A Teoria da Relatividade Especial de Einstein uma luz no espaço e no tempo. Einstein s Special theory of relativity of - a light in space and time

Transcrição

1 A Teoria da Relatividade Especial de Einstein uma luz no espaço e no tempo Einstein s Special theory of relativity of - a light in space and time Carlos Alberto Stechhahn da Silva é doutor em física pela Universidade de São Paulo (USP) e professor das Faculdades Integradas Campos Salles. stecphysics@gmail.com Simone Seixas Picarelli é doutora em física pela Universidade de São Paulo (USP) e professora das Faculdades Integradas Campos Salles. simone.picarelli@gmail.com Marco Antonio Ferreira Lima é mestre em Controladoria e Contabilidade pelo Centro Universitário Álvares Penteado (FECAP) e professor das Faculdades Integradas Campos Salles. mafsp72@gmail.com RESUMO Neste trabalho apresenta a relatividade restrita ou especial de Einstein. Iniciamos com as transformações de coordenadas de Galileu e seu apoio nos conceitos de espaço e tempo absoluto. Mostramos que estas transformações não são apropriadas para descrição dos fenômenos relativísticos, no entanto, elas não podem ser completamente descartadas, pois, no limite de baixas velocidades elas continuam sendo válidas. A seguir, mostramos como dois observadores em movimento de translação uniforme (um em relação ao outro) descrevem os fenômenos físicos com o uso dos postulados de Einstein da relatividade restrita. Nesse contexto, as transformações de Lorentz são obtidas. Com a relatividade de Einstein temos a destruição do conceito de espaço e tempo absolutos e criação de apenas uma entidade, o espaçotempo, altamente plástico (se curva, oscila, deforma o tempo, etc). Concluímos este trabalho com uma aplicação da contração do espaço e da dilatação do tempo aplicada ao caso do decaimento de múons produzidos nas colisões de raios cósmicos com os núcleos atômicos na alta atmosfera. Palavras chave: Relatividade Restrita, Relatividade Especial, Einstein, transformação de galileu, transformações de Lorentz, Postulados da Relatividade, produção de múons na atmosfera. ABSTRACT In this work we present the Einstein s special relativity. We started with the coordinate transformations of Galileo and your support on the concepts of absolute space and time. We show that these transformations are not suitable for description of relativistic phenomena, however, they cannot be completely discarded, because, in the limit of low speeds they remain valid. Next, we show how two observers in translational motion (in relation to each other) describe the physical phenomena with the use of Einstein's postulates of special relativity. In this context, the Lorentz transformations are obtained. With Einstein's relativity we have the destruction of the concept of absolute time and space and creating only one

2 entity, spacetime, highly plastic (bends, dangles, warps time, etc). We conclude this paper with a contraction of space and time dilation applied to the case of the decay of muons produced in collisions of cosmic rays with atomic nuclei in the upper atmosphere. Key words: Special relativity, Einstein, Galileo transformation, Lorentz transformations, Postulates of relativity, muons production in the atmosphere. INTRODUÇÃO Há pelo menos dois ramos da física onde nosso senso comum falha ao tentar descrever os fenômenos naturais. Um deles, repousa no mundo microscópico das moléculas, átomos e partículas elementares (ABDALLA, 2004). O outro, envolve a descrição do movimento de partículas com velocidades próximas a da luz (EISBERG;LERNER, 1983). Tais estudos envolvem, portanto, numa certa escala de energia, a mecânica quântica e a relatividade especial de Einstein. A dificuldade, neste sentido, reside no fato de não estarmos acostumados a lidar com escalas de distâncias atômicas, ou menores, bem como velocidades extremamente altas (relativísticas) para a formulação de nosso entendimento e de nossas teorias. A construção de uma teoria científica se inicia, em geral, pela observação dos fenômenos naturais. Estabelecem-se, assim, hipóteses as quais representam uma idealização de tais fenômenos e dá sustentação a teoria. A busca pela explicação dos fenômenos da natureza nasceu com as primeiras civilizações. Na antiga Grécia, por exemplo, as teorias e hipóteses possuíam caráter empírico, lógica dedutiva e eram fundamentadas na mitologia grega e observações do cotidiano. Criavam-se mitos, deuses, heróis, titãs, ninfas e centauros para não só interpretar os sinais da natureza, mas, para influenciar em fatos políticos, econômicos e sociais. No entanto, particularmente na chamada ciências exatas a formulação de uma teoria científica envolve, além da observação e análise, medidas experimentais dessas grandezas as quais, na atualidade, muitas delas podem ser feitas com grande precisão. Uma propriedade, não menos importante, é que as leis físicas da natureza são expressas em equações matemáticas nem sempre tão simples. A história, contudo, nos mostra que ao longo do tempo uma teoria foi substituída por outra, e por outra... Como descartar uma teoria, muitas vezes tão solidamente firmada, por outra mais sublime, elevada e perfeita? O movimento é uma mudança de lugar e exige sempre uma causa, o repouso e o movimento são dois fenômenos físicos totalmente distintos, o primeiro sendo irredutível a um caso particular do segundo Aristóteles ( a.c.).

3 Cerca de três séculos antes de Cristo, o filósofo Aristóteles, discípulo de Platão, acreditava que abandonando dois corpos de massas diferentes, de uma mesma altura e em qualquer condição inicial, o corpo mais pesado chegaria primeiro ao solo. Este resultado, em experiências de queda-livre, só iria mudar no século XVII com Galileu Galilei. Segundo ele, corpos de massas diferentes quando lançados de uma mesma altura e ao mesmo tempo chegam ao solo no mesmo instante. Tal resultado é obtido desde que a experiência seja feita em ambiente idealizado onde seja desprezível a resistência do ar. Temos, portanto, que a teoria aristotélica, em grande confronto com a experiência, perdurou por séculos. As teorias e conceitos implantados por Galileu e Newton forneceram os fundamentos do ramo da Física que chamamos hoje de Mecânica Clássica. Iremos neste trabalho introduzir conceitos clássicos como o Princípio da Relatividade de Galileu, referencial inercial, espaço e tempo. Veremos que na cinemática clássica, a qual descreve o movimento dos corpos sem levar em conta suas interações, os corpos podem ter qualquer velocidade e vale para os mesmos a regra de adição de velocidades. Tais conceitos estão nos fundamentos da Mecânica Clássica ou de Newton. 1. A RELATIVIDADE SEGUNDO GALILEU E NEWTON O Princípio da Relatividade é uma afirmação a respeito das leis da natureza. Diz respeito como elas podem ser determinadas pelas observações feitas em diferentes sistemas de referência. Tal afirmação é fundamentada na experiência e nos permite concluir que há classes de sistema de referência com respeito aos quais as leis da física possuem a mesma forma, i.e., são invariantes na forma. Observadores em repouso em seus sistemas de referência fazem suas medidas sobre algum evento físico (o acender de uma lâmpada, por exemplo). Tais medidas podem ser diferentes, no entanto, levam a mesma conclusão com respeito às leis de força, velocidade, etc. O Princípio da Relatividade trata, em outras palavras, da ausência de um observador privilegiado na natureza. H. Bondi descreveu o Princípio de Relatividade em seu artigo de revisão (BONDI, 1959) do seguinte modo: É a proposta de toda teoria física descrever, de um modo conciso, uma vasta variedade de fenômenos. Em muitos casos isto necessita, como parte da teoria, de uma prescrição para aplicação da teoria a sistemas em diferentes estados de movimento. Uma prescrição deste tipo, um código de translação que fosse,

4 geralmente consistirá de um sistema matemático de leis de transformação. (Hermann Bondi, ) A mecânica Newtoniana incorpora a relatividade, bem como, os sistemas de referências inerciais, ou seja, aqueles referenciais que se movem um em relação ao outro com velocidade constante. Galileu foi o pioneiro em discutir tais questões. Um exemplo muito conhecido na literatura (WATARI, 2004) é o do caso de uma pedra que cai do topo do mastro de um navio que se move com velocidade constante. Neste caso, se observarmos o ponto de impacto da pedra no convés do navio veremos que este ponto se dá junto ao mastro. Como se o navio estivesse em repouso. Dessa forma, a trajetória da pedra, para uma pessoa no navio, será de uma linha reta; independente se o navio está em repouso ou movimento retilíneo e uniforme. Numa situação similar, porém, com dois sistemas de referência (um fixo no navio e outro na margem) as trajetórias serão diferentes. O observador fixo no navio verá a pedra cair do mastro em trajetória retilínea e o um outro, em terra, verá uma trajetória parabólica. Tal dinâmica se encontra no campo da mecânica clássica de Newton. Apesar das trajetórias serem diferentes para os diferentes observadores, eles chegarão à mesma conclusão sobre a aceleração e força sobre este corpo em queda livre. Dessa forma, a física é a mesma para diferentes observadores que se movem um em relação ao outro em movimento de translação uniforme. Considera-se agora um evento (um acender de uma lâmpada, ou um estampido, por exemplo) que ocorre num ponto do espaço. Quadro 1 Relação entre as posições de um evento medidas nos sistemas de referência S e S. Fonte: elaborado pelos autores.

5 Supondo que um referencial S se move em relação a um outro, S, com velocidade v, constante ao longo do eixo-x, e observadores em S e em S fazem suas medidas. A relação entre as medidas de espaço, tempo, velocidade e aceleração efetuadas por estes observadores, em diferentes sistemas de referência, é expressa por um conjunto de equações de transformação para a posição e o tempo: x = x vt ; y = y ; z = z ; t = t (1) Analogamente para a velocidade e aceleração, temos, respectivamente: u = u v a x = a x (2) Estas são as chamadas equações de transformação de Galileu. Se observar apenas o contexto Newtoniano, temos que, na Eq. (1), as três primeiras equações já seriam suficientes para relacionar as posições medidas pelos observadores desses sistemas de referência. Isto se deve ao fato que o tempo é absoluto na mecânica Newtoniana. O tempo absoluto, verdadeiro e matemático, por si só, e por sua própria natureza, flui de forma equitativa sem relação com nada externo. (Newton's Principia, Book I, Scholium after Definitions). Para compreender as idéias de Einstein completamente precisa-se analisar como uma declaração de uma lei física é afetada, ou não, pelas transformações para os diferentes sistemas de coordenadas. Nesta análise podemos verificar que as Leis de Newton (LOPES, 2006) não são modificadas pelas transformações de Galileu. A segunda lei de Newton, por exemplo, declara que a força sobre um corpo é o produto da massa do mesmo pela aceleração, ou seja, F = ma. Se a força for o produto da interação entre dois corpos e depender da separação entre eles temos a seguinte equação F 12 = f(x 2 x 1 ) (3) i.e., ela representa a força sobre o corpo 2 devido ao corpo 1. Dessa forma, para um observador num referencial S a equação de movimento para o corpo 2 é dada por F 12 = f(x 2 x 1 ) = m 2 a 2. (4)

6 Esta é a equação que um observador em repouso mede a força sobre o corpo 2. Para um referencial S, que se move em movimento de translação uniforme com velocidade v com respeito a S, utilizando as transformações de Galileu, dadas pelas equações em (1), podemos escrever a Eq. (4) da seguinte forma F 12 = f(x 2 x 1 ) = m 2 a 2. (5) Esta é a equação que um observador em movimento mede a força sobre o corpo 2. Passando as coordenadas com linha para sem linha na Eq. (5) com o uso da transformação de Galileu temos: x 2 x 1 = (x 2 vt) (x 1 vt) = x 2 x 1 (6) O que leva a concluir que a força é um invariante na mecânica clássica, ou seja, F 12 = F 12. (7) Na teoria da relatividade de Einstein (RIFFEL, 2010) a massa e a aceleração, para um corpo que se move com velocidade próxima à da luz, não são invariantes; elas dependerão da velocidade do corpo em movimento. 2. A RELATIVIDADE ESPECIAL DE EINSTEIN DOIS AXIOMAS Um dos maiores triunfos da teoria eletromagnética de Maxwell (MAXWELL, 1865) foi a confirmação de que a luz é um fenômeno ondulatório eletromagnético. Maxwell descobriu que as ondas eletromagnéticas se propagam com a velocidade da luz, ou seja, a luz é uma onda eletromagnética. No entanto, nessa época sabia-se que o som precisava de um meio material para se propagar. Restava, portanto, saber se haveria um meio, o éter, onde a luz pudesse efetuar seu movimento. Esta foi, portanto, a questão que mais perturbava os físicos naquele momento. Alguns deles procuraram detectar do movimento da Terra através do éter, caso este existisse. Em 1887 foi realizada uma experiência (e realizada diversas outras vezes com muita precisão) conhecida como experiência de Michelson-Morley para se detectar alguma variação na velocidade da luz (RAHAMAN, 2014).

7 Quadro 2 Diagrama esquemático da experiência de Michelson-Morley Fonte: Introduction to Special Relativity, Wolfgang Rindler, 2 a edição, Oxford (1991). Uma fonte de luz emite um feixe monocromático que atinge um espelho inclinado, o qual reflete cerca de metade da luz que sobre ele incide e transmite a outra metade. Os braços são perpendiculares e de mesmo tamanho. No final de cada braço há espelhos que refletem o feixe de luz de volta para o ponto de partida. O aparato todo pode sofrer rotação no plano dos braços. Esta experiência foi construída para encontrar alguma mudança na figura de interferência. Dessa forma, se a Terra (ou o espelho) está se movendo na mesma direção e sentido do feixe de luz a velocidade relativa é dada pela diferença c v. No entanto, se a Terra está se movendo na direção e sentido contrário ao pulso de luz (na volta do feixe de luz ilustrado no desenho do Gráfico) a velocidade relativa será c + v. Portanto, o tempo de ida e volta do feixe de luz há horizontal T 1 e na vertical T 2 será dado pelas seguintes equações: e T 1 = L 1 c + v + L 1 c v = L 1 c(1 v 2 /c 2 ) (8) T 2 = 2L 2 (c 2 v 2 ) 1/2 = L 2 c(1 v 2 /c 2 ) 1/2 onde L 1 e L 2 são os comprimentos dos braços. O que se observou nesta experiência é que os feixes de luz partiam da fonte e retornavam até a mesma em tempos iguais, ou seja, T 1 = T 2. Não foram produzidas defasagens nas figuras de interferência. Isto parecia implicar que v = 0. O interferômetro mostrou como resultado desse experimento que independente do movimento do observador a velocidade da luz era a mesma. Na teoria que Einstein iria implantar certamente esse resultado era esperado. (9)

8 2.1 Os dois postulados de Einstein da Relatividade Especial Albert Einstein usou o resultado negativo da detecção de um éter que permeia o espaço para a imposição como um axioma o seguinte Princípio da Relatividade (EINSTEIN, 1905): As leis da física são idênticas em todos os referenciais inerciais, ou, equivalentemente, o resultado de qualquer experiência física é o mesmo quando executado com condições iniciais idênticas relativo a qualquer referencial inercial. Sobre a eletrodinâmica de corpos em movimento Einstein (1905). Por referenciais inerciais devemos entender os sistemas de coordenadas inerciais, ou seja, um sistema de referência em que vale a Lei da Inércia. Assim, se o referencial estiver em movimento acelerado, com respeito a um certo referencial inercial, ele não será inercial. Este princípio conduz a propriedades como homogeneidade do espaço e do tempo, bem como, isotropia de cada referencial inercial para a execução de qualquer experiência física. O princípio da Relatividade de Einstein (primeiro postulado) é uma generalização do princípio da relatividade de Newton. No entanto, apesar do eletromagnetismo clássico não atuar em escala do mundo microscópico, a relatividade restrita de Einstein tem sua validade no mundo quântico. O segundo postulado afirma que há um referencial inercial no qual a luz no vácuo sempre viaja retilineamente com velocidade constante, c, em todas as direções e independente do movimento da fonte. Dessa forma, se a fonte emissora da luz viaja na direção e sentido do feixe emitido, ou não, resulta, por este postulado, que a velocidade da luz será sempre c = m/s, medida por todos os observadores inerciais. Na teoria da relatividade especial de Einstein, portanto, não vale a regra de soma de velocidades para dois corpos em movimento, tão comum na mecânica clássica de Newton. 3. AS TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ

9 Será usado neste contexto um sistema de referência (um par de eixos cartesianos) onde iremos medir as distâncias entre dois pontos do espaço e um sistema de relógios para medir os intervalos de tempo. Essas duas características devem sempre estar presentes na configuração ou montagem dos problemas. Assim, teremos uma grade espacial (que pode ser em três dimensões) que nos fornecerá a possibilidade de marcar cada ponto do espaço P(x, y, z, t) e associado a cada um desses pontos teremos um relógio para medir os intervalos de tempo. Teremos em nossas considerações, analogamente ao Gráfico 1, um referencial S em repouso, e outro S que se move com velocidade constante, v. No entanto, cada ponto do espaço no referencial S terá um relógio sincronizado com os relógios de S. Para a sincronização dos relógios num mesmo referencial o procedimento é mais simples. Devemos usar o segundo postulado da Relatividade Restrita e um conjunto de réguas e relógios. Quadro 3 Sistema reticulado tridimensional. Fonte: Teoria da Relatividade Especial, Roberto de Andrade Martins, GHTC, (2008). 3.1 A sincronização dos relógios Para que os observadores possam fazer suas medidas é necessário que seus relógios estejam sincronizados. Para tal, emite-se um pulso de luz da origem e, como sabemos as coordenadas do ponto de chegada da luz (que dista r da origem) o tempo será dado por t = r/c. Dessa forma, o observador num ponto r da origem saberá, em face da luz viajar com velocidade constante c, o tempo que a luz levou para chegar até ele. Uma vez sincronizados os relógios em S desejamos comparar como se relaciona um evento em P(x, y, z, t) neste referencial com outro em um ponto P (x, y, z, t ). 3.2 Deduções das transformações de Lorentz

10 Supondo que temos dois referenciais inerciais S (referencial estacionário) e S, de modo que, certo instante de tempo no referencial S será chamado de t e no referencial S será chamado de t. Um pulso de luz é então emitido a partir da origem em t = t = 0 ou seja, quando as origens dos dois referenciais coincidem. Quadro 4 Referencial S se movendo para a direita com velocidade v com respeito a S. Um pulso de luz é emitido e se encontra na posição x e t para um observador em S. S S S S v P x x x x x Fonte: elaborado pelos autores. Após a emissão do feixe o referencial S se move para a direita ao longo do eixo-x com velocidade v com respeito ao referencial estacionário S. Ambos os observadores (o que está em S e o que está em S ) devem ver a mesma física, i.e, uma frente de onda esférica se propagando com velocidade c. Quando a luz emitida atingir um certo ponto P do espaço (conforme Quadro 4) podemos escrever as três equações que nos permitem transformar as coordenadas de um referencial para o outro. Teremos equações similares às Eqs. (1) das transformações de Galileu, porém, como vamos considerar a dilatação do tempo e a contração do espaço deve-se, portanto multiplicar o lado direito por um fator denominado constante de contração do comprimento ou fator de Lorentz, γ. As grandezas medidas pelo observador no referencial S, quais sejam, x, y, z, t, vamos supor conhecidas, bem como, a velocidade v do sistema de coordenadas. Quando este feixe alcançar certo ponto P do espaço, o conjunto de equações que relacionam as posições medidas pelo observador em S em termos da posição medida pelo observador em S são: x = γ(x + vt ) ; y = y ; z = z (100) Analogamente, para um referencial S estacionário e S indo para a esquerda com a mesma velocidade v, temos: x = γ(x vt) ; y = y ; z = z (111)

11 A luz que é emitida na origem de ambos os sistemas de coordenadas viaja uma distância x = ct no referencial S e x = ct. Dessa forma, podemos escrever as Eqs. (10) e (11) em termos de t e t : e ct = γt (c + v) t = ct = γt(c v) t = γt (c + v) c γt(c v) c (12) (13) Substituindo-se a Eq. (13) em (12) encontramos o fator de Lorentz: t = γ2 t(c + v)(c v) 1 c 2 γ = 1 (v 2 /c 2 ). (14) A relação entre os tempos t e t substituindo-se a Eq. (10) em (11): x = γ[γ(x + vt ) vt] γvt = γ 2 x + α 2 vt x (15) Tal que se obtêm a seguinte relação Quadro 5 Transformações de Lorentz Resumo t = γ(t + vx c 2 ). (16) Fonte: elaborado pelos autores. 3.3 A dilatação do tempo

12 Antes de Einstein as transformações que faziam a transformação de coordenadas de P para P eram dadas pelas equações (1), as transformações de Galileu. A relação entre x e x, por exemplo, pode ser encontrada da geometria no desenho ilustrado no gráfico 1. Na relatividade de Galileu os eventos que acontecem simultaneamente em S ocorrerão simultaneamente também em S. No entanto, o conceito de simultaneidade não vale na relatividade restrita. Considera-se a situação de um observador O em S em repouso num trem na configuração padrão ( standard ) dada pelo gráfico 1. Este observador O instala uma fonte de luz no chão de um dos vagões do trem, a qual emite um feixe monocromático que sai do chão do trem e atinge um detector no teto que está na mesma linha vertical. A B de tamanho y. O movimento desse feixe de luz, portanto, é ortogonal ao eixo-x. O intervalo de tempo Δt = Δt 0 (intervalo de tempo próprio) que o detector no teto irá medir é o tempo que a luz levará para fazer o percurso A B. Dessa forma, Δt = y/c para um observador O em S o trem se move com velocidade v. Δt é o intervalo de tempo medido por O para fazer o percurso A C = c Δt. Nesse mesmo intervalo o observador O vê a fonte se afastar de uma distância igual a v Δt. Temos, nesse contexto, que a distância que o observador O vê a luz percorrer é diferente (menor) que a distância que o observador O (numa estação, por exemplo) constata. Deste aparato resultam duas distâncias no referencial S e uma distância no referencial S, que formam um triângulo retângulo com a seguinte relação entre elas (c Δt) 2 = (v Δt) 2 + (cδt ) 2 c 2 Δt 2 v 2 Δt 2 = c 2 Δt 2 Δt = c 2 (1 v2 c 2) Δt2 = c 2 Δt v2 c 2. Δt = γ. Δt = γ. Δt 0 (17) Sendo v < c, o fator de Lorentz γ é maior que 1. Disso resulta que o intervalo de tempo num referencial qualquer Δt é sempre maior que o intervalo de tempo próprio, Δt 0. Assim, o tempo para um observador que se move com S, para um observador O que está em S, funciona a um ritmo mais lento que o medido em S. Tal efeito é chamado de dilatação temporal que nos leva ao paradoxo dos gêmeos ou de Langevin. Trata-se de uma

13 consequência do tempo não ser absoluto na relatividade restrita. Numa situação idealizada, irmãos gêmeos podem vir a se encontrar e se apresentarem com uma grande diferença entre suas idades, após uma viagem relativística de um deles. Como resultado, o que retorna da viagem, estando mais novo que o irmão gêmeo que ficou na Terra, poderá dizer que foi para o futuro. Tal efeito é possível e medido por meio da Eq. (17). 3.4 A contração do espaço Outra consequência surpreendente da relatividade de Einstein é a contração do espaço ou de Lorentz. A distância entre dois pontos pode também depender o referencial do observador. Uma barra que se move com velocidade próxima da velocidade da luz sofre uma contração (tem seu comprimento reduzido) no sentido do deslocamento. Supondo uma barra que esteja em repouso no sistema S e com suas extremidades fixas em x 1 e x 2. Instalamos na extremidade esquerda da barra uma fonte de luz cujo feixe produzido deve atingir um espelho instalado na outra extremidade. O tempo de ida e volta, tendo em vista a constância da velocidade da luz, será dado por A diferença entre esses dois pontos nos fornece o comprimento da barra no referencial em repouso, ou seja, o comprimento próprio Δt 0 = 2L 0 c (17) x 2 x 1 = L 0. (189) E no referencial S a barra se move para a direita com velocidade v durante o pulso de luz. O comprimento da barra em S é L e o tempo que a luz percorre de x 1 a x 2 é Δt 1. Neste intervalo de tempo a barra percorre a distância vδ 1. A distância total d da fonte de luz ao espelho tem um termo adicional sobre o L d = L + uδt 1 (20) Como, na velocidade restrita, a luz sempre viaja com a velocidade c a distância d também pode ser escrita como d = cδ 1 o que nos permite escrever

14 Δt 1 = L c u (191) Esta equação nos mostra que a distância que o pulso percorre no referencial S é maior que L. Analogamente podemos mostrar que o tempo, Δt 2, de retorno da luz do espelho para a posição da fonte, pode ser calculado como Δt 2 = L c + u (202) Por meio de uma mudança no sinal da velocidade u na Eq. (19). O tempo total para a luz ir da fonte ao espelho e voltar, para um observador em S, é Δt = Δt 1 + Δt 2 = 2L c[1 (v 2 /c 2 )] = 2γ2 L c (213) Contudo, das Eqs. (17) e (18) temos a seguinte equação para Δt: Δt = γδt 0 = 2γL 0 c (22) Comparando as Eqs. (23) e (24) teremos finalmente a equação de contração do comprimento L = L 0 γ (23) Sendo o fator de Lorentz maior que 1, para o observador no referencial S, o qual vê o referencial S em movimento de translação uniforme, a barra de comprimento L se encontra menor que o comprimento L 0 (medida esta efetuada pelo observador em S ). Portanto, o comprimento de um objeto medido num referencial no qual este objeto está em repouso é chamado de comprimento próprio. E o comprimento medido em qualquer outro referencial é menor que o comprimento próprio, L 0. Este efeito é chamado de contração do comprimento. 4. DILATAÇÃO TEMPORAL E CONTRAÇÃO DO PERCURSO DE MÚONS NA ATMOSFERA A atmosfera é permanentemente bombardeada com raios cósmicos que chegam do espaço. As colisões dessas partículas em nossa atmosfera dão origem a uma produção de partículas em cascata e, dessa forma, muitas outras partículas secundárias são produzidas, tais

15 como, píons neutros, π 0, e carregados (π +, π ). Em sua interação com os átomos da atmosfera esses píons carregados decaem produzindo múons positivos, μ +, bem como negativos, μ, conforme as reações a seguir π + μ + + ν μ π μ + ν μ. Quadro 6 Produção em cascata de partículas secundárias na alta atmosfera. Fonte: - adaptado pelos autores. O múon, fruto de um desses decaimentos, é uma partícula instável que decai rapidamente em outras partículas com vida média de 2, s quando em repouso. Outras informações sobre essa partícula, bem como é feita sua detecção, podem ser encontradas em (CRUESP, 2016). No entanto, os físicos sabem que o múon viaja com velocidade relativística. Assim, ele sofrerá o efeito da dilatação temporal. Seu tempo de vida aumentará porque o tempo flui mais lento referencial em movimento, na visão dos observadores estacionários. Se, por exemplo, um múon, produto dos raios cósmicos, é acelerado a uma velocidade de 84% da velocidade da luz podemos encontrar o tempo de vida do múon nesta velocidade (0,84c). Escrevendo a relação para a variação temporal com respeito àquela do tempo próprio, temos Δt = γδt 0 = 2, s 1 (0,84c 2 /c 2 ) = 2,2 0, s = 5, Pode-se calcular agora a distância máxima que o múon pode percorrer antes de decair d = v. Δt = 0,84. c. Δt = 0, , = 1386 m.

16 Esta distância representa o valor obtido do percurso efetuado pelo múon com o uso da formulação relativística de Einstein. Para o caso da física clássica, numa relação simples entre espaço, tempo e velocidade, encontramos: d 0 = v. Δt 0 = 0,84. c. Δt 0 = 0, , m. Pode-se considerar que a viagem relativística dessa partícula faz com que o seu tempo de vida seja dilatado quando medido por um observador num referencial estacionário S. Conforme se percebe, os cálculos relativísticos nos fornecem um valor maior e mais preciso para o deslocamento de uma partícula produzida por raios cósmicos. As correções relativísticas (CARARO; FERREIRA, 2007) são muito utilizadas em nosso dia a dia em face do recebimento e transmissão dos sinais eletromagnéticos, bem como, das correções e atualizações da posição de veículos no transporte rodoviário de carga, navegação marítima e aérea em Sistema de Posicionamento Global (GPS). CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste trabalho se mostrou a formulação de duas teorias que possuem visões diferentes dos conceitos de espaço e tempo. Na primeira, na cinemática newtoniana, encontramos a ideia de espaço e tempo absoluto. O Princípio da Relatividade segundo Galileu e Newton foi apresentado. Vê-se que, neste contexto, eventos que são simultâneos num dado referencial estacionário S serão também simultâneos num outro S que se move em relação a este num movimento de translação uniforme. A segunda teoria apresentada, a teoria da relatividade especial de Albert Einstein (1905), diz respeito ao movimento de corpos relativísticos, ou seja, os que se movem com velocidade da ordem da velocidade da luz. A mecânica newtoniana, tão firmemente estabelecida até então, é inteiramente varrida pela relatividade restrita e conceitos como força, ação e reação, espaço e tempo absoluto e simultaneidade perdem o sentido. No entanto, apesar das transformações de coordenadas de Galileu não ser as transformações apropriadas para descrição dos fenômenos relativísticos, elas não podem ser completamente descartadas, pois, no limite de baixas velocidades elas continuam sendo válidas. Na relatividade restrita, a genialidade de Einstein por meio de seus dois postulados: (I) As leis da física são idênticas em todos os referenciais inerciais ;

17 (II) há um referencial inercial no qual a luz no vácuo sempre viaja retilineamente com velocidade constante, c, em todas as direções e independente do movimento da fonte. Dessa forma, as leis da física são covariantes por transformações de coordenadas (invariantes por Lorentz) permitiu a destruição do conceito de espaço e tempo absolutos e criação de apenas uma entidade, o espaçotempo, altamente plástico (se curva, oscila, deforma o tempo, etc) equiparando, assim, as coordenadas disjuntas de Newton. O papel de Einstein com a relatividade restrita, portanto, foi o de mostrar uma nova construção coerente para a física que abarcasse todos estes fatos teóricos e que não violavam a causalidade. Em 1908 Minkowski (NATÁRIO, 2010) anunciou que o espaço e o tempo são componentes de um único espaçotempo 4-dimensional. Einstein inicialmente rejeitou essa interpretação 4-dimensional de sua teoria. No entanto, logo mudou de opinião de modo que o espaçotempo, matematicamente conhecido como um tensor, se tornou a ferramenta fundamental para que ele, mais tarde, apresentasse ao mundo a sua outra obra... a teoria geral da relatividade. REFERÊNCIAS ABDALLA, M. C. B. O discreto charme das partículas elementares, Editora Unesp (2004). BONDI, H. E. Relativity, Rept. Progr. Phys., 22, (1959). CARARO, A. C; FERREIRA, L. D. D. Implementação de nova correção relativística em processamento de dados GPS, aplicada em posicionamento por ponto altamente preciso (2007). Disponível em: < bloco_1/uni_extincao/material_apoio/texto-a_caminho_de_uma_extincao_em_massa.pdf> Acesso em 20 jun CRUESP, O coletor de partículas invisíveis, Jornal da Unicamp (2016). Disponível em: < Acesso em: 08 jul

18 EINSTEIN, A. Zur Elektrodynamik bewegter Körper, (Sobre a eletrodinâmica de corpos em movimento), Annalen der Physik, (1905). EISBERG, R. M., LERNER, L. S. Física Fundamentos e Aplicações, Editora McGraw-Hill (1983). LOPES, A. O. Introdução à Mecânica Clássica, Edusp Editora da Universidade de São Paulo (2006). MAXWELL, J. C. A Dynamical theory of the electromagnetic field (1865). Disponível em: < > Acesso em: 03 jul NATÁRIO, J. Espaço-tempo de Minkowski: a física como geometria (2010). Disponível em: < Acesso em 05 jun RAHAMAN, F. The Special Theory of Relativity, Springer India (2014), DOI / _2. Disponível em: <file:///c:/users/carlos/downloads/ c2.pdf> Acesso em 065 jun RIFFEL, R. A. Teoria da Relatividade Especial, Universidade Federal de Santa Maria (2010). Disponível em: < > Acesso em 08 jul WATARI, K. Mecânica Clássica, volume I, Editora Livraria da Física (2004).