VALÉRIA GUIMARÃES MOREIRA 2 CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS RESUMO

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1 CONFLITOS CONCEITUAIS COM IMAGENS RELATIVAS A CONCEITOS COMUNS ENTRE A MATEMÁTICA ELEMENTAR E A AVANÇADA 1 VALÉRIA GUIMARÃES MOREIRA 2 CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS RESUMO É comum a afirmação de que os cursos de Cálculo são os de maior índice de reprovação no terceiro grau. Como professora do curso de licenciatura em Matemática, preocupei-me em investigar as dificuldades encontradas pelos alunos no primeiro ano de contato com a Matemática Avançada. De maneira especial, baseada nos conceitos de Imagem Conceitual e Definição Conceitual de Tall e Vinner, procuro investigar os conflitos que os alunos estabelecem em sua mente com as imagens trazidas em suas experiências escolares com alguns conceitos básicos de matemática e as imagens apresentadas do conceito na matemática avançada. Com esse estudo pretendo propor reflexões para professores de Cálculo sobre sua prática em sala de aula. Palavras-chave: Ensino e Aprendizagem da Matemática Avançada, Psicologia do Pensamento Matemático Avançado, Tópicos da Matemática Elementar. 1. Origem da pesquisa Durante minha graduação participei de um grupo de estudos de iniciação científica 3 cuja pesquisa investigava as descontinuidades na aprendizagem da matemática durante o primeiro encontro dos alunos com o conteúdo de Cálculo na universidade, relacionando-as com 1 Monografia de Especialização em Matemática e Estatística. Universidade Federal de Lavras, UFLA, Brasil. 2 Professora do Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais, unidade Nepomuceno. Antes, Professora do Centro Federal de Educação Tecnológica de Januária. Graduada em Licenciatura em Matemática e mestre em Educação, ambas pela UFMG. 3 Título da Pesquisa: INVESTIGANDO O PROCESSO DE TRANSIÇÃO DO CÁLCULO PARA A ANÁLISE REAL.

2 aspectos do trabalho no ensino fundamental e médio, da experiência cotidiana e, eventualmente, profissional de cada indivíduo. Esse estudo oriunda de uma preocupação comum nas universidades onde é freqüente ouvirmos a afirmação que os cursos de Cálculo são os de maior índice de reprovação no terceiro grau. Este estudo foi parte integrante de um projeto mais amplo de Iniciação Científica, que teve por objetivo investigar o processo de transição do Cálculo para a Análise Real. A pesquisa orientada por Pinto, M 4. teve por objetivo envolver o grupo de trabalho na problematização da aprendizagem da Matemática Avançada, desenvolvendo, ao mesmo tempo, uma atitude de reflexão dos participantes do projeto sobre o próprio processo de transição da escola elementar para a universidade. A pesquisa foi predominantemente qualitativa, do ponto de vista da Psicologia da Educação Matemática. O projeto como um todo foi conduzido ao longo de dois anos (do segundo semestre de 1999 ao primeiro semestre de 2001), prevendo momentos distintos em seu desenvolvimento. Num primeiro momento, sob supervisão e observação dos orientadores, o grupo de trabalho, em seu primeiro contato com a matemática formal, estudou os tópicos: Conjuntos Numéricos, Seqüências e Completamento, como apresentados em Análise Real [ver Burn (1993)]. Num segundo momento, e já desenvolvendo o estudo relatado, nosso grupo de trabalho entrou em contato com a literatura de pesquisa na área de Psicologia da Educação, relacionadas à Matemática Avançada, revistas na seção seguir. Sugeridos por tal revisão e a partir da reflexão feita sobre nossa própria transição da escola elementar para a universidade, formulamos algumas questões que gostaríamos de investigar, referentes ao que consideramos ser o primeiro contato do aluno com os processos do pensamento envolvidos no estudo de Matemática Avançada, em seu primeiro curso de Cálculo. Para isto propusemos a realização de uma pesquisa envolvendo alunos em seu primeiro semestre na universidade, enfocando os seguintes conteúdos e conceitos: números reais, funções, limite e reta tangente. Essa pesquisa nos revelou a riqueza e diversidade de experiências e aspectos relacionados aos conceitos matemáticos trabalhados na universidade, que nem sempre estão de acordo com os concebidos pela comunidade matemática. 2. A pesquisa e seu objetivo 4 Professora Márcia Maria Fusaro Pinto da Universidade Federal de Minas Gerais.

3 Em 2007 iniciei uma experiência como professora do curso de licenciatura em Matemática no CEFET de Januária e senti a necessidade de novos estudos na área do Cálculo, para isso optei por iniciar um curso de especialização na área. Atualmente desenvolvo minha monografia de especialização voltada para o ensino do cálculo nos cursos de nível superior, em especial tento resgatar a literatura de pesquisa estudada anteriormente na iniciação científica e os resultados obtidos para compara-los com novos resultados. A pesquisa tem por objetivo estudar a transição da matemática do ensino médio para a matemática do ensino superior com alunos de licenciatura em matemática. Em especial investigar as imagens que esses alunos traz do ensino médio a respeito de alguns conceitos básicos de matemática importantes em um primeiro contato com a disciplina Cálculo na universidade. 3. Revisão de Literatura A pesquisa em Educação Matemática tem ressaltado aspectos que interferem no ensino/aprendizagem da matemática nas universidades. Por exemplo, a estrutura tradicional da apresentação em sala de aula do conteúdo de matemática avançada é distinta dos processos de pensamento envolvidos em sua concepção (ensino fundamental e médio); o modo requerido para se trabalhar em tal contexto contrasta com as formas de pensamento e argumentação usadas na matemática elementar e no cotidiano. Na verdade, parece haver uma expectativa, por parte da academia, de que definições irão controlar a construção dos conceitos. No entanto, não é este o quadro que normalmente acontece. Em geral, o indivíduo constrói, ou já vivenciou, inúmeras experiências e idéias relacionadas ao conceito que está sendo definido, que muitas vezes não correspondem à noção como concebida pela comunidade matemática (ver, por exemplo, Vinner, S.1991; Tall & Vinner, 1981; Monaghan, J.1992; Lee, B. 1993). Com o intuito de entender e explicar a interferência de experiências prévias de um indivíduo na aprendizagem de um novo conceito em contexto técnico, Vinner & Tall (1981) distinguem duas noções - a Imagem Conceitual e a Definição Conceitual - que se articulam na construção de conceitos na matemática.

4 A Imagem Conceitual é definida em Vinner (1991) (ver também Tall e Vinner, 1981) como qualquer associação, relacionada ao conceito, que se faz em nossa mente e é evocada em nossa memória quando vemos ou ouvimos seu nome. A Imagem Conceitual pode ser uma representação visual ou uma coleção de impressões ou experiências. Vinner (1991) observa ainda que formar um conceito não consiste apenas em repetir sua definição, mas também em construir uma Imagem Conceitual, a partir dela. Já a Definição Conceitual é a denominação usada em Tall & Vinner (1981) para se referir à forma de palavras usadas para especificar um determinado conceito. Tal forma de palavras pode ter sido memorizada por um indivíduo com maior ou menor grau de significado, ou pode ter sido reconstruída a partir da definição formal que lhe foi apresentada. Levando em consideração a distinção feita acima, Vinner(1991) propõe a existência de duas células diferentes em nossa estrutura cognitiva: uma correspondente à Definição Conceitual e outra à Imagem Conceitual. Quando um determinado conceito é introduzido formalmente pelo professor e o estudante já possui uma imagem conceitual a ele relacionada, Vinner sugere três possíveis situações: A Imagem Conceitual é reconstruída de acordo com a definição formal apresentada. A Imagem Conceitual não é necessariamente modificada, e a definição formal é distorcida. A Imagem Conceitual não é modificada e a definição formal torna-se esquecida. Caso o estudante não possua uma imagem conceitual associada ao conceito, a célula correspondente à imagem conceitual estará vazia; esta será gradualmente preenchida pelos exemplos e experiências relacionadas ao conceito. Na verdade, a construção da imagem conceitual não é completamente controlada pela definição conceitual, como muitas vezes se espera. O que normalmente acontece é uma interação entre as duas diferentes células. Aí então situações similares às relatadas anteriormente poderão ocorrer. Assim quando um professor propõe a seu aluno uma tarefa ou problema, ele pode ter a expectativa de que os estudantes o resolvam ativando ambas as células e que, pelo menos, somente formulem sua solução final após consultarem a definição do conceito. No entanto, muitas vezes apenas a imagem conceitual é consultada. A Imagem Conceitual deve ser entendida como individual, e um mesmo indivíduo, em diferentes situações, pode evocar diferentes aspectos associados a um nome, e que não são todos necessariamente consistentes (ver Vinner e Tall, 1981).

5 A interferência da imagem conceitual relacionada a um dado conceito matemático durante sua aprendizagem tem sido evidenciada por vários pesquisadores. Por exemplo, Monaghan (1992) investiga as concepções cotidianas e matemáticas de expressões como "tende para", "limite", "converge" e "aproxima"; Lee (1993) investiga a questão : É 0,999...=1 ou menor do que 1? Por quê? ; Vinner (1991) investiga os conceitos de limite de seqüência, reta tangente e função; e também Tall e Vinner (1981) investigam limites de uma função ou de uma seqüência, bem como de noções relativas a funções contínuas. Para Vinner (1991) uma das metas da matemática seria a de mudar os hábitos de pensamento cotidiano para o técnico, evitando conflitos cognitivos desnecessários e iniciando conflitos cognitivos, quando estes fossem necessários para que os alunos evoluam intelectualmente. 4. Desenvolvimento e Conclusão da Pesquisa Pretendo elaborar um questionário com alguns dos conceitos investigados na iniciação científica (limite, função, número real e reta tangente) e aplicá-los a duas turmas de licenciatura em Matemática do CEFET de Januária, uma de Cálculo I e outra de Cálculo II. Após analisar os resultados compará-los com a literatura de pesquisa estudada e os resultados da pesquisa anterior. Na pesquisa anterior propusemos que o professor precisava estar atento à diversidade de significados que podem ser produzidos num grupo a partir de um determinado conceito, e que precisava também estar aberto a ouvir seus alunos, para perceber como o conhecimento que ele procura `transmitir` está sendo construído. Com esse trabalho pretendo melhorar meu trabalho como professora nesses primeiros anos de contato de meus alunos com a Matemática Avançada. 5. Referências Bibliográficas ALVES-MAZZOTTI, A.(1999). O planejamento de pesquisas qualitativas. Em Alves-Mazzotti, A.&Gewandsznajder, F.(Eds.) O método nas ciências naturais e sociais - Pesquisa qualitativa e quantitativa (pp ). São Paulo: Editora Pioneira.

6 LEE, B. (1993). Prospective secondary mathematics teacher's beliefs about "0,999...=1" Proceedings of 18 th PME Conference, Lisboa, Portugal, II, LOPES, A. (1999) Algumas reflexões sobre a questão do alto índice de reprovação nos cursos de Cálculo na UFRGS. Matemática Universitária, 26/27, MONAGHAN, J. (1992). Problems with the language of limits. For the Learning of Mathematics, 11(3),20-24 TALL,D. (1997) From School to University: the effects of learning styles in the transition from elementary to advanced mathematical thinking. In Thomas, M. O. J. (Ed.) Proceedings of The Seventh Annual Australasian BridgingNetwork Mathematics Conference, University of Auckland, TALL, D. (1992) The Transition to Advanced Mathematical Thinking: Functions, Limits, Infinity, and Proof, in Grouws D.A. (ed.) Handbook of Research on MathematicsTeaching and Learning, Macmillan, New York, Stirling, D. (1987) The need to proof. pp TALL, D.&VINNER, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, 12, VINNER, S. (1991). The role of definitions in teaching and learning mathematics. In D. Tall (Ed.) Advanced Mathematical Thinking, (pp ). Dordrecht: Kluwer.

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