Seleção Automática de Parâmetros de Detectores de Bordas de Imagens Digitais Baseado em Algoritmos Genéticos

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1 Seleção Automática de Parâmetros de Detectores de Bordas de Imagens Digitais Baseado em Algoritmos Genéticos Cristiane Leal da Costa Inês Aparecida Gasparotto Boaventura DCCE - IBILCE - UNESP Rua Cristovão Colombo, São José do Rio Preto, SP, Brasil Resumo The aim of this paper is to present a new method of automatic selection of edge detector parameters. The developed system automates the process of parameters adjustment through a intelligent system based on genetic algorithm (GA). The adjustment of these parameters uses the information of quantitative assessment of the edges obtained in different steps, regarded here as fitness function of the GA. The quantitative assessment is performed using quantitative measures for the optimal adjustment of the edges. These measures are obtained by comparing the edges generated by the edge detector with the ideals edges, also called ground truth image, which is considered absolute truth. The space ROC (Receiver Operating Characteristics) is used to classify the edges in different steps of the algorithm application. The edge detector FUNED (Fuzzy Number Edge Detector) is used to show the feasibility of the proposed method. The results obtained so far show that is feasible select optimized parameters and the precision of edge detection is improved adaptively. 1. Introdução Borda é a característica básica de um objeto em imagens digitais. O processo de detecção de bordas reduz uma imagem aos detalhes de contorno dos objetos que estão presentes na imagem e que, frequentemente, são usados em operações de análise de imagem para obtenção de características e reconhecimento de objetos. Os pixels de borda são definidos como localizações na imagem onde existe uma variação significativa nos níveis de cinza em uma direção fixa através de alguns pixels. O desempenho de um detector de bordas é o elemento chave de algoritmos bem sucedido para a análise e percepção de imagens. Existem diferentes métodos de detecção de bordas e, de maneira geral, são baseados em duas abordagens principais: análise do gradiente e análise de regiões [9]. Dentre os métodos baseados em gradientes, encontram-se o filtro de Sobel, Prewitt, Robert, Canny, e outros [4] Esses métodos são baseados na descontinuidade dos gradientes de uma imagem e, embora os algoritmos destes métodos sejam simples e implementados facilmente, são sensíveis à ruídos e possuem dificuldade em extrair bordas de imagens com iluminação não uniforme, presentes na maioria das imagens naturais. Por outro lado, existem técnicas que caracterizam a detecção de bordas como um problema de raciocínio fuzzy. Estas técnicas são baseadas em regiões da imagem e utilizam a teoria fuzzy de diversas maneiras [1]. Dentre os detectores fuzzy, tem-se o detector de bordas FUNED (Fuzzy Number Edge Detector) [3], o qual considera uma vizinhança local dos pixels da imagem, definida pelo usuário e, baseado no conceito de números fuzzy, verifica se um pixel pertence ou não àquela região da imagem, com base na intensidade dos tons de cinza que compõem a região. O pixel que não pertence a região é classificado como um possível pixel de borda. Por meio de uma função de pertinência, a técnica fornece uma matriz de pertinência em tons de cinza e, pela escolha de um limiar, as bodas da imagem são segmentadas. Para a modelagem do problema, os tons de cinza são considerados como números fuzzy e, para cada pixel da imagem, calcula-se a sua pertinência em relação a uma determinada região, considerando os vizinhos que possuem níveis de cinza próximos do pixel em análise. Quando se considera os valores de cinza, incorpora-se a variabilidade inerente dos valores de cinza da imagem, proporcionando assim uma abordagem mais adequada ao tratamento de imagens digitais em comparação ao tratamento clássico, baseado em uma formulação analítica. A técnica permite ao usuário o ajuste manual desses parâmetros: o tamanho da vizinhança local a ser considerada; o suporte de um número fuzzy 284

2 e o limiar. Embora o ajuste manual destes parâmetros proporciona diversas possibilidades de visualização das bordas de uma imagem, permitindo ao usuário a escolha de detalhes da imagem, pode dificultar o uso do detector FUNED, quando o usuário está interessado simplesmente nas bordas ótimas da imagem. Por outro lado, Boaventura [1] desenvolveu uma metodologia de avaliação de detectores de bordas baseada na análise ROC. O processo de avaliação considera diferentes medidas, que são tomadas comparando-se as bordas obtidas com as bordas ideais de uma imagem. A técnica calcula, para as bordas obtidas, um ponto no espaço e com essa informação, pode-se comparar desempenhos de diferentes detectores de bordas ou, comparar o desempenho de resultados diferentes de um mesmo detector de bordas, quando são variados os seus parâmetros. O Ajuste automático de parâmetros de detectores de borda é um assunto de grande interesse e tem sido abordado com frequência na literatura científica. A maior parte das técnicas apresentadas até agora são baseadas na teoria estatística [9, 6, 10]. Neste artigo é proposto um método de seleção automática de parâmetros de detectores de bordas para melhorar a habilidade adaptativa e determinativa de detectores de bordas. A abordagem proposta utiliza algoritmos genéticos (AG) [5, 7], os quais possuem características de alta eficiência e otimização global e podem ser aplicados em áreas onde a busca heurística se faz necessária. A definição de uma função objetivo apropriada ao problema de detecção de bordas, faz com que o AG opere adequadamente, levando a uma estratégia efetiva para seleção automática de parâmetros para detectores de borda, com boa performance e facilidade de implementação. Na seção 2 apresenta-se brevemente o detector de bordas FUNED. A seção 3 é dedicada ao método de avaliação de detecção de bordas baseado no espaço ROC. O método de seleção automática de parâmetros baseado em algoritmo genético é discutido na seção 4. Alguns resultados experimentais são mostrados na seção 5. As conclusões são apresentadas na seção O Detector de Bordas FUNED Os níveis de cinza de uma imagem são interpretados como números fuzzy. Com essa interpretação, incorpora-se a variabilidade inerente aos valores de cinza de imagens, proporcionando assim uma abordagem mais adequada ao tratamento de imagens digitais, em comparação ao tratamento clássico, baseado em uma formulação analítica. Para esta formulação foram adotados os números fuzzy simétricos e triangulares definidos pelas equações (1) e (2): μ A (x) =f( x g,δ), (1) sendo que f(.) controla a forma do número fuzzy e δ R +, chamado de suporte, controla o espalhamento do número fuzzy. O número fuzzy representado pela equação (2) é um número fuzzy triangular e simétrico. x g μ A (x) =MAX(0, 1 ). (2) δ A função de pertinência utilizada pelo detector de bordas tem a seguinte formulação [2, 3]: para cada pixel g i,j da imagem, interpretado como um número fuzzy, calcula-se a pertinência desse pixel em relação à região determinada por uma vizinhança local. Assim, seja uma imagem A N M em que, para cada pixel g(i, j), tem-se uma janela de vizinhança espacial W W. A função de pertinência, ˆμ g(i,j), de cada pixel g(i, j) ao conjunto fuzzy Região Homogênea da imagem é definida pela equação: W W g(i,j) A(k,l) k=1 l=1 max(0, 1 δ ) 1 ˆμ g(i,j) = W 2, 1 (3) i =1...N,j =1...M, sendo que δ R representa o parâmetro de espalhamento do número fuzzy. Quanto menor δ, menor é a base do número triangular, ou seja, menor é o intervalo onde se considera a pertinência dos vizinhos. A matriz resultante desta operação é chamada de matriz de pertinências ou imagem pertinência e é definida pela equação: A = M N i=1 j=1 ˆμ ij g ij, (4) sendo que, ˆμ ij indica o grau de pertinência de cada pixel à região W W pré-definida da imagem. Os valores de pertinências próximos de 1 significam uma maior pertinência dos respectivos pixels a uma região homogênea. Para valores de pertinências próximos de 0, tem-se que os pixels avaliados são diferentes dos pixels da região, ou melhor, podem pertencer à borda de uma região e não a uma região homogênea. Os pixels mais escuros que aparecem na matriz de pertinências são aqueles com menor pertinência a uma região homogênea, ou seja, com maior possibilidade de representar as bordas da imagem. 3. Método para Avaliação de Detectores de Bordas Nesta abordagem, um detector de bordas é considerado como um classificador de padrões. Cada pixel da imagem pode ser mapeado para um elemento do conjunto de rótulos de classe {1,0}, em que 1 significa pertencente à classe borda (positivo) e 0 significa não pertencente à classe borda (negativo). 285

3 Dado um detector de bordas, a matriz de pixels que representa a imagem é o conjunto de amostras, em que cada pixel pode assumir valores positivo e negativo, respectivamente. Ao aplicar o detector de bordas a um pixel da imagem (elemento de entrada), tem-se quatro situações distintas. Se o elemento de entrada é um pixel de borda, considerado genuíno (positivo), e o detector de bordas o classifica como positivo, conta-se como Verdadeiro Positivo (VP); se é classificado como negativo, conta-se como Falso Negativo (FN). Se o elemento de entrada não é um pixel de borda, ou seja é um impostor (negativo) e, é classificado como tal, conta-se como Verdadeiro Negativo (VN); se é classificado como positivo, conta-se como Falso Positivo (FP). Para quantificar a eficácia de um detector de bordas são tomadas as seguintes medidas: razão de verdadeiros positivos (sensibilidade), razão de falsos positivos. A razão de verdadeiros positivos, também chamada de sensibilidade, é a proporção de verdadeiros positivos classificados corretamente como genuínos, ou seja, é a proporção de genuínos de uma classe que são classificados corretamente como genuínos. A razão de falsos positivos, ou taxa de falso alarme, é a proporção de falsos positivos classificados relativamente ao total de impostores existentes, ou seja, é a proporção de impostores erroneamente classificados como genuínos. Para a análise do desempenho dos métodos de detecção de bordas, as imagens de bordas obtidas devem ser comparadas com as respectivas imagens ideais (GT). A correspondência entre bordas obtidas e bordas ideais é feita pixel a pixel. Assim, seja a matriz B o mapa de bordas obtido a partir de uma imagem G e seja a matriz GT a imagem de bordas ideal correspondente. Cada elemento b i,j em B é avaliado em relação ao elemento gt i,j em GT e essa correspondência pode ser não exata. Neste caso, considerase um limiar T mj, chamado de limiar de tolerância, o qual permite fazer a correspondência de um pixel de borda b i,j em B com um pixel de borda ideal p em GT, mesmo que p esteja a uma pequena distância ao redor de uma vizinhança W Tmj T mj centralizada em gt i,j. Dada essa tolerância, em geral, um pixel de borda em B pode ter múltiplos casamentos potenciais a um pixel de borda correspondente em GT, em torno dessa vizinhança, neste caso, toma-se o pixel com distância mínima. Quando a correspondência é estabelecida, marca-se o pixel correspondente com zero na matriz GT. O cálculo dos verdadeiros positivos (VP) e falsos positivos (FP) é dado pela seguinte expressão: se b i,j =1 e(gt i,j =1ou p W Tmj T mj centralizada em gt i,j tal que p =1) então considera-se verdadeiro positivo (VP), caso contrário, considera-se falso positivo (FP). O cálculo dos verdadeiros negativos (VN) e falsos negativos (FN) é feito da seguinte maneira: se b i,j = 0 e gt i,j =0então considera-se verdadeiro negativo (VN), caso contrário, considera-se falso negativo (FN). Dada uma imagem de bordas B, sua correspondente imagem ideal GT e uma janela de vizinhança W Tmj T mj centralizada em gt i,j, a menor distância entre um determinado pixel p W Tmj T mj e o pixel gt i,j é zero, ou seja p = gt i,j e a maior distância entre p e gt i,j é T mj /2 2. Uma vez que o processo de comparação entre as bordas obtidas e bordas ideais considera a janela W Tmj T mj, essa busca fica restrita à distância euclidiana em R 2 d 2 [0, T mj /2 2]. Para a avaliação dos detectores de bordas, é considerada a variação de distâncias dentro desse intervalo. Por exemplo, se for tomado o limiar T mj = 5 então, em uma janela de vizinhança W 5 5, tem-se as seguintes distâncias entre o pixel central g i,j e os demais pixels de W : {0, 1, 1.4, 2, 2.2, 2.8}. A avaliação pode ser restringida à busca por bordas com distância 0, ou seja, o casamento de pixels somente é aceito quanto b i,j = gt i,j.a avaliação pode ser estendida aos pixels com distância de no máximo 1.4, em que a busca por pixels de borda é estendida à vizinhança W 3 3 do pixel central gt i,j. Conforme a distância é aumentada, flexibiliza-se a busca por bordas em uma região próxima ao pixel em análise. A partir das medidas de sensibilidade e taxa de falso alarme, o espaço ROC (Receiver Operating Characteristics) é usado para avaliar os resultados de classificação de um detector de bordas. A figura 1 ilustra o espaço ROC de um detector de bordas, o qual é um classificador discreto. O espaço ROC de um detector de bordas mostra um ponto, o par ordenado (Razão de Falso Positivo (RFP), Razão de Verdadeiro Positivo (RVP)). Deve-se observar na figura 1 alguns pontos indicados com significados importantes. O ponto (0,1) representa um resultado de detecção de bordas perfeito, ou seja, nenhum falso positivo foi encontrado e todos os verdadeiros positivos foram classificados. Este caso pode ser representado pelo detector D. O ponto (x,0) representa o pior caso, ou seja, o detector de bordas não apresenta nenhum verdadeiro positivo. No ponto inferior esquerdo (0,0) o detector de bordas não apresenta nenhuma saída. A linha diagonal que vai do ponto (0,0) ao ponto (1,1) divide o espaço ROC em áreas de classificação boas ou ruins e é também chamada de linha de não discriminação (random guess). De maneira geral, um ponto no espaço ROC é melhor que outro se ele está mais à noroeste, em que a razão dos verdadeiros positivos é maior e/ou a razão de falsos positivos é menor. Classificadores no lado esquerdo do gráfico ROC (perto do eixo Y) são ditos conservadores, pois fazem classificações positivas somente com uma evidência forte, portanto comentem poucos falsos positivos. Classificadores no lado direito são ditos liberais, pois fazem classificações positivas com pouca evidência, mas cometem muitos erros falsos positivos. Na Figura 1, A 286

4 Razão de Verdadeiros Positivos (Sensibilidade) D perfeito A Melhor C Pior linha de não discriminação (Random Guess) Razão de Falsos Positivos (1 Especificidade) Figura 1. Espaço ROC de um detector de bordas. B C Início 1. Gerar a população inicial 2. Repita até obter 200 gerações sem evolução (a) Aplicar o Detector de Bordas FUNED e Avaliar a População; (b) Selecionar a Elite; (c) Repita até gerar nova população i. Selecionar dois indivíduos; ii. Cruzar esses indivíduos gerando dois novos indivíduos; (d) Realizar a mutação da população gerada; (e) Verifica se houve evolução; Fim Figura 2. Algoritmo Genético Implementado é mais conservador do que C. Classificadores sobre a linha diagonal são considerados classificadores aleatórios (Na Figura 1, Béumclassificador aleatório) 4. Método de Seleção Automática de Parâmetros de Detectores de Bordas A geração manual de parâmetros para obtenção de bordas ótimas de uma imagem é uma tarefa que demanda bastante tempo do usuário. O uso de uma técnica de otimização evolucionária, tais como algoritmos genéticos, é bastante útil, uma vez que o problema pode ser visto como um problema de otimização combinatorial. Assim, a automatização do processo de ajuste dos parâmetros do detector de bordas FUNED é feita por meio de um algoritmo genético. O ajuste dos parâmetros utiliza as informações de avaliação quantitativa das bordas obtidas em diferentes passos. A figura 2 apresenta o algoritmo correspondente ao algoritmo genético implementado. Nas subseções seguintes são apresentados os passos do algoritmo desenvolvido, considerando as seguintes questões: o esquema de codificação dos cromossomos; a metodologia empregada para produzir a população inicial; a função objetivo; os operadores genéticos de seleção, cruzamento, mutação, elitismo; e o critério de parada O esquema de Codificação A codificação de uma solução do problema em um cromossomo é uma questão crucial para os algoritmos genéticos. Considerando que a seleção de parâmetros do detector FUNED é um problema de otimização restrita, o esquema de codificação real de variáveis e um operador de busca, que respeite as regiões contínuas no espaço de busca, tem desempenho melhor do que o esquema de codificação binária [8]. Portanto, utiliza-se nesta implementação o esquema de codificação real dos cromossomos. O espaço de busca do problema em questão estão delimitados dentro das seguintes faixas de valores: W [2, 5], Threshold(Thr) [0, 1] e σ [1, 100]. Observa-se que os valores para W e σ foram restringidos por meio de avaliações empíricas Produção da População Inicial Pelo esquema de codificação escolhido, o espaço da solução coincide com o espaço de cromossomo. O tamanho da população pode influenciar no tempo de processamento do algoritmo e uma população inicial pequena pode prejudicar a convergência do algoritmo. Assim, foi escolhido para esse problema uma população inicial de 100 indivíduos. Para a produção dos indivíduos da população inicial, os valores iniciais dos parâmetros projetados são distribuídos no espaço de solução de maneira mais uniforme possível por meio de cálculos que consideram números aleatórios em combinação com os espaços de busca de cada um dos parâmetros em questão. Cada cromossomo, C i,da população inicial tem a forma C i = (W i,th i,σ i ) Função Objetivo Conforme apresentado na seção 3, os resultados de classificação de um detector de bordas pode ser avaliado pelo espaço ROC. Assim, a técnica de avaliação quantitativa de detectores de bordas é utilizada nesta implementação como a função objetivo à qual cada indivíduo da população 287

5 é submetido. Portanto, dada uma imagem de entrada, cada indivíduo da população inicial é submetido ao detector de bordas FUNED e a imagem borda resultante é submetida à avaliação quantitativa. Dado o resultado desta avaliação, o qual é um ponto no espaço ROC, calcula-se a distância entre este ponto ao ponto (O,1), que é o resultado ótimo para uma detecção de bordas perfeita. Após os cálculos, os indivíduos são ordenados conforme sua aptidão, onde as menores distâncias representam as melhores soluções para o problema Seleção Após a aplicação da função objetivo, seleciona-se os 45 melhores indivíduos da população corrente para o processo de reprodução, permitindo que estes indivíduos possam passar as suas características às próximas gerações. Essa escolha é feita por amostragem direta em que os indivíduos que possuem as menores distâncias do ponto ótimo são selecionados para gerar a nova população Cruzamento A implementação do cruzamento está intimamente relacionada ao esquema de codificação empregado no problema, que no caso desta implementação é a codificação real. Portanto, neste trabalho adota-se a técnica de cruzamento de média simples, que consiste em gerar um novo cromossomo usando a média simples de dois cromossomos pais, conforme é mostrado pela equação 5: 4.6. Mutação C 1 = (P 1 + P 2 ). (5) 2 Na fase de mutação é preciso estabelecer uma porcentagem da população a ser mutada. Para a taxa de mutação é preciso escolher o operador de mutação de maneira a manter a diversidade da população nos primeiros passos do algoritmo genético e evitar a precocidade. Nesta implementação adota-se a probabilidade de mutação adaptativa, conforme a equação 6, em que nos passos iniciais do algoritmo, tem-se uma taxa de mutação maior e a medida que o algoritmo caminha para a solução ótima o valor da taxa de mutação vai diminuindo. exp( 1.5 t/2) P m = tam pop (6) L em que t é a geração da iteração genética, tam pop é o tamanho da população, L = 3 é o comprimento do indivíduo Elitismo O elitismo é uma técnica utilizada para melhorar a convergência do algoritmo, em que se escolhe o melhor (ou melhores) indivíduos de cada geração, passando-o para a geração seguinte, sem que sofra cruzamento e mutação. Desta forma, mantém-se indivíduos cujas características são consideradas boas para a solução do problema. A utilização do elitismo faz com que o algoritmo convirja mais rápido, pois evita que os elementos mais aptos sejam perdidos ou modificados. Nesta implementação, são escolhidos os dois melhores indivíduos para formarem a próxima geração Critério de Parada O algoritmo termina quando o melhor resultado obtido sobre as últimas gerações não se altera. Assim, para o algoritmo implementado, a diferença entre a menor distância do passo corrente e a menor distância do passo anterior deve ser menor do que 10 5 em 200 gerações. 5. Resultados e Discussões Um conjunto de imagens sintéticas e suas respectivas imagens ideais foram utilizadas para a validação do sistema automático para seleção automática de parâmetros do detector de bordas FUNED. Os resultados obtidos até o momento mostram a viabilidade da técnica desenvolvida no sentido de auxiliar o usuário na tarefa automática de seleção dos parâmetros. Sabe-se que o comportamento dos algoritmos genéticos é influenciado pelos parâmetros utilizados, para tanto, se faz necessário ainda estudar de que forma os parâmetros estabelecidos na implementação afetam o comportamento dos algoritmos genéticos. 6. Conclusões Este trabalho apresenta um novo método para seleção automática de parâmetros de detector de bordas. Os resultados da avaliação quantitativa podem ser usados como a função objetivo de um algoritmo genético que procura pelo melhor conjunto de parâmetros de acordo com a correspondência entre diferentes resultados de detecção de bordas. O propósito do algoritmo desenvolvido é melhorar o uso prático dos detectores de bordas paramétricos e ajudar com a incerteza associada com a seleção dos parâmetros. O método proposto é baseado em uma imagem ground truth, o que leva a necessidade da existência de uma imagem ground truth traçada manualmente. Para um conjunto de imagens com características semelhantes às imagens testadas, a técnica oferece uma maneira de ajustar os parâmetros automaticamente. Como trabalho futuro, pretende-se investigar uma maneira de construir mapas de 288

6 bordas denominados potenciais ground truth, produzidos por um conjunto de resultados de detecção por diferentes conjuntos de parâmetros. Neste caso, ao considerar um conjunto inicial de parâmetros do detector, de tamanho N por exemplo, pode-se utilizar essas informações para construir N diferentes resultados de detecção de bordas. Um pixel identificado como uma borda por todos os resultados de detecção terá uma grande chance de ser um pixel de borda, ou seja terá a mais alta correspondência a uma borda, e uma localização identificada como borda por poucos resultados de detecção terá baixa correspondência a uma borda. A teoria fuzzy será investigada para a modelagem deste problema, em que, a partir de diversos resultados de detecção de bordas, em que são variados os parâmetros do detector, constrói-se potenciais ground truth, o que torna a técnica de ajuste automático de bordas independente da existência de imagens ideais traçadas manualmente. Referências [1] I. A. G. Boaventura. Números Fuzzy em Processamento de Imagens Digitais e suas Aplicações na Detecção de Bordas. PhD thesis, Escola de Engenharia de São Carlos, USP, [2] I. A. G. Boaventura and A. Gonzaga. Border detection in digital images: An approach by fuzzy numbers. In Seventh International Conference on Intelligent Systems Design and Applications, pages IEEE Computer Society, [3] I. A. G. Boaventura and A. Gonzaga. Edge detection in digital images using fuzzy numbers. International Journal of Innovative Computing and Applications, 2(1):1 12, [4] R. Gonzalez and R. Woods. Digital Image Processing. Prentice Hall, 2nd edition, [5] J. H. Holland. Adaptation in Natural and Artificial Systems. University of Michigan Press, Ann Arbor, [6] A. Koren and Y. Yitzhaky. Automatic selection of edge detector parameters based on spatial and statistical measures. Computer VIsion and Image Understanding, 102: , [7] Z. Michalewicz. Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution Programs. Springer-Verlag, [8] A. Santa Catarina and S. L. Bach. Estudo do efeito dos parâmetros genéticos sobre a solução otimizada e sobre o tempo de convergência em algoritmos genéticos com codificações binária e real. Acta Scientiarum. Technology, [9] L. Xia Xinghua and W. Chengdong. Automatic parameters selection method of edge detector in thr unstruturec environment. In Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Biomimetics, Barcelona, Spain, pages , [10] Y. Yitzhaky. A method for objective edge detection evaluation and detector parameter selection. IEEE Transations on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 8: ,