Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos

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1 Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi 15 de Setembro de 2016 Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos 15 de Setembro de / 32

2 1. Introdução Quando utilizar blocos? Em situações em que é impossível realizar todos os 2 k tratamentos sob condições experimentais homogêneas; Em que há o interesse do pesquisador em variar as condições ambientais de tal forma que os tratamentos a serem escolhidos sejam robustos à variação das condições ambientais. Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos 15 de Setembro de / 32

3 2. 2 k em blocos completos com n repetições 2 k trat. 2 k trat. 2 k trat. 2 k trat. Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 Bloco n Geralmente para k = 2 ou k = 3 fatores 2 k trat. 2 k trat. 2 k trat. 2 k trat. Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 Bloco n Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos 15 de Setembro de / 32

4 Exemplo. k = 2 fatores, A e B, com 2 níveis cada Tratamentos: (1), a, b e ab, casualizados em n = 3 blocos ab ab a a b (1) b (1) b (1) a ab Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos 15 de Setembro de / 32

5 Exemplo. Adubação NPK em milho (Pimentel Gomes, p.72, 2009) Tabela: Produções, em t/ha, de parcelas de um experimento de adubação no esquema fatorial 2 3, casualizado em blocos, cujos fatores são a presença de adubação com: nitrogênio (N), fósforo (P) e potássio (K) Tratamento Bloco (1) N P NP K NK PK NPK 1 1,32 1,80 1,66 1,72 2,58 2,72 2,26 2,95 2 2,12 2,02 2,66 3,85 3,56 3,20 2,08 3,28 3 1,75 2,95 1,73 2,62 2,86 2,25 1,95 2,40 Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos 15 de Setembro de / 32

6 Nível Produção (t/ha) baixo alto Trat. N P K Bl.1 Bl.2 Bl.3 Bl.4 Fator ( ) (+) (1) 1,32 2,12 1,75 2,35 N (kg/ha) 0 10 n + 1,80 2,20 2,95 2,96 P (kg/ha) 0 40 p + 1,66 2,66 1,73 2,58 K (kg/ha) 0 30 np + + 1,72 3,85 2,62 3,00 k + 2,58 3,56 2,86 2,75 nk + + 2,72 3,20 2,25 2,75 pk + + 2,26 2,08 1,95 2,70 npk ,95 3,28 2,40 3,35 Nota: Trat. = Tratamento, Bl.j = Bloco j Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos 15 de Setembro de / 32

7 Codificação das variáveis: x 1 = N 5 5 x 2 = P x 3 = K N = 5x P = 20x K = 15x Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos 15 de Setembro de / 32

8 Planejamento utilizando a biblioteca rsm 1 do R library(rsm) bloco1 = cube( x1 + x2 + x3, n0=0, coding = c( x1 (N-5)/5, x2 (P-20)/20, x3 (K-15)/15) ) bloco4 = cube( x1 + x2 + x3, n0=0, coding = c( x1 (N-5)/5, x2 (P-20)/20, x3 (K-15)/15) ) expt1 = djoin(bloco1,bloco2,bloco3,bloco4, blkname = "bloco") 1 Lenth, R. Response Surface illustration, 2015 Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos 15 de Setembro de / 32

9 expt1 run.order std.order N P K bloco Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos 15 de Setembro de / 32

10 stdorder(expt1) run.order std.order N P K bloco Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos 15 de Setembro de / 32

11 producao = c(1.32, 1.80, 1.66, 1.72, 2.58, 2.72, 2.26, 2.95, 2.12, 2.20, 2.66, 3.85, 3.56, 3.20, 2.08, 3.28, 1.75, 2.95, 1.73, 2.62, 2.86, 2.25, 1.95, 2.40, 2.35, 2.96, 2.58, 3.00, 2.75, 2.75, 2.70, 3.35) anal1 = rsm(producao bloco + FO(x1,x2,x3), data=stdorder(expt1)) summary(anal1) Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos 15 de Setembro de / 32

12 rsm(formula = producao bloco + FO(x1, x2, x3), data = stdorder(expt1)) Estimate Std.Error t value Pr(> t ) (Intercept) e-13 *** bloco ** bloco bloco ** x * x x * Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 6 and 25 DF, p-value: Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos 15 de Setembro de / 32

13 Analysis of Variance Table Response: producao Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) bloco FO(x1, x2, x3) Residuals Lack of fit Pure error Direction of steepest ascent (at radius 1): x x2 x Corresponding increment in original units: N P K Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos 15 de Setembro de / 32

14 K N Slice at P = 20 Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos 15 de Setembro de / 32

15 3. Fatoriais 2 k em 2 q Blocos Incompletos (q < k) 2 k q trat. 2 k q trat. 2 k q trat. 2 k q trat. Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 Bloco 2 q Neste caso os tratamentos podem distribuídos em 2 blocos, 4 blocos, 8 blocos etc. Exemplo: 2 4 = 16 tratamentos em 2 2 = 4 blocos com 16 4 = 4 tratamentos cada. Como distribuir os tratamentos aos blocos? Uma técnica é a do confundimento Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos 15 de Setembro de / 32

16 3.1 Confundimento Esta técnica de planejamento leva à impossibilidade de distinção entre o efeito de certos tratamentos (geralmente interações de ordem elevada) e o efeito de blocos. Dizemos, assim, que os efeitos estão confundidos. Exemplo. Fatorial 2 3 em 2 blocos Um efeito fatorial precisa ser sacrificado. Qual? Supondo que a interação ABC seja a menos importante ABC Bloco Regra: Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos 15 de Setembro de / 32

17 Tabela: Tabela de sinais para o fatorial 2 3 e determinação dos blocos com interação ABC confundida Efeitos fatoriais Trat. I A B C AB AC BC ABC Bloco (1) a b ab c ac bc abc Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos 15 de Setembro de / 32

18 Não casualizado Casualizado Bloco 1 Bloco 2 Bloco 2 Bloco 1 (1) a abc ab ab b b (1) ac c a bc bc abc c ac Figura: Fatorial 2 3 em 2 blocos com interação ABC confundida, antes e após a casualização da ordem dos blocos e dos tratamentos dentro de cada bloco Efeito de Bloco= a + b + c + abc 4 Notação: B EF =ABC (1) + ab + ac + bc 4 = Efeito ABC Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos 15 de Setembro de / 32

19 Exemplo. Fatorial 2 3 em 4 blocos Regra: B EF 1 B EF 2 Bloco Poderíamos, por exemplo, escolher: B EF 1 =AB e B EF 2 =AC Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos 15 de Setembro de / 32

20 Tabela: Tabela de sinais para o fatorial 2 3 e determinação dos blocos com efeitos de bloco B EF 1 =AB e B EF 2 =AC Efeitos fatoriais Trat. I A B C AB AC BC ABC Bloco (1) a b ab c ac bc abc Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos 15 de Setembro de / 32

21 a ab b (1) bc c ac abc Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 Bloco 4 Tabela: Fatorial 2 3 em 4 blocos com interações AB e AC confundidas com efeitos de bloco (B EF 1 =AB e B EF 2 =AC) Exercício. Faça o planejamento de um fatorial 2 3 em 4 blocos com as interações ABC e BC confundidas com efeitos de bloco Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos 15 de Setembro de / 32

22 4 blocos 3 graus de liberdade Efeitos de bloco, B EF 1 =AB e B EF 2 =AC, têm 1 grau de liberdade cada Mais um efeito fatorial está confundido com o de blocos, o da interação B EF 1 B EF 2 = B EF 1 B EF 2 com expoentes em módulo 2 No exemplo em questão, B EF 3 = B EF 1 B EF 2 = AB AC = A 2 BC = A 0 BC = IBC = BC Exercício. Quando as interações ABC e BC estão confundidas com efeitos de bloco, qual efeito fatorial extra está também confundido com o de blocos? Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos 15 de Setembro de / 32

23 Exercício. Fatorial 2 6 em 2 3 = 8 blocos Planejamento 1: Considere os efeitos de bloco B EF 1 = ABCD, B EF 2 = CDEF e B EF 3 = ABE. Quantos e quais são os outros efeitos fatoriais confundidos? Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos 15 de Setembro de / 32

24 B EF 1 B EF 2 = ABCD CDEF = ABC 2 D 2 EF = ABEF B EF 1 B EF 3 = ABCD ABE = A 2 B 2 CDE = CDE B EF 2 B EF 3 = CDEF ABE = ABCDE 2 F = ABCDF B EF 1 B EF 2 B EF 3 = ABCD CDEF ABE = A 2 B 2 C 2 D 2 E 2 F = F Efeitos fatoriais confundidos com o de blocos: F, ABE, CDE, ABCD, ABEF, CDEF e ABCDF O efeito principal F está confundido com o de blocos!! Dica: seguir as sugestões de livros Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos 15 de Setembro de / 32

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26 Exercício. Construa a tabela de sinais para o fatorial 2 4 e determine os 4 blocos de tal forma que os efeitos fatoriais utilizados para gerar os blocos (efeitos geradores dos blocos) sejam ABC e ACD Exercício. No R bloco1 <- cube ( x1 + x2 + x3 + x4, n0 = 0, blockgen = c(x1 * x2 *x3, x1 * x3 * x4), bid = 1) bloco2 <- foldover(bloco1, bid = 2) bloco3 <- foldover(bloco1, bid = 3) bloco4 <- foldover(bloco1, bid = 4) expt2 = djoin(bloco1,bloco2,bloco3,bloco4, blkname = "bloco") expt2 stdorder(expt2) Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos 15 de Setembro de / 32

27 Tabela: Resultados de um experimento no esquema fatorial 2 4 em 4 blocos, para estudar a influência de quatro fatores sobre o rendimento de uma reação química. Fonte: Adaptado de Barros Neto (2010). Trat A B C D ABC ACD y Bloco Fator ( ) (+) (1) 54 1 A: Temp. ( o C) ac B: Cat. (tipo) A B abd C: Conc. (M) bcd D: ph 7 6 b abc Resposta ad y = Rend. (%) cd ab bc d acd a c bd abcd Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos 15 de Setembro de / 32

28 Análise utilizando o R bloco1 <- cube ( x1 + x2 + x3 + x4,n0 = 0, blockgen = c(x1 * x2 *x3, x1 * x3 * x4), coding = c(x1 (A-50)/10, x2 B, x3 (C-1.25)/0.25, x4 (D-6.5)/0.5), bid = 1) bloco2 <- foldover(bloco1, bid = 2) bloco3 <- foldover(bloco1, bid = 3) bloco4 <- foldover(bloco1, bid = 4) expt2 = djoin(bloco1,bloco2,bloco3,bloco4, blkname = "bloco") rend = c(54, 94, 64, 58, 49, 70, 87, 64, 62, 56, 52, 94, 85, 64, 49, 73) Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos 15 de Setembro de / 32

29 anal2 = rsm(rend bloco + FO(x1,x2,x3,x4) + TWI(x1,x2,x3,x4), data=stdorder(expt2)) summary(anal2) anal3 = rsm(rend bloco + FO(x1,x2,x3) + I(x1*x2), data=stdorder(expt2)) summary(anal3) par(mfrow=c(1,3)) contour(anal3, x1 + x2 + x3, image = TRUE) par(mfrow=c(1,1)) Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos 15 de Setembro de / 32

30 B A Slice at C = 1.25 C A 60 Slice at B = 0 C B Slice at A = 50 Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos 15 de Setembro de / 32

31 Exercício. Analise novamente os dados do primeiro experimento do helicóptero supondo que o mesmo tenha sido realizado em 4 dias (blocos) com os efeitos das interações ABC e BD confundidos com o de blocos. Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi Experimentos Fatoriais 2 k em Blocos 15 de Setembro de / 32