CÁLCULOS DOS TEMPOS DE AVANÇO T L E DE INFILTRAÇÃO T R

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1 CÁLCULOS DOS TEMPOS DE AVANÇO T L E DE INFILTRAÇÃO T R TITICO DE SOUZA 08/0/007

2 RETROSPECTIVA 006 Etapas de um projeto por sulcos convencionais:. Vazão máxima não-erosiva. Número mínimo de sulcos por lote 3. Cálculo do número de sulcos total 4. Número de lotes 5. Alternativas de Layout 6. Cálculo do tempo de infiltração da lâmina requerida T R 7. Cálculo do tempo de avanço - T L 8. Cálculo do tempo de irrigação 9. Cálculo da Eficiência de irrigação

3 RETROSPECTIVA 006 Sabemos que existe um procedimento de cálculo que permite determinar os valores de T L, para cada Q S, em cada situação de infiltração, pela equação abaixo: a f0tlx Q0T L SY A0 X SZkTL X ( r ) Este procedimento de cálculo é um pouco complexo. Além do mais, existe um procedimento de cálculo, também um pouco complexo, para determinar o tempo de infiltração da lâmina requerida (T r ), para cada situação de infiltração, pela equação abaixo: a Z kt f T r r 0 r

4 Métodos de cálculo de T L e T R Há duas maneiras de encontrar T L e T R :. Por tentativa e acerto. Por cálculo numérico: Método de Newton-Raphson

5 Métodos de cálculo de T R Exemplo com T R. Por tentativa e acerto a Z kt f T r r 0 r 0,5 0,534 = 0,008T req 0,000T req

6 Métodos de cálculo de T R. Por cálculo numérico: Método de Newton - Raphson Suponha que desejamos estimar a solução (ou raiz) r de uma equação f(x) = 0. Se uma primeira tentativa é, digamos x, então a figura seguinte sugere que uma melhor estimativa de r pode ser x, o ponto no qual a reta tangente à curva no ponto (x, f(x )) corta o eixo dos x. Para encontrar x explicitamente, observe que a declividade da reta tangente em (x, f(x )) é: Tan f ( X ) ( X X )

7 Métodos de cálculo de T R A declividade da reta tangente é dada, também, pela derivada da função avaliada em x, ou seja, f '(X ). Portanto, f ( X ) f ( X ) ( X X ) Assim, podemos explicitar a equação para x, uma melhor estimativa de r, que é válida se f '(x ) for diferente de zero. X f ( X) X f ( X )

8 Métodos de cálculo de T R Use o método de Newton para estimar a raiz quadrada de 3, que é a raiz positiva de x - 3 = 0 Solução: Neste caso, temos a função f(x) = x 3 e sua derivada é f (x) = x. De acordo com a equação de Newton-Raphson, se fizermos x =, então: X f ( X) X X f ( X ) X X 3 X 3/ X 3 X /, 75

9 Métodos de cálculo de T R Para uma melhor estimativa de 3, repita usando,75 ao invés de. Portanto, X 3 X 3/ X, 75 3/, 75, 734 que é a terceira estimativa com 5 decimais. Se repetirmos o processo mais uma vez, temos: X 4 X 3/ X, 734 3/, , 7305 Em resumo, pode-se estabelecer uma fórmula recursiva.

10 Métodos de cálculo de T R FÓRMULA RECURSIVA PARA O MÉTODO DE NEWTON Seja r uma raiz de f(x) = 0 e x i uma estimativa de r tal que f'(x) 0. Uma melhor estimativa pode ser obtida pela seguinte fórmula: X X f X i i ( ) i f ( X ) O processo de cálculo usando a equação anterior deve ser repetido até que: Xi Xi M onde M é um valor preestabelecido, dependendo da acuralidade que se quer obter (ex. M = 0,00). i

11 Métodos de cálculo de T R SOLUÇÃO DO PROBLEMA DA IRRIGAÇÃO POR SUPERFÍCIE Voltemos agora ao problema de determinação do tempo de infiltração, T r, da lâmina aplicada na irrigação por superfície, dada pela equação de Kostiakov modificada. Usaremos o método de Newton para a solução da equação: 0,5 0,534 = 0,008T r 0,000T r a Z kt f T A função é, cuja derivada é: r r 0 r dz dt I akt a f 0

12 Métodos de cálculo de T R que é a taxa de infiltração, I =(0,534)(0,008)T 0, ,000 Agora, seguiremos o seguinte procedimento: (a) Fazer uma estimativa inicial de T r, com T r = T r i (b) Avaliar a função e a derivada e calcular um valor revisado de T r, (T r ) i+ T r i Z r - kt T ak a r -a r i i fot fo r i

13 Métodos de cálculo de T R (c) Comparar T r com T ri+ Se são iguais, dentro de uma tolerância, encontramos a solução, T ri+. Caso contrário, fazer T ri = T ri+ e repete (b) e (c). No presente exemplo: (a) T = 300 min, ou seja, T ri = 300 min (b) T 300 0, 534 0, 5 0, 008( 300) 0, 000( 300) 0, 534 ( 0, 534)( 0, 008)( 300) 0, 000 T = ,35 = 377,35 min Repetindo o processo para T = 377,35 min, temos:

14 Métodos de cálculo de T R T 377, 35 0, 534 0, 5 0, 008( 377, 35) 0, 000( 377, 35) 0, 534 ( 0, 534)( 0, 008)( 377, 35) 0, 000 T = 378,73 Nova repetição, T = 378,73 min.

15 Métodos de cálculo de T L Exemplo com T L Método do Balanço de Volume A equação do balanço de volume para a irrigação por superfície, em qualquer tempo, é expressa da seguinte forma: Q o T x = σ y A o X +σ z kt a x +σ ' z f o T x X A trajetória do avanço é dada, também, por uma equação do tipo exponencial: X = r pt x

16 Métodos de cálculo de T L A equação do balanço de volume contém duas incógnitas: T x e r. Para resolver este problema torna-se necessário escrever a equação do balanço de volume para dois pontos da trajetória do avanço, pela metodologia de Eliot e Walker (98), computando T x para a metade do comprimento do sulco e para o comprimento total. Assim, a equação do balanço de volume escrita para a metade do avanço é: L a L ' QoT0,5L = σ y Ao +σ zkt0,5l +σ z fot0,5l e para o final do sulco: L Q o T L = σ y A o L+σ z kt a L L+σ ' z f o T L L

17 Métodos de cálculo de T L Os fatores de forma são calculados pelas seguintes equações: σ z a r(- a) ( r)( a) e σ ' z r Para sulcos e faixas em declive, antes de determinar o avanço ao final do campo é necessário calcular a vazão máxima nãoerosiva: Q max V 60 max. 0,5 S0

18 Métodos de cálculo de T L Para o cálculo da área de fluxo utiliza-se a equação abaixo: A 0 Q ,5 S0 Para o caso de declividade zero, a equação para calcular a área de fluxo é a seguinte: A 0 Q 0. x

19 Métodos de cálculo de T L Procedimento de cálculo de T L. Estimar um valor inicial para o expoente da equação potencial de avanço, r, com valor entre 0,4 a 0,6;. Calcular os fatores de forma do perfil sub-superficial z e z ; 3. Calcular o tempo de avanço ao final da parcela (T L ) pelo método numérico de Newton Raphson; 3.. Estimar um valor inicial para T L = T ; 5A0 L T Q 0

20 Métodos de cálculo de T L 3.. Estimar um novo valor para T L com T L = T pela Equação de Newton - Raphson; T T Q T 0 a ' 0,77A0 L zkt L z f a zkt L ' Q0 z f0l 3.3. Comparar o valor estimado de T L com o inicial: T = T? Sim! T L = T Não! Repete o procedimento 3. a T L

21 Métodos de cálculo de T L 4. Calcular o tempo de avanço à metade da parcela, x = 0,5 L pelo método numérico de Newton Raphson; 4.. Estimar um valor inicial para T 0,5L = T L ;

22 Métodos de cálculo de T L 4.. Estimar um novo valor para T 0,5L com T 0,5L = T pela Equação de Newton - Raphson; T T Q T 0 a ' 0,77A0 0,5L zkt 0,5L z f a zkt 0,5L ' Q f 0,5L 4.3. Comparar o valor estimado de T 0,5L com o inicial: T = T? Sim! T 0,5L = T Não! Repete o procedimento 4. a z 0 0 T 0,5L

23 Métodos de cálculo de T L 5. Calcular um novo valor de r = r com a seguinte equação: r log T log T L 0,5L 5.. Comparar o valor estimado de r com o inicial, r : r = r? Sim! procedimento está terminado e o valor de T L é aquele determinado no ítem 3. Não! Repete o procedimento de a 5 com r = r.