2.2 Modelação matemática da infiltração e do escoamento

Transcrição

1 2.2 Modelação matemática da infiltração e do escoamento Equações da Infiltração A infiltração da água no solo pode ser descrita através de várias equações de infiltração algébricas. Provavelmente a mais comum (Elliott e Eisenhauer, 1983; Katopodes et al., 1990; Or e Silva, 1996) é a de Kostiakov: Z = k t a (2.3) em que Z é a profundidade da infiltração acumulada, ou volume por unidade de comprimento, t é o tempo de infiltração, e k e a são constantes empíricas. Esta equação é relativamente mais fácil de obter (Fangmeier e Ramsey 1978; Serralheiro, 1988), e fornece uma descrição adequada da infiltração, desde que a profundidade de escoamento não varie muito ao longo do sulco e da rega, e as constantes k e a sejam determinadas para caudais semelhantes àqueles para os quais se irá prever a infiltração (Strelkoff e Souza, 1984; Samani et al., 1985). Quando os tempos de infiltração se prolongam, esta equação prevê que a taxa de infiltração se aproxime de zero, o que pode não se verificar em todos os tipos de solos. Por outro lado, esta equação sistematicamente sub-estima a infiltração para tempos maiores do que aqueles para os quais foi determinada (Renault e Wallender, 1997). Assim, e para obviar estes problemas, é acrescentado à equação o parâmetro f 0 que representa a taxa de infiltração estabilizada, passando a equação a ser denominada Kostiakov-Lewis, ou Kostiakov Modificada: Z = kt a + f 0 t (2.4) Philip (1957) propõe uma equação semelhante, e semi-empírica, incorporando um parâmetro s denominado sorptivity, que é característico do solo e varia com o seu teor de água, e c, que é a condutividade hidráulica do solo saturado: 15

2 Z = st ct (2.5) Para o SCS (1979), c representa o volume de água infiltrada inicialmente e o seu valor pode ser fixado em 7 mm para a maioria dos solos: a Z = kt + c (2.6) Naturalmente, todas estas equações são válidas, cada uma representando um determinado comportamento da infiltração, devendo-se escolher para cada tipo de solo aquela que melhor se ajusta às suas características. Após analisar vinte regas completas em solos Argiluviados, Serralheiro (1988), conclui que a equação do tipo Kostiakov, determinada pelo método de balanço volumétrico, é aquela que melhor descreve a infiltração nesses solos. Na equação de Kostiakov o expoente a representa o declive da recta de ajustamento aos valores experimentais, pelo que determina a configuração da curva de infiltração acumulada afectando, consequentemente, a forma da curva de avanço (Monteiro, 1995a). Geralmente, este expoente apresenta uma razoável estabilidade, com gradual aumento ao longo da estação de rega. Sousa (1990) verificou que uma incorrecta avaliação do valor de a não influencia grandemente as simulações de avanço. O coeficiente k corresponde ao valor de infiltração na primeira unidade de tempo e, de certo modo, traduz o processo de infiltração na sua fase inicial, pelo que uma incorrecta avaliação do seu valor poderá ocasionar importantes erros na predição da rega Métodos para determinação das equações da infiltração A equação da infiltração é simultaneamente um dos parâmetros mais críticos da rega de superfície e um dos mais difíceis de determinar com precisão pelo que, durante muitos anos, a preocupação da sua correcta determinação tem ocupado um lugar de destaque na investigação. Inicialmente, a maioria dos autores optou por métodos experimentais tais como infiltrómetro de duplo anel (Haise et al., 1956; 16

3 Merriam e Keller, 1978), infiltrómetro de sulco bloqueado (Bondurant, 1957) ou de sulco com retorno (Milano, 1982 citado por Walker e Skogerboe, 1987), para a sua determinação, medindo directamente a infiltração ao longo do tempo. Bautista e Wallender (1985) compararam os dados obtidos através destes três métodos e chegaram à conclusão que o método do infiltrómetro de sulco com retorno é preferível, pois é aquele que mais se aproxima das condições de rega. Entretanto, Elliot e Walker (1982) também realizaram um grande número de determinações de taxas de infiltração utilizando infiltrómetros de duplo-anel e de sulco e chegaram à conclusão que nenhum deles fornecia uma simulação satisfatória da infiltração em sulcos. Os mesmos autores sugerem que, para uma simulação satisfatória do avanço, a metodologia mais efectiva de avaliação da infiltração é a medição das taxas de avanço, da secção hidráulica e dos volumes de excedentes. Com base nestes dados, aconselham a utilização do método do balanço volumétrico e o método dos dois pontos para a determinação dos parâmetros da equação de infiltração. Dada a grande receptividade ao método do balanço volumétrico, e o desenvolvimento da modelação matemática do escoamento, tem-se cada vez mais vindo a optar por métodos analíticos para a determinação dos parâmetros das equações de infiltração (Smerdon et al., 1988; Clemmens e Keats, 1992; Hibbs et al., 1992; Fekersillassie e Eisenhauer, 2000a). Dada a natureza essencialmente prática da questão, os investigadores têm também procurado reduzir o número de parâmetros observados no campo e simplificar os seus métodos. DeTar (1989) desenvolveu uma metodologia bastante simples para a determinação da equação de infiltração do tipo Kostiakov a partir dos dados de avanço, utilizando o conceito do tempo de infiltração médio, tendo obtido resultados satisfatórios. Shepard et al. (1993) adaptaram o método dos dois pontos à equação de Philip e aproveitando o facto do expoente estar fixado em 0,5 desenvolveram o método de um ponto para a determinação dos parâmetros da equação de infiltração, reduzindo assim o número de dados de avanço necessários. 17

4 O Método do balanço volumétrico De acordo com o método do balanço volumétrico, o volume total aplicado é igual ao somatório do volume armazenado superficialmente com o volume infiltrado. Pressupondo uma equação tipo potência para o avanço, x = pt r (2.7) obtém-se: a f0 t x Q0t = σy A0 x+ σ zk t x+ (2.8) 1+ r Q 0 - caudal de entrada, m 3 min -1 ; σz - factor de forma subsuperficial; t - tempo desde o início da rega, min; σy - factor de forma de armazenamento superficial, que é definido como uma constante (0,7 a 0,8); f 0 - taxa de infiltração estabilizada em unidades de volume por unidade de comprimento por unidade de tempo; p e r - coeficiente e expoente da equação do avanço; x - distância percorrida, m. Christiansen et al. (1966) obtiveram os parâmetros da equação de Kostiakov- Lewis utilizando o balanço volumétrico, enquanto que Wilke (1973) utilizou um método baseado em dados relativos a dois pontos para determinar a equação do avanço. Elliot e Walker (1982), e Walker e Skogerboe (1987) aplicaram este método ao balanço volumétrico, o que, como já foi referido, ficou conhecido como o método dos dois pontos. Esta metodologia foi inicialmente elaborada para a determinação de equações do tipo Kostiakov modificado ou Kostiakov-Lewis. No entanto, segundo Serralheiro (1988) a metodologia pode ser utilizada para a determinação dos parâmetros da equação de Kostiakov fazendo-se f 0 = 0. Portanto, desprezando o último membro da equação 2.8 obtém-se: a σzk t x = Q0t σya0 x (2.9) 18

5 ou seja: kt a = σz Q t x 1 0 σ ya0 (2.10) Determinação da equação de Kostiakov pelo método de Elliot e Walker O método de balanço volumétrico, proposto por Elliot e Walker (1982) requer as equações de geometria do sulco (largura em função da altura desde o fundo do sulco, perímetro molhado em função da altura), e sobretudo, a área do escoamento que multiplicada pelo comprimento e um factor de forma, fornece o armazenamento superficial. As diversas equações necessárias são determinadas recorrendo ao método dos dois pontos. Por outro lado, o volume infiltrado pode ser estimado a partir do factor de forma subsuperficial, σz. Os vários passos necessários para a obtenção da equação da infiltração utilizando este método se encontram resumidamente descritas a seguir: a) Determinação da equação da largura do sulco em função da altura desde o fundo do mesmo, pelo método dos dois pontos: T = a y a 2 1 (2.11) com: Tf ln a2 = y f ln T m y m e a 1 Tf = a (2.12 e 2.13) ( y f ) 2 T - largura do sulco, m; y - altura desde o fundo do sulco, m; a 1 e a 2 - coeficiente e expoente da equação; T f, T m - largura máxima e do meio, respectivamente, m; y f, y m - profundidade máxima e do meio, respectivamente, m. 19

6 b) Determinação da equação da área da secção transversal em função da altura desde o fundo do sulco, utilizando os coeficientes da equação anterior: A = σ y σ 2 (2.14) 1 a com: σ 1 1 = a e σ 2 = a (2.15 e 2.16) A - área da secção transversal, m 2 ; σ 1 e σ 2 - coeficiente e expoente da equação. c) Determinação da equação do perímetro molhado, utilizando o método dos dois pontos, com o perímetro molhado calculado a partir dos pares de dados referentes ao perfil transversal do sulco: γ Pm = γ y 2 (2.17) 1 [ 1 [ 1 ] ] com: Pm ( y y 2 = ) +. ( T T ) y 2 05 y i i i i i= (2.18) Pm - perímetro molhado, m; γ 1 e γ 2 - coeficiente e expoente da equação. d) Determinação da área do perfil transversal, para o caudal máximo A 0, utilizando uma derivação da equação de Manning Strickler: A = C 0 1 Q0 n 60 S 0 C2 (2.19) σ σ 3 2 com: C 2 = 5 2 γ 2 2 S 0 - declive do terreno, m m -1 ; C 1 e C 2 - coeficiente e expoente da equação; n - coeficiente de rugosidade e C 1 = σ γ (2.20 e 2.21) σ 1 20

7 e) Determinação da equação do avanço em função do tempo desde o início da rega, pelo método dos dois pontos: x = p t r x (2.22) x - distância percorrida, m; t x - tempo de avanço para o ponto x, isto é, o ponto à distância x do início do sulco, min; p e r - coeficiente e expoente da equação. f) A equação da infiltração propriamente dita, em função do tempo desde o início da rega, pelo método dos dois pontos: Z = k t a (2.23) com: a = V ln t ln f f V t m m e k = V t f a f (2.24 e 2.25) V m, V f - volume infiltrado durante o avanço até ao primeiro e segundo ponto do sulco, m 3 ; t m, t f - tempo de avanço até ao primeiro e segundo ponto do sulco, min. Neste passo é necessário determinar o volume infiltrado até dois momentos do avanço, geralmente quando a frente de avanço atinge o meio e o fim do sulco. Para este efeito, deve subtrair-se ao volume aplicado, o volume de água armazenado superficialmente. Para a determinação do armazenamento superficial, Elliot e Walker, utilizam o valor do factor de forma de armazenamento superficial σy, recomendado por Fok e Bishop (1965), e dão-lhe valores de 0,7-0,8. Ao multiplicar este factor pela área da secção transversal máxima, A 0, obtém-se o volume da água armazenada superficialmente no sulco. O volume médio infiltrado durante o avanço até ao primeiro e segundo ponto do sulco, V l e V m, são obtidos através da realização de balanço volumétrico: V f Q0 t f = σ ya0 (2.26) l f 21

8 V m Q0 tm = σ ya0 (2.27) l m l m e l f - distância até ao primeiro e segundo ponto do sulco, m. Por fim, a infiltração é dividida pelo factor de forma subsuperficial, σz, obtido a partir do factor de correcção do Kiefer 1 : com: k k = σz a+ r( 1 a) + 1 σ z = ( 1+ a) ( 1+ r) (2.28) (2.29) Modelação matemática do escoamento Os modelos matemáticos do escoamento são cada vez mais utilizados para o dimensionamento correcto de sistemas da rega de superfície, para a avaliação das qualidades das regas e para o controlo em tempo-real de sistemas de rega. No sulco, o escoamento é gradualmente variado e variável, pois como se realiza sobre uma superfície permeável, a profundidade de escoamento em qualquer ponto do sulco varia com o tempo, devido à variabilidade temporal da infiltração. As duas equações diferenciais parciais que descrevem a continuidade da massa, momento e/ou energia em canais abertos são geralmente conhecidos como as equações de Saint-Venant: equação da continuidade, ou equação da conservação da massa: A Q z + + =0 (2.30) t x t 1 O factor de correcção de Kiefer F, é dado por Christiansen et al. (1966) a partir da integração da equação de Kostiakov ao longo do sulco (cada ponto com o seu tempo de avanço e portanto seu tempo de infiltração), e é determinado pela seguinte equação: a r a F = + ( 1 ) + 1 F e σ r + 1 z = a

9 e equação da quantidade de movimento ou equação da conservação do movimento, apresentada na sua forma velocidade- profundidade de escoamento 2 : 1 δv g δt V δv δy iv + + = S0 Sf + (2.31) g δx δx ga dx dt z A y V g Sf i - elemento do comprimento; - intervalo do tempo; - volume infiltrado por unidade de comprimento do sulco; - área da secção transversal; - profundidade do escoamento; - velocidade média; - aceleração da gravidade; - declive da superfície livre da água; - taxa de infiltração. A resolução simultânea destas duas equações hidrodinâmicas é complicada pelo facto de não se conhecer a priori a velocidade de avanço e de recessão, pelo que as fronteiras da região do fluxo devem ser encontradas como parte da solução (Sakkas e Strelkoff, 1974). Por esta razão, embora essas equações tenham sido descritas pela primeira vez em 1871, foi só cerca de um século depois que autores como Strelkoff (1970) iniciaram técnicas de cálculo para a sua resolução. Strelkoff e Clemmens (1981) sugerem a transformação das equações acima descritas numa forma adimensional para reduzir o número de parâmetros independentes necessários para a sua resolução. Isso é possível dividindo as variáveis dimensionais das equações por variáveis características, que são representativas das características básicas da rega de superfície, convertendo assim as equações de continuidade e de movimento em equações diferenciais ordinárias (Katapodes e Strelkoff, 1977). Neste método, chamado das características, as duas equações são resolvidas simultaneamente para uma grelha de tempo-espaço. 2 Quando a equação é deduzida através das relações de energia, o último termo pode ser escrito como iv/(2ga). De qualquer forma, os resultados obtidos são geralmente insensíveis a este termo (Kincaid et al., 1972; Bassett, 1972 citados por Walker e Skogerboe, 1987). 23

10 Outros autores, (Strelkoff e Katapodes, 1977; Souza, 1981; Walker e Humpherys, 1983) resolveram as equações utilizando o método do volume de controlo deformável, que se baseia em células individuais deformáveis que se formam a montante e se deslocam para jusante do sulco, ao mesmo tempo que se deformam. O sulco é dividido em células correspondendo ao espaço percorrido em cada intervalo de tempo. As fronteiras deformavéis de cada célula são o perfil da superfície do escoamento no topo, a frente de humedecimento no solo, e as fronteiras com as células imediatamente à esquerda e à direita. A integração pode ser definida num sistema de coordenadas Eulerianas (Haie, 1984) ou Lagrangeanas (Souza, 1981; Wallender e Rayej, 1990). Os trabalhos destes e outros autores (Tabuada, 1989; Bautista e Wallender, 1992; Strelkoff e Clemmens, 1994; Sakkas et al., 1994) têm-se baseado na resolução completa das equações hidrodinâmicas, sem nenhuma aproximação simplificativa, o que se designa por modelo hidrodinâmico completo. Outros autores têm introduzido simplificações na equação da quantidade de movimento (2.31) e, consoante a natureza desta simplificação, os modelos daí obtidos, designam-se por: modelo de inércia nula, de onda cinemática e de balanço volumétrico. Todos eles utilizam a equação de conservação de massa associada a alguma forma de estimar o armazenamento superficial. No Modelo de Inércia Nula a equação da quantidade de movimento é simplificada, desprezando-se os termos de aceleração e da inércia, pois considera-se que as velocidades que ocorrem na rega de superfície são pequenas, tornando as alterações à velocidade completamente desprezáveis. Assim, com esta simplificação, a equação 2.31 resume-se a: y x = S0 S f (2.32) mantendo-se a equação da continuidade. Este modelo é um dos mais utilizados, por ser aplicável a todas as situações de declive de sulcos. Elliot et al. (1982) utilizaram o modelo de inércia nula para prever o avanço da frente de humedecimento, descrevendo o formato do sulco com equações tipo potência, que relaciona a área com a profundidade e o perímetro molhado. Vários autores têm utilizado o método da 24

11 célula deformável de controlo (Elliot et al., 1982; Oweis, 1983) e outros têm recorrido a soluções adimensionais para elaborar modelos de inércia nula (Katapodes e Strelkoff, 1977; Strelkoff e Clemmens, 1981). Elliot et al., 1982, elaboraram famílias de curvas de avanço adimensionais que podem ser utilizadas para determinar os parâmetros da infiltração a partir dos dados de avanço. No Modelo de Onda Cinemática simplifica-se ainda mais a equação da quantidade de movimento, desprezando-se a variação da profundidade da água δy/δx, resumindo-se esta a: S 0 = S f (2.33) Nestes modelos, presume-se uma relação única entre o caudal e as dimensões da secção transversal do escoamento e portanto com a velocidade do escoamento (Walker e Humpherys, 1983). Assim, a equação de continuidade é mantida e a equação de momento é substituída por uma equação de regime permanente, como por exemplo a equação de Manning (Shayya et al., 1993). Estes modelos consideram que a água se movimenta como uma onda de montante até jusante do sulco. A análise do escoamento através do modelo de onda cinemática é uma ferramenta satisfatória para estimar o avanço, infiltração e excedentes em sulcos declivosos (Walker e Humpherys, 1983; Sousa, 1990; Shayya et al., 1993), apesar de não considerar a fase de depleção, pois no momento em que a rega é cortada, a área superficial a montante torna-se zero (Walker e Humpherys, 1983). Nos modelos do balanço volumétrico ignora-se totalmente a equação da quantidade de movimento. Na ausência duma equação do momento para descrever a variação temporal e espacial da área da secção transversal A, estes modelos presumem que ela é constante em qualquer momento, e igual a: A = σ A0 (2.34) y A 0 - Secção transversal do fluxo à entrada do sulco, m 2 ; σy - factor de forma superficial. 25

12 Holzapfel et al. (1984) compararam os quatro modelos apresentados com dados de campo e concluíram que os três primeiros modelos produzem simulações excelentes de avanço e recessão em sulcos. Comentam que a precisão das previsões dos modelos depende mais da precisão dos dados do que do tipo do modelo. Walker e Skogerboe (1987) e Serralheiro (1996) apresentam uma descrição mais abrangente dos diferentes modelos de simulação de rega e a sua base teórica Programas para modelação do escoamento A simulação da rega, recorrendo a modelos matemáticos, pode ser utilizada nas fases de projecto, gestão e avaliação das regas. Dos diversos modelos de simulação da rega de superfície disponíveis, destaca-se o programa SRFR, já na versão 4.06 (Strelkoff, 1999), que simula diferentes tipos de rega de superfície, incluindo a rega intermitente e o cabo-rega, permitindo considerar a variação da infiltração em função do perímetro molhado. Outro modelo bastante divulgado é o SIRMOD (Surface Irrigation Simulation Model) desenvolvido por Walker (1983), em Utah State University, EUA. Este programa possui também capacidade para simulação, avaliação e projecto, para sulcos e canteiros, recorrendo a modelos hidrodinámicos, de inércia-nula ou de onda-cinemática. O programa permite, além disso, a determinação dos parâmetros da infiltração através dos dados do avanço de água nos sulcos, utilizando o método dos dois pontos. De uma forma geral, o programa utiliza os procedimentos descritos por Walker e Skogerboe (1987) e Walker (1989), existindo já a versão SIRMOD II, para Windows 95. Em Portugal, Serralheiro (1988) desenvolveu dois programas práticos para a gestão da rega. O programa ANREGA que permite deduzir, de uma rega observada, os parâmetros que permitem optimizar as qualidades das regas seguintes, e o programa CUTBACK, que permite determinar, no decurso da rega, os tempos e os módulos parcelares reduzidos, convenientes para a maximização da eficiência da rega. 26