1.80 m m m m

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1 1 a Série de exercícios e problemas Conceitos básicos de mecânica Nota 1: Nesta Série o valor que será adoptado para a aceleração da gravidade é g =9.80 m/s 2, que é o valor efectivo aqui na cidade da Covilhã. Nota 2: Usa para a constante de gravitação universal o valor G = Nm 2 /kg 2. Exercícios 1. Uma senhora que viaja regularmente no comboio para voltar para casa, em geral chega à estação da sua cidade às 17 horas, exactamente a hora a que o seu marido chega para a recolher no automóvel da família. Um dia, ela sai do trabalho mais cedo, e apanha o comboio que chega à estação às 16 horas; decide então caminhar para casa e arranca imediatamente ao longo da estrada que normalmente o seu marido usa. Ele sai de casa à hora do costume e desloca-se à velocidade usual. Encontram-se no caminho, seguem para casa com a mesma velocidade e chegam 15 min mais cedo que o habitual. (a) A que horas se encontraram o marido e a mulher? (b) Obtém uma relação numérica entre a velocidade v com que o marido conduz o automóvel, eavelocidade v com que a sua mulher caminha. (c) Se normalmente o marido conduz com uma velocidade de 50.0 km/h, calcula a distância percorrida a pé pela senhora. (d) Será possível determinar a distância entre a casa e a estação? Explica. Solução: (a) 16 h 52 min 30 s; (b) v =7v ; (c) 6.25 km; (d) Não. 2. Pretende-se estimar a que profundidade se encontra a superfície da água num poço, usando uma pedra e um relógio. Largando a pedra sem velocidade inicial, ouve-se o ruído desta a cair na água passados 3.0 s. Sabe-sequeavelocidade do som no ar é de 344 m/s. (a) A que profundidade está a superfície da água? (b) Qual a velocidade máxima que é atingida pela pedra? Solução: (a) 41 m; (b) 28 m/s. 3. Considera uma partícula de massa m que se desloca em duas dimensões (horizontal x, apontando para a direita, e vertical y, apontando para cima), sujeita a um campo gravítico constante (força vertical, de magnitude mg, que aponta para baixo). (a) Escreve a função de Lagrange para esta partícula. (b) Obtém as duas equações de Lagrange (uma para x, outra para y). equações, e volta a deduzi-las partindo da segunda lei de Newton. Interpreta essas (c) Uma pedra é lançada com uma velocidade v 0 =11ˆx m/s a partir de uma janela de altura 3.0 m. Integra as equações obtidas na alínea anterior para determinar a que distância do ponto de lançamento a pedra bate no chão, e com que velocidade. Porque é que os teus resultados são independentes da massa da pedra? Solução: (a) L = 1 2 m(ẋ2 +ẏ 2 ) mgy; (b)ẍ =0 e ÿ = g; (c) 9.1 m, v =(11ˆx 7.7ŷ) m/s. 4. A posição de uma partícula de massa m =2kg é descrita, num certo sistema de coordenadas rectangulares (x, y, z) e em função do tempo t, pelo seguinte vector r: Calcula, no instante t =1s, r(t) =2t 3ˆx +(3t 4 2t 2 )ŷ +4tẑ (a) o vector momento linear da partícula; (b) o vector força resultante que actua sobre a partícula. Solução: (a) (12ˆx +16ŷ +8ẑ) kg m/s; (b) (24ˆx +64ŷ) N. (SI).

2 1 a Ψ Série de exercícios e problemas Física da Informação (Engenharia Informática, UBI) 2 5. No dia do seu casamento, a Joana decide atirar o ramo desde uma janela da sua casa, que está a 4.0 m de altura. As suas amigas encontram-se cá em baixo, ansiosas por apanhá-lo. Admite que os braços das amigas da Joana estão todos a 1.5 m de altura, que o ramo é lançado horizontalmente com uma velocidade de 8.4 m/s, e que a resistência do ar é desprezável. (a) A que distância da base da casa se encontrará a felizarda? (b) Qual a magnitude da velocidade do ramo quando ela o recebe? Sugestão: Para resolver a alínea (b) podes usar, se quiseres, uma lei de conservação! Solução: (a) 6.0 m; (b) 11 m/s. 6. Uma bola de massa igual a 100 g choca com uma parede a uma altura de 2.0 m, tendo no instante do choque uma velocidade horizontal de 10 m/s. Observa-se que a bola bate no chão a uma distância de 4.0 m da parede. (a) Calcula a perda de energia no choque. (b) Se o mesmo choque tivesse ocorrido na Lua, a que distância da parede iria cair a bola? A aceleração da gravidade na Lua é seis vezes menor do que na Terra. Solução: (a) 3.0 J; (b) 9.8 m. 7. Um homem de 70 kg sobe 3.0 m de escadas em 2.0 s. (a) Qual é o trabalho que o homem realiza a subir as escadas? (b) Qual é a potência média que ele dissipa nesse exercício? Solução: (a) 2.1 kj; (b) 1.0 kw. 8. Considera a montagem representada na figura, conhecida como máquina de Atwood. As duas massas m 1 e m 2 estão suspensas por uma corda inextensível (de comprimento l) que passa por uma roldana de massa desprezável e livre de atrito. (a) Explica porque é que este sistema tem apenas um grau de liberdade. (b) Escreve a função de Lagrange do sistema, usando a distância x como coordenada generalizada. (c) Obtém a equação de movimento (equação de Lagrange), e resolve-a para obteres a aceleração ẍ da massa m 1. (d) Supõe que m 1 =3.00 kg e m 2 =2.00 kg. Se o sistema for abandonado em repouso, quanto tempo demora a massa m 1 a cair 80 cm? (e) Supõe os mesmos dados da alínea anterior. Faz o diagrama de forças para uma qualquer das massas, aplica a segunda lei de Newton e deduz o valor numérico da tensão da corda. Solução: (b) L = 1 2 (m 1 +m 2 )ẋ 2 +(m 1 m 2 )gx; (c) (m 1 +m 2 )ẍ =(m 1 m 2 )g, ẍ = m1 m2 m 1+m 2 g; (d) 0.91 s; (e) 23.5 N.

3 1 a Ψ Série de exercícios e problemas Física da Informação (Engenharia Informática, UBI) 3 9. Considera o sistema da figura, formado por dois blocos ligados por uma corda que desliza através de uma roldana fixa. A corda é inextensível e de massa desprezável, e não há qualquer atrito. (a) Obtém a função de Lagrange do sistema, em termos da coordenada y representada, e da velocidade ẏ. (b) Escreve a equação de Lagrange correspondente, e deduz a aceleração dos dois blocos em termos de M, m e g. (c) Supõe que M =9m. Se o sistema for solto em repouso, calcula a velocidade da massa menor após 5.0 s. Solução: (a) L = 1 2 (M + m)ẏ2 + mgy; (b) (M + m)ÿ = mg, a = m M+mg; (c) 4.9 m/s. 10. Um neutrão com 2700 m/s de velocidade colide frontalmente com um núcleo de azoto em repouso e, em resultado desse choque, é absorvido pelo azoto. Qual a velocidade final do novo núcleo assim formado? Dados: m neutrão = kg, m núcleo de azoto = kg. Solução: 183 m/s. 11. Dois astronautas jogam à bola no espaço em condições de ausência de peso. O primeiro astronauta, que tem 80 kg, lança a bola ao outro, que tem 63 kg. Sabendo que a massa da bola é 4.0 kg e que esta é lançada com uma velocidade de 10 m/s, (a) Qual a velocidade de recuo do primeiro astronauta após ter lançado a bola? (b) Qual a velocidade do conjunto bola + segundo astronauta após este ter recebido a bola? (c) Qual a velocidade do centro de massa do conjunto astronautas + bola nos casos das alíneas (a) e (b)? Justifique. Solução: (a) 0.50 m/s (no sentido contrário ao movimento da bola); (b) 0.60 m/s (no mesmo sentido do movimento inicial da bola); (c) Zero em ambos os casos. 12. As partículas A e B da figura deslocam-se sobre a mesma linha, em sentidos opostos, com velocidades constantes de módulos v A =10m/s e v B =20m/s, e colidem frontalmente. As suas massas são m A =2.0 kg e m B =3.0 kg. (a) Supõe que, após a colisão, as partículas ficam ligadas uma à outra. Qual é a magnitude, direcção e sentido da velocidade comum? Quanta energia cinética se perde nesta colisão, em termos percentuais? (b) Admite agora que a colisão é elástica. Calcula a magnitude, direcção e sentido da velocidade da partícula A após a colisão. (c) Sabe-se que a colisão demorou s. Determina, para cada uma das situações referidas em (a) e (b), a magnitude média da força que as partículas exerceram uma na outra durante a colisão. Solução: (a) 8 m/s ( ), 77%; (b) 26 m/s ( ); (c) 1.8 kn em (a) e 3.6 kn em (b).

4 1 a Ψ Série de exercícios e problemas Física da Informação (Engenharia Informática, UBI) As posições de três partículas de massas m 1 =2.00 kg, m 2 =3.00 kg e m 3 =5.00 kg são dadas, em função do tempo, pelos vectores r 1 (t) =2.00î +3.00tĵ, r 2 (t) =t 2 î 3.00tĵ + ˆk, r 3 (t) =3.00tî +2.00t 3 ĵ +2.00tˆk (SI). Calcula, para t =3.00 s, a posição, velocidade e aceleração do centro de massa do sistema. r CM =(7.60î +26.1ĵ +3.30ˆk)m Solução: v CM =(3.30î +26.7ĵ +1.00ˆk)m/s. a CM =(0.60î +18.0ĵ)m/s Um projéctil de massa m =0.10 kg e rapidez v =5.0 m/s colide horizontalmente com um pêndulo de massa M = 0.30 kg e comprimento l = 62.5 m, inicialmente em repouso (ver figura). Sabendo que a colisão é elástica, determina (a) a velocidade do projéctil após a colisão, em magnitude, direcção e sentido; (b) a amplitude θ (em graus) do movimento de oscilação que o pêndulo adquire após o choque. l θ m v M Solução: (a) 2.5 m/s, em sentido contrário ao inicial; (b) θ = O sistema representado na figura é constituído por três pêndulos de massas e comprimentos iguais. No instante inicial A é largado da altura h com velocidade nula. (a) Se os choques forem elásticos, qual a altura máxima atingida pelo pêndulo C? (b) Que acontece aos outros pêndulos após o choque? (c) Se, após o choque da esfera A, as três esferas ficarem ligadas entre si, qual a altura máxima atingida pelo conjunto? Solução: (a) h; (b) Ficam em repouso; (c) h/ Uma barragem em descarga tem um caudal máximo de 3400 m 3 /s. Sabendo que a altura da barragem é 75 m, qual é a energia máxima que pode ser extraída por uma hidroeléctrica num dia? A massa volúmica da água é 1.0 g/cm 3. Solução: J.

5 1 a Ψ Série de exercícios e problemas Física da Informação (Engenharia Informática, UBI) A figura representa um sistema de três partículas A, B e C num certo instante. Os pesos das partículas são, respectivamente, 10 N, 15 N e 20 N e as suas velocidades nesse instante são v A = 3.00ĵ +1.50ˆk, v B =2.40î 1.80ĵ +1.20ˆk e v C = v x î + v y ĵ +3.00ˆk, todasemm/s. Determina, nesse instante particular, (a) os valores das componentes v x e v y da velocidade da partícula C necessárias para que o momento angular do sistema em relação a O seja paralelo ao eixo Ox; (b) ovector momento angular L nesse caso. y 1.80 m B 1.50 m A O C m 1.20 m x z Solução: (a) v x =5.85 m/s, v y =4.80 m/s; (b) L = 1.65î kg m 2 /s. 18. Na figura mostra-se uma vista aérea de um bloco de massa m 2 = 200 g que está em repouso sobre uma mesa horizontal, ligado a uma barra de comprimento R =10cm e massa desprezável. A barra pode girar em torno do ponto C. Uma bala de massa m 1 =4gé disparada contra o bloco com uma velocidade v =51m/s e, após a colisão (que deves supor é instantânea), fica perfeitamente incrustada nele. (a) Determina a velocidade do bloco imediatamente depois da colisão. (b) Admite que a força de atrito entre o bloco e a mesa é constante, igual a N. Quantas voltas é que o sistema vai dar antes de parar? Solução: (a) 1 m/s; (b) Duas voltas. 19. Um satélite encontra-se em órbita circular em torno de Júpiter. Sabendo que o satélite demora 9 h 55 min a dar uma volta completa ao planeta, qual é o raio da órbita? Amassa de Júpiter é de kg. Solução: m. 20. Um satélite descreve uma órbita circular junto à superfície da Terra. (a) Mostra que a velocidade desse satélite é dada por v = Rg R,emqueR é a distância ao centro da Terra e g R é a aceleração da gravidade a essa distância. (b) Sabendo que o período de um satélite geoestacionário é de 23 h 56 min, calcula a altitude da respectiva órbita circular. Usa para o raio da Terra o valor R T = m. Solução: (b) km.

6 1 a Ψ Série de exercícios e problemas Física da Informação (Engenharia Informática, UBI) Sabendo que a lei de atracção universal entre duas massas pontuais, M e m, distanciadas de r se escreve F = (GMm/r 2 )ˆr: (a) Mostra que, para pequenos deslocamentos junto da superfície da Terra, a energia potencial é U = mgh, sendo h a distância do ponto em relação à superfície da Terra. (b) Calcula a diferença entre o potencial gravítico aproximado e o exacto a 60.0 km de altitude. Usa para o raio da Terra o valor R T = m. Solução: (b) J/kg. 22. Num modelo clássico para o átomo de hidrogénio, o electrão descreve órbitas circulares em torno do núcleo (protão). Na órbita circular mais pequena tem um momento angular de kg m 2 s 1. O raio da órbita é de m e a massa do electrão é kg. Qual a velocidade do electrão nessa órbita? Solução: m/s. 23. A Lua tem um período de 27.3 dias e um raio orbital de km. Se um satélite tem o período de um dia, qual é o seu raio orbital? Solução: km. 24. A distância do Sol à Terra é, por definição, uma unidade astronómica (UA). Um satélite artificial foi colocado em órbita circular em torno do Sol, com um período de 8.0 anos terrestres. (a) Qual é o raio da órbita do satélite em UA? (b) Qual seria a resposta à alínea (a) se a força gravitacional fosse proporcional a 1/r 3 em vez de 1/r 2? (c) Qual a relação entre o raio da órbita e o seu período no caso geral em que a força gravitacional varia com 1/r n (n>0)? (3 a lei de Kepler generalizada.) Solução: (a) 4 UA; (b) 2.8 UA; (c) r n+1 /T 2 =const. 25. No seu movimentoàvolta do Sol, o planeta Marte tem um período de 1.88 anos. (a) Calcula a distância média entre Marte e o Sol, em unidades astronómicas UA (vê o exercício anterior). (b) Se 1 UA = km, determina a massa do Sol. Solução: (a) 1.5 UA; (b) kg. 26. Um pêndulo de massa 500 g e de comprimento l = 100 cm é lançado sem velocidade inicial do ponto A, indo atingir a amplitude máxima em B (ver figura). (a) Calcula o trabalho realizado pela força de atrito quando o pêndulo vai de A para B. (b) Qual o valor da força de atrito, em média? (c) Qual o ângulo β que corresponde à amplitude máxima de oscilação seguinte, supondo que a força de atrito é constante ao longo da trajectória? Nota que α e β são ângulos pequenos, pelo que sin α α e sin β β. Solução: (a) J; (b) 83.0 mn; (c) 5.90.

7 1 a Ψ Série de exercícios e problemas Física da Informação (Engenharia Informática, UBI) A figura mostra um pêndulo simples de massa m e comprimento l, suspenso do ponto O. O pêndulo pode oscilar sem atrito num plano vertical, sendo a sua posição em qualquer instante definida pelo ângulo θ representado. (a) Mostra que a função de Lagrange do pêndulo é L = 1 2 ml2 θ2 + mgl cos θ. (b) Escreve a equação de Lagrange correspondente. (c) Supõe que m =2.5 kg e l =50cm. Se a massa passar pela posição de equilíbrio (θ =0) com uma rapidez de 3.0 m/s, será capaz de atingir a posição horizontal (θ = π/2)? Justifica. Solução: (b) θ = (g/l)sinθ; (c) Não. 28. Considera uma bolha de ar que sobe verticalmente no interior da água. A bolha é aproximadamente esférica e de diâmetro igual a 2.0 mm. A força de atrito que a água exerce sobre a bolha pode ser expressa, em módulo, por F a = 6πRηv. [Viscosidade da água η =10 2 poise = 10 3 Ns/m 2 ; R é o raio da esfera; v avelocidade da bolha em relação à água; ρ ar (dentro da bolha) =1.0kg/m 3 ; ρ água = kg/m 3.] (a) Calcula a velocidade limite (v lim ) com que a bolha de ar sobe na água. (b) Compara as velocidades de subida de bolhas com diâmetros diferentes e traça um gráfico em que mostres a v lim em função do diâmetro da bolha. Solução: (a) 2.2 m/s; (b) v lim D 2,ondeD representa o diâmetro da bolha de ar. 29. Uma mola de constante k = 100 N/m está ligada a uma massa m = 0.6 kg, que pode deslizar sem atrito sobre uma mesa horizontal. Comprime-se a mola fazendo-a encurtar 0.1 m. Encosta-se à massa m uma esfera de massa M =0.4kg, e liberta-se a mola (ver figura). Supondo que a esfera desliza sem rolar, qual a velocidade com que se separa de m? Solução: 1m/s. 30. Um passageiro com 80.0 kg entra num carro. As molas dos amortecedores são comprimidas de 1.20 cm. Sendo a massa total suportada pelas molas (incluindo o passageiro) 900 kg, qual a frequência característica de oscilação do carro com o passageiro? Solução: 1.36 Hz. 31. Um pêndulo simples tem um período de 1.5 s na Terra. Quando é posto a oscilar na superfície de outro planeta, o pêndulo passa a ter um período de 0.75 s. Qual é a aceleração da gravidade nesse outro planeta? Solução: 39 m/s 2.

8 1 a Ψ Série de exercícios e problemas Física da Informação (Engenharia Informática, UBI) A frequência característica de uma massa presa a uma mola é de 5.0 Hz. (a) Qual a aceleração da massa quando o deslocamento é de 51 cm? (b) Por que factor se devia aumentar a massa para duplicar o período de oscilação? Solução: (a) 500 m/s 2 ;(b) As aranhas têm sensores nas pernas que lhes permitem capturar as presas através das vibrações na teia. Quando apanhado na rede, um insecto de massa igual a 1.0 g provoca uma vibração na teia de 15 Hz. (a) Qual a constante elástica da teia? (b) Qual a frequência provocada por um insecto de 4.0 g ao ser apanhado na teia? Solução: (a) 8.9 N/m; (b) 7.5 Hz. 34. Considera o sistema da figura, constituído por um corpo de massa M que está ligado a duas molas de constantes elásticas k 1 e k 2. Na posição O, nenhuma das molas está deformada e o corpo está em equilíbrio. Supõe que o corpo é agora afastado do equilíbrio, e solto. Seja x a sua posição em relação a O num instante posterior qualquer. Ignora a massa das molas e despreza todos os atritos. (a) Escreve a função de Lagrange para este sistema. (b) Obtém a equação de movimento do corpo. (c) Considera M =70g, k 1 =4N/m e k 2 =7N/m. Calcula a frequência do movimento do corpo (em Hz). Nota: Se não souberes (ou não conseguires) fazer a alínea (a), resolve a alínea (b) usando o método de Newton. Solução: (a) L = 1 2 Mẋ2 1 2 (k 1 + k 2 )x 2 ;(b)mẍ = (k 1 + k 2 )x; (c) 2 Hz. 35. Um diapasão é posto a vibrar junto de um microfone, sendo a amplitude de oscilação medida com um osciloscópio. Sabendo que a amplitude se reduz a metade ao fim de 2.0 s, qual a constante de amortecimento (λ)? Solução: 0.35 s Um automóvel de massa kg roda sobre a estrada representada na figura. A constante elástica total dos amortecedores é N/m. Determina a velocidade do automóvel para a qual o sistema entra em ressonância. Despreza os efeitos do atrito nos amortecedores. 10 m 20 m 30 m 40 m Solução: 57 km/h.

9 1 a Ψ Série de exercícios e problemas Física da Informação (Engenharia Informática, UBI) 9 Problemas 37. Considera o sistema da figura, constituído por dois planos inclinados fixos e dois blocos ligados por uma corda que desliza através de uma roldana fixa. A corda é inextensível e de massa desprezável, e não há qualquer atrito. (a) Obtém a função de Lagrange do sistema, em termos da coordenada x representada, e da velocidade ẋ. (b) Escreve a equação de Lagrange correspondente, e deduz a aceleração a dos dois blocos em termos de m 1, m 2, φ, θ e g. (c) Supõe que m 1 =3.0 kg, m 2 =2.0 kg, φ =60 e θ =30. Se o sistema for solto em repouso, calcula o tempo necessário para que cada bloco percorra 1.0m ao longo do plano inclinado correspondente. (d) Nas condições da alínea anterior, aplica a segunda lei de Newton a um qualquer dos blocos para determinar a tensão da corda que os une. 38. Considera a situação representada na figura. (a) Supõe que as bolas A e B têm uma massa m A = m B = 2.0 kg. A bola A colide frontalmente com a bola B, eochoque é elástico. No instante da colisão, a bola A tem uma velocidade de 15 m/s e a bola B está em repouso. i. Calcula as velocidades das bolas A e B após o choque. ii. Qual a fracção da energia cinética de A que passa para B, istoé,t B,final /T A,inicial? (b) Repete a alínea anterior supondo agora que m A =1.0 kg e que m B =2.0 kg. (c) Admite que as massas das bolas são as consideradas em (b). AbolaA é lançada no chão contra a bola B (inicialmente em repouso) que, por sua vez, deverá tocar no objecto C. Sabendo que sobre cada bola actua uma força de atrito constante dada por F a = P/2, em que P é o peso dessa bola, e supondo elástico o choque entre as duas bolas, calcula a velocidade mínima com que deve ser lançada a bola A para que o objecto C seja atingido. Supõe que d =4.5 m.

10 1 a Ψ Série de exercícios e problemas Física da Informação (Engenharia Informática, UBI) Um cometa aproxima-se de uma estrela de massa M = kg. A grande distância, a sua velocidade é v =1.20 km/s, e aponta a uma distância b = mdocentro da estrela (ver figura). A distância b costuma chamar-se parâmetro de impacto. (a) Determina a distância mínima d a que o cometa passa do centro da estrela. (b) Que velocidade tem o cometa quando passa no ponto mais próximo da estrela? (c) Sabendo que o raio da estrela é de m, qual o valor mínimo que pode ter o parâmetro de impacto para que o cometa não colida com a estrela? Sugestões: Usa as leis de conservação da energia mecânica e do momento angular, justificando. Nota que o momento angular inicial do cometa (em relação ao centro da estrela) é L = mbv, ondem é a massa do cometa. 40. Um pequeno cubo de gelo oscila no fundo de um copo (figura A). A superfície do copo é esférica, de raio R =3.0 cm, e o cubo tem uma massa m =10g. Despreza o atrito do cubo de gelo com a superfície do copo. (a) Sabendo que o cubo foi largado a partir da borda do copo, sem velocidade inicial, calcula a velocidade e a velocidade angular máximas atingidas. (b) Calcula a frequência angular e o período do cubo para pequenas oscilações junto do fundo do copo. (c) Se o cubo for ligado a uma mola, que constante elástica deverá ter esta para a frequência angular das oscilações ser idêntica à calculada em (b)? (d) Se o cubo fosse largado num copo estreito como se mostra na figura B, a frequência angular das oscilações seria maior ou menor? Justifica.