ESIG2001 Minimização do número de cores para colorir giros de carteiros

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1 ESIG2001 Minimização do número de cores para colorir giros de carteiros Jacinto Maurício Nunes (1), José Pedro Rufino (2) (1) CTT Correios de Portugal, SA Rua do Conde Redondo, Lisboa, Portugal (2) CTT Correios de Portugal, SA Praça D. Luís I, 30, Lisboa, Portugal Outubro

2 RESUMO O propósito deste trabalho é o de colorir percursos de carteiros sobre artérias de malhas urbanas, percursos esses designados por giros. Pretende-se utilizar o número mínimo de cores possível, com a restrição de que giros adjacentes não possuam a mesma cor. O problema é resolvido recorrendo a métodos do universo dos Sistemas de Informação Geográfica e a técnicas da área da Investigação Operacional. Com os SIG obtêm-se as adjacências entre giros. Determinadas as adjacências calculam-se soluções para o número mínimo de cores recorrendo a: um problema de programação linear inteira, um algoritmo baseado em constraint-programming e por último, através de uma heurística greedy. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA Na empresa CTT Correios de Portugal SA, a entrega de objectos postais a residências ou empresas, inicia-se num local chamado Centro de Distribuição Postal. Cada CDP é identificado pelos 4 primeiros dígitos do código postal, correspondendo a uma área de distribuição de correspondências. Para realizar esta tarefa de distribuição porta-a-porta, os carteiros partem do CDP e efectuam itinerários fixos, previamente desenhados, chamados, tal como se disse, giros. Para uma leitura expedita do percurso de cada carteiro, é útil, sobretudo nas zonas urbanas, dispor-se de um mapa das artérias percorridas, colorindo cada giro com uma cor que o diferencie dos restantes. Uma solução trivial seria afectar cada giro com uma cor única, mas o número de giros por CDP, que chega a ultrapassar 40, faria com que as cores se tornem quase indistinguíveis. Melhor resposta é encontrada se forem empregues apenas cores fortes, em número mínimo, que facultem uma leitura rápida dos trajectos de cada giro, impedindo que giros adjacentes tenham a mesma cor. Como uma artéria pode ser percorrida em cada um dos lados por giros diferentes, dois giros resultam adjacentes se: 1. Tiverem um ponto de encontro sobre uma artéria; 2. Percorrerem a mesma artéria por lados distintos. 2

3 MODELIZAÇÃO DO PROBLEMA Para evitar dificuldades, resultantes da noção anterior de adjacência de dois giros e da própria configuração do seus percursos sobre a rede de artérias, a abordagem seguida não foi a de considerar giros como arestas de um grafo e tratar este caso como um problema de edge-coloring. O método de resolução seguido foi faseado em dois passos: 1. Geração de um grafo Com os operadores geográficos e de SQL que os SIG dispõem, determinam-se as adjacências entre giros e constrói-se um grafo onde os vértices representam os giros. Dois vértices têm agora uma aresta comum (i.é, são adjacentes) se os dois giros correspondentes são adjacentes, no sentido da definição anterior. Assim, considera-se o grafo G(V,E) onde V é o conjunto de vértices (giros sobre as artérias) e o conjunto de arestas é definido por E={(i,j): i,j V e os giros i e j são adjacentes }. Figura 1 Giros(44) de um CDP de Lisboa 3

4 Figura 2 Grafo, G (V,E), gerado 2. Determinação das cores a atribuir a cada giro. Considere-se que o grafo G(V,E) não tem arestas múltiplas nem lacetes, i.é, seja G(V,E) um grafo simples. Designa-se por χ(g) o número cromático de G e por (G) o grau máximo do conjunto de vértices de G. Um limite superior para o número mínimo de cores necessário para colorir os vértices de G é definido pela expressão: χ(g) (G)+1 (ver [1]). A determinação do número cromático de G (χ(g)) é um problema de muito difícil resolução, para um grafo simples de qualquer dimensão. De facto não é conhecido nenhum algoritmo de ordem de complexidade polinomial para determinar χ(g). Para determinar soluções para este problema consideram-se: um modelo linear inteiro, que depende de métodos não polinomiais para determinar a correspondente solução óptima; um modelo de programação por restrições (constraint programming) e um algoritmo heurístico que produz soluções aproximadas ao valor de χ(g). 4

5 2.1. Resolução como um problema de Programação Linear Inteira. Sejam : G( V, E), o grafo geradopara osgiros de umcdp, n = ( G) + 1; C j 1, sea cor j for usada, = 0, casocontrário 1, sea cor jfor atribuída ao giro i, Gij = 0, casocontrário A( i) o conjuntode giros adjacentesao giro i, (representando as cores disponíveis) 1 j n; i V,1 j n, i V, A( i) V. Então pretende se: Min n j= 1 s. a j= 1 C G C j G + G ij n j ij G ij kj = 1, G, ij 1, i V, k A( i), 1 j n, (1) i V (2) i V, 1 j n (3) { 0,1}, i V (4) A função objectivo expressa a minimização do número de cores empregues; a restrição (1) garante que giros adjacentes não têm a mesma cor; (2) assegura que a cada giro é atribuída uma e uma só cor; (3) obriga a que se o giro i é pintado com a cor j então C j toma o valor 1, o que significa que a cor j é utilizada. Note-se que as restrições (3) e (4) e o facto de se estar a minimizar a soma dos C j, implicam que C j {0,1} Um algoritmo de programação por restrições Recorrendo a um algoritmo de programação por restrições, disponibilizado no software OPLStudio, o problema pode ser descrito como: struct adjacentes { giros giro; {giros} adj; } (1) cores ={1,2,3,4,..., (G)+1)} (2) var cor[giros] cores (3) i giros k i.adjacentes cor[i]<>cor[k] (4) A condição (1) define uma estrutura onde para cada giro estão associados todos os que lhe são adjacentes; (2) estabelece o conjunto de cores disponíveis; (3) define uma variável, cujo domínio é o 5

6 conjunto de cores disponíveis, representando a cor atribuída a um giro; (4) impede que o giro k se pertencer ao conjunto dos giros adjacentes de i tenha a mesma cor de i Uma heurística greedy Foi utilizada uma heurística greedy descrita em [2] para determinar soluções aproximadas para o problema da coloração dos vértices de um grafo. Embora não sejam conhecidos algoritmos exactos que resolvam, para todo o tipo de grafo, este problema em tempo polinomial, existem heurísticas fáceis de implementar que conduzem a bons resultados, em tempo útil (ver [2]). RESULTADOS COMPUTACIONAIS O MapInfo e a linguagem MapBasic associada foram as aplicações de SIG utilizadas para o passo 1. A implementação dos métodos de solução 2.1. e 2.2. foi feita sobre o software OPLStudio, versão 3.5 [3]; como não se dispõe do módulo que permite encapsular o OPLStudio no MapBasic, geram-se primeiro ficheiros com o modelo e dados a partir MapBasic, que são inputs para o OPLStudio, correr posteriormente. Para o 2.3. foi programado sobre o MapBasic a heurística greedy proposta em [2], para determinação de uma solução admissível para o problema de coloração de um grafo. A execução foi feita num computador Pentium III a 800 Mhz com 128MB de RAM. Os resultados, para os CDP da cidade de Lisboa expõe-se no quadro seguinte: 6

7 Quadro 1 Resultados obtidos Número de giros D (G) Densidade 1 Número de cores Método de resolução Tempo 2 CPU (seg) Número de cores Tempo 3 CPU (seg) Número de cores CDP < < < < < < < < < < < < < < Tempo 4 Exec. (seg) Um exemplo de atribuição de cores, mostra-se na próxima figura: 1 Númerode arestasdo grafogerado Númerode arestasdo grafocompletocorrespondente 2 Indicado pelo OPLStudio 3 Indicado pelo OPLStudio 4 Tempo total de execução do algoritmo 7

8 Figura 3 Cores (8) para os giros do CDP 1350 UA116 UA118 UA109 UA113 UA111 U A UA101 UA103 UA107 UA106 UA122 UA102 UC119 UA104 U A UA105 UV123 COMENTÁRIOS E CONCLUSÕES Em primeiro lugar, saliente-se o que parecem ser características dos grafos gerados para este caso: número de vértices, densidade e grau máximo não muito elevados. A modelização como um problema de programação linear inteira, ou como constraint-programming, permite observar a boa qualidade das soluções do algoritmo utilizado, num tempo satisfatório. Estes resultados indiciam que se pode juntar este algoritmo ao módulo gerador do grafo para construir uma aplicação integrada, esperando um bom desempenho 5. As soluções obtidas com a heurística greedy distanciam-se pouco das soluções obtidas com as duas abordagens anteriores. Esta diferença deve no entanto agravar-se para instâncias de maior dimensão, i.é, para mapas com um maior número de giros. Por outro lado, este aumento da dimensão do problema implica um maior esforço de resolução do modelo linear inteiro e do modelo de programação por restrições 6, devido às ordens de complexidade dos algoritmos utilizados para a sua resolução. Esse aumento conduz a um tempo de execução muito elevado para estes algoritmos, quando comparado com o da heurística greedy, para dimensões pouco maiores do que as apresentadas neste trabalho. Como nota final, merecem referência situações em que existam giros cujo percurso seja desconexo. Aqui, existirá a dúvida se a mesma cor representa dois giros que não são adjacentes ou se são partes do mesmo giro. Para 5 O número de cores, se parecer excessivo, pode sempre compara-se com o óptimo. 6 Se se impuser um erro de aproximação reduzido, na diferença entre as soluções determinadas por este modelo e a solução óptima do problema. 8

9 ultrapassar esta dificuldade pode aperfeiçoar-se a aplicação para detectar giros não conexos, e atribuir-lhes uma cor exclusiva desde que sejam pouco numerosos no conjunto dos giros do CDP. AGRADECIMENTOS Queremos agradecer ao Doutor Pedro Coimbra Martins as indicações bibliográficas sobre algoritmos de vertexcoloring e sugestões dadas, que trouxeram maior exactidão e legibilidade ao texto. Contudo, eventuais erros são, evidentemente, da responsabilidade dos autores. BIBLIOGRAFIA [1] Wilson, R.J., Introduction to Graph Theory, 2 nd edition, Longman, [2] Foulds, L. R., Graph Theory Applications, Springer-Verlag, [3] ILOG OPL Studio 3.5, Language Manual,