Dinâmica de Sistemas Caóticos

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1 Dinâmica de Sistemas Caóticos Instituto Superior Técnico J. Bárcia, M. Cunhal, R. Figueira 7 de Junho de 007 Neste trabalho são estudados sistemas com um comportamento caótico. Foram analisados experimentalmente dois sistemas específicos, um circuito RLC não linear e um pêndulo forçado nos quais a condição de caos se atinge devido a sucessivas duplicações de período. O estudo do primeiro sistema consistiu na observação de duplicações de período, janelas de estabilidade e caos assim como a determinação de valores para as constantes universais de Feigenbaum. No segundo sistema foram observadas duplicações de período e caos através de mapas de Poincaré e diagramas de espaço de fases traçados em tempo real. Ambos os sistemas foram alimentados por uma tensão sinusoidal que fazia variar os seus parâmetros. Foram também realizadas simulações computacionais dos sistemas em estudo ou equivalentes e as respectivas comparações com os dados obtidos. I-Breve história do caos Foi no início da década de 60 que se deram os primeiros passos na construção de uma teoria do caos, apesar desta se sustentar em importantes avanços matemáticos e físicos. Ao tentar efectuar previsões meteorológicas, Edward Lorenz, descobre em 96 o efeito borboleta. Numa longa série simulações computacionais apercebese de que iria necessitar de realizar novamente algumas delas. Ao invés de correr a simulação desde o início, decidiu atalhar inserindo dados intermédios que iriam originar um valor final supostamente igual ao anterior. Tal não aconteceu, devido a um ligeiro arredondamento nos valores por ele inseridos. Apesar de acidental, a descoberta de Lorenz não só provou a impossibilidade de fazer previsões meteorológicas a longo-prazo como abriu terreno para a criação de um ramo de investigação completamente novo. Desde o extenso trabalho de Henri Poincaré, no início do século XX, que os matemáticos tinham conhecimento da não linearidade. As equações não lineares há muito que estão presentes no universo de cientistas e engenheiros. Os pioneiros que se dedicaram ao estudo específico deste novo conceito de caos encontraram uma enorme resistência por parte dos seus colegas e superiores, como acontece geralmente a quem desafia a forma comum de percepcionar o universo. Por esta altura, não havia sequer sido formulada uma teoria coerente relativamente ao caos, quanto mais a aceitação desta como uma ciência. Aquilo que Lorenz fez com a meteorologia, Robert May aprofundou com a ecologia. O seu trabalho, no início dos anos 70, ajudou a descobrir os conceitos de bifurcação e duplicação que iremos abordar adiante, ao desenvolver um modelo que pretendia calcular a variação da taxa de nascimento de insectos em função do alimento disponível. Após vários ciclos no qual ocorria duplicação de período (o sistema demora o dobro do tempo a readquirir o seu estado inicial) o seu modelo tornava-se imprevisível, assim como o são, na realidade, as populações de insectos. Outro dos maiores contribuidores para esta nova ciência foi Benoit Mandelbrot. Utilizando um computador caseiro, Mandelbrot foi o pioneiro da matemática dos fractais, um termo cunhado por si em 975. Os seus fractais, mais do que explicar, permitiam descrever e observar a acção do caos. O princípio fulcral descoberto por Mandelbrot foi o de que muitas das formas aparentemente irregulares que constituem o mundo natural possuem uma base organizada, apesar de aparentarem uma forma caótica e irregular. A descoberta que acabou por dar ao caos o estatuto e credibilidade que hoje merece foi liderada por Mitchell Feigenbaum. O seu trabalho, no final da década de 70, era tão revolucionário que vários dos seus manuscritos foram sucessivamente rejeitados para publicação. Ele havia encontrado ordem no caos - ao analisar o estado de turbulência, considerado caótico, encontrou universalidade. Desenvolveu inclusive um método para medir a turbulência e encontrou uma estrutura inerente aos sistemas não lineares. Feigenbaum mostrou que a duplicação de período é o modo normal da ordem originar caos e calculou constantes universais que representam a razão na escala dos pontos de transição do processo de duplicação. A estes valores foi dado o nome de constantes de Feigenbaum. Em meados dos anos 70 o movimento que sustentava a validade desta teoria do caos já se encontrava bem desenvolvido e em 977 decorre a primeira conferência internacional relativa a este assunto. Talvez a descoberta mais perturbadora que surge desta nova teoria é a de que existe ordem no caos. Na realidade, a ordem nasce do caos.

2 II Introdução Teórica Laplace afirmou que podemos considerar o estado presente do Universo como o efeito do seu passado e a causa do seu futuro. Se um intelecto, num determinado momento, conhecesse todas as forças que actuam na Natureza e a posição de todos os corpos que a constituem, e se além disso fosse suficientemente vasto para poder analisar toda essa informação, então conseguiria abarcar numa única fórmula o movimento dos maiores corpos do universo e os dos mais pequenos átomos; para esse intelecto, nada seria incerto, e tanto o futuro como o passado estariam perante si. Iremos demonstrar ao longo deste trabalho o erro existente no raciocínio absolutamente determinista de Laplace. Ao procurar no final do séc. XIX a resolução do problema dos 3 corpos, o qual consistia no estudo das equações do movimento dos mesmos sob o efeito dos campos gravíticos respectivos, Poincaré apercebeu-se das dificuldades existentes na determinação do movimento de um corpo de massa desprezável relativamente a outros dois. Reparou então na ausência de um movimento regular, ou seja, na existência de caos. Apesar de Poincaré ter deduzido intuitivamente os intervenientes essenciais para que o caos se manifestasse, a matemática necessária para os estruturar correctamente surgiu apenas mais tarde. Já na década de 60 do século passado foi Lorenz quem acordou as adormecidas teorias propostas por Poincaré. Imagem : Trajectória de um corpo infinitesimal sob influência de outros dois de grande massa Não linearidade e recursividade Para que um sistema demonstre um comportamento caótico são, então, necessárias duas condições: que o mesmo seja descrito por equações não lineares e que seja recursivo. Considere-se um sistema simples com uma dinâmica discreta, isto é, que evolui por saltos entre valores pontuais. Um comportamento recursivo será aquele no qual o cálculo de cada ponto depende do valor do ponto anterior. Para calcularmos o estado do sistema ao fim de um determinado tempo é então necessário proceder a uma iteração ponto-a-ponto até ao instante desejado. A seguinte função tem um comportamento recursivo: f x =x 0 f x = f f x 0 f x 3 = f f f x 0 f x n = f f... f x 0... Como se percebe facilmente, o cálculo de f x n está dependente de todos os valores anteriores. Recorre aos valores anteriores, logo é recursivo. Um sistema considera-se não linear, no contexto do nosso exemplo, quando a soma das suas imagens não equivale à imagem das suas somas. Isto acontece se o sistema não é descrito por uma função linear, a qual seria visualizada como uma recta num sistema de eixos ortonormados. Imagem : Crescimento de uma função linear Imagem 3: Crescimento de uma função não linear De modo a compreender a razão pela qual não se verifica a existência de caos em sistemas lineares iremos traçar iterações gráficas de duas funções sendo uma delas linear e a outra quadrática acompanhadas da recta identidade. No caso do sistema descrito pela função linear, o primeiro valor é retirado da intersecção de uma recta vertical em x0 com a equação de evolução do sistema. O valor em y do ponto zero é igual ao valor em x do ponto, ou seja, y 0= x. Graficamente, traça-se então uma recta horizontal que intercepta a recta x=y, que corresponde a encontrar a posição no eixo dos xx do ponto x. Traça-se então nova recta vertical que irá interceptar a função de evolução do sistema, ou seja x. Este processo é continuado até que seja

3 calculada a iteração desejada, tal como apresentado: Geraçãon+ Período e bifurcação As evoluções tão distintas como as anteriormente referidas só são visíveis para certas gamas de valores das funções que definem um sistema. Para os restantes valores este evolui para uma situação de estabilidade periódica, isto é, independentemente da condição inicial, o sistema atinge um determinado valor bem definido e constante. A esta situação dá-se o nome de período, sendo que o ponto de convergência desta iteração é denominado por atractor. Imagem 4: Iteração gráfica de um sistema linear (y=mx, m=.) Geraçãon+ Geraçãon+ Como se verifica, o sistema descrito pela função linear tem uma evolução intrinsecamente previsível dependendo do parâmetro que define o declive da recta e independentemente das condições iniciais o sistema terá uma evolução continuamente crescente (m>), Imagem 7: Período decrescente (m<) ou estacionária (m=). (y=-mx(x-), x 0=0., x ' 0=, m= ) No caso da função quadrática, já só em certos casos é possível prever o crescimento do sistema. Aumentando ligeiramente o valor do parâmetro Procedendo de forma análoga, o sistema poderá utilizado, descobrimos que eventualmente surgem dois conduzir-nos até a uma situação de estabilidade periódica pontos de convergência entre os quais a iteração vai ou caos. alternando. A esta situação dá-se o nome de período. Deixa de existir um único ponto de convergência, mas um conjunto de dois pontos fixes, ou órbita, que constituem o atractor. Imagem 5: Iteração gráfica de uma função não linear (y=-mx(x-), x 0=, m=4 ) Geraçãon+ Dependência sensível das condições iniciais A grande sensibilidade às condições sinais é notória nestes sistemas e foi o primeiro indício da existência de regimes caóticos. Para tal, considerem-se dois sistemas descritos pela mesma função quadrática inicializados com condições iniciais muito próximas. Apesar de a início os sistemas evoluírem de forma semelhante, ao final de um determinado número de iterações estes seguem percursos totalmente distintos. Imagem 8: Período (y=-mx(x-), x 0=0., m=3 ) Ao aumentar o parâmetro em intervalos cada vez mais curtos podemos observar uma sequência infinita de duplicações de período até que se atinge uma situação de caos. Se considerarmos apenas as últimas iterações, as únicas rectas visíveis serão as que correspondem à órbita do atractor o número de iterações necessárias para atingir a estabilidade denomina-se transiente. Geraçãon+ Geraçãon+ Imagem 6: Duas iteração gráficas com parâmetros iniciais ligeiramente diferentes (y=mx(x-), x 0=0., x ' 0=0., m=4 ) Imagem 9: Período 4 (y=-mx(x-), x 0=0., m=3.5 )

4 Ao fenómeno de duplicação de período é dado o nome de bifurcação. Com o aumento do período, a gama de valores que lhe está associada vai sendo exponencialmente maior, de tal modo que entre os parâmetros 3.5 e 4 estão contidos uma infinidade de bifurcações. No limite deste intervalo, as duplicações de período são tais que o sistema deixa de ter qualquer tipo de atractor independentemente do número de iterações utilizado, isto é, trata-se de um regime caótico. Este diagrama não é mais do que a representação dos atractores do sistema para cada valor do parâmetro da função quadrática, os quais são obtidos procedendo a um elevado número de iterações em cada caso até encontrar situações de estabilidade ou então caos. Os diagramas de estabilidade revelam o comportamento característico de cada sistema, pelo que uma função quadrática ou uma exponencial terão evoluções perfeitamente distintas. Geraçãon+ Imagem 0: Caos (y=-mx(x-), x 0=0., m=4 ) Imagem 3: Diagrama de bifurcações de uma função exponencial ( y=e 7 x b ), 000 passos por divisão, 000 divisões, transiente 500 e 0<b<; Para visualizar esta sequência de duplicações de período ou bifurcações, é comum traçar o seguinte mapa de bifurcações. Neste gráfico é bem visível a duplicação Constantes de Feigenbaum de período que o sistema sofre a partir do parâmetro 3 e Caso conseguíssemos fazer aproximações novamente para 3.5. sucessivas ao mapa de bifurcações apresentado iríamos verificar que cada sequência de bifurcações origina outra semelhante e assim sucessivamente, num efeito de fractal. Esta relação foi descoberta por Feigenbaum que se apercebeu que existe uma relação quantificável entre as distâncias a que cada bifurcação se encontra da seguinte (δ), assim como a amplitude de cada período em relação ao seguinte (α). Isto pode ser calculado como x δ n= n Imagem : Diagrama de bifurcações x n 000 passos por divisão, 000 divisões, transiente 500, (y=-mx(x-), e 0<m<4; α n= Daí em diante, as duplicações são tais que o sistema entra num regime caótico, embora seja ainda Estes valores são possível observar janelas de estabilidade de período 3 α, dentro do caos. Imagem : Janela de ordem 5000 passos por divisão, 000 divisões, transiente 500, (y=-mx(x-), e 3.8<a<3.9; yn y n δ 4, e Diagramas de espaço de fases e mapas de Poincaré Para facilitar a análise de sistemas regidos por equações diferenciais Poincaré criou dois tipos de diagrama. O primeiro, apelidado de diagrama de espaço de fases, recorre a referenciais onde a cada par de eixos corresponde um grau de liberdade. Deste modo, visualizou um espaço multidimensional onde cada ponto corresponde à posição e momento de cada partícula do sistema.

5 Para grau de liberdade recorremos ao exemplo do pêndulo sem atrito. Imagem 6: Mapa de Poincaré para um espaço de fases tridimensional Imagem 4: Esquema e diagrama de espaço de fases de um pêndulo sem atrito A verde o pêndulo é largado com velocidade angular nula. Aumenta a sua velocidade até atingir o máximo em θ=0 e continua o seu movimento até atingir a altura máxima com velocidade angular novamente nula. A vermelho o pêndulo é projectado com velocidade angular suficiente para dar a volta completa e continuar o seu movimento. Neste caso a velocidade angular nunca e nula. A azul o pêndulo é largado do topo ou exactamente com a força necessária para atingir o topo com velocidade angular nula. Temos portanto um regime de fronteira. Ao traçar-se um diagrama de fases ao longo de um intervalo de tempo maior que o período, o movimento do pêndulo irá traçar sempre a mesma figura no diagrama sobrepondo-se continuamente. Isto é, assume periodicamente os mesmos valores de posição e momento, logo tem movimento periódico. No entanto, Poincaré descobriu mais tarde que para provar a periodicidade de uma determinada órbita não era necessário observar o diagrama de espaço de fases nas sua totalidade. É possível fazê-lo seccionando o diagrama da seguinte maneira Imagem 5: Secção do espaço de fases mapa de Poincaré III Análise Experimental III.a) Circuito RLD A primeira parte deste trabalho consistiu no estudo de um circuito RLC forçado e não linear alimentado por uma tensão sinusoidal V t = A 0 sin wt V off, onde V t é o sinal de entrada, A0 a amplitude máxima, w a frequência angular e V off a tensão contínua. A não linearidade e recursividade deste sistema são introduzidas com a substituição do condensador comum por um díodo cuja capacidade é variável e depende da tensão aos seus terminais, pelo que o circuito é na realidade um RLD. Fazendo variar a amplitude, frequência e a componente contínua do sinal que alimenta o circuito verifica-se a variação da tensão aos terminais do díodo. A componente contínua (tensão de offset) é regulada por um potenciómetro e introduzida através de um circuito somador. O estudo deste sistema recai então sobre a influência da variação da componente contínua aplicada ao sistema sobre a tensão aos terminais do díodo. Assim, regulou-se o gerador para uma frequência próxima de MHz e fez-se variar a tensão contínua introduzida no circuito. Obteve-se uma sequência de situações de estabilidade periódica do ao 8. Após o período 8 já só foi possível encontrar situações de caos e continuando a aumentar a tensão introduzida pelo potenciómetro, percorreram-se novamente as situações de estabilidade periódica em sentido inverso, isto é, 8, 4, e. Para obter um diagrama de bifurcações no osciloscópio, foi então necessário substituir a regulação manual do potenciómetro por uma onda triangular com Observamos que cada órbita traça um único frequência de cerca de 50 Hz. Com base neste diagrama ponto vermelho. Caso a zona de intersecção do diagrama mediram-se as distâncias que separavam dois de espaço de fases com a recta de intersecção seja momentos de bifurcação distintos, bem como, a altura repetidamente o mesmo, o movimento é periódico. No em volts que separava cada um dos ramos das várias caso de um espaço de fases tridimensional não seria uma bifurcações para mais tarde calcular as constantes de recta de intersecção, mas um plano. Feigenbaum.

6 Dados Experimentais Através de um osciloscópio digital foi possível recolher os pontos que constituem os sinais da tensão de entrada do circuito e da tensão aos terminais do díodo. Apresentam-se aqui algumas das imagens recolhidas com o osciloscópio digital e resumem-se as medições na tabela do anexo. Imagem 0: Diagrama de bifurcações para o circuito RLC Imagem 7: Sinais do circuito RLD - Período Simulação Numérica Uma vez que não foi possível recolher tantos dados como seria desejável da análise experimental do circuito, optou-se por criar uma simulação numérica do mesmo definida pelas seguintes relações em que a capacidade variável é dada por C= C0 V Onde C é a capacidade do díodo, C 0 a capacidade a tensão nula, φ a barreira de potencial (built-in potential) e γ o declive (slope). Posto isto, a relação da tensão aos terminais do díodo e as restantes componentes do circuito são determinadas pela equação Imagem 8: Sinais do circuito RLD - Período 4 V V t t VC ' ' LC ' V R V ε t = VC ' C t L L VC ' C L VC ' C Onde L é a indutância da bobine e R a resistência. No caso anterior, por exemplo, a visualização dos Foi, então, necessário implementar um método quatro períodos torna-se um pouco mais complicada. de Runge-Kutta de quarta ordem para resolução Recorrendo ao mapa de Poincaré, a identificação torna-se numérica da equação diferencial do circuito. Uma vez imediata. que não eram conhecidas em profundidade as características de cada componente do circuito, optouse por fazer uma simulação que evidenciasse os aspectos qualitativos em comum em detrimento dos quantitativos. Assim, correram-se um conjunto de simulações das quais é dado um exemplo, tendo-se obtido situações de período de a 6 e, evidentemente, caos. Imagem 9: Mapa de Poincaré - período 4 Já com base no diagrama de bifurcações obtido através do osciloscópio analógico, procederam-se às medições necessárias para determinar as constantes de Feigenbaum, embora só tenha sido possível visualizar as duas primeiras ordens de bifurcação e o caos. Imagem : Tensão do díodo no osciloscópio simulado

7 Embora fosse esse o objectivo inicial, revelou-se extremamente complicado gerar o diagrama de bifurcações desta simulação - o cálculo dos pontos do mesmo é extremamente exigente do ponto de vista computacional, dado que implica resolver numericamente a equação diferencial para cada valor da tensão do potenciómetro no intervalo admitido. No entanto, foi ainda assim possível determinar os valores da tensão do potenciómetro para os quais existiam duplicações do período, fazendo uma série de simulações em que se variou este parâmetro progressivamente. Imagem :Simulação RLC Diagrama de espaço de fases de período 4 Onde I é o momento de inércia, μ a constante de atrito cinético, m a massa da esfera, g a aceleração gravítica, r o comprimento do fio, A a amplitude do sinal aplicado e ext a sua frequência. No caso de se tratar de um pêndulo comum, desprezando os efeitos do atrito, não existiria comportamento caótico, seria um movimento simples com período um. Ao aplicar a referida força sinusoidal no pêndulo é possível verificar que se trata de um sistema não linear no qual se constatam os fenómenos de duplicação de período e caos. Dados Experimentais O principal objectivo desta parte do trabalho era observar a duplicação de períodos. Para tal aplicou-se uma frequência de oscilação próxima da frequência própria de vibração de um pêndulo livre dada por: g r = r Podemos assumir esta relação uma vez que as contribuições do atrito e da força imposta não são muito relevantes para a frequência de vibração. O valor Determinação de б e α Com base nos valores recolhidos tanto do aparato utilizado foi f r = r 66 Hz experimental como da simulação numérica, procedeu-se A frequência utilizada foi, regra geral, próxima ao cálculo das constantes de Feigenbaum de diversas deste mesmo valor. Deste modo, fazendo variar a formas. As medições feitas no diagrama de bifurcações do amplitude, foi possível observar tanto pelo diagrama de osciloscópio devolveram os seguintes valores: espaço de fases como pelo mapa de Poincaré a б=, e α=, ,7 existência de períodos. São apresentados de seguida os diagramas de Já a partir da simulação numérica e uma vez que não foi espaço de fases e respectivos mapas de Poincaré. possível traçar o diagrama de bifurcações desta, consideraram-se apenas os valores limites da tensão do potenciómetro entre transições de período para o cálculo da constante, tendo-se obtido б=4,574 III.b) Pêndulo Forçado Foi ainda realizado o estudo de um outro sistema dinâmico não linear, um pêndulo forçado. Recorreu-se a um pêndulo acoplado a um sistema magnético que lhe confere uma força periódica cuja amplitude e frequência são variáveis através de um gerador de sinais dedicado. O sistema possuía ainda um parafuso através do qual era possível regular o atrito. A posição do pêndulo era transmitida a um computador, no qual se geraram em tempo real diagramas de espaço de fase e mapas de Poincaré. O movimento do pêndulo, dependente também do momento de inércia, pode ser descrito pela seguinte equação: Imagem 3: Pêndulo forçado Diagrama de espaço de fases para período I d θ dθ mgr sin θ = A sin ω ext μ dt dt Imagem 4: Pêndulo forçado Diagrama de espaço de fases para período

8 Apesar de aparentar ser uma janela de sua universalidade para todos os fenómenos que estabilidade de período 3, o seguinte diagrama representa apresentem comportamento caótico. Assim, geraram um período 4. Esta ilusão deve-se ao facto do sistema se duas imagens distintas de elevada resolução, sendo apresentar dois picos praticamente coincidentes. que a segunda é uma ampliação da primeira, nas quais se mediu a distância em pixeis no eixo dos xx entre as várias bifurcações. De forma análoga, mediram se também as distâncias entre os ramos de cada bifurcação e calcularam se os valores médios das mesmas, recorrendo às usuais fórmulas de erro. ª imagem A título de exemplo incluímos o mapa de Poincaré para o período 4. É possível verificarmos a concentração de pontos em quatro zonas diferentes, apesar de existir uma dispersão considerável. zona ª imagem Imagem 5: Pêndulo forçado Diagrama de espaço de fases para período 4 Os valores recolhidos encontram se nas tabelas seguintes δ ª bifurcação 539 ª bifurcação 850 3ª bifurcação 94 4ª bifurcação 853 5ª bifurcação 003 6ª bifurcação 58 5ª bifurcação 003 6ª bifurcação 58 3,38 0,0 4,5 0,04 4,55 0,0 7ª bifurcação 34 Tabela : Cálculo do δ de Feigenbaum a partir do diagrama de bifurcação de uma função exponencial Imagem 6: Pêndulo forçado - Mapa de poincaré para período 4 (*) ª ª imagem 3ª Imagem 7: Pêndulo forçado Diagrama de espaço de fases para caos 4ª ,5 3,3,3 0 8 α 0,3 IV Método alternativo de determinação *bifurcações Tabela : Cálculo do α de Feigenbaum a partir do das constantes de Feigenbaum diagrama de bifurcação de uma função exponencial Uma vez que tinha sido preparado um algoritmo primeira imagem computacional para traçar os diagramas de bifurcação da função exponencial apresentados no início deste artigo, recorreu se a este para determinar mais uma vez as constantes de Feigenbaum, corroborando novamente a

9 (*) 3ª ª imagem 4ª 5ª ,5 07, α A abordagem computacional revela se uma necessidade para colmatar os aspectos que ficam menos evidentes no trabalho laboratorial. 3, ,30 Experimental - RLC Simulado - RLC Simulado - Exponencial Simulado - Exponencial. Simulado - Exponencial. Teorico δ,68 0,0 4,57 0,04 3,380 0,095 4,50 0,043 4,554 0,98 4,6690 Desvio exactidão (%) 74,993,094 7,60 3,44,476 Tabela 4: Comparação dos valores obtidos para δ 3, 8 Já no caso do pêndulo forçado e amortecido, o aparato experimental disponível só permite uma abordagem mais qualitativa do estudo do mesmo, uma vez que não é possível fazer variar de forma controlada cada um dos parâmetros que o definem. 4 Experimental - RLC Simulado - Exponencial Simulado - Exponencial α,767 0,97 3,307 0,33 3,87 0,99 Desvio exactidão (%) 9,45 3,39 3,34 Tabela 5: Comparação dos valores obtidos para α *bifurcações Tabela 3: Cálculo do α de Feigenbaum a partir do diagrama de bifurcação de uma função exponencial segunda imagem V Conclusões Após a realização da componente experimental do trabalho e da computacional, e embora nenhuma destas tenha por si só permitido analisar todas as vertentes dos sistemas caóticos, o conjunto das mesmas permitiu nos obter um entendimento bastante fundamentado da maioria dos fenómenos associados aos sistemas caóticos: duplicação de período, janelas de estabilidade, constantes de Feigenbaum e a sensibilidade às condições iniciais. O circuito RLC utilizado peca pela instabilidade dos seus componentes o que impede a repetição de experiências nas mesmas condições. Essa instabilidade fica a dever se em grande medida à bobine utilizada, a qual não mantém a sua indutância ao longo do procedimento. De um ponto de vista quantitativo, todas as constantes calculadas encontram se nas ordens de grandeza esperadas, apesar de nem sempre s encontrarem muito próximas dos valores tabelados. A já referida instabilidade do aparato, a falta de precisão na regulação dos parâmetros de controlo dos sistemas caóticos analisados e, finalmente, a dificuldade de leitura das variáveis em estudo, contribuem para que seja muito difícil analisar os fenómenos de maior ordem. Fontes e bibliografia Guia Laboratorial, Sérgio Ramos e Paula Bordalo Universal behaviour in non linear systems, Mitchell J. Feigenbaum, Los Alamos Science summer