INVESTIGANDO A FUNÇÃO MODULAR COM TECNOLOGIAS

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1 INVESTIGANDO A FUNÇÃO MODULAR COM TECNOLOGIAS Joicy Pimentel Ferreira Universidade Federal de Minas Gerais joicy10@gmail.com Resumo: O minicurso aqui proposto tem por objetivo trabalhar parte do conteúdo de ensino médio, que envolve gráficos de função modulares, através de uma atividade investigativa aliada ao uso do computador. Além de discutir a importância e os possíveis resultados desse tipo de atividade na sala de aula de matemática do ensino médio. Ele é dividido em dois momentos: exploração e discussão. No primeiro momento é realizado um trabalho de investigação com a ajuda do software Geogebra e no segundo momento há uma discussão sobre os resultados. Espera-se que a partir dele os professores de matemática tenham mais uma possibilidade de se trabalhar gráficos na sala de aula, tanto gráficos de funções modulares, quanto gráficos de outras funções. Espera-se também que os participantes reflitam sobre o uso de atividades investigativas e sobre o uso de tecnologia na sala de aula, levando em consideração as dificuldades que poderão ser enfrentadas e os possíveis resultados. Palavras-chave: Função modular; Tecnologia; Investigação; Educação Matemática. Introdução O minicurso aqui proposto originou-se durante o desenvolvimento da pesquisa de mestrado 1 em andamento, pelo programa de Pós Graduação da Faculdade de Educação da Universidade Federal de Minas Gerais. Apresento aqui parte do referencial teórico sobre Investigação Matemática e Tecnologias, que foi essencial na elaboração das atividades. Em seguida, apresento uma das atividades que foi elaborada durante a pesquisa e selecionada para ser desenvolvida com os participantes do X ENEM. A atividade aborda parte do conteúdo do ensino médio e é de caráter investigativo, que proporciona ao participante a possibilidade de explorar suas próprias questões e buscar suas respostas e com o uso do computador (software Geogebra 2 ) que auxilia na construção e visualização dos gráficos. Apresento também como pretendo conduzir as discussões sobre o assunto após a realização da atividade. 1 Orientada pela Prof. Drª Jussara de Loiola Araújo 2 GeoGebra é um software livre de matemática dinâmica para utilizar em ambiente de sala de aula, que reúne GEOmetria, álgebra e cálculo. ( 1

2 Por fim, apresento minhas considerações finais, ou seja, o que espero que o minicurso proporcione aos participantes. Objetivo O minicurso tem por objetivo trabalhar parte do conteúdo de ensino médio, que envolve gráficos de funções modulares, através de uma atividade investigativa aliada ao uso do computador. Além de discutir a importância e os possíveis resultados desse tipo de atividade na sala de aula de matemática do ensino médio. Investigação Matemática e Tecnologia Segundo Oliveira, Segurado e Ponte (1996), investigação Matemática designa um tipo de atividade em que se enfatizam processos matemáticos tais como procurar regularidades, formular, testar, justificar e provar conjecturas, refletir e generalizar. Através desse processo, o aluno pode se sentir mais próximo das atividades normalmente realizadas por um matemático, e discutir com seus colegas suas ideias, colocar suas próprias questões e assim estabelecer que caminho irá seguir. Ao propor ao aluno que resolva um problema, o professor abre possibilidades de muitas descobertas. Ao tentar solucionar o problema o aluno pode seguir diversos caminhos, sendo obrigado a pensar em muitas questões que envolvam a Matemática. A Matemática envolve aspectos cruciais no processo criativo: a observação, a experimentação, a indução, a analogia, o raciocínio plausível. (PONTE; BROCADO; OLIVEIRA, 2003, p.1) Investigar não é trabalhar em problemas difíceis, e sim trabalhar em questões que nos perturbam, que nos causam curiosidade, e que se apresentam no início de modo confuso, mas que procuramos organizá-las e estudá-las. Investigar significa, tão-só, que formulamos questões que nos interessam, para as quais não temos resposta pronta, e procuramos essa resposta de modo tanto quanto possível fundamentado e rigoroso. (PONTE; BROCADO; OLIVEIRA, 2003, p.9) 2

3 Aprender Matemática não é simplesmente compreender a Matemática historicamente construída, mas ser capaz de fazer investigação de natureza Matemática (ao nível adequado a cada grau de ensino). Só assim se pode verdadeiramente perceber o que é a Matemática e a sua utilidade na compreensão do mundo e na intervenção sobre o mundo. Gosto da comparação feita por Braumann (2002) que diz que aprender Matemática sem a possibilidade da investigação é como tentar andar de bicicleta vendo os outros andarem e recebendo informações sobre como o fazem. Para verdadeiramente aprender é preciso montar a bicicleta e andar, fazendo erros e aprendendo com eles. (p.5) Referenciada em Ponte, Brocado e Oliveira (2003), acredito que se trabalharmos com investigação Matemática podemos ter resultados diferentes na solução do problema matemático, pois a definição da questão e os pontos de partida dependem diretamente de quem investiga, sendo provavelmente variados. Cada aluno pode tomar um caminho e formular questões diferentes das dos outros, assim, seu ponto de chegada também será diferente. Cabe ao professor convidar o aluno a participar da definição da questão, estimulá-lo a criar perguntas e procurar possíveis respostas. O aluno aprende quando mobiliza os seus recursos cognitivos e afetivos com vista a atingir um objetivo. Esse é, precisamente, um dos aspectos fortes das investigações. Ao requerer a participação do aluno na formulação das questões a estudar, essa atividade tende a favorecer o seu envolvimento na aprendizagem. (PONTE, BROCADO e OLIVEIRA, 2003, p.23). Em sintonia com os autores acima citados, proponho a utilização de tecnologias para criar cenários de investigação 3, possibilitando que o aluno tenha ferramentas para auxiliá-lo na busca de respostas dos seus questionamentos, refletindo sobre as questões que possam surgir. Para Barreto (2005), a possibilidade de investigação é potencializada pela visualização com uso de recursos informatizados. Em sua monografia, a autora destaca um episódio que exemplifica uma das maiores possibilidades da utilização de computadores: a 3 Um cenário de investigação é um ambiente que pode dar suporte a um trabalho de investigação, é aquele que convida os alunos a formularem questões e procurarem explicações. (SKOVSMOSE, 2000). 3

4 exploração e possibilidade de criação de conjecturas a partir da interação alunocomputador. (VILLARREAL, 2004 apud BARRETO, 2005) 4 Concordo com Borba (1996) quando afirma que os computadores estão trazendo mudanças significativas para a Matemática, sobre o que deve ser importante para ser ensinado e aprendido na Matemática, além de afetarem profundamente a dinâmica da sala de aula. Com a presença de novas tecnologias, a aula de Matemática pode ser repensada, o conteúdo pode ser abordado de formas diferentes, e o aluno pode ter uma visão mais ampla de como aplicar um novo conhecimento que está aprendendo no momento. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de Matemática recomendam que o ensino de Matemática aproveite ao máximo os recursos tecnológicos, tanto pela sua receptividade social como para melhorar a linguagem expressiva e comunicativa dos alunos. (BRASIL, 1998). O uso dos computadores na sala de aula aproxima o aluno da realidade atual, onde observo a máquina cada vez mais presente nas atividades diárias. Tal uso permite também que o aluno explore suas ideias, facilitando a tentativa de provar alguma suposição, pois oferece ferramentas para que o mesmo tente sanar suas dúvidas através de observações e até através da tentativa e erro. Se por um lado, os PCN recomendam o uso do computador em processos de ensino de Matemática, Pasqualotti e Freitas (2001) destacam que deve haver uma discussão sobre o uso do computador para que ele possa efetivamente auxiliar no processo de ensinoaprendizagem: Observa-se, entretanto, que o ensino moderno não pode se limitar apenas ao uso do computador para dar aula. É necessária a disseminação da filosofia computacional nos centros de ensino para que a informática possa auxiliar no processo de ensino-aprendizagem e enriquecimento dos conhecimentos dos alunos, bem como no auxílio e aperfeiçoamento dos professores e pesquisadores. (p.80) Assim, referenciada nestes autores, acredito que o simples uso do computador pode não contribuir para o aprendizado do aluno. É preciso elaborar tarefas que explorem o potencial dessa ferramenta, para que não haja apenas uma transferência de atividades que 4 VILLARREAL, M. O pensamento de estudantes universitários de cálculo e tecnologias informáticas. Tese de Doutorado em Educação Matemática; Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista. Rio Claro, p. 4

5 poderiam ser feitas sem a ajuda do computador para uma outra como o auxílio deste. O computador deve estar inserido em atividades essenciais, tais como aprender a ler, escrever, compreender textos, entender gráficos, contar, desenvolver noções espaciais etc. (BORBA e PENTEADO, 2001, p.19). Não devemos ver as atividades realizadas com o computador como dissociadas dos conteúdos ensinados no dia a dia escolar. No planejamento das atividades com as máquinas, é razoável considerar que sua função não é eliminar a necessidade de realizar as operações com lápis e papel, mas de permitir uma maior liberdade de movimentação em determinados contextos em que a execução de cálculos com uso dos algoritmos convencionais toma um tempo demasiado longo e exige um esforço desanimador (SARQUIS e ARAÚJO, 2005). O computador permite ainda que cada aluno explore um problema da sua maneira. Sendo assim, cada indivíduo pode percorrer um caminho diferente, fazendo várias descobertas em relação à Matemática enquanto tenta resolver o problema. De acordo com Borba e Penteado (2001), esta prática está em harmonia com uma visão de construção de conhecimento que privilegia o processo e não o produto-resultado como muito comum em sala de aula. Esta máquina pode ser uma ferramenta que auxilia no desenvolvimento das tarefas. Ela não é capaz de realizar as atividades sozinha, é preciso que o aluno entenda o problema e pense em como resolvê-lo. O computador não substitui o ser humano ou o complementa, mas, sim, reorganiza a forma como se pensa e se age. (PENTEADO, BORBA e GRACIAS, 1998, p.83). Acredito que o computador seja uma ferramenta importante na realização de muitas atividades que envolvam investigação Matemática, pois ajuda na visualização e na organização de perguntas e possíveis respostas. Borba e Penteado (2001) afirmam que Uma nova mídia, como a informática, abre possibilidades de mudanças dentro do próprio conhecimento e é possível haver uma ressonância entre uma dada pedagogia, uma mídia e uma visão de conhecimento (p.45). Uma das atividades que podem ser desenvolvidas dentro dessa perspectiva é um trabalho com gráficos. Durante a investigação os alunos podem formular questões sobre particularidades de cada função, como por exemplo: em funções quadráticas (ax 2 + 5

6 by + c = 0), todas as vezes que o a for positivo, o gráfico será uma parábola voltada para cima? O computador pode ser usado para a construção de vários gráficos, que poderão auxiliá-lo na construção de uma possível resposta, o que seria cansativo se fosse feito com lápis e papel. O software Geogebra pode auxiliar ainda mais, pois apresenta duas janelas simultâneas, uma com a álgebra da função e outra com o gráfico da função, o que facilita a comparação entre a álgebra e o gráfico. Detalhamento das Atividades Segundo alguns professores de ensino médio, uma das maiores dificuldades que os alunos enfrentam é a visualização e o entendimento de gráficos de funções modulares. Portanto, proponho um minicurso no qual os participantes poderão construir e explorar gráficos de funções modulares com a ajuda de um roteiro e do software Geogebra. O minicurso é dividido em dois momentos: exploração e discussão. No primeiro momento é proposto um roteiro (em anexo) e este é dividido em duas partes. Primeiramente, é pedido que os participantes explorem funções específicas e que utilizem o comando abs do Geogebra. Espera-se que os participantes percebam que o comando retorna o valor absoluto das funções e portanto pode ser utilizado na construção de gráficos de funções modulares. A segunda parte consiste na exploração de um aplicativo criado também com o Geogebra, no qual os participantes poderão variar os valores de a, b e c da função f(x) = abs(ax 2 + bx + c). Nessa parte, os participantes também poderão investigar suas próprias perguntas e explorar as possíveis respostas com a ajuda do Geogebra. No segundo momento é proposta uma discussão, quando falaremos do andamento do primeiro momento da oficina, as explorações e resultados obtidos por cada um e descobertas interessantes que possam ter acontecido. Discutiremos também sobre a viabilidade de se aplicar a oficina em uma sala de aula de matemática do ensino médio, as vantagens e desvantagens de se trabalhar com uma atividade como a proposta na sala de aula e como os professores vêm o uso do computador na sala de aula. 6

7 Considerações Finais Espera-se que, com este minicurso, os professores de matemática tenham mais uma possibilidade de se trabalhar gráficos na sala de aula, tanto gráficos de funções modulares, quanto gráficos de outras funções. Espera-se também que os professores reflitam sobre o uso de atividades investigativas e sobre o uso de tecnologia na sala de aula, levando em consideração as dificuldades que poderão ser enfrentadas e os possíveis resultados. Referências BARRETO, P. S., O Papel da Visualização com o uso de Recursos Computacionais no Processo de Ensino e Aprendizagem do Cálculo f. Monografia. Instituto de Ciências Exatas, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte. BORBA, M. C. Informática trará mudanças na educação brasileira? Zetetiké, Campinas, CEMPEM, v.4, n.6, p , jul./dez BORBA, M. C; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. 2 ed. Belo Horizonte: Autêntica Editora, p. BRAUMANN, C. Divagações sobre investigação Matemática e o seu papel na aprendizagem de Matemática. In: PONTE, J.P. et al. (Orgs.) Atividades de investigação na aprendizagem da Matemática e na formação de professores. Lisboa: SEM-SPCE, 2002, p BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. MEC /SEF, p. OLIVEIRA, H. M.; SEGURADO, M. I.; PONTE, J. P., Explorar, Investigar e Discutir na Aula de Matemática. Lisboa, Disponível em: j.pinto/textos/texto9.pdf. Acesso em: 15 ago PASQUALOTTI, A; FREITAS, C. M. D. S. Experimentação de ambiente virtual para melhoria do ensino-aprendizagem de Matemática. Bolema, Rio Claro, Ano14, n.16, p , PENTEADO, M. G., BORBA, M. C., GRACIAS, T.S. Informática como veículo para mudança. Zetetiké, Campinas, CEMPEM, v.6, n.10, p , jul./dez PONTE, J. P., BROCADO, J., OLIVEIRA, H. Investigação Matemática na Sala de Aula. Belo Horizonte: Autêntica, p. 7

8 SARQUIS, E; ARAÚJO, D. A. Calculadora e outras geringonças na escola. Presença Pedagógica, Belo Horizonte, Dimensão, Edição Especial: Educação Matemática, p , Anexo: Roteiro - Função modular Esta atividade será realizada no software Geogebra e tem caráter investigativo, durante sua realização anote tudo o que julgar necessário. Parte 1 Em"entrada" digite a função x + 1. Mude a cor da função (clique com o botão direito em cima da função, vá em propriedades e depois em cor) Em "entrada" digite "abs(x +1). O que aconteceu com a função? Em"entrada" digite a função x^2 + 3*x -10. Mude a cor da função. Em "entrada digite abs(x^2 + 3*x -10). O que aconteceu com a função? Em "entrada" digite a função x^2 12*x Mude a cor da função. Em "entrada" digite a função abs(x^2 12*x + 40). O que aconteceu com a função? O que você acha que o comando abs faz com a função? Parte 2 Observe as variáveis a, b e c na tela. Cada uma varia de 10 a 10. Observe também a função f(x) = abs(ax 2 + bx + c). Selecione a seta à esquerda na tela (Mover) e altere os valores de a, b, e c. Altere os valores de a, b e c. Observe e analise o que aconteceu com o GRÁFICO e com a FUNÇÃO. Para que a função "suba" e "desça", qual valor você deve alterar? É possível fazer com que o gráfico assuma valores para os quais y é negativo? Faça mais explorações e anote suas conclusões. 8