UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA ANA PAULA DA SILVA GALDINO

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1 UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA ANA PAULA DA SILVA GALDINO O CONHECIMENTO MATEMÁTICO DE ESTUDANTES DO 3º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL SOBRE O CONCEITO DE MULTIPLICAÇÃO: UM ESTUDO COM BASE NA TEORIA HISTÓRICO CULTURAL Tubarão 2016

2 ANA PAULA DA SILVA GALDINO O CONHECIMENTO MATEMÁTICO DE ESTUDANTES DO 3º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL SOBRE O CONCEITO DE MULTIPLICAÇÃO: UM ESTUDO COM BASE NA TEORIA HISTÓRICO-CULTURAL Esta dissertação foi julgada adequada à obtenção do título de Mestre em Educação e aprovada em sua forma final, pelo curso de Mestrado em Educação da Universidade do Sul de Santa Catarina. Orientadora: Prof. Drª. Josélia Euzébio da Rosa. Tubarão 2016

3 ANA PAULA DA SILVA GALDINO O CONHECIMENTO MATEMÁTICO DE ESTUDANTES DO 3º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL SOBRE O CONCEITO DE MULTIPLICAÇÃO: UM ESTUDO COM BASE NA TEORIA HISTÓRICO-CULTURAL Este relatório foi considerado pela banca examinadora. Tubarão, 18 de fevereiro de 2016.

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5 Às crianças, que têm o dom de maravilhar-se diante da vida.

6 AGRADECIMENTOS Este trabalho foi construído por memórias. Memória solitária, sentada diante de textos, registros escritos, fotografias à procura de um modo de expressar em palavras o vivido. Mas, acima de tudo, foi construído por memórias compartilhadas. Momentos de estudos em disciplinas, professores que com suas aulas mostraram um caminho a seguir, amigas que compartilharam seus medos, angústias e conquistas... Por isso preciso agradecer: À minha orientadora Professora Doutora Josélia Euzébio da Rosa. Encontrar palavras para descrever essa relação torna-se um desafio. Ela, que se tornou uma grande amiga e que sabe tão bem atender, com sensibilidade, minhas questões, anseios e dúvidas... Você tem o dom de ser calmaria quando é disso que se precisa e, concomitantemente, dom de ser turbilhão quando o caminho é alcançar voos mais altos. Há pessoas que nos falam e nem as escutamos, há pessoas que nos ferem e nem cicatrizes deixam mas há pessoas que simplesmente aparecem em nossas vidas e nos marcam para sempre (CECÍLIA MEIRELLES). Obrigada por todo o conhecimento compartilhado e por ter marcado uma etapa acadêmica tão importante. À Professora Lúcia, que nos possibilitou a pesquisa em sua sala, que sempre demonstrou carinho e atenção comigo e com esta pesquisa. Aos estudantes desta investigação, que contribuíram para a realização desta pesquisa, ao disponibilizarem-se ao diálogo e à compreensão do quanto aqueles momentos eram importantes para mim. Sem a ajuda de vocês, a pesquisa poderia ter sido realizada, mas, com certeza, perderia a riqueza do olhar nos olhos, da curiosidade que me fez explicar várias vezes o que é o Mestrado e o que eu pesquisava, dos abraços que recebi e daquilo que a pesquisa de campo tem de melhor: o inesperado. À Professora Sílvia Pereira Gonzaga de Moraes e ao Professor Clóvis Nicanor Kassick, por suas contribuições valiosas no exame de qualificação e pelo aceite em participar, também, da banca de defesa. À Professora Elaine Sampaio Araújo por aceitar o convite para participar da banca de defesa. Aos meus pais e irmãs, que me apoiaram em todos os momentos, que constituem aquilo que sou hoje e, também, aquilo que ainda serei. À minha vó Lulu, que nos deixou durante a realização desta pesquisa. Ela, que sem certezas científicas, tinha o dom de acreditar na educação, orgulhava-se das netas e genro professores e com seu carinho ficará eterna na memória.

7 À minha sobrinha Isabela, que com seus muitos Por quê? faz com que eu pense sobre as rotinas instituídas, os modos de ser criança e viver a infância que muitas vezes são negados pela escola. Obrigada por compartilhar sua infância comigo e me fazer compreender que ser tia é amar incondicionalmente alguém. Às orientandas e amigas, Bia, Cris, Sandra e Gi, pelas valiosas contribuições durante a realização desta pesquisa e pelas conversas que tornaram este caminho mais doce. À Cris e Sandra um agradecimento especial, pelos momentos de angústias e conquistas neste semestre final da pesquisa e na parceria durante o estágio de docência no curso de Pedagogia. Entre laços acadêmicos e afetivos, vocês se fazem presentes no processo de constituição deste estudo, tanto com as discussões teóricas quanto pelas conversas, risadas, viagens juntas e carinho. À amiga Olívia, que esteve presente desde a elaboração do projeto para o processo seletivo de ingresso ao Mestrado. A ela minha amizade, companheirismo e gratidão por todos os momentos juntas e que seja só o começo de grandes conquistas juntas. À amiga e companheira de trabalho no primeiro ano de Mestrado, Amanda, que entendeu as demandas de uma professora/pesquisadora. Na impossibilidade de abraçar o mundo precisei da sua ajuda em momentos em que o lado pesquisadora precisava de mais espaço. Obrigada por toda a amizade e ajuda e por ser essa pessoa tão especial. Aos integrantes do Grupo de Pesquisa em Educação Matemática: uma Abordagem Histórico-Cultural (GPEMAHC) e integrantes do grupo Teoria do Ensino Desenvolvimental na Educação Matemática (TEDMAT), pelos momentos de estudos, reflexões durante a investigação e materiais bibliográficos disponibilizados. Ao programa de Pós-Graduação Mestrado em Educação da UNISUL, aos professores, coordenação, secretária Daniela e colegas do curso, por terem contribuído em diversos momentos de minha formação. Às meninas da disciplina Fundamentos e Metodologias do Ensino da Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, do curso de Pedagogia, por terem compartilhado suas dúvidas e aprendizagens comigo durante o Estágio de Docência. Obrigada! À Fundação de Amparo à Pesquisa e Extensão de Santa Catarina (FAPESC), pelo apoio financeiro concedido durante o segundo ano de realização do curso. Aquilo que está escrito no coração não necessita de agendas porque a gente não esquece. O que a memória ama fica eterno (RUBEM ALVES). A todos, construtores de memórias eternas: muito obrigada!

8 Aula de voo O conhecimento Caminha lento feito lagarta Primeiro não sabe que sabe e voraz contenta-se com cotidiano orvalho deixando nas folhas vívidas das manhãs. Depois pensa que sabe e se fecha em si mesmo: faz muralhas cava trincheiras ergue barricadas. Defendendo o que pensa saber levanta certeza na forma de muro orgulhando-se de seu casulo. Até que maduro explode em voos rindo do tempo que imaginava saber ou guardava preso o que sabia. Voa alto sua ousadia reconhecendo o suor dos séculos no orvalho de cada dia. Mesmo o voo mais belo descobre um dia não ser eterno. É tempo de acasalar Voltar à terra com seus ovos À espera de novas e prosaicas lagartas. O conhecimento é assim Ri de si mesmo E de suas certezas É meta da forma Metamorfose Movimento Fluir do tempo Que tanto cria como arrasa A nos mostrar que para o voo É preciso tanto o casulo Como a asa. (MAURO IASI)

9 RESUMO O objetivo desta pesquisa foi investigar o conhecimento matemático dos estudantes do 3º ano do Ensino Fundamental sobre o conceito de multiplicação. Consideramos que este é composto por abstrações, generalizações e conceitos. A referência foi a Teoria Histórico-Cultural, mais especificamente a distinção entre pensamento teórico e empírico. Os dados de pesquisa foram obtidos por meio do acompanhamento de uma turma de 3º ano escolar, de uma escola da rede estadual, no município de Tubarão, durante o segundo semestre de A coleta de dados foi realizada em dois momentos: observação das aulas de Matemática e entrevistas individuais com os estudantes, após a realização das avaliações propostas pela professora, a fim de compreender o pensamento adotado para a resolução das questões. Para a análise dos dados, utilizou-se: 1) Descrição construída a partir dos dados que constituem a essência do fenômeno investigado. 2) Revelação da unidade de análise do objeto de pesquisa: a relação entre a lógica adotada no processo de ensino e aprendizagem e o conhecimento produzido pelos estudantes sobre o conceito de multiplicação. 3) Abstrações auxiliares, extraídas no decorrer do processo de organização dos dados: o tipo de generalização, abstração e conceito desenvolvido pelos estudantes. 4) Elaboração dos episódios que explicitam a unidade de análise e os isolados. Os resultados obtidos são semelhantes àqueles detectados por Davýdov (1982) ao analisar as proposições para o ensino de Matemática em seu país (Rússia) no século XX, por ele denominado de ensino tradicional por sustentar-se na teoria empírica. Nessa perspectiva, a elaboração do conhecimento segue o esquema percepção - representação - conceito. O conceito formado a partir desse movimento de generalização e abstração constitui o conteúdo do conhecimento empírico. Como forma de superação, Davýdov propõe outro modo de organização do ensino, tal como apresentamos ao final da presente dissertação por meio de um diálogo com algumas reflexões brasileiras fundamentadas na Teoria Histórico-Cultural. Palavras-chave: Educação Matemática. Conceito de multiplicação. Teoria Histórico-Cultural.

10 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Ilustração 1 - Interconexão entre unidade de análise/episódios e abstrações auxiliares Quadro 1 - Organização dos episódios e cenas Ilustração 2 - Exercício proposto pela professora e resolvido por Maria Ilustração 3 - Adição de quantidades iguais Ilustração 4 - Conceito de multiplicação Ilustração 5 - Tabelas de multiplicação Ilustração 6 - Dobro, triplo, quádruplo e quíntuplo Ilustração 7 - Para além do estágio de representação (resolvido por Antônia) Ilustração 8 - O processo de elaboração do conhecimento na lógica formal Ilustração 9 - Primeiras questões sobre multiplicação nas avaliações Ilustração 10 - Cálculo para chegar à resposta Ilustração 11 - Quantos anos tem Ana? Ilustração 12 - Quantas rodas podemos contar? Ilustração 13 - Rascunho de Luís Ilustração 14 - Rascunho Guilherme Ilustração 15 - Riscos no processo de contagem dos povos primitivos Ilustração 16 - Riscos utilizados como instrumento de cálculo Ilustração 17 O casamento da Dona Baratinha Ilustração 18 Linhas, pontos e segmento Ilustração 19 Representação da relação de desigualdade entre A e C Ilustração 20 Introdução do arco Ilustração 21 Representação geométrica e algébrica da quantidade de rosas Ilustração 22 Cálculo da quantidade de rosas Ilustração 23 Representação algébrica dos valores desconhecidos Ilustração 24 Construção inicial do esquema de setas Ilustração 25 Esquema de segmentos Ilustração 26 Esquema de setas: unidade de medida intermediária Ilustração 27 Esquema de setas: relação universal Ilustração 28 Modelação da grandeza discreta a partir dos valores 4 e Ilustração 29 Linha tomada como unidade de medida intermediária Ilustração 30 Esquema de setas para 6 x Ilustração 31 Cálculo na reta numérica para 6 x 4 =

11 Ilustração 32 Coluna tomada como unidade de medida intermediária Ilustração 33 Esquema de setas para 4 x Ilustração 34 Cálculo da operação 4 x 6 = 24 e 6 x 4 = 24 na reta numérica Ilustração 35 As operações 4 x 6 = 24 e 6 x 4 = 24 na reta numérica Ilustração 36 Situações singulares decorrentes de uma particularidade Ilustração 37 Termos do conceito de multiplicação Ilustração 38 Esquema de setas para a situação singular 3 x 4 =? Ilustração 39 Decomposição do multiplicando (24) Ilustração 40 Cálculo da operação da multiplicação em linha Ilustração 41 Redução do registro: cálculo da multiplicação em linha Ilustração 42 Cálculo da operação da multiplicação em linha e coluna Ilustração 43 Cálculo a partir da unidade de milhar e a partir da unidade básica Ilustração 44 Três possibilidades de singularidades Ilustração 45 Cálculo na reta numérica da operação 2,50 x 4 = Ilustração 46 Cálculo na reta numérica do valor total de moedas que Dona Baratinha precisará Ilustração 47 Carta para Dona Bartinha... 91

12 LISTA DE SIGLAS ACT - Contratada em Caráter Temporário AOE Atividade Orientadora de Ensino FEUSP Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo GERED - Gerência Regional de Educação GEPAPe - Grupo de Estudos e Pesquisa sobre a Atividade Pedagógica GPEMAHC - Grupo de Pesquisa em Educação Matemática: Uma abordagem Histórico- Cultural PENOA - Programa Estadual de Novas Oportunidades de Aprendizagem S.M. - Sentença Matemática UNISUL - Universidade do Sul de Santa Catarina

13 SUMÁRIO APRESENTAÇÃO DO CAMINHO PERCORRIDO ÀS REFLEXÕES REALIZADAS MÉTODO DE INVESTIGAÇÃO DA APREENSÃO DOS DADOS AO CONCRETO PENSADO: O CONTEXTO DA PESQUISA O campo de pesquisa: a singularidade pesquisada Procedimentos metodológicos utilizados durante a pesquisa de campo Procedimentos de organização e análise dos dados ANÁLISE DO VIVIDO: O QUE OS ESTUDANTES TÊM A DIZER SOBRE O CONCEITO DE MULTIPLICAÇÃO? EPISÓDIO 1: O MOVIMENTO DE FORMAÇÃO DO CONHECIMENTO REFERENTE AO CONCEITO DE MULTIPLICAÇÃO EPISÓDIO 2: OLHOS NOS OLHOS UM DIÁLOGO SOBRE MULTIPLICAÇÃO ONDE ESTÁ A SAÍDA? CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS

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15 11 APRESENTAÇÃO A coisa mais importante na atividade científica não é a reflexão nem o pensamento, nem a tarefa, mas a esfera das necessidades e emoções. [...] As emoções são muito mais fundamentais que os pensamentos, elas são a base para todas as diferentes tarefas que um homem estabelece para si mesmo, incluindo as tarefas do pensar. [...] A função geral das emoções é capacitar uma pessoa a pôr-se certas tarefas vitais, mas este é somente meio caminho andado. A coisa mais importante é que as emoções capacitam a pessoa a decidir, desde o início se, de fato, existem meios físicos, espirituais e morais necessários para que ela consiga atingir seu objetivo (DAVÍDOV, 1999, p. 45, grifos nossos). A epígrafe expressa que as ações humanas são carregadas de sentidos subjetivos e motivos. Desse modo, as emoções e necessidades impulsionam o ser humano para a concretização de objetivos (DAVÍDOV, 1999). Isto porque todo movimento humano é gerado a partir de uma necessidade: sobrevivência, trabalho, lazer, estudo, entre outras. Ainda nessa perspectiva, na concepção de Leontiev (1983), o sujeito constitui-se em sua atividade, a partir de uma necessidade que se caracterize como individual. Para o referido autor, entretanto, concomitantemente com toda a sua peculiaridade, a atividade do indivíduo humano constitui um sistema compreendido no sistema de relações da sociedade. Fora destas relações, a atividade humana em geral, não existe (LEONTIEV, 1983, p. 67). Intimidade, distância, emoção e necessidade são elementos de referência no movimento construído na presente investigação enquanto atividade. Intimidade e distância, dois movimentos inversos que marcam a constituição enquanto pesquisadora: intimidade com a sala de aula, a docência, o cotidiano escolar e suas especificidades. Distância, para olhar com outros olhos, buscar outras possibilidades, compreender um contexto específico, ao mesmo tempo em que relata o atual estágio da educação brasileira. Já a estrutura da atividade e seus elementos, explicitam o movimento estabelecido na pesquisa. Esta surge de uma necessidade individual, movida pelo interesse em compreender o processo de apropriação dos conceitos científicos da Matemática, na especificidade desta investigação, a natureza do conhecimento matemático de estudantes do 3º ano escolar. No entanto, constitui-se também como uma necessidade social de fomentar reflexões científicas sobre a organização do ensino e aprendizagem de Matemática, em especial, das escolas públicas brasileiras.

16 12 Adotamos como base para esta investigação, desde a delimitação do objeto de estudo às análises realizadas, os pressupostos da Teoria Histórico-Cultural, especialmente de Davýdov e colaboradores. Estes pesquisaram e elaboraram um sistema de ensino considerado por Rosa (2012), Libâneo e Freitas (2013), entre outros pesquisadores, a expressão mais atual e fiel aos princípios da teoria anunciada. Nesta investigação, delimitamos nosso objeto de estudo no conhecimento matemático de estudantes do 3º ano escolar sobre o conceito de multiplicação. Para tanto, estruturamos o texto da dissertação em três capítulos: 1) Do caminho percorrido às reflexões realizadas; 2) Análise do vivido: o que os estudantes têm a dizer sobre a Matemática? 3) Onde está a saída? O primeiro capítulo constitui-se do contexto do objeto de estudo em nossa trajetória acadêmica, a delimitação dos objetivos e o percurso investigativo com base no método adotado: o Materialismo Histórico e Dialético. O seguinte é dedicado às análises realizadas a partir da apreensão dos dados da pesquisa de campo e o esforço teórico em explicá-los, de modo articulado com os fundamentos da Teoria Histórico-Cultural. O terceiro capítulo trata-se de possibilidades de objetivação da referida teoria em sala de aula. E, por fim, as considerações finais e síntese das reflexões realizadas sobre o objeto de estudo.

17 13 1 DO CAMINHO PERCORRIDO ÀS REFLEXÕES REALIZADAS O aprendizado de muitas coisas não ensina a compreensão (HERÁCLITO DE ÉFESO). Com esta frase, Libanêo e Freitas (2013) iniciam seu capítulo, no livro Ensino Desenvolvimental: vida, pensamento e obra dos principais pensadores russos, dedicado a VasilyVasilyevich Davýdov 1. Os autores afirmam que a frase combina com o que acreditava Davýdov ao longo de quase 25 anos de pesquisa nas escolas russas visando formular uma teoria de ensino voltada para o desenvolvimento do pensamento de crianças e jovens (LIBÂNEO; FREITAS, 2013, p. 315). Trouxemos 2 a frase para o texto introdutório desta pesquisa, por assemelhar-se com as reflexões de pesquisadores atuais dos pressupostos da Teoria Histórico-Cultural, tais como Araújo (2003), Cedro (2008), Moraes (2008), Rosa (2012), Asbahr (2011), Furlanetto (2013), Hobold (2014), Silveira (2015), entre outros. Além disso, por assemelhar-se com as inquietações iniciais que geraram o presente estudo: o que os estudantes têm aprendido, de fato, na escola? A grande quantidade de conteúdo, exercícios, avaliações, resulta em aprendizagem? Que tipo de aprendizagem? Durante a graduação tive a oportunidade de aprofundar os estudos sobre o processo de ensino e aprendizagem da criança. Neste momento, surgiram perguntas: como a criança aprende? Qual a função de cada uma das etapas de ensino? O foco, por tratar-se de um curso de Pedagogia, eram as linguagens: linguagem oral, escrita, gráfica, corporal, entre tantas outras. Todavia, o questionamento mais frequente entre as graduandas era: como e quando a criança começará a ler e escrever nos Anos Iniciais? Entretanto, como fica a Matemática neste contexto de importâncias? Tive a angústia, também sentida por outras colegas, do desafio que é trabalhar com os Anos Iniciais do Ensino Fundamental por ser, nesta etapa da educação básica, 1 No decorrer do texto utilizaremos a grafia Davýdov. Entretanto, quando se tratar de referência a alguma obra utilizaremos a grafia apresentada na mesma. 2 Ao longo deste capítulo de introdução, em que faremos referência à trajetória pessoal e profissional, assumiremos a primeira pessoa do singular, dada a natureza do texto. Contudo, quando estivermos nos referindo à parceria com a orientadora, neste capítulo e nos demais capítulos deste texto, retomaremos o uso da primeira pessoal do plural.

18 14 responsabilidade de um professor trabalhar com a maioria das disciplinas (exceto Arte, Educação Física, Língua Estrangeira). Saliento este aspecto, visto que durante a graduação tive apenas uma disciplina para cada área do conhecimento, como, por exemplo, a disciplina de Matemática, intitulada Fundamentos Teóricos e Metodológicos do Ensino da Matemática, com duração de sessenta horas aulas. Nesta, os jogos didáticos foram explorados, enfaticamente, como a possibilidade de deixar a matemática mais prazerosa. Todavia, cabem as perguntas: a matemática precisa ser somente prazerosa? A metodologia de jogos possibilita a socialização da essência do conhecimento matemático contemporâneo produzido pela humanidade? Atualmente, na prática docente (professora da Educação Infantil), nas várias escolas em que lecionei, na condição de professora contratada em caráter temporário (ACT), assim como também durante os estágios da graduação, a ênfase incidia na Língua Portuguesa e na Matemática. Professores e coordenação pedagógica enfatizavam em seus discursos a importância dessas duas disciplinas na formação do estudante. Não há como negar tal relevância, mas deve-se considerar o desenvolvimento integral da criança, pois o que ocorria, na prática escolar, era a linguagem escrita em primeiro plano e a linguagem matemática logo em seguida. De acordo com Fiorentini (1995), a prática pedagógica de Matemática tem sido, ao longo dos anos, organizada por meio de um padrão: exposição do conteúdo, demonstração, exemplos e, em seguida, exercícios para fixar o tema proposto. Alguns professores acreditam que a Matemática deve estar inteiramente relacionada ao cotidiano do estudante e aquilo que não está ao alcance do sensorial deve ser evitado. Desta forma, o ambiente é de repetição, cópia, reprodução, com destaque ao quadro e ao livro (FIORENTINI, 1995). Além disso, os livros didáticos de Matemática, disponibilizados nas escolas em que lecionei, evidenciavam a relação direta entre número e quantidade discreta em detrimento da quantidade contínua. Neste contexto surgem outros questionamentos: como os estudantes têm significado a Matemática? Que relações estabelecem entre objetos? O livro didático dá espaço a uma abordagem não linear? Os resultados referentes à educação escolar brasileira apresentados em documentos oficiais e por pesquisadores como ASBAHR (2011), FERRARO (1999), MOURA et al. (2012), entre outros, evidenciam que nosso país avançou na questão do acesso à escola, porém o problema está na aprendizagem dos estudantes. Isso porque

19 15 [...] é notório o pouco investimento que tem recebido a Educação Matemática nos anos iniciais, no que se refere à formação docente, quer das políticas públicas, quer dos próprios educadores. Sabemos, também, a importância do combate a uma persistente visão de que o conhecimento matemático pertence a uma minoria, cujo acesso requer elaborados esquemas intelectuais. Associado a essa concepção tem-se a adoção de uma metodologia de ensino que desconsidera o movimento de produção cultural dos conceitos, focalizando o ensino apenas no aspecto operacional de determinados conteúdos matemáticos (MOURA et al., 2012, p ). Ainda em relação à atual educação brasileira, mais especificamente nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, deparamo-nos com políticas públicas que provocaram mudanças, como, por exemplo, a implantação do Ensino Fundamental de nove anos e a consequente inserção da criança de seis anos na escola, implementada a partir de documentos 3 que deixaram educadores e gestores com dúvidas quanto à sua materialização em sala de aula. Por meio da Portaria nº 867, de 4 de julho de 2012 (BRASIL, 2012a), o governo federal instituiu o Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa e suas diretrizes. O Pacto é um compromisso formal assumido pelos governos federal, do Distrito Federal, dos Estados e Municípios de assegurar que todas as crianças estejam alfabetizadas até os oito anos de idade, ao final do 3º ano do Ensino Fundamental (BRASIL, 2012b, p. 11). Diante dessas políticas públicas, como está a organização do ensino de Matemática nas escolas atualmente? Por que os estudantes continuam apresentando baixo desempenho nas avaliações externas e internas? A Matemática é uma linguagem e, por isso, implica que as crianças dominem seus signos, as conexões entre eles e a sintaxe (MOURA, 2007, p. 61). Pensar a educação nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental significa compreender esta etapa como base importante para o processo de apropriação do conhecimento científico e no desenvolvimento da Atividade de Estudo (DAVÝDOV, 1982). Assim, na busca por compreender um modo de organização do ensino de Matemática com vistas ao desenvolvimento do pensamento teórico e de refletir a concepção enraizada nos bancos escolares geradora de afirmações como a matemática é difícil, não gosto de matemática, vislumbramos as proposições de Vasili Vasilievich Davýdov. A partir dos pressupostos da Teoria Histórico-Cultural, Davýdov propôs um modo de organização de ensino no qual tanto o conteúdo quanto o método estão direcionados ao processo de formação dos conceitos matemáticos em nível científico. Com um projeto de formação de um novo homem na sociedade socialista soviética, Davýdov almejava que a escola ensinasse os alunos a orientarem-se com autonomia na 3 Documentos como: Ensino Fundamental de nove anos: orientações gerais. Brasília: MEC/SEB e Ensino Fundamental de nove anos: passo a passo do processo de implantação. 2. ed. Brasília: MEC/SEB, 2009.

20 16 informação científica e em qualquer outra esfera do conhecimento (LIBÂNEO; FREITAS, 2013, p. 315). Davýdov focou suas investigações [...] nas questões referentes às ações mentais, fundamentadas na Teoria criada por Galperin nos anos de 1950 (SHUARE, 1990). De 1959 a 1983 trabalhou, juntamente com Elkonin, no Instituto de Psicologia Geral e Pedagogia da Academia de Ciências Pedagógicas da União Soviética. Inicialmente, como colaborador científico, em seguida como chefe de laboratório de psicologia e, finalmente, como diretor (HOBOLD, 2014, p. 17). Algo essencial nas proposições de Davýdov era o desejo de propor um ensino inovador como superação ao que era realizado em seu país. Para tanto formulou a seguinte proposição: primeiro os estudantes aprendem o aspecto genético e essencial do conhecimento, referente ao próprio modo de operar da ciência, como um método geral para análise e solução de problemas particulares que requerem tais conhecimentos compreendendo a articulação entre os mesmos. Depois, ao utilizar o método geral, os estudantes resolvem tarefas particulares e contemplam a articulação entre o todo e as partes e vice-versa. (DAVÝDOV, 1982). Esse processo possibilita, de acordo com Davýdov (1982), o desenvolvimento do pensamento teórico. Os pressupostos Teoria Histórico-Cultural, em especial da proposição davydoviana para o ensino de Matemática suscitaram em mim interesse e necessidade de refletir sobre a Educação Matemática brasileira e algumas possibilidades de mudanças. A fim de satisfazer essa necessidade, após dois anos da conclusão da graduação, retornei ao curso de Pedagogia para participar da nova disciplina de Fundamentos Teóricos e Metodológicos do ensino da Matemática, na Universidade do Sul de Santa Catarina (UNISUL), no ano de Parte das reflexões realizadas foi com base na concepção davydoviana e nos fundamentos da Teoria Histórico-Cultural para o processo de ensino e aprendizagem de Matemática. A disciplina cursada serviu apenas como base introdutória. Para aprofundar esses estudos, principalmente sobre a obra davydoviana, ingressei no Mestrado em Educação da UNISUL. Durante a realização das disciplinas no Mestrado, foi possível delimitar o objeto de pesquisa e refletir sobre o método a ser utilizado. Para Rosa (2012, p. 25), constitui tarefa da educação: influenciar, dirigir, isto é, transformar em princípio a criação das condições e as premissas para a mudança do tipo geral e dos ritmos do desenvolvimento psíquico das crianças, perguntamos: Qual é o conhecimento matemático desenvolvido pelos estudantes do Ensino Fundamental?

21 17 Nesse sentido, a educação escolar, nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental teve, conforme mencionamos, a implantação do Pacto Nacional da Alfabetização na Idade Certa, que estabelece a alfabetização, inclusive Matemática, até o 3º ano escolar. Por isso, optamos por realizar esta pesquisa com estudantes do 3º ano do Ensino Fundamental, com faixa etária média de oito anos. A partir desse ano escolar, conforme prevê o pacto, é que há possibilidade de reprovação dos estudantes, bem como a realização da Avaliação Nacional da Alfabetização (ANA), aplicada pelo INEP. Ao ingressar na escola, já nos Anos Iniciais, na concepção de Davýdov (1982), os estudantes devem aprender aquilo que não lhes é acessível em casa, na rua e nas brincadeiras entre amigos. O autor em referência aponta que o ensino escolar deve proporcionar às crianças conceitos genuinamente científicos, desenvolver o pensamento teórico e as capacidades para o sucessivo domínio, independente do número sempre ascendente de novos conhecimentos científicos (DAVÝDOV, 1982; DAVÍDOV, 1988). Com base nestas reflexões, propusemos o seguinte problema de pesquisa: qual a natureza do conhecimento dos estudantes do 3º ano escolar sobre o conceito de multiplicação? Assim, delimitamos como objetivo geral investigar o conhecimento matemático dos estudantes do 3º ano do Ensino Fundamental sobre o conceito de multiplicação. A fim de alcançar o objetivo proposto, consideramos a relação entre a organização do ensino de Matemática no 3º ano escolar e os conhecimentos apropriados pelos estudantes dos conceitos matemáticos. Para investigar o conhecimento matemático de estudantes do 3º ano do Ensino Fundamental, fundamentamo-nos na Teoria Histórico-Cultural. Para tanto, estudamos os pressupostos referentes ao conhecimento teórico e empírico e os processos de ensino e aprendizagem de Matemática. A relevância social e acadêmica da presente investigação incide na carência significativa de pesquisas que desvendem a natureza do conhecimento matemático considerada na organização do ensino proposta por autores da Teoria Histórico-Cultural e aquela comumente contemplada na educação escolar brasileira. Trata-se de aprofundar as reflexões sobre o processo de ensino e aprendizagem da Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, na especificidade do conhecimento apresentado por estudantes brasileiros do 3º ano e na proposta de Davýdov e colaboradores (Teoria do Ensino Desenvolvimental), esta, [...] tornou-se realidade ao ser implantada em escolas de Moscou, quando foram propostos novos programas para as principais disciplinas de pré-escolas e escolas primárias, cujos fundamentos estão no livro Problemas do Ensino Desenvolvimental. Foram desenvolvidos também programas de formação de professores para trabalhar com esse sistema (LIBÂNEO; FREITAS, 2013, p. 321).

22 18 Acreditamos, com base em Davýdov (1982) e demais autores da Teoria Histórico- Cultural, que a escola deve promover o desenvolvimento do conhecimento teórico em detrimento do conhecimento empírico. Assim, a análise dos dados teve respaldo em reflexões sobre o conhecimento empírico e teórico no processo de ensino e aprendizagem de Matemática. Compreendemos, de acordo com a referida teoria, que o encaminhamento teóricometodológico para o processo de ensino e aprendizagem da Matemática deve contemplar o lógico-histórico do conhecimento matemático (ROSA; MORAES; CEDRO, 2010a, 2010b; SILVEIRA, 2015). Conforme Kopnin (1978, p. 183): Por histórico subentende-se o processo de mudança do objeto, as etapas de seu surgimento e desenvolvimento. O histórico atua como objeto de pensamento, o reflexo do histórico, como conteúdo. O pensamento visa à reprodução do processo histórico real em toda a sua objetividade, complexidade e contrariedade. O lógico é o meio através do qual o pensamento realiza esta tarefa, mas é o reflexo do histórico em forma teórica, vale dizer, é a reprodução da essência do objeto e da história do seu desenvolvimento no sistema de abstrações (KOPNIN, 1978, p. 183). Logo, compreender a organização do ensino da Matemática considerando o lógicohistórico significa considerar o movimento de origem e transformações do conhecimento. Desse modo, os conceitos são considerados como produto da necessidade vivenciada historicamente pela humanidade, porém em seu estágio atual de desenvolvimento. Nesse contexto, cada conceito é compreendido em seu conjunto, da mesma forma que uma célula deve ser tomada com todas as suas ramificações através das quais ela se entrelaça com o tecido comum (VIGOSTKI, 2000, p. 294). No ensino da Matemática o conceito de número, por exemplo, sofreu alterações que o transformaram em um sistema integral. Os números surgiram a partir da necessidade humana de contagem, dando origem aos números naturais. Depois, a partir da necessidade da medição surgiram os racionais e irracionais, culminado assim com o sistema dos números reais (ROSA, 2012). Vale salientar que o conteúdo de uma disciplina não é idêntico à totalidade dos avanços da ciência correspondente. Mas, de acordo com Davýdov (1982), é obrigação da educação escolar proporcionar as abstrações e generalizações ao nível inteiramente moderno, o conhecimento em seu atual estágio de desenvolvimento. Para investigarmos o conhecimento matemático dos estudantes fundamentamo-nos no método adotado. A seguir apresentaremos alguns princípios metodológicos advindos do Materialismo Histórico-Dialético.

23 MÉTODO DE INVESTIGAÇÃO Ao falarmos em investigação, referimo-nos essencialmente ao método. Segundo Kopnin (1978) e Vigostki (1995), compreendemos método como um meio de obtenção de determinados resultados no conhecimento e na prática, todo método compreende o conhecimento das leis objetivas. As leis interpretadas constituem o aspecto objetivo do método, sendo o objetivo formado pelos recursos de pesquisa e transformação dos fenômenos, recursos esses que surgem com base naquelas leis. Por si mesmas, as leis objetivas não constituem o método; tornam-se método os procedimentos que nelas se baseiam e servem para a sucessiva interpretação e transformação da realidade, para a obtenção de novos resultados. (KOPNIN, 1978, p. 91). Para Vigotski (1995), o método de conhecimento é a parte principal de uma concepção teórica: O método e a investigação mantêm uma relação estreita (VIGOTSKI, 1995, p. 47). Ao definirem o método, os autores supracitados fazem-no por meio do Materialismo Histórico e Dialético. Assim, a lógica do conhecimento é a lógica dialética. O homem é compreendido em sua historicidade e materialidade e a busca da ciência é a explicação da realidade com o intuito de transformá-la. A Teoria Histórico-Cultural tem sua origem epistemológica no Materialismo Histórico e Dialético. Assim, como mencionado, as reflexões realizadas na presente pesquisa são fundamentadas nesse método de investigação. Optamos pela ótica dessa teoria por acreditarmos que esta se diferencia, significativamente, das demais tanto pela amplitude quanto pela sua profundidade (ROSA, 2012) e, também, pela referida teoria fundamentar a Proposta Curricular do Estado de Santa Catarina, qual seja a Teoria Histórico-Cultural. A dialética materialista e suas categorias têm, de acordo com Kopnin (1978), a função de método do conhecimento científico. É o método do desenvolvimento [...] e da explicitação dos fenômenos culturais partindo da atividade prática objetiva do homem histórico (KOSIK, 1995, p. 39). Para Martins (2008), essa concepção de homem como autor do mundo faz com que ele se veja como ser diferente dos outros animais. O ponto essencial de diferenciação é a capacidade de transformar a natureza e a si mesmo com e pelo seu trabalho. Nessa ótica, a sociedade é resultado da luta que ela enfrenta para garantir a sua sobrevivência. Então, se existem diferentes formações econômicas e sociais é porque também há distintas formas de sobrevivência, modos diversos de produzir condições necessárias para a vida do homem.

24 20 Diante disso, o ser social desenvolveu-se e desenvolve-se com o processo das relações sociais correspondentes à produção material dos homens, [...] que é o fundamento de toda a vida social e, em consequência, da verdadeira história [...] (MARX, 1989, p. 124) e é o elemento central da ontologia marxiana. Por não restringir-se à dimensão propriamente filosófica, mas também à prática social, o ser e o pensar são duas dimensões do mesmo existir humano. Um estudo sobre a gênese histórica do objeto deve partir do todo, do real que queremos analisar. Para Marx (1989), no início, o real é uma representação caótica do todo, e por meio de uma determinação mais exata deste todo chegamos a conceitos mais simples de representação do concreto, ou, com outras palavras, a abstrações do todo. Quando chegarmos a esse momento, é hora de voltar, de modo inverso, até atingirmos o concreto pensado (MARX, 1989). Segundo a lógica dialética, tudo está em movimento, e todas as formas de movimento são geradas pela simultaneidade de vários elementos contraditórios na totalidade de certo sistema. De acordo com Kosik (2002), captar o fenômeno de determinada coisa significa indagar e descrever como a coisa em si se manifesta naquele fenômeno, e como ao mesmo tempo nele se esconde. Compreender o fenômeno é atingir a essência. Sem o fenômeno, sem a sua manifestação e revelação, a essência seria inatingível... O fenômeno não é, portanto, outra coisa senão aquilo que diferentemente da essência oculta se manifesta imediatamente, primeiro e com maior frequência (KOSIK, 2002, p. 12). Compreender um fenômeno, portanto, é atingir a sua essência. Esta tem como ponto de partida sua manifestação externa, que no movimento entre concreto e abstrato, se revela sua relação interna na atividade de pesquisa. Ao iniciarmos uma pesquisa, vale refletir sobre a questão levantada por Bicudo (1993): [...] a elaboração de pesquisas publicadas nas modalidades de dissertações e de teses são natimortas, não têm vitalidade, só servem para a obtenção de títulos exigidos para o preenchimento de quadros institucionais (BICUDO, 1993, p. 21). Outros estudos apontam na mesma direção e alertam sobre a necessidade de apropriação do pesquisador que realiza o estudo. Significa considerar a pesquisa como atividade, de fato, humana. Moura (2000) explica que para estar em uma pesquisa como atividade em busca de um fim, [...] ela precisa ser do sujeito. Isto é, deve provocar no sujeito uma necessidade de solucionar algum problema. Ou, melhor ainda: ter sua nascente numa necessidade.

25 21 Esta, por sua vez, só aparece diante de um problema que precisa ser resolvido e cuja solução exige uma estratégia de ação (MOURA, 2000, p. 34). Desse modo, estar em atividade de pesquisa significa estarmos voltados a um objetivo e à satisfação de uma necessidade. Este é um processo dinâmico e que interfere na condição tanto de pesquisadora quanto de professora, a ponto de, no segundo ano de Mestrado, termos que nos afastar da docência e nos debruçarmos, com dedicação exclusiva, à pesquisa. Outro aspecto que merece destaque refere-se à utilização do estudo de caso nas pesquisas no campo da educação. Para Rigon, Asbahr e Moretti (2010), são comuns pesquisas que evidenciam o contexto da sala de aula e descrevem o que foi observado nessa investigação, especificando os fenômenos. Nas pesquisas do Gepape 4, o estudo de caso é utilizado, mas há uma outra compreensão acerca do conhecimento produzido a partir da investigação de uma realidade singular. Embora com singularidades de um estudo de caso, entendemos que a pesquisa deve permitir a legitimação do singular como instância de produção de conhecimento científico (RIGON; ASBAHR; MORETTI, 2010, p. 43). Uma vez que: O valor do singular está estreitamente relacionado a uma nova compreensão acerca do teórico, no sentido de que a legitimação da informação proveniente do caso singular se dá através do modelo teórico que o pesquisador vai desenvolvendo no curso da pesquisa (GONZÁLEZ REY, 2005). Assim, optamos pelo estudo de caso para a presente pesquisa, ao refletirmos sobre o objetivo que almejamos. Além disso, em coerência com os princípios teóricos que fundamentam a presente pesquisa, determinamos como meta não nos atentarmos somente para a aparência dos fatos. Mas, sim, a uma análise que tenha como foco revelar a essência da totalidade do objeto de estudo. Para Caraça (2002, p. 105), se tudo depende de tudo, como fixar a nossa atenção num objeto particular de estudo? Temos que estudar tudo ao mesmo tempo? O próprio autor sugere solução para esta questão ao estabelecer um recorte deste todo, que ele denominou de isolado: um conjunto de seres e fatos abstraindo de todos os outros que com ele estão relacionados (CARAÇA, 2002, p. 105). Esse conjunto denominado pelo referido autor de isolado, é uma seção, um recorte da realidade, na busca por compreender o fenômeno e na 4 Grupo de Estudos e Pesquisa sobre a Atividade Pedagógica (FEUSP).

26 22 impossibilidade de se estudar tudo ao mesmo tempo. O isolado pode ser constituído de isolados mais amplos, que servirão para a análise de fenômenos mais complexos. Nesse sentido, em uma sala de aula há diversas possibilidades de objeto de estudo, há vários isolados, inclusive para uma pesquisa que tenha como foco uma única disciplina, que no nosso caso é a Matemática. Na impossibilidade de se estudar tudo ao mesmo tempo, optamos por delimitar como nosso isolado desta pesquisa: a natureza do conhecimento dos estudantes do 3º ano do Ensino Fundamental sobre o conceito de multiplicação. Ao considerar nosso objeto de estudo, o conhecimento matemático dos estudantes, o isolado serve como base para a análise, na sua interdependência com outros isolados e considerando-o dentro de uma totalidade, no caso em estudo o processo de ensino e aprendizagem da Matemática. 1.2 DA APREENSÃO DOS DADOS AO CONCRETO PENSADO: O CONTEXTO DA PESQUISA Anteriormente abordamos os fundamentos do método em seu caráter geral. Neste item, apresentaremos, primeiramente, alguns princípios metodológicos específicos para a presente pesquisa. Reafirmamos que a base epistemológica é o Materialismo Histórico e Dialético. Esta é a base que orienta as reflexões apresentadas na presente dissertação, desde a delimitação do objeto de estudo, as etapas de coleta de dados até a análise dos mesmos. Não pretendemos aqui esgotar as questões advindas deste método, por compreender que não conseguiríamos alcançar tal objetivo em virtude de sua complexidade e do tempo que possuímos para concluir o Mestrado. Desse modo, abordaremos aqui os elementos centrais que orientam a investigação. Em seguida, apresentaremos os procedimentos metodológicos adotados na pesquisa de campo, ou seja, como apreendemos os dados da realidade pesquisada. Em um terceiro momento, relatamos os procedimentos de análise que indicam o movimento de análise dos dados coletados para que compreendêssemos o objeto de estudo. De acordo com Prestes, Tunes e Nascimento (2013, p. 55), o desafio de Vygotski era criar uma nova abordagem dos processos psicológicos estritamente humanos e pôr a psicologia em bases materialistas. Nesta concepção, Vigotski adota uma lógica de conhecimento: a lógica dialética. Como decorrência desta, vale reafirmar que o homem é compreendido em sua historicidade e materialidade e a ciência é a busca de explicação e transformação da realidade.

27 23 Entretanto, segundo Davidov e Zinchenko (1999, p. 157), Vygotski não considerava a filosofia marxista [...] um dogma ou uma teoria em que poderiam ser encontradas respostas a todas as questões específicas da psicologia. Inclusive, o autor critica aqueles que fazem colagens das citações de Marx para explicar problemas que são próprios da Psicologia (ASBAHR, 2011, p. 102). Desse modo, Vygotsky (1988) sustenta que o elemento essencial para a compreensão das funções psicológicas superiores é a abordagem dialética. Para tanto, qual seria o princípio fundamental da abordagem dialética? Para o autor, trata-se de estudar o objeto de pesquisa historicamente e em movimento, como destaca na seguinte afirmação: Quando uma investigação inclui o processo de desenvolvimento de algum fenômeno em todas as suas fases e mudanças, desde o momento em que surge, até o momento em que desaparece, isto implica manifestar sua natureza, conhecer a sua essência, uma vez que apenas em movimento demonstra o corpo que existe (VIGOTSKI, 1995, p , tradução nossa). Vygotski formula, conforme Shuare (2010) 5, uma concepção metodológica a partir do método Materialista Histórico e Dialético. Esta concepção está baseada em duas proposições centrais: alguns princípios metodológicos indispensáveis à investigação dos fenômenos psicológicos humanos e o método de análise por unidades (VYGOTSKY, 1988). O autor aponta três princípios de investigação que nortearam a análise na presente pesquisa: análise de processos e não de objetos; explicação e não apenas descrição; estudo do problema do comportamento fossilizado. A realização desses três princípios ocorre, em Vygotsky (1988), no contexto das unidades de análises. O autor compreende as unidades como forma de analisar o todo do objeto de estudo, do isolado, negando outras abordagens que o decompõem a partir dos elementos de que este é constituído. Esta investigação compreende a singularidade do objeto de estudo e procura apreender em sua plenitude, ao considerá-lo a partir de unidades que constituem o todo. No entanto, o que é uma unidade de análise? Como podemos revelar, em nosso objeto de estudo, a unidade central para que possamos compreendê-lo? Vigotski (2000) define: Um produto de análise que, diferente dos elementos, possui todas as propriedades que são inerentes ao todo e, concomitantemente, são partes vivas e indecomponíveis dessa unidade. A chave para explicar certas propriedades da água não é a sua fórmula química, mas o estudo das moléculas e do movimento molecular. De igual maneira, a célula viva, que conserva todas as propriedades fundamentais da vida, próprias do 5 Expressão utilizada por Martha Shuare em palestra proferida no Instituto de Psicologia da Universidade de São Paulo em dezembro de 2010 (ASBAHR, 2011, p. 103).

28 24 organismo vivo, é a verdadeira unidade de análise biológica (VIGOTSKI, 2000, p. 08). Ainda, sobre as unidades de análise Vigotski (2000) explicita: Procuramos substituir a análise que aplica o método de decomposição em elementos pela análise que desmembra a unidade complexa do pensamento discursivo em unidades várias, entendidas estas como produtos da análise que, à diferença dos elementos, não são momentos primários constituintes em relação ao todo o fenômeno estudado, mas apenas a alguns dos seus elementos e propriedades concretas, os quais, também diferentemente dos elementos, não perdem as propriedades inerentes à totalidade e são suscetíveis de explicação, mas contêm, em sua forma primária e simples, aquelas propriedades do todo em função das quais se empreende a análise (VIGOSTKI, 2000, p ). Assim como Marx, Vygotsky (1988) concebe o conhecimento do fenômeno na sua totalidade e não como soma de elementos que o constituem. Para expor nosso objeto de estudo a partir desta concepção, adotamos a ideia de episódios proposta por Moura (1992; 2004) na tentativa de criar uma metodologia para investigar as interdependências em isolados. Os episódios poderão ser frases escritas ou faladas, gestos e ações que constituem cenas [...]. Assim, os episódios não são definidos a partir de um conjunto de ações lineares. Pode ser que uma afirmação de um participante de uma atividade não tenha um impacto imediato [...] o pesquisador, tal como o produtor de cinema, é que faz a leitura dessas várias ações, que parecem isoladas, à procura das interdependências [...]. (MOURA, 2004, p. 276). Dessa forma, os episódios direcionaram-nos para uma necessidade teóricometodológica das pesquisas científicas: analisar o processo de desenvolvimento do objeto de estudo. A análise por unidades e episódios tem sido adotada por alguns pesquisadores brasileiros como Moretti (2007), Moraes (2008), Cedro (2008), Ribeiro (2011), Furlanetto (2013), Panossian (2014), Silva; Cedro (2015), entre outros. Quanto à presente investigação, pretendemos, com os episódios, reconhecer a essência do conhecimento matemático dos estudantes sobre o conceito de multiplicação. No entender de Asbahr (2011), para a apropriação da essência do real, do concreto, são necessárias mediações de um tipo especial, pois este processo não se dá imediatamente aos órgãos dos sentidos. Essas mediações especiais que Marx (1989) chama de abstrações, em Vygotsky (1988), para a referida autora, são denominadas de unidades de análise. Rigon et al. (2010), fundamentadas em Kosik (2002), escrevem sobre os princípios que orientam a compreensão do fenômeno em sua totalidade:

29 25 [...] compreender um fenômeno dialeticamente é atingir a sua essência, e esta não se manifesta diretamente, é necessária a atividade do pensamento para alcançarmos a concretude do real, a totalidade. A aparência do fenômeno é uma das dimensões da realidade, mas na atmosfera comum da vida humana, essa aparência, adquire independência, constitui o mundo da pseudoconcreticidade: no mundo da pseudoconcreticidade, o aspecto fenomênico da coisa, em que a coisa se manifesta e se esconde, é considerado como a essência mesma, a diferença entre o fenômeno e a essência desaparece. (RIGON et al., 2010, p. 37). Com isso, entendemos que a apropriação do concreto pelo pensamento se dá por meio das unidades de análise ou abstrações. Contudo, não basta a definição das unidades de análise. Para Vygotski (1999) é necessário realizar o caminho inverso, ou seja, o estudo da essência de determinado fenômeno por meio da análise de sua forma mais desenvolvida. Este é o movimento que percorremos: a ascensão do abstrato ao concreto. De acordo com Marx (1989, p. 248), o concreto é a síntese de múltiplas determinações, logo, unidade da diversidade. No momento de partida, [...] no estágio da percepção sensorial da realidade, o conhecimento recebe os dados, sem esse material não se pode avançar nenhum passo. No estágio do pensar abstrato, se busca o que constitui a base, a unidade da diversidade. No estágio da reprodução mental do concreto, o círculo em certo modo se encerra no ponto de partida, porém sobre uma nova base: a diversidade se nos apresenta já não como um conjunto caótico de aspectos e relações, mas como unidade organizada, subordinada a determinadas leis. O concreto, mentalmente reproduzido aparece já, não em forma de soma de diversos dados, observações, fatos, proposições separadas, etc., mas como saber sobre fenômenos iluminados por uma única ideia (ILIENKOV, 2006, p. 160, grifo do autor). Nessa perspectiva, conforme Davýdov (1982, p. 331), inicialmente, o real concreto surge para o homem como o sensorialmente dado. Em suas formas especiais de contemplação e representação, a atividade sensória é capaz de perceber a integridade do objeto e a existência nele das conexões que conduzem para a generalidade. Assim, o concreto ponto de partida e ponto de chegada tem significados diferentes, embora o ponto de chegada seja o ponto de partida (conhecimento dos alunos), porém em âmbito teórico. Esse movimento é mediado pela abstração, constituída, na presente pesquisa, pela unidade de análise O campo de pesquisa: a singularidade pesquisada O ponto de partida da investigação foi a observação de uma singularidade. Portanto, a fim de situar o leitor quanto ao contexto investigativo, apresentaremos a escola em que foi realizada a coleta de dados.

30 26 A opção pela escola pesquisada foi motivada pela proximidade geográfica e de formação, como estudante da educação básica e, posteriormente, enquanto estagiária do curso de Pedagogia. É uma escola da rede estadual de Santa Catarina, localizada no município de Tubarão, sul do Estado. No ano de 2014, mais de setenta pessoas trabalhavam na escola, entre administradores, professores e zeladores. A escola conta com dezoito salas de aula, dez salas de ambientes (biblioteca, sala de vídeo...) e três quadras para a realização de esportes. É considerada referência entre as escolas públicas da região quanto à sua infraestrutura e trabalhos realizados. 6 As aulas acontecem nos três períodos e a escola atende estudantes do Ensino Fundamental ao Médio, com aproximadamente 1,1 mil alunos matriculados no ano de É a segunda maior escola estadual do município em número de matrícula. O bairro onde a escola está localizada é residencial, constituído, em grande parte, por casas, com poucos edifícios. Embora residencial, existem algumas fábricas com um número significativo de funcionários, muitos deles pais de estudantes matriculados na escola. Não há parques, praças ou outros locais de convívio social e lazer, somente associações da iniciativa privada. A turma escolhida para participar desta pesquisa foi o 3º ano do Ensino Fundamental I matutino. Como já mencionado, optamos por esta turma em função do atual plano de governo Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa (BRASIL, 2012b) enfatizar o 3º ano do Ensino Fundamental como uma importante etapa do processo de alfabetização dos estudantes. Essa opção foi concretizada graças à disponibilidade da professora Lúcia 7 em abrir as portas da sua sala de aula para a realização da pesquisa, apesar da nossa longa permanência naquele local. A professora Lúcia tem vinte e dois anos de magistério e é contratada pelo governo estadual como ACT. Faltam apenas dois anos para se aposentar. Sempre trabalhou com turmas de 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental. Ela está na escola há três anos consecutivos, mas já havia trabalhado lá em outros anos. Durante a nossa permanência em sala, ela procurava auxiliar no que fosse necessário para o bom andamento da pesquisa, sobretudo em relação a horários para a realização das avaliações, para que pudéssemos conversar com os estudantes após as mesmas. Os estudantes da turma, com idade entre oito a dez anos, foram receptivos e se referiam a nós como a estagiária das aulas de Matemática, pois, para eles, uma pessoa de 6 Segundo reportagem de jornal local (Jornal Notisul, 23/05/2014). 7 A fim de proteger a identidade da professora e dos estudantes os nomes serão fictícios.

31 27 fora que ia assistir às aulas era porque estava aprendendo a ser professora. Aos poucos, após muitos questionamentos sobre a pesquisa, compreenderam o motivo da nossa presença em sua sala de aula e passaram a colaborar de modo mais significativo. Procuravam explicar em detalhes o seu raciocínio. Dos vinte e um estudantes, três deles estavam, ainda, em fase de alfabetização e dois deles haviam repetido o ano. Aproximadamente 8 cinco estudantes participavam do Programa Estadual de Novas Oportunidades de Aprendizagem (PENOA), que tem por objetivo apoiar estudantes que apresentam dificuldades de aprendizagem. Os encontros ocorriam no contraturno das aulas regulares. A maioria dos estudantes era assídua, realizava diariamente os exercícios intitulados de Para Casa, muitos deles sem a ajuda de adultos. Quando questionados se estudavam em casa para as avaliações, eles afirmavam que estudavam pouco, com a justificativa de que já sabiam o conteúdo. A professora Lúcia não adotava um livro didático de Matemática. Assim, os exercícios eram realizados no caderno, a maioria copiada do quadro e algumas fotocópias, especialmente quando o tema da aula era novo, como, por exemplo, quando iniciou o conceito de multiplicação, a apresentação de gráficos como fonte de informações, entre outros temas. Para elaborar seus exercícios tinha como base diversos livros didáticos, aos quais não nos foi possibilitado acesso Procedimentos metodológicos utilizados durante a pesquisa de campo Uma pesquisa requer um longo processo desde a formulação do problema, a coleta de dados, leituras e reflexões inerentes ao processo de análise. Algumas ações são desenvolvidas conforme planejamos inicialmente, mas há momentos em que somos surpreendidos por imprevistos provocados pelo contexto de coleta de dados que nos fazem repensar desde o foco da pesquisa às ações a serem realizadas. Além disso, como lembra Duarte (2002, p. 86), realizar uma pesquisa é, de alguma forma, um relato de longa viagem empreendida por um sujeito cujo olhar vasculha lugares muitas vezes já visitados. As palavras do autor colaboram neste momento de reflexão sobre os procedimentos utilizados durante a ida a campo, pois esta viagem foi a um lugar por nós muito visitado: a sala de aula, porém vista com um novo olhar, o olhar de pesquisadora, de 8 Apesar da longa permanência em sala, utilizamos uma estimativa de estudantes que participavam do programa, pois não havia uma regularidade de presença dos estudantes e não acompanhamos esses momentos.

32 28 quem está ali para conhecer e apropriar-se de uma realidade vivida por outras pessoas, com suas histórias e singularidades. Duarte (2002, p. 140) afirma ainda que a pesquisa tem sempre um modo diferente de olhar e pensar determinada realidade a partir de uma experiência e de uma apropriação do conhecimento que são, aí sim, bastante pessoais. Nessa direção, constituir-se como pesquisadora significa uma tentativa de compreender a realidade investigada, na especificidade da pesquisa ora relatada, a partir do que vivenciamos em sala de aula e, também, das leituras realizadas. Estas constituíram um alicerce profícuo para que pudéssemos esboçar algumas reflexões com vistas à elaboração de um projeto de transformação desta realidade. Ao pesquisarmos, em uma abordagem dialética, entendemos que o objeto de estudo não é algo pronto e acabado que está à espera do pesquisador para que este colete dados e analise-os. Quando entramos em contato com a escola, contexto do estudo, pretendíamos pesquisar como as crianças pensam a Matemática e como a organização do ensino desta disciplina influencia na operacionalização dos conceitos por parte dos estudantes. Os primeiros dias de observação em sala foram essenciais para que pudéssemos conquistar a confiança e abertura dos estudantes e desenvolvêssemos uma postura investigativa, diferente da docência, até então desempenhada. Procurávamos observar tudo o que ocorria, interpretar as falas daqueles estudantes que foram receptivos e, até mesmo, os olhares daqueles que estranharam a nossa presença. Estes, acostumados com a presença das estagiárias em sala, nos perguntavam quando iríamos dar aula. Apesar de estarmos com o projeto de pesquisa bem delimitado, o contexto da pesquisa nos trouxe inúmeras possibilidades de investigação. A organização do ensino nos provocou muitos questionamentos sobre os rumos da pesquisa para que os objetivos fossem alcançados. Neste momento, muitas idas e vindas foram necessárias. As conversas com a orientadora e com o grupo de orientandas 9 foram essenciais para que não perdêssemos de vista o foco da pesquisa. Ao focarmos no conhecimento matemático dos estudantes, consideramos, com base em Davýdov (1982), que este é composto por abstrações, generalizações e conceitos. Assim, investigamos o conhecimento matemático dos estudantes no contexto em que este é predominantemente formado no processo de ensino e aprendizagem da Matemática a partir do conceito de multiplicação. Embora o foco incida no conceito de multiplicação, na primeira etapa de apreensão dos dados registramos todas as ações, tarefas, exercícios, jogos e outros 9 Bia, Gi e Sandra.

33 29 aspectos ocorridos durante o semestre, referentes aos diferentes conceitos abordados. Para a coleta de dados utilizamos o registro escrito (diário de campo), fotográfico e, em momentos em que se fez necessária, a gravação de áudio e vídeo. Ainda durante a elaboração do projeto de pesquisa, alguns questionamentos nos faziam pensar sobre esta etapa de apreensão dos dados: como compreender o conhecimento matemático dos estudantes? Como captar os dados que não estão prontos à espera do pesquisador? Quando nos propusemos a pesquisar o conhecimento matemático dos estudantes, outro aspecto também nos intrigava: o pensamento. O que as crianças de oito ou nove pensam sobre a Matemática? E, junto a isso, quais conceitos elas elaboram a partir das aulas realizadas por sua professora? Vale esclarecer que não é nossa pretensão criar uma solução mágica que acabe com os problemas inerentes ao processo de ensino e aprendizagem de Matemática no país. Mas apontar indícios que nos façam refletir sobre possibilidades de superação. Na busca por encontrarmos respostas para as perguntas anteriores, durante o período de coleta de dados nos deparamos com um registro escrito considerado como fundamental no sistema de ensino adotado no Brasil: a avaliação/prova. Este momento constituiu-se na segunda etapa de coleta de dados. Registramos, por meio de fotocópias, as avaliações propostas pela professora regente com as respostas desenvolvidas pelos estudantes e os rascunhos utilizados por eles durante a resolução. De acordo com Moraes (2008), [...] a atividade humana é intencional e consciente, seja na consciência em si ou na consciência para si, significa que ambas são determinadas histórica e socialmente. Na relação entre a intenção e objetivação, sempre estará presente a avaliação com o objetivo de verificar se os caminhos escolhidos levam à objetivação desejada ou necessária (MORAES, 2008, p. 23). Não pretendemos aprofundar tal discussão, todavia cabe salientar que nossa compreensão de avaliação está fundamentada na perspectiva da referida autora. Nesse sentido, Moraes (2008) afirma que: A avaliação escolar tem como questão de fundo o ideal de homem que deseja formar, qual o papel da escola na formação dos indivíduos. Desse modo, as práticas avaliativas da aprendizagem escolar não podem ser compreendidas por si mesmas, mas estão inseridas num contexto maior (MORAES, 2008, p. 26, grifos da autora). Assim, a avaliação tem seu papel no processo de ensino e aprendizagem. No âmbito desta investigação ela será vista, também, como uma manifestação do pensamento, já que na

34 30 avaliação o estudante encontra-se sozinho com seus próprios pensamentos. Com isso, alguns conhecimentos referentes aos conceitos matemáticos, estarão ali materializados e foram considerados como fonte documental. Para Vygotski (2001, p. 313): [...] a linguagem escrita requer para o seu transcurso pelo menos um alto grau de abstração. Trata-se de uma linguagem sem o seu aspecto musical, entonacional, expresso, em suma, sonoro. É uma linguagem do pensamento, de representação, mas uma linguagem desprovida do traço mais substancial da fala o som material. Conforme Vygotski (2001), a escrita é a expressão do pensamento, porém ela necessita de um grau de abstração alto para que a criança consiga expressar aquilo que pensou. Por isso, a terceira etapa da coleta de dados foi uma conversa com cada estudante, após a realização das provas, para compreendermos, minuciosamente, o conhecimento adotado. Ao pesquisar em uma abordagem dialética, entendemos que as etapas descritas não necessitam de uma lógica linear. Durante a pesquisa, idas e vindas foram necessárias, pois o movimento de investigação é um processo dinâmico que envolve dados em interação constante. Assim, pois, trata-se de investigar a especificidade do conhecimento de cada estudante, porém, não isoladamente, mas no seu contexto de origem e inter-relações: o processo de ensino e aprendizagem. Não é nossa pretensão enquadrar cada um deles em padrões socialmente estabelecidos. Os dados coletados são considerados apenas para fomentar as reflexões científicas, sem julgamentos do professor ou dos estudantes Procedimentos de organização e análise dos dados Ao finalizar a etapa de apreensão dos dados, deparamos-nos com uma grande quantidade de registros que nos inquietaram quanto ao modo de organizá-los: como superar a descrição dos dados? Como explicar aquilo que detectamos em sala de aula sobre o objeto de investigação? Que contribuições a pesquisa terá efetivamente para os estudos sobre a Teoria Histórico-Cultural? Quais reflexões serão produzidas por esta investigação? Tínhamos grande quantidade de registros escritos e fotográficos, entretanto a maior parte dos dados estava em arquivos de áudio e vídeo. Portanto, nossa primeira ação foi descrever os dados para que pudéssemos ter ideia de tudo que havíamos coletado a partir da pesquisa de campo. Em um segundo momento, sentimos necessidade de organizá-los por conceitos, já que durante o semestre registramos momentos de exercícios sobre sistema de numeração,

35 31 sistema monetário, multiplicação, divisão, entre outros, na sequência em que ocorriam. Esta etapa foi importante para reunirmos cenas que estavam distantes, se considerarmos a linha cronológica dos registros durante a coleta, mas, ao mesmo tempo, próximas em relação à sua natureza. Eis o movimento de constituição da unidade de análise e episódios. A descrição, construída a partir dos dados que constituem a essência do fenômeno investigado, consistiu apenas em uma etapa da organização dos dados. Mas, em concernência com o método, precisávamos superá-la por meio da explicação. Neste momento, surgiram alguns questionamentos vivenciados, também, por outros pesquisadores, tais como: Quais são as abstrações necessárias para que se ascenda do concreto caótico para o concreto pensado? [...] Que unidade de análise é essa que não se deixa decompor e contém as propriedades do processo [...] como um todo? (ASBAHR, 2011, p. 117). Em outras palavras, na especificidade deste estudo, que unidade de análise é essa que possui todas as propriedades da natureza do conhecimento matemático dos estudantes pesquisados e que nos permite compreendê-lo? Para Davídov (1988), essa abstração deve abranger a conexão historicamente simples, contraditória e essencial do concreto. Ao considerarmos o isolado, a natureza do conhecimento dos estudantes do 3º ano do Ensino Fundamental, não podemos decompor a relação entre a lógica adotada e o processo de ensino e aprendizagem do conceito de multiplicação. Por isso, a elegemos como unidade de análise, como um isolado no interior de um isolado mais amplo, que é a natureza do conhecimento dos estudantes. Recorremos aos conceitos de isolado e unidade de análise para explicar a realidade investigada em um contexto específico, mas determinada pela totalidade de relações que a constitui. A determinação da unidade de análise deve-se ao fato de que, segundo Rigon et al. (2010, p. 65): A relação entre o processo de apropriação da cultura e o desenvolvimento humano objetiva-se por meio da aprendizagem em geral, ou ainda nas relações sistematizadas pelo processo educacional, que tem a função de criar condições para que os estudantes apropriem-se dos conhecimentos científicos e teóricos elaborados ao longo da história das ciências. Assim, a determinação da unidade de análise e isolados constitui-se em um primeiro passo para a análise da realidade investigada e possibilita-nos refletir sobre o modo de organização do processo de ensino e aprendizagem de Matemática, com ênfase no conceito de multiplicação, de modo a compreender como ocorre a apropriação do conhecimento destes estudantes, quais abstrações e generalizações são realizadas, que tipo de pensamento é desenvolvido, uma vez que, como afirmam Rosa, Moraes e Cedro (2010a, p. 67), o tipo de

36 32 pensamento que a organização do ensino permite ao estudante desenvolver é um dos fatores reveladores de como o conhecimento é apropriado dentro do ambiente escolar. Além da unidade de análise central/isolado, foram necessárias abstrações auxiliares para a compreensão do objeto de estudo. Vygotski (1999) aponta a necessidade de abstrações auxiliares na construção de sua Psicologia e enfatiza que o próprio Marx utilizou categorias mais simples para a compreensão de O Capital. Quais seriam os conceitos, as abstrações necessárias para explicar a natureza do conhecimento matemático dos estudantes? Na concepção de Longarezi e Franco (2013), o desenvolvimento do pensamento é resultado da atividade social humana e da apropriação da cultura. Assim, a lógica adotada no processo de ensino e aprendizagem de Matemática resulta/influencia, fundamentalmente, no tipo de generalização e abstração produzido pelos estudantes. Portanto, estas são nossas abstrações auxiliares e se encontram em movimento constante com a unidade de análise/isolado, como mostra a figura a seguir: Ilustração 1 - Interdependência entre unidade de análise/isolado e abstrações auxiliares Fonte: Elaborado pela autora, Após a delimitação dos unidade de análise/isolado e abstrações auxiliares, foi necessário voltar aos dados coletados com um novo olhar, no qual o objetivo consistiu em buscar interconexões entre cenas registradas durante o período de permanência em campo. Logo, neste contexto, iniciamos a constituição dos episódios, conceito abordado anteriormente.

37 33 Os episódios constituem-se como a estruturação e explicitação dos isolados e unidade de análise delimitada (SILVA; CEDRO, 2015). No primeiro episódio, tínhamos como objetivo analisar o movimento de formação do conceito de multiplicação. O registro deste movimento foi possibilitado pela utilização de um diário de campo. De acordo com Fiorentini e Lorenzato (2006, p ), é nele que o pesquisador registra observações de fenômenos, faz descrições de pessoas e cenários, descreve episódios ou retrata diálogos. Desse modo, para compor o primeiro episódio, o diário de campo foi o instrumento utilizado para selecionar cenas reveladoras do fenômeno investigado. O segundo episódio tinha por finalidade investigar as sínteses elaboradas pelos estudantes sobre o conceito de multiplicação. Os instrumentos utilizados para a constituição das cenas deste episódio foram as cópias das avaliações realizadas pelos estudantes e as conversas que tivemos com os mesmos para compreender o modo de resolução dos exercícios. A seguir, apresentamos um quadro de organização dos episódios e cenas: Quadro 1 - Organização dos episódios e cenas Unidade de análise Episódios Cenas Episódio 1 O movimento de formação do conhecimento referente ao conceito de multiplicação. Cena 1 A imagem dada diretamente aos órgãos do sentido: o ponto de partida. Cena 2 A síntese: uma abstração a partir dos traços substanciais. Cena 3 A tabuada: um modo de generalização.

38 34 A relação entre a lógica adotada e o processo de ensino e aprendizagem do conceito de multiplicação. Episódio 2 Um diálogo sobre o conceito de multiplicação. Cena 1 A ideia de multiplicação como soma de parcelas iguais Cena 2 Limites de uma generalização realizada a partir de uma abstração singular. Fonte: Elaborado pela autora, Cena 3 Os meios utilizados para a realização do cálculo. No presente capítulo apresentamos o objeto, o contexto de pesquisa e o método adotado. No capítulo a seguir, os fundamentos do Materialismo Dialético apresentados, serão explicitados a partir do relato das reflexões produzidas sobre o concreto caótico (dados coletados na pesquisa de campo), mediadas pelo abstrato (unidade de análise/isolado e abstrações auxiliares) que possibilitaram ascender ao concreto pensado.

39 35 2 ANÁLISE DO VIVIDO: O QUE OS ESTUDANTES TÊM A DIZER SOBRE O CONCEITO DE MULTIPLICAÇÃO? As palavras e os conceitos são vivos, escapam escorregadios como peixes entre as mãos do pensamento. E como peixes movem-se ao longo do rio da História. Há quem pense que pode pescar e congelar conceitos. Essa pessoa será quando muito um colecionador de ideias mortas (MIA COUTO, em Pensatempos). Apresentaremos, neste capítulo, os dados de pesquisa organizados com base na unidade de análise/isolado: a relação entre a lógica adotada e o processo de ensino e aprendizagem do conceito de multiplicação e nas abstrações auxiliares referentes ao tipo de generalização e abstração desenvolvidas pelos estudantes. Vigotski (2000) diz que nem todo o processo de escolarização implica no desenvolvimento psíquico do sujeito. Por isso, a delimitação dos isolados e unidade de análise, pois estes possibilitam refletir e explicar, para além da aparência, o modo de organização do processo de ensino e aprendizagem de Matemática. O movimento que se faz neste capítulo busca reconstruir a realidade investigada, a partir de um olhar sob a perspectiva da Teoria Histórico-Cultural, em um exercício de ascender à sua concretude. Na presente investigação, o questionamento que fundamenta a análise vai ao encontro daqueles vivenciados por Davýdov, qual seja: como ocorre o movimento de apropriação do conhecimento pelos estudantes? Para possibilitar as reflexões sobre a questão norteadora, apresentamos, a seguir, os episódios que constituem o objeto de estudo. 2.1 EPISÓDIO 1: O MOVIMENTO DE FORMAÇÃO DO CONHECIMENTO REFERENTE AO CONCEITO DE MULTIPLICAÇÃO A questão norteadora do processo de análise do presente episódio consiste em: qual a natureza das generalizações e abstrações produzidas pelos estudantes, a partir das aulas de Matemática, referentes ao conceito de multiplicação? Para tanto, apresentamos três cenas que se constituíram em momentos vivenciados em sala de aula, em que os estudantes são colocados diante de situações que nos possibilitam a reflexão sobre a formação do conhecimento

40 36 relacionado à multiplicação. Iniciamos com a primeira, na qual as representações objetais através das imagens aparecem como ponto de partida para a aprendizagem do conceito de multiplicação. Cena 1 A imagem dada diretamente aos órgãos do sentido: o ponto de partida Ilustração 2 - Exercício proposto pela professora e resolvido por Maria Fonte: Acervo da autora, O exercício (Ilustração 2) consiste na identificação do número total de flores nos vasos. Quantas são as flores em cada vaso? Quantos são os vasos? No total, são quantas flores? Trata-se da observação, na situação dada, das características comuns: a síntese a ser elaborada é que, quando houver dois (2) agrupamentos compostos por três (3) unidades cada, o total será seis (6). Como = 6, então 2 x 3 = 6. Por procedimento análogo resolve-se a segunda situação (DIÁRIO DE CAMPO, 2014). Segundo Davýdov (1982), a generalização, no ensino tradicional, consiste na descrição das características comuns, substanciais, que um objeto apresenta em meio a outros objetos semelhantes. O processo ocorre com base na comparação das características singulares, que são próprias de um objeto dado; as gerais são comuns a vários objetos (ROSENTAL, 1962). Essa descrição leva os estudantes, por meio da percepção imediata das características externas, atingirem a essência do objeto para a lógica formal. Nesta perspectiva de formação do conhecimento, as características dos objetos ou fenômenos são classificadas em dois grupos: o primeiro, das características essenciais e o

41 37 segundo constitui-se pelas acidentais, insubstanciais (LEFEBVRE, 1991). Assim, os vasos de flores podem ser substituídos por árvores, balas, animais ou qualquer outro objeto, portanto, fazem parte do grupo de atributos insubstanciais, acidentais. Isto porque, de acordo com Davídov (1988) a separação de certa qualidade essencial, como comum, inclui sua separação de outras qualidades. No processo de ensino, a palavra do professor organiza a observação dos alunos, precisando o objeto da observação, orienta a análise para diferenciar os aspectos essenciais dos fenômenos daqueles que não são e, finalmente, a palavra-termo, sendo associada aos traços distinguidos, comuns para toda uma série de fenômenos, se converte em seu conceito generalizador (DAVÍDOV, 1988, p ). No exercício em análise, o foco da observação não é a cor ou tamanho das flores e vasos, pois estas são propriedades insubstanciais. Todavia, a quantidade que compõe cada agrupamento é invariável, essencial. Pinto (1969, p. 177) afirma que a lógica formal está perfeitamente habilitada a dar conta dessa missão elementar de identificar as características externas dos objetos, próprias do pensamento empírico. No entanto, quando se trata de revelar as relações internas, a lógica formal é insuficiente (BERNARDES, 2011). Além disso, no exercício apresentado na ilustração 3, o professor propõe uma nova situação com características substanciais e insubstanciais semelhantes àquele apresentado anteriormente (Ilustração 3): Ilustração 3 - Adição de quantidades iguais Fonte: Acervo da autora, O exercício (Ilustração 3) consiste na mesma proposta apresentada no anterior. Aqui se enfatiza a necessidade de comparação entre soma de parcelas iguais e sua relação com a multiplicação (DIÁRIO DE CAMPO, 2014). Eis a objetivação do princípio do caráter

42 38 visual (direto ou intuitivo) no ensino, isto porque atende ao reflexo sensorial das características externas dos objetos. Segundo Davídov (1987, p. 148, tradução nossa), esse princípio é externamente simples, até banal, se, de fato, a prática de sua aplicação não fosse tão séria (e, para o desenvolvimento mental, tão trágica), como é na realidade. Para o referido autor, este princípio desenvolve, exclusivamente, a formação, nas crianças, do pensamento empírico: Como material de partida para todos os níveis de generalização servem os objetos e fenômenos singulares, sensorialmente perceptíveis, do mundo que nos rodeia. No processo docente, se ensina às crianças a maneira de observar consequentemente essa diversidade sensorial concreta de objetos e fenômenos, assim como também a explicar de forma oral os resultados das observações. De modo gradual as crianças adquirem a faculdade, por uma parte, de efetuar a descrição oral dos objetos sobre a base de impressões anteriores, apoiando-se nas representações visuais, auditivas e táteis motoras; e por outra, seguindo a narração verbal e as indicações do mestre, desenhando as adequadas representações ilustrativas dos objetos com os quais não têm uma relação direta (DAVÝDOV, 1982, p. 22, tradução nossa). Cabe salientar, além disso, que exercícios como estes possibilitam ao estudante operar somente com aquilo que memorizou na esfera singular. Os exercícios que precederam a estes possuem a mesma generalização empírica, qualquer situação diferente não é possível de ser resolvida. Ainda para Davýdov (1982, p. 155, grifo no original tradução nossa): [...] os escolares especialmente os primários resolvem com inteiro acerto somente problemas do tipo que eles conhecem e cuja identificação prévia é a premissa fundamental para reproduzir o método resolutivo concreto que antes assimilaram. Com toda a complexidade deste trabalho já que por si, ela não passa dos marcos do pensamento classificante e empírico. A essência, no ensino tradicional, incide nas propriedades comuns, similares, as quais fundamentam o pensamento empírico (DAVÝDOV, 1982). Assim, a característica dos exercícios anteriormente analisados (Ilustrações 2 e 3) leva os estudantes a atingirem a seguinte essência: = 8 e que, consequentemente, 4 x 2 = 8. Não importam os objetos, sempre que houver quatro grupos compostos por duas unidades cada, o procedimento de cálculo e o resultado será esse. Essa síntese é generalizada para agrupamentos compostos por outras quantidades que se repetem, ou seja, a essência (quantidade) continua a mesma em todos os exercícios. Na concepção de Hobold (2014), [...] em cada situação conclui-se, por meio da comparação, que a adição de parcelas iguais pode ser representada por meio de outra operação: a multiplicação. O domínio desses procedimentos é um caso particular do processo de generalização, cujo resultado é o conceito de multiplicação (HOBOLD, 2014, p. 43).

43 39 O problema é que essências como essas, [...] tomadas em seu melhor sentido (em compreensão), são essências fixas, coaguladas, e cada essência aparece ao exame como uma coleção de qualidades justapostas, exteriores, numa ordem de generalidade crescente (LEFEBVRE, 1991, p , grifo do autor). Nesse sentido, o processo de abstração é um componente da generalização, já que busca o desenvolvimento da capacidade de abstração do sujeito tendo como base certos atributos particulares invariantes do objeto ou fenômeno (ROSA; MORAES; CEDRO, 2010a, p ). Os exercícios em análise nessa primeira cena, correspondentes à introdução do conceito de multiplicação no processo de ensino aprendizagem, acenam para a formação do conhecimento empírico, predominante na educação escolar brasileira (ROSA, 2012). Em outras palavras, aproximam-se do modo pelo qual a lógica formal propõe a tríade abstração, generalização e conceito. Cena 2 A síntese: uma abstração a partir dos traços substanciais Após a realização de exercícios semelhantes aos destacados na cena 1, os estudantes são apresentados à síntese do conceito de multiplicação: Ilustração 4 - Conceito de multiplicação Fonte: Acervo da autora, Neste momento, o foco continua na soma de parcelas iguais. A síntese anterior (Ilustração 4) é apresentada por meio de uma cópia que os estudantes colam em seus cadernos (DIÁRIO DE CAMPO, 2014). Desse modo, o conceito se expressa por palavras que se

44 40 abstra[em] de regras e atributos individuais, de diversas percepções e representações, é, portanto, o resultado de uma síntese de percepções e representações de fenômenos e objetos homogêneos (NIKITIN; RYPASOV, 1963 apud DAVÝDOV, 1982, p. 25, tradução nossa). Trata-se, na verdade, de um pseudoconceito revelado por Vygotski (2001) ao analisar o processo de internalização de conceitos com base no estudo experimental sobre as fases de desenvolvimento do pensamento. Para o autor, esse processo ocorre em três principais fases: pensamento sincrético, pensamento por complexo e conceitos propriamente ditos. Ao tomar para a análise o conceito apresentado aos estudantes sobre multiplicação, nosso foco ficará na fase do pensamento por complexo. Nesta fase, Vygotski (2001) afirma que as estruturas de generalização da criança [...] recorda[m] em sua aparência externa aos conceitos utilizados pelo adulto em sua atividade intelectual, a essência da sua natureza psicológica é muito diferente do verdadeiro conceito (VYGOTSKI, 2001, p. 146, tradução nossa). Por isso, pseudoconceito, que apoiando-se nas observações, refletem nas representações as propriedades externas dos objetos (DAVÍDOV, 1988, p. 154, tradução nossa). Segundo Vygotski (2001), [...] o pseudoconceito se parece tanto a um verdadeiro conceito, como a baleia a um peixe. Porém, se recorremos à origem das espécies das formas intelectuais e animais, não duvidamos em incluir o pseudoconceito no pensamento por complexo, como incluímos a baleia entre os mamíferos (VYGOTSKI, 2001, p. 149, grifo do autor). Os pseudoconceitos constituem-se como uma fase no processo de formação de conceitos. Posteriormente, deverão ser superados pelos conceitos propriamente ditos, não necessariamente numa sequência linear (VYGOTSKI, 2001). O desenvolvimento de conceitos verdadeiros envolve a análise, a síntese e a abstração, [...] quando uma série de atributos que têm sido abstraídos se sintetizam de novo e quando a síntese abstrata conseguida desse modo se converte na forma fundamental do pensamento, através do qual a criança percebe e atribui sentido a realidade que lhe rodeia (VYGOTSKI, 2001, p. 169). Essa ascensão aos conceitos propriamente ditos, os científicos, só é possível por meio da abstração e generalização substanciais, enquanto os empíricos são formados de acordo com os fundamentos da lógica formal, a partir de generalizações e abstrações empíricas. Nessa ótica, primeiramente, há necessidade de selecionar vários objetos os quais possuem características comuns substanciais. Em seguida, é preciso nomear essas características agrupadas em uma classe. E, por fim, o próximo passo é o significado não estar estritamente relacionado com a presença imediata dos objetos, mas com uma imagem geral dos mesmos

45 41 (DAVÝDOV, 1982). Ou seja, a imagem, no plano mental lembra aquela do plano objetal no que esta tem de substancial. Os traços insubstanciais são abstraídos. Isso porque: [...] fora do homem e de seu pensamento existem objetos singulares concretos, e estes se oferecem em toda individualidade e concretização para os órgãos dos sentidos do homem. Todo objeto existe no tempo e no espaço, possui corporeidade, forma e demais atributos. E na infinita pluralidade de suas manifestações individuais, cada objeto dado por ser análogo em algo a outros objetos, mas estas circunstâncias de fato não acrescentam nada para sua existência efetiva nem tampouco a diminui em nada. Certos, segundo essa propriedade de analogia, objetos soltos após comparação podem unir-se em classes (DAVÝDOV, 1982, p. 57 grifos do autor, tradução nossa). Desse modo, ao comparar objetos soltos e estabelecer características análogas, podemos agrupá-los em classes, ao considerarmos características comuns. É o que apresentaremos a seguir, na cena referente às tabelas de multiplicação (Tabuada). Cena 3 A tabuada: um modo de generalização A identificação de características comuns entre objetos e o agrupamento das mesmas em classes é um procedimento fundamentado na lógica formal, para obtenção de conhecimento, conforme expressam as tabelas de multiplicação (Ilustração 5). Ilustração 5 - Tabelas de multiplicação Fonte: Acervo da autora, 2014.

46 42 Na ilustração (5) há uma variedade de multiplicações na qual a essência continua a mesma: soma de parcelas iguais. Assim, podem-se destacar algumas características comuns por meio da análise da composição externamente dada: soma de parcelas iguais; o multiplicando é um valor invariável em cada tabuada; o multiplicando indica a quantidade de vezes que o multiplicador se repete (DIÁRIO DE CAMPO, 2014). Estas características comuns constituem, segundo Davýdov (1982), o conteúdo do conceito, na lógica formal, denominado por uma palavra ou conjunto de palavras, como, por exemplo, tabelas de multiplicação ou tabuada. Nesse sentido, o conteúdo do conceito é o conjunto de características substanciais dos diversos objetos homogêneos representados no mesmo (DAVÝDOV, 1982, p. 49, tradução nossa). Hobold (2014, p. 67) explica que: O atributo pertencente a um objeto isolado não é por si, nem geral nem particular. Este ato (de atribuir característica) só é viável no plano mental, em seu conceito. Neste caso, as tabelas de multiplicação só podem ser associadas à classe de sucessão numérica no plano conceitual, pois carecem de relação interna. Nessa segunda cena a generalização também consiste no ato de destacar alguns atributos estáveis (soma de parcelas iguais) que se repetem. Assim, no processo de generalização tem lugar, por uma parte, a busca e designação com a palavra de certo invariante na multiplicidade de objetos e suas propriedades; por outra, o reconhecimento dos objetos da multiplicidade dada com a ajuda do invariante separado (DAVÍDOV, 1988, p. 100). No processo de ensino e aprendizagem investigado, há uma preocupação com a memorização da tabuada. Mas, mesmo após a apresentação da tabela de multiplicar, são desenvolvidos exercícios que envolvem a representação direta das quantidades, sempre referentes a grandezas discretas. Tal como podemos verificar no exercício (Ilustração 6) sobre dobro, triplo, quádruplo e quíntuplo (DIÁRIO DE CAMPO, 2014).

47 43 Ilustração 6 - Dobro, triplo, quádruplo e quíntuplo Fonte: Acervo da autora, O pensamento por imagens diretamente dadas é o foco de vários exercícios. Hobold (2014) também evidenciou esse aspecto ao analisar a proposição da coleção de livros didáticos mais utilizados na 36ª Gerência Regional de Educação 10 (GERED) para o ensino do conceito de multiplicação. A escola, contexto da pesquisa em tela, não pertence à região dessa GERED, porém os resultados da investigação de Hobold (2014) são semelhantes aos detectados na presente investigação até o momento. Em seus estudos sobre a educação tradicional, Davýdov (1982) aborda essa questão e lembra que o ensino, com base na lógica formal, é organizado em consonância com a faixa etária do estudante. Dessa forma, em cada etapa de ensino, há que se seguir o desenvolvimento correspondente à respectiva faixa etária dos estudantes. Por exemplo, na Educação Infantil e Anos Iniciais, uma destas características é o uso de imagens, das representações diretas do objeto. Trata-se do princípio da acessibilidade (DAVVÍDOV, 1982). Segundo este princípio, em cada etapa do ensino, propomos aos estudantes aquilo que são capazes de assimilar de acordo com sua idade [...] a medida dessa capacidade se formou espontaneamente na prática 10 A referida GERED tem sua sede no município de Braço do Norte, sul de Santa Catarina.

48 44 real do ensino tradicional (DAVÍDOV, 1987, p. 146, tradução nossa). As capacidades da criança são subestimadas, pois quem pode determinar o que ela pode ou não aprender? [...] o ensino utiliza unicamente as possibilidades já formadas e presentes na criança, em cada caso se pode, então, limitar tanto o conteúdo do ensino como as exigências apresentadas à criança a este nível real presente sem responsabilizar-se por suas premissas. Naturalmente, assim se pode justificar a limitação e a pobreza do ensino primário, apelando a características evolutivas da criança de sete anos, por exemplo, o pensamento por imagens que se apoia em representações elementares (DAVÍDOV, 1987, p. 147, tradução nossa). É com base nesse princípio de acessibilidade que o ensino, na perspectiva da pedagogia tradicional, justifica que o conhecimento deve partir das experiências empíricas vivenciadas pelos estudantes. Para que isso ocorra, são possibilitados dados perceptíveis aos órgãos dos sentidos. Nesse processo, cabe ao estudante observar e extrair os indícios comuns existentes e, consequentemente, formular o conceito do objeto. Nas palavras de Davýdov (1982) observamos que a percepção direta das imagens [...] facilita o processo de formulação dos conceitos abstratos [...] (DAVÝDOV, 1982, p. 42, tradução nossa), porém empíricos. Nesse nível dos conceitos abstratos, no processo de ensino e aprendizagem investigado, os estudantes receberam uma cópia de tabelas de multiplicação intitulada, também, de tabuadas. Essa cópia é colada no caderno para que pudessem consultá-la durante a resolução das questões referentes ao conceito de multiplicação. Em seguida a professora propõe a resolução do exercício apresentado na ilustração 7 (DIÁRIO DE CAMPO, 2014). Ilustração 7 - Para além do estágio de representação (resolvido por Antônia) Fonte: Acervo da autora, 2014.

49 45 O exercício da ilustração (7) corrobora aquilo que Vietrov (1959) considera como desarticulação do conceito com a imagem do objeto. Para esse autor, na lógica formal, se não somos capazes de fazer isso, nos encontramos no estágio da representação (VIETROV, 1959 apud DAVÝDOV, 1982, p. 64, tradução nossa). Com esse método de formação de conceitos, os estudantes superam a experiência sensorial e estabelecem relações que não podem ser evidenciadas diretamente pelos órgãos dos sentidos, o que poderíamos chamar de uma abstração formal das propriedades comuns. Assim, conforme refletimos até o momento, mesmo nos limites dos fundamentos da lógica formal há um movimento de formação do conhecimento que apresentamos em síntese a título de conclusão do presente episódio. Ilustração 8 - O processo de elaboração do conhecimento na lógica formal Fonte: Elaborado pela autora, Até o presente momento analisamos o primeiro episódio que denominamos de O movimento de formação do conhecimento referente ao conceito de multiplicação. Na sequência apresentaremos as três cenas referentes ao segundo episódio.

50 EPISÓDIO 2: OLHOS NOS OLHOS UM DIÁLOGO SOBRE MULTIPLICAÇÃO A partir da análise do episódio anterior emergem alguns questionamentos: o que pensam os estudantes sobre a multiplicação? Qual foi a aprendizagem? O que ficou? Como os estudantes operam com o conceito de multiplicação? A fim de responder a esses questionamentos, analisamos, no presente episódio, as respostas apresentadas pelos estudantes para as questões referentes à multiplicação de duas avaliações propostas pela professora. Além disso, também consideramos o diálogo, dos estudantes com a pesquisadora, sobre o raciocínio por eles adotado. Para tanto, selecionamos as seguintes cenas: A ideia de multiplicação enquanto soma de parcelas iguais; Limites de uma generalização a partir de uma abstração singular; Os meios utilizados para a realização do cálculo. Cena 1 A ideia de multiplicação enquanto soma de parcelas iguais Hoje os estudantes realizarão a primeira avaliação sobre o conceito de multiplicação. Eles chegam à sala falando sobre a tabuada. Em seguida, Maria diz ao conversar com algumas colegas: A pior coisa que tem é prova de Matemática. A avaliação aborda questões sobre o folclore brasileiro, tema das últimas aulas devido ao dia do folclore (22 de agosto). A professora entrega a avaliação e faz a leitura, com os estudantes, das questões propostas. Em sua explicação, relembra algumas considerações sobre a multiplicação: - Quando eu quero saber o dobro o que eu tenho que fazer? Eu vou somar o valor duas vezes. Em seguida, cada estudante realiza a avaliação em silêncio (DIÁRIO DE CAMPO, 2014). A epígrafe refere-se ao registro do dia em que foi realizada a primeira avaliação do segundo semestre letivo. Após a avaliação conversamos com os estudantes individualmente sobre as respostas para as três questões referentes ao conceito de multiplicação. Nos dois primeiros exercícios, dos 16 estudantes, cerca de 80% chegaram à resposta correta e explicaram de modo semelhante ao que diz Clara:

51 47 Ilustração 9 - Primeiras questões sobre multiplicação nas avaliações Fonte: Acervo da autora, Pesquisadora: - Você pode me explicar como chegou à resposta nesse exercício? Clara: - Aqui era de dobro e triplo, porque já tava [sic] dizendo ali. Aí eu fiz 12 x 3 que é a mesma coisa que e deu 36. Depois 8 x 2 que é a mesma coisa que e deu 16. (Entrevista com Clara, agosto de 2014) Já a terceira questão da avaliação, sobre o conceito de multiplicação, consistia em realizar o cálculo e, posteriormente, informar o raciocínio adotado para chegar à resposta:

52 48 Ilustração 10 - Cálculo para chegar à resposta Fonte: Acervo da autora, Por considerarmos que as questões (Ilustrações 9 e 10) possuem a mesma essência: soma de quantidades iguais, optamos por realizar a análise conjunta de ambas. Assim, inicialmente, é preciso relacionar o que é considerado conteúdo nas aulas de Matemática (multiplicação) com o de outras disciplinas e na vida, fora da escola, no caso específico dessas questões, o folclore. Para Davídov (1987), trata-se do princípio do caráter sucessivo, comum ao ensino tradicional. A característica deste princípio é priorizar a relação entre os conceitos a serem aprendidos, em situação escolar, com aquilo que a criança já conhece.

53 49 A depender do movimento de abstração e generalização, pode não apresentar muitas vantagens, em função da indistinção entre os conceitos científicos e os cotidianos, a aproximação exagerada entre a atitude propriamente científica e a cotidiana diante das coisas (DAVÍDOV, 1987, p. 146, tradução nossa). Cabe ressaltar, também, aquilo que considera-se como articulação do conceito, isto porque Davídov (1988, p. 110, tradução nossa) afirma que A psicologia pedagógica [...] recomenda aos professores utilizar a experiência empírica cotidiana de familiarização dos estudantes com as coisas e fenômenos como base para que apropriem-se dos conhecimentos escolares. Com isto, reconhece-se, de fato, a homogeneidade tanto do conteúdo como do procedimento de apropriação dos conhecimentos na infância pré-escolar e durante o ensino escolar [...]. Outro aspecto que pode ser destacado das ilustrações anteriores é a relação que os estudantes efetuam da multiplicação como soma de parcelas iguais. Dos dezesseis (16) estudantes que realizaram a avaliação, sete (7) deles afirmaram ter utilizado o cálculo para responder à questão proposta. Além destes, outros estudantes preferiram apagar o x marcado nesta opção e marcar a opção 11 x 3. Mas a essência da multiplicação que ficou para os estudantes incide na soma de parcelas iguais que se repete na próxima cena. O questionamento que fica é: e quando o valor do multiplicando for maior? Por exemplo, 1000 x 11? Cena 2 Limites de uma generalização realizada a partir de uma abstração singular Na segunda avaliação realizada, uma das questões (Ilustração 11) consiste em determinar a idade de Ana, sabendo que a mesma é o dobro da idade de Maria, que tem quatro anos. Ilustração 11 - Quantos anos tem Ana? Fonte: Acervo da autora, 2014.

54 50 Na conversa realizada com os estudantes, individualmente, após a avaliação, a essência das respostas é sempre a mesma, conforme as três apresentadas na sequência: Pesquisadora: Você pode me explicar o porquê da resposta oito anos? Maria: É porque aqui era o dobro, aí tinha que fazer a continha de dobro. Pesquisadora: Mas como é essa conta de dobro? Maria: É que tem que fazer vezes o 2, aí eu fiz e 4 mais 4 é oito. (Entrevista com Maria, setembro de 2014) Pesquisadora: Você pode me explicar como fez essa questão da idade das meninas? Laura: Ah, essa é bem fácil, né [sic]! É que é de dobro, aí a tia disse que quando for dobro é duas vezes o número. Aí quatro mais quatro é [sic] oito, né [sic]? (Entrevista com Laura, setembro de 2014). Pesquisadora: Por que você considerou que a resposta era oito anos? Lucas: Porque duas vezes o quatro é oito, quatro mais quatro (Entrevista com Lucas, setembro de 2014). A fala dos estudantes confirma a generalização da abstração realizada a partir das características substanciais externamente dadas. Isso porque na pedagogia tradicional, [...] primeiro, os estudantes apropriam-se formalmente do conceito como produto pronto e acabado, depois desenvolvem ações mentais que permitem sua aplicação em situações semelhantes (PUENTES; LONGAREZI, 2013, p. 255). Nesse sentido, Davýdov (1982, p. 15, tradução nossa) afirma que com base em um grande número de fatos adequadamente selecionados, nasce a ideia abstrata, generalizadora, de um dos atributos que estão associados ao conceito. É importante ressaltar que na especificidade do objeto de estudo este atributo é a soma de parcelas iguais. Trata-se de uma generalização sustentada na abstração de uma singularidade em detrimento da abstração realizada a partir da relação geneticamente inicial, universal, do conceito teórico. Mas a pergunta que ainda persiste é: como os estudantes operam com o conceito de multiplicação? Para buscar respostas para esse questionamento selecionamos a última cena que compõe este episódio, que será apresentada a seguir. Cena 3 Os meios utilizados para a realização do cálculo Quando escolhemos esta cena para finalizar o capítulo de análise dos dados desta investigação, pensamos na ideia essencial apresentada por Moura (2004) na constituição dos episódios: o pesquisador, tal como o produtor de cinema, é que faz a leitura das várias ações à procura de interdependências. Vale a ênfase, apesar de já termos apresentado tal ideia do referido autor porque a leitura que fizemos desta última cena assemelha-se, em partes, ao

55 51 produtor de cinema ao narrar o final de um filme. Isto porque, diante do caminho percorrido para explicar como os estudantes aprenderam o conceito de multiplicação, percebemos que a síntese realizada pelos mesmos pode ser explicitada por meio das imagens e falas que apresentaremos a seguir através das questões referentes ao conceito de multiplicação extraídas da segunda avaliação: Ilustração 12 - Quantas rodas podemos contar? Fonte: Acervo da autora, A questão (Ilustração 12) consiste na determinação da quantidade de rodas no pátio da escola onde estavam estacionadas 25 bicicletas. Luísa não apresenta a sentença matemática (S.M.) solicitada, apenas o algoritmo (25 x 5 = ) e a resposta não correspondente ao mesmo, mas responde ao problema de forma correta. Quando questionada sobre o modo como chegou a esta resposta explica: Pesquisadora: Como você chegou a essa resposta [cinquenta rodas]? Luísa: Aqui eu ia fazer a continha, mas eu não sabia vezes o que, tipo [sic] se era cinco vezes o vinte e cinco, aí eu fiz no rascunho os palitinhos e contei 2, 4, 6, porque cada bicicleta tem duas rodas. Aí eu fui contando e riscando os palitinhos (Entrevista com Luísa, setembro de 2014). Luísa também utilizou riscos (palitos) ou dedos na resolução das outras questões da avaliação, assim como os demais colegas, conforme o rascunho utilizado por Luiz:

56 52 Ilustração 13 - Rascunho de Luís Fonte: Acervo da autora, Pesquisadora: - Como você resolveu a questão 23 x 3? Lucas: - É que eu contei três, mais três, mais três, mas aí eu não sabia fazer. Eu não respondi porque eu não lembrava da tabuada do três (Entrevista com Lucas, agosto de 2014). Trata-se de riscos representativos de qualquer objeto (flores, rodas, presentes...). Para realizar a operação Lucas utiliza riscos agrupados de três em três. Entretanto, em determinado momento ele se dá conta de que a operação requer muitos agrupamentos (23) e desiste. Inicia o cálculo do algoritmo, mas também desiste e entrega a avaliação sem concluir o cálculo. Os rascunhos de outros estudantes evidenciam situações semelhantes, como é o caso de Guilherme (Ilustração 14). Ilustração 14 - Rascunho Guilherme Fonte: Acervo da autora, Alguns rascunhos contemplam a utilização dos riscos, outros estudantes preferiam apagar antes de entregá-lo para a professora, mas ficaram as marcas e há, ainda, aqueles que

57 53 utilizam a mesa para registrá-los. Durante as conversas com a pesquisadora, para explicarem o raciocínio adotado, estes mesmos estudantes, utilizavam os dedos em substituição aos riscos. Desse modo, os dedos e os riscos representam os objetos apresentados nos enunciados dos exercícios desenvolvidos em sala de aula ou nas questões da prova. Em síntese, a elaboração do conhecimento segue o esquema percepção - representação - conceito. A percepção refere-se aos objetos organizados, explicitamente, consoante a situação singular. A representação, por sua vez, incide nas imagens abstraídas decorrentes do processo de observação direta dos objetos. Assim, os riscos e os dedos são representantes de flores, lápis, bolas... ou qualquer outro objeto mencionado no enunciado. Na tentativa de explicar o que fizeram, os estudantes reproduzem a fala da professora ou aquilo que está escrito nos exercícios realizados em sala de aula, ou seja, o emprego específico da palavra. Por isso, a aprendizagem, no sentido vigotskiano (VIGOTSKI, 2000), não ocorre. Como mencionamos no decorrer da análise, o ponto de partida da abstração realizada pelos estudantes é a percepção direta sobre o objeto. Esse movimento contempla apenas a aparência externa. Em sua obra, Davýdov critica a escola tradicional, na qual predomina o método intuitivo, na dimensão empírica. Segundo Davídov (1987), esse tipo de conhecimento, [...] tem um caráter classificador, catalisador e assegura a orientação da pessoa no sistema de conhecimentos já acumulados sobre as singularidades e os traços externos de objetos e fenômenos isolados da natureza e da sociedade. Tal orientação é indispensável para fazeres cotidianos, durante o cumprimento de ações laborais rotineiras, porém é absolutamente insuficiente para assimilar o espírito autêntico da ciência contemporânea e os princípios de uma relação criativa, ativa e de profundo conteúdo em face da realidade (DAVÍDOV, 1987, p. 144, tradução nossa). Esse conhecimento predomina não só no processo de ensino e aprendizagem investigado. Trata-se de uma realidade nacional, tal como afirmam outros pesquisadores brasileiros (HOBOLD, 2014; DAMAZIO; ROSA; EUZÉBIO, 2012). Como anunciado no capítulo I da presente dissertação, seguimos os três princípios investigativos vygotskianos: análise de processos e não de objetos; explicação e não apenas descrição; estudo do problema do comportamento fossilizado. Ao considerar o princípio referente à análise de processos e não objetos, Vygotsky (1988, p. 81) elucida que a análise psicológica quase sempre tratou os processos como objetos estáveis e fixos. Contudo, o autor ressalta que qualquer processo de desenvolvimento psicológico sofre alterações a olhos vistos. Com isso, é preciso considerar o fenômeno em sua historicidade e materialidade. Para tanto, consideramos o objeto de estudo (conhecimento

58 54 matemático referente ao conceito de multiplicação) no contexto em que esse se materializa: a sala de aula. A pesquisa de campo ocorreu durante quatro meses do segundo semestre de Desse modo, não nos detivemos à análise de objetos (exercícios e avaliações realizadas), mas, sim, desses exercícios e avaliações em seu processo de constituição. No decorrer da elaboração do presente capítulo, buscamos a explicar e não apenas descrever os dados coletados. Vigotski (1995) compreende que estudar um problema em seu desenvolvimento se dá desde a revelação de sua gênese e suas bases dinâmico-causais: O tipo de análise objetiva que defendemos procura mostrar a essência dos fenômenos psicológicos ao invés de suas características perceptíveis (VIGOTSKI, 1995, p. 72). No esforço pela explicação do fenômeno surgiu a necessidade do estudo da lógica que orienta a constituição do conhecimento no processo de ensino e aprendizagem investigado, a lógica formal e suas relações de aproximações e/ou distanciamentos com a lógica dialética. Quanto ao terceiro princípio, de acordo com Vigotski (1995), os comportamentos fossilizados são aqueles que perderam sua aparência original, sua gênese, ao longo de seu desenvolvimento: [...] são as formas psicológicas petrificadas, fossilizadas, originadas em tempos remotíssimos, nas etapas mais primitivas do desenvolvimento cultural do homem, que se conservaram de maneira surpreendente, como vestígios históricos em estado pétreo e ao mesmo tempo vivo na conduta do homem contemporâneo (VIGOTSKI, 1995, p. 63). Como pesquisar determinado fenômeno no qual sua origem não está dada no momento em que este ocorre, mas nas etapas primitivas do desenvolvimento cultural da humanidade? Para responder a tal questionamento, recorremos a Vigotski (1995), quando se refere à compreensão do processo de desenvolvimento psicológico: Podem-se distinguir, dentro de um processo geral de desenvolvimento, duas linhas qualitativamente diferentes de desenvolvimento, diferindo quanto a sua origem: de um lado, os processos elementares, que são de origem biológica; de outro, as funções psicológicas superiores, de origem sócio-cultural. A história do comportamento da criança nasce do entrelaçamento dessas duas linhas. A história do desenvolvimento das funções psicológicas superiores seria impossível sem um estudo de sua préhistória, de suas raízes biológicas, e de seu arranjo orgânico. As raízes do desenvolvimento de duas formas fundamentais, culturais, de comportamento, surgem durante a infância: o uso de instrumentos e a fala humana. Isso, por si só, coloca a infância no centro da pré-história do desenvolvimento cultural (VIGOTSKI, 1995, p. 52). Se a infância está no centro da pré-história do desenvolvimento cultural, o que está no centro da pré-história da cultura matemática? Desse contexto emerge outro questionamento:

59 55 como resolveram os homens o problema da contagem? Se este for respondido, encontraremos, consequentemente, a resposta para o questionamento anterior. Caraça (2002) lembra que: [...] para pequenas coleções de objetos, é habitual contar-se pelos dedos, e este fato teve grande influência no aparecimento dos números, não é verdade que o nome dígito, que designa os números naturais de 1 a 9, vem do latim digitus que significa dedo? Mas há mais: - a base do nosso sistema de numeração é 10, número de dedos das duas mãos [...] alguns dizem duas mãos em vez de 10, um homem inteiro em vez de 20 [...]. Noutros ainda nem existem nomes de números quando se quer exprimir uma quantidade, fazem-se gestos com as mãos (CARAÇA, 2002, p. 5, grifo do autor). Posteriormente, mas ainda em tempos remotíssimos, os símbolos escritos eram riscos que representavam o número correspondente aos dedos estendidos (EVES, 2007). A orientação para a utilização dos dedos e de riscos, segundo Rosa (2012, p. 192), também aparece nos livros didáticos brasileiros: Para resolver a operação =, por exemplo, as crianças estendem dois dedos em uma mão e três na outra, para saber o resultado contam o total de dedos estendidos: 1, 2, 3, 4, 5. Ou ainda fazem 2 riscos, mais 3 riscos e contam o total de riscos (5): + =. O mesmo ocorre na operação inversa, a subtração. Em 5 3 =, por exemplo, estende-se 5 dedos e baixa-se 3, o resultado é a quantidade de dedos que ficou estendida. Ou ainda, por meio de riscos, faz-se 5 riscos e cortam-se 3, o número de riscos sem cortes (2) corresponde ao resultado: (ROSA, 2012, p. 192). Isso significa dizer, de acordo com a autora em referência, que tal proposição possibilita a reprodução, no processo de ensino e aprendizagem, do estágio inicial do desenvolvimento do conceito de número pela humanidade em detrimento de seu estágio atual, tal como propõem os fundamentos da Teoria Histórico-Cultural (ROSA, 2012, p. 192). A contagem por meio dos dedos é um procedimento fossilizado. Sua origem histórica é obscurecida. É um comportamento petrificado, como diz Vigotski (1995), originado em tempos remotos, mas vivo no homem contemporâneo. Em outras palavras, a origem da contagem através dos dedos e riscos corresponde à pré-história do conhecimento matemático. Objeto matemático reconhecido como, possivelmente, o mais antigo da humanidade, datado aproximadamente de anos a. C., sugere tentativas pré-históricas de quantificação. Trata-se de um osso com alguns entalhes, conforme a ilustração 15:

60 56 Ilustração 15 - Riscos no processo de contagem dos povos primitivos Fonte: MATEMÁTICA..., Os estudantes contemporâneos, colaboradores da pesquisa, por sua vez, utilizam, no lugar do osso a folha de papel e, no lugar da pedra para marcar o osso, o lápis, conforme ilustração 16. Ilustração 16 - Riscos utilizados como instrumento de cálculo Fonte: Acervo da autora, Portanto, o procedimento de contagem adotado pelos estudantes para determinar o resultado das operações por meio de riscos tem sua origem há anos. Mas, é errado então contar nos dedos ou com auxílio dos riscos? A resposta depende da teoria que a sustenta. De acordo com os Fundamentos da Teoria Histórico-Cultural, em especial da proposição davydoviana, mencionada no capítulo introdutório da presente dissertação, os estudantes devem ir à escola para aprender aquilo que não lhes é acessível em casa, na rua e nas brincadeiras entre amigos. Desse modo, em situações extraescolares, no período pré-escolar, as crianças aprendem a contar nos dedos ou com apoio de objetos. Cabe ressaltar, portanto, que a contagem com dedos ou riscos consiste em uma etapa importante na apropriação dos conceitos matemáticos, entretanto ela precisa ser superada na idade escolar. Isto porque, o pensamento teórico de qualquer época é um produto histórico

61 57 que em períodos distintos adquire formas diversas e assume, portanto, um conteúdo muito diferente (DAVÍDOV, 1988, p. 160). Nesse sentido, o ensino escolar de acordo com a orientação davydoviana (DAVÝDOV, 1982; DAVÍDOV, 1988), deve proporcionar às crianças conceitos genuinamente científicos em nível contemporâneo, desenvolver o pensamento teórico e as capacidades para o sucessivo domínio, independente do número sempre ascendente de novos conhecimentos científicos em desenvolvimento pela ciência. Entretanto, é possível que nos perguntem: Mas, o pensamento teórico será desenvolvido, em sua totalidade, no terceiro ano escolar? Compreendemos, de acordo com Davidov (1982) que a apropriação do conhecimento teórico estrutura a formação do pensamento teórico. Desse modo, se a organização do processo de ensino e aprendizagem reforça o desenvolvimento do pensamento empírico, tipo de pensamento pautado nos aspectos externos e observáveis dos objetos e fenômenos e, como tal desenvolve-se independentemente da escolarização do sujeito (ROSA, MORAES, CEDRO, 2010, p. 80), não há indícios da superação, por meio do conhecimento teórico, dos dados obtidos da atividade sensorial das pessoas. Em outras palavras, no terceiro ano escolar, os estudantes permanecem nos limites da formação do pensamento empírico. Para a formação do pensamento teórico, fazem-se necessárias abstrações e generalizações sustentadas nas relações internas, universais dos conceitos. Assim, as representações dos mesmos são constituídas por modelos teóricos abstratos que em nada lembram a aparência externa dos objetos, mas que lhes dá origem. Este movimento proposto por Davýdov e colaboradores é que apresentaremos, no contexto de uma situação desencadeadora de ensino tal como propõe Moura (2004), no próximo capítulo.

62 58 3 ONDE ESTÁ A SAÍDA? Onde está a saída? Na área da teoria é impossível. A verdadeira solução deste problema requer mudar, substancialmente, a própria prática sócio pedagógica da educação e ensino das gerações em crescimento (DAVÍDOV, 1988, p. 61, tradução nossa). No capítulo anterior apresentamos a análise dos dados, coletados em uma escola da Rede Estadual do Munícipio de Tubarão. Ao finalizar esta análise, nos questionamos: Como organizar o ensino com vistas a superação das fragilidades dos estudantes em relação a apropriação do conceito de multiplicação? Qual a contribuição que a presente dissertação poderia apresentar, enquanto relato de uma pesquisa científica, para o processo de ensino e aprendizagem de conceitos matemáticos na contemporaneidade? Na busca por respostas para tais questionamentos, o direcionamento tomado foi o estudo dos princípios da lógica dialética. Nesse processo, nos deparamos com o questionamento de Davídov (1988), apresentado como epígrafe deste capítulo: Onde está a saída? A saída, segundo Davídov (1988), encontra-se na própria prática sócio pedagógica, em outras palavras, no conteúdo e método adotados. O referido autor afirma, que: O conteúdo e os métodos do ensino primário, vigentes, se orientam predominantemente para a formação, nos estudantes dos primeiros anos, das bases da consciência e pensamento empíricos, caminho importante, mas não o mais efetivo na atualidade, para o desenvolvimento psíquico das crianças (DAVÍDOV, 1988, p. 99, tradução nossa). Esta afirmação aponta fragilidades no ensino primário da sua época (por volta de 1970), na Rússia. Entretanto, como estão organizados os conteúdos e métodos na educação escolar no Brasil atualmente? A constatação davydoviana se aproxima da realidade brasileira em pleno ano de 2015, aproximadamente meio século depois? Os resultados apresentados em documentos oficiais (BRASIL, 2014) 11, e por pesquisadores como Sousa (2014), Hobold (2014), Dalmolin (2015), entre tantos outros, apontam que a afirmação de Davídov (1988) é atual em nosso sistema educacional. Além disso, 11 Entre os documentos oficiais destacamos os resultados da Avaliação Nacional da Alfabetização (ANA) disponíveis em:

63 59 os resultados obtidos por meio da análise dos dados da presente investigação apontam que a organização do ensino de Matemática no Brasil, no contexto investigado, tem por base a lógica formal. Assim, o objetivo nesse capítulo é refletir sobre os princípios da Teoria Histórico- Cultural, especificamente, do pensamento dialético e expressá-los na tecnologia de desenvolvimento do material didático (DAVÍDOV, 1988, p. 108, tradução nossa). A questão desencadeadora é: quais as possibilidades de objetivação dos fundamentos da Teoria Histórico- Cultural no modo de organização do ensino de Matemática, em especial, do conceito de multiplicação? Para tanto, o movimento conceitual apresentado neste capítulo terá por base a proposição davydoviana para o ensino de Matemática discutida, no contexto brasileiro, por pesquisadores como: Rosa (2012), Madeira (2012), Crestani (2013) 12, Dorigon (2013), Matos (2013), Silveira (2012), Hobold (2014), Cunha (2014), Moya (2015), Silveira (2015), Rosa (2015) Matos (2015), entre outros. Adotamos, também, para as reflexões suscitadas, o livro didático e o livro de orientação para o terceiro ano do Ensino Fundamental da proposição davydoviana. Além disso, no contexto brasileiro de produções com base na Teoria Histórico- Cultural, estudamos a Atividade Orientadora de Ensino (AOE) proposta por Moura e seus seguidores (MOURA, 1996; MOURA et. Al. 2010, ARAÚJO (2003), MORETTI (2007), SERRÃO 2006, MORAES (2008), CEDRO (2008), LOPES (2004),, PANOSSIAN (2014), NASCIMENTO (2014), entre outros). No movimento de construção deste capítulo, consideramos a proposição davydoviana e a AOE como um modo de objetivação da Teoria Histórico-Cultural na organização do ensino de Matemática. Isto nos leva a refletir, primeiramente, o porquê de tal opção. Davídov (1988) afirma que: As ideias de Leontiev e seus seguidores sobre a determinação histórico-social dos processos de reprodução, pelas crianças, das capacidades genéricas, requerem estudar a relação interna entre a educação, o ensino e o desenvolvimento psíquico, revelar os tipos historicamente diferentes em que se apresenta esta relação, até aquela na qual o desenvolvimento espontâneo das crianças se opõe realmente ao papel 12 Referenciamos algumas monografias (ALVES, 2013; CRESTANI, 2013; DORIGON, 2013; MATOS, 2013; SILVEIRA, 2012) em virtude da relevância desses trabalhos para o projeto mais amplo ao qual se insere a presente pesquisa. Estas monografias foram desenvolvidas no interior de um grupo de pesquisa com apoio financeiro do FUMDES (Fundo de Apoio à Manutenção e ao Desenvolvimento da Educação Superior e apresentam reflexões importantes para a compreensão do movimento conceitual de introdução do conceito de multiplicação, entre outros conceitos que o antecedem.

64 60 determinante da educação e o ensino dirigidos a um objetivo (DAVÍDOV, 1988, p. 59, tradução e grifos nossos). Se o desenvolvimento espontâneo das crianças se opõe ao objetivo da escola, de desenvolver conceitos científicos e o pensamento teórico (princípio da Teoria Histórico- Cultural), a Atividade Orientadora de Ensino reflete sobre conteúdo e método adotados no processo de ensino e aprendizagem nessa perspectiva. Nesse sentido, ainda segundo o referido autor, junto aos conceitos de ensino e educação, é conveniente considerar um conceito mais geral, o de apropriação: O processo de apropriação leva o indivíduo para a reprodução, em sua própria atividade, das capacidades humanas formadas historicamente. Durante a reprodução a criança realiza uma atividade que é adequada (mas, não idêntica) a atividade incorporada pelas pessoas nestas capacidades (DAVÍDOV, 1988, p. 56, tradução nossa). A educação e o ensino são, portanto, a apropriação e reprodução pelo homem, das produções humanas formadas histórico e socialmente. A AOE, para o processo de apropriação de conceitos, a partir da situação desencadeadora de aprendizagem, propõe que se explicite a necessidade que levou a humanidade à construção do referido conceito (MOURA, et. al. 2010, p. 223), de modo semelhante ao que pode ter acontecido em certo momento histórico. Nesta perspectiva, também, Davídov (1988) aponta que é indispensável que as crianças, no processo de apropriação do novo procedimento de ação, saibam dos problemas surgidos quando o homem teve que resolver pela primeira vez tarefas semelhantes (DAVÍDOV, 1988, p. 189, tradução nossa). A aproximação entre AOE e o Ensino Desenvolvimental pode ser evidenciada, na nossa opinião, quando analisamos a situação desencadeadora de aprendizagem, materializada em um problema desencadeador e a tarefa de estudo: Examinemos o conteúdo de conceitos tais como tarefa de estudo e problema de estudo (o segundo foi introduzido na teoria do ensino de caráter problemático). Inicialmente, devemos indicar que até agora falta uma diferenciação precisa dos conceitos tarefa e problema. Por exemplo, S. Rubinstein em alguns casos utiliza estes conceitos como sinônimos, em outros, a tarefa é considerada um problema formulado verbalmente (DAVÍDOV, 1988, p. 180, tradução nossa). Como Rubinstein (1977; 1979), concebemos tarefa e problema como sinônimos. Desde que o problema seja tomado no contexto da Atividade Orientadora de Ensino, ou seja, como problema desencadeador da aprendizagem. Na tarefa de estudo o objetivo é desenvolver nos estudantes meios de análise para resolvê-la sobre a base de abstrações e generalizações

65 61 teóricas. Durante a solução da tarefa os estudantes revelam a origem da célula do objeto integral estudado e, utilizando-a, reproduzem mentalmente esse objeto (DAVÍDOV, 1988, p. 179, tradução nossa). Do mesmo modo ocorre na situação desencadeadora de aprendizagem (MOURA et al., 2010). Diante de tal aproximação, concordamos com Moraes (2008, p. 99, grifos da autora) quando afirma que, Pressupõe-se que o professor crie a necessidade no aluno de se apropriar dos conhecimentos teóricos. Esta ação do professor na organização do ensino está de acordo com a defesa de Davídov (1999, p. 4) sobre a elaboração da tarefa de estudo pelos docentes. Ele defende que ninguém pode forçar a criança escolar entrar em atividade de aprendizagem se elas não têm necessidade de fazer isto. Para nós, a situação desencadeadora equivale às tarefas de estudo propostas por este pesquisador, visto que ela é organizada de modo a possibilitar condições para que o objetivo da atividade de ensino seja alcançado. A tarefa de estudo, na proposição davydoviana, se diferencia essencialmente das diversas tarefas particulares de um ou outro tipo (DAVÍDOV, 1988, p. 179, tradução nossa). A tarefa de estudo permite que os estudantes apropriem-se do procedimento geral para solucionar as tarefas particulares. Segundo Vigotski (1988, p. 45, tradução nossa), o ensino é, por consequência, o aspecto internamente necessário e universal no processo de desenvolvimento, na criança, não de peculiaridades naturais, mas, sim, históricas do homem. Ao criar a necessidade do conceito, reafirmamos, que a situação desencadeadora de aprendizagem deve explicitar as necessidades que surgiram, ao longo do desenvolvimento da humanidade, e como os homens solucionaram tais situações, considerando o movimento lógico-histórico: O lógico [...] é o reflexo abstrato, liberado de casualidades e ziguezagues, do desenvolvimento histórico do objeto. O lógico, em forma universal, em forma pura, expressa a necessidade interna do desenvolvimento dos processos históricos. No lógico se repete a sequência dos estágios históricos do desenvolvimento (DAVÍDOV, 1988, p. 64, tradução nossa). De acordo com o autor em referência, as formas da cultura são a expressão lógica, universal, da história da consciência humana (DAVÍDOV, 1988, p. 64, tradução nossa). Desse modo, ao organizar o ensino, o movimento conceitual adotado na proposição davydoviana contempla a unidade entre o lógico e o histórico, expressa na conexão do universal com o particular e o singular (SILVEIRA, 2015, p. 158). Esse movimento conceitual também é sugerido pela Proposta Curricular de Santa Catarina (2014, p. 35) que prevê a apropriação do conceito como forma de atividade mental por meio da qual se reproduz o objeto idealizado e

66 62 o sistema de suas relações, que em sua unidade refletem a universalidade e a essência do movimento do objeto [...], o que requer a unidade entre o lógico e o histórico. Portanto, a opção pelo estudo da Atividade Orientadora de Ensino em unidade com a proposição davydoviana, deve-se, também, a sua inclusão, na atual Proposta Curricular de Santa Catarina (SANTA CATARINA, 2014). A Atividade Orientadora de Ensino teve sua origem diante da complexidade, [...] dos fenômenos multifacetados que constituem a educação escolar, é necessário combater uma visão, muitas vezes naturalizada, segundo a qual essa multiplicidade de fenômenos termina por levar o professor ou os responsáveis pela educação escolar a se aterem apenas ao fenômenos mais aparentes da educação escolar, tais como: o pouco desempenho escolar dos estudantes, a formação incipiente dos professores, a falta de motivação para o estudo, a indisciplina e a violência nas escolas (MOURA et al., 2010, p ). A preocupação com um problema, talvez menos aparente da ação pedagógica: a interdepência entre o conteúdo de ensino, as ações educativas e os sujeitos que fazem parte da atividade educativa (MOURA, et al., 2010, p. 82) levaram pesquisadores brasileiros (MOURA, 1996; MOURA et. Al. 2010, MORETTI (2007), SERRÃO 2006, MORAES (2008), CEDRO (2008), LOPES (2004), ARAÚJO (2003), PANOSSIAN (2014), NASCIMENTO (2014), entre outros) a conceituarem os princípios teórico-metodológicos que orientam e realizam a atividade de ensino. Ao considerarmos o ensino como atividade - no sentido atribuído por Leontiev (1983) de processo social, mediado por instrumentos/signos e estruturado a partir de uma necessidade o professor assume uma responsabilidade essencial, a de organizar o ensino. Nesse sentido, Moura et al (2010, p. 89) colabora ao afirmar que, [...] embora o sujeito possa se apropriar dos mais diferentes elementos da cultura humana de modo não intencional, não abrangente e não sistemático, de acordo com suas próprias necessidades e interesses, é no processo de educação escolar que se dá a apropriação de conhecimentos, aliada à questão da intencionalidade social. Assim, ao agir intencionalmente, no desenvolvimento de ações que visam a apropriação dos conhecimentos, pelos estudantes, o professor objetiva, na sua atividade de ensino, o motivo que o impulsiona (apropriação dos conhecimentos pelos estudantes). Em relação a tal intencionalidade educativa deve-se, segundo Davídov (1988, tradução nossa), alcançar o objetivo social da escola: proporcionar ao estudante a apropriação dos conhecimentos, mas não de qualquer conhecimento, trata-se dos teóricos, dos científicos. Em suas investigações, com base nos pressupostos vygotskianos e da Teoria da Atividade, o

67 63 autor em referência, dedicou-se à pesquisas sobre a atividade de estudo, considerada por ele a atividade que deve ser dominante na criança em idade escolar. Segundo ele, o ingresso na escola marca o começo de uma nova etapa da vida da criança, nela muito se modifica tanto no aspecto da organização externa quanto interna (DAVÍDOV, 1988, p. 76, tradução nossa). Além disso, assumir a educação como atividade significa considerar o conhecimento em suas múltiplas dimensões, como produto da atividade humana (RIGON, et al., 2010, p. 24). Ao pautar-se na Teoria Histórico-Cultural e na Teoria da Atividade e, consequentemente, na perspectiva de que a escola deve promover a formação do pensamento teórico, Moura (1996), propõe a Atividade Orientadora de Ensino: Na AOE, ambos, professor e estudante, são sujeitos em atividade e como sujeitos se constituem indivíduos portadores de conhecimentos, valores e afetividade, que estarão presentes no modo como realizarão as ações que têm por objetivo um conhecimento de qualidade nova. Tomar consciência de que sujeitos em atividade são indivíduos é primordial para considerar a AOE como um processo de aproximação constante do objeto: o conhecimento de qualidade nova. A atividade, assim, só pode ser orientadora (MOURA et al, 2010, p. 97). As pesquisas sobre a Atividade Orientadora de Ensino apontam-na como unidade entre formação do estudante e do professor. Isto porque, o professor, ao organizar as ações que objetivam a atividade de aprendizagem do estudante, também, requalifica seu próprio conhecimento. Assim, a atividade é orientadora, [...] no sentido de que é construída na inter-relação professor e estudante está relacionada à reflexão do professor que, durante todo o processo, sente necessidade de reorganizar suas ações por meio da contínua avaliação que realiza sobre a coincidência ou não entre os resultados atingidos por suas ações e os objetivos propostos (MOURA et al, 2010, p. 101). A estrutura da Atividade Orientadora de Ensino permite que os envolvidos no processo de ensino e aprendizagem interajam, mediados por um conteúdo negociando significados com o objetivo de solucionar coletivamente uma situação problema (MOURA, 2001, p. 155). De acordo com Moura (1996), estas situações podem ocorrer por meio de diferentes recursos metodológicos: Jogos infantis, história virtual do conceito e situações emergentes do cotidiano. Em síntese, o ensino organizado com base nos pressupostos da AOE é produto e processo. A AOE como mediadora, conduz ao desenvolvimento psíquico dos sujeitos que a realizam (MOURA et al., 2010, p. 108). A relação entre desenvolvimento psíquico e ensino

68 64 implica na compreensão do papel de algumas atividades que o ser humano desenvolve. Segundo Davídov (1988, p. 70, tradução nossa), A base do desenvolvimento mental é justamente a substituição do tipo de atividade praticada, que através da necessidade determina o processo pelo qual as novas formações psicológicas começam a ser modeladas no indivíduo. Desta maneira, o novo tipo de atividade que sustenta o desenvolvimento mental integral da criança em uma idade específica foi chamada de atividade principal. Em cada atividade principal se constituem as correspondentes formações psicológicas, cuja sucessão configura uma unidade do desenvolvimento psíquico da criança. Das atividades principais analisadas por Davídov (1988), tais como a do jogo, estudo, trabalho, entre outras, nos deteremos a duas delas: a atividade do jogo e a atividade de estudo 13, por compreendê-las como essenciais para esta pesquisa, já que os dados que subsidiaram a análise, no capítulo anterior, foram obtidos com crianças de oito a nove anos. Segundo o referido autor, A atividade do jogo é a mais característica para a criança de três a seis anos. Em sua realização surgem na criança a imaginação e a função simbólica, a orientação no sentido geral das relações humanas, a capacidade de separar nelas os aspectos de subordinação e direção; [...] a atividade de estudo se forma nas crianças de seis a dez anos. Sobre sua base surge, nas crianças, a consciência e o pensamento teóricos, se desenvolvem as capacidades correspondentes (reflexão, análise, planejamento mental) e também as necessidades e motivos de estudo (DAVÍDOV, 1988, p. 74, tradução nossa). Ao analisarmos as atividades principais, poderíamos adotar como base para este estudo somente a atividade de estudo, pois é esta que corresponde a idade e o estágio escolar dos sujeitos da presente pesquisa, como ingressantes recentes na educação escolar. Entretanto, optamos por refletir sobre a transição entre atividade do jogo para a atividade de estudo. Isto porque, [...] embora uma atividade principal, em particular, seja característica de um período de desenvolvimento associado à faixa etária, isto não significa que outros tipos de atividades estejam ausentes ou sejam introduzidas à força em uma determinada faixa etária. Sabe-se, por exemplo, que a brincadeira é a atividade principal de crianças em idade pré-escolar. Mas, nas crianças também encontram elementos de estudo e trabalho no período pré-escolar de suas vidas. Porém, estes elementos não determinam o caráter das mudanças psicológicas básicas em uma determinada idade: 13 O termo atividade de estudo não deve ser tomado como sinônimo de aprendizagem. A atividade de estudo tem um conteúdo e uma estrutura especial e há que diferenciá-la de outros tipos de atividade principais (DAVÍDOV, 1988, p. 159, tradução nossa).

69 65 os diferentes aspectos destas mudanças psicológicas dependem mais do que nunca da natureza da brincadeira. (DAVÍDOV, 1988, p , tradução nossa). Desse modo, o desenvolvimento da imaginação e da função simbólica, características essenciais da atividade do jogo, não acabam quando a criança entra na escola. Isto porque, em primeiro lugar, o que uma série de psicólogos chama de crise no desenvolvimento psíquico da criança é o ponto de virada no transcurso normal deste processo quando, por exemplo, uma necessidade é substituída por outra e, em consequência, uma atividade é substituída por outra (DAVÍDOV, 1988, p. 89, tradução nossa). A criança que entra no Ensino Fundamental continua, em sua essência, criança, ou seja, suas necessidades ainda a colocam em atividade do jogo, a diferença é que neste momento esta não é mais sua atividade principal. Além disso, é necessário certo tempo para que os ex pré-escolares comecem a converter-se, desde os seis anos, em verdadeiros escolares com todas as peculiaridades psicológicas (DAVÍDOV, 1988, p. 76, tradução nossa). Concebemos a história virtual do conceito como um recurso didático da AOE que possibilita a transição entre a atividade do jogo e a atividade de estudo, por meio do enredo lúdico, da essência do conceito e da necessidade histórica do mesmo. A necessidade do conceito, também é gerada nas tarefas davydovianas, quando o estudante depara-se com tarefas não solucionáveis pelos procedimentos já apropriados. Entretanto, é necessário que as características da imaginação e ludicidade estejam presentes, neste momento de transição de uma atividade principal para outra. A fim de refletirmos sobre os conteúdos e metodologias de ensino, com base nas reflexões apresentadas anteriormente, optamos por elaborar, em colaboração com os pesquisadores do grupo de pesquisa TEDMAT 14, uma história virtual, compreendida como uma narrativa que proporciona ao estudante envolver-se na solução de um problema (MOURA; LANNER DE MOURA, 1998). O enredo tem como contexto o conto popular O casamento da Dona Baratinha (MACHADO, 2004) e a personagem principal, Dona Baratinha, envia uma carta solicitando ajuda aos estudantes: 14 Grupo de Pesquisa Teoria do Ensino Desenvolvimental na Educação Matemática sediado na UNISUL, criado e coordenado pela Prof.ª Dr.ª Josélia Euzébio da Rosa. O referido grupo integra a unidade de relacionamento gepapeana de Santa Catarina com o GPEMAHC - Grupo de Pesquisa em Educação Matemática: uma Abordagem Histórico-Cultural (UNESC), criado e coordenado pelo Prof. Dr. Ademir Damazio.

70 66 Ilustração 17- O casamento da Dona Baratinha Caros estudantes, O CASAMENTO DA DONA BARATINHA Quem escreve aqui é a Dona Baratinha, que tem fita no cabelo e dinheiro na caixinha. Vocês já devem ter escutado minha história por aí e sabem que depois de muitos pretendentes vou me casar com o Sr. Ratão. Vamos reunir a bicharada em uma grande festa. Para isso, reservamos o salão mais bonito da nossa pequena cidade de Pinheiral e uma banda da cidade vizinha animará a festa. Quanto a decoração do salão, nós gostamos muito de rosas, cada mesa terá um vaso com rosas. Como os nossos amigos tem muitos filhos, genros, noras e netos, o salão terá muitas mesas. Só que nós, baratinhas, não frequentamos a escola como vocês e stou com problemas para saber quantas rosas precisaremos para a decoração. Meu noivo é meio atrapalhado com tudo, apesar de não fazer grandes barulhos como os outros pretendentes, ele fala demais. Então, quando tento pensar a quantidade de rosas que precisaremos, ele fica me distraindo, falando de bolo de casamento, doces, queijos, feijoada... e eu acabo me desconcentrando. Então peço a ajuda de vocês. Eu preciso saber: quantas rosas precisaremos e quanto dinheiro vou ter que retirar da minha caixinha? Solicito à vocês que me mandem uma carta para me ajudarem a solucionar esse problema, pois vou ter que repassar as instruções aos amigos que estão me ajudando na festa. Fonte: Elaboração da autora, Desde já agradeço, Dona Baratinha. A elaboração da história virtual constituiu-se como um momento essencial na produção deste capítulo. Consideramos a carta uma história virtual porque, com um enredo lúdico 15, coloca a criança diante de uma situação problema, semelhante a situação vivenciada pelo homem historicamente (MOURA; LANNER DE MOURA, 1998). 15 Por lúdico entendemos uma situação em que a infração da lógica das ações e regras é repelida (ELKONIN, 1998, p. 299),

71 67 Após esse momento, pensamos na objetivação da história no desenvolvimento da atividade de ensino do professor e da atividade de estudo do estudante. Mais uma vez, a indissociabilidade entre professora/pesquisadora fez com que o movimento criado fosse de possibilidades de objetivação, em sala de aula, desta história. Embora nossa preocupação seja de não nos limitarmos as particularidades, foi necessário recorre-las, a título de exemplificação. A partir de agora refletiremos sobre algumas hipóteses de respostas, ora refletindo efetivamente em uma resposta para Dona Baratinha, ora refletindo sobre as ações dos professores e estudantes, a partir dos pressupostos da lógica dialética, por meio da unidade entre AOE e a proposição davydoviana. Mas, porque relacionar a proposição davydoviana e a Atividade Orientadora de Ensino? Pelo fato de que Davídov e colaboradores (Rosa (2012), Madeira (2012), Crestani (2013), Dorigon (2013), Matos (2013), Silveira (2012), Hobold (2014), Cunha (2014), Moya (2015), Silveira (2015), Rosa (2015) Matos (2015), entre outros) sistematizaram o ensino da Matemática a partir dos fundamentos da Teoria Histórico-Cultural. Ou seja, objetivaram os pressupostos teóricos no modo de organização e desenvolvimento do ensino da Matemática. Nesse sentido, Davýdov oferece aos estudiosos da didática e das didáticas disciplinares o suporte teórico e prático para o ensino escolar. Não foi por acaso que definiu sua investigação inicial como a elaboração da fundamentação lógico-psicológica da estrutura das disciplinas escolares, pois a causa à qual dedicou sua vida pessoal, profissional e científica foi a de criar as bases teóricas de uma metodologia de ensino na escola, tendo como referência uma psicologia pedagógica (LIBÂNEO; FREITAS, 2013, p ). e pensamento teórico: Algo essencial nas ideias de Davídov advém da relação entre pensamento empírico O pensamento empírico é muito importante na vida, porém, obstaculiza o caminho quando queremos que os alunos entendam bem algum conhecimento teórico que se ensina na educação escolar moderna. Isto porque, para entender uma teoria, utilizamos outro tipo de pensamento que se estuda na lógica dialética, que se chama pensamento teórico (DAVYDOV, 1998, p , tradução nossa). Ao considerar que o conhecimento empírico obstaculiza o desenvolvimento do pensamento teórico, Davýdov (1998) se opõe a ideia do conhecimento empírico como ponto de partida para o desenvolvimento do conhecimento teórico: A débil influência do ensino primário no desenvolvimento mental das crianças está ligada, primeiramente, com o fato de que os alunos dominam o material didático

72 68 predominantemente por meio de abstração e generalização empíricas, as quais não podem servir de base para avanços qualitativos no desenvolvimento do pensamento dos estudantes (DAVÍDOV, 1988, p. 167, tradução e grifos nossos). Assim, a base para avanços qualitativos no desenvolvimento do pensamento deve contemplar a reflexão, análise e experimento mental, característicos do pensamento teórico (DAVÍDOV, 1988). Ao pensar no problema de Dona Baratinha surge, a seguinte situação problema: Qual o total de rosas que ela precisará? Primeiramente, em relação a reflexão dos estudantes, o professor possui o papel de orientar e direcionar a reflexão dos mesmos para que estes não se limitem a busca de respostas, mas, também, a elaboração de perguntas e hipóteses (ROSA, 2012). De acordo com Davídov (1988), a atividade de estudo não é inata na criança, precisa ser desenvolvida. Para tanto, fazse necessário desenvolver, entre outras, a ação investigativa, materializada na elaboração de perguntas direcionadas tanto ao professor quanto aos colegas, isto contribuirá para a estruturação da atividade de estudo (ROSA, 2012). Além disso, segundo Rubinstein (1976) o processo pedagógico, como atividade do professor, forma a personalidade infantil em desenvolvimento na medida em que o professor dirige a atividade da criança. Sobre a atividade de estudo da criança, Davídov (1988) com base nas ideias de Vigotski (2000) sobre o processo de interiorização, diz: Originalmente o indivíduo (principalmente a criança) está incluído de maneira direta em uma certa atividade social distribuída entre os membros de um certo coletivo, que tem uma expressão externa, concreta e que se realiza com ajuda de diferentes meios materiais e semióticos. [...] precisamente na passagem das formas externas, realizadas coletivamente, da atividades para as formas internas, implícitas, individuais de sua realização, ou seja, no processo de interiorização, de transformação do interpsíquico em intrapsíquico, se realiza o desenvolvimento psíquico do homem (DAVÍDOV, 1988, p ). Nesse processo de interiorização, de acordo com os fundamentos da Teoria Histórico-Cultural, a apropriação do movimento conceitual é orientado do geral para o particular e singular (DAVÝDOV, 1982). Este movimento ocorre em função da relação universal (ROSA, 2015). Nesta perspectiva, a resolução da história anteriormente apresentada parte do aspecto geral do conceito. A quantidade de vasos ou rosas não está dada. O levantamento de hipóteses de situações particulares torna-se o primeiro passo para a solução do problema desencadeador, uma vez que o mesmo está apresentado em seu caráter geral: O caminho da apropriação de conhecimento que temos assinalado tem traços característicos. Em primeiro lugar, o pensamento dos estudantes move-se orientado do geral para o particular (no começo buscam e fixam a célula universal, inicial do

73 69 material a estudar e logo, apoiando-se nela, revelam as diversas particularidades do objeto dado (DAVÍDOV, 1988, p. 175, tradução nossa). Desse modo, por meio da célula, ou seja, a relação universal do objeto dado, os estudantes procedem a generalização e abstração teóricas, orientando-se por este movimento, ocorre a formação do conceito. Os estudantes podem, então, apresentar reflexões que revelem a seguinte problemática: Como resolver o problema de Dona Baratinha sem saber o valor aritmético das quantidades envolvidas? Em Matemática, quando não sabemos o valor aritmético de uma grandeza que queremos medir ou contar, podemos recorrer ao caráter geral e representá-la por uma letra, ou seja, por meio das significações algébricas (ROSA, 2012). A álgebra como conhecimento matemático (...) se caracteriza essencialmente pela busca da relação quantitativa entre as grandezas variáveis de forma geral, sendo esta sua relação teórica essencial ou célula (PANOSSIAN, 2014, p. 107, grifos da autora). Portanto, na resolução da história, as letras representam valores que podem sofrer variações em função do movimento do geral para o particular e singular que a história almeja desencadear. Nesse sentido, tomemos uma rosa como unidade de medida básica 16, para proceder a contagem um a um. Esta, representaremos pela letra A. Além disso, temos outro valor desconhecido, o todo, o qual representaremos pela letra C. De posse desses valores gerais, representados algebricamente, já é possível proceder algumas reflexões sobre os mencionados valores. Por exemplo, qual é maior, A (unidade de medida básica) ou C (total de rosas)? Ou são iguais? A resposta matematicamente esperada é: A é menor que C (A < C), uma vez que haverá mais de uma rosa no salão. Vale esclarecer que, quanto aos sinais de menor que (<) e maior que (>), a abertura sempre fica direcionada para o maior. Além da representação por meio de letras, representação algébrica, podemos representar a desigualdade entre os dois valores em análise, por meio de segmentos de retas. Mas, o que são segmentos de retas? Para responder esta questão, sugerimos a seguinte tarefa: primeiramente, o professor solicita que os estudantes desenhem em seus cadernos duas linhas retas. Como fazer para traçar uma linha reta? A resposta matematicamente correta refere-se a utilização de um objeto com os lados retos, dobrar a folha ou o auxílio da régua (ROSA, 2012). 16 Adotamos a unidade de medida um rosa, entretanto a proposiç

74 70 Em seguida, o professor solicita que, em cada uma destas linhas retas, o estudante marque dois pontos. Além disso, pede para que seja destacado com outra cor a parte reta entre os dois pontos e explica que a parte destacada chama-se segmento. Por isso, às vezes, as extremidades dos segmentos são marcadas com riscos, como se fosse a linha de corte (ROSA, 2012, p ), conforme ilustração a seguir: Ilustração 18 Linhas, pontos e segmento Fonte: Elaboração nossa com base em Rosa (2012). A introdução desses elementos geométricos, na proposta de Davýdov, ocorre logo no primeiro ano de escolarização. Contempla: [...] as inter-relações e conexões entre elementos como ponto, segmento de reta e reta inseridos em um sistema, como integridade objetiva. Traduz, pois, o que o materialismo histórico e dialético denomina de unidade do diverso (MARX, 2003, p. 248), como concreto. Fora dessa unidade, a reta não existe, uma vez que ela se constitui de infinitos segmentos, cada um deles, por menor que seja, é formado por infinitos pontos. Consequentemente, a reta também é constituída por infinitos pontos (ROSA, 2012, p. 90). O questionamento que emerge após a construção do segmento é: Como representar por segmentos de reta, os valores A e C? Ilustração 19 Representação da relação de desigualdade entre A e C Fonte: Elaboração nossa com base em Rosa (2015) Qual dos segmentos anteriores (Ilustração 19), representa a unidade de medida básica? E qual representa o total de unidades de medida básica? Com base nas reflexões já

75 71 realizadas, é possível concluir que o primeiro segmento representa o valor C (total de rosas no salão) e o segundo o valor A (unidade de medida básica). Assim, o segmento menor, tomado de uma extremidade a outra representa uma unidade de medida básica, conforme indica o arco (Ilustração 03): Ilustração 20 Introdução do arco A Fonte: Elaboração nossa com base em Rosa (2015) Com base na Ilustração 20 temos, até o momento, de acordo com Rosa (2012), a representação algébrica e a representação geométrica: como a representação aritmética pode ser revelada neste contexto? Ao professor cabe a elaboração de questionamentos, como por exemplo, quantas vezes A se repete em C? Ou, no contexto da história em análise, quantas rosas Dona Baratinha precisará? (Ilustração 21) Ilustração 21 Representação geométrica e algébrica da quantidade de rosas A A A A A A A A... Fonte: Elaboração nossa com base em Rosa (2015). C Com base no esquema apresentado visualmente, por meio de elementos algébricos e geométricos (ROSA, 2015), podemos determinar a quantidade de rosas que Dona Baratinha precisará? Ainda não, pois não sabemos quantas vezes A se repete em C. Trata-se de um valor ainda desconhecido. Portanto, em síntese, temos que C = A + A + A + A... + A + A + A. Quantas vezes A se repete? Como ainda não sabemos, supomos que A se repete por y vezes, desse modo, temos: C = y x A. O número de vezes (y) que a unidade de medida básica (A) se repete, consiste no total de rosas (C). Mas, como ajudar Dona Baratinha a determinar o total de rosas

76 72 necessárias? Ainda não sabemos quantas rosas ela colocará em cada vaso e nem quantos vasos terão. Estes valores são indispensáveis para que possamos resolver o problema vivenciado por Dona Baratinha. Vamos supor que Dona baratinha colocará a quantidade de rosas apresentadas no esquema (Ilustração 22): Ilustração 22 Cálculo da quantidade de rosas Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana, Após a contagem de algumas rosas, como na Ilustração 22, sugerimos que o que o professor simule um incômodo com a demora deste procedimento da contagem de unidade por unidade, além de não estar explícito até onde a contagem deverá ser realizada. Também é importante refletir sobre as limitações da contagem um a um e a possibilidade de elaboração de um modo mais rápido para determinar o total de rosas. A síntese a ser elaborada consiste na ideia de que contar vaso por vaso é mais rápido do que rosa por rosa. Pois, possibilita a superação da contagem de rosa por rosa (um a um), que é um procedimento de cálculo demorado. Para tanto, basta sabermos quantos vasos serão utilizados e a quantidade de rosas que serão colocadas em cada um deles. Historicamente, a humanidade também vivenciou as limitações da contagem um a um, no que se refere ao controle de quantidades. A solução encontrada pela humanidade foi a contagem por agrupamentos: A contagem por agrupamentos representa uma nova qualidade no pensamento em relação à contagem por correspondência um-a-um. À medida que se faz necessário controlar quantidades sempre maiores, lança-se mão de estratégias que organizam e agilizam a contagem. É criada uma unidade relativa: um que vale muitos e muitos que valem um (MOURA, 1995, p. 77). A contagem por agrupamento será o princípio que seguiremos na resposta à Dona Baratinha. Como ela gosta muito de rosas, supomos que ela colocará mais de uma rosa em cada vaso. Desse modo, a quantidade de rosas de cada vaso, consiste em um agrupamento. Vamos representar esses valores desconhecidos algebricamente:

77 73 Ilustração 23- Representação algébrica dos valores desconhecidos Fonte: Elaboração nossa, A unidade de medida básica que adotamos é uma rosa, a partir dela é que formaremos agrupamentos. Davýdov e colaboradores propõem o esquema de setas para auxiliar na interpretação das tarefas apresentadas em seu material didático, para os conceitos de divisão e multiplicação (CRESTANI, 2013; HOBOLD, 2014). Portanto, adotaremos o esquema de setas para a interpretação do problema desencadeador contemplado na História de Dona Baratinha. De acordo com Davídov, Os modelos expressos com letras e os modelos gráficos cumprem um importante papel na formação dos conceitos matemáticos. Sua particularidade essencial é que reúnem o sentido abstrato com a concretização objetal. Falando estritamente, a abstração da relação matemática pode ser produzida somente com a ajuda das fórmulas expressadas por meio de letras (DAVÍDOV, 1988, p. 214, tradução nossa). Por meio das letras, iniciaremos a construção do esquema de seta a partir das informações que já temos: unidade de medida básica (A), todo (C), quantidade total de rosas (y). Para isso, faremos uma seta (A C) que indica o ponto de partida na resolução do problema (Ilustração 24). Ilustração 24- Construção inicial do esquema de setas (Unidade de medida básica) A (Total de rosas) C (Todo) Fonte: Elaboração nossa com base em Crestani (2013); Hobold (2014). A quantidade de vezes que a unidade de medida básica se repete no agrupamento denomina-se unidade de medida intermediária e, com base nessa medida, é que

78 74 conseguiremos um processo de cálculo mais rápido para determinar o valor do todo, a quantidade de unidades básicas (HOBOLD, 2014). Para Madeira (2012) a unidade de medida intermediária consiste em um elemento essencial por determinar dois fatores componentes da operação da multiplicação: multiplicando e multiplicador. Ou seja, em termos aritméticos é dela que surge a quantidade de vezes que uma determinada quantidade de unidade está sendo multiplicada (MADEIRA, 2012, p. 159). No esquema de segmentos (Ilustração 25) temos: Ilustração 25- Esquema de segmentos x z... z y Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana, No esquema anterior (Ilustração 25), temos a representação genérica da quantidade de rosas por vaso (z), da quantidade de vasos (x) e da quantidade de rosas no total (y). Assim, conforme já mencionamos, a quantidade de rosas de cada vaso (z) consiste na unidade de medida intermediária. O que implica, de acordo com Hobold (2014), na inclusão, no esquema iniciado na ilustração 06, de mais uma seta (A B), inclinada, direcionada para baixo, com a indicação de quantas vezes a unidade básica (A) se repete na unidade de medida intermediária (B), conforme a ilustração 26.

79 75 Ilustração 26 - Esquema de setas: unidade de medida intermediária y A C (Quantidade de vezes que a unidade de medida básica se repete) z B (Unidade de medida intermediária) Fonte: Elaboração nossa com base em Hobold (2014); Crestani (2013). Desse modo, a unidade de medida básica se repete z vezes na unidade de medida intermediária. Com o intuito de finalizar o processo de constituição do esquema proposto por Davýdov e colaboradores (HOBOLD, 2014; CRESTANI, 2013) para o processo de ensino e aprendizagem dos conceitos de multiplicação e divisão, incluiremos uma terceira seta (B C) para indicar quantas vezes a unidade de medida intermediária (B) se repete no todo (C), conforme a ilustração 27. Ilustração 27- Esquema de setas: relação universal A y C (Quantidade de vezes que a unidade de medida básica se repete) z B (Quantidade de vezes que a unidade de medida intermediária se repete) (Unidade de medida intermediária) Fonte: Elaboração nossa com base em Hobold (2014); Crestani (2013). Este esquema foi construído a partir dos elementos que constituem a relação universal dos conceitos de multiplicação e divisão tais como: unidade de medida básica (A), unidade de medida intermediária (B) e o todo (C). A inter-relação desses elementos ocorre a partir da seguinte lei: z. x = y. Eis o modelo da relação universal do conceito de multiplicação, inicialmente constituído por elementos geométricos e algébricos (Ilustração 09), e agora, em seu nível máximo de abstração, reduzido a sua expressão literal. Desse modo, concluímos o

80 76 processo de redução do concreto ao abstrato. Essa relação universal possibilita a resolução de diversas situações particulares referentes ao conceito. Em relação ao movimento do concreto ao abstrato, Lefebvre (1991, p ) afirma que, estes não podem ser separados; são dois aspectos solidários, duas características inseparáveis do conhecimento. Convertem-se, incessantemente, um no outro: o concreto determinado torna-se abstrato e o abstrato aparece como concreto já conhecido [pensado]. Após o movimento de redução do concreto (ponto de partida) ao abstrato, é necessário, portanto, a ascensão do abstrato ao concreto (DAVÍDOV, 1988). Neste movimento do pensamento teórico de compreensão do fenômeno, o qual mencionamos no capítulo inicial da presente dissertação, o concreto aparece duas vezes, como ponto de partida da contemplação e representação, reelaboradas no conceito e como resultado mental da reunião das abstrações (DAVÍDOV, 1988, p. 150, tradução nossa). O concreto é, [...] um processo de síntese, de inferência sintética; partindo da abstração inicial se desenvolve toda a multiplicidade concreta do fenômeno. Enquanto que o passar do sensorial concreto ao abstrato aplicamos, sobretudo, a análise, o procedimento de investigação mais importante para ascender do abstrato ao mentalmente concreto é a síntese. Como já temos dito, a síntese não é uma simples ligação mecânica de partes separadas até formar um todo, mas um procedimento de desenvolvimento; é a inferência do singular e concreto partindo do geral e abstrato. Unicamente esse desenvolvimento sintético que vai de uns conceitos e definições, a outros mais concretos, pode reproduzir como resultado de todo o caminho de ascensão a concreta diversidade das facetas do fenômeno em sua unidade (ILIENKOV, 2006, pp ). Tomamos como concreto ponto de partida a situação desencadeadora, a partir dela, revelamos os elementos que compõem a relação universal. Por meio desta relação, abstraída e apresentada por meio de modelos geométricos e algébricos, é possível resolver o problema desencadeador da História Virtual. Isso ocorre porque Quando os estudantes resolvem a tarefa de estudo, eles dominam, inicialmente o procedimento geral de solução de tarefas particulares. A solução da tarefa escolar é importante não somente no caso particular dado, sim para todos os casos do mesmo tipo. Aqui o pensamento dos estudantes se move do geral para o particular (DAVÍDOV, 1988, p. 179, tradução nossa). O movimento criado pela história ocorre, portanto, do geral para o particular. O problema desencadeador contempla o conceito de multiplicação em seu aspecto geral, ele é o ponto de partida para as diversas situações particulares que podem surgir, a passagem do geral para o particular se realiza não só concretizando o conteúdo das abstrações iniciais, mas,

81 77 também, substituindo os símbolos expressos por letras pelos símbolos numéricos concretos (DAVÍDOV, 1988, p. 215, tradução nossa). Nesse sentido, o professor pode, portanto, sugerir que os estudantes apresentem valores aritméticos para representar as quantidades envolvidas na história e, a partir destes, proceda a modelação da grandeza, que nesse caso, é a discreta. As grandezas discretas, segundo Costa (1866), são aquelas que não podem aumentar ou diminuir por graus tão pequenos [...] (COSTA, 1866, p. 09). Já as grandezas contínuas, são as que podem aumentar ou diminuir por graus tão pequenos quanto se queira [...] (COSTA, 1866, p. 09). Desse modo, objetos soltos, como por exemplo, flores, bonecas, bicicletas, pessoas, entre outros, são contados por meio da grandeza discreta, pois só podem aumentar ou diminuir de unidade em unidade: uma rosa, duas rosas, três rosas e, assim, sucessivamente. Não faz sentido contar meia rosa, por exemplo. A menos que o foco seja seu volume, massa, entre outras. Pois, as grandezas contínuas, diferentemente das discretas, podem ser aumentadas ou diminuídas em partes menores. Ao contrário da história em análise, se pensarmos nos dados analisados no capítulo anterior, este movimento do geral para o particular não ocorre. Os estudantes resolvem, apenas, problemas particulares. Diante disso, cabe ressaltar, conforme já mencionado, que os estudantes resolvem [...] com inteiro acerto somente problemas do tipo que eles conhecem e cuja identificação prévia é a premissa fundamental para reproduzir o método resolutivo concreto que antes assimilaram (DAVÝDOV, 1982, p. 155, tradução nossa). A título de exemplificação, supomos que os estudantes sugeriram os números 4 e 6. Essa situação particular, no contexto do conceito de multiplicação, pode ser modelada do seguinte modo (Ilustração 28): Ilustração 28 - Modelação da grandeza discreta a partir dos valores 4 e 6. Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana, 2015.

82 78 Como trata-se da grandeza discreta, cada unidade de medida básica é representada por um ponto. Os valores 4 e 6 são dispostos por meio de linhas e colunas. Essa situação particular (Ilustração 28), no contexto da multiplicação, possibilita duas singularidades: quatro vasos com seis rosas ou seis vasos com quatro rosas. A modelação da relação universal expressa por meio da grandeza é importante porque, o conteúdo do pensamento teórico, [...] é a existência mediatizada, refletida, essencial. O pensamento teórico é o processo de idealização de um dos aspectos da atividade objetal-prática, a reprodução, nelas, das formas universais das coisas. Tal reprodução tem lugar na atividade laboral das pessoas como peculiar experimento objetal-sensorial. Logo este experimento adquire cada vez mais um caráter cognoscitivo permitindo para as pessoas, passar, com o tempo, para os experimentos realizados mentalmente (DAVÍDOV, 1988, p. 125, tradução nossa). Assim, o ponto de partida para a apropriação do conceito é a atividade objetal, possibilitada pelos órgãos do sentidos. Entretanto, a essência das coisas permanece oculta no olhar imediato, requerendo-se grandes esforços para revelar esta essência (ROSENTAL, 1962, p. 354). Visualmente, por meio da modelação da grandeza (Ilustração 10), pode-se constatar uma situação particular que depende do valor tomado como unidade de medida intermediária para ser transformada em uma situação singular. O valor da unidade de medida intermediária depende do contexto singular em análise. Se considerarmos, por exemplo, a quantidade disposta na linha como a unidade de medida intermediária, quantas vezes ela se repete no todo (Ilustração 29)? Ilustração 29 Linha tomada como unidade de medida intermediária Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana, Na situação singular anterior (Ilustração 29), a unidade de medida intermediária (6) se repete por (4) vezes, conforme o esquema de setas a seguir (Ilustração 30):

83 79 Ilustração 30 - Esquema de setas para 6 x 4 A? C 6 4 Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana, B Entretanto, ainda é desconhecido o valor do total de rosas. Como podemos realizar esse cálculo? A sugestão davydoviana é que se inicie o processo de ensino e aprendizagem das operações básicas no contexto da reta numérica (ROSA, 2012; CRESTANI, 2013; ALVES, 2013; MATOS, 2013; HOBOLD, 2014; SILVEIRA, 2015;). Na reta, as unidades de medidas intermediárias (agrupamentos) serão representadas por arcos. O ponto geométrico de partida é o zero e o resultado consistirá no ponto de chegada do último arco (Ilustração 31). Ilustração 31 - Cálculo na reta numérica para 6 x 4 = 24 Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana, Assim temos seis vezes quatro (6 que se repete por 4 vezes). De acordo com o resultado, obtido por meio da reta numérica, Dona Baratinha precisará de 24 rosas. Como se pode observar, [...] a modelação está ligada com o caráter visual, amplamente utilizado pela didática tradicional. Contudo, no marco do Ensino Desenvolvimental o caráter visual tem um conteúdo específico. Nos modelos visuais se refletem as relações e as vinculações essenciais ou internas do objeto, separadas (abstraídas) por meio das correspondentes transformações (o visual concreto habitualmente só fixa as propriedades externamente observáveis das coisas) (DAVÍDOV, 1988, p. 214, tradução nossa).

84 80 Desse modo, pode-se constatar que podemos considerar outra situação singular, na qual a coluna é tomada como unidade de medida intermediária. Quantas vezes ela se repete no todo (Ilustração 32)? Ilustração 32 - Coluna tomada como unidade de medida intermediária Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana, Conforme a Ilustração 32, a unidade de medida intermediária (4) se repete seis vezes, conforme o esquema de setas a seguir (Ilustração 33): Ilustração 33 Esquema de setas para 4 x 6 A? C 4 6 B Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana, Do mesmo modo que procedemos na situação singular anterior, a reta numérica auxiliará na determinação do valor do todo, conforme segue (Ilustração 34):

85 81 Ilustração 34 - Cálculo da operação 4 x 6 = 24 na reta numérica Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana, Neste caso temos 4 x 6 = 24 (Ilustração 34). Ou seja, quatro (unidade de medida intermediária) vezes seis (quantidade de vezes que a unidade de medida intermediária se repete). O resultado obtido, assim como no cálculo anterior, são 24 rosas. Isso ocorre em função da propriedade comutativa da multiplicação na qual: a. b = b. a (CARAÇA, 2002, p. 19). Ilustração 35 As operações 4 x 6 = 24 e 6 x 4 = 24 na reta numérica Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana. Embora, sejam operações diferentes, que representam situações singulares distintas, o valor do todo é o mesmo. Desse modo, se Dona Baratinha tiver seis vasos e colocar quatro rosas, em cada um, precisará de vinte e quatro rosas e se forem quatro vasos com seis rosas cada, também precisará de vinte e quatro rosas. Estas são apenas duas singularidades decorrentes da particularidade considerada. No entanto, a História em análise, por seu caráter geral, possibilita a reflexão sobre infinitas situações particulares e singulares. Por exemplo, ainda na situação particular em que o número quatro é tomado como unidade de medida intermediária, serão infinitas as possibilidades de singularidades, se não delimitarmos o segundo valor. Anteriormente (Ilustrações 33 e 34) ao considerarmos o valor quatro como unidade de medida intermediária, durante a resolução da operação 4 x 6 = 24, apresentamos seis possibilidades singulares (4 x 1 = 4, 4 x 2 = 8, 4 x 3 = 12, 4 x 4 = 16, 4 x 5 =

86 82 20 e 4 x 6 = 24). No entanto, caso a quantidade de vasos seja maior que seis, teremos outras situações singulares, conforme segue (Ilustração 36): Ilustração 36 - Situações singulares decorrentes de uma particularidade Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana, Na sequência apresentada na ilustração anterior (36), o valor da unidade de medida intermediária, representada inicialmente por z, é a constante (quatro). A quantidade de vezes que a constante se repete é a variável independente (x). A variável y, por sua vez, depende dos valores atribuídos a x, portanto, variável dependente. A sequência que resultou da lei 4. x = y também é conhecida, na Matemática básica, de tabuada. Cabe ressaltar, ainda sobre a ilustração (36), que na operação 4 x 0 = 0, ao tomarmos o número zero como multiplicador, o resultado, será sempre zero. Isto porque, a unidade de medida intermediária não se repete nenhuma vez, ou seja, não há formação de nenhum agrupamento. Mas, onde termina a sequência particular anteriormente apresentada (Ilustração 36)? A continuidade vai depender da situação singular requerida. A perspectiva da continuidade é necessária para a compreensão de que qualquer número inteiro terá seu lugar na tabuada, que ela não se limita no número 10. Além disso, também é importante termos clareza que a relação particular 4. x = y nos liberta para atribuirmos qualquer valor à x. Por exemplo, para x = 15,

87 83 teremos: 4 x 15 = 60. O mesmo é válido para o sucessor de 15 (4 x 16 = 64) e assim sucessivamente. Nesse sentido, nossa proposição é que a estrutura interna da tabuada seja compreendida e memorizada, nos limites da unidade de segunda ordem, no caso do sistema de numeração decimal, a dezena com possibilidade de generalização para a sequência infinita, a fim de subsidiar o cálculo mental (SILVEIRA, 2015). Por exemplo, 4 x 16 = 64 é o mesmo que: 4 x 10 = 40 mais 4 x 6 = 24. O que possibilitaria a superação da necessidade permanente de utilização dos riscos, dedos conforme revelaram os dados que apresentamos no segundo capítulo da presente dissertação, quando o estudante Guilherme afirma: [...] quando eu não sei eu faço risquinhos no rascunho [...] se for muito grande, as vezes, eu me perco (Entrevista com Guilherme, agosto de 2014). Conforme mencionamos no capítulo anterior, os primitivos utilizavam os dedos ou os riscos para representá-los durante o cálculo e os estudantes participantes da pesquisa assim procedem. Tais resultados são confirmados pela Avaliação Nacional de Alfabetização (ANA) de De acordo com Renato Janine, ministro da Educação, o maior problema das crianças do 3º ano do Ensino Fundamental é a Matemática, área na qual 57% mostraram um nível inadequado de aprendizagem (AGÊNCIA BRASIL, 2015). Para a avaliação de Matemática, o MEC dividiu a aprendizagem em quatro níveis, foram considerados inadequados os dois primeiros. Em relação à esta divisão, o ministro afirma que no [...] primeiro, a criança tem apenas o conhecimento que traz de casa. No segundo, ela é capaz de fazer operações, mas muito simples (AGÊNCIA BRASIL, 2015). Desse modo, os resultados da ANA, publicados em setembro de 2015, reforçam o que dizem alguns pesquisadores brasileiros (ROSA, 2012, BRUNELI, 2012, HOBOLD, 2014, entre outros): a maioria dos estudantes brasileiros permanecem nos limites do conhecimento empírico. Porém, ao ingressar na escola, os estudantes deveriam desenvolver a atividade estudo, destinada a apropriação do conhecimento teórico de sua época que é diferente daqueles utilizados na vida cotidiana: O desenvolvimento desta relação teórica para a realidade permite ao homem sair dos limites da vida cotidiana, observada diretamente; A inserção no amplo círculo dos conhecimentos mediatizadamente representados que transcorrem no mundo e também nas relações das pessoas (DAVÍDOV, 1988, p. 162, tradução nossa). Para nós, ao permanecer nos limites da vida cotidiana, como por exemplo, o que demonstra os resultados da ANA, a escola pouco contribui na formação mais ampla do ser humano.

88 84 [..] A atividade de estudo plena, como atividade principal dos estudantes, pode ser a base de seu desenvolvimento omnilateral. Em segundo lugar, as aptidões e hábitos realmente firmes de leitura compreensiva e expressiva, de escrita e cálculo corretos se forma nas crianças na presença de determinados conhecimentos teóricos. Em terceiro lugar, a atividade consciente dos estudantes para o estudo se apoia na sua necessidade, desejo e capacidade de aprender, os que surgem no processo de cumprimento real da atividade de estudo (DAVÍDOV, 1988, p. 171, tradução nossa). O cumprimento real da atividade de estudo, a partir da situação desencadeadora de aprendizagem, consiste em observar e transformar os dados da história, não solucionáveis pelos procedimentos conhecidos pela criança. A finalidade é revelar e distinguir uma relação completamente definida de certo objeto integral (DAVÍDOV, 1988, p. 182, tradução nossa). O conceito matemático adotado no processo de reflexão da primeira pergunta de Dona Baratinha (total de rosas), a fim de tornar o processo de contagem menos trabalhoso, foi o de multiplicação. Coletivamente, a partir dessas reflexões, os estudantes podem sintetizar a definição do conceito de multiplicação, como uma soma de parcelas iguais (CARAÇA, 2002), conforme os termos matemáticos do conceito (Ilustração 37): Ilustração 37 Termos do conceito de multiplicação Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana, Dada a expressão anterior (Ilustração 37), z é o multiplicando, x o multiplicador e y o produto. É importante adotar os termos corretos, para que os estudantes se apropriem, além do conceito, da linguagem adequada. Para Lefebvre (1991, p. 88), os instrumentos do pensamento não podem ser separados dos objetos aos quais se aplicam. A lógica concreta [dialética], portanto, descreverá tais instrumentos mais aperfeiçoados, tais formas racionais, e resumirá assim milhões e milhões de experiências. Desse modo, a relação universal do conceito de multiplicação, modelada algebricamente, corresponde e se aplica a diversas situações particulares. Nascimento (2014), com base em Davídov, diz que

89 85 Os modelos teóricos possuem um duplo papel: são instrumento de análise para o estudo do conteúdo das relações essenciais de um objeto (na medida em que nos permitem de forma direta a análise das relações internas de um fenômeno, testando as hipóteses sobre quais seriam essas relações e como se dá a conexão ou os nexos entre os seus elementos) e são, também, um modo de exposição sintética dos nexos internos encontrados pela análise (NASCIMENTO, 2014, p. 54). Os modelos gráficos e literais permitem a análise e revelam as sínteses realizadas a partir da experiência sensorial, que constitui a base do conhecimento humano (SILVEIRA, 2015, p. 134). Nesse sentido, Davídov (1988, p. 176, tradução nossa) aponta que: Segundo a lei geral de interiorização, a forma inicial das ações de estudo é o seu cumprimento empregado em objetos exteriormente representados.... o domínio das ações mentais escreveu Leontiev que estão na base da apropriação, da herança pelo indivíduo dos conhecimentos, dos conceitos elaborados pela humanidade, requer indispensavelmente a passagem do sujeito desde as ações realizadas externamente para as ações no plano verbal e, finalmente, a paulatina interiorização destas últimas, como resultado do qual adquirem o caráter das operações mentais [...]. Para que estas ações de interiorização adquiram um caráter mental, por meio da reprodução e apropriação do conceito, a proposição davydoviana sugere a inclusão, também, de tarefas que envolvam as grandezas discretas e contínuas (DAVÝDOV, 1982). Para que isso ocorra, a história elaborada contempla duas perguntas e envolve a grandeza discreta (rosas) e a contínua (valor monetário). Em relação à segunda pergunta apresentada na História Virtual: Quanto dinheiro vou ter que retirar da minha caixinha? Utilizaremos a mesma operação que adotamos para determinar a quantidade de rosas. Para isso, precisaremos saber o custo de cada rosa. Supomos que cada rosa custará três moedas. Além disso, consideremos as situações singulares propostas anteriormente (4 x 6 = 24 ou 6 x 4 = 24). Como são 24 rosas, e cada rosa custa 3 moedas, este será o valor da unidade de medida intermediária (3). Portanto, faremos agrupamentos compostos por três unidades cada, que se repetirão por 24 vezes (total de rosas), conforme o esquema de setas (Ilustração 38). Ilustração 38 - Esquema de setas para a situação singular 3 x 24 =?? A C 3 24 Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana, B

90 86 Até então, realizamos o cálculo com o auxílio da reta numérica, pois, de acordo com a proposição davydoviana, a reta numérica é o ponto de partida para a introdução do conceito de multiplicação (CRESTANI, 2013; HOBOLD, 2014). Entretanto, temos agora, uma situação singular na qual a unidade de medida intermediária se repetirá por vinte e quatro vezes, o que torna o cálculo na reta numérica um procedimento demorado e, portanto, precisa ser superado por um outro mais rápido. Faz-se necessário o algoritmo do conceito da multiplicação ou, nas palavras de Davýdov e colaboradores (ГОРБОВ, C. Ф. МИКУЛИНА Г. Г.; САВЕЛЬЕВА О. В., 2003) 17 a multiplicação em coluna. A sugestão da referida proposição é a decomposição do multiplicando pelas centenas, dezenas e unidades que o compõem. Isto porque, ao decompor o multiplicando, os estudantes podem orientar-se pela tabuada. Por exemplo, para realizar a operação da situação particular em análise, temos (Ilustração 39): Ilustração 39 - Decomposição do multiplicando (24) Fonte: Elaboração nossa com base em ГОРБОВ, C. Ф. МИКУЛИНА Г. Г.; САВЕЛЬЕВА О. В., Para determinar o produto (total) da operação 24 x 3 =, por meio da decomposição, temos duas dezenas que se repetem por três vezes e quatro unidades que também se repetem por três vezes. Para determinar o resultado, a continuidade do cálculo (Ilustração 20), ocorre do seguinte modo (Ilustração 40): Ilustração 40 - Cálculo da operação da multiplicação em linha = = Livro didático e no livro de orientação ao professor referente ao terceiro ano do Ensino Fundamental da proposição davydoviana.

91 87 Fonte: Elaboração nossa com base em ГОРБОВ, C. Ф. МИКУЛИНА Г. Г.; САВЕЛЬЕВА О. В., Conforme a ilustração 40, ao orientar-se pela tabuada do número três, o estudante determina o valor da operação. Assim, para duas dezenas vezes três, teremos seis dezenas e para quatro unidades vezes três teremos doze unidades. A conclusão do cálculo ocorre por meio da adição dos resultados parciais obtidos. Nesta situação singular, Dona Baratinha precisaria de setenta e duas moedas. Em seguida, para a introdução do algoritmo da multiplicação, sugere-se a redução do registro, por meio da decomposição mental do multiplicando (centenas, dezenas e unidades). Por exemplo, se Dona Baratinha tivesse 1324 flores (Ilustração 41): Ilustração 41 - Redução do registro: cálculo da multiplicação em linha = = 3972 Fonte: Elaboração nossa com base em ГОРБОВ, C. Ф. МИКУЛИНА Г. Г.; САВЕЛЬЕВА О. В., Ao reduzirmos o registro, demos mais um passo em direção ao procedimento que agiliza o cálculo mental (Ilustração 41). Além disso, também é importante sistematizar o algoritmo da multiplicação (multiplicação em coluna). Se Dona Baratinha precisasse adquirir 2132 rosas ao custo de 3 moedas cada, seria necessário o cálculo do produto ( = ), conforme a ilustração 42: Ilustração 42 - Cálculo da operação da multiplicação em linha e coluna = = x Fonte: Elaboração nossa com base em ГОРБОВ, C. Ф. МИКУЛИНА Г. Г.; САВЕЛЬЕВА О. В., Para determinar o produto da operação = (Ilustração 42), determinamos e anotamos em linha o primeiro produto parcial (6000). Ele é colocado também na coluna correspondente a unidade de milhar (6). De modo análogo, gradativamente, anotamos os demais resultados parciais (centenas, dezenas e unidades). Conclui-se, por meio da comparação dos dois modos de cálculo, linha e coluna, que no de coluna já temos a resposta

92 88 final e no procedimento em linha temos que executar a operação da adição. Assim, o novo modo de registro, torna-se um procedimento de cálculo mais rápido que o anterior. Mas está correto iniciar pela unidade de milhar? Reflitamos sobre duas operações. Na primeira iniciaremos o cálculo a partir da unidade de milhar e na segunda a partir da unidade (Ilustração 43): Ilustração 43 - Cálculo a partir da unidade de milhar e a partir da unidade básica 2252 x x Fonte: Elaboração nossa com base em ГОРБОВ, C. Ф. МИКУЛИНА Г. Г.; САВЕЛЬЕВА О. В., As operações (Ilustração 43) foram desenvolvidas de dois modos distintos. Na primeira, iniciando pelo número da ordem maior e na segunda pelo número da menor ordem. No primeiro caso, ao final do cálculo, é necessário corrigir o registro. Isso ocorre em função da transformação de unidades em dezenas, de dezenas em centenas, e assim sucessivamente. No segundo caso, o resultado parcial pode ser memorizado e em seguida adicionado ao produto obtido na sequência 18. Ou, ao ocorrer a formação de uma nova ordem, esta pode ser indicada com uma seta e o número que representa o novo valor (SILVEIRA, 2015). Assim, a operação realizada a partir da unidade, torna o procedimento mais cômodo, pois não é necessário corrigir o registro ao término do cálculo. Mas, retomando, as reflexões sobre resposta à Dona Baratinha, conforme já mencionamos, a situação singular em análise consiste em setenta e duas moedas (Ilustração 19). Será que Dona Baratinha terá moedas suficientes? Ainda não temos essa informação. Como é um valor desconhecido, representaremos o total de dinheiro pela letra H e daremos algumas sugestões para Dona Baratinha: 18 Esse procedimento, no ensino tradicional, é empiricamente conhecido como vai um.

93 89 Ilustração 44 - Três possibilidades de singularidades Fonte: Elaboração nossa, Caso a opção seja pela última possibilidade, primeiramente, faz-se necessário determinar o custo para cada vaso: serão quatro agrupamentos (parcelas) de 2,50 cada. Na reta numérica, o ponto de partida é o zero, e o resultado consistirá no ponto geométrico no qual o último agrupamento atingir. Ilustração 45 - Cálculo na reta numérica da operação 2,50 x 4 =. Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana, De acordo com o resultado obtido (Ilustração 45), Dona Baratinha precisará de 10 moedas para cada vaso. Cabe ressaltar que, no decorrer do processo de ensino e aprendizagem dos conceitos matemáticos, em especial do conceito de multiplicação, o estudante irá apropriarse do algoritmo também para situações com números decimais. Entretanto, este não é o objetivo nesse momento de introdução do conceito.

94 90 Além da reta numérica e do algoritmo referente ao conceito de multiplicação, há outro procedimento de cálculo que poderá ser utilizado para determinar o produto em todos as situações apresentadas: a calculadora. Como produção humana contemporânea, a calculadora atende ao princípio dos pressupostos da Teoria Histórico-Cultural de apropriação de conceitos em seu atual estágio de desenvolvimento. Na proposição davydoviana, a sugestão do uso deste instrumento é para operações com números altos e, também, como comprovação de resultados obtidos por meio da reta numérica, cálculo mental, contagem um a um, etc. Em algumas tarefas da referida proposição a sugestão é a resolução, da mesma tarefa, por modos diferentes de cálculo: o professor propõe que uma criança conte de unidade em unidade (1, 2, 3,..., 15), outra utilize a calculadora e as demais realizem o cálculo com auxílio da régua (HOBOLD, 2014, p. 109). Esta sugestão estende-se as situações particulares e singulares que apresentamos nesta resolução. Para finalizar o cálculo da quantidade de moedas é preciso determinar o valor total dos vasos. Para tanto, formaremos agrupamentos de dez unidades cada (valor de cada vaso) que se repetirão por 6 vezes (quantidade de vasos), considerando a situação particular proposta anteriormente, conforme ilustração a seguir: Ilustração 46 Cálculo na reta numérica do valor total de moedas que Dona Baratinha precisará Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana. Vale ressaltar que Dona Baratinha não mencionou em sua carta qual moeda tem em sua caixinha. No contexto brasileiro, a moeda oficial é o Real. Supomos, por exemplo, que as moedas totalizem R$ 80,00 e que seus gastos sejam de R$ 60,00. Como ela poderá saber se possui dinheiro suficiente?

95 91 A resposta matematicamente correta, será obtida por meio da subtração (80 60 = 20) 19. Com base nos resultados obtidos a partir das situações particulares e singulares sugeridas no decorrer deste, a resposta à Dona Baratinha poderia ser do seguinte modo: Ilustração 47 Carta para Dona Baratinha Cara Dona Baratinha, Somos pesquisadoras sobre Educação Matemática e pretendemos ajudá-la com o problema de seu casamento. A dificuldade que você encontrou para contar as rosas, uma a uma, também encontramos por aqui atualmente. A limitação desse modo de cálculo também ocorreu, historicamente, quando as quantidades a serem contadas foram aumentando. A solução encontrada, pela humanidade, foi a contagem por agrupamento. Este é o princípio que seguiremos nesta carta resposta. Como você gosta muito de rosas, supomos que haverá mais de uma em cada vaso. Temos, portanto, a unidade de medida básica (uma rosa) e o que chamaremos de unidade de medida intermediária (quantidade de rosas por vaso), pois ela facilita o processo de contagem. Primeiramente, para possibilitar nossa comunicação, vamos representar os valores desconhecidos algebricamente (por letras): Quantidade de rosas por vaso (z), quantidade de vasos (x) e total de rosas (y). Os elementos essenciais para que você encontre um modo mais rápido de contagem são: O conceito que adotamos para responder sua carta, em Matemática, é denominado de multiplicação. Quando você precisar agilizar um processo de cálculo poderá orientar-se pela 19 O cálculo, com o auxílio da reta numérica, diferente da multiplicação, para qual o ponto de partida é o zero, neste caso o ponto de partida é o valor total (80). No entanto, os valores maiores são realizados no algoritmo. Para aprofundar o estudo das operações de adição e subtração em Davýdov sugerimos as leituras de Rosa, Damazio e Alves (2013) e Silveira (2015).