Uma abordagem Fuzzy para Detecção de Bordas em Imagens Digitais

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1 Uma abordagem Fuzzy para Detecção de Bordas em Imagens Digitais Inês Aparecida Gasparotto Boaventura Depto de Ciências de Computação e Estatística, IBILCE, UNESP, , São José do Rio Preto, SP Adilson Gonzaga Departamento de Engenharia Elétrica - EESC - USP , São Carlos, SP 1 Introdução A importância de conjuntos fuzzy para a análise de sistemas naturais complexos tem sido estabelecida em vários domínios de aplicação [1], [2]. Imagens digitais, que são mapeamentos de cenas naturais, estão sempre acompanhadas por um certo grau de incerteza (fuzificidade) devido principalmente a: i) imprecisão dos valores de cinza dos pixels; ii) ambiguidade que surge devido ao mecanismo de aquisição e mapeamento da imagem; iii) informações vagas em regiões limites. Isso justifica o desenvolvimento de algoritmos baseados em conjuntos fuzzy para várias tarefas de análise de imagens. A detecção de bordas é um dos passos mais importantes do processamento em baixo nível de imagens, já que bordas e contornos representam uma imagem pelos limites dos objetos e separação de regiões não similares em termos de intensidades de pixels, além disso, apresentam informação essencial de um objeto de interesse na imagem. A maioria das técnicas de detecção de bordas utiliza o mecanismo básico de definir um operador derivativo local de primeira ou segunda ordem, juntamente com alguma técnica de regularização para reduzir os efeitos de ruído. Os métodos de detecção de bordas, como por exemplo, detector de Sobel e detector de Prewitt [3] são baseados no conceito de filtro derivativo espacial, onde os operadores gradiente local são usados para detectar bordas em certas orientações. Filtros derivativos não possuem bom desempenho quando as bordas estão difusas e com ruídos. O filtro de Canny foi proposto com o objetivo de contornar os problemas com ruídos, no qual a imagem é convoluída com as derivadas de primeira ordem do filtro Gaussiano para suavização na direção do gradiente local seguido pela detecção de bordas por thresholding [4]. Técnicas recentes tem caracterizado detecção de bordas como um problema de raciocício fuzzy [5], [6], [7], [8], [9]. Essas técnicas tem mostrado bons resultados e, portanto, promissoras nas áreas de processamento de imagens e visão computacional. As técnicas fuzzy permitem uma nova perspectiva para modelar as incertezas devido à imprecisão de valores de cinza presentes nas imagens. Dessa forma, ao invés de atribuir valores de cinza na imagem, pode-se utilizar a pertinência fuzzy para os valores de cinza na imagem. As abordagens fuzzy para segmentação de imagem podem ser classificadas em abordagens baseadas em regras fuzzy; algoritmos de classificação fuzzy; medidas de fuzificidade e informação da imagem e geometria fuzzy [10]. A abordagem baseada em regras considera características da imagem como variáveis linguísticas e, assim, utiliza regras fuzzy IF-THEN para segmentar as imagens em diferentes regiões [11], [9], [12], [13]. A classificação fuzzy é a abordagem mais antiga para segmentação de imagens. Algoritmos como c-means fuzzy e c-means possibilísticos podem ser usados para construir classes (segmentos) [7], [8], [14]. Medidas de fuzificidade (entropia fuzzy) e informações da imagem (divergência fuzzy) podem também ser usadas para segmentar imagens [6], [15].

2 O trabalho de Miosso apresenta um sistema de inferência fuzzy aplicado para detectar bordas em imagens digitais com bons resultados [9]. Todas as entradas para o sistema fuzzy são obtidas pela aplicação de três filtros passa-alta e um filtro passa-baixa (média). Durante o préprocessamento da imagem de entrada, são aplicados: os operadores de Sobel, usados para determinar suas derivadas nas direções vertical e horizontal; um filtro passa-baixa (média) e; um segundo filtro passa-alta. O nível de cinza associado ao pixel (i, i) na imagem de saída depende do pixel (i, j) em cada imagem pré-processada e também dos pixels de uma determinada vizinhança das imagens filtradas pelos operadores de Sobel.O sistema de inferência fuzzy desenvolvido foi aplicado a várias imagens sintéticas, e os resultados obtidos para essas imagens foram comparados aos resultados produzidos pelo filtro de Sobel. Embora tendo um esforço computacional muito superior quando comparado ao filtro de Sobel, o sistema de inferência fuzzy apresenta grande robustez a variações de contraste e iluminação, evitando a obtenção de bordas duplas. Os trabalhos de Jawahar e Ray [16], [17], os quais aplicam números fuzzy para definir histogramas e matrizes de co-ocorrência fuzzy, motivaram a abordagem aqui proposta. Nesse trabalho propõe-se uma nova abordagem, baseada no conceito de números fuzzy para detecção de bordas em imagens. A técnica de detecção de bordas aqui proposta considera uma vizinhança local dos pixels da imagem, definida pelo usuário e, baseado no conceito de números fuzzy, verifica-se se um pixel pertence ou não aquela região da imagem, com base na intensidade dos níveis de cinza que compõem a região. O pixel que não pertence à região, é então classificado como um pixel de borda. Assim, através de uma função de pertinência, a técnica proposta fornece uma matriz de pertinência em tons de cinza e, através da escolha de um limiar, as bordas da imagem são segmentadas. 2 Formulação do problema 2.1 Processamento fuzzy de imagens Seja uma imagem A de tamanho M N pixels, com L níveis de cinza g ij entre 0 e L-1. A imagem A pode ser interpretada como um vetor de singletons fuzzy [10]. Cada elemento do vetor denota o valor de pertinência do nível de cinza g ij, correspondendo ao (i,j)-ésimo pixel, em relação a uma propriedade da imagem. Portanto, a imagem pode ser representada pelo seguinte conjunto fuzzy: A = {< g ij, µ A (g ij ) > /g ij {0,..., L 1}}, (1) i {1,..., M} e j {1,..., N} ou, alternativamente: A = M N i=1 j=1 µ A (g ij ) g ij. (2) A função de pertinência µ A pode ser calculada, dentre outras formas, por uma normalização simples: µ A (g ij ) = 2.2 Numeros fuzzy g ij MAX i [1,M],i [1,N] g ij. (3) Os números fuzzy são constituídos por conjuntos fuzzy, definidos em universos de discurso discretos ou contínuos, que permitem a quantificação da incerteza e imprecisão associada a uma dada informação. A representação de grandezas do tipo em torno de g, perto de 50 e aproximadamente 7 pode ser mapeada através de números fuzzy. Vários esquemas de representação e operações matemáticas com números fuzzy foram estudadas por Dubois e Prade [18]. Um número fuzzy g : R [0, 1] é definido como um conjunto fuzzy normal e convexo, representado por uma função de pertinência, cujo universo de discurso é a reta real. Jawahar e Ray [16] utilizaram em seu trabalho os números fuzzy simétricos, compactos e suficientes para representar a noção de valores de cinza ao redor de n. Os números fuzzy simétricos são caracterizados pela seguinte distribuição de pertinência: µ A (x) = f( x n, α), (4) onde f(.) controla a forma do número fuzzy e α R + controla o espalhamento do número fuzzy. Se µ A (x) = MAX(0, 1 x n ), (5) α

3 o número fuzzy será triangular e simétrico. 2.3 A abordagem proposta Neste trabalho, os níveis de cinza são considerados como números fuzzy e, para cada pixel g i,j da imagem, calcula-se a sua pertinência em relação a uma determinada região, considerando os vizinhos que possuem níveis de cinza próximos de g i,j. Ao considerar os valores de cinza como números fuzzy, incorpora-se a variabilidade inerente dos valores de cinza de imagens, proporcionando assim uma abordagem mais poderosa ao tratamento de imagens digitais, em comparação ao tratamento clássico, baseado em uma formulação analítica. Embora os valores de cinza fuzzy, g, possam assumir qualquer tipo de conjunto fuzzy, adotase, neste trabalho, os números fuzzy simétricos e triangulares definidos pelas equações 4 e 5. É importante notar que essa representação de números fuzzy é bastante compacta. Além disso, a definição de uma função de pertinência apropriada é heurística, portanto não única. Assim, diferentes funções de pertinência podem ser definidas, baseadas nas propriedades da vizinhança da borda. A função de pertinência proposta neste trabalho e que foi utilizada na implementação do detector de bordas desenvolvido tem a seguinte formulação: Seja uma imagem A N M onde, para cada pixel g(i, j), considera-se uma janela de vizi- Conforme dada pela equação 6, ao se calcular o grau de pertinência de um pixel, este é excluído da região que está sendo analisada. Assim, a matriz contendo as bordas é definida pela equação: A = M N i=1 j=1 ˆµ ij g ij, (7) onde, ˆµ ij indica o grau de pertinência de cada pixel a uma região W W pré-definida da imagem. Assim, os valores próximos de 1 significam uma maior pertinência dos respectivos pixels àquela região. Para valores próximos de 0, tem-se os pixels pertencentes às bordas da imagem. Dessa forma, a matriz A representa as bordas presentes na imagem pelos tons de cinza mais escuros, diferente das abordagens de detecção de bordas tradicionais, cujas bordas são apresentadas por tonalidades mais claras. Ao analisar a matriz de tons de cinza, os pixels mais escuros são aqueles com menor pertinência a uma região homogênea, representando assim as bordas da imagem. 3 Resultados computacionais Para a avaliação de performance e tempo de processamento, a técnica descrita foi testada com diferentes imagens e, comparada com os resultados obtidos pelo operador de Canny. Os parâmetros principais da técnica, ou seja, o parâmetro W, relativo ao tamanho da região de vizinhança, o parâmetro α, o espalhamento do número fuzzy, bem como o parâmetro T, threshold aplicado à imagem borda, foram variados a fim de estabelecer, para diferentes imagens, nhança espacial W W. A função de pertinência, os melhores resultados, e assim propor dinhança ˆµ g(i,j), de cada pixel g(i, j) ao conjunto fuzzy Região Homogênea da imagem é definida pela equação 6. Nesta equação, α R representa o parâmetro de espalhamento do número retrizes para ajustá-los, tanto para imagens que apresentam baixo contraste, como para imagens que apresentam um alto contraste. Além disso, na prática, pessoas diferentes podem se fuzzy. Quanto menor α, menor é a base do concentrar em detalhes diferentes da mesma número triangular, ou seja menor é o intervalo onde se considera a pertinência dos vizinhos. imagem, dessa forma esses parâmetros podem ser experimentados pelo usuário para obter o tipo de borda desejado. Wk=1 O threshold T pode ser interpretado como Wl=1 max(0, 1 g(i,j) A(k,l) α ) 1sendo o valor de pertinência mínimo aceitável ˆµ g(i,j) = W 2, 1 (6) i = 1... N, j = 1... M. para que o pixel pertença à região homogênea, representada pela janela de vizinhança W. Conforme pôde ser observado pelos experimentos realizados, janelas de vizinhança menores são melhores para a detecção de bordas em imagens com baixo contraste, porém com poucos ruídos. Para imagens com baixo contraste e muito ruído, obteve-se uma melhor performance ao utilizar uma vizinhança maior. O

4 tamanho da janela de vizinhança também influencia a espessura da borda encontrada. Para a aplicação do detector de bordas de Canny, foram usadas as rotinas do Matlab 6.5. Os resultados produzidos por esse filtro são bordas brancas em um fundo preto, assim a imagem negativa foi tomada para comparação com o detector de bordas fuzzy proposto. A imagem representada na figura 1 mostra um padrão xadrez de baixo contraste com uma variação gradual dos níveis de cinza. A figura 1 mostra o resultado da aplicação do detector de bordas de Canny e a figura 1 mostra o resultado da aplicação da técnica baseada em números fuzzy proposta, com parâmetros W = 2, α = 12 e T = gem mostrada na figura 1, com variações na janela de vizinhança considerada e, também, em relação ao parâmetro que controla o espalhamento do número fuzzy. Pode-se observar que, ao se aumentar a janela de vizinhança, ou seja, considerar regiões maiores em torno do pixel, aumenta-se a espessura da borda obtida. Ao se aumentar o parâmetro α, aumenta-se o valor da pertinência de um pixel em relação a uma região cujos pixels possuem níveis de cinza diferentes do pixel central, ou seja, quanto maior é o valor de α, maior é a tolerância em relação a pixels com tons de cinza diferentes. Neste caso, pode-se dizer que o valor fuzzy é estendido, ou seja, um intervalo maior de valores são considerados próximos. Isso pode ser observado ao se considerar as imagens de bordas das figuras 2 e 2. A imagem da figura 1 possui pouca variação de tons de cinza, principalmente nos quatro primeiros quadrantes da imagem. Ao se aumentar o espalhamento dos números fuzzy, de α = 8 para α = 30, as bordas horizontais e a borda vertical que divide os quatro primeiros quadrantes da imagem não foram detectadas. O espalhamento produzido aumentou a proximidade entre os tons de cinza nessas vizinhanças. (d) Figura 1: Imagem de baixo contraste, Bordas detectadas por Canny, Bordas detectadas pelo Detector por números fuzzy proposto (W = 2, α = 8 e T = 0.50) e (d) Resultado Obtido por Miosso, extraído de [9]. Figura 2: Resultados obtidos considerando diferentes valores de parâmetros. Parâmetros: W = 3, α = 8 e T = 0.625, Parâmetros: W = 3, α = 30 e T = e Parâmetros: W = 7, α = 11 e T = A figura 2 apresenta bordas obtidas da ima- A figura 3 mostra a imagem sintética de

5 um cubo, cujas bordas estão destacadas em preto. Ao se aplicar o operador de Canny nesta imagem, percebe-se duas variações bruscas em nível de cinza na fronteira entre cada uma das duas faces vizinhas no cubo (uma entre a face e a borda de separação preta, outra entre essa borda e a face vizinha), que resulta em bordas duplas, como pode ser observado na figura 3. A abordagem baseada em números fuzzy evita o aparecimento de bordas duplas, conforme pode ser visto na figura 3. As imagens sintéticas mostradas nas figuras 1 e 3 são algumas das imagens utilizadas por Miosso em [9]. As figuras 1(d) e 3(d), extraídas de [9], mostram os resultado obtidos pelo sistema de inferência fuzzy desenvolvido e permite uma comparação visual com os resultados obtidos pelo detector por números fuzzy proposto. As duas técnicas obtiveram bons resultados para essas imagens. A imagem obtida pelo detector fuzzy se mostrou visualmente melhor, uma vez que as bordas obtidas não apresentam descontinuidades. Além disso, a técnica de Miosso possui um esforço computacional muito maior. Para o pré-processamento da imagem, é necessário a aplicação de quatro filtros diferentes na imagem de entrada e, além disso, a técnica adota regras fuzzy especificamente estabelecidas para evitar bordas duplas. O detector por números fuzzy é uma abordagem direta sobre os níveis de cinza da imagem e não possui nenhum tipo de pré-processamento. A figura 4 é uma imagem clássica da literatura em processamento de imagens, em tons de cinza. A imagem foi processada pelo filtro de Canny e pela técnica proposta. Considerandose a imagem da figura 4, observa-se que as bordas produzidas pela técnica de números fuzzy apresentam uma maior fidelidade aos contornos da imagem original. Neste caso, o operador de Canny produziu um grande conjunto de contornos, dificultando a visualização do objeto de interesse. As imagens de bordas da figura 5, obtidas a partir da imagem da figura 4, refere-se a resultados da aplicação da técnica proposta onde foi mantido fixo o tamanho de janela W e o valor do thresholding T variando-se o parâmetro α. Analisando-se as imagens de bordas, observa-se que quando o valor de α é aumentado, permite-se que pixels ligeiramente diferentes sejam considerados pertencentes a uma (d) Figura 3: Imagem sintética de um cubo, Bordas extraídas pelo filtro de Canny, Bordas extraídas com a técnica proposta (W = 3, α = 60 e T = 0.3) e (d) Resultado Obtido por Miosso, extraído de [9]. Tabela 1: Tempo de Processamento ( técnica proposta Canny ) Fig. 1 Fig. 3 Valor de W 3 3 Técnica Proposta 0.28 s 0.75 s Canny 2.00 s 3.00 s região homogênea, portanto não sendo pertencentes à borda da imagem. A tabela 1 mostra o tempo de processamento da técnica proposta, em comparação com o tempo de processamento do operador de Canny. Os tempos foram tomados no ambiente Matab 6.5, com o uso das funções tic e toc que, em conjunto, medem o tempo de processamento em segundos de trechos do programa. Para medir o tempo de processamento do operador de Canny, foi considerado o tempo de chamada e retorno das rotinas do Matlab e também o tempo gasto no cálculo da imagem negativa da imagem de bordas. Conforme pode ser visto pela tabela 1, a técnica proposta também obteve melhor desempenho em tempo de processamento.

6 Figura 4: Imagem processada, Bordas obtida por Canny e Bordas obtidas pela técnica proposta, com W = 3, α = 30 e T = Figura 5: Imagem de bordas com W = 3, α = 30 e T = 0.5, Imagem de bordas com W = 3, α = 35 e T = 0.5 e Imagem de bordas com W = 3, α = 40 e T = Conclusões Neste trabalho apresentou-se uma nova abordagem para detecção de bordas em imagens. O operador proposto adota a teoria de números fuzzy para extrair bordas, considerando-se as incertezas em relação aos níveis de cinza, uma vez que os dados podem estar corrompidos por ruídos. Os resultados experimentais mostram que a técnica proposta é bastante eficaz e foram obtidos bons resultados comparados com o detector de Canny e, também, com outras abordagens fuzzy. É importante observar que o filtro de Canny faz um tratamento posterior às bordas obtidas, produzindo assim bordas da largura de um pixel. Tratamento semelhante poderá ser incorporado à técnica proposta para otimização dos resultados, produzindo também bordas mais finas. A técnica é bastante flexível, no sentido de permitir ao usuário o ajuste de vários parâmetros. O ajuste desses parâmetros proporciona diversas possibilidades de visualização das bordas de uma imagem, permitindo a escolha de detalhes da imagem. A implementação computacional é simples e com desempenho bastante rápido. Como extensão deste trabalho, além do tratamento das bordas obtidas, pretende-se definir outros formatos de números fuzzy, para que se possa avaliar resultados quando a metodologia for aplicada à extração de bordas de imagens com características específicas, tais como ima-

7 gens médicas, e em outros tipos de imagens com baixo contraste, ruídos, etc. Referências [1] A. Kandel and W.J. Byatt. Fuzzy sets, fuzzy algebra, and fuzzy statistics. In Proceedings of the IEEE, volume 66, pages , [2] L. A. Zadeh. Outline of a new approach to the analysis of complex systems and decision process. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, SMC-3:28 44, [3] R.C. Gonzalez. Digital Image Processing. Prentice Hall, [4] J.F. Canny. A computational approach to edge detection. IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell., 8: , [5] V. Boskovitz and H. Guterman. An adaptive neuro-fuzzy system for automatic image segmentation and edge detection. IEEE Transactions on fuzzy systems, 10(2): , April [6] M. Hanmandlu, J. See, and S. Vasikarla. Fuzzy edge detector using entropy optmization. In IEEE Computer Society, editor, Proceedings of the International Conference on Technology: Coding and Computing, pages , [7] L.R. Liang, E. Basallo, and C.G. Looney. Image edge detection with fuzzy classifier. In Proceedings of theisca 14th International Conference, pages , [8] L.R Liang and C.G. Looney. Competitive fuzzy edge detection. Applied Soft Computing, 3: , [9] C.J. Miosso and A. Bauchpiess. Fuzzy inference system applied to edge detection in digital images. In Proceedings of the V Brazilian Conference on Neural Networks, pages , [11] T.M. Becerikli, Y. anf Karan. A new fuzzy approach for edge detection. In J. Cabestany, A. Prieto, and D.F. Sandoval, editors, Lecture Notes in Computer Science, volume 3512, pages Springer-Verlag Berlin Heidelberg, [12] F. Russo. Edge detection in noisy images using fuzzy reasoning. IEEE Transaction on Instrumentation and Measurement, 47(5): , October [13] F. Russo. Fire operators for image processing. Fuzzy Sets and Systems, 103: , [14] Y.A. Tolias and S.M. Panas. Image segmentation by a fuzzy clustering algoritm using adaptive spatially constrained membership functions. IEEE Transations on Systems, Man, and Cybernetics - Part A: Systems and Humans, 28(3): , [15] J. See, M. Hanmandlu, and S. Vasikarla. Fuzzy-based parameterized gaussian edge detector using global and local properties. In IEEE Computer Society, editor, Proceedings of the International Conference on Technology: Coding and Computing, pages , [16] C.V. Jawahar and A.K. Ray. Fuzzy statistics of digital images. IEEE Signal Processing Letters, 3(8): , August [17] C.V. Jawahar and A.K. Ray. Incorporation of gray-level imprecision in representation and processing of digital images. Pattern recognition Letters Letters, 17: , [18] D. Dubois and H. Prade. Fuzzy Sets and Systems: Theory and Applications. New York: Academic, [10] B. Jãhne, H. HauBecker, and P. GeiBler. Handbook on Computer Vision and Apllications, volume 2, chapter 22, pages Academic Press, 1999.

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