas grosseiras responsáveis pelo amortecimento das baixas frequências. A medida em que a complexidade da malha diminui e o espaçamento é aumentado, o domínio de influência de cada nó vai aumentar em tamanho. Um esquema explícito de suavização em uma malha grosseira pode então eficientemente amortecer tais erros de baixa frequência, que diminuem a velocidade de convergência do método. Isto acontece, principalmente, devido ao tamanho reduzido do sistema e maior tamanho de passo de tempo permitido para a malha grosseira. Além disso, o custo computacional por nó é consideravelmente menor na malha grossa em comparação com a malha fina (SORENSEN, 2001). Tradicionalmente, a geração da sequência de malhas não- estruturadas para serem utilizadas no método Multigrid tem sido feita gerando-se malhas com diferentes níveis de refinamento no programa de geração de malhas, onde isto é feito normalmente dobrando o espaçamento em cada direção da malha durante o processo de geração. Obtém-se então uma sequência de malhas dissociadas entre si (non- nested). Acontece que este estratégia demanda sucessivas buscas para realização de interpolação entre malhas e introduz erros nos diferentes níveis de refinamentos. Este problema se agrave no caso de geometrias complexas onde tal interpolação pode ser bastante imprecisa. Uma possível alternativa seria usar uma geração automática de malhas hierárquicas (nested), pois assim reduz-se os erros por interpolação (BARROS, 2002). 2

12 1.2. HISTÓRICO DO MULTIGRID A técnica estudada durante este projeto é chamada de Agglomeration Multigrid, e consiste basicamente em aglomerarmos gradativamente os volumes de controle referentes à cada nó da malha, logo, desta forma, geramos uma nova malha contida na malha anterior, cada vez mais grosseira, sem necessidade de intervenção manual. Este tipo de sequência de malhas é adequado para uso com o método dos volumes finitos(mvf) implementado para lidar com malhas não- estruturadas. Logo, no presente trabalho buscou-se estudar, compreender e aplicar técnicas computacionais em problemas da engenharia atual, sendo o nosso enfoque principal a geração de um sequência de malhas através de técnica de aglomeração de malhas e a aceleração de convergência através de Multigrid. 1.2 Histórico do Multigrid 3

13 Capítulo 2 Formulação Matemática Software maintenance and evolution are characterised by their huge cost and 2.1 Engenharia de Reservatório de Petróleo Aiming to improve change management processes, some organizations have used 2.2 Equação de Pressão The goal of this dissertation can be stated as follows: 2.3 Equação de Saturação In order to reduce the effects of the bug report duplication problem, it was 4

14 Referências Bibliográficas Briggs, W., Henson, V. E., and McCormick, S. (2000). A Multigrid Tutorial. SIAM. Fortuna, A. (2000). Técnicas Computacionais para Dinâmica dos Fluidos: Conceitos Básicos e Aplicações. Edusp. Hughes, T. (2000). The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis. Dover Publications. Savitch, W. (2004). C++ Absoluto. Pearson Addison Wesley. Trottenberg, U., Oosterlee, C., and Schüller, A. (2001). Multigrid. Elsevier. 5