X Encontro Nacional de Educação Matemática Educação Matemática, Cultura e Diversidade Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 2010

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1 LIMITE DE FUNÇÃO: CONCEITO IMAGEM CONCEITO DEFINIÇÃO Maria Alice de V. Feio Messias Universidade do Estado do Pará - UEPA alice.messias@gmail.com Acylena Coelho Costa 2 Universidade do Estado do Pará - UEPA acylena@uepa.br Resumo: O presente trabalho apresenta os resultados de uma pesquisa diagnóstica realizada com estudantes concluintes do curso de licenciatura em matemática de uma universidade pública do estado do Pará, cujo objetivo fora investigar aspectos relacionados à apreensão do conceito de ite de função. Para isso, norteamos nossa pesquisa na teoria sobre Conceito Imagem e Conceito Definição de Tall e Vinner (98). Foram analisados os conhecimentos de 53 estudantes por meio da aplicação de um questionário. Evidenciamos que os elementos que compõem o conceito imagem e conceito definição dos sujeitos investigados sobre ite de função não estavam coerentemente relacionados à sua definição formal, sendo esses resultados semelhantes àqueles obtidos em pesquisas anteriores. Palavras - Chave: Conceito Imagem; Conceito Definição; Limite de Função.. INTRODUÇÃO As dificuldades em matemática no ensino superior - especificamente em Cálculo tem sido objeto de estudo de diversas pesquisas nacionais e internacionais em educação matemática. Isso porque muitos indivíduos apresentam significativas dificuldades que se fazem presentes, principalmente, na apreensão dos conceitos envolvidos. Sabe-se que muitas dessas dificuldades estão estritamente relacionadas com o entendimento da noção de ite, haja vista que muitos estudantes terminam o curso de Cálculo sem relacioná-la com conceitos imediatos, como o estudo da derivada e da integral. Dentre as pesquisas realizadas nesse âmbito, tomamos como suporte teórico inicial para o desenvolvimento dessa pesquisa os estudos de Gélis e Lenne (2003), Zuchi (2005), Rodríguez (2009) e Ochoviet, Olave & Testa (2009). Graduada da UEPA. 2 Profª Assistente do Departamento de Matemática Informática e Estatística da UEPA.

2 Gélis e Lenne (2003) defendem a utilização de um ambiente de aprendizagem com base no Sistema de Cálculo Formal Mupad. Ao aplicarem atividades para alunos da escola secundária francesa Fustel de Coulanges, verificaram que essa abordagem permite que os estudantes se libertem das itações do ambiente lápis e papel. Os autores destacam que o software oferece ainda a possibilidade de aplicar os teoremas conhecidos pelos estudantes para calcular ites, além de disponibilizar ferramentas numéricas e gráficas que facilitam a construção de conjecturas e provas. Além disso, acreditam que os estudantes podem se apropriar mais pertinentemente de diferentes técnicas para calcular indeterminações, prová-las e identificar os contetos adequados para utilizá-las. No que se refere as dificuldades no processo de ensino e aprendizagem do conceito de ite de uma função, Zuchi (2005) realizou um trabalho de investigação com estudantes universitários e em seguida, propôs alternativas que pudessem minimizar tais dificuldades. Para isso, integrou a didática da matemática e inteligência artificial à luz da teoria das situações de Brousseau e ao introduzir o conceito de ite mediante situações-problema para estudantes dos cursos de engenharia mecânica, engenharia elétrica e licenciatura em física, percebeu que dentre as dificuldades de compreensão apresentadas por esses alunos, destaca-se aquela concernente à relação entre ε e δ. Isso porque os estudantes não conseguem relacionar seu aspecto intuitivo ponto de vista cinemático e sua definição formal sob o ponto de vista de aproimação. Segundo a autora: (...) geralmente a definição de ite é eposta após uma introdução do conceito pelo ponto de vista cinemático, e após vários eemplos resolvidos, é dada essa definição utilizando o ponto de vista de aproimação sem um amadurecimento da correlação entre ambas (p. 89). Em seu trabalho, Rodríguez (2009) apresenta uma pesquisa na qual está estabelecendo tipologias que caracterizam diferentes usos da língua natural e da língua simbólica simultaneamente, dado que é comum que haja uma grande distância entre a utilização de ambas, bem como a dificuldade em correlacioná-las. Em se tratando da noção de ite, a autora menciona que: 2

3 O docente eplica que uma função f tem ite L quando tende a a se a distância entre as imagens da função e L pode ser arbitrariamente pequena, sendo os valores de muito próimos de a. Depois que se comunica oralmente esta frase, relativamente compreensível, escreve-se a definição com épsilon e delta (...) e poucos são os indivíduos que complementam o que fora escrito no quadro com as eplicações dadas. (tradução nossa, p. 97) Ochoviet, Olave e Testa (2009) realizaram uma pesquisa diagnóstica com 3 estudantes do 2º ano e 25 do 3º ano de licenciatura em matemática. Para isso, elaboraram um questionário contendo três questões que, segundo os autores, não apresentavam ites eplícitos para os estudantes calcularem. Em seus resultados, evidenciaram que a maioria dos sujeitos investigados atribui o valor do ite ao valor da função no ponto e que isso se deve à metodologia utilizada em sala de aula na qual são apresentadas funções polinomiais, eponenciais e logarítmicas em que sempre eiste um ite que coincide com a imagem sendo essa prática reforçada pelas atividades repetitivas em sala de aula. Além disso, verificaram que os estudantes obtêm melhores resultados em meio à representação gráfica, pois os saltos presentes no gráfico permitiram evocar a não eistência do ite. Ochoviet, Olave e Testa (id.) acreditam ainda que para melhorar o desempenho dos estudantes, é necessária a apresentação de atividades que transcendam o mero cálculo dos ites, caracterizadas por diferentes registros que possam gerar conflitos que, diante da intervenção do professor, contribuam com a formação do indivíduo. Para isso, devemos ser cuidadosos na escolha da função, haja vista que funções contínuas reforçam a idéia de substituir a variável pelo número real em questão no momento de calcular o ite. As pesquisas descritas anteriormente elucidam, principalmente, as dificuldades concernentes à compreensão da noção de ite de uma função e não apenas aquelas relacionadas às técnicas e manipulações algébricas necessárias para resolvê-lo. Considerando a importância do conceito de ite para a aprendizagem dos demais tópicos de Cálculo, desenvolvemos uma pesquisa, cujo objetivo foi investigar aspectos referentes ao conceito de ite de função de estudantes concluintes do curso de licenciatura em matemática de uma universidade pública no estado do Pará. 3

4 2. PESQUISA À LUZ DO REFERENCIAL TEÓRICO Muitos pesquisadores têm direcionado seus estudos para as dificuldades relacionadas às definições matemáticas formais, sendo os mesmos, em sua maioria, unânimes em afirmar que eperiências cotidianas podem inconscientemente interferir na apreensão de conceitos matemáticos. Cornu (apud TALL, 988) destaca que: (...) noções matemáticas não são apenas utilizadas de acordo com suas definições formais, mas também através de suas representações mentais que podem variar de pessoa pra pessoa. Esses modelos individuais são elaborados através de modelos espontâneos (...) que interferem nas definições matemáticas formais. Nós notamos que a noção de ite é algumas vezes visualizada como algo alcançável e outras vezes inalcançável. (tradução nossa, p. 37) Os termos Conceito Imagem e Conceito Definição foram introduzidos e descritos por Tall e Vinner (98). O Conceito Imagem consiste em toda a estrutura cognitiva associada a um conceito, podendo nessa estrutura ser incluída a imagem deste conceito por meio de uma representação visual, figura mental ou eperiências vivenciadas pelo individuo. Por sua vez, o Conceito Definição, que se constitui também na estrutura cognitiva do indivíduo, representa a forma, em palavras, utilizada para especificar um conceito, podendo ou não ser diferente do Conceito Definição formal. Ao fazerem referência a ite de uma função, Tall e Vinner (98) apontaram que o ite de uma função é normalmente considerado como um processo dinâmico em que se aproima de a da mesma maneira que f( ) se aproima de c. Ou seja, os estudantes consideram f ( ) ccomo parte do seu Conceito Imagem. Essa situação ficou evidente nos resultados obtidos pelos autores ao aplicarem um questionário, no qual os indivíduos deveriam eplicar o que significava 3 3. No mesmo questionário, ao tentarem escrever uma definição para f( ), grande parte dos alunos o fizeram de maneira dinâmica o ite se aproima de, o ite tende à, o ite fica próimo de e apenas quatro dos sujeitos investigados escreveram a definição formal corretamente, demonstrando um descompasso entre o Conceito Definição e o Conceito Imagem de ite de uma função. a 4

5 Tomando como referência a teoria de Tall e Vinner (98), desenvolvemos a presente pesquisa com o intuito de investigar os elementos que compõem o Conceito Imagem e Conceito Definição dos sujeitos investigados sobre ite de função. 3. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS Esta pesquisa diagnóstica objetivou investigar as concepções de universitários referentes ao conceito imagem e conceito definição de ite de função. Os 53 estudantes investigados cursavam os 3º e 4º anos do curso de licenciatura em matemática de uma universidade pública do estado do Pará. A pesquisa constituiu-se em duas etapas. Na primeira, os sujeitos investigados responderam individualmente e por escrito um questionário contendo duas questões. Na segunda etapa, analisamos os resultados obtidos e confrontamos com os resultados de pesquisas anteriores. A aplicação do instrumento de coleta de dados ocorreu nos meses de Março, Abril e Maio de 2008 para um total de 53 alunos, sendo 37 do 3º ano e 6 do 4º ano. As questões e seus respectivos objetivos estão destacadas a seguir. ª Questão: Como você definiria ite de uma função? Objetivo: Identificar aspectos concernentes ao conceito definição e conceito imagem dos alunos sobre ite de uma função. Essa questão teve como referência as pesquisas realizadas por Tall e Vinner (98) e Zuchi (2005). De acordo com os resultados obtidos por Tall e Vinner (98), os estudantes apresentam, em sua maioria, um conceito definição dinâmico. Sendo a noção de que o ite sempre se aproima de um ponto, sem nunca alcançá-lo parte do conceito imagem de muitos estudantes. Esta situação também foi evidenciada por Zuchi (2005). Dessa maneira, intencionamos verificar se os sujeitos de nossa pesquisa apresentariam respostas semelhantes àquelas encontradas nos estudos acima mencionados. 5

6 2ª Questão: Observe o gráfico da função f: IR IR*, f( ) Objetivo: Verificar se os alunos identificam e compreendem os ites a partir da representação gráfica e justificam matematicamente ou intuitivamente o resultado. Esta questão foi sugerida pela professora orientadora deste trabalho, haja vista a dificuldade dos alunos em realizar interpretações gráficas. Pretendemos também verificar como os estudantes justificariam a resposta, pois Barto (2004) constatou que ao justificar resultados, os alunos se utilizam de argumentações intuitivas, além de evidenciar o conceito imagem dos estudantes acerca do significado de f ( ) (98). a) Qual o valor de f( )? Justifique. b) b) Qual o valor de f( )? Justifique. 4. ANÁLISE DOS RESULTADOS a L e comparar com os dados da pesquisa de Tall e Vinner Os resultados foram obtidos mediante a observação das anotações realizadas pelos estudantes que participaram dessa pesquisa. Foi nossa intenção realizar um levantamento acerca das dificuldades dos alunos ao desenvolverem tarefas envolvendo o conteúdo sobre ite de uma função de uma variável, principalmente aquelas relacionadas ao seu conceito. Análise referente à ª Questão: 6

7 Observamos que 3 indivíduos pesquisados não resolveram a questão e que apenas dois indivíduos apresentaram a definição formal de ite de função, como podemos verificar abaio na resposta do sujeito S46. Além da definição acima, observamos que 6 sujeitos investigados apresentaram definições informais. Sendo que a maioria dessas definições infere que o ite se aproima de um valor ou tende a um valor, sem alcançá-lo. Este tipo de situação pode ser verificado nas respostas dos sujeitos S4 e S29 respectivamente, conforme ilustrado a seguir. Evidenciamos ainda 22 respostas incorretas fornecidas pelos individuos investigados. Destacamos abaio as respostas dos sujeitos S24 e S4, respectivamente. Verificamos que as respostas apresentadas pelos sujeitos investigados sugerem que os mesmos, em sua maioria, utilizam-se de uma noção intuitiva para definir ite de uma função. Autores como Sierpinska (apud ZUCHI, 2005) destacam a eistência do obstáculo do símbolo, no qual os alunos têm resistência em utilizar uma linguagem específica para ite de uma função e isso ficou evidente em nossa pesquisa, haja visto que apenas 2 sujeitos investigados utilizaram a definição formal de ite de uma função. 7

8 Percebemos também que grande parte dos estudantes investigados apresenta uma noção dinâmica de ite de uma função, ou seja, caracteriza-se por chegar perto de um valor ou por tender a um valor desejado. Tall, Monaghan e Sun (994) já mencionaram em pesquisas anteriores o fato de os alunos não considerarem o conceito estático de ite de uma função, ou seja, o próprio valor do ite, apresentando apenas sua noção dinâmica. Constatamos muitos erros conceituais e acreditamos que eles ocorrem devido os alunos não terem apreendido o conceito formal ou informal de ite de uma função pertinentemente. Dentre os erros, destacamos aquele no qual os estudantes afirmam que o ite sempre se aproima de 0, sendo esta situação preocupante, uma vez que tal conceito é importante para a compreensão de conceitos imediatos em Cálculo, bem como para a demonstração de teoremas e propriedades. Dessa maneira, assim como os resultados da pesquisa de Tall e Vinner (98) e Zuchi (2005), percebemos que os estudantes apresentam, em sua maioria, um conceito definição dinâmico de ite de uma função. Além disso, ficou evidente que a noção de que o ite tende à, o ite se aproima de ou o ite chega perto de um determinado valor, sem nunca alcançá-lo faz parte do conceito imagem desses estudantes. Ou seja, assim como na pesquisa de Tall e Vinner (id.), eles apresentam a concepção de que f ( ) c. Análise referente à 2ª questão Evidenciamos que 3 estudantes não responderam a questão. Além disso, 8 indivíduos responderam que e eram zero, entretanto, não justificaram a resposta. Um total de sujeitos investigados não respondeu a questão de maneira pertinente, como podemos verificar nas respostas do sujeito S40. 8

9 Sete indivíduos responderam que os ites de e eram zero e justificaram a partir de uma noção dinâmica de ite de uma função. Evidenciamos este tipo de situação nas respostas dos sujeitos S47. e Verificamos ainda que 4 estudantes que responderam que os ites de e justificaram a resposta intuitivamente, como podemos observar nas respostas dos sujeitos S22 e S26, respectivamente. Evidenciamos também que outros 29 estudantes responderam a questão de maneira pertinente, entretanto, nenhum deles justificou formalmente o que fora pedido e portanto, mais uma vez ficou claro que es sujeitos investigados eploraram a noção intuitiva do conceito de ite de função. É interessante destacar que alguns dos resultados obtidos em nossa pesquisa são semelhantes aos da pesquisa de Tall e Vinner (98), haja vista que 7 estudantes utilizaram a noção dinâmica de ite quando se aproima de... y tende à... 9

10 para justificar a questão. Esta situação, de acordo com Tall e Viner (id.) nos leva a perceber que os estudantes acreditam que f ( ) c, sendo este um conflito em potencial na aprendizagem em Cálculo. Além disso, assim como constatamos na primeira questão, esta noção faz parte do conceito imagem desses alunos. Percebemos que os alunos investigados apresentaram didiculdade em interpretar o gráfico apresentado, dado que 7 alunos afirmaram que e e um deles afirmou que o ite não eistia. Além disso, verifica-se que há dificuldade concernente ao conceito de função constante, fato que nos faz questionar a formação pré-universitária desses alunos. Opio (2005) menciona que muitas dificuldades relacionadas aos conceitos específicos do Cálculo são fruto dos conhecimentos matemáticos apreendidos pelos estudantes nos segmentos de ensino anteriores. 5. CONSIDERAÇÕES FINAIS Propusemo-nos com esta pesquisa investigar os elementos que compõem o conceito imagem e conceito definição de ite de função de estudantes universitários de licenciatura em matemática e para tanto, aplicamos um questionário e norteamos a análise dos dados obtidos na teoria de Tall e Vinner (98) sobre conceito imagem e conceito definição. Diante das anotações dos indivíduos investigados, evidenciamos que a maioria dos estudantes que escreveu uma definição de ite de função, apresentou uma noção intuitiva e dinâmica acerca deste conceito. Torna-se importante destacar que este conceito definição dinâmico apresentado pelos sujeitos investigados em nossa pesquisa se assemelha com os resultados obtidos por Tall e Vinner (98) e Zuchi (2005). Além disso, ficou evidente que a noção de que o ite tende à, o ite se aproima de ou o ite chega perto de um determinado valor, sem nunca alcançá-lo faz parte do conceito imagem desses estudantes. Ou seja, assim como na pesquisa de Tall e Vinner (id.), eles apresentam a concepção de que f ( ) c. As justificativas dos alunos na 2ª questão também demonstram esse dinamismo presente no conceito definição dos sujeitos investigados. 0

11 Verificamos ainda que os sujeitos investigados têm dificuldades em desenvolver atividades envolvendo ite de função de uma variável e estas dificuldades estão relacionadas com a apreensão do conceito de ite de uma função, tanto informal quanto formal. Finalmente, acreditamos que os resultados obtidos em nossa pesquisa foram relevantes, pois a partir deles, verificamos alguns conflitos apresentados pelos sujeitos investigados no que concerne ao conceito de ite de função e esperamos que este trabalho sirva de subsídio para o desenvolvimento de pesquisas futuras para que possamos de fato viabilizar o processo de apreensão do conceito de ite de função e, consequentemente, melhorar o desempenho dos estudantes nos tópicos de Cálculo adjacentes a este conceito. 6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BARTO, M.C.A.L. Um olhar sobre as idéias matemáticas em um curso de cálculo: a produção de significados para continuidade. Dissertação de Mestrado (educação matemática). PUC (SP), GÉLIS, Jean Michel; LENNE, Dominique. Une approche de la notion de ite dans un environnement basé sur un système de calcul formel. In: Environnements informatiques pour l apprentissage humain. Strasbourg, p , OCHOVIET, Cristina; OLAVE, Mónica; TESTA, Yacir. Sobre El aprendizaje del concepto de límite en la formación de profesores de matemática. : Memorias Del 0º Simposio de Educación Matemática. Chivilcoy Buenos Aires Argentina, p , RODRÍGUEZ, Mabel. Consideraciones didácticas para la enseñanza del límite funcional. In: Memorias Del 0º Simposio de Educación Matemática. Chivilcoy Buenos Aires Argentina, p , TALL, David; VINNER, Shlomo. Concept Image and Concept Definition in Mathematics with particular reference to Limits and Continuity. In: Educational Studies in Mathematics, v. 2, p. 5 69, 98. TALL, David. Concept image and Concept definition. In: Senior Secondary Mathematics Education, p. 37 4, 988. ZUCHI, Ivanete. A abordagem do conceito de ite via seqüência didática: do ambiente lápis e papel ao ambiente computacional. Tese de Doutorado (Engenharia de produção). UFSC, 2005.